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数学教案双曲线的几何性质 ?84双曲线的几何性质（第1课时） 课时目标 1熟悉双曲线的几何性质。 2能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。 3能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。 教学过程 情景设置 叙述椭圆的几何性质，并填写下表： 方程 性质 图像（略） 范围-axa，-byb 对称性对称轴、对称中心 顶点（a，0）、（b，0） 探索研究 1类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。 双曲线与椭圆的几何性质对比如下： 方程 性质 图像（略）（略） 范围-axa，-bybxa，或x-a，yR 对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心 顶点（a，0）、（b，0）（-a，0）、（a，0） 离心率0e=1 下面继续研究离心率的几何意义： （a、b、c、e关系：c2=a2+b2，e=1） 2。渐近线的发现与论证 根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能） 根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能） 通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。 我们能较为准确地画出曲线y=，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。 问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？ 引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出： y= 当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y= 与直线y=无限接近。 这使我们猜想直线y=为双曲线的渐近线。 直线y=恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=a，y=b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。 证法1：如图，设M（x0，y0）为第一象限内双曲线上的仍一点，则 y0=，M（x0，y0）到渐近线ay-bx=0的距离为： = 点M向远处运动，x0随着增大，MQ就逐渐减小，M点就无限接近于y= 故把y=叫做双曲线的渐近线。 3离心率的几何意义 e=，ca，e1由等式c2-a2=b2，可得= e越小（接近于1）越接近于0，双曲线开口越小（扁狭） e越大越大，双曲线开口越大（开阔） 4巩固练习 求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。 4x2-y2=44x2-y2=-4 已知双曲线的渐近线方程为x2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程 M（4，）M（4，） 知识应用与解题研究 例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m
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