（概率论与数理统计专业论文）导数的发展历史研究.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t i n c h i n a , m a n y p r i m a ry a n d j u n i o r s t u d e n t s d i s l i k e m a t h e m a t ic s . p e r h a p s , t h e m a t h e m a t i c s w e l e c t u r e d i s t o o m u c h o r t o o a b s t r a c t , w h i c h r e s u l t s t h e s e s t u d e n t s h a v e l i tt l e i n t e re s t t o l e a rn i t . c u r r e n t l y , i t i s a f a c t t h a t t h e e d u c a t i o n a l b a c k g r o u n d i s n e c e s s a ry t o g e t a g o o d j o b . t h i s le a d s t h e s e s t u d e n t s w h o d i s l i k e d m a t h e m a t ic s t o l e a r n a d v a n c e d m a t h e m a t ic s y e t . a n d in c h i n a e d u c a t i o n s y s t e m , u n i v e r s i t i e s , h i g h l y t e c h n o l o g y u n i v e r s i t i e s a n d e v e n f o r t h e t e c h n o l o g y s c h o o l s a ll a r e l i k e l y t o g i v e t h e l e c t u r e s o f m a t h e m a t i c s t h e o r e t i c a l ly . t h u s , t h e s e s t u d e n ts o f t h e h i g h ly t e c h n o lo g y s c h o o l s w o u l d b e t h o u g h t o f t h a t c al c u l u s i s t o o h a r d , t o o a b s t r a c t a n d t o o u n i n t e r e s t i n g . a s a re s u l t , f o r t h e b e s t o f t h e s e s t u d e n t s , t h e y s t i l l d o n o t u n d e r s t a n d w h a t t h e m e a n in g i s o f a x / 妙. t o p r o m o t e t h e c a l c u l u s t h a t w a s u s e d i n v o c a t i o n a l e d u c a t i o n , h i g h - l e v e l p r o f e s s i o n a l s c h o o ls a n d a d u lt e d u c a t io n p e r f e c tly s u c h t h a t s t u d e n t s a re in t e r e s te d t o c o m p r e h e n d t h e c a l c u l u s o r ig i n a l l y , i n t h i s p a p e r , w e a i m s a t t h e d e r i v a t i o n a s t h e t a r g e t i s s u e t o s h o w t h e o u t l i n e h o w w e i n t e g r a t e i t t y p i c a l l y , w e b e g in t o u s e a n e w v i e w t o d i s c u s s t h e a p p l ic a t io n o f t h e a b s o lu t e c h a n g e s a n d t h e re l a t i v e c h a n g e s , t h e re l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d i s t a n c e a n d t h e v e l o c i t y , t h e re l a t io n s h i p b e t w e e n m a s s d i s t r i b u t i o n a n d d e n s i t y , a n d t h e re l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n o n - u n i f o r m l y l i n e a r d e n s it y a n d m a s s . a n d t h e n w e s h o w h o w t o g e t t h e g e n e r a l i z a t i o n s o f v a r i o u s g e n e r a l d e r i v a t i o n s b a s e d o n t h e c l a s s i c a l d e r i v a t i o n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t s : t h e s u b - d e r i v a t i o n b a s e d o n t h e d i ff e r e n t v i e w o f t a n g e n t ; t h e g e n e r a l i z a t i o n d e ri v a t i o n b a s e d o n f o u ri e r t r a n s f o r m ; a n d t h e r a d o n - n i k o d y m d e ri v a t i o n b a s e d o n d e f i n i t i o n o f i n d e f in i t e i n t e g r a l . 位t h i s w a y , w e c a n s t r i n g m a n y c o n c e p t s t h a t w e d o n o t d a r e t o t h i n k o n o n e l i n e , w h i c h i s h e l p f u l t o t h e t e a c h i n g i n t h e n o n p r o f e s s i o n a l e d u c a t i o n . k e y w o r d : r a t e o f v a r ie ty ; t a n g e n t ; s u b - d e r i v a t i o n ; f o u r i e r t r a n s f o r m ; r a d o n - n i k o d y m d e r i v a t i o n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本:学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国 家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目 的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 飞 脚 毛 年 、， 月访日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 指导教师签名: g -01 4 学位论文作者签名: 哪 如竹 解密时间: v 、口门/ 干月c a 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 1 5f, -pt %t5f- )i o if-, ,i, 10 fk 20 -v, a ;=i 20 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内 容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 飞 脚 毛 第一章引言 第一章引言 微积分是专科生的一门基础课， 无论是为学专业知识还是为进一步学习数 学都需要微积分基础知识。我们知道，微积分的核心是微分与积分，而积分与 微分又互为逆运算。故微分知识尤显重要。有一部分专科生学完微积分后竟不 了 解 a y / a x 的 含 义， 这不能不说， 此 乃教育的悲 哀。 造成 这种局面的 缘由 是多 方面的。如中国小学义务教育阶段的数学不仅内容多，而且过于抽象，导致部 分学生对学数学的兴趣有所降低，甚至有的学生有厌学的情绪。又如大专教育 偏理论教学，微积分对有些学生来说还是显得抽象、枯燥等等。学生对学习数 学兴趣不足，只是被动学习，谈不上举一反三，触类旁通。这也难怪学生学完 微积分后为 什么 不了 解a y / a x . 本人教过微积分近二十年，教过初等数学，对小学教育也感兴趣，具备让 学生知 道ay/ax含 义的 基 本条件。 从小学 数学知 识引 入， 使其由 抽象变为具体。 只有学生对所学知识做到理解，才有可能对学习产生兴趣.变被动学习为主动 学习，才能触类旁通，举一反三。要想达到该目 的，本人认为义务教育、中职 教育、高职教育及成人教育的教学改革应在基本概念、基本应用上多下功夫。 做到理论与实际紧密结合。学生的基本运算能力也会相应得到提高。数学素质 也会在学生身上体现。 本 人 的 论 文 题目 是 导 数 的 发 展 历 史 研 究， 不 仅 局限 于 让 学 生 知 道a y / a x 的 含 义，更深入的是把抽象问 题具体化，尤其是绝对变化率，相对变化率及相关变 化率， 还有概率分布。帮助教学，指导教学。我们所参考的教材有经久不衰的 老教材，也有最新出版的优秀教材。重点对导数及相关内容进行了研究，也对 导数推广做了简单介绍，引起人们对导数推广的好奇心，推动教科研的发展。 本文从小学数学的改变量这一知识点引入，解释路程分布，剖析速度概念， 由匀速运动引出匀变速运动。对质量分布加以解释。研究密度概念，对非均匀 的分布引出线密度及质量的线分布。有了上面的铺垫，我们再对微积分中的函 数变化率进行研究，就不觉得抽象，而且可以顺利引出绝对变化率和相对变化 率，可以对相关变化率进行研究。有了上面的基础，把抽象的概率分布具体化 易 如 反 掌 。 分 布 函 数 f ( x ) = p ( x ) 与 路 程 分 布 ， = .f ( t ) ，质 量 分 布 m = f ( x ) 所 起的 作 用 是 相 互 类 似 的 ， 而 概 率 密 度f ( x ) 与 变 速 直 线 运 动 的 速 度， ( t ) ， 线 密 度 第一章引言 可x ) 所 起 的 作 用 是 相 互 类 似的 。 f ( x ) d z 在 连 续 型 随 机 变量 中 所 起的 作 用与 p ( = a , ) = 八 在 离 散 型 随 机 变 量 中 所 起的 作 用 是 相 互 类 似的 。 均匀、 匀 速 在 数 学中最简单，用同样的方法可以 处理概率中的均匀分布。 本文在对经典导数系统而有趣整合的基础上，又对经典导数的几种推广途 径进行推广。 第一种推广是基于切线观点的改变导出的次微分，次微分仅适用 于凸函数，由 切线演变出的支撑线有助于对次微分定义的理解;第二种基于导 数表达式导出的c l a r k e 次微分; 第三种推广是基于f o u r i e r 变换诱导的广义导数， f o u r i e r 变换的定义与性质是导出此广义导数的基础;第四种推广是基于原函数 背 景 导 出 的 r a d o n - n ik o d y m 导 数 ， 介 ( x )cl, 的 导 数 为 f ( x ) 是 导 出 r - n 导 数 的基础。另外对四种推广相应的结果作了简单介绍。这样，将原来不会想，也 不敢想的问题逐步也串在一起，这对以后的教学提升是很有好的借鉴作用。 第二章 预备知识 第二章 预备知识 本章概述经典导数部分所需的基础知识， 对理解变化率及概率分布至关重 要。 第一节改变量在小学数学中的应用 2 . 1 , ， 绝对改变量 绝对改变量就是改 变量， 又叫 做增量， 它是终值与 初值的 差， 设变量u 从它 的 初值u i 变到终 值u 2 ，变量。 的改 变量记作d u ， 则: u =u 2 - u t 改变量在日 常生活中经常用到，如昨日 全市商品住宅平均价格 ( 以下用房 价) 4 0 0 0 元， 而今日 房价4 1 0 0 元， 则房价上涨1 0 0 元。 房价是变量， 用p 表示， 则o p = 1 0 0 元。又如学生成绩提高多少是改变量，商家获利多少也是改变量。 2 . 1 . 2 相对改变量 若昨日 房价8 0 0 0 元， 而今日 房价8 1 0 0 元， 则a p 也是1 0 0 元。 虽然两者o p 相同，但涨价幅度 ( 涨价率或涨价的百分比)不同。说明仅研究绝对改变量有 局限性，还应研究相对改变量，它是终值与初值的差，再除以 初值。即: 2 . 1 . 1 中房价上涨率为: 2 0 0二 2 ， 5 % ， 4 0 0 0 而2 . 1 . 2 中房价上涨率为: 尘 四 - = 1 . 2 5 % 0 8 0 0 0 说明2 . 1 . 2 中的房价上涨率低于2 . 1 . 1 中的房价上涨率。 第二章 预各知识 我们日常接触的物价上涨率 ( 房价上涨率属于此) ，利润率等都是相对改变 量。下面我们再举三个例子来说明改变量在小学数学中的应用. 例1某商场把进价为1 9 8 0 元的某商品按标价的8 折出售，仍获利1 0 % ，则 该商品的标价为 元。 解:设该商品的标价为p 元，则出售价为0 . 8 p 元，根据 : 售价 ( 终值)一进价 ( 初值) 利润率= 进价 ( 初值) 些全1 9 竺= 1 0 % 1 9 8 0 p =2 7 2 2 . 5 元 例2 : 某商店出售某种商品每件可获利m元， 利润率为2 0 % 。 若这种商品的 进价提高2 5 % ， 而商店将这种商品的售价提高到每件仍获利 m元，则提价后的 利润率为 _。 ( 2 0 0 4 年山 东 省竞 赛 题。 ) a. 2 5 % b. 2 0 % c. 1 6 % d. 1 2 . 5 % 解:设该商品每件进价为n 元，根据已知有: 里= 2 0 % 故提价后的利润为: 一 - m上 x 2 0 % = 1 6 % n + 0 . 2 5 n 1 . 2 5 例3 .某家电商场售出不同品牌的电视机，其中 一台 赚了1 2 % ，另一台赔了 1 2 % ，且这次出售的两台电视机的售价都是 3 0 8 0元，那么，在这次买卖中商场 的 利润为 _。 ( 2 0 0 4 年“ c a s i o 杯” 河南 竞赛 题) a . 不赔不赚 b . 赚9 0 元c . 赔9 0 元d . 赚6 0 元 解:设赚的电视机进价为m元，赔的电视机进价为n 元。 根据已知有: 四 些 -m = 1 2 % 3 0 8 0 - n = - 1 2 % = 1 . 1 2 ) = 0 . 8 8 ) 0一0- 08-m08-n 内，-门j- 第二章 预备知识 这次买卖中商场的利润为该两台电视的获利和，即: ( 3 0 8 0 一 m ) + ( 3 0 8 0 一 n ) = 1 2 %m一 1 2 %n = 1 2 % ( m一 n ) 一 1 2 % 1 3 0 8 0 _ 3 0 8 0 ) 戈 1 . 1 2 0 . 8 8 ) 1 2 % ( 2 7 5 0 一 3 5 0 0 ) - 9 0 元 第二节 路程分布与 速度 2 . 2 . 1 路程分布 路程分布就是动点所处的位置s 是时间的函数。 设动点沿直线运动。 在直线 上引入原点和单位点 ( 即表示实数1 的点) ，动点运动的方向规定为正方向，使 直线成为数轴。 此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。 设动点于时刻t 在 直 线 上 的 位 置 的 坐 标 为s ( 简 称 位 置s ) . 这 样， 运 动 完 全由 某 个 函 数， = .! ( t ) 所 确 定。 这函数对运动过程中所出现的t 值有定义， 即是路程分布( 也称为位置函数). 2 . 2 . 2 速度 我们这里所说的速度是小学生就知道的速度 ( 指的是匀速运动的速度) 。所 谓动点作匀速运动，即是路程分布的 变化是均匀的。也即动点所经过的路程与 所花的时间成正比。我们称此比值为动点运动的速度，记作v ( v 为常数) ，即: a s 夕 取 :d s = s ( t 卜s ( o ) , a t = t 一 0 得 : ， = 竺 o ) 吨成本就要高一点， 求生产附加的 q 吨钢的平均成本为多少? 第三 章 导 数及 导 数相关内 容 解:生产附加的 q 吨钢的 每吨钢的 平均成本为: c ( q + a q ) 一 c 位 ) a q 3 . 1 . 1 . 3平均变化率的几何解释 几何上， 平均变化率就是割线的斜率。 事 实 上， 连 接曲 线 上的 两 点 的 直 线 就是 该 曲 线的 割 线。 而f 在i x o , 凡十 公 上 的 平 均 变 化 率 就 是 通 过 点 m , ( x o , f ( x o ) ) , m ( x o + a x .f (x .+ a x ) 的 直 线 的 斜 率 ( “ 图3 . 1 ) o 因 此，f 从x o 到x o + a x 的 平均变 化 率就是 割线m , m的 斜率。 y x d 十 a x 图 3 . 1 y 一 f (x ) 的 图 形 的 割 线 ， 其 斜 率 为 函 数 f 在 区 间 x o . 、 十 a x 】 的 平 均 变 化 率 a y 舀尤 3 . 1 . 2 引出导数概念的几个实例 3 . ， ， 2 . 1 非 均匀直 线的 线密度。 此内容己在2 . 3 . 3 中介绍过. 3 . 1 . 2 . 2 变速直线运动的 速度 在2 . 2 . 1 我 们己 经 知 道 路 程 分 布， = f ( r ) 。 现 在 我 们 研 究 非 匀 速 运 动的 动 点 第三章 导数及导数相关内 容 在某一时刻 ( 设为t o )的速度应如何理解而又如何求得呢? 设 时 间 从 to 变 到 to + a t ， 动 点 的 位 置 由 f (t o ) 变 到 f ( to + a t ) 。 于 是 ， 在 这 t o t o 十 a t 】 段 时 间 内 动 点 的 平 均 速 度 为 : _山 v = = 夕 f ( t, + a t ) 一 f ( to ) 夕 这 里 ， 只 能 说 明 在 t o , t o + a t 这 段 时 间 内 动 点 运 动 的 平 均 快 慢 程 度 ， 而 不 能 说 明 在t o 这 一 瞬间 的 快 慢 程 度. 要 想 更 好 地说明 在t o 时 动点 运 动的 快 慢 程 度。 就 应 尽量 地 把o f 靠 近 零。 但 无 论e t 怎 样靠 近 零， 仍 然 不能 反 映to 时 的 情 况. 不 过， 当o f 愈 靠 近零， 就 愈 接 近t o 时的 情况. 因 此， 很自 然 地， 只 有 在a t e o 时 ， v 的 极 限 若 存 在 ， 记 为 , ( t o ) ， 即 : l im v 二 li m 竺= a l -0 如 果 a y 与a x 之 比 当 a x -+0 时 的 极 限 存 在 ， 则 称 函 数 y = f ( x ) 在 点 x o 处 可 导 ， 并 称 这 个 极 限 为 函 数 y = f ( x ) 在 点x o 处 的 导 数 ， 记 为 j l . ， 即 : 刃 _ _ 二 lim 竺一 lim 不 . ， 司r r 在 区 间( 一 二 ，) 内 连 续 ， 但 在 二 = 0 处 不 可 导 。 这 是 因为在x = 0 处有: f ( o + h ) 一 f ( 0 ) 二 h 派一 。 h li mh ti 0 f ( o + h ) 一 f ( 0 ) = h 一 1_ ht , ， 因 而 : lim 1 = + 00h- 0 h 即 导 数 为 无 穷 大( 注 意， 导 数 不 存 在) . 这 事 实 在图 形 中 表 现 为曲 线 y = 振在原 点0 具有垂直于x 轴的切线x = 0 “ 图3 . 3约 图 3 . 3 函 数 y = 振在 x = 。 处 不 可 导 ， 曲 线 夕 = 振在 x 二 。 处 的 切 线 为 二 = 。 3 . 1 ， 3 . 5导函数 3 . 1 . 3 . 1 讲 的 是 函 数 在 一 点 处 可 导 。 如 果 函 数 y = f ( x ) 在 开 区 间i 内 的 每 点 处 都 可 导 ， 就 称 函 数 a x ) 在 开 区 间i 内 可 导 。 这 时 ， 对 于 任 一 x e l ， 都 对 应 着 a x ) 的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 第三章 导数及 导数相关内 容 y 二 f ( . ) 的 导 函 数 ， 记 作 : y ， f (x l 率或 王 t 在导 数定 义式中 只要 把x o 换 成x ， 即 得导函 数的 定义式: 了 = ji m 导 数 值 f ( x o ) 也 称 为 .f 在 点 x = x n 处 的 边 际 函 数 值( 就 是 f (x ) 在 二 = x u 处 的 变 化 率 ， 它 表 示 a x ) 在 二 一 x u 处的变化速度) 。 3 . 1 . 7 . 2 f ( x o ) 的 具 体 化 的 具 体 化( 边 际 函 数 值的 经 济 意 义) 我 们 在3 . 1 . 3 . 3 中 已 经 讲 过 如 何 理 解 f ( x o ) ， 在 此 再 把 f ( x o ) 的 具 体 化 深 入一步，更具体化。 在 点 二 = x 0 处 ， 二 从 x o 改 变 一 个 单 位 ， y 相 应 改 变 的 真 值 应 为咧二 ( 当 a x = - 1 时， 标 志 着x 由 x u 减少 一 个单 位) . 州 公 - d y la = .f ( x ) 叫 。 = .f ( x o ) 这说 明 a x ) 在 点x = x o 处， 当 x 增 加 一 个 单 位 的 改 变 时 ， y 近 似改 变f ( x o ) 个单位。 在应用问题中解释边函数值的具体意义时我们略去 “ 近似”二字。这是因 为实际中a x 选得较小， 用d y 代替a y o 3 . 1 . 7 . 3边际 成本 设 某 产 品 成 本 函 数 为 c = c 回 ( c 为 总 成 本 ， q 为 产 量 ) ， 其 变 化 率c ( q ) 称 为 边 际 成 本。 c ( q o ) 称 为 产 量 为 q o 时 的 边 际 成 本 值。 根 据 3 . 1 . 7 . 2 知 ， a c i,., - c ( q o )10 . 这 说 明 c ( q ) 在 产 量 q = q o 时 ， 当 产 量 再 多 增 加 一 个 单 位 时 ， c ( q ) 改 变 c i ( q o ) 个 单 位 。 第三章 导数及导数相关内容 3 . 1 . 7 . 4 边际收入 设 某 产 品 的 销 售 量 为 q 时 的 收 入 函 数 为 r = r 位 ) ， 其 变 化 率r ( q ) 称 为 边 际 收 入 。r ( q o ) 称 为 销 量 为 q a 时 的 边 际 收 入 值 。 根 据 3 . 1 . 7 . 2 知 ， 训缈 二 双 助 这 说明 r 位 ) 在 销 量q = q o 时 ， 当 销 量再 多 增 加 一 个单 位时 ，r 位 ) 改 变 r ( q ) 个 单 位. 3 . 1 . 7 . 5边际利润 设 某 产 品 的 销 售 量 为 q 时 的 利 润 函 数 为 l = l 位 ) ( l ( q ) = r 留 ) 一 c 位 ) ) ， 其 变 化 率 l ( q ) 称 为 边 际 利 润 。 l ( q ) 称 为 销 量 为 q o 时 的 边 际 利 润 值 根 据 3 . 1 . 7 . 2 知 ， 叫袋二 l ( q . ) 这 说明 l 位 ) 在 销 量q = q o 时 ， 当 销 量再 多 增 加 一 个单 位时 ，l 位 ) 改 变 l ( q o ) 个 单 位. 例 3设某产品产量为q ( 单位:吨)时的总成本函数 ( 单位:元)为 c (q ) 二 1 0 0 0 + 7 q + 5 0 福 求 ( 1 ) 产量为1 0 0 吨时的总成本; ( 2 ) 产量为1 0 0 吨时的 平均成本; ( 3 ) 产量从1 0 0 吨增加到2 2 5 吨时，总成本的平均变化率; ( 4 ) 产量为1 0 0 吨时，总成本的变化率 ( 边际成本) 解:( 1 ) 产量为1 0 0 吨时的总 成本为: c ( 1 0 0 卜1 0 0 0 + 7 x 1 0 0 + 5 0 , 11-丽= 2 2 0 0 ( 元 ) ( 2 ) 产量为1 0 0 吨时的 平均成本为: 动0 0 ) = 二2 2( 元/ 吨) ( 3 )产量从1 0 0 吨增加到2 2 5 吨时，总成本的平均变化率为 c ( 2 2 5 ) 一 c ( 1 0 0 ) 2 2 5一1 0 0 - 3 3 2 5 - 2 2 0 0 9( 元 / 吨 ) 1 2 5 ( 4 )产量为1 0 0 吨时，总成本的变化率即边际成本为: 第三章 导数及导数相关内 容 c (100) 一 (1000 + 7 q + 50,1q- )ii 呱 、 9. 一 00 | 、.，1.j 一3=厂七 ，1了.子甘 + 7 尹r!、 - 该结论的经济意义是:当产量为 1 0 0吨时，再多生产一吨所增加的成本为 9 . 5 元. 例4设 某产品 的 需 求函 数为q = 1 0 0 - 5 p ， 求边际 收益函 数以 及q= 2 0 , 5 0 和7 0 时的边际收入。 解 : 由 “ = 10 0 一 5p ， 得 尸 = 奋 (10 0 一 q ) 收 入 函 数 为 : r (q ) = p 。 一 蚤 (10 “ 一 q ) q 边 际 收 益 函 数 “ : r (q ) = 奋 (10 0 - 2 q ) r ( 2 0 ) = 1 2 , r ( 5 0 ) = 0 . r ( 7 0 ) = 一 : 由所得结果可知，当销售量即需求量为2 0 个单位时，再增加销售可使总收 入增加，再多销售一个产品，总收入增加 1 2单位;当销售量为 5 0个单位时， 再增加销售收入不会再增加; 当销售量为7 0 个单位时， 再多销售一个单位产品， 反而会使总收入减少8 个单位。 此题中的收入函数之所以当销售量为5 0 个单位时，再增加销售收入也不会 再增加是因为， 当销售量为5 0 单位时， 收入函数已 达到最大值; 当销量不足5 0 单位时再增加销售，收入会增加:当销量超过5 0 单位时，再增加销售，收入反 而会减少。 q一5 一 0 习l 例 5已知某产品的需求函数为尸= 量为多少时总利润l 最大? 成本函数为c = 5 0 十 2 q， 求产 解 : 由 p 一 1 0 一 旦 ， 得 : 5 少-5 r ( q ) = p q = 1 0 q - 第三章 导数及导数相关内 容 根 据l 位 ) = r 位 ) 一 c ( q ) ， 得 : l (q ) = 一 誓 十 8 。 一 5 0 边 际 利 润 l (q ) 一 号 。 ， “ 令l 位 ) = 0 ， 得: q= 2 0 由 l ( 2 0 ) 1 , 需求变动的幅度大于价格变动的幅度。 此时，r 1 图3 . 6需 求弹性n 刻划总收益r 例4 设 某 商 品 需 求 函 数q = f 仓 ) = 1 2 ( 1 ) 求需求弹性函数; ( 2 ) 求p = 6 时的需求弹性: ( 3 ) 在p= 6 时，若价格上涨1 % .总收益增加还是减少?将变化百分之几? ( 4 ) p为何值时，总收益最大? 解 : ( 1 ) n ( p ) 最大的总收益是多少? p 二 二- x 2 4一尸 尸hmz - ， 勺l ( 2 ) x7 ( 6 ) = 2 4一6 3 ( 3 ) 办) = 工 1若价格上涨 1 % ，则总收益将增加。 下面求r增长的百分比，即求r的弹性. r = f ( p ) ( 1 一 ， ) r (6) = f (6) .i，一 3 1 = 9 x 号 一 第三章 导数及导数相关内 容 - 一 p 2 盆二1 1 p一， r ( 6 ) = 5 4 e r = r ,(6 ) .典= 6 x 三 t p ip . 6” r t 6 ) 5 4 二 二 一口 昌0 . 6 7 所以，当p = 6 时，价格上涨1 % ，总收益将增加0 . 6 7 % . ( 4 ) r = 1 2 一 p 令r = 0 ， 则p = 1 2 , r ( 1 2 ) = 7 2 所以，当p = 1 2 时总收益最大，最大总收益为7 2 . 第三节 相关变化率 要测量从地面垂直发射的火箭上升的速度有如下两种方案。 方案一:借助某些精巧且费钱的预防措施，在火箭下面的地面放置某类仪 器并从中读出速率 ( 即速度的绝对值)的读数。 方案二: 站在离发射点距离d 的地方并测量火箭的仰角9 的变化率可能会更 安全而且省很多钱。