（粒子物理与原子核物理专业论文）含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究.pdf

含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 研究生：霍云双指导教师：潘峰 学科专业：粒子物理与原子核物理( 核理论) 摘要：本文介绍了关于原子核含三体项的相互作用玻色子模型( i b m ) 过渡区情形在 s u ( 3 ) 基下的数值计算程序，程序编制及其应用利用该程序讨论了高阶项在i b m 模 型过渡区的作用研究了模型的一般变化规律和特殊情况分析了控制参量变化时模 型的量子相变行为，并以d y 核，e r 核，及o s 同位素进行了数值计算和分析 关键词。相互作用玻色子模型；数值计算；计算程序；c o n s i s t e n t - q 形式；量子相变； 三轴形变 s t u d yo nt r a n s i t i o n a lr e g i o no ft h ei n t e r a c t i n gb o s o n m o d e lw i t ht h et h r e e - b o d yt e r m m s cc a n d i d a t e ：h u oy 娜h u a n gs p e c i a l i t y ：n u c l e a rt h e o r ys u p e r v i s o r ：p a nf e n g 2 a b s t r a c t ：t h ei n t e r a c t i n gb o s o nm o d e l ( i b m ) i so n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n tm o d e l si nt h e o r yo f n u c l e a rs t r u c t u r e 。i n v e s t i g a t i o no np r o p e r t i e so ft h em o d e li so fi m p o r t a n c e 。i nt h i st h e s i s ，穗f o r t r a n c o d ef o rn u m e r i c a lc o m p u t a t i o no ft h em a t r i xe l e m e n t si nt h es u ( 3 ) s y m m e t r y - a d a p t e db a s i sf o r t h ei b mw i t ht h r e e - b o d yt e r mi sg i v e n i nv i r t u eo ft h ep r o g r a m t h er e l a t i o nb e t w e e nt h em o d e l h a m i l t o n i a na n dt h ef o r m e rt r i a x i a lr o t o rm o d e l ，t r i a x i a ld e f o r m a t i o na n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n b e h a v i o r si nt r a n s i t i o n a lr e 西o na r es t u d i e di nd e t a i l r e s u l t sw i t hr e s p e c tt ob o t ho v e r a l la n ds p e c i a l s i t u a t i o n so ft h em o d e la r ed i s c u s s e d q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n a lb e h a v i o ru n d e rv a r i e t yo fp a r a m e t e r s i t u a t i o n si sa l s os t u d i e d m o s ti m p o r t a n t l y , i ti sf o u n dt h a tt r a n s i t i o n a lb e h a v i o ro fe x c i t e ds t a t e s a r em o r ec o m p l i c a t e d d y , e r ，a n do si s o t o p e sa r et a k e na se x a m p l e si ni l l u s t r a t i n gt h er e s u l t s k e yw o r d s ：t h ei n t e r a c t i n gb o s o nm o d e l ( r a m ) ；n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ；c o m p u t a t i o nc o d e s ； c o n s i s t e n t - qh a m i l t o n i a n ；q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ；t r i a x i a ld e f o r m a t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中 除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成 果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声 明并表示谢意 学位敝作者娣物承日期：州3 - 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文 授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的学位论文在解密 后使用本授权书 学位论文作者签名： ， 指导教师签名： 日 第一章引言 l 。1 原子核的相互作用玻色子模型 实验指出，原予核除了具有单个核子所反映的特征外，还有若干核子共同参与 的集体运动性质，龙其是核外粒子数偏离幻数较多时集体运动就更势显著。b o h r 和 m o t t l e s o n 1 1 利用几何模型解释了原子核的集体运动几何模型假设偶偶核是一个具有 一定几何形状的实体，这种形状可以在空间作转动和振动，并对转动和振动分别进行 处理。虽然凡何模型褥裂了很大成功，健也遏龚了不少匿难镶如o s - p t 及x e - b a 蕴域 的原子核，其核谱及叮跃迁根据几何模獭是很难处理的其原因是该区域核的转动和 振动有可比较的频率，因而这两种自由度有强烈的耦合而不能分开。实验上来看，从 典氆的振动区到转动区并没有明确的分界面因此，如能建立统一撼述原子核所有可 能集体运动的模型无疑是一个臣大的进步 a r i m a 和i a c h e l l o 乎1 9 7 5 年前后提出了耀互作用玻色子模型f i b m ) ，该模型描述了毒 s ( l = o ) 玻色子和d ( l = 2 ) 玻色子构成的体系，其中s 玻色子和d 玻色子之间具有相互作 用【捌实际上，高阶项的省略不是必要的，并在模型的发展中也逐渐给予了关漱，但忽 略商阶项确实大大降低了模銎晗密顿量的复杂程度。该模型不阕予其它模型的独特之 处主要是，体系中的玻色子总数恒定取为价核子数的一半该限制来源于假定了s 玻 色子和d 玻包子的自由度与球形壳模型基下l = 0 和l = 2 费米子对的激发直接关联，这 样玻色子数必定对应质子或中予近闭壳屡外价核子对的数西如果质子数或中子数低 于半满壳，就把玻色子计数为价核子对的数目，如果质子数或中子数超过半满壳，则 把玻色子计数为其空穴对的数鼹概括地说，i b m - i 理论的基础由下面五条假设构成 净，嘲( 1 ) 原子核的性质由满壳外的价核子决定，这与壳模型的假设是一致的；( 2 ) 对于 中重核，价核子和价中子分别占据不同的壳，因此，不考虑质子和中子之间的配对， 即认为同类核子之随分别两两配成角动蛩为0 的$ 对穰角动量力2 的d 对，并将核子 对近似地当作玻色子来处理；( 3 ) 不区分质子型玻色子和中子型玻色予；( 4 ) 把原子核 看成这样的全同玻色子体系；( 5 ) 小于半满壳时玻色子数按核子对的数目计算而大于 半满壳时玻色子数按空穴对数来计算经过上述对玻色子数和类登篱单的定义，以及 对它们之间可能的相互作用的复杂度的限制后，就可以利用8 和d 玻色子算符来构建 i b m i 中的物理量 实际上，用玻色子来描述原子核的集体运动在i b m 出现之前就有，比如f e s h b a c h 和 i a c h e l l o 用相互作用的玻色子来描述轻核性质【s ，剖但i b m 的玻色子参量与以前的玻色 子摸型吴有宪全不隧的物理意义。焉玻色于啥密顿量描述核表露的霉谐振四极振动， 取到四次项后为 裂= e o + 热l l ( 毋函2 + h 2 0 ( d t d t ) o o + h 3 0 ( ( d t d t ) 2 d t ) o o + h 2 1 ( ( d t d t ) 2 4 0 0 + h 耋o ( ( d t d t ) ( ) 8 ) ) 3 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 + 臻r 面3 + 矗玉( ( ) 8 。厕焉+ 矗c ( 1 1 1 ) 雌k 在i b m 以翦的玻色展开中一壹采愚 h l l h 2 0 h 3 0 h 2 1 h 4 0 h s l 一 勰( 1 1 2 ) f e s h b a c h 襄i a c h e l l o 用数值计算讨论了这个问题，遥过与实验的比较得到了 h n h 2 2 h 2 0 ，h z o ，h 4 0 ，h 2 1 ，h s l ，( 1 1 3 ) 郄p 西3 和p ) s ( 厕s 两顼是主要的，丽其它璎可以忽略。这个结暴意嚷着系统静玻 色子数是守恒的，这是与过去玻色展开工作完全不同的新概念新守恒量的存在揭示 了原子核具有一种潜在的对称性。由于原子核中核子数是一定的，因此在上述的玻色 展开近似中，扶玻色予数守僵出发，可把玻色子数与原子核的价核子数联系起来，这 就是i b m 的基本假设之一，即玻色子数等于价核子数之半在i b m 中就把玻色子看作 是价核子对臃，丽在过去的玻色展开中，是把核子空穴对看作玻色予，玻色予不携带 质量，而且玻色子数是无限的这样，i b m 和壳层模型就建立了内在联系关于i b m 的微观壳模型基础已经做了许多工作【8 | 于是，玲艇大大篱他了穰应豹核多体阕题，其哈密顿繁为 h = e o 十h n ( 矿西8 十( ( 扩一) ( 厕) 3 ， ( 1 1 4 ) 咒 其中的d 玻色子数显然是守恒量 i b m 的出现不仅与f e s h b a c h 和i a c h e l l o 的工作有关，而且与j a n s s e n ，j o l o s ，d 6 n a u 的工 作秘有很大关系。詹者建议用s u ( 6 ) 群来描述原予核的集体四极形交运动模式一般 来说，四极形变参量量子化后要用角动量为l = 2 的5 分量玻色子来描述，这些玻色子 算符可构造成f ( 5 ) 群的生成元s u ( 6 ) 结构假设揭示了薪的关联。随后a r i m a 和i a c h e l l o 把该假设赋予了新的数学形式溺在i b m 中，除了考虑l = 2 的5 种玻色子岁卜，由于核 予间有很强的对关联，还考虑了l = 0 的玻色子引进该新变量是i b m 的又一特点，即 i b m 把标量对关联( 萼| 入l = 0 的s 玻色子) 秘四极对关联( 引入l = 2 的d 玻色子) 慝 时处理模獭引进( 6 ) 对称性并揭示了与核子配对 1 0 1 效应的本质联系 简单地说，i b m 的基本思想强调了原子核中核子的配对效应，假设偶偶核包含有 一个不活泼的核实( 双满壳) 和偶数个价核子；这些价核子配成角动蛩为0 和2 的对； 并且把这些对看成作是玻色子，其中l = 0 的对是$ 玻色子，l = 2 的对是d 玻色子( 图 l 。1 ) ，劳且这监玻色子之间有相互作用 这样i b m 的哈密顿量就可用这六种玻色子算符来构造从群论的角度来肴，该哈 密顿量可用u ( 6 ) 群的生成元来表达。从群结构角度分解( 6 ) 群，由于描述核体系的哈 密顿量必须是转动不变酶，医此系统豹不变对称代数为s o ( 3 ) 。及覆秽( 6 ) 群到转动o 3 ) 群约化的三条群链【1 1 l ； 2 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 白t 一王絮2 8 鬈j l 卜静静叫叫一z 嚣。 图1 1耜互律辫璇色子模登巾的组态矿舻 v ( 6 ) du ( 5 ) 3o ( 5 ) ) s o c 3 ) ) ，s d ( 2 ) ； u ( 6 ) ds u ( 3 ) 38 0 ( 3 ) ds 移( 2 ) ； v ( 6 ) d0 ( 6 ) 3o ( 5 ) ) s o ( 3 ) ) s o ( 2 ) ， 分别为u ( 5 ) 极限，8 0 ( 3 ) 极限秘0 ( 6 ) 极限。在每个极限下，原则上可利用群表示论来 解析地计算模型中的所有物理基i b m 的三种极限在几何模型中可以找到与其对应的 物理特征，即 移( 5 ) 极限一咒何模氆审的非篱谐振动； s o ( 3 ) 极限一轴对称变形核的转动； o ( 6 ) 极限一v 不稳定变形核的集体运动 这也就是说，球形核的振动与u ( 5 ) 对称性裰关；7 不稳定运动与0 ( 6 ) 对耪罐糯关；嚣 轴对称扁长椭球核的转动谱与s u ( 3 ) 对称性相关三种极限的典型能谱见图1 2 - 1 4 豳1 2s t r ( 3 ) 极限的典毽能谱 以上筒单分绍了i b m 的基本思想耪数学基础总酶说来，i b m 的主要优点是( 1 ) 存 在精确可解的极限情形，从而在这些极限情况下能解析地计算模型中的物理观测量； ( 2 ) 建立了与其它模型的联系，使我们能更完整地理解原子核的各种结构和性质；( 3 ) 把各种不丽的集体激发模式统一在一个框榘中，使我们讨论原子棱缕构的规律成为可 能总之，i b m 弥补了以前模氆的不足之处，尤其是提供了与壳层模型和几何模型的 3 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 妻 塞2 l l l l 0 匿1 3 v ( 5 ) 壤聚酶典爨能港。 纸 暾i o l 藏i i l t l b l 钝 嚣k 纛k 薹。垂乙 6 l 4 l 3 三- 兰捧 o 疆。i f 6 ，蛰鞭妨屯玲伍o ) 取o ) 靠逸蔓寡公 霉l 救 ： n ： 6 + - 4 + - - - 3 * - , 静绺 瓣 图1 4 d ( 6 ) 极限的典越能谱 关联，也加深了我们对核多体问题的理解 重2核结构的规簧g 性和量子捆 如前所述，i b m 的哈密顿量可用v ( 6 ) 的生成元来构造，并有三种动力学极限在 每秘摄限下模型都有鳃析髂。拶( 5 ) 极限描述球形核盼振动激发；s u ( 3 ) 极限搬庶长椭 球形核的转动激发；0 ( 6 ) 极限描述，y 不稳定核的激发模式然而在实际情况中能用三 种极限来描述的原子核是很少的由于核的振动和转动有很强的耦会，不同的激发模 式就需要同时考虑。 当调整系统哈密顿量的参数时，可从一种对称性极限连续变化到另一种对称j 陛极 限这时整个参数空阏可形象地表为一条壹线，这个参数空闯称为过渡区。可以看出 动力学对称性极限是过渡区中参数取特殊值的情形，对应该直线的两个端点，所以系 统在整个过渡区的结构更具有普遍意义过渡区的概念可作一般性推广。设体系的动 力学对称群为g ，在该群下参数所覆盖的整个区域统称为过渡区在攘互作用玻色子模 型中，三种极限之同或者其中两种极限之问对应的就是过渡区情形因此一般可划分 4 ；，蠢 囊八 蝴盆矿锄 ，。p一一 挈豁 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 势四个过渡区【t 2 l u ( 5 ) + ，s u ( 3 )( j ) ； 船? 一。? 婴啵1 ) 0 ( 6 ) 一u ( 5 ) ( i i i ) ； 整个参数空间( i v ) 人们通过对实验数据的拟含，找到了与过渡医情形穗符合的大繁核素数值拟合 发现，当原子核处于一个主壳的开始时价核子数较少，为球型的振动核，因此对应于 u ( 5 ) 极限点附近；处予壳中阉的原子核价核子数较多，并且出现了明显的转动谱，匿此 对应s u ( 3 ) 极限点附近；主壳末尾的原子核主要为1 不稳定的核，因此对应0 ( 6 ) 极限点 附近从一个主壳开始到下个主壳结束，基本遵循着u ( 5 ) - - - - 4s u ( 3 ) + 0 ( 6 ) u ( 5 ) 酶变纯规律。僵大部分核素并不能用极限情形来撼述，所以研究模越晗密顿墅的过渡 区结构就很重要其中p a n 等曾利用s u ( i ，1 ) 型无穷维李代数方法结合b e t h e 假定得到 了i b m 在o ( 6 ) 一u ( 5 ) 过渡区的严格解f 1 3 l ，并将这一技术推广到更为酱遍的u ( 2 1 + 2 ) 代 数模型情形，使模型在u ( 2 1 + 1 ) 一o ( 2 t + 2 ) 过渡区成为严格可解区。然丽模型在过渡区 一般没有严格解而只能通过矩阵对角化得到数值解普遍的做法是，将系统哈密顿量 在饪一动力学对称性极限的完备基底下对角化，从而褥到相应的能谱和波函数这样 就可进一步分析过渡区的结构和物理特征本文的主要工作就是通过数值计算方法来 求解模型，并分析模型特殊过渡区的量子相变行为和特征 近年来，对予核结构的规则惶研究与核系统的量子穗交【h ，t 萄行为是粳联系的基 前，量子相变在物理学的各个领域已引起了普遍关注由零温量子涨落所引起的宏观 和介观系统的相变规律和临界现象促使当今的理论物理学家们不断发展新的方法和概 念来解释所遇妥的新闻遂1 1 6 j + 量子相变描述的是零温时多体系统基态的结构随着控制参量的变化而发生的突变 行为，这是一种与量子涨落穗关的态结构褶变通常假定体系的哈密顿量可表为【玎，t 8 l 醑( a ) = ( 1 一a ) h ( 0 ) 十a h ( 1 ) ，( 1 2 2 ) 其中谬( 眩髹( 1 x 0 ，a 忿1 l 为啥密顿量盼藕合参数，也称为控裁参量，丽h ( 0 ) 释h ( i ) 分别表示体系处于两种不同相时所对应的哈密顿最令e o ( a ) 为体系基态的能量，如 果玩( a ) 对a 的第阶的导数在a = a 。处不连续，就称体系在该处发生了阶相变。由 于原子核是一个介观系统【捌，尽管其量子楣变行为类似于樱应宏观体系的一阶和二阶 相变，但依然在许多方面与宏观量子相变不同一方面，从其宏观对应来看，宏观体 系的量子相变发生在无穷多粒子情形尝量子裾交发生时，系统的一些序参量会出现 奇异性正是通过这麓奇异性的不同行为来区分褶变方式的但原子核是一个粒子数 有限的体系，粒子数无穷大时的奇异性难以体现随然仍熊再现量子相变的过程，但 出于系统粒子数的有限性使系统基态熊麓随控制参量酶变化变得较为光滑。对这种有 限粒子数效应以及大极限对应i ”一9 1 融做了比较详细的研究 5 含三体项相互作用玻色于模型的过渡区研究 另一方面，介麓体系有着由已独有的特点，比如不但可以考虑基态，还可以考虑激 发态以及相应的各种跃迁性质等，从而使介观系统量子相变的内容变得更加丰富如 果贪混系统存在量子摆变，在较小酶控制参数改变下会引起这些旁参量较大盼变化 量子相变在不同量子体系中的具体物理特征是不同的在i b m 中，通常所指的量 子相变主要表现为原予核的形状相变f 。o 棚副。由于i b m 中的三种动力学对称性极限分别 对应三种集体运动模式，每一种模式的基态形状是不同的从一种极限过渡到另一种 极限，对应着从一种几何形状变到另一种形状这时，只要认为( 1 2 2 ) 式中( o ) ，h ( 1 ) 分别表示不同动力学对称性极限所对应的哈密顿繁，则露就是过渡区的哈密顿量 这祥，就可通过讨论各极限闻的过渡区来分析原子核不阿几何形状的相变问题 i b m 中对核的形状量子相变描述已有了结论，即在相干态的形式下( 对应大极 黟，汐( 5 ) 一s u ( 3 ) 过渡区是一阶裙变，一渤是二阶相交，露s 移( 3 ) ( 6 ) 没有 相变发生只考虑u ( 5 ) 极限，s u ( 3 ) 极限和0 ( 6 ) 极限的相图称为c a s t e n 三角( 图1 5 ) u s 8 s u 3 l 图l 。5 c a s t e n 三角，a 点标志( 5 ) - ，o ( 6 ) 的：阶临界点，b 点标卷，( 5 ) - ，s u ( 3 ) ) 的一阶l i 笛界点( 由 予凑蔽效应蔽势令，l 、豹嚣阕) 近几年，i a c h e l l o 利用几何模型对基态原子核相变的研究扩展了c a s t e n 三角形，不 但在拶5 ) _ s u ( 3 ) 相交区找到了形状共存阳，还弓l 入了薪露临赛点对称性：露( 酗，x ， y ( 5 ) 扩展的i b m 对称性及其相变的关系见图1 6 图1 6 中，四面体的顶点表示各种 极限对称性，其中( 5 ) ，s u ( 3 ) ，0 ( 6 ) 分别对应球形，定轴转动长椭球，乍不稳定形状， s 4 u ( 3 ) 即丽彳两对应扁椭球形交，e ( 鄙，x ( 5 ) 和r ( 5 ) 是楣应顶点极限对称性之闻的临界 点 2 s - 27 1 j o l i e 对e ( 5 ) 的研究表明 2 8 , 2 9 i ，这是一个三相共存点( t r i p l ep o i n t ) ，即球形，扁 椭球程长椭球三种形状共存，类似于水的气，液和固三相共存f 3 0 l 。此外，b o n a t s o s 等人 预言在长椭球与扁椭球形状相变临界点附近的原予核还可熊具有z ( 5 ) 对称性劁理论 上发现形状共存和各种临界点对称性之后，很快就在实验上找到了对应的原子核如 1 5 2 踟；可能有形状共存现象 3 2 3 5 1 ；与e ( 5 ) 对称性对应的愿子核l 嚣，3 6 一矧有1 3 4 b a ，均s 磁 1 3 0 x e 等；与x ( 5 ) 对称性对应的原子核有1 5 2 s r n ，1 5 4 g d ，1 5 6 d y 和其它n = 9 0 的阔中子素 8 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 链，但也不阍的观点认为，x ( 5 ) 不能很好建描述t s 。s _ m 的性质。最可麓具有y ( 5 ) 对称 性的原子核为- 6 6 ，1 6 8 e r 等，与z ( 5 ) 对称性相对应的原子核是的4 p 等同时在实验 土也牙始寻找沿着耜变轨迹演化的各种网位素链泌一捌。蕊关于临界点秘三相点等性质 的研究也逐渐展开i 4 l ，并提出了多个标志相变的可观测量 o ( 6 ) s u ( 3 ) 匿1 6推广懿c a g t e n 霆瓣裕，冀孛惫禽了v ( 3 箨i 雨 总之，核结构的规则性体现了丰富多彩的内涵通过数值计算从i b m 的整个参数 空阕来讨论原子核的形状交化程量子楣变哥进一步加深我船对核结构的理解，这也是 本文的主要目的 1 3 本文目的和安排 由于对i b m 整个参数空间过渡区行为的研究要依靠数值计算，本文将酋先阐述 s u ( 3 ) 基底下模型的数值计算程序设计原理和方法。运用该程序对i b m 中较一般的 c o n s i s t e n t - q 哈密顿量进行了分析，并讨论所遇到的普遍性问题 本文安嚣 如下，第二章阚述计算程序设计的基本原理秘具俸方案；第三章讨论模 型的量子相变分析；第四章对实际核素的物理观测量进行了拟合并与实验结果进行比 较；第五章给出结论和展望 7 第二章数值计算程序 2 1计算程序设计的基本原则 相互作用玻色子模型的一个主要的优点是，在许多重要的特殊情况( 如各种极限) 下有解析解解析解能使我们清晰地理解模型的物理本质并可简化计算过程另外， 每一种极限情形也为我们提供了模型的一组完备基底，并可选用于模型哈密顿量的数 值求解本文采用模型的s u ( 3 ) 极限波函数作为一组完备基 w i g n e r 关于群表示的工作【4 2 】和r a c a h 的张量算符代数理论是i b mu ( 6 ) 模型计算 的基本工具1 4 3 在所选定的s u ( 3 ) 基底下，物理量算符就要表示为s u ( 3 ) 不可约张量 的形式由于体系是s 0 ( 3 ) 不变的，物理量算符张量的各分量也是s 0 ( 3 ) 不可约张量 在计算中引入二次量子化形式是方便的引入s 和d 玻色子的产生( s t ，d ：1 ) 和湮灭 ( s ，叱) 算符，其中p = 0 ，士1 ，士2 这些算符满足玻色型对易关系并且经常一起标记为 6 m ( l = 0 ，2 ) 根据群表示论1 4 4 1 ，产生算符6 j m 按照s o ( 3 ) 的z 阶张量变换由于协变性 的要求，引入新的湮灭算符瓦。= ( 一) + m 轨，一。，即五= ( 一) p d p ，i = 5 ，它们也构成s 0 ( 3 ) 的z 阶不可约张量 在二次量子化形式下，模型中包含单体和两体相互作用哈密顿量的一般形式可写 为 = 岛( s t 习+ e d d t 孑+ 专( 2 + 1 ) 1 2 c l 【矿】( l ) 【彳x 司( l 】o ) l 三而，4 + ( 1 、压) 谠矿矿】2 ) d x 司( 2 + p s t 】( 2 ) 【孑厕( 2 】( o ) + 去诜【一xd t j ( o ) f 司( o + 【s s 】( o ) 【孑厕( o 】( o ) + u 2 d t s 】( 2 ) 【孑司2 + 去“o 【s tx8 t 】o ) 【虿司( o 】( o ! ( 2 1 1 ) 该哈密顿量有九个参数，其中单体项有两个参数，两体项有c l ( l = 0 ，2 ，4 ) ，诜( l ： 0 ，2 ) ，及u l ( l = 0 ，2 ) 七个参数但由于系统的玻色子总数是守恒量，n = n 。+ 经 过变换，( 2 1 1 ) 还可写成仅包含六个参数f ：】的形式 在s u ( 3 ) 下，s ，d 玻色子的产生算符张成了s u ( 3 ) 的六维( a ，p ) = ( 2 ，0 ) 不可约张 量，标记为a ( 2 0 ) ，相应的湮灭算符构成共轭张量b ( 0 2 ) ，其中 。弩篇，手2 甜2 1 ， ( 2 地) 如= a 舞，蔬= b 卿( 0 2 p 叫 将玻色子产生算符的次张量作用到玻色子真空态上就可生成u ( 6 ) 群完全对称 不可约表示的基底，其中必然包含s u ( 3 ) 的( 2 ，o ) 表示的n 次直积表示【4 引，即 q = ( n 1 ，n 2 ，n 3 ) i2 n = n l + n 2 + n 3 ，1 1 n 2 n 3 o ， 8 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 其中为整数因此s u ( 3 ) 的不可约表示是( a ，弘) = 溆l 一张2 ，n 2 一- 3 ) 可觅在u ( 6 ) 的对 称表示 n 】中每一个s u ( 3 ) 表示在约化中仅出现一次但s u ( 3 ) s o ( 3 ) 不是简单可约 的。e l l i o t t 给出了该约化的重复度公式并且用内察角动量的三分量量子数k 来区分线 性独立的分量【稻 但这样构造出的e l l i o t t 基底不正交，为了方便，可使用g r a m - s c h m i d t 正交化方法构造出正交基， i ( a ，p ) x o l m ) ，其中x o 是重复度指标，称为v e r g a d o s 基【绷 但v e r g a d o s 基对重复度指标x o 不正交，所驭本文将采用s u ( 3 ) 的d r a a y e r - a k i y a m a 基， 该基底对重复度指标是正交的汹，删 张量代数方法的主要优点在于可利用w i g n e r - e c k a r t 定理。考虑个s u ( 3 ) 的张量算 符? 邸) ，其中( q 国标记s u ( 3 ) 的不可约张量该张量在s o ( 3 ) 下可标记为曩爹，其中x 是d r a a y e r - a k i y a m a 重复度指标。这样普通的双线s o ( 3 ) 约化矩阵元可通过s u ( 3 ) ) s o ( 3 ) w i g n e r 系数和三线的s u ( 3 ) 约化矩阵元表凄嘲， ( ( a b _ b ) x b l bl | 笋i i ( 扎) 工。) = 瑟丽( ( k 斑) ；( x 互| | ( 支b p b ) x b l b ( 起鳓) i i i ? 邸i i i ( k 勉) 尹， ( 2 。1 。4 ) p 其中( ( a 。肛。) x 口l 。；( a z ) x li i ( a b p b ) x b l b ) p 是关于直积约化( k ) o ( q p ) 【( a b d 6 ) 的s u ( 3 ) ) s o ( 3 ) w i g n e r 系数。由于张量积芦。) 9 ( a 力约化孛可能出现多个( a b 弘b ) ，所以引入了外 积重复度指标p ，其中所要用到的s u ( 3 ) ) s o ( 3 ) w i g n e r 系数由d r a a y e r 和a k i y a m a 的计 算程序f a s ，4 9 1 提供并作为本文计算程序的子程序产生与湮灭算符的五次型构成的u ( 6 ) 代数算符爵麾s u ( 3 ) 的不可约张量表出由于s u ( 3 ) 的直积 ( 2 ，0 ) 固( 0 ，2 ) 一( 0 ，0 ) o ( 1 ，1 ) o ( 2 ，2 ) ，( 2 1 5 ) 所以要涉及到三类s u ( 3 ) 不可约张量1 5 1 1 ， 府= 、信m ( 2 0 ) b ( 0 2 ) 1 ( 0 0 1 ， ( 1 = 压孬泌2 0 x 磐( 鼍( 1 n ， 2 1 ， 秽2 2 ) = 弱m ( 2 0 ) 8 ( 0 2 ) 】2 甜， 其中( 0 ，0 ) 张量为粒子数算符 露= i + 磊( 2 1 7 ) ( 1 , 1 ) 张量张成s u ( 3 ) 的八维表示，具有角动量l = i 和l = 2 两部分，矢量部分就是角动 量算符本身，四极张量与四极矩算符成正比关系， c i ”= l 一俪厕l ， 麝 西i 蛰= 善酌2 一丢弼 泌司2 + s t i 。一 d tx 叠2 ； ( 2 1 8 ) ( 2 ，2 ) 张量是一个2 7 维张量，对于转动群来说，包含一个标量分量，两个四极分量，一 个八极分量，及一个十六极分基，其中的掭量部分为 v d ( 1 2 0 2 ) 一d t 彳一5 s t 玩( 2 1 9 ) 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 蠢诧标量部分决定了d 玻色子数 八极部分为 十六投部分为 蔼个霆板矩部分茭 和 璐= 再5 。d 。- 否1 。r 、l ( 2 。2 ) ； d 。( 2 。2 一一俪透3 ； d ( 2 ，2 ) 一俪p 汛； ( 2 。1 1 0 ) ( 2 1 1 2 ) 。( 1 2 2 2 ) = 届 _ 2 p 嘞+ f 8 t 国2 一；渺弧 ( 2 1 1 3 ) 赡= 循 p 嘞螂t 蕊2 十2 c d * 聃 ( 2 1 1 4 ) 在数值计算时这监算符菲常重要。在计算中，任何物理量算符都用以上算符来表 示，然后在程序编制中进一步应用展开式( 2 1 4 ) 。 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 2 2计算程序设计的具体方案 早在1 9 7 9 年左右，s c h o l t c n 就曾经编制了用于计算一般i b m 哈密顿量( 2 1 1 ) 的 p h i n t 计算程序i s 2 l ，该程痔在1 9 8 2 年得到了进一步的改进。稍后，o t s u k a 秘y o s h i d a 还 针对区分质子和中子的i b m - i i 编制了n p b o s 程序【5 3 】但p h i n t 和n p b o s 计算程序能 处理的玻色子数均在一1 5 左右，因此很难用于讨论模型的量子相变规律，丽且这些 计算程序均未公开发表为了讨论i b m 的量子相变规律，我们将选取能够充分反应该 规律的c o n s i s t e n t q 模狸哈密顿量，并针对该模型哈密顿量编制相应的计算程序 本文的计算程序按照f o r t r a n 9 5 编铡，为鲁壶格式，本文中的计算过程全部在c o m p a q v i s u a lf o r t r a n 上完成完整的程序分为主程序和子程序两部分，主要计算过程编制在 予程序中图1 1 给出子程序调用示意图，其中右樵中为主程序，中框中为主程序直接 谖用的子程序为方便，称为i 类子程序) ，左框中是i 类予程序调溺的子程序( 称为 i i 类子程序) ，这是最基本的程序块下面从最基本的i i 类子程序开始来逐个说明程 序。 2 2 1i i 类子程序 i i m a l n 缀2 1 卷譬溪震夔示爱灏，a - ，b 童表a 被b 键焉。 s u ( 3 ) 张量算符在s u ( 3 ) 极限基底下的矩阵元可根据( 2 1 4 ) 式用s u ( 3 ) d s o ( 3 ) 的 w i g n e r 系数和s u ( 3 ) 约化矩阵元展开这也是程序设计的基础 i i 类子程序为计算 s u ( 3 ) d s o ( 3 ) 的w i g n e r 系数和计算s u ( 3 ) 约佬短阵元两部分。在程序的设计中规定左 矢的量子数用3 标记，右矢的缎子数用2 标记 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 ( 1 ) s u ( s ) 3s o ( 3 ) w i g n e r 系数予程序w u 3 r 3 w 。 该子程序由d r a a y e r 和a k i y a m a 给出 a s t 4 9 在程序中s u ( 3 ) ) s o ( 3 ) w i g n e r 系数标记 为 ( ( 1 m 2 ，m u 2 ) k 2 l 2 ；( i m l ，m u l ) k l l l h ( i m 3 ，m u 3 ) k 3 l 3 ) ，( 2 2 1 ) 其中( i r a ，m , o 三是s u ( 3 ) 不可约表示的标记，纛是角动爨量子数，惫是s v ( 3 ) ls o ( a ) 的约化重复度指标该子程序命名为 w u 3 r 3 w ( 1 m 2 ，m u 2 ，l m l ，m u l ，i r a 3 ，m u 3 ，l 2 ，l 1 ，鹋，k o m a x ，k 2 m a x ，k l m a x ，k 3 m a x ，d v a t u ) ，( 2 2 。2 ) 其中输入量为i m 2 ，m u 2 ，i m l ，m u l ，i r a 3 ，m u 3 ，l 2 ，l 1 ，l 3 ，输出量为k o m a x ，k 2 m k l m a x ， k 3 m a x ，d v a l u 需要注意的是，在输入量中没有给出s u ( 3 ) 上s o ( 3 ) 的约化重复度，但输出 量审给出了该量，并用k 2 m a x ，k l m a x ，k 3 m a x 标记其中k 2 m a x 是( 1 m 2 ，m u 2 ) 约化到l 1 的重复度，k l m a x 是( 1 m l ，m u l ) 约化到五1 的重复度，k 2 m a x 是( 1 m 2 ，m u 2 ) 约化到l 2 的 重复度在盏积( 1 m l ，m u l ) ( 1 m 2 ，m u 2 ) ( 1 m 3 ，m u 3 ) 约化中的外积重复度月k o m a x 标记 该予程序同时输出了与l m 2 ，m u 2 ，i m l ，m u l ，i m 3 ，m u 3 ，l 2 ，l 1 ，l 3 相应的k o m a 。k 2 m n z k l m a xxk 3 m a x 个s u ( 3 ) ) s 0 ( 3 ) w i g n e r 系数并存放在数组d v a l u 中更详细的内容可见 文献泌，4 9 l ( 2 ) s v ( 3 ) 约化矩阵元予程序r e d u m a t r i x l 和r e d u m a t r i x 2 s u ( 3 ) 约化矩阵元酶数学表达式取基文献【5 l l ，本文所需要的约化矩阵元包括d t t ) 和d ( 。) 的约化矩阵元两部分 c ( 1 1 ) 的约化矩阵元为 ( ，) l l l c 1 1 | | | ( a ，弘) ) 户一如，1 氐，) 。队肛) ( 一f 2 c 2 ( a ，弘) 】1 2 ，( 2 2 3 ) 其中 国( 气p ) = 兰( a 2 + 弘2 矩+ 3 a + 舡) 2 2 4 ) 为s u ( 3 ) 的c a s i m i r 的本征值，根据d r a a y e r 和a k i y a m a 相规约，妒一+ 1 。d ( 2 2 ) 约化 矩阵元的表达式觅表2 1 ，程痔中所对应的约化矩阵元为 【1 ( f m 3 ，m u 3 ) l l l t ( , - z , ”1 ) l l l n l ( 1 m 2 ，m u 2 ) ) ， 其中t ( 1 m 2 , m u 2 ) 为d 1 ，1 ) 或d ：，钠，n 为玻色子数穗应的子程序标记为 ( 2 2 5 ) r e d 乱m 口打切l ( ，z m l ，m t 正l ，? m 2 ，竹l 乱2 ，f m 3 ，m 让3 ，冗e d t 正1 ，觑砒2 , r e d u 3 ) ( a ) ， ( 2 。2 6 ) r e d u m a t r i x 2 ( n , i m l ，m u l ，i r a 2 ，m u 2 ，l m 3 ，m u 3 ，r e d u l ，r e d u 2 ，r e d u 3 ) ( 劭， 其中( a ) 对应c ( 1 ，1 ) 约化矩阵元，( b ) 对应d ( 2 ，2 ) 约化矩阵元 1 2 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 表2 1 a 矧( 2 2 ) 的s v ( 3 ) 约化矩阵元 无重复度，p = 1 d i m ( a , ) 【明涔，潮陋x 翻( 2 2 溯泌l ( 久，弘) 庐l p 壮l = 卜t + ：! ( 2 n - a + p + 9 6 ) ( 2 n - a - 2 p 帅+ 3 ) 钎】1 2 ：三：吾【( 2 一十+ 9 ) ( 2 n - - a - 2 # ) ( + + 3 ) 垒静】v 2 ：三：- 。1 。1 委( 2 n + 2 x + , + 1 2 ) ( 2 n - a - 2 p ) q + 2 ) 铷+ 2 ) 坠立篝铲】杉2 ：三：二：陋蚴w + 1 2 ) ( 州一一洲n 2 m + 2 ) 咩搿产】1 2 2 二三她帅删2 n - a + # + 3 ，c a + p + 3 ，p 臀 l 2 ：= 芦a - + 三瞎( 2 + 2 + + 1 2 ) ( 2 n - a + + 3 ) ( 十+ 3 ) 肛延静r 弦 ：2 ：2 0 ( 1 0 n 一4 舻+ 2 4 ) 【塑墨卷料! v 2 秘= 释 。 乏；。- ( 1 0 n + 4 a + 3 6 ) 端辩 l 2 有重复度 j ( a 7 ，p 7 ) i i i a b l ( 2 2 ) i i i n c , x ，p ) ) p = 天 谨= 协 p = 3 【2 n ( c 2 6 ) 一3 6 3 秭+ 6 q 】 = 爻 堪= 恤 p=2 一 嘉a ( a + 2 ) p ( 肛+ 2 ) 学鼎崤掣】1 2 誓= a p=1 其中q 兰；( a 2 + 矿+ 十3 a + 3 v ) ， c 3 麓( 2 a 3 + 3 a 2 p 一3 a # 2 2 p 3 + 9 a 2 9 p 2 + 9 a 一9 p ) ， d i | 黻( a 7 ) = ( + l ；+ 1 ) a 7 + + 2 ) 2 含三体项相互作用玻色子模型的过渡区研究 2 2 2l 荑子程序和生程序 i 类子程序调用i i 类子程序得到的计算结果将被主程序调用，从丽求得最后结果 本文所设计计算程序的主要目的是将所选定的晗密顿量在给定玻色子数的u ( 6 ) 全 对称表示下得到相应的能量矩阵元，将其对角化来确定能谱和相应的波函数，然后由 求得的波函数计算其它的物理量，例如b ( e 2 ) 等 由于i 类子程序和主程序是直接相关的，在这里需要对二者的设计过程同时说明 程序设计包括( i ) 选定哈密顿量的具体形式；( i i ) 将哈密顿撼按照s u ( 3 ) 不可约张量展 开；( i i i ) 导臻晗密顿基在s u ( 3 ) 基底下筒洁的矩阵元表式，埘旅据( | i i ) 中酶结果来编 制具体程序 ( a ) 锄矩