毕业设计（论文）-一阶微分方程的初等解法.doc

目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11 变量分离微分方程与变量代换11.1 变量分离方程11.2 可化为变量分离方程的类型22 线性微分方程与常数变易法53 恰当微分方程与积分因子83.1 恰当微分方程83.2 积分因子104 可解出y（或x）的方程的解法11 结论14致谢14参考文献14一阶微分方程的初等解法数学与应用数学专业学生 指导教师 摘要：主要对一阶微分方程的初等解法及其与若干应用进行了研究，把微分方程的求解问题化为积分问题，应用到实际中，用理论指导实践，由抽象总结出具体规律，加深对所学知识的理解.对于一般的一阶微分方程没有通用的初等解法，仅对若干能有初等解法的方程类型及求解的一般方法进行了调查，这是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.讨论的主要类型有：变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有：变量分离法和一阶线性方程的常数变易法关键词：变量微分方程 恰当微分方程 常数变易法 积分因子. The Elementary Solution of First-order Differential Equations Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Xiao ShanshanTutor Fen GuanghuiAbstract：Some related solutions of the first-order differential equations and its several applications are mainly discussed, through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice, from the abstract into concrete laws, so as to enhance the understanding of the knowledge.In most of the first order differential equations,there are not general elementary methods. Firstly the basic concept of differential equations are introduced .on such a basis,the solutions of the first-order differential equations are introduced including the main types such as variable and separable equations,the equations which can be translated into the variable and separable equations, homogeneous equations and the first-order linear differential equations.To solve such types of first-order differential equations, the methods can be used: variable separation and the constant variation of first-order linear differential equations Key words: separable equations；exact equations；constant variation；integrating factors引言 一阶微分方程的解法有很多，而且技巧性也很强，仅对一些简单的方法和其应用惊醒了研究.如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1 变量微分方程与变量代换变量分离微分方程是一种最简单也是最基本的可用初等方法求解的微分方程类型，对一般的微分方程总是设法寻求适当的变量代换，将其化为变量分离微分方程来求解1.1 变量分离微分方程形如 （1.1）的方程，称为变量分离微分方程，其中分别是的连续函数.如果，方程改写为： （1.2）如果是方程的解，且，则在解的定义域内满足 （1.3）两边积分得 （1.4）则是由隐函数方程 （1.5）所确定的函数，对一切允许值，都将是方程的解，即（1.5）实际给出了方程的通解公式.如果有实根（k=1,2,3，,m）,则可以验证（k=1，2,3，m）也能是方程的解.有时可以通过扩大常数C的取值范围，使其包含于通解表达式中.例 1求微分方程 的通解.解： 方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分 得 从而 又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程的通解1.2可化为变量分离方程的类型对于方程 （1）如果 ， 则称为齐次微分方程 作变量代换 ，则，于是从而 ，分离变量得 两端积分得 求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的通解.例2. 解： 原式可化为，令=，则 ，于是分离变量 两端积分得 即 故方程通解为 （2）形如 （1.6） 的方程称为线性分式方程，这里均为常数. 当时，方程（1.6）是齐次方程，当不全为零时，如何化为某种已知的可解类型？ 当的情形设，则方程可以写成 （1.7）令，方程就化为变量分离微分方程 （1.8） 当时解方程组 （1.9）设所求得的解为 作坐标平移变换 （1.10）将方程（1.6）变成齐次方程 （1.11）经过变换将方程（1.11）化为变量微分方程.求解所得变量微分方程后，逐步代回原来的变量，求得原方程的解例3求解方程 （1）解 解方程组 得 令代入方程（1），则有 （2） 再令 即 则（2）化为 两边积分，得 因此 记并代回原变量，就得 此外，易验证 即 也就是（2）的解.因此方程（1）的通解为 其中为任意的常数.2 线性微分方程与常数变易法我们把一阶线性方程通常写成其标准形式： （2.1）其中，为连续函数，当时，方程成为： （2.2）称方程（2.2）为方程（2.1）对应的齐次线性方程，而称（2.1）为非齐次线性方程.齐次线性方程（2.2）是变量分离微分方程，可求其通解为： （2.3）为了求（2.1）的解，设想用两个新的未知函数 的乘积表示原来的未知函数，即： （2.4）代入方程得 （2.5）将其整理得： （2.6）设为齐次方程的解，则方程变成 （2.7）这是一个变量分离微分方程，很容易求得其通解为; (2.8)最后得到非齐次线性方程的通解 （2.9）以上这种方法被称为常数变易法例 4求方程 的通解. 解: 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解 ， (1) ， （2） ， （3） 用常数变易法.把换成，即令 ， （4） 则有 ，代入（1）式中得，两端积分，得 .再代入（4）式即得所求方程通解.另解 我们可以直接应用（2.9）式得到方程的通解，其中， 代入积分同样可得方程通解，此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（2.9）式求解 形如 （2.10）的方程称为伯努利方程，将方程（2.10）两边同时除以，方程变成由于即关于y的导数恰好为的1-n（常数）倍，于是方程化为令伯努利方程化为了线性方程求得此线性方程的通解，代回原变量，就可得到伯努利方程的通解.此外，如果n0，则y=0显然也是伯努利方程的解例5 解： 这是n=3时的伯努利方程.两边同除以 得 令 = 由一阶线性方程的求解公式 =3 恰当微分方程与常数变易法恰当微分方程是另一种既简单又基本的可积方程类型，一般的方程可以通过求得其积分因子，乘以积分因子而化成全微分方程求解，这是一阶微分方程初等积分方法的第二种有效途径.31 恰当微分方程我们讨论一阶对称形方程 (3.1) 而且约定,在所考虑的单连通区域G都具有一阶连续偏导数.如果其左端恰好是一个恰当微分，即存在一个可微的二元函数，使得, （3.2）则称这个方程为恰当微分方程，称为左端恰当微分的一个原函数. 根据数学分析中关于线积分与路径无关的几个等价命题及全微分方程的定义，方程（3.1）为恰当微分方程的充分必要条件是：在所考虑的单连通区域G内有 （3.3）如果方程（3.2）是恰当微分方程，设是使得条件（3.3）成立的可微函数，则方程（3.2）就成为.设函数y=(x)是方程（3.2）的解，则 (3.4)从而 (3.5)这里C是某个常数.这表明，恰当微分方程（3.2）的解是由隐方程 (3.6)所确定的隐函数.反之，对于保证隐方程（3.6）有解的任意常数C，方程（3.6）确定的隐函数是则，于是 (3.7)这表明是恰当微分方程（3.2）的解.总而言之，恰当微分方程(3.2)的解是由隐函数方程（3.6）所确定的隐函数，反之由方程（3.6）所确定的隐函数也是必然是恰当微分方程(3.2)的解.求出方程(3.2)左端微分式的原函数成为解恰当微分方程的关键.利用与路径无关的线积分化为定积分求这个原函数的方法，不失一般性，取，有 （3.8）最后得到恰当微分方程(3.2)的通解为，这里C为任意常数.例 6求解 解： 令 ，则 此方程为恰当微分方程.于是通解为 32积分因子下面我们看这样一个简单的方程它显然不是恰当微分方程，但只要分别乘以下列因子方程就分别化为这些都是恰当微分方程，相应得到方程的通解分别为由此可见，非恰当微分方程可以通过乘以某个非零因子而化为全微分方程，并且这样的因子还不是唯一的，相应于方程乘以不同的这样的因子化成的全微分方程所得到的通解在形式上还可以是多样的.如果存在连续可微的函数使得 （3.9）成为一个恰当微分方程，则称为方程(3.2)的一个积分因子.显然，方程（3.9）与方程(3.2)是同解的.为了求方程(3.2)的积分因子，首先需了解作为方程(3.2)的因子所具备的条件.根据积分因子的定义及恰当微分方程的充要条件（3.3），为方程(3.2)的积分因子当且仅当即 （3.10）这意味着要求一般方程(3.2)的积分因子，需要一个一阶线性偏微分方程（3.10），这比解方程(3.2)本身反而困难得多.尽管如此，我们可以考虑求某些特殊形式的积分因子，以简化条件（3.10）使其求解成为可能.例7解：这里 方程有积分因子： 两边乘以得：方程为恰当方程故通解为 ：4可解出y或x的方程的解法 接着我们讨论一阶隐方程. 如果可以将从方程中解出，求解方程就归结到一个或几个显示微分方程的求解问题 1.首先讨论形如 （4.1）的方程的解法，这里假设函数有连续的偏导数. 引进参数，则（4.1）变为 （4.2）将（4.2）两边对x 求导数，并以代入，得到 （4.3）方程（4.3）是关于的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是我们可以按照前面的方法给出解.若已求得（4.3）的通解的形式为： ， （4.4） 代入（4.2）得 （4.5）若已求得（4.3）的通解的形式为： （4.6）则得到（4.1）的参数形式的通解为 （4.7）其中p为参数，c为任意常数.若已求得（4.3）的通解的形式为： （4.8）则得到（4.1）的参数形式的通解为： （4.9）其中p为参数，c为任意常数.例8解：令，则，从而 = ，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.2.形如： （4.10）的方程的求解方法与方程（4.1）的求解方法完全类似，这里假设函数有连续偏导数. 引进参数则（4.10）变为： （4.11）将式（4.11）两边对y 求导数，然后以代入，得到 （4.12）方程（1.44）是关于的一阶微分方程，但是它的导数已解出，可按照之前的方法求解.设求得通解为： （4.13）则（4.10）的通解为： （4.14）例9解：令，则， 从而， 于是求得方程参数形式得通解为结论 一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型致谢 本论文完成之际，我要由衷感谢刘爱晶老师在课题设计和论文写作上的悉心指导，同时对所有帮助过我们的老师和同学致以谢忱.参考文献：1