（凝聚态物理专业论文）准二维费米气体的玻色—爱因斯坦凝聚.pdf

a b s t r a c t ，n l ea c h i e v e m e n to fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nd i l u t ea l k a l ig a s e ss t i m u l a t e s p e o p l e sr e s e a r c h i n t e r e s ti nt h ef i e l do fu l t r a c o l da t o m s r e c e n t l y , s t u d i e so nt h e u l t r a c o l df e r m ig a sa t t r a c tv a s tf o c u sa n di n t e r e s t a l t h o u g ht w oi d e n t i c a lf e r m i o n sa r e n o ta l l o w e dt ob ei nt h es a m eq u a n t u ms t a t e t h ep a i r e d f e r m i o n sc a ns h o wt h e c h a r a c t e r i s t i c so fb o s o n s ，t h u st h ef e r m ic o n d e n s a t ei ss t i l lp o s s i b l e ，t h es i z eo ff e r m i o n p a i rh a ss i g n i f i c a n ti m p a c to nt h ec h a r a c t e r i s t i c so ff e r m ic o n d e n s a t e a tt h es a m et i m e ， t h er e s e a r c ho nu l t r a c o l df e r m ig a si sh e l p f u lt os o l v et h es t r o n gc o r r e l a t i o np r o b l e m s i n o t h e rf i e l d so fp h y s i c s ，s u c h a st h e p h y s i c a l m e c h a n i s mo fh i g ht e m p e r a t u r e s u p e r c o n d u c t i v i t y , a n di t i sa l s op o s s i b l et og i v es o m en e wi n s i g h t st oe x a m i n ea n d d e v e l o pt h ef u n d a m e n t a l so fq u a n t u mm e c h a n i c s f i r s t l y , t h i st h e s i sp r e s e n t st h ei n t r o d u c t i o nt ot h er e s e a r c hb a c k g r o u n do fa t o m i c b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，c o r r e s p o n d i n ge x p e r i m e n t a lt e c h n o l o g i e s a n dt h e g r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o nf o rt h e o r e t i c a ls t u d yo ft h es y s t e m ，t h ed i m e n s i o n a l i t y si m p a c t o nt h ee x i s t e n e eo fc o n d e n s a t ei sa n a ly s e da n dt h eg r o s s - p i t a e v s k i ie q u a t i o ni nq u a s i 2 d c o n d i t i o ni s d i s c u s s e d b yu s i n g c r a n k n i c o l s o ns c h e m e ，t h et i m e d e p e n d e n t g r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o ni ss o l v e dn u m e r i c a l l y i nc h a p t e r2 ，t h ef u n d a m e n t a li d e ao f m a g n e t i cf e s h b a c hr e s o n a n c ei si n t r o d u c e dw i t ht h ed e s c r i p t i o no ft h ee x p e r i m e n t so n f e n 】丽c o n d e n s a t e ，i e t h ei n t e r a t o m i ci n t e r a c t i o nc a nb et u n e db yt h ee x t e r n a lm a g n e t i c f i e l d t h e nt h e o r e t i c a lm o d e l sf o rt h eb c s b e cc r o s s o v e r a r ed i s c u s s e d 。i n e l l a p t e r3 ，t w oh a m i l t o n i a n su s e df o rt h ed e s c r i p t i o no fq u a s i - 2 db c s b e c c r o s s o v e ru n d e rt h em e a n f i e l d t r e a t m e n ta r ed i s c u s s e d u s i n gl o c a ld e n s i t y a p p r o x i m a t i o n ，t h ec l o u ds i z ea n dn u m b e rd e n s i t yo fq u a s i 一2 db c s b e c c r o s s o v e ra t e s t u d i e di nh a r m o n i c a l l yt r a p p e du l t r a c o l df e r m i o n i cg a s e s i nc h a p t e r4 ，t h ew h o l et h e s i si ss u m m a r i z e d ，a no u t l o o ko ft h ef u t u r es t u d yi s g i v e n k e yw o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ；q u a s i - 2 d ；f e r m i o nc o n d e n s a t e ； b c s b e cc r o s s o v e r i i 青岛大学硕士学位论文 l i i il l 1i i i i i ii l l l i iiii y 17 3 3 7 3 3 目录 摘要。i a b s t r a c t 。i i 弓i 言。1 第一章玻色一爱因斯坦凝聚简介2 1 1 玻色一爱因斯坦凝聚的原理2 1 2b e c 的实现。4 1 2 1 激光冷却和囚禁技术7 1 2 2 静磁阱技术7 1 2 3 蒸发冷却技术9 1 2 4b e c 的检测技术9 1 2 5b e c 研究的新进展9 1 3g r o s s - p it a e v s kii 方程1 1 1 4 准二维玻色一爱因斯坦凝聚一1 3 1 4 1 空问维数对b e c 的影响1 3 1 4 2 准二维条件下的g p 方程及数值求解1 8 第二章超冷费米气体研究的新进展2 l 2 1 简并费米气体2 l 2 2f e s h b a c h 共振2 3 2 3b c s - b e c 过渡过程2 8 第三章准二维费米气体b c s b e c 过渡区域性质的研究。3 2 3 1 单道模型3 2 3 2 双道模型3 4 3 3 结论。瓴3 8 第四章总结与展望。3 8 4 1 论文工作总结3 8 4 2 超冷原子领域的研究展望3 8 参考文献：4 0 攻读学位期间的研究成果4 3 致谢4 4 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明4 5 i 青岛人学硕+ 学位论文 引言 玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，简称b e c ) 是现代物理学的 热点研究课题，同时它是一类涉及物理学很多领域的普遍物理现象，从基础理论到 应用科学覆盖了原子分子物理、量子光学、统计物理和凝聚态物理等领域。人们对 b e c 的热力学性质、相干性质、动力学性质等已经做了大量的实验和理论研究工 作，极大地推动了人们对这一宏观量子客体的奇妙性质的认识。2 0 0 1 年，三位物理 学家由于实现气态碱金属原子的b e c 以及对其基本性质的先驱性研究工作荣获诺 贝尔物理学奖。 在超冷费米气体领域，人们利用磁场f e s h b a c h 共振技术，使用光阱中的两组分费 米气体在远低于费米温度的情况下实现了分子b e c 。随后又很快实现了费米原子对 的b c s 超流体，并对其进行了大量开拓性的研究。利用能够改变原子间散射长度的磁 场f e s h b a c h 共振，相互作用的超冷简并费米气体已经成为研究强关联体系的理想实 验对象，从而为理论上深入理解强关联的多体量子系统开辟了一个新的途径。通过人 为地改变磁场强度，b c s 超流体和分子b e c 之间的相互转换可以实现，这样就为 b c s b e c 过渡过程( b c s b e cc r o s s o v e r ) 提供了独特的研究平台。 青岛大学硕士学位论文 第一章玻色一爱因斯坦凝聚简介 1 1 玻色一爱因斯坦凝聚的原理 物质世界中的粒子可分为玻色子和费米子两种基本类型。玻色子的自旋为7 2 的 整数倍，满足玻色统计；而费米子的自旋为壳的半整数倍，满足费米统计。玻色子 和费米子截然不同的统计性质是物质世界多样化的根本原因之一。1 9 2 4 年，印度物 理学家玻色不依靠经典电动力学而是才用一种全新的统计方法推导了黑体辐射光 谱。非常遗憾的是他的这一工作并没有得到发表。后来他将论文寄给了爱因斯坦， 爱因斯坦非常重视这个工作，很快把它翻译成德文并予以发表。然后，爱因斯坦又 将玻色的统计思想推广到非相互作用的原子上，就得到我们熟悉的玻色一爱因斯坦 统计口，引。同时，爱因斯坦注意到满足玻色一爱因斯坦统计的量子化能级上的原子分 布会出现一种奇特的性质，即在非常低但却有限的温度下，大量原子将凝聚在最低 量子态上，这就是著名的玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，以后简 称b e c ) 。 b o s o n s ： i n t e g e rs p l n r e l 。mi o n s ： h ai f - i n t e g e r s p i n ， o e f e 栅 s p i nl s p i nt ( a )( b ) 图1 1 ( a ) 玻色子可以处在同一个单粒子态上，从而可以形成玻色一爱因斯坦凝聚体。( b ) 由 于费米统计，在任何单粒子态上，最多只能有一个费米子。对于理想费米气体，在零温极限下， 不同内部态的费米子紧密地一层层排布至费米能级。 首先从玻色统计的角度来简单的说明为什么会出现玻色一爱因斯坦凝聚，考虑 一个由个全同玻色子组成的无粒子间相互作用的系统，根据玻色统计，单粒子能 级毛上的平均粒子数氇满足 2 青岛大学硕士学位论文 以i ：士 l 一( 1 ) 强2 再巧 卜0 1 其中一伍口丁) - 1 ，k b 是玻尔兹曼( b o l t z m a n n ) 常数，化学势j c 可以看成粒子数守恒的 拉氏因子，卜( 1 ) 式满足 n i ( ，卢) = n l 一( 2 ) 是巨正则系综的平均粒子数。 从方程卜( 1 ) 和卜( 2 ) 可以看出当n 保持不变时，化学势，) 鲁( 丁，) 在 r 时是一个很大的负数，而且随着r 的减小而不断增大；当丁到达某一个值乏 时，达到最大值，即单粒子最低能级f 。；温度再降低，量f 。保持不变，这个原 因可以从方程卜( 1 ) 看出，如果肛 占。，n o 就等于负数，这明显不符合实际。因此当 温度ts 瓦时，就方程卜( 1 ) 来说n 。一o o ，也就是说在此发生了相变，进入最低单 粒子能级f 。的平均粒子数将不满足方程卜( 1 ) 。于是在温度小于瓦时，方程1 一( 2 ) 就必须改写为 n o + 荟万b = 1 _ ( 3 ) 这里为了方便将发生b e c 时最低单原子能级的平均占据数用。来表示。可以看出 0 已经可以大于l ，并且随着温度丁趋近于绝对零度，而趋近于。与此同时，o 依然小于甚至远远小于l 。这种相就被叫做凝聚项，而这种现象就是b e c 。当然， b e c 的存在还与空间维数有关。 从基本量子力学角度可以重新考虑上述玻色一爱因斯坦凝聚。理想气体原子的 物质波波长( 德布罗意热波长) ( 相当于原子波包的平均宽度) 可以表示为 一 卜( 4 ) 其中m 是原子的质量，壳是普朗克常数( p l a n c k sc o n s t a n t ) 除于h 。在常温下，热 波长远远小于原子之问间距，原子波包不会重叠，原子体现粒子性。但是，当温度 降到足够低时，可以与原子间距相比拟，原子波包就会叠加，又由于玻色子可以 3 青岛大学硕+ 学位论文 处于同一个单粒子态上而具有相同的波函数，所以这种叠加可以是相干叠加从而形 成一种相干的宏观量子态，这就是玻色一爱因斯坦凝聚。当物质处于这种状态下时， 只有大量原子的集体行为或宏观特性才是重要的。 爱因斯坦预言b e c 以后，物理学家们并不知道如何去寻求这类“凝聚现象。 直到上世纪3 0 年代，法国物理学家el o n d o n 指出，超导和超流现象有可能是玻色 一爱因斯坦凝聚h 1 。后来经过研究发现，超流的液氦中只有大约1 0 的原子发生凝 聚，而超导则需要电子的配对，涉及更为复杂的相互作用。只有近理想和弱相互作 用玻色气体的b e c 才更易于同理论比较，但始终没有实例出现。 上世纪5 0 年代，美国芝加哥大学的c e h e c h t 畸3 提出用自旋极化的氢原子气体 作为b e c 的体系，因为它的性质相对比较稳定，不很容易形成分子，且原子质量 很小，但实验上也一直没有什么进展。 因为冷却技术的限制，科学家们在b e c 提出后的5 0 多年都没有在实验中得到 任何突破性的进展。直到上世纪8 0 年代，经过众多研究小组的共同努力，人们才 基本上掌握了激光制冷、磁势阱捕获、蒸发冷却等一系列实验技术，并且可以把多 套复杂的冷却设备以及真空设备连接起来，并应用到同一个原子气体系统上。经过 多年的对冷原子实验技术的探索，物理学家们发现碱金属原子是实现b e c 最理想 的研究对象，因为碱金属原子的内部结构以及能级分布情况非常符合现有的实验条 件。 1 2b e 0 的实现 实现玻色一爱因斯坦凝聚的条件是极为矛盾而且苛刻的：一方面需要达到极低 的温度，另一方面还需要原子系统处于气态。金属原子气体不会因冷却而变为液念， 也不会因为高度聚集而变为固体，因此是十分理想的研究对象。要使碱金属原子间 的相互作用变得很弱，原子的密度必须很小，温度必须足够低，这就需要发展一种 新的冷却方法。从上世纪8 0 年代开始，利用激光冷却与囚禁中性原子技术的出现， 为玻色一爱因斯坦凝聚的实验研究提供了前提条件。随着激光冷却技术的进展肺 即， 人们已经可以实现n k 数量级的超低温，并且还可以利用电磁操纵的磁阱技术对任 意金属物体进行无触移动。经过对实验系统的不断改进和完善，1 9 9 5 年7 月，美国 科罗拉多大学实验天体物理联合研究所的两位物理学家e c o m e l l 和c w i e m a n 领导的研究小组利用激光冷却和时间平均轨道势阱( t o p ) 中的射频蒸发冷却技术率 先实现了碱金属8 7 r b 原子的玻色一爱因斯坦凝聚阻1 ，同年的1 1 月，美国麻省理工学 院的德国物理学家w k e t t e r l e 领导的小组实现了2 3 n a 原子的b e c n 引。e a c o m e l l ， c e w i e m a n 以及w k e t t e r l e 这三位科学家也因此而荣获2 0 0 1 年度诺贝尔物理学 4 青岛大学硕士学位论文 奖。中国科学院上海光机所的量子光学小组经过三年的努力于2 0 0 2 年在8 7 r b 原子 气体中观察到了b e c ，这是我国首次实现b e c n 。 ab 图1 1 8 7 r bb e c 原子的吸收成像 c 图1 28 7 r bb e c 原子密度的二维相空间分布 5 青岛大学硕+ 学位论文 图1 32 3 n a 原子b e c 的吸收成像 v e l o c i t y ( c m s ) p o s i t i o n ( m m ) 图1 42 原子b f c 密度的二维相空间分布 6 青岛大学硕士学位论文 1 2 1 激光冷却和囚禁技术 利用激光技术冷却原子的思想首次由h a n s c h 和s c h a w l o w 于上世纪7 0 年代提 出h 羽。利用两束对射的激光照射原子，当原子以速度u 相对于光波运动时，根据多 普勒效应，被吸收光的频率为，一( 1 一u c ) ， ，。是原子静止时的吸收频率。每吸收 一个光子，原子便获得与其运动方向相反的动量。原子吸收光子后还会发生自发辐 射，向各个方向无规则地释放荧光光子，由于原子发射光子运动方向的随机性和各 向同性，其损失的动量平均为零。因此，通过动量交换，原子运动速度将会减慢， 从而使气体的温度下降。 如果在三维空间中使用六束两两正交的激光束，原子就受到光场的辐射压力， 阻滞原子的运动，光子和原子处于一种相互胶着的状态，这种状态通常被称为“光 学黏团( o p t i c a lm o l a s s e s ) n 引，其温度可以低到大约2 4 0 微开。1 9 9 7 年诺贝尔物理 学奖被颁发给了在发展激光冷却和俘获原子技术方面做出主要贡献的美国s t a n f o r d 大学的美籍华裔物理学家朱棣文，法国巴黎高等师范学院的c c o h e n t a n n o u d j i 和 美国国家标准技术研究院的w d p h i l l i p s 。 1 2 2 静磁阱技术 根据m a x w e l l 的电磁理论，具有固有磁矩的粒子可以被囚禁在磁场的极小点处， 不均匀磁场b 对磁偶极矩肛的作用力为f b 一一v 缸b ) 。因为很多原子具有磁偶极矩， 所以可以利用静磁阱来囚禁具有磁偶极矩的中性原子。结构最为简单的静磁阱是一 对由反向的亥姆霍兹线圈形成的四极阱，其中心处场强为零。当线圈间距等于其半 径的1 2 5 倍时，沿轴向的阱深和径向的阱深相同，其特点为囚禁时问长和囚禁力 强。美国国家标准技术研究院的小组利用这种磁阱第一次把经过激光冷却后的原子 囚禁了1 s 以上n 引。因为这种静磁阱的磁场强度在磁场中心处为零，所以在其附近 磁场方向会发生剧烈的变化，当原子经过磁场零点时，自旋取向就有可能发生变化。 原子势场零点是自旋取向反转的原子的势能最高点，原子会逸出阱外。如上所述的 “漏洞”严重地限制了磁阱中原子密度的增加。物理学家们想出了多种办法以克服 它的影响。 ( 1 ) “t o p 阱 时间平均轨道势阱( 简称t o p ) 是在磁四极阱的基础上再叠加一个以几m h z 旋 转的小的横向磁场而形成的磁阱。旋转频率要足够低，从而使原子自旋取向能够缓 慢地跟随它所在点的磁场方向的变化；然而对于原子的空间运动，旋转频率又必须 7 青岛大学硕士学位论文 足够高，从而使原子感受到一个时间平均场的作用。加上小的横向旋转磁场以后， 使四极场势阱随时间在空间旋转，其时间平均为一个呈抛物面势的谐振子阱。势阱 最小点附近非零，且其变化平滑，因而能够弥补磁四极阱的“漏洞 。 ( 2 ) “i o f f c 阱 1 9 9 7 年，由美国r i c e 大学的物理学家h u l e t 领导的实验小组利用由永久磁铁组 成的i o f f e 磁阱成功实现了对7l i 原子的磁囚禁n 副。这种i o f f e 磁阱是由六块柱状磁 铁沿三维正交方向组合而成，每块磁铁的直径为2 2 2 c m ，长度为2 5 4 c m ，各个方向 的磁铁对的间距均为4 4 5 c m 。磁铁的材料为n d f e - b ，磁铁表面的磁场强度约为 0 5 t 。利用x y 平面内的四块磁铁可以形成一个四极磁场，由z 方向的一对磁铁可 以形成一个偶极磁场，总的磁场就是一个中心磁场强度不为零的i o f f e 阱。当具有 自旋的原子通过磁场中心处时，由于磁场不为零，原子的逃逸可以被有效地阻止。 ( 3 ) “光学塞孔”阱 美国m i t 的k e t t e t l e 领导的小组利用聚焦于磁场零点的高斯光束所产生的排斥 势克服了四极阱的缺陷n 叫。这种光学孔塞由一束a r + 激光束( 5 1 4 n m ) 形成，其束腰为 3 0 肛, m ，功率为3 1 5 m w ，它在原点使2 3 n a 原子基态产生了7 m h z 的光频移势，原子会 受到排斥力的作用从而无法进入磁场零点附近( 激光强度最大) 的区域，于是很大程 度上抑制了原子通过“漏洞”逃逸出去的可能性。而且由于所用的激光频率已经远 离了钠原子的共振频率，由共振光子散射而引起的加热效应也被有效地克服了。 ( 4 ) “c l o v e r l e a f ”阱 k e t t e r l e 小组还利用“c l o v e r l e a f 阱n 6 1 实现碱金属钠原子b e c 。该磁阱只使用 了直流电磁铁，并有效地克服了上述三种静磁阱的众多缺点：t o p 阱中依赖时问的 旋转场、“光学塞孔阱中囚禁原子云位置和形状易受光学塞位置的影响以及永久 磁铁组成的磁阱的不易改变性。k e t t e r l e 小组用这种磁阱产生的处于玻色凝聚状态 的原子数目比用“光学塞孔”阱提高了1 0 倍。“c l o v e r l e a f 阱利用了反常的缠绕方 式：两个轴向线圈分别被四个线圈环绕，组成平面交叉结构，从而可以产生径向四 极场，同时还附加两个大的轴向线圈以减小偏压场的影响。由这样的1 2 个线圈组 成的磁阱允许近乎正交和独立地控制阱中三个重要参数：径向梯度、轴向偏压场和 轴向曲率。另外附加的大线圈产生x ，y ，z 方向偏压场。允许在磁阱中心区域磁场 和光场的精确交叠。 上述的四种静磁阱技术，十分有效地解决了普通四极静磁阱中心存在的“原子 泄漏 问题，为b e c 的实现提供了关键的技术前提。 8 青岛大学硕士学位论文 1 2 3 蒸发冷却技术 蒸发冷却磁阱中原子的方法n 刀是在1 9 8 5 年首先被提出的，其思路是这样的： 把磁阱中能量较高的原子有选择地释放出来，然后剩下的原子可以通过弹性碰撞在 更低的温度重新达到热平衡，多次重复这个过程就可以降低原子气体的温度。在玻 色一爱因斯坦凝聚的实验中，蒸发冷却是利用一个射频磁场来完成的。通过选择适 当的射频场频率，原子可以跃迁到非囚禁的自旋态从而逸出磁阱，通过把射频场频 率逐渐变低，就可以使更多能量较高的原子从磁阱中逸出。这样阱中的原子密度和 弹性碰撞几率得以增加，温度降低，最终的相空间密度和温度由最后的射频场频率 决定。蒸发冷却的实现需要极高的背景真空度，以保证势阱有足够长的囚禁时间， 同时还需要足够高的原子密度和足够大的弹性碰撞截面，以缩短重新达到热平衡状 态所需的时间。 1 2 4b e c 的检测技术 目前人们观测b e c 的形成多采用共振吸收成像技术n8 l ，用这种技术可以确定 原子的数目、密度、温度以及原子的空间分布。具体过程为：突然关闭势阱，让发 生凝聚的原子云自由扩散，然后在不同的延迟时刻用共振脉冲光来探测。由于原子 对共振光的吸收，在探测光中会产生阴影区，由c c d 装置对透射光成像，对图像 进行数字化处理，可以得到原子云在每一点的光学厚度。对由此获得的一系列飞行 时间( t i m e o f - f l i g h t ) 图像进行逐点校证，以修正由探测光的偏振度和饱和效应引起 的偏差，可以得到扩散原子云的二维速度分布( 飞行时间测量方法是测量冷原子温 度的常用方法，它用共振荧光方法测量距冷原子团中心一定距离处的荧光强度的时 间演化，可以得到冷原子的速度分布，由此推出温度) 。它们包含着原子的许多热 力学信息，如分布衄线下所包围面积的积分，正比于总的原子数目；在零速度附近 出现的窄特征峰，其峰值曲线下所包围面积的积分正比于处于体系基态的原子数 目；从扩散原子云的平均半径和扩散时间可以得到原子的平均扩散速度和平均能量 等特征参量。由于利用共振光探测，原子会强烈地散射共振光子，从而引起对原子 的加热效应，因此这种共振吸收成像技术对形成的b e c 有一定破坏性，寻求一种 无破坏性的b e c 探测手段也是目前研究中人们积极探讨的热点问题之一。 1 2 5b e c 研究的新进展 世界上目前已有4 0 多个实验小组采用多种实验手段实现了八种元素的b e c 。 9 青岛大学硕士学位论文 根据操作方案可分为磁囚禁b e c 、双阱b e c 、全光型b e c 、双样品b e c 以及低维 b e c 等。总体来说，理论和实验研究主要有以下几个方向n 引： ( 1 ) 相互作用对凝聚体性质的影响 实际原子的相互作用使得b e c 系统的基态波函数、转变温度以及激发谱均不 同于无相互作用系统的情况，这方面的研究可以揭示相互作用对系统性质的影响。 无相互作用b e c 系统的转变温度可以解析求得，而如果考虑粒子间的相互作用，系 统的临界温度需要通过数值求解等方法得到。 ( 2 ) 光学晶格中的b e c 通过激光驻波场可以形成光学晶格。目前对双阱中b e c 的研究已使得人们对它 的相干性有了相当程度的认识，但由于光学品格是比双阱更为复杂的系统，所以需 要把已有的方法加以推广，以便可以描述这种多团凝聚体之间的相干性。在一维的 光学晶格中，由于晶格周期性的存在，使得系统具有一些固体中常有的性质，例如 b l o c h 振荡。三维光学晶格中的一些新实验还发现通过调节系统参数可以在这一系 统实现从m o t t 绝缘体到超流体的量子相变。 ( 3 ) b e c 超流性质的研究和快速旋转的b e c 原子气体中b e c 的研究还与超流现象紧密相关，相应地，许多研究者致力于 研究b e c 体系中是否存在破坏超流的临界速度，涡旋的稳定性以及能否产生涡旋等。 由于b e c 具有超流的无旋性，因此对旋转的响应是形成涡旋。如果在外加旋转的 微扰作用下体系积累足够多的角动量，就可以在其中形成三角型的涡旋晶格。 ( 4 ) 光阱中多组分b e c 的研究 由于磁阱提供的约束势依赖原子的总自旋，通常只能束缚一种内部状态的原 子，而光阱的约束势不受原子超精细结构态的依赖，所以光阱中的b e c 由于丰富 的内部结构可以表现出更多不同的性质，对它性质的研究目前也是一个热点。 ( 5 ) 玻色一费米混合系统 玻色子或费米子冷却到极低温时，需要粒子之间的有效s 波碰撞，而根据泡利 不相容原理，两个费米子间的s 波散射是不允许的，而玻色子和费米子间的碰撞却 不受影响，所以实验中可以采用玻色子和费米子混合冷却的方法使费米子降度。这 种超冷气体会进入量子统计的简并态，此时费米统计起重要作用，从而可以讨论这 种系统中简并费米气体可能的配对机制。 ( 6 ) 吸引相互作用的b e c 通过调节外磁场，可以使原子间碰撞的自由态和准束缚的分子态之间发生共振 耦合，即所谓f e s h b a c h 共振。它可以显著地改变原子间的散射长度，使散射长度从 正到负，原子间的相互作用就可以由排斥变成吸引，该过程的反过程也可以实现。 当粒子间存在吸引相互作用时，粒子数大于一个特定数值m ，后凝聚体会不稳定， 1 0 青岛大学硕士学位论文 因而在形成总粒子数超过，的排斥相互作用的凝聚体以后，可以利用f e s h b a c h 共 振将粒子间相互作用由排斥突然变为吸引，这时系统就会突然失稳并且迅速塌缩， 利用这个过程人们可以模拟超新星的爆发。 ( 7 ) 光与凝聚体的相互作用以及原子激光器 原子之间的非线性相互作用使光和b e c 相互作用时能够产生光速减慢以及四 波混频等现象。凝聚体作为相干的原子源可以用来精确测量基本常数并可以进行原 子干涉仪方面的研究。它的输出早期是脉冲式的，后来可以实现准连续或者连续地 输出凝聚体。 1 3g r o s s pit a e v s kii 方程 二次量子化理论是用来研究具有相互作用的多粒子体系的有效方法。然而当研 究体系的粒子增多时，相互作用就会变得十分复杂，这时候平均场的方法就非常重 要。在稀薄气体中的玻色凝聚体中，通常可以用复的粒子场( 平均场) 来描述它。 场函数在空间的不同位置伴有一可测量并且确定的位相值，即存在非对角长程序。 研究表明：平均场近似是非常有效的研究凝聚体基态波函数以及热力学特性的方 法。 在二次量子化表象中，描述由n 个束缚在势场圪。中的玻色子所构成的系统的 的有效多体哈密顿量是： 疗一户曲+ ( r ) 卜嘉v 2 + ( r ) 1 审( r ) + 三户3 耐3 r 命+ ( r ) 审+ ( r ) u ( 卜r f | ) 电( r ) 巾( r i ) 1 一( 5 ) 其中审+ ( r ) 和巾( r ) 是玻色原子的产生和湮灭算符，u ( i r r i ) 是玻色原子间的二体互 作用势，r 和r 为原子的空间坐标。 场算符在海森堡表象中的运动方程为 访挈= 【l i ，间= 卜芸v 2 + 吃( r ) + p 附删一眦r f ，巾”( 6 ) 因为凝聚体是在超低温的条件下实现的，所以原子间的相互作用起着十分重要 的作用。原子间的相互作用虽然很复杂，但我们可以通过赝势法得到一个有效的互 作用势。对于足够稀薄的超低温玻色气体构成的系统，粒子间的互作用势很弱，因 而s 波低能散射是主要的。根据玻恩近似，粒子间的相互作用强度由s 波散射长度 口决定，相互作用势的细节并不重要，相互作用可以用一个赝势来近似地描述，即： 童曼盔堂堡主堂垡迨塞 u 0 卜r 1 ) 一坐7 6 0 卜r 1 ) _ 9 6 0 r r 1 ) 1 一( 7 ) 其中g = 竽，口是s 波散射长度。在赝势的作用下，运动方程1 一( 6 ) 可以写作： 胁 。一 。”。 历挈4 降h 2n 哪吒怖力卜f ， h 8 ， 在稀薄气体的b e c 系统中，通常可以对凝聚体的玻色场算符和非凝聚体的玻色场算 符分开进行处理，即： 甲( r ，t ) = m ( r ，f ) + 串( r ，f )卜( 9 ) 其中第一项称为凝聚体波函数，它是场算符的平均值，即币( r ，f ) ；( 审( r ，f ) ) ，是描述 整个体系的序参量，它的模就是凝聚体的密度以。( r ，f ) 。f m ( r ，t ) 1 2 。审( r ，f ) 是一个小 量，可认为( 审( r ，f ) ) 一o 。将卜( 9 ) 式带入卜( 8 ) 式，并对等式的左右两边取平均， 可以得到： 访掣十石h 2v 2 + ”州吨r ) 1 2 帆州_ ( 1 。) 在零温极限下，再忽略非凝聚体部分的影响，便可由上式得到凝聚体波函数的 g r o s s p i t a e v s k i i 方程( 简称g p 方程) 脯型o t；f - 旦2v ：+ 吃( r ) + g f 小( r ，f )“,n i “、7 。o i 、1 m i 弋 1 ”“ 它是由g r o s s 【2 0 】和p i t a e v s k i i l 2 1 】分别独立得到的。假设凝聚体的波函数为 m ( r ，f ) i 矽( r ) e x p ( 一f 肛壳) ，带入卜( 1 1 ) 式得到不含时的g r o s s p i t a e v s k i i 方程 i 一石h 2v 2 + ( r ) + g i 矿( r | 2 卜( r ) ；觚r ) 1 _ ( 1 2 ) 其中z 为系统的化学势。 青岛人学硕士学位论文 1 4 准二维玻色一爱因斯坦凝聚 1 4 1 空间维数对b e g 的影响陇1 州；酬玎 h 其中a 。是f 方向上的特征长度，u ，j 和j t i 都是正实数。 ( ) = 芳e 圳亦以咖r 1 一( 1 4 ) 其中h 是普朗克常数，g 是自旋简并因子，e 是单粒子能量，满足 e ：芒+ u 酬( r ) 1 一( 1 5 ) ( s ) = c f 1 一( 1 6 ) s ：堡+ 专! 卜( 1 7 ) c = ( 等) j 蠢冉掣 叫；f _ ；g 凳不，( - n 硪点：r 棚，州埘 ib + n 一1 ) g + 以一2 ) g + 1 b a u 上勺 “。叫 被称为f 函数。如果x 一，l 是正整数，r g ) = g 一1 l ，如果工一，l + i 1 是半正整数， r ) 2 ( 刀一狮甘。丢石。 青岛大学硕士学位论文 从方程卜( 1 6 ) 司以得剑状态密度 d ( f ) ；掣咖州 1 - ( 2 0 ) 在热力学极限下，系统的巨正则势可以被写为 g = 吼一1 n ( 1 一z e 一肛) d g p f 卜( 2 1 ) 其中z e x p ( p # ) 称为逸度( f u g a c i t y ) ，q 。一一l n ( 1 一z ) 。注意为了方便我们在这里令 单粒子基态能量占o = 0 ，如果在外势阱中，聋0 ，只要进行简单的积分平移就可以 了。把式l _ ( 2 0 ) 带入式卜( 2 1 ) 就得到 q = q 。+ c f ( s + 1 b r 广g ，+ 。g ) 1 一( 2 2 ) 其中 洲= 耐i 。丽y x - i 咖= 薹笋 1 - ( 2 3 ) 叫做玻色积分，当z = 1 时等于黎曼f ( r i e m a n nz e t a ) 函数f b ) = 二。厂。，注意， 当实数工s 1 时，f g ) 发散到无穷大。 系统的平均粒子总数和平均总能量就分别可以从巨正则势卜( 2 1 ) 解得 n o q ，。n o + c r 0 + 1 丁户g ，0 ) 卜( 2 4 ) 一嚣一础十鲁) 错 h 2 5 ， 其中 0 誓= 者 卜( 2 6 ) 当温度r 大于临界温度掣( 上标0 表示理想气体) 时，z 2 时，q 。r 乒0 ，但是当，l s2 时， a c r 。r = 0 ，即在三维情况下，比容在相变点出现跳跃，而在二维和一维情况下， 比容在相变点又连续了。 尽管我们研究的主要对象是外势阱中的粒子，以上的结论也适用于自由系统。 u f _ 0 ，鼍 4i 扣 a c r 霉才不为 0 ，而以最大值为3 ，因此对于自由粒子系统，可以说比容总是连续的，即 a c r - t 叫n = 0 o 1 6 f q“)g一必笥嘴 一 陡 卜 脓 虬万 科 战 青岛大学硕+ 学位论文 由方程卜( 3 2 ) 还可以得到临界温度p 存在的条件是 s ；兰+ 警一1 1卜( 4 5 ) 2 何 即只有条件卜( 4 5 ) 满足，b e c 才会发生。式卜( 4 5 ) 说明b e c 的存在不仅与外势阱 的形状有关，还与空间维数存在关系。考虑自由粒子系统，丘呻0 0 ，s = n 2 ，如果 空间维数以s2 ，那么ss 1 ，此时掣没有有限值，即系统不会形成b e c 。对于谐振 势阱里的自由粒子系统，t i = 2 ，s ；n ，当n = 2 时，s 1 ，系统还会出现b e c ，然 而当，l ；1 时，b e c 不会形成。如果改变势阱使0 q ， 即口： a x , a ，系统将被压扁。这时z 方向上能级的间距a e 就非常大。当k t 此 时，在这个方向上，系统将被束缚在零点振动的基态，可以看做系统在这一维上被 冻结了，此时凝聚体可被视为是准二维系统。 对于准二维情况，凝聚体波函数可以近似地写作嘲： 妒o ，y ，z ，t ) = 妒2 d g ，y ，t ) c p o ( z ) l 一( 4 8 ) 其中0 ) 是z 方向上谐振子的归一化基态波函数。 此时l f ，2 d ，y ) 满足的含时f n j i 堑j 准二维g p 方程为： ； - 等甲1 ( 嘶”州r ) 1 2 卜力1 - ( 4 9 ) 其中v ：表示二维空间的梯度算符，g ：；堑巫，假设凝聚体的波函数为 m a 2 妒z d 0 ，y ，t ) = 妒叫 ，y ) e x p ( - i h t h ) ，l z 是凝聚体的化学势，代x 1 一( 4 9 ) 式得剑小笛 时间的准二维g p 方程： 一i h 2v z 2 甲1 ( 嘲2 ) + g z p2 飞1 2 】2 d = , t 少2 d ) l - ( 5 。) 为了研究的方便，考虑谐振子势阱关于z 轴对称的情况，即= q ；t o y 的情况。 令厂2 一x 2 + y 2 ，则妒2 d 0 ，y ，f ) 可写作妒2 d ( ，f ) ，此时方程卜( 4 9 ) 和卜( 5 0 ) 可以分别 写作： 访华2 陶2 m 靠d ri 肋l ) + l z m t 0 2 r 2 + 9 2 n 脚力中d ( ，力州5 l ， 陆2 m d ri m l ) + 丢m t 0 2 r 2 + 9 2 n 怫y ) 中d ( r 脚卿) 1 - ( 5 2 ) g p 方程是非线性的薛定谔方程，求解解析解是比较困难的，通常可以通过数值求 青岛大学硕士学位论文 解或能量变分的方法确定系统的基态波函数。 下面我们给出了一种数值求解准二维g - p 方程的方法。为了计算的方便，首先 对方程卜( 5 1 ) 和卜( 5 2 ) 进行无量纲化处理，引入下列变换：p 。一r ，z ，了t o ) ，其中 口胁= 厄m o ) 。，妒( p ，f ) 一口幻i 却2 。( 厂，f ) ，驴( p ) = 口肋芽面2 d ( 厂) ，a 一( 壳) ， 妒( p ，z ) = 驴( p ) e x p ( 一i 2 a v ) ，贝0 1 一( 5 1 ) 式变为： ，掣2 降旦+ p 2 + n d p pd p 纵舻扩卜z ， h 5 3 ， a f l 2 ”。i 一7 其中，l = m g ：n ( p h 2 ) ，卜( 5 3 ) 式是一个含时间和空间变量的非线性偏微分方程，包 含了时间的一阶导数，空间的一阶和二阶导数，同时包含谐振子项和非线性项，这 类方程通常很难得