（概率论与数理统计专业论文）生长曲线模型中回归系数的参数估计.pdf

摘要 本文主要研究了生长曲线模型中回归系数的参数估计问题提出了生长曲线模型中 回归系数的新根方估计，局部根方估计和基于奇异值分解的岭估计，讨论了各种估计的 优良性具体工作如下t ( 1 ) 针对设计阵a 与c 至少有个病态时的情况提出新根方估计雪( ”1 ，忱) ，证明通 过新根方参数m i ( i = 1 ，2 ) 的适当选取，可使得该估计在均方误差意义下优于最小二乘估 计及普通根方估计，证明其容许性、对最小二乘估计抗干扰性的改进，并给出确定参数帆 的两种方法。 ( 2 ) 对新根方估计进一步改进，提出局部根方估计免( m 1 ，m 2 ) ，证明通过局部根方参 数m i ( i = l ，2 ) 的适当选取，可使得该估计在均方误差意义下优于最小二乘估计及普通根 方估计，证明其容许性、p c 准则下相对于最小二乘估计的优良性及对最小二乘估计抗干 扰性的改进，并给出确定参数盹的两种方法 ( 3 ) 在生长曲线模型中将设计阵的奇异值分解与普通的岭估计相结合，提出生长曲线 模型中基于奇异值分解的岭估计并在均方误差，均方误差矩阵，及p c 准则下比较其相 对于最小二乘估计的优良性 ( 4 ) 利用r 函数对数微商公式，较详细地分析了x 2 分布密度函数的性质，研究参数 n 对密度函数曲线的影响指出了x 2 c n ) 密度函数的极大值的性质，及不同参数所对应的 概率密度曲线之间的关系进一步分析固定n o ，n 变化时，x 2 ( n ) 分布密度曲线与妒( 伽) 交点的变化规律，得到了与2 分布密度曲线相关的微分方程 关键词：生长曲线模型；l s 估计；根方估计；岭估计；均方误差；可容许性；奇异 值分解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m er e s e a r c h e so l le s t i m a t o ro fp a r a m e t e r si nt h eg r o w t hc u r v em o d e la r e c o r 画d e r e d t oe s t i m a t et h er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sb ，w ep r o p o s e dt h en e wr o o tp o w e re s t i m a t o r 1 0 c a lr o o tp o w e re s t i m a t o ra n dr i d g ee s t i m a t o rw h i c hi sb a s e do nt h ed e c o m p o s i t i o no fs i n g u l a r v a l u e d i s c u f l $ t h e i rs u p e r i o r i t yo v e rl s e i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h el l e wr o o tp o w e re s t i m a t o ro fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sbw h e n t h ed 啦m a t r i xp r e s e n ti l l - c o n d i t i o n i ti sp r o v e dt h a tb y c h o o s i n gt h ep r o p e rp a r a m e t e r s t h e n e we s t i m a t o ri sb e t t e rt h a nl s ea n dt h en o r m a lr o o te s t i m a t o ru n d e rm s ec r i t e r i o n p r o v e i t sa d m m i b i l l t y t w om e t h o d so fc h o o s i n gt h en e wr o o tp o w e rp a r a m e t e r sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 , w ec o n s i d e rt h el o c a lr o o tp o w e re s t i m a t o r p r o v ei t ss u p e r i o r i t yo v e rl s e u n d e rm s ec r i t e r i o na n dp cc r i t e r i o n g i v et w om e t h o d so fc h o o s i n gt h el o c a lr o o tp o w e r p a r a m e t e r s i nc h a p t e r 4 ，w ec o m b i n et h ed e c o m p o s i t i o no f s i n g u l a rv a l u ea n dr i d g ee s t i m a t o r i n t r o d u c e t h er i d g ee s t i n l a t o rb a s e do nt h ed e c o m p o s i t i o no fs i n g u l a rv a l u e d i s c u s si t ss u p e r i o r i t yo v e r l s eu n d e rm s e ，m s e ma n dp cc r i t e r i o n i nc h a p t e r5 ，u s et h el o g a r i t h m i cd e r i v a t i v ef o r m u l ao fr f u n c t i o n ，a n a l y s i st h ec h a r a c t e r s o fx 2 d i s t r i b u t e dd e n s i t yf u n c t i o ni nd e t a i l a n dt h ee f o fc h a n g eo ft h ep a r a m e t e ro n d e n s i t y e u r v e p o i n t so u tt h ep r o p e r t i e so fm a x i m u mv a l u eo fx 2d i s t r i b u t e dd e m i t yf u n c t i o n ，a n dt h e r e l a t i o no fd i f f e r e n tpd i s t r i b u t e dd e n s i t yf u n c t i o na c c o r d i n gt od i f f e r e n tp a r a m e t e r s a n a l y s i s t h ep r o p e r t i e so fi n t e r s e c t i o np o i n to ft w od e n s i t yc i l r v g a i n st h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na b o u t 铲d i s t r i b u t e dd e n s i t yc t t r v eb y8 b c l l v ea n a l y s i s k e y w o r d s ：t h eg r o w t hc u r v em o d e l ；l s e ；r o o te s t i m a t o r ；r i d g ee s t i m a t o r ；m s e ；a d m i s - s i b i l i t y ；d e c o m p o s i t i o no fs i n g u l a rv a l u e u 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：j 阻日期型g 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公 布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 签名盟各耘：幽 第一章绪论 瓤1 引言 生长曲线模型是生命科学中最重要的统计模型之一，是w i s h a r t 于1 9 3 8 年在研究不 同组问动植物的生长情况时引入的模型1 9 6 4 年p o t t h o f f 和r o y 对这种广义线性模型的 背景做了详细研究由于生长曲线模型具有丰富的理论内涵和广泛的应用背景，该模型 已继g a u s s - m a r k o v 模型之后引起人们的日益关注几十年来，许多统计学家，如p o t t h o f f 和r 坷l l 】，r a o n ，l e e 【3 】，徐承彝 4 1 等对此模型做了大量研究 回归系数的最小二乘估计具有许多良好的性质。其中最重要的是g u a s s - m a r k o v 定理 它表明在切线性无偏估计中，l s 估计具有最小方差如果误差服从正态分布，那么l s 估计在所有无偏估计类中具有最小方差这些性质奠定了l s 估计的重要地位但是当处 理包含较多自变量的大型回归问题时，自变量之间难免存在近似的线性关系，从而导致 设计阵x 的列向量近似的线性相关，我们称这样的设计阵为病态的当x 呈病态时，x x 接近奇异，这时虽然l s 估计的方差在线性无偏估计类中最小，但其值却很大，使得l s 估计精度比较差，表现出相当的不稳定本文就生长曲线模型设计阵病态情况下回归系 数矩阵b 的估计作了一些研究 生长曲线模型中回归系数矩阵b 的估计常用最t j 、_ - 乘估计但当回归自变量间存在 多重共线性关系时，l s 估计就失去了它的优良性。为此黄养新 s ( 1 9 9 5 ) 提出了根方估计 改进l s 估计，刘小茂，张钧f 6 】( 2 0 0 3 ) 提出广义根方估计，但都只针对设计阵a 病态，未 考虑设计阵c 病态对的情况本文针对设计阵a 与c 至少有个病态时的情况提出生 长曲线模型中回归系数矩阵b 的新根方估计局部根方估计及基于奇异值分解的岭估计 改进l s 估计分别讨论了各种估计在均方误差意义下，p c 准则下相对于l s 估计的优 良性，并根据h e m m e r l e 和b r a n t l e 用于确定广义岭估计参数的方法提出极小化均方误差 的无偏估计法以选取参数 1 2 预备知识 考虑线性模型 = x p + e ，e 一( o ，0 - 2 f ) 其中为t l 1 观测向量，x 为nx p 的设计矩阵，芦为p 1 未知参数向量，口2 为误差方 壅! 查堂矍圭耋堡垒塞量三兰皇堡些丝堡型! 堕塑墨墼墼堑堡丝墼 2 差，矿 0 ，r ( x ) = r 弘 定理1 2 1 口为卢的l s 估计 净声是正则方程组 x | x 8 = x y t 1 1 、 的解，即卢= ( x x ) 一x y ，这里( x 馕) 一为( x i x ) 的任一广义逆 定理1 2 2l s 估计为是卢的无偏估计，且c w ( 声) = g 2 ( x ，x ) 一 定理1 2 3 扣= 陋一x 硎2 ( 一r ) 是口2 的个无偏估计，其中r = 冗僻) 定理1 2 4 设x 为p 1 随机向量，e ( x ) ；p ，c ( x ) = e ，a 为p 。p 对称方阵，那 么 e ( x a x ) = t r ( a e ) + p a p 定义1 2 1 损失函数多为口的二次函数，如： 工( # ，e ) ；( i 一口) d ( i 一口) 垒i 眵一口0 刍，d 0 ( 1 2 ) l ( o ，e ) = p 一日) p 一口) 7 ( 1 3 ) ( 1 3 ) 式称为矩阵损失其中口为目的一个估计 对( 1 2 ) 式特别地，d = i 时， 二( 口，口) = ( 口一口) ( 口一口) = 0 口一o i l 2 ( 1 4 ) 称为二次损失；d = x x 时， 工( i ，e ) = ( 每一口) x 7 x ( i 一口) = i i x o o ) 1 1 2 ( 1 5 ) 称为f i s h e r 损失 定义1 2 2 风险函数 r ( ，口) = 刀0 f o i l 2 称为口的均方误差。记为m s e ( 9 ) 对矩阵损失，风险函数为 a ( o ，口) = e ( o 一口) p 一口) 7 称为a 的均方误差矩阵，记为m s e m ( o ) 定理1 2 5m s e ( 8 ) = 打( e d ”( i ) ) + l i e ( 0 ) 一e l l 2 = t r ( m s e m ( o ) ) 定理1 2 6m s e m ( o ) = g d ( 口) + ( e ( d ) 一口) ( e ( 国一口) ， 第二章生长曲线模型中回归系数的新根方估计 2 1 引言 考虑生长曲线模型 ix ：a b c + e 1 球) _ 0 驯( e ) ) ：u 园泖 ( 2 1 ) 其中x 是n q 阶随机观测阵a ，c 分别为r i 。p 和 。q 阶已知设计阵，且r k ( a ) = n r 女( 回= 。b 为p k 阶未知回归参数阵，u ，v 分别为q 阶，n 阶已知正定阵e 为n g 阶的 随机误差阵一2 0 为未知参数。v e e ( e ) 是把e 按列拉直的列向量，式中睁代表k r o n e c k e r 积 由【7 】知模型( 2 1 ) 可化为元线性模型 y c c ( x ) = ( 锄a ) v e t ( 日) + v e 。( e )( 2 if e c ( e ) ) = o ，c o y ( g e e ( e ) ) = u 9 口2 v 、7 易知模型( 2 2 ) 的典则形式为 vec(x)=)(：y，z)a+ve)e(：ee(vee(e)0c o v ( v e e ( e ) u 圆矿g ( 2 3 ) 1 ) = ，) = 圆矿 其中卢= g e e ( b ) ，a = ( p ，p ) 反z = a q ，y = c t , q p 为正交阵使得 q a a q = z z = d i a g ( a 1 ，一，a k 。，- ，) 垒a ( 2 4 ) p c c p = y y = d i a g ( 6 l ，妃，以) 垒( 2 5 ) 其中h k 七i 】 沁。+ 1 芝 o ，毛毛1 阮+ 1 以 o 分别为a a 和c c 的特征根，n 称为典则参数为使证明过程符号简单，不妨 设u = ，v = 当u ，v 为一般正定阵时的结论只需用变换a = v j a ，伊= c u 一 即 可由 7 1 知b 的i i s 估计为： 雪= ( a a ) 一1 a x c ( c c ) 一1 ( 2 6 ) 3 圣窒奎耋至圭堂堡堡塞量三!皇堡堕些堡型童堡塑至墼墼堑堡! ! 堡茎 4 相应地卢；v e c ( b ) 的l s 估计为： 声= y e c ( 雪) = 【( 7 ) 一1 co ( a ， ) 一1 a 】y e c ( x ) ( 2 7 ) 典则参数a 的l s 估计为： a = ( p ，o ) 卢 = ( o ) 【( a ) - 1 co ( a 7 a ) - 1 a 7 v e e ( x ) = i 尸，( g ) _ 1 qo ( a ) 1 a q v e e ( x ) ；【a - 1 p coa - 1 q a v e c ( x ) = 一1 y oa 一1 z w e e ( x ) ， ( 2 8 ) 且 e ( 卢) = 卢 c d 仃( 声) = i f 2 【( c ) 一1o ( a ) 一1 】 目陋) = n c ( & ) = 矿i 一1p a 一1 】 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 此时卢的均方误差为 p 七 肘s e ( 卢) = m s f ( a ) = t r o o v ( & ) + l i e ( a ) 一a i l 2 = 打c 伽( a ) = 口2 苜1 吁1 ( 2 1 3 ) i = l j ；1 由( 2 1 3 ) 式知若a a 或c c 至少有一个特征根很小，则m s e ( f 1 ) 就很大，即a 或c 病 态从均方误差的统计意义知，此时p 与真参数卢相距甚远使得估计精度差，数值稳定 性不好，由文【7 】知a 7 a 或c o 有多少个特征根接近于零，回归自变量间就存在多少个 近似的复共线性关系，文m 称之为复共线性( m u l t i c o l l i n e r i w ) ，为了改进l s 估计，近几十 年来，对b 的有偏估计的研究得到人们的广泛关注为此文【5 】给出了回归系数口的一 种有偏估计一根方估计台( m ) ，文【6 】提出广义根方估计予以改进，但都只考虑 至少 有个特征根很小时对l s 估计的改进，未考虑若c o 至少有个特征根很小。m s e ( 声) 仍然很大。从而本文对台( m ) 进一步推广，提出新根方估计 2 2 新根方估计及其性质 定义2 2 1 对模型( 2 1 ) ，其回归系数b 的新根方估计定义为t 雪( m l ，竹砣) = ( a ，a ) m l 一1 月x c y ( c c 7 严一1 ( 2 1 4 ) t a 7 a ，”l 一1 垒q ( 一1 二一。) = q a ”t 一1 但t 却 a ? c ? ，”b l 垒p ( i 一1 ：一，) ，= p 岔m 一1 ， e z - e ， 6 ( m 1 ，r n 2 ) =( p ，p ) 声( m l ，r n 2 ) ( p ，o 科) 【 ) m o ( x a ) ”- 垆 ( 一o ) i v a ”p , 圆q a - 们卢 【”。p 圆a ”- 掣1 筘 【一o a m - 】o 们声 【”o 1 】a ( z l s ) 定理2 2 1 若一o a m - 冬，则声( m 1 ，砌) 为卢的压缩估计，即 0 j 形( m 1 ，m ) l isl i z l l 壅查奎兰堑圭堂堡垒奎篁三塞皇堡堡垒墼童璧塑至墼笪堑墅堕 j 证明t 由( 2 9 ) 及( 2 1 7 ) 式有 i i s j ( m 1 ，m 2 ) i l = 叭e ) mo ( a 7 a ) “捌l = 拶【( c 口7 ) 2 m zo ( a ) 锄- 1 刃 = 【p 翻p ，固0 a 鲰t 】册 = i ( poq ) ( 撕oa 加1 ) ( p o 口，) 】卢 曼 【( poq ) ( p 7o 科) 1 卢 ； p ) = i i 卢叭 引理2 2 1 p p 七 m s e ( 声( r n l ，m 2 ) ) = 一2 矽1 - 1 j 严“+ ( 栉1 妒一1 ) 2 略 ( 2 1 9 ) 1 = ij = 1 = l j = l 其中a = ( 口1 1 ，q p l ，0 ( 1 2 ，口p 2 ，a l k ，嗥) 证明t 由声( 仇1 ，m 2 ) = ( p o 口) a ( m l ，r n 2 ) 及定理1 2 5 知 m 肛( 卢( m l ，m 2 ) ) = m s e ( & ( m l ，m 2 ) ) 。 = t r c o v ( & ( m l ，m 2 ) ) + i i e ( a ( m l ，m 2 ) 一a 胪 = 矿押【钿硷一1oa 2 m l 一1 】+ 0 ( 忱oa m l 一几。弓) n i l 2( 2 2 0 ) p i = 矿 1 1 鳄”一1 + i l d i a g ( , 、7 1 田”一1 ，a 1 口”一1 ， i = 1 j = t 譬铲一1 ，砰1 妒一1 ，霹1 铲一1 ，够1 驴一1 ， 胃1 驴一1 ，霉1 驴一1 ，够1 驴一1 ) ( d l l ，唧1 ，0 ( 1 2 ，嘞，r 一，o z l k ，嗥y 酽 = 矿a 妒1 “蜉”- 1 + ( f 1 矿一1 ) 2 磅 ( 2 2 1 ) t = l j = l 兰1 j = 1 其中q = ( 0 1 1 ，嘞，o ：1 2 ，嘞，g i k ，嗥) ，从而( 2 1 9 ) 式得证 定理2 2 2 当0 畦l l ，0 兀譬l 南 0 ，当m ( o ，时，有 m s e ( 口( m ，m ) ) m s e c f l ) 证明，由( 2 1 9 ) 式 ，奄 p m s e ( 声m ) ) = c r 2 ( 知毋) 新- + ( 执岛) ”一1 ) 2 磅。 令h ( m ) = m s e ( 卢( m ，n ) ) ，贝4h ( o ) = f s e ( 声) 令 l ( m ) = 0 2 墨lj 劣二l ( 凡白) 拥一1 ，h 2 ( m ) = 笔1 名1 ( ( 丸白) ”一1 ) 2 日( m ) = m ( m ) + m ( m ) ，其中m ( m ) = 2 a 21 墨l 蹬：1 ( 吩) “- 1l n ( 凡而) ( m ) = 2 j 二叁l 每lo 吾( ( 毛) o 一1 ) ( 西) ”】d ( a 岛) 当0 ms ；时， 若 白1 ，则l n ( 凡吩) 0 ，( 九吩) 2 ”一1 1 ，此时( 丸吩) 加一1 1 n ( 凡妨) 茎l n ( 知妨) 若凡岛 1 ，贝0l n ( 九如) 1 ，此时( 吩) 知卜1 l n ( 丸毛) l n ( 吩) 由定理条件知 m ( m ) = 2 矿( 鸟) 新。1 n ( 九白) i = l j = l p k 2 a 2 l n ( 毋) t = l j = l p = 2 a 2 l n ( i i 九) ( 如) p 扛1 j = i q 所以 l ( m ) 在【0 ，射上严格单调递减而坞( o ) = 0 ，且( m ) 在1 0 ，1 ) 上连续，即 h m 。o + 码( m ) = m ( o ) = 0 从而日7 ( o ) = m ( o ) + 必( 0 ) 0 当m 【o ，毋时，有日( m ) 0 ，故凰，m ) 在【0 6 ) 上严格单调递减由此可得 日( m ) 0 ，当m ( 0 ，j ) 时。有m 船( 卢( m ，m ) ) m s o ) 7 推论2 2 1 当0 臃1 凡 1 ，o 礴= l 弓 1 时，存在m 1 ，m 2 满足o ，l l 1 ，o m 2 ( 1 ，使得 m s e ( 声( m l ，r n 2 ) ) f s e ( 声) 证明由 mm鍪m1是mse归(mllm2)mino竹llmse(m，m)m o ( 2 ( 1 及定理22 2 即得 推论2 2 2 设根方估计声( m ) 的均方误差在m = m ，0 m 1 时达到最小，则存 在m ，婀，0 m i l ，0 嘲 i ，解为 叼= 卜虿1 ，= 1 加，p ；j = l 加，女 当吗s1 时，鲁 0 ，关于叼严格单调递增，此时当叼一o + 时达到最小而当 a l j 一0 + 时屹，一【1 一去】so ，考虑到均方误差为模型参数的非负函数，故叼一0 + 显然不合理，根据引理2 3 i 应取使 拟舀：磅【( 叼一1 ) 2 + 墨笔兰1 ：o 解得 叼：正蔓丁- ( i 塑- 扣1 ，2 ，川j - 1 2 ， 于是得到啦j 的合理的最优解为 屿= 革 秀 1 吗1 由噶= 譬。哼b ，即 i n 略= 仇i i n + t 噶i n 岛， = l ，2 ，一，p ；j = i ，2 ，( 2 2 2 ) 记= ( i na l l ，i no ；l ，i n 口；l ，i no ：2 ，i n 屹，i n 嘞，i nd 孙i n 口缸，i n 略) ， 6 = i ，”哇) ， d ；f 1 n1 l 1 n 屯1 n 1 1 l1 n 抛l n i na l l 沁l n 1 ，、， i n 以i n6 1 i n 以i n 如i n | j 2 i n 如i n 如i n 以i n 以7 则( 2 2 2 ) 即 g = d b( 2 ，2 3 ) 由矛盾方程组( 2 2 3 ) 可以解得”l ，舰的最小二乘解 ( 篡) = c d ，。，- 1 。 一f 七蹉l ( 1 n ) 2 踺l 踪l ( 1 n 凡) ( 1 n 吩) 1f 盛l 跺- ( i n 凡) ( 1 no 备) 1 蹉1 壤l ( 1 n ) 佃吗) p 壤l ( 1 吩) 2 7跺l 每，( 1 n 毛) ( 1 n 畸) 7 壅童奎堂望圭耋堡堡奎量三塞皇堡些些墼皇堡塑墨墼墼堑堡丝墼 1 2 2 4 对l s e 抗干扰性的改进 由定理1 2 1 知，对模型( 2 2 ) 待估参数芦的l s e 是正则方程组 ( c 口，) o ( 4 ) = ( coa ，) y e c ( x ) ( 2 2 4 ) 的解 由( 2 1 7 ) 式卢的新根方估计p ( m l ，观) = 【( c ) m9 ( a 7 a ) m 】声，从而 p = 【( g ) 一”。 ( a ，a ) 一”- j 房( m “m 2 ) ， 结合( 2 2 4 ) 式声m l ，”；2 ) 可归结为方程组 【( c 口7 ) 1 - ”o ( a 7 a ) 卜”1 】p = ( g a ) v e c ( x ) ( 2 2 5 ) 的解它们都涉及到方程组g x ；d 的解的问题，自然希望贾的相对误差对系数矩阵g 和常数矩阵d 的相对误差的依赖程度尽可能小，这样g ，d 的扰动不致使解戈产生较大 的偏离，系数矩阵g 的条件数是讨论线性方程组解的抗干扰性能的有力工具 定义2 4 。l 若线性方程组g x = d ，有g _ 1 存在，贝9 称耳( 回= i g i | f l a - 1 为其系 数矩阵g 的条件数，其中j i g i i = 、佤= 疋百曩万为谱范数，k 。( g ) 为g g 的最大特征 根 引理2 4 1 【1 0 l 对线性方程组解g x = d ，若k ( g ) i i ng i l i i u l l - 1 1 ，则 0 x 0 ， k ( g ) 刈g 1 i d i f 、 l i x t l 3 1 一k ( c ) l l g i l g - 1 、0 g l l i i d i i 据此可知若g x = d 中g 的条件数很大，即使g 和d 的扰动很小，也可能引起解x 产生很大的偏离也就是说k ( g ) 愈小，解贾的抗干扰性能愈强因此要提高模型( 2 2 ) 中待估参数芦的线性估计的抗干扰性能的一个可行方法是，降低其对应线性方程组系数 矩阵的条件数，由( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 式 j r ( 毋) = 吖。( a a ) i i i i ( c c ) 。1 眵( 肌) 以忙瓮， k ( 声( m l ，m 2 ) ) = 瞰e ) 1 一”o ( ) 1 ”t l l l l ( c c ) ”- 1o ( a ) ”1 - 1 1 1 = 童= ；- - f 石z l ； = 而 、l l m po 若 的特征根不全相等或c c 的特征根不全相等，则 贸( 声( m l ，m 2 ) ) k o ) 即a 7 a 的特征根不全相等或c c 的特征根不全相等对鼠吼，抛) 的抗干扰性优于磊 第三章生长曲线模型中回归系数的局部根方估计 对于生长曲线模型，第二章针对设计阵a 与c 至少有个病态时的情况提出新根方 估计台( m l ，m 2 ) ，本章结合局部根方估计的思想提出生长曲线模型中回归系数的局部根方 估计 3 i 局部根方估计及其性质 定义3 1 i 对模型( 2 1 ) ，其回归系数b 的局部根方估计定义为： 晚c m - ，t 砌，= q ( ) c a ，- 1a ，x c c ，- 1 p ( 严) 尸， c s m 其中0 t n l 1 ，0 s 仃1 2 1 ，1 詹lsp 1 j 2 七：这里， 叼1 = a 击叼( 曙1 + l i - 矽t ) ，仉2 垒妣9 ( 繇l i 驴) m 1 = 耽= 0 即b 的l s 估计盍同新根方估计相比，局部根方估计是仅对小于1 的特征 根1 一m i 次方，而对大于或等于1 的特征根保持不变，充分体现了对较大特征根不应作过 大改变的思抵能更有效的降低均方误差 既( m l ，m 2 ) = y e c ( 瓦( m l ，m 2 ) ) = 妒( p ) 啊广删( 瓦毋) 蝴广棚 = p ( 妒) 咖( 。) 钏研饥c 岬1 肌c 司 = 【p ( 严) 。q ( a 严) 口修 c s 固 称彘( m 1 ，m 2 ) 为卢：v 。c ( b ) 的局部根方估计，典则参数口的局部根方估计为 乱( m 1 ，化) = ( 尸，o ) 尻( m 1 ，哟) = c ( ) p ， ( 圮母) 郇 定理3 1 1 痧l ( m l ， 1 2 ) 为卢的压缩估计，即i i 蜀乱( m 1 , m 2 ) 1 1s 悯i 证明：由( 3 2 ) 有 8 e 口l m 1 ， 砭) j | 定理3 ) 】p 删嘶c 仉，讹h 卜毋) 。( 圮毋) k 一偿s ， 由( y o ) ( y oz ) ；y ，y oz ，z = o a 知r k ( y pz ) ；砖及引理2 2 2 知， 是a 的可容许估计 川f ，1 。卜 严 峰1 o a 一1 】 ( 3 3 ) ( 3 4 ) pq 0 文 、l、， 价2 机2 a a 拓 如 ，i，i一一 o o 、，、l 2 z 鸳 筇 肠 璇 ，一一，一一 = = ， 舭 州们、二、 咖)妒 )a 垮 a 珞， k【o ，i口、 口 0 m o 一 磅 、_、m k 劬 嗍 r o = ，【p 俨庐 妒 泖 = = = 0 ，当研( 0 ，6 ) 时有掰s e 流( m ，m ) ) m s e ( 蜃) m 船c 免c m ，m ，= ，2 t r c ( r 秒一。) 。( a _ ia ；。一。) ， + 一c ( ) 。( 1a ) 一明2 。 ：。：亳墨耳，町t + p 萎舻一t 町- + 墨圭耳，矿一- + 壹圭x 2 m 一，中一t 1= a 2 【耳1 町1 + 舻。4 町1 + 耳1 矿- 1 + 2 m - 1 中- 1 1 p忱# l p ” + ( 砑一1 ) 2 磅+ ( 妒一1 ) 2 磅+ ( a 尹妒一1 ) 2 喃 ( 3 7 ) 令日( m ) = m s e ( 声l ( m ，m ) ) ，则日( o ) = m s e ( p ) ，令 - ( m ) = 矿【寸1 每1 + 碍m 1 可1 + 可1 矿4 则z r ( m ) = m ( m ) + ( m ) ，其中 碡 p 七 + 碍”一1 霹”一1l n ( 九毋) 】 讧l + l j = b + l 必( ，1 ) = 2 f ( f 一1 ) a 毒j l n + ( 妒一1 ) 磅l n 白 i = k i + 1 j = l i = l j = 蛔+ 1 p 七 + ( ( 丸弓) ”一1 ) 磅l n ( 白) 】 = 1 + l j = b + l 所以m ( m ) 0 ，即 1 ( m ) 在【0 ，1 ) 上严格单调递减又m ( o ) = 0 ，且必( m ) 在i o 1 ) 上 连续，即l j m ，。o + m ( m ) = ( o ) = 0 从而日7 ( o ) = m ( o ) + ( o ) 0 当m 1 0 ，j ) 时。有( m ) 0 ，故日( m ) 在【0 ，上严格单调递减由此可得 h ( m ) 0 ，当m ( 0 ，j ) 时有m s e ( 声l ( m ，仇) ) m 髓( 卢) o 垆 妒。 九l 。 ，蚶 + 咯炉 一 妒 毋。 。 ，蚶 + 磅 炉 一 妒 。蚶 h ：i + 磅 妒 一 毋。n b 触，蚶 = k 岛 h 4 俨一 。 h ：l + k h 矿 以 妒 b 触，吣 1 ； 缸 = 奎堡查耋塑圭堂篁篁塞董三塞皇丝堕些童垦塑至墼墼星墅堡丝堑 1 7 推论3 1 2 存在m ( 0 ，1 ) ( t = i ，2 ) 使得m s e ( 声l ( m l ，m 2 ) ) m s f ( 卢) 证明t 由 删竹o 一m l ，l m 距? 仇( m l ，t 7 1 2 ) ) 删n o 竹l 1 m s e 溉( m ，m ) ) o “2 l 及定理3 1 3 即得 推论3 1 3 记【5 】中根方估计亩( m ) = ( a a ) r r t - 1 x ( e ) - 1 ，声( m ) = y e c ( 雪( m ) ) ，则 m s e ( 口l ( m ，o ) ) m s e ( 声( m ) ) 证明t台( m ) = ( a ) m - i a 7 x ( c ) 一1 = 雪( m ，o ) f h ( 2 2 0 ) 式 m 阳( 卢( m ) ) = m s e ( p ( m ，o ) ) = f 2 t r a 一1oa 2 “一1 】+ i i ( ioa ”一矗ol p ) a l l 2 = a 2 t r a 一1 0 h 2 m 一1 】+ a 7 p o a m 一1 2 a 而由( 3 6 ) 式 枷毗删“。( 町1 ) 忡。( a ) 卅口 由 矿。( 町1 卜州旷舢 们( 姆- 1 1 2 a o i 卅a m s e ( 尻( m ，o ) ) - y = ( i o a 吾皿；( 讥l ，印1 ，m 2 ， y t , i ，饥k ，协) ，；( o ；) a ，钇( m 1 ，- b ) = ( i0 a i ) 乱( m l ，m 2 ) ，则由( 3 1 7 ) 知 w f l ( m 1 ，m 2 ) = i i 钆( ，n “1 7 1 2 ) 一 r l l 2 0 一 i l l 2 从而令q = ( o 小) = ( 玑1 珊l ，m 2 ，聊，q l i ，挑) ，则 田一n ( o ，) ， ，矿 l 矿妒妒 ，_jl-_ill_【 = 一v n 中其 塞! 奎堂塑圭耋堡墼塞堡三塞皇堡堕些堡型童垦塑至墼墼星墅堡丝丝2 0 类似于w n ( m l ，他) 的计算可得 p k 慨1 ，m 2 ) = 矿f l ( o q j 一1 ) 归+ 叼】2 一磅 ( 3 1 8 ) = 1 j = 1 w l ( m l ，啦) 0 即 即 即 记 而 p 膏 p七 ( 叼一1 ) o c j o + a , j 磊j 1 2s 镑 i=1j=l扛=1j = l p 1 p膏 善歪。各一( 专一1 ) 归】2 i = 1 j = l 镑 k lp七2p女一 ( + + ) 2 翰一( 忑1 1 ) 川2 = 1 j = b + li = k l + l j = lt f f i k l + l j = k + l 叼 七i ( k + p晚pk + ) 嚣 i = 1 j = b + 1i = k l + l j = l = k l + l j = 乜+ l c = ”m 碾l ，；l 以下讨论t ，l 0 ，g = 1 ，2 ) 的情况，则0 p k 吐硒一l 圳如 异( i i q + ：0 2 x 3 5 ( 础一h 恕，8 ：0 2 )