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不确定奇异系统的鲁棒控制 崔文霞 摘要：由于鲁棒控制理论能够成功地解决鲁棒稳定和鲁棒控制器设计等问 题，因而它在控制领域得到了广泛的重视和充分的发展关于鲁棒控制的讨论源 于不确定线性系统的分析和综合，一种情形是通过给出系统的鲁棒稳定性条件， 使系统对所有允许的不确定性都是渐近稳定的；另一种情形是设计一个无记忆状 态反馈控制器，使所得闭环系统对所有允许的不确定性都是渐近稳定的本文对 不确定奇异系统鲁棒控制问题的研究包含上述两种情形 对于不确定线性系统的鲁棒控制，基于l y a p u n o v 不等式及r i c c a t i 方程或不 等式的研究方法已经形成了比较完善的体系而对于不确定奇异系统，早期的研 究用广义r i c c a t i 方程或不等式解决系统的鲁棒稳定性和鲁棒控制等问题，但广义 r i c c a t i 方程的求解还存在一定的困难随着线性矩阵不等式求解软件的成熟，基 于线性矩阵不等式处理方法的鲁棒控制已经成为控制领域的主要研究方向本文 基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式处理方法研究了不确定奇异系统的 鲁棒稳定性、鲁棒可稳性等问题以及不确定奇异时滞系统的鲁棒稳定性、鲁棒可 稳性和鲁棒保性能控制等问题 本文的主要内容和成果如下： ( 1 ) 讨论了不确定奇异系统的鲁棒控制问题首先，将常规不确定线性系统的 二次稳定性和二次可稳性概念推广到不确定奇异系统，并在参数不确定性矩阵f 范数有界( | | f i is1 ) 的情况下，给出了此类系统广义二次稳定及其广义二次可稳 的定义；其次，基于上述定义构造了严格的线性矩阵不等式( l m i ) ，利用矩阵的 s c h u r 补性质证明了此类系统在l m i s 条件下的正则性、脉冲自由性以及稳定性， 并通过构造状态反馈控制器解决了不确定奇异系统的鲁棒可稳性问题最后，通 过算例验证了该方法的正确性 ( 2 ) 研究了不确定奇异时滞系统的鲁棒控制问题首先，将正规不确定时滞 系统鲁棒控制的概念推广到不确定奇异时滞系统，并给出了不确定奇异时滞系统 广义二次稳定及其广义二次可稳的概念；然后，基于新构造的矩阵不等式，应用 矩阵的s c h u r 补性质证明了不确定奇异时滞系统的广义二次稳定性及其广义二次 可稳性，从而解决了此类系统鲁棒稳定及其鲁棒可稳等问题，并给出了其保性能 控制律和性能指标值的上界；最后，结合算例检验了此方法的可行性 关键词；不确定；镇定；广义二次；鲁棒稳定；时滞；奇异系统 r o b u s tc o n t r o lo fu n c e r t a i nl i n e a rs i n g u l a r s y s t e m s c u iw e n - ) 【i a a b s t r a c t ：b e c a u s er o b u s tc o n t r o lt h e o r yc a ns u c c e s s f u l l ys o l v er o b u s ts t a b i l - i t ya n dr o b u s tc o n t r o l l e rd e s i g n ，t h e r e f o r ei th a sb e e na b r o a d l yr e g a r d e da n df u l l y d e v e l o p e di nc o n t r o ld o m a i n r o b u s tc o n t r o lp r o b l e mi sd e r i v e df r o ma n a l y s i sa n d c o m p l e x i t yo ft h ep a r a m e t e ru n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m s ，o n es i t u a t i o ni sm a i n l yt h a t t h es y s t e m sa r ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l ef o ra l lp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e su n d e rg i v i n g t h er o b u s ts t a b i h t yc o n d i t i o n so ft h es y s t e m s ，a n dt h eo t h e ro a ei s i n v e s t i g a t e db y u s i n gm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r ，s u c ht h a tt h eo b t a i n e dc l o s e d - l o o ps y s - t e mb ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l ef o ra l lp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h i sp a p e ri n c l u d e s t h ea b o v em e n t i o n e ds i t u a t i o n sf o ri n v e s t i g a t i n gr o b u s tc o n t r o lp r o b l e m so ft h eu n - c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m s r o b u s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nf i n e a rs y s t e m si sf o r m u l a t e dp e r f e c t l yb yu s i n g l y a p u n o vi n e q u a l i t i e s ，r i c c a t ie q u a t i o n so ri n e q u a l i t i e s i nu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s - t e r n s ，t h ef o r m e rr e s e a r c hh a sc o n s i d e r e dr o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i sa n dr o b u s tc o n t r o l p r o b l e m su n d e rt h eg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o n so ri n e q u a l i t i e s h o w e v e r ，t h es o l v - i n go fr i c c a t ie q u a t i o n sh a sd i f f i c u l ty a st h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ys o , w a r ei s r i p e n i n g ，t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt h e o r yh a sb e c o m eam a i nt e c h n i q u et os t u d y r o b u s tc o n t r o lp r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，b a s i n go nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ， t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sp r o c e s s i n gm e t h o di su s e dt od i s c u s sr o b u s ts t a b i l i t y a n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e m so fu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m s ，a sw e l la sr o b u s t s t a b i l i t y r o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dr o b u s tp r e s e r v i n gp e r f o r m a n c ec o n t r o lp r o b l e m s o fu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e - d e l a ys y s t e m s ，e t c t h em a i nc o n t e n t sa n dc o n t r i b u t i o n si nt h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) r o b u s tc o n t r o lp r o b l e m so fu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sa r ed i s c u s s e d a b o v e a l l ，w eg e n e r a l i z et h eq u a d r a t i cs t a b i l i t ya n dq u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o nc o n c e p t so fu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m st ou n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m s t h ed e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e d q u a d r a t i cs t a b i l i t yo rg e n e r a l i z e ds t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sa r e g i v e no nt h ec o n d i t i o no fp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t yfb e i n gn o r mb o u n d e d ( 咿l i 1 ) w i t ht h e s ec o n c e p t s ，t h es t r i c tl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) a g ed e v e l o p e d a c c o r d i n gt ot h em a t r i xs c h u rc o m p l e m e n tp r o p e r t y , p r o v et h e s el m i ss u c ht h a tt h e u n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sa r er e g u l a r ，i m p u l s ef r e ea n ds t a b l ef o ra l la d m i s s i b l e u n c e r t a i n t i e s ，a n ds t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r ef o r m u l a t e d t h e r e f o r er o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e m so ft i mu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sa r es o l v e d ；a tl a s t ，w eg i v es o m e i l l u s t r a t i v ee x a m p l e st od e m o n s t r a t et h et r u t ho ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e s ( 2 ) r o b u s tc o n t r o lp r o b l e m so fu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m sa r ec o i l s i d e r e d f i r s t l y , w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p t so i lr o b u s tc o n t r o lt ou n c e r t a i ns i n g u l a r t i m e - d e l a ys y s t e m s ，a n dg i v et h ed e f i n i t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i t y o rg e n e r a l i z e ds t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s ；t h e nu s i n g t h es c h u rc o m p l e m e n tp r o p e r t yt op r o v eg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i t y ，g e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o no ft h ep a r a m e t r i cu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s u n d e rt h ee s t a b l i s h e dm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，t h e r e f o r er o b u s ts t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e m so ft h es y s t e m sa r es o l v e d ，a n dg i v i n gt h ep r e s e r v i n gp e r f o r m a n c e c o n t r o l e r sa n dt h eu p p e rb o u n do fp e r f o r m a n c ei n d e xf o rt h eu n c e r t a i ns i n g a l a r t i m e - d e l a ys y s t e m s ；f i n a l us o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t y o ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e s k e y w o r d s ：u n c e r t a i n ；s t a b i l i z a t i o n ；g e n e r a l i z e dq u a d r a t i c ；r o b u s ts t a b i l i t y ； t i m e - d e l a y ；s i n g u l a rs y s t e m 学位论文独创性声明 y g 0 0 1 2 a 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中己经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者繇搏 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：粹 日期h 。r 第一章绪论 1 1 不确定奇异系统的结构特性及应用背景 1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 在研究复杂电网络系统中首次提出了奇异系统模型【“ 奇异系统又称为描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统或半状态系统等 奇异系统是一类更为一般的系统并具有广泛的实际背景，在工业系统和社会经济 系统中均有重要的应用近年来，奇异系统的控制问题吸引了众多学者的关注和 研究f 2 - 然而大多数研究都是针对确定性系统模型进行的目前，不确定奇异 系统的研究正蓬勃兴起，并受到了理论与实际工作者的高度重视 因为在研究各种类型的不确定系统时，都是建立在系统的模型基础之上的 因此，要设计一个合理的系统模型就要考虑各种不确定因素的影响，从而须用多 种控制理论知识比如，对于系统中出现的随机噪声，需利用滤波的方法来处理； 在系统结构参数不明确的情况下，可以定性地进行系统辨识等；而对于结构或非 结构不确定性参数，将利用鲁棒设计方法建立系统的模型本文考虑的系统就是 结构不确定性奇异系统，其系统模型的基本形式如下： e y ( t ) = ( a + a a ) x ( t ) + ( b + b ) u ( t ) 【a aa b 一d f ( a ) e 1e 2 f 1 1 1 ) ( 1 _ 1 2 ) 其中r a n k e = rsn ；a “；b 豫n x m ；f ( 盯) 是模型中的不确定参数矩阵，且 满足f 丁( 盯) f ( 盯) 兰i ，存在盯v ：使得f = f ( 口) ，vcr 是一个紧集；z ( t ) r “ 是状态向量变量；札( t ) r 一是控制输入向量变量；d ，e t ，e 2 都是适当维数的 实常数矩阵若r a n k e = n ，则系统方程( 1 1 1 ) 可以写为 奎0 ) = e j ( a + a ) z ( ) + e 一1 ( b + a b ) u ( t )( 1 1 3 ) 它是常规的线性不确定系统若r a n k e = r 咒，则系统方程( 1 - 1 1 ) 是通常的不 确定奇异系统 系统( 1 1 1 ) 表示连续不确定奇异系统，类似的离散不确定奇异系统可以表示 为 e x ( k + 1 ) = ( a + a a ) x ( k ) + ( b + b ) u ( )( 1 1 - 4 ) 2 0 世纪9 0 年代前后，许多学者已经开始对不确定奇异系统进行研究【5 一，其中 一些文献研究的不确定奇异系统模型如下： 例1 1 _ 妒o 】研究的离散时间不确定奇异系统模型为 ( e + e ) z ( + 1 ) = a x ( k ) + b u ( k ) 1 其中r a n k e = r 0 ，i 。定义为( ) 的模矩阵； p 是非负定矩阵 例1 1 3 i 1 2 】研究的模型为 e 圣( ) = a x ( t ) ，e x ( o ) = z o( 1 1 5 ) e x ( k + 1 ) = a s ( k ) ，e z ( o ) = x o ( 1 1 6 ) 序对( e ，a ) 不是确定的，它属于一个凸有界集q 三 ( e ，a ) ：( e ，a ) = 墨，文( 墨，a ：) 文0 ，：兰，盈= 1 ) 即q 兰 ( e ( 6 ) ，a ( 6 ) ) ，6 ) ，三 6 ：6 = ( 5 1 ，6 2 ，6 ) ，国 0 ，兰& = 1 ) 在这些不确定奇异系统模型中，其不确定项大多数都是结构性的，但其研究 方法不尽相同由于此类系统不确定性结构特点的影响，使比对确定的奇异系统 研究更为复杂 1 2 不确定奇异系统的鲁棒控制的研究现状 鲁棒是控制对象在一定范围内变化时，它能在某种程度上保持系统的稳定性 与动态性能的能力。鲁棒控制是控制理论中最重要的研究领域之一在过去十年 里，正规的不确定状态空间系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒可稳性等问题一直备受 关注而且，研究这些问题的主要方法是基于l y a p u n o v 稳定性理论和系统的二次 稳定及其二次可稳性概念【1 3 1 此类方法不管是对连续的不确定线性系统还是对 离散的不确定线性系统都很有效，而且这方面的理论研究已趋于完善近年来， 很多学者已把眼光放在不确定奇异系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒可稳性等问题 上对于不确定奇异系统的鲁棒稳定性分析，1 9 9 2 年q i u 和d a v i s o n 给出了非 结构不确定项的最小范数界，使得含有复系数参数的奇异系统稳定1 9 9 3 年 f a n g 和c h a n g 给出了结构不确定性的上界，从而确保了所研究的不确定奇异系 统的鲁棒稳定性【1 5 1 ，后来他们又用此类方法解决了此类系统的鲁棒可稳性等问 题然而，1 9 9 4 年f a n g ，l e e 和c h a n g 想用此方法直接给出非结构性不确定奇异 系统的鲁棒可稳控制器，但最终只是验证了此方法对j e 结构不确定性奇异系统是 2 不适合的1 9 9 7 年f a n g 和h s i e h 给出了一个精确的不确定性的界，这个界是将 解决鲁棒稳定性问题转化为求矩阵鲁棒秩问题得到的关于不确定奇异系统 的鲁棒可稳性问题，1 9 9 6 年y a s u d a 和n o s o 及x u 和y a n g 都是基于此类系统的 广义二次可稳性概念进行研究的 t t , l s 】值得注意的是，在处理结构性还是非结 构性不确定奇异系统的鲁棒稳定性以及鲁棒可稳性问题时，不仅仅使原系统或所 得闭环系统是稳定的，还要使系统是脉冲自由或因果的。一些文献给出了满足上 述要求的含有参数不确定性的矩阵不等式，如下： ( 1 ) x u 和y a n g ”t ( 2 0 0 1 年) 给出了下列矩阵不等式 fe 丁p e 0 ( a 。+ 厶) t p ( a + a ) 一e ? p e 0 b l - 2 1 ，n ( 1 2 _ 2 ) lp a 。+ ( p a t ) r o,，i邓=1),即2,-a e ) 0 0 ：i ：1 川2 一， ( 1 2 3 ) i r ) p ( 6 ) a ( 6 ) 一7 ( 6 ) p ( 6 ) e ( d ) ：i = ， ” 成立，从而有结论为：离散奇异系统( 1 1 6 ) 对所有( e ，a ) n 是正则、因果和 s c h u r 稳定的充分条件是矩阵不等式( 1 2 ，3 ) 有解阵p ( d ) ( 3 ) x u 2 0 ( 2 0 0 4 年) 给出了下列矩阵不等式 砰p u l 一e 丁p e + q s 7 仉+ 吁s q 丁 0( 1 2 4 ) 成立，其中巩= a + a a ，s r “( ”) 是列满秩矩阵且满足点y s = 0 。并有结 论：奇异系统( 1 1 4 ) 是广义二次稳定的充分必要条件是上矩阵不等式有解阵q 和正定矩阵p 并用类似的方法给出了不等式 畦p u 2 一e t p e + q s 丁u 2 + 孵s q r 0 表示系统的滞后时间；b ，d ，e - ，局都是适当维数的实常数矩阵；妒( t ) 是给定 的初始向量值连续函数当r a n k e = n 时，系统( 1 3 1 ) 变为 圣譬：2 e ，- 1 、( a + ，a a ) x ( t ) + e 一1 ( a d + a a d ) z o d ) 十e 一1 b “o l ( 1 3 2 ) iz ( ) = 妒0 ) ，t 一d ，0 、 它是常规的不确定时滞系统 系统( 1 3 1 ) 表示连续不确定奇异时滞系统，类似的离散不确定奇异时滞系统 为 e 圣( 七+ 1 ) = ( a + a a ) z ( k ) 十( a d + a a a ) x ( k d ) + b u ( k )( 1 3 3 ) 4 近几年，对不确定奇异时滞系统也有一些研究x u 在2 0 0 2 年对模型为 e 士( 。) = ( a + a ) z ( 。) + ( a d + a d ) z 一r ) + ( b + b ) “( ) ：( 1 34 ) iz ( t ) = 妒0 ) ，t 一r ，0 7 的系统进行了研究，他主要利用l y a p u n o v 稳定性理论给出了不确定奇异时滞系 统的广义二次稳定及其广义二次可稳的概念，并基于此给出了此类系统鲁棒稳定 及其鲁棒可稳的充分必要条件阳x u 和l a mj a m e s 在2 0 0 3 年研究了不确定 离散奇异时滞系统的鲁棒稳定性和d 一稳定性2 0 0 4 年c h e n 和l i n 在假 定不确定离散奇异时滞系统的名义模型是正则、因果和稳定的前提下，研究了正 规离散时滞系统的鲁棒稳定性的性质，给出了基于肛一分析和保映射理论的不确 定离散奇异时滞系统鲁棒稳定的充分必要条件 2 9 1 2 0 0 4 年d o n gx i n z h u a n g 和 z h a t i gq i n g l i n g 研究的模型是 fe 2 ( t ) = ( a + a a ) z ( t ) + ( a a + a a d ) z ( t d ) + ( b l + a b l ) u ( t ) + ( b 2 + a b 2 抛( t ) jz ( t ) = ( c 1 + a c l ) z ( t ) + ( c l d + a c l d ) z ( t d ) + ( d 1a + a d 】1 ) u ( ) l+ ( d 1 2 + a d l 2 ) “( t ) ， 【z ) = l p ( ) ，t 一d ，0 其中带有项的都是不确定性此文献也是基于l y a p u n o v 稳定性理论给出了此 类系统广义二次稳定和广义二次可稳以及h o 。控制的判定条件【3 0 】 1 4 本论文的主要工作及结构安排 本论文主要研究了不确定奇异系统的鲁棒稳定性分析、鲁棒控制等问题及不 确定奇异时滞系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制等问题其中包括不确定奇异系 统的鲁棒稳定性及其鲁棒可稳性；不确定奇异时滞系统的鲁棒稳定性及其鲁棒可 稳性和鲁棒保性能控制；同时给出了不确定奇异时滞系统的保性能控制律等得 到的主要结论有： ( 1 ) 推广了确定的奇异系统正则、脉冲自由和稳定的判定条件，构造了一种 新的l m i a 丁p e + e r p a + a 了昂q + q 7 e t ae e f e e l - e l d t ( p e + e o q ) 0 0 0 a t p + 尸t a + e e e 1 + sp t a d + c e t e dp 丁d a t p + e 嚷e 1- s + e 壤e d 0 d t p0 一e i 0 a r 尸+ p t a + a e t e l 十s 一5 - 1 p t b b t pp 丁a d + a e f e dp 丁d a 暑p + o 【e t e ls + 碍e d 0 d t p0 一i 并取u ( t ) = d _ 1 曰7 p x ( t ) 若将上述矩阵不等式中的广义约束条件去掉， a t y + y 丁a + a e t e l + s + 0 一y t b r 一1 日r y a y + q 砑蜀 d r y 则有下面的矩阵不等式 y 7 1 4 d4 - a e t e dy 了1 d s + 懿e d 0 0 - a i 0 o 其中y = x e + e o q l 并得到保性能控制律札( t ) = - r _ 1 b 。r y x ( t ) ，则不确定奇 异时滞系统( 1 3 1 ) 是广义二次可稳的，且对所有允许的不确定参数矩阵f 使得 性能指标满足 l ，sz i e 丁y z o + 妒t ( r ) s 妒( 丁) d 丁 ，o j d 6 本论文结构安排如下： 第一章，绪论首先给出了不确定奇异系统的结构特性及应用背景；其次给 出了不确定奇异系统的鲁棒稳定性及其鲁棒可稳性的研究现状；然后给出了不确 定奇异时滞系统的鲁棒稳定性及其鲁棒可稳性的研究现状；最后给出了本论文的 主要结论 第二章，不确定奇异系统的鲁棒控制首先给出了奇异系统正则、脉冲自由、 稳定和不确定正规系统二次稳定的定义等预备知识；其次给出了不确定奇异系统 的鲁棒稳定性及其鲁棒可稳性的主要结论和一些数值例子；最后进行了小结 第三章，不确定奇异时滞系统的鲁棒控制首先给出了不确定奇异时滞系统 正则、因果和稳定等定义，并设定了时滞系统的性能指标等预备知识；其次给出 了不确定奇异时滞系统的鲁棒稳定性和鲁棒可稳性及其鲁棒保性能控制等主要结 论和一些数值例子；最后进行了小结 7 第二章不确定奇异系统的鲁棒控制 2 1 预备知识 考虑不确定奇异系统模型： e x ( t ) ：( a + a ) 。( ) + b u ( t )( 2 ，1 1 ) 其中r a n k e = r n ；a 黔“；a a = d f ( t ) e 1 ，r ( t ) 是模型中的不确定参数矩 阵，且满足f r ( t ) p ( t ) 墨，；d ，e l 都是适当维数的实常数矩阵若存在状态反馈 u ( t ) = k x ( t ) ，代入系统( 2 1 1 ) 可得不确定闭环奇异系统为 e 2 ( t ) = ( a + a a + b k ) x ( t ) ( 2 1 r 2 ) 定义2 1 1 a l l 考虑奇异系统 e e ( t ) = a z ( t ) ，r a n k e = r n ( 2 1 3 ) 1 ) 若存在z c 使得d e t ( z e a ) 0 ，则系统( 2 1 ，3 ) 是正则的； 2 ) 若d e g ( d e t ( z e 一4 ) ) = r a n k e ，则系统( 2 1 3 ) 是脉冲自由的； 3 ) 若系统( 2 1 3 ) 是正则的，且口( e ，a ) cc 一，则此系统是稳定的 定义2 1 2 若对所有的不确定项a ，不确定奇异系统( 2 1 1 ) 都是正则， 脉冲自由和稳定的，则称奇异系统( 2 1 1 ) 是鲁棒稳定的 定义2 1 3 若对所有的不确定项a ，存在状态反馈( f ) = k z ( t ) 使所构成 的闭环奇异系统( 2 1 2 ) 是正则、脉冲自由和稳定的，则称不确定奇异系统( 2 1 1 ) 是鲁棒可稳的 定义2 1 4 对正规的不确定线性系统i ( ) = ( a + a a ) x ( t ) + b u ( t ) ，若 ( a + a a ) r p + p ( a + a a ) 0 ，则w 十d f e l + ( d f e l ) t 0 和矩阵q 使得a r ( p e + e o q ) + ( p e + e o q ) 丁a 0 成立 3 ) 存在矩阵x 使得 fa t x + x t a 0 和矩阵口使不等式 ( a + a a ) r ( p e + 岛q ) + ( p e + e o q ) 7 ( a + a a ) 0 和矩阵q 使 ( a + b k + a a ) 丁( p z + e o q ) + ( p e + e o q ) t ( a + b k + a a ) 0( 2 1 7 ) 成立，其中z o 酞“( ”州为满足e 叮岛= 0 的列满秩矩阵，则不确定奇异系统 ( 2 1 1 ) 是广义二次可稳的 定义2 1 8 如果存在状态反馈u ( t ) = k z ( t ) ，k r “和矩阵x 使 ( a + b k + a ) 丁x + x 7 ( a + b 盯+ a ) 0 成立，则不确定奇异系统( 2 1 1 ) 是广义二次可稳的 本文中将鲁棒控制问题转化为l m i 可行性问题，在这里简要介绍一下线性 矩阵不等式一个l m i 就是具有形式 f ( x ) = f o + z 1f 1 + + f m 0 的一个表达式，其中0 1 ，z 2 ，o 。是m 个实数变量，称为l m i 的决策变量， z = ( z 1 ，z 。) r 是由决策变量构成的向量，称为决策向量只= 碍。 黔一，i = 0 ，1 ，m 是一组给定的实对称矩阵，式中的不等号指的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对于所有非零的向量口，? 2 t f ( o ) u 0 ，或者f ( x ) 的最大特征 值小于零 如果把f ( x ) 看成是从r ，到实对称矩阵集s “= m ：m = m t r “”) 的 一个映射，则可以看出f ( x ) 并不是一个一个线性函数，而只是一个仿射函数因 此更确切地说，此类不等式应该称为一个仿射矩阵不等式但由于历史的原因， 目前l m i 这一名称已被广泛接受和采用在许多系统与控制问题中，问题的变量 是以矩阵的形式出现，例如l y a p u n o v 矩阵不等式 f ( x ) = a t x + x a + q 0 和矩阵q 使下面的l m i a 7 尸e + e 丁p a + a r e o q + q 丁霹a e e l d 7 ( p e + 岛q ) 1 0 ( p e + e o q ) t d 0 - c i 成立，其中岛p x ( n - r ) 为满足e 口岛= 0 的列满秩矩阵 证明先证明充分性假设存在e 0 ，p 0 和矩阵q 使得不等式( 2 2 1 ) 成立对不等式( 2 2 1 ) 左边的矩阵分别左乘和右乘d i a g ( i ，e - i ，i ) 可得 a t p e + e t p a + a t 岛q + q r 瑶ae e 1 一e - i i d r ( p e + e o q ) 0 0 ( 2 2 2 ) 成立，则对不等式( 2 2 2 ) 通过矩阵s c h u r 补性质可得下面的矩阵不等式 1 a t p e + e t p a + 譬e o q + q t e t a + e 鹾e t 十( p e + e o q ) t d d t ( p e + e o q ) 0 l 成立，由引理2 1 1 可得 a t p e + e t p a + a t e o q + q t e a + 砰f 丁d r ( p e + 岛q ) + ( 尸e + 正1 0 句) t d f 毋 0 成立，因此可得 ( a + a a ) t ( p e + e o q ) + ( p e + e o q ) t ( a + a ) 0 和矩阵q 使得不等式( 2 1 5 ) 成立即 a t p e + e t p a + a t e o q + q t 瑶a + 碍f t d r ( p e + 岛q ) + ( 尸e + 岛q ) t d f e l 0 0 和矩阵x 使得不等式( 2 2 4 ) 成立 对不等式( 2 2 4 ) 中的l m i 左边的矩阵分别左乘和右乘d i a g ( i ，j ，口- 1 i ) 可得 a r x + x 丁ax r d r d x- a i 晶 0 成立，则由上式通过矩阵s c h u r 补性质可得 0 a t x + x t a + o 一1 x t d t d x + a e t e l 0 ( 2 2 5 ) 成立，由引理2 1 1 可得下面不等式 a t x + x t a + 殴铲d o x + x t d f e l ( 0 成立，因此可得 ( a + a a ) t x + x t ( a + a a ) 0 使不等式 ja r x + x t a 十c x r d r d x + e e 1 0 ，p 0 和适当维数的矩阵q 使下面的矩阵不等式 a t p e + e r p j 4 + a t e o q + q t e a 一5 - 1 g g t e e i e j dt(pe+eoq)0 成立，其中g = 矿p b + q t 瑶口；e o 耻。( ”r ) 为满足e t e o = 0 的列满秩矩 阵；并选取“( t ) = 一5 - 1 6 r x ( t ) 证明先证明充分性 应用札( t ) = 一5 - 1 g t x ( t ) 代入系统( 2 1 1 ) 可得闭环奇 异系统为e 2 ( t ) = ( a + a a ) x ( t ) 一5 - 1 b g r x ( t ) = ( a 一5 - 1 b g r + d f e l 净( 后) ， 其中 g = e 丁p b + q r e 手b ，则 ( a 一5 - l b g t + d f e l ) r ( p e + e o q ) + ( p e + e o q ) t ( a 一5 - 1 b g r + d f e l ) = ( a 一5 - 1 b g t ) 7 p e + e r p ( a 一5 - 1 b g r ) + ( a 一5