（应用数学专业论文）破产概率与破产分布.pdf

摘要 破产理论研究保险公司等风险经营管理机构的破产概率和破产分布。分析经营状况和运营的 稳定性。破产概率和破产分布对风险经营管理机构的运营年i l 经营的安全性至关重要。它们的 精确表达式在绝大部分情况下无法得到。通常用调节系数来计算破产概率，破产分布的计算 比破产概率复杂得多。在文献中，有关破产概率的论文较多，但是讨论破产分布的文章很 少。如果我们能够得到破产分布，或者得到其近似分布，对于计算净保费，安全附加保费， 准备金再保险，红利和风险投资等都会有很大帮助。本文讨论了在经典连续模型，半连续 模型以及全离敝模獭下保险公司破产概率和破产分布。破产概率问题包括最终破产概率和破 产时刻分布- 破产分布包括破产前瞬间盈余分布，破产时刻的索赔分布，亏损分布和破产髂 一索赔周期开始时刻的盈余分布。得到了若干积分泛函方程以及在一些具体情况下破产概 率与破产分布方程的解。通过方程还可以进一步计算数值解，或模拟解。 关键词： 破产概率，调节系数，破产分布，停时，概率母函数，样本轨道，随机过程，转 移概率，吸收状态，转移矩阵 中图分类号：0 2 1 1 a b s t r a c t r u i nt h e o r ys t u d i e sr u i n p r o b a b i l i t ya n dr u i nd i s t r i b u t i o n so fi n s u r a n c ec o m p a n yr i s ko ro t h e r m a n a g ed e p a r t m e n t s a n a l y s e st h ec o n d i t i o na n ds t e a d ys t a t eo fm a r k e t i n g t h er u i np r o b a b i l i t y a n dt h er u i nd i s t r i b u t i o na r eb a s i c a l l yi m p o r t a n tt ot h eo p e r a t i n ga n dm a r k e t i n gf o rt h ei n s u r a n c e c o m p a n y o ro t h e rs i m i l a rc o m p a n i e s o n l yi nt h es p e c i a lc o n d i t i o n sc a nw e g e tt h es o l u t i o n so f t h e r u i np r o b a b i l i t yo rt h er u i nd i s t r i b u t i o n s g e n e r a l l y , w eu s et h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n tt oc a l c u l a t e t h er u i np r o b a b i l i t y t h er u i nd i s t r i b u t i o n sa r em o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h er u i np r o b 曲i l i t y w e c o u l df i n dal o to f e s s a y sa b o u tt h er u i np r o b a b i l i t y , b u th a r dt of i n dt h ep e r sa b o u tt h er u i n d i s t r i b u t i o n s 1 fw ek n o wt h e m ，o rc o u l de s t i m a t et h e mp r e c i s e l y , i tw i l lb eh e l p f u lf o ru st o c a l c u l a t et h en e tp r e m i u m ，s a f e t y a p p e n d a g ep r e m i u m ，r e s e r v e ，r e i n s u r a n c e , d i v i d e n d s ，r i s k i n v e s t m e u t 。e t c t h i sp a p e rh a sd i s c u s s e dt h er u i n p r o b a b i l i t ya n d t h er u i nd i s t r i b u t i o n so f i n s u r a n c ec o m p a n ya b o u tt h ec l a s s i c a ic o n t i n u a im o d e l t h es e m i - c o n t i n u a im o d e ia n dt h ed i s c r e t e m o d e l t h eq u e s t i o no f r u i np r o b a b i l l t y ；n c l u d e st h er u i np r o b a b i l i t yj nt h ee n d a n dt h ed i s t r i b u t i o n o f r u l nt i m e t h er u i nd i s t r i b u t i o n sj n c l u d et h ed i s t r i b u t i o no f s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r u i n t h e d i s t r i b u t i o no f c l a i ma tt h et i m eo f r u i n ，t h ed i s t r i b u t i o no f d e f i c i t ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no f s u r p l u sa t t h e b e g i n n i n go ft h ec l a i mp e r i o db e f o r er u i n w eg e ts e v e r a li n t e g r a le q u a t i o n so ft h er u i n d i s t r i b u t i o n sa n ds o m es o l u t i o n sl nt h es p e c i a l c o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ec a nc a l c u l a t et h e n u m e r i c a la n dt h em o n t ec a d om o d e is o l u t i o n s 枷w 咄：r u i n p r o b a b i l i t y , a d j u s t m e n t ，c o e f f i c i e n t ，r u i nd i s t r i b u t i o n s ，s t o p p i n gt i m e 。p r o b a b i l i t y g e n e r a t i n gf u n c t i o n ，s a m p l et r a c e ，s t o c h a s t i cp r o c e s s ，t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y , a b s o r b i n gb a r r i e r , t r a n s f e rm a t r i x 破产概率与破产分布 经典连续模型 在区间( o ，码内索赔次数i ) 服从参数为a t 的泊松分布索赔额( k ，l l t 】) 独立 同分布( i , i d ，) ，密度为，( ”) ，( k m 1 ) 与( t ) 独立 定义盈余随机变量 风= 。o + c 一s n ( o 其中z 0 2 l j ，c o 卸( f ) = h - | 托+ + 】，( f ) 首先，考察特殊情形c = 0 及( m 1 ) 服从参数为n 的指数分布 引理1 1 0定的的活律现性!蓉沦i陡崎斌碗舰烈为规枇剧象对理潦确风功不一劂行性随确现同险决不_： 数和最致的机多或机如风l肭渊一一一一舭一一一一堋一掷飙猢继呦人是毙jil的理样预度脸 僻为定性在定现握律术果嗵法l 婴 锱分确定内确机把规鼓站健瞳测 匙 撑果不确和，随地性行性绗定溯 淄 徽躲凛粼裂髓勰 黻 一一一一一一一一一一一 一 潍搬可事险啪出淡才折考对睫盼 挽：一不的风配现，分分不司为可 堂 粥辄税幽剐曳表律静挑而沦汾激 博 棺蝴垂舢黻闸脯嘶慨纠臌躲雠触默氰 卜 觚飚州删礁引雠冀舭得聃燃盖；黼燃躺 务 深雨舌耄翘栅豁碱象均机别研究控 如果随机变量序列x 1 ，托，x 。相互独立，都具有参数为a 的指数分布，那么随 机变量的和x l + 托+ + j h 的密度g n ( x ) 和分布g 。( z ) 分别为 并且 咖，= a 型寻扩叫 g n ( 髫) = l e n $ f 1 + “：”+ ( n z ) ( ”1 、 + 1 而j 0 0 肌( z ) = n n = l 可用归纳法证明 引理1 2 ( 破产前瞬间盈余分布) 设随机变量z 为破产前瞬问盈余，那么z 的分布为 p ( z s z ) = ( 1 一e 一“。) ( o $ m o ) + ，( 口o ) 证明 假设t 是破产时刻，当0 ) d y ：囊，“鲰( ) 。_ 州删曲 ：”曼甄( ) 。嘲刊咖 ：，。( y e n ( m 。一u ) d y j x o z = 1 一p o o 因此变量z 具有分布 p ( zsz ) = 1 p ( z 3 ：) = ( 1 一e o 。) j ( osz $ o ) + j ( 。x o ) 2 其中i ( ) 是示性函数 引理1 3 ( 使发生破产的索赔分布) 若索赔变量k 使得风险经营机构发生破产，则瓯一1 z o s k 。令l = 乳一瓯一l 那么随机变最l 具有分布 p ( l 茁) = ( 1 一e 一。一o l x e o 。) ，( 0 z z o ) + ( 1 e 一。2 一( _ x o e 一。) j ( z t , 0 ) 证明 首先，设01 $ x o ，那么事件( l 岳) 成立当且仅当对于某一组数仉y 同时满足 = y 和x o y 五沣1s 。这需要t o 一$ $ o ，”的值为0 到z o ，将事件 o o s l t ) 的概率e - o x o e - o z 加到 上式右段。其余类似 m 剑= 薹小( e - a ( z o - y ) _ e - a 2 斛e o e 一 ：f o v e ( e n ( 一9 ) 一e 一。z ) d ”+ e - c t x o e 。z j o = 1 一e o 。一a 。o e o 。 令z l 。o ，习5 么 p ( ls t o ) = 1 一e 圳。一( 1 _ 窟o e 0 2 0 因此，使发生破产的索赔k 即l 的分布为 p ( l 茁) = ( 1 一e 0 2 0 1 e 0 2 ) j ( o $ 盅o ) + ( 1 一e 一。一( y x o a o 。) j ( t , 0 ) 对上式求导得工的密度为 ，( $ ) = 0 1 2 z e 0 2 i ( osz z o ) 4 - o ( 1 + o 搿o ) e 一。2 ，( 茹嚣o ) 从前两个中的任何一个式子，我们知道使发生破产的索赔分布是两个连续变量的混 合，对指数变量的截尾修正先粗后细，使分布左移，密度衰减得更快。 极限 3 一e蚴一 帕 一 味 l l 曲舻 0 , 0 为破产概率，定义事件和概率 a = ( u i 3 t ，矗c = x o + c t s n ( o 0 】 b = u i r t = z o + c t s n ( o ：1 a 。若q c a ，贝0 口( $ o ) = 1 。 证明 由连续型全概率公式 o ( x o ) ：f ”a e 一 t ( i 。f ( y ) d y + ，。+ 6 ro ( x o + c t ) ，( 9 ) d y ) d t j 0 3 x o 斗c t j o 4 忙口 珊 z 脚 知 n e z 矿 吨 一 e 1 i | i | 神 一 p = z ”扩灯e 盯m ) d y a t + z ”扩盯= o + c t 0 ( ”- 盯刊m ) d y d t 将，( y ) = o r e - o 。”及口( $ o + c t g ) = 熹e 一8 皆( z 。+ c r y ) 代入方程右端， 厂a e 一灯f x ：a e - a v d y d t + j f o o e2joj x o + c t j 0j ，0 “”+ “盒e 一2 生t 州d 。们a e 一。”曲a t o c = j ( 。a e 一。一c n c + ，r 以1 + z 。0a e 一耵o 。+ 。r ；e n c z n + c 7 ，+ ”c z ”r 据 = o t c - e - a z 。+ z 0 。( a e ( 一a ) z o - a c t _ ) 、e - o x o - ( n c + ) t ) d t ：k 。一n z 。+ 立。峄z 。十k 。一一 o c + ad co t c + a ：未e 学吣咏。) 汉斯u 盖伯通过求解微分方程得出了这一结果1 汉斯还通过随机过程中的交 换过程得到口( o ) = e - a i e y ，其中e y 是索赔额期望。 定理1 2 ( 破产时刻定分布方程) 设s ( x o ，t ) 表示破产时刻r 的分布，则s ( x o ，t ) 满足方程 f o o ，r $ o 十c 了 s ( z o ，t ) = fa e 一3 1 ( ，( 9 ) d y v t ( ) + fs ( x o + c t y ，一t ) d y ) d t j o j x o 斗以 j 0 其中u r ( t ) = ，( t t ) 是一单点分布函数。方程包含在+ 。o 处的值。 当c = 0 时，方程化为 o，)：(一em)，”f(v+!”ae一t1“s(，一t)rd7s(x t1 f ( y ) d yd y d 7 ，o ，) = ( 一e m ) + a e 一 t “s ( ，一t ) 1 j , t o j 0j 0 记破产时刻r 的密度为9 ( o ，) ，则密度方程为 ，。o，r z 0 十c l g ( o ，t ) = f e 一3 丁( f ( y ) d y s t ( t ) + g o + c t y ，一t ) d y ) d t j 0 ，z o + c 1 j u 这里西( f ) 是脉冲函数 当c = 0 时，方程化为 g ( t ) ：扩m ”m ) 旬+ f 。扩 t “g ( f ，廿) d y d t 定理1 3 ( 破产时刻分布方程) 如果不包含在+ 。处的值，即s ( x o ，t ) 是规范的分布方程，则它满足以下方程 s ( z 。，。) 。两i 上( 上。+ 盯f ( y ) d y u t ( 。) + 工 s ( z 。+ d 一”，。一t ) 4 ”) 以 密度g ( x o ，) 满足方程 咖“) = i 南上。扩灯( z 二棚，m m 川) + 厂d 咖。+ 凹- y , t - t ) 剐打 当c = 0 时，方程可化为 咖“) = 丽1 扩m e m 肼z 0 0 扩灯z x 0 9 ( y , t - t ) 曲d t 定理1 4 ( 破产前瞬间盈余分布) 假设z 是破产前瞬间盈余随机变量，那么变量z 具有如下的分布。 当$ z o 时 牡；上挚扩 t 己m m d t 当0 z z o 时 + 字z o o 舻“厂7 1 f 一= 字上”a e - x t 厂盯 其它f ( 峦o ，。) = 0 。 证明 当z 髫oh 寸 蚴 p ( o y z o - t - c t ) f ( x o + 盯一y ，z ) d y d t j磐b聊o+ct-y，：l：)dydtp(o y $ o + c t ) “ + f ( 。，$ ) = p ( z zi a ) = ；p ( z 茎z ， ) = ；p ( z s z ，a 目) + ；p ( 彳。，a c ) = ；j ) ( z s $ ，口) + 石1 p ( a c ) p ( z z i a c ) = ；z 挚扩灯曲d t + 字o a e - v i 厂t 如果f ( y ) = a e o ”( 0 ) ，则 塑 p ( o y x od - c t ) f ( x o + c t y ，x ) d u d t ；z 挚扩 r e 蚴 = ；一。趣a e - x t e - a ( x o + c ) d t = i 吒j 高e 一。( i - e - ( n ) ( z z 。) ) 6 当0 。o ，用全概率公式可以得到 f ( x o ，x ) = 字z 。扩灯z x o + c t f 丽脚。+ 以- y , z ) 悯 定义函数 h ( x o ，$ ) = ( 1 一c 一( + 。) ( z z 。) ) 1 ( ：f z o ) 得到索赔额为指数时的盈余方程 f ( z 。，z ) = 石i j 南e - x o h ( z 。，z ) + 1 一石i x i ；丽e n z 。) j ，o 。a e 一 rd ，0 2 。+ 。r 令c 0 ，则0 t 1 ，h ( x o ，。) _ 坼。) ( $ ) ，这里。) ( 。) = i ( x x o ) 是一单点分布函数 我们有 f ( x o ，x ) = 。_ n “训( z ) + 工矿哪f ( 。吨却 r m 0 方程有解 f ( x o ，。) = ( 1 一e ) ，( o g 嚣o ) + j ( $ x o ) 我们可以很容易地证明事实上，如果z m o ，将解f ( z o y ，z ) = 1 代入方程的右端 e n 。+ z 。e 一”a ”= 如果0 兰z 啪，类似地，我们有 f 。e 删f ( x o - - y ，x ) 由 f x o of x o = fa e - - a y ( 1 一c - - o y ) d + fa e - - c l y e l y j 0j z n z = 1 一e o 。 定理1 5 ( 使发生破产的索赔分布) 设随机变量l 表示发生破产时的索赔分布，那么变量_ l 的分布满足方程 当霉x o 时 7 g x o i t ) = ；z 挚扩灯顶p ( x o + 丽c t y _ x ) d t + 字z ”扩灯o ”+ 羽而麓 g ( x o + c t 9 ，x ) d v d t 当0 重 o 时 加字，f 。o 。) r e - a t 广盯而g + 盯喵”) d y d t 其它g ( x o ，g ) = 0 证明 首先，设z t o ， g ( x o ，。) =p ( ls m i a ) = ；p ( l sz ，a ) ；p ( l g ，a b ) + ；) m ，a c ) ；p ( b ) p ( 工z i b ) + ；p ( a g ) p ( s z i a c ) o f f 扩心篙导铲打 等f o c 。e - x tr 蚴 p ( o ysx o + c t ) g ( x o + c t y ，x ) d y d t 如果索赔变量y 具有指数分布街度，( ”) = 一一”( ”o ) ，那么 1 、 f o - 扩灯筹筹挈胛 ：z 挚扩盯i e - 。( z o 丽+ c t ) _ 矿e - a x 打 ：，竿扩灯一。) ，挚扩( a - a c ) d t e-c，(tdt ：。a e 以r 一 ”。 e j o j 0 ：l + 熹。 。- 志e n ( p 如果0 sz z o ，用全概率公式得 g = 字上。0 扩灯 定义函数 了典生j而g(知+ct喵)d嘏，p(o y x o + c t ) u 、 ” 。，= ( 1 + 焉e 。 当有指数索赔额y 分布方程如下 g ( x o ，$ ) 定义函数 j ) 、- - 一a c 一 叫m ) 1j ( z z 。) = 丽睾面e - o k ( 跏 + 1 一矗b e 一。) f o 。a e - a t 一r 等曷丽g c x o - - c t - y , x ，由打 令c l0 ，我们有 方程有解 ，。) = 珊。( 如，$ ) = ( 1 一e 一。) m 蜘) g ( ) ；e “6 ( 。) + 上盯”g ( 。o 峭。) 曲 r z 0 g ( x o ，$ ) = ( 1 一e 一8 。一o t x e 一“。) j ( o 曼茁 茁o ) + ( 1 一e 一。一f x x o e 。2 ) f ( x o ) 证明如下 如果。o ，由于 我们有 g ( x o y ，z ) = 1 一e o 。一“( z o 一) e o 。 这里0 sy 。o 将它代到积分方程的右端 e 一。z 。( 1 一e n ( z m 。) + - 2 。n e t ，”( 1 一e n z j 0 如果0 z x o ，因为 g ( x o ，$ ) = 1 一e 一“。一d 嚣e o 。 9 我们有 g ( x o y ，嚣) = ( 1 一e 一。一o t t , e - - o t 。) ，( o y x - - x o ) + ( 1 一e - a z - - o ( z o 一”) e 一。) j ( z o 一茹茎y z o ) 用这个公式替换积分方程右端的g ( x o 一”，。) 我们得到 n e ，z ) d ” o - - a y g ( x u yj0 f x o z = “e - o t y ( 1 一e o 。一a z e o 。) d ” j 0 + n e - c r y ( 1 一e o 。一“( z o y ) c - 。) d ” j n z = l e 0 2 一d e o 。 定理1 6 ( 亏损分布) 如果保险公司在时刻r 破产，那么r 7 一翱+ 以”一s n 1 n +) + 挈厂。 。 f j o a tf 。o + d ，( ) j op ( o y t , 0 + c 1 1 ) 其中0 如果z 0 ，男5 么h ( x o ，茹) = 0 。 证明 h ( 。o + c 7 1 y ，x ) d y d t 日( $ o ，。) = p ( 。i a ) 。；p ( ，a ) 1 = ；p ( 。，a b ) + ；p ( 。，a c ) = ；p ( b ) p ( w 茎z i b ) + ；p ( a c ) p ( w z i a c ) = 0 0 。a e - a t 坐篙筹箬并型a t + 字o c 。a e - a 厂7 1 。! ! ! j ( ( j y n + c ) h ( v o + c ! l 一 ，z ) d , j d t 如果索赔变量y 有指数分布密度，( ”) = a e n ”( o ) ，那么 z 。o e 1 t p ( z o + c t z o + c t ) 1 0 = z ”扩 ! 竺等嘉赛二竺舸 = z ”扩1 1 - e - ”) d t = 1 一e 一。 我们得到如下的指数索赔额的亏损分布方程 h ( x o ，。) = 丽高e m ( 1 - - e - ) + 1 一丽b e 。) z ”扩矧盯矗岛脚。埘鸭。) d 。d t 方程有解h ( x o ，。) = 1 一e - - 一扛o ) 事实上， 聊。，。) = 反南e “( 1 - - c - a $ ) + 1 一丽e 。) z 。扩胛订1 矗鬟丽c 1 - e - a z ) d ，d t = l e o 。 生塾是说，当毒赔銮蕈y 为指数随机变量时，亏损分布与索赔分布相同。 定理1 。7 ( 破产翦一索赔周期开始时的盈余分布) 。 设t 是索赔时刻，破产时刻为t ，定义随机变量 r = s t 妒 t i t t ) 摆枣! 哩庐三。0 二由t 和r 的定义我f f 有r 一个停时，但是r 不是停时。在时刻r 时 的盈余分布满足 。 加札肛) + 字z 。0 扩灯j ，o “坩而鬟舞面砸。+ 四柏打 其中霉0 当z 0 时。e ( z o ，z ) = 0 如果索赔变量y 具有指数分布密度，( ) = 。e 一。”( 2o ) ，那么积分方程变为 跏。一= 百a 烀) + 字f o 。a e - v t ，押矗南雅。懈喵。) d y d t 其中刃0 令c l0 得蛰l 鼬。c - t r z u ( 瑚+ 上“一哪e ( z o - y , x ) 由 这一特殊情的解在定理1 4 已经给出。 第二章索赔到来时刻离散的半连续模型 模型 连续索赔额( y n ，n 1 ) 独立同分布( i i n ) ，密度为f ( y ) 。 定义随机变量 其中。o 0 ，c 0 s n = h + 如+ + k 。 a= uj ，l 。，r 。= z i ) + c n s i 训卅训= e 高旷唧妒c m = o z o e n m 0 第n 天破产的概率为 p ( y 1 + 托+ - t - m 。 x o ) 一p ( m + 蝻+ + k 一1 。o ) 一( ，。+ 踹) 一e 一“( - 佃。扣+ 踹) = f ( o ! x o ) 可n - 1e 。 因此破产时刻服从参数为a z o 的泊松分布，这里n 1 。 还可以直接计算在第n + 1 天首次发生破产的概率。 n + 蚝+ + k 服从分布r ( n ，。) ，密度为 其中y 0 。 删= 斋扩 咖 p ( h + 醍+ + 5x o ，h + 场+ + y n4 - 1 x o ) = p ( z o m 1 i - o 函此，破产前瞬间索赔总额分布是单点分布，指数分布，伽玛分布的混合条件分布 它们的权分别为 在点0 处具有质量e ”m ； 以概率 ( ”o r ，m o 州 。 取密度掣，其中0 z 。) = e n m ( 1 + 。z 。+ - + ：；! ；) 第2 天的破产概率为 p ( m + y 2 x o ) 一p ( h x o ) 一e o 。o f l + o g x 0 + ：。( 坚# + f n ! 类似地，第t 。天的破产概率为 ( a x o ) 、 + 西i 二_ 丽j ( a x o ) “、 十面而j + ( o r x o ) 2 m - i1 。( 2 m 1 ) ! p ( y i + y 2 + + k x o ) 一p ( y i + 圪+ + k 卜l $ o ) 玎一c t + 一。卜+ 甓写1 ，t n n l ! e n “c + a 。+ + ：揣， 玎一c 锹等+ 鬻暑， 如果索赔额h ，蚝，k 分别服从f ( m ，a ) ，1 1 ( m 2 ，a ) ，r ( m 女，0 ：) ，且相互独立。可得 类似的结果为 第l 天的破产概率为 p ( h z 。) = e n z 。( + 。+ - + ；筹芝；) 1 5 第2 天的破产概率为 第n 天的破- j 把概率为 p ( y 1 + x o ) 一，) ( h x o ) 玎”哪十r 怒鬟等i ， 一e 一“c ，。扣+ 然， _ e 。( 等+ + 丙( ”0 丽) m l - f m 珂2 - 1 ) p ( m + m + + k x o ) 一p ( y 1 + b + + k 。一1 g o ) 一( t + + 高蔫篙，i ) 一e n $ 。( - + n z 。+ + i 措；i ；晶i ) 一( 高等嵩+ ( o e ；z 0 ) ”+ ”2 扣巾”n 十丽再焉再_ 而 推论 设每天发生索赔的概率为p ，索赔额服从参数为。的指数分布。则每天发生破产的概 率为 p ( t = 1 ) p ( t ，= 2 ) 2p e 一8 。o =q p e o 。o 十p 2 0 f x o e n 。o p ( 一= 札) = 四一t 矿一晒e 0 “) + q 1 一- p v n - 2 ( p e ”“) + + 哪二n - 1 ( p 专等等e q “) 证明 由全概率公式可证“ 定理2 3 ( 破产概率方程) 如果每天均有索赔，方程为 ，+ r + 0 0 o ( x o ) = f ( v ) a v + o ( z o + c y ) f ( y ) d y j f i g o + cj 2 0 + c 如果索赔额服从参数为。的指数分布，方程化为 o ( x o ) = e - - t x ( 。o + 。，+ fo ( x o + c 一! ，) n e 一。7 却 ，十 娜果母大发1 1 二索赔的概率为p ，方程为 a ( x o ) = 口o ( x o ) + p i m ) d y + + ”口( 计。一) m ) 西 j f o + cj m o + c 化简为 即。) = 南( 上i m 肼+ o o e ( x o + c - y ) ，( 帕) 如果索赔额服从参数为a 的指数分布，方程化为 ) = 1 p - 笔_ q ( e 一。z 。+ c h 一+ o o 日( z o + c - y ) a e 删曲) 定理2 4 ( 破产时刻分布的方程) 设破产时刻分布为s ( $ o ，) ，则s ( x o ，t ) 满足方程 s ( z o , o2 上。+ 。，( ! ，) d 酞z 。+ c ) ( ) + z s ( 。+ c 一”，t ) f ( y ) d y 如果每天发生索赔的概率为p ，则破产时刻的分布为 s ( z o , 0 = 口s ( 。+ c ，) + p l 。o 。i ( ) 而，( ，。) ( z ) + z “。6 s ( x o + r ：- - y , o f ( 0p ) 由)。|i 第二节破产分布 定理2 5 ( 破产前瞬间的盈余分布) 假设z 是破产前瞬间盈余随机变量，那么变量z 具有如下的分布 当$ z o 时 f ( z o ，x ) = ；+ 。( z ) + 字，而f ( x o + c - y , c c ) d y+ 丁二币i 遴葛而f 当0 z x o 时 f x o , x ) = 字o “1 。而f ( x 0 - - c - - g ) 旬 其它f ( x o ，g ) = 0 令c l0 ，则0 t 1 ，且当l ( y ) = o c ”( 0 ) 时，方程化为 f ( 2 0 ，。) 。一”。皈瑚( 。) + 上”“”f ( x o 一，z ) d u 方程有解 f ( x o ，z ) = ( 1 一e - - o x ) j ( o z 茹o ) + l ( x 岱o ) 当0 sz z o 时密度为o e n z o 与定理2 1 的结论比较可得 其中0 y s o 即 薹譬e 。掣一m 哪， 。础。墨三+ 譬。一。矗蜍+ + 譬。i 1 c 一- - 嚣譬杀+ 7 暑! 一n z d n 贯n e 。o 一址篓q 2 ；e n o o 令a z o = p ，o f = t ，上式化简为 缈击辱8 j - = 矿和西孳+ + 争万热扣 2 e 2 t 其中0 。o + c ) +一o-a厂而g(xo+c-y,x0p ( o 协 j o 1 ，蔓。o 十c ) ” 当0 s 。 o 时 g ，沪字尸。币芳练而g ( x o + c - y , y 油 其它g ( x o ，z ) = 0 。 如果索赔变量y 具有指数分布密度，f ( y ) = n e “”( 0 ) ，那么 p ( x o + c t o + c t l e n ( z o c ) 一c n 。 2 1 i 而矿 定义函数 。一n ( 2 l l r 1。一f z k ( z o ，。) = l i 丽干卜m z o ) 当y 具有指数索赔额，分布方程如下 定义函数 令c l0 ，我们有 方程有解 禹g + e - - y , x ) 咖 b ( x o ，。) _ l 。i 加m 2 ( x o ，。) = ( 1 一b 1 忙“。嘲。砌 g ( x o ，窭) = e - c 。x o b ( x o ，口) + n e 一“”g ( z o 一纠，石) d y ，。【l j 0 g ( x o ，z ) = ( 1 一e o 。一。茁e o 。) j ( os 。 $ o ) + ( 1 一e 一。2 一c 2 x 0 e n 2 ) j ( z 士o ) 定理2 7 ( 亏损分布) 1 9 扣如 f m 刊一 h ! 曲 一 一e( 1 一一 + = g 如果保险公司在时刻t 破产，那么j 如= 跏+ 凹一( f ) 0 定义非负随机变 量w = 一r r ，那么确定随机变量w 的分布方程为 n p ( x o + c x o 十c ) +字r0+。而h(xo+c-y,xjov ( o y x o ) 劫 。 8 + c ) ” 其中$ 0 如果$ x o + c 1 c 一( 。o + c ) 一e ( 。o n 引 e a o ：o + c ) = 1 一e 叫。 日( z ) = ；e 扣抖c ) ( 1 一e “”) + 1 - ；e 一。c 。+ ) z 。+ 。i - = ：! i ；：；兰干可h ( x o + c - y , x ) “” 方程有解日( o ，z ) = 1 一e - 口z 和0 ) 也就是说，当索赔变量y 为指数随机变量时，亏损分布与索赔分布相同 第三章全离散模型 模型 在区间( o ，4 内索赔次数( n ) 服从参数为n ，p 的二项分布离散索赔额( k ，1 ) 独立同分布( i i d ) ，( 碥，n 1 ) 与v ( n ) 独立。 定义随机变量 其中。o 0 ，c 0 r n = z o + c ，l s l y ( m s n ( 。) = k + 蚝+ 。+ y ，t ) 第一节破产概率 如果离散型随机变量y 的概率分布为 p ( y = 札) = o n 其中a n 0 ，n 0 。 则可用幂级数 3 p ) = ( 2 0 + 嘶岩+ + g n z ”+ 表示。s ( z ) 为随机变量y 的概率母函数。 定理3 1 若c ：0 ，在每一时刻发生索赔的概率为p ，索赔额为l ，即y 服从0 1 分布 则破产时刻分布服从参数为x o + 1 ，p 的负二项分布即 p ( r ) = + n + 1 = l 强+ 。矿o q ”( ，1 2o ) 证明 设破产时刻t 母函数为 s ( x o ，。) = a o ( t o ) + a l ( x o ) z + + a n ( r ) z “+ 由全概率公式得 s ( x o ，z ) = p ( n ( 1 ) = 0 ) 8 ( o ，z ) z + p ( n 0 ) = 1 ) 3 ( z o l ，z ) z 如果o o ，定义s ( x o ，z ) = 0 。 利用这个递推关系式可得 4 0 ，z ) = q s ( o ，z ) + p z 羽= 尚邛卜咖弘“ 得到当z = 0 时，破产时刻的分布为几何分布。 由 解得 s 吐= 警= 禹 2 l 酱上式展f 可得当初值z = 时，破产时刻为两独立同儿何分布的和 类似地有 可由数学归纳法证明 将上式表示成幂级数 s ( 2 ，z ) = q 8 ( 2 ，z ) 2 + p s ( 1 ，z ) 2 帕翻= 等= 器 如舭，= 掣= 器 l 一盯zl l d g i = f _ or 1 ( p g ) 。+ 1 ( d 盘+ g 乞+ l q z + c 磊+ 2 ( q z ) 2 + - + c 淼+ 。( g 。) “+ ) 矿。+ 1 名知+ 1 + 谚。+ l p 。o + l q z 。+ 2 + + g 磊 p x o + l q ”名。+ ”+ 1 + 塾堡到当z o 为非负整数时，破产时刻分布服从参数为跏+ l ，p 的负二项分布。 定理3 2 设c = 0 ，在每一时刻发生的索赔额服从几何分布 p ( r = 7 i ) = q p ( n 0 ) 则当初值z o = 1 时破产时刻分布为 p ( t = n ) = n p 2 q ”一1 其中 兰1 证明 易知，首次索赔发生的时刻服从参数为p 的几何分布。 由全概率公式 q s ( o ，z ) 名+ ( q p 十】2 + - - + q p ”+ ) z q s ( o ，z ) z + p z s ( 0 ，垆尚叫悃舢t 矽 2 2 为几何分布的母函数。 s ( 1 ，z ) = s ( 1 ，2 ) = q s ( 1 ，z ) 毒+ q p s ( o ，z ) z + z + ( q p 2 + q p 3 + 1 z q p s ( o ，z ) z + p 2 z l q z ：芝! ! ! 。奠 ( 1 一口z ) 2 。1 一q z = p 2 名+ 2 p 2 q z 2 + + ( ，l + 1 ) p 2 叮”z ( ”+ 1 ) + 一般地有 定理3 3 设c = 0 ，p ( v = 札) = q p ”( ，l o ) 则当初值为m o ；三0 时破产时刻的母函数为 s ( m 垆p 百= 1 ：o + 面l q x o 阿z x o + l + x o - - 1z o 蒂+ l 。o - i x o + + 叟釜k 芷。, o 一+ 1 1 k 竺k + l + + p z o - 4 - i z 。 ( 1 一g z ) k + l 。 。1 一q z = 。o ，3 j 0 1 ，一，0 证明 当x o = 0 ，l 时命题成立 假设当x o = f 一1 时命题成立，则当z 。：i 时，由 得 8 ( i ，z ) = q s ( i ，z ) z + q p s ( i ，z ) g + - + q p i s ( o ，z ) z 卜( 卯计1 + q p + 2 + ) z s ( i ，z ) f 1 i ( 秽( i - 1 , z ) 2 + 卯2 s ( i - 2 , z ) 。+ + s ( 。，z ) z + + l z ) 卫坠r p i q i - l z i + 堕塾! ! ! ：! ：! + 1 一q z 、( 1 一q z ) 。( 1 一口z ) i j 一1 。 + 丽c ! - - l l p i q k - x z k 扣+ 咎1 ) ( 1 一口g ) 。 一q 名 ip 2 q z ，p i - l q l - 2 z i - ni i - 一2 2 p _ l q 一 。1 一q z 、( 1 一口z ) 一1 ( 1 一g # ) +百c!-lpi-1qk-1zk+_+攀1 ( 一舭) o 1 一q z + 一： p g zp z 1 一q z1 一q z + 而p i + l z 3 z i 一2 一p i + l q i z i + l i 四q p 件q 一。 ( 1 一q z ) i + 1 。( t 一妒) 一2 ) + 这里用到公式 +丽cikpi+lqkzk-11q z ) k + + 兰 ( 一 + l l q z = q 一1 = q 2 = 谚。 c 妻_ 1 + g 墨2 + - + 罐+ 1 + 1 = 讲+ 1 g 墨l + c 墨2 + + c ? + 1 = 四 其中 2 由归纳假设定理结论成立。 从而可得出破产时刻母函数s ( z ) 所对应的概率分布 定理3 4