（光学专业论文）光学探针的近场光波振幅和相位分布的时域有限差分算法研究.pdf

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边界条件的原理做了详细的介绍。通过在计算区域截断边界处设置一种特殊介质 层给出了截断边界网格点处场的特殊计算方法，使得用有限的网格空间就可以模 拟电磁波在无界空间中的传播。 第四章基于时域有限差分法口d r i d ) 对光透过亚波长小孔后的电磁场分布进 行了计算，发现由于介质的不连续性，光在传播过程中失去了原来的偏振特性， 产生了退极化现象。提出了对探针近场光波振幅和相位的时域有限差分法计算， 首次获得了光学探针光波近场振幅分布和相位分布。从麦克斯韦基本方程出发， 揭示了隐含在振幅与相位分布特征中的内在物理本质。 山东师范大学硕士学位论文 第五章总结了本论文的主要内容，制定了后续工作计划。 关键词：时域有限差分法，近场光学，吸收边界条件，光纤探针 分类号：0 4 3 8 山东师范大学硕士学位论文 t h es t u d i e so ft h ea m p l i t u d ea n dt h ep h a s ed i s t r i b u t i o n so ft h e m e t a l c o a t e dp r o b ei nn e a i - f i e l dr e g i o nb a s e do nt h e f i n i 白e d i f f b r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d a b s t r a c t n e 小f i e l do p t i c si san c wi n t c r d i s c i p l i n a r ys u b j e c t 砌c h 咖d i e s 位o p t i c a l p h 肋o m e m 谢也i i lt h er e 百o no fo n ew w e l c n g t l ln e a rt h em e d i 啪锄耐犯e s i nt b i s r e g i o n ，t h e e ) 【i s t sa b 删n 锄o m e t r i co p t i c a li i 曲皿a t i m o b 蛐l cb y 也e c i m v c n t i 伽l a lm e a 璐w i 也m er a p i dd e v e l o p m e mo fn e a r - 丘e l do 州c a lm i c r o s c o p yi n 僦ty e a 巧，c o n s i d e r a b l ea d v a n c 锄a l th 硒b e 髓砌e v e di nm cs t u d i e so fn e a r - f i e l d o p 吐c s t h em e t a ：i - a t c do 面c a l6 b 他p l d b ep l a y sa ni m p o 砌n tf o l ci n 也es t i l d i e so f 也el i g h tw a v cp r o p a g a t i o n sa n di nt h ed c s i 驴o f 弘丘e l dm i c r o s c o p y b yl l s i n g 也e 6 n i t e d i 彘r e n c et i l e - d o 懿血( f d t d ) m e 也o d ，t l l i sp a p e r 咖d i e sm co p t i c a ln e 小丘c l d l i g h tf i e l dd i s 仃i b 砸o no ft 1 1 e 啪o m e 缸cm e t a l c 0 舢e dp r o b e ，a n do b t a i n sf o rt h e 触t 吐勰t h e 黝p l i t l l d e 锄d p h a s e 缸扭i b l i d o n s o f 也ej i g h t 矗e l d n c a f t h e 印kt 1 l ew h 0 1 e p a p 盯i n c l u d e sf i v ec h 邳i t e r s hc h 印t e rl ，w eg i v ca 鲫删瑚| r ) ra n dr e v i e wo f t b ed e v e l o p 恤e 她t h ep m p e n i e s 蛆dt 1 1 ca p p l i c a t i o 璐o f t h ef d t dm e t h o d hc h a p t e r2 ，w eg i v cap r c s e mt h cf i l n d 锄c n t a lt h e o r i e so ft l l e 觚t e d i f r e r e n c e t i m e - d o m 洳( f d t d ) m 础o d b 勰c d m em a x w e l l s 叩l a t i o n s ，w eo b 乜i nm e 丘n i t e m 疵r c n c ee q l l a t i o 璐，觚d l i s c u s sn 艟g 哦i i i i 够o fl h ef d l 巾删m 耐c a l l 砸 锄di 乜d 印e n d e n c e t h et i m e 觚ds p a c cs t e p s w jf i i l a l l yd i s c 邯s 也en u m e r i c a l d i s p e r s i o np r o b l e 傩 hc h 印t e r3 ，t h ef i l n d 锄c n _ c a l 也e o r i e so fp e m 州ym a t c h c dl a y c r ( p m l ) a b r b i n gb o m i d a r yc o n d m o 地i nf d t dm e m o da p r e n _ c e di nd 鼬a i l b ys c t t i n g p 硎c t l l a rm e d i u ml a y 盯so n 也eb o l l r i d a r yo f 也ec o m p m a t i o n a ls p a c e ，、eg i v et h e n u me r a _ t i o nm e t l l o do f 也eh g h t 丘e l d m p o n e n t sl o c a l e do nt h ee d g e so fp r o b l e m 山东师范大学硕士学位论文 s p a c e ，a n d 迅l i m i t e ds p a c e ，w em o d u l a t et h el i g h tf i e l dp r o p a g a t i o ni nb o u n d l e s s s p a c e i nc h a p t e r4 ，也eo p t i c a ln e 小f i e l dd i s 试b u t i o no fas u b w “e l e n g t h 印e m 嘴i s 淅e s t i g a t e dl l s 堍也ef i n i t e d i 脑e n c et i m e d o m a i 芏l ( f d t d ) m e 也o d 1 h er e s u l tr e v e a l s 也砒也ep o l 撕z e di n c i d e n tw a v eb e c o m e sd 印o l a r i z e da f c e rp 器s i i l g ( h r o u 曲t h ea p e m 鹏 b e c a u o f 吐圮d i s c o m i n u o u s n c s so ft h em e d i 眦b y1 l s i n gt h ef i i l i t e - d i 腩r e n c e t 妇e d o m a i l l ( f d t d ) n 啪e r i c a ls o l l n i o n so f 吐l em e t a l - c o a t c dp r o b et 谗，t h i sp a p e r t r c a t sm e 锄p l i 伽ea n d 也ep h 勰ed i 蹦b 砸o l l so f 也el i g h tf i e l d i n 也cn e 小丘e l d 诧g i o n o fm et i p ，i l l g t e a do f 廿：屺i i l s t a i l t a 】o 璐l i g l l t & l d 勰舀v e ni nm o s to ft h en t e r i l n l r e 融i n gn 坞a d v 锄g eo ff d t dc o m p u 仨l 廿o nw i mi 乜d nn 呦耐c a l a l i z a ：t i o no f m a x w e ue q i l a 垃o n s ，w es t l l d y 也ep h y s i c a le s s e n t i a l so ft h ed ”l a m i cm 删i n d u c t i o n s o fe l e c t r i ca n dm 驴e t i cf i e l d sb e h i n dt h e s ec h a r a c t e r i s t i c so f 锄p l i t i l d e 锄dp h 笛e d i s n b u 虹。璐 ， l nc h a p t c r5 ，w eg i v eas u 删m 叮o fn l i sp a p e r ，趾dp u tf b 刑a r dt h ef 0 1 1 0 w m gw o r k p l a na b o u tt h es t u d y o nt h el i g h t 丘e j d 芦0 p e n i e so fs i l v 昏c o a 土c dp r o b ci 1 1t 1 1 en e 小f i e l d r e g i o n 4 k e yw o r d s ：丘n i t e d i 髓r e n c et 硫e d o m a i n 口d t d ) ，n e 小丘e l do p t i c s ，a b r b i n g d a r yc o 枷t i o n s ，m e 诅l - c o a t e df i b r ep r o b e c l cn u m b e r ：0 4 3 8 山东师范大学硕士学位论文 1 1 课题背景 第一章绪论 自1 8 7 3 年m a x w e l l 建立电磁场基本方程以来，电磁场理论和应用的发展已经 有一百多年的历史了。目前，对电磁场的研究已深入到各个领域，实验和理论分 析计算是研究中相辅相成的重要手段。应当说，通过理论分析计算，若能获得精 确的解析解，对分析电磁结构的特性具有重要的指导意义。然而，在很多现代电 磁场工程中，由于问题的复杂性，要得到解析解是不可能的，就是半解析解的近 似方法也只能在个别问题中得到有限的应用。能够较广泛发挥作用的，唯有各种 数值计算方法。借助数值方法进行电磁辐射、电磁散射特性分析成为当前电磁学 研究的一个重要方向。数值计算方法在电磁场研究中是一种非常有效的方法，它 可以结合研究对象及其周围环境的电磁参数，赋以相应的边界条件，在频域或者 时域求解m a x w c l l 方程初值问题。因此，数值计算方法是理论分析计算的重要工 具，可以为设计提供很有价值的参考。目前，已经有许多电磁场的数值计算方法 发展了起来，并得到了广泛的应用，主要有：平面波展开法【l l 以2 】、多重多极子 方法( m m p ) 【1 3 】、格林函数法【1 小1 1 0 】和时域有限差分法等。其中平面波展开法可 应用于讨论远场问题；m m p 方法比较短程化，对紧邻区域影响大，因此比平面 波展开法更易于讨论局域变化大的几何结构；时域有限差分法( f d l d ) 是一种 已经获得广泛应用并且有很大发展前景的时域数值计算方法。早在1 9 6 6 年k s y 的 在他发表的著名论文【1 1 1 1 】中，用后来被称作y e e 氏网格的空间离散方式，把含时间 变量的m a x w e l l 旋度方程转化为差分方程，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体 作用的时域响应。从而诞生了后来被称作时域有限差分法的一种全新的电磁场时 域数值计算方法。但是由于当时理论的不成熟和计算机软硬件条件的限制，该方 法并未得到相应的发展。2 0 世纪8 0 年代中期以后，随着上述两个条件限制的逐步 解除，f i ) t d 便凭借其特有的优势得以迅速发展。它能方便、精确地预测实际工 程中的大量复杂电磁问题，应用范围几乎涉及所有电磁领域，成为电磁工程界和 理论界研究的一个热点。目前，时域有限差分法( f d t d ) 日趋成熟，并成为分 析大部分实际电磁问题的首选方法。 山东师范大学硕士学位论文 8 0 年代以来，随着科学与技术向小尺度与低维空间的推进及扫描探针显微技 术的发展，在光学领域中出现了一个新型的学科近场光学。近场光学1 1 2 正1 5 】 是指光探测器及探测器与样品间距均小于辐射波长条件下的光学现象。1 9 8 4 年， 近场光学显微镜的原型“光学听诊器”的发明，标志着人类第一次突破了光学显 微镜分辨率的衍射极限。自1 9 9 2 年用单模光纤做成光学探针以及利用切变力进行 探针针尖至样品表面距离测控后，近场光学显微镜开始被作为一种新的重要光学 仪器用于观察和研究亚波长物体的外观形貌和内在性质。在此后的短短几年内， 近场光学显微镜得到了很快的发展，其被广泛应用到物理、化学、生物、医学和 信息产业等领域【1 i 纠1 9 】，与此同时，也存在着许多需要克服的问题。随着近场光 学显微技术的迅猛发展，如何运用电磁场理论来理解和说明近场光学现象变得日 益重要起来。处理物体表面远小于光波波长的近场区域的光学现象，如光的散射、 衍射和干涉等都属于近场光学的范畴，它必须运用电磁场理论，且联系光与物质 的相互作用，因而是复杂的。虽然近年来近场光学的理论获得了很大的发展，但 是人们对许多近场现象的本质尚未能有清晰的认识。这是由近场区域光场分布的 复杂性本质造成的。 物体表面外的场分布可以划分为两个区域：一个是距离物体表面仅仅几个波 长的区域，称为近场区域，另一部分从近场区域外至无穷远处称为远场区域。常 规的观察工具如显微镜、各种光学镜头等都处于远场范围。近场的光场结构相当 复杂，它既包括可以向远处传播的分量，又包括仅仅局限于物体表面一个波长以 内的成分。它的特征是“依附”于物体表面，其强度随离开表面的距离的增加而 迅速衰减，不能在自由空间存在，因而被称为隐失波。在没有适当的观察工具能 稳定地探测近场中隐失波所携带的物体精细结构信息以前，人们只能在远场对物 体进行观察，而这样的分辨率受到衍射极限的限制。 1 2 时域有限差分概述 1 2 1 时域有限差分法的特点 作为一种电磁场的数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的特 点，也是它的优点。正是由于这些，使得越来越多的人对它产生了浓厚的兴趣， 6 山东师范大学硕士学位论文 并得到越来越广泛的应用“舡l 2 ”。这些特点中最主要的是以下几个方面。 ( 1 ) 直接时域计算。时域有限差分直接把含时间变量的m 瓢w e u 旋度方程在 y c e 氏网格空间中转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场( 或 磁场) 分量仅与它相邻的磁场( 或电场) 分量及上一时间步该点的场值有关。在 每一个时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，即能直 接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。时域有限差分法把各类问题都 作为初值问题来处理，使电磁波的时域特性被直接反映出来。这一特点使它能直 接给出丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图 象。如果需要频域信息，则只需对时域信息进行f o 岫e r 变换。为获得宽频带的信 息，只需在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算。 ( 2 ) 广泛的适用性。由于时域有限差分法的直接出发点是概括电磁场普遍规 律的m a ) ( w e l l 方程，这就预示着这一方法应具有广泛的适用性。近几年的发展完 全证实了这点。从具体的算法看，在时域有限差分的差分格式中被模拟空间电磁 性质的参量是按空间网格给出的，因此，只需设定相应空间点以适当的参数，就 可模拟各种复杂的电磁结构。媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等 均能很容易地进行精确模拟。由于在网格空间中电场和磁场分量是被交叉放置 的 而且计算中用差分代替了微商，使得介质交界面上的边界条件能自然得到满 足，这就为模拟复杂的结构提供了极大的方便。任何问题只要能正确地对源和结 构进行模拟，时域有限差分法就应该给出正确地解答，不管是散射、辐射、传输、 透入或吸收中的哪一种，也不论是瞬态问题还是稳态问题。 ( 3 ) 节约存储空间和计算时间。在时域有限差分法中每个网格电场和磁场的 六个分量及其上一时间步的值是必须存储的，此外还有描述各网格电磁性质的参 数以及吸收边界条件和连接条件的有关参数，它们一般是空间网格总数的倍 数。所以，时域有限差分法所需要的存储空间直接由所需的网格空间决定，与网 格总数成正比。在计算时，每个网格的电磁场都按同样的差分格式计算，所以， 就所需的主要计算时间而言，也是与网格总数成正比。相比之下，若离散单元 也是，则矩量法所需的存储空间与( 3 r 成正比，而所需的c p u 时间则与( 3 ) 2 至( 3 r 成正比。当比较大时两者的差别很明显。所以，当很大时，时域有 限差分法往往是更合适的方法。 7 山东师范大学硕士学位论文 ( 4 ) 适合并行计算。很多复杂的电磁场问题不能计算往往不是没有可选用的 方法，而是由于计算条件的限制。当代电子计算机的发展方向是运用并行处理技 术，以迸一步提高计算速度。并行计算机的发展推动了数值计算中并行处理的研 究，适合并行计算的方法将更多地发挥作用。如前面所指出的，时域有限差分法 的计算特点是，每一个网格点上的电场( 或磁场) 只与其周围相邻网格点处的磁 场( 或电场) 及其上一时间步的场值有关，这使得它特别适合并行计算。施行并 行计算可使得时域有限差分法所需的存储空间和计算时间减小为只与v 3 成正 比。时域有限差分法的计算特点使得它特别适合并行计算，提高了计算速度。 ( 5 ) 计算程序的通用性。由于m a x w e n 方程是时域有限差分法计算任何问题的 数学模型，因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的。此外，吸收边界条件 和连接条件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数 来实现，对以上各部分没有直接联系，可以独立进行。因此一个基础的时域有限 差分法计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，对不同的问题或不同的计算 对象只需修改有关部分，而大部分是共同的。 ( 6 ) 简单、直观、容易掌握。由于时域有限差分法直接从m a x w e l l 方程出发， 不需要任何导出方程，这样就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁 场的计算方法中最简单的一种。其次，由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播 及其与物体作用的物理过程，所以它又是非常直观的一种方法。由于它既简单又 直观，掌握它就不是件很困难的事情，只要有电磁场的基本理论知识，不需要数 学上的很多准备，就可以学习运用这一方法解决很复杂的电磁场问题。 1 2 2 时域有限差分法的应用 由于时域有限差分方法具有如上节所指出的那样一些特点，使得它获得了其 他方法不能与之相比的非常广泛的应用。到现在为止，它几乎被用到了电磁场工 程的各个方面：目标电磁散射特性研究、电磁兼容问题的研究、天线辐射特性的 分析【1 丑d 捌、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学研究及瞬态电磁场研究， 此外时域有限差分法被广泛的应用于近场计算中，其在金属光栅近场衍射【1 矧、 表面等离子体激元【1 1 。q 等方面的研究中都有着重要的应用。 山东师范大学硕士学位论文 1 3 本文主要工作 1 通过查阅大量国内外文献，系统研究了时域有限差分法的基本原理，包 括差分方程、数值稳定性和数值色散、以及在处理开域电磁问题时的吸收边界条 件。 2 根据时域有限差分的基本原理，编制了相应的三维f o r t r 髓计算程序。并 首先将其用于对单色平行光通过亚波长尺寸圆孔的电磁场传播特性研究，计算了 距圆孔出射端口几个纳米范围内的瞬时光场分布。结果发现：虽然入射光沿y 方 向偏振，但由于介质的不连续性，在光的传播过程中产生了分别沿，、：方向偏 振的电场分量e 和疋；在与入射光偏振方向垂直的边缘处显示出明显的场增强现 象。将计算结果与已有文献的计算结果进行了比较，结果非常吻合，证明了程序 的正确性。 3 振幅和相位分布在光波特征描述中至关重要，但在现有的研究中都只是 计算某一时刻的光场。鉴于此，本文提出了对光学探针光波近场振幅与相位的时 域有限差分算法。通过对一个光波周期内不同时刻的光场进行计算、比较，获得 了各空间点处光场的最大值及其达到最大值的时刻，得到了光学探针光波振幅和 相位分布。分析了探针针尖出射光波的传播过程，并且发现在该传播过程中，在 x 轴和y 轴上相位具有不连续性，在x 轴和y 轴的两侧出现了相位跳跃现象。从 时域有限差分基本方程出发，利用数值计算和理论分析相结合的方法，研究了隐 含在振幅与相位分布特征中的内在物理本质，发现光波的振幅与相位分布特性与 边界条件及光的偏振状态有着密切的联系。 9 山东师范大学硕士学位论文 第二章时域有限差分法的基本原理 2 1y e e 氏算法 2 1 1y e e 氏网格 有限差分法1 2 。1 五捌是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似地代 替连续变量的微分方程。因此，首要任务是构造合理的差分格式，使得它的解能 保持原问题的主要性质，并且有相当高的精确度。建立差分方程的基本步骤是把 变量按某种方式离散化，然后用差商近似地代替微分方程中的微商。为了建立差 分方程，首先要在变量空间把连续变量离散化通常是用一定形式的网格来划分 变量空间，且只取网格结点上的未知量作为计算对象。这样，自变量变为离散的， 又只在有限个点上计算未知量。当在每个离散点上用差商来代替微商时，就把在 一定空间解微分方程的问题化为解有限个差分方程的问题。由微分方程导出的差 分方程的一般通式，常常称为该方程的差分格式。 一个逼近程度高的差分格式，不一定能给出好的近似解，这是因为一个合理 的差分格式还必须保持原问题的基本物理性质，所以在构造差分格式时常常从物 理定律出发，以便建立能给出高精度近似解的差分方程。 电磁场的基本规律是m a 科嘲1 方程组，它们的一般形式是依赖时间变量的旋 度方程。从含有时间变量的m a x w e l l 旋度方程出发，建立计算时域电磁场的数值 方法是很自然的。k s y c e 正是由此出发于1 9 6 6 年创立了计算电磁场的时域有限差 分法。 一般情况下，在时域计算电磁场要在包括时间在内的四维空间进行。如果采 用有限差分法，首先就要把问题的变量空间进行离散化，也就是要建立合适的网 格剖分体系。从m 出( w e l l 方程出发建立差分方程的复杂性在于，不仅要在四维空 间中进行，还要能同时计算电场和磁场的六个分量。在四维空间中合理地离散六 个未知场量成为建立具有高精度的差分格式的关键问题。y e e 氏正是因为提出了 一个合理的网格体系，才成功地创立了时域有限差分法。我们把他所使用的网格 体系成为y 醅氏网格。在直角坐标系中的y 醅氏网格于图2 1 。这个网格体系的特点 山东师范大学硕士学位论文 是，电场和磁场各分量在空间的取值点被交叉地放置，使得在每个坐标平面上每 个电场分量的四周由磁场分量环绕，同时每个磁场分量的四周由电场分量环绕。 这样的电磁场空间配置符合电磁场的基本规律一一f a r a d a y 电磁感应定律和 a m 删流定律，亦即m a x 、转l l 方程的基本要求，因而也符合电磁波在空间传播 的规律正是由于电磁场分量在空间网格中的这种配置，使得用时域有限差分在 计算机的存储空间中可以模拟电磁波的传播及其与散射体的相互作用过程。在这 种电磁场的配置下，当空间出现介质突变面时，可以使突变面上场分量的连续性 条件自然得到满足，因而为一些复杂结构的电磁场计算问题带来很大方便。这一 点保证了时域有限差分法应用的广泛性。 图2 1 直角坐标系中基本网格单元 电磁场的计算与计算空间媒质的电磁性质有重要关系，在网格空间中除了规 定电磁场的离散取值点以外，还必须同时给出各离散点相应媒质的电磁参量，即 电场离散点处的介电常数和电导率以及磁场离散点处的磁导率和等效磁阻率。这 也说明，通过赋予空间点电磁参数的方法可在网格空间中模拟各种媒质空间及各 种电磁结构。这使得用时域有限差分模拟电磁波与各种复杂的电磁结构的相互作 用变得比较容易。当然用立方体模拟复杂的弯曲几何表面在精度上会出现问题， 但可以通过采用其他形式的网格来克服这一缺点。 在y 醅氏网格中，每个坐标轴方向上场分量间相距半个网格空间步长，因而 同一种场分量之间相隔正好为一个空间步长。在图2 1 的网格单元中没有给出时间 的离散规则。为了保证计算的稳定性，时间离散的步长与空间步长必须满足一定 的关系，不能任意给定。有以后的分析可知，时间步长可选为电磁波传播一个空 间步长所需要时间的一半。这样，在实际运用时域有限差分法时，网格的空间步 1 2 山东师范大学硕士学位论文 长选定后，时间变量的离散规则就完全确定了也就是说在选定了空间网格结构 后，就可根据差分近似的基本原则来建立所需的差分方程。 虽然上面只给出了直角坐标系中y c e 氏网格，但所讨论的一些原则可帮助我 们去建立其他形式的、具有类似性能的、适合不同几何结构的空间网格。 2 1 2m a ) 【w e l l 方程 m a x w e u 方程组概括了宏观电磁场的基本规律，它由两个旋度方程和两个散 度方程构成。两个旋度方程是f a m d a y 电磁感应定律和a m p e f e 环流定律的微分形 式。从本质上讲，m a x w c l l 方程组的四个方程中两个旋度方程是基本的，因为两 个散度方程可以由它们导出。所以，研究电磁场问题可以从两个旋度方程作为出 发点。时域有限差分法是在时域计算电磁场的一种数值方法，自然应该从含时间 变量的两个m a x w e l l 旋度方程出发。 在叙述基本原理阶段，我们把问题尽量简化，以便突出关键问题。因此，假 定我们暂时限定所研究的电磁场问题只涉及各向同性、线性且与时间无关的媒 质，但可以存在电的和磁的损耗。于是在无源区域，我们可把m a x w e u 方程的两 个旋度方程表示为如下的形式： v 层：一警一日 ( 2 1 a ) “ v 日：口e + 华 ( 2 1 b ) 研 其中e 为电场强度，单位为伏米( v n 1 ) ；日为磁场强度，单位为安米c 地) ； 占为介电常数，单位为法米( f m ) ；为磁导率，单位为亨米0 劬n ) ；仃为电导 率，单位为西门子米( s m ) ；吒为等效磁阻率，单位为欧米( o m ) 。这里引进等 效磁阻率的目的主要在于使方程具有对称性。 在导出差分方程时，要从电磁场各分量满足的方程出发，因此需要写出与方 程( 2 1 ) 等价的电磁场的六个分量所满足的方程。在直角坐标系中，令 e = e p ，e 产r + e p z ，h = h p ，h 严p 七h pz ，t a 。，口y a z 分鼬为x y 帮z 三令 坐标的单位矢量) ，则展开方程( 2 1 ) 后可得 山东师范大学硕士学位论文 警= ( 警一警一盯e 】+ z 的 西 占i 钞 出 j 、7 鲁= 昙( 警一警一喝 b ， a 占l 昆 缸 7 j 、7 鲁= 文警一等啦 d 国 占i 苏勿。j 、7 警= 丢( 鲁一等一巳皿 力 a f i 如勿“j 、 7 警= 去( 警专一马 ”一= 一l “一口h ii z ，n - 研 l 苏 如 ”j 、7 等= 去( 鲁一誓一吒皿) d 即 l 砂 缸 ”2 j 、7 下面导出m a x w e l l 旋度方程的近似差分表示时，就是从这六个等价的关于电磁 场各分量的一阶偏微分方程出发。为使问题的讨论简单化，我们这里考虑二维问 题。在散射问题中，如果入射波和散射体的形状及结构均与z 无关，则散射场也将 与孑无关，于是可用任何一个与z 垂直的截面上的解反映三维问题的全部解答，因 而三维电磁场问题可在二维上获得解决。当电场和磁场均与z 无关时，方程组( 2 2 ) 和( 2 3 ) 就分裂为相互独立的两组方程，其中的一组电场只有巨分量，这类电磁波 称作横磁波并用t m 表示；另一个方程组中的磁场只有皿分量，这类电磁波称作横 电波并用t e 表示。这两种波的方程为 t m 波 鲁= ( 警一等一幔 曲 研 占i 缸勿 2 j 、7 等= 一文等+ 皿 似4 ” a l 砂 4 3 j 、7 警= 寺( 警一巳q ) 亿4 。 魏 “a x 、 1 4 山东师范大学硕士学位论文 警= 丢( 等一誓一吒皿 幻 葫 l 砂 锄 ”2 j 、。 鲁= 故等吨) ” 甜 占l 砂5 鲁= 一悟蚋 。 西 占k 盘 7j 、 由以上方程可以看出，1 m 波只有e ，皿和q 三个分量，而t e 波只有以， 巨，e 三个分量。这两种波的对应关系是很显然的，只要做如下置换：e 停月：， 日挣一巨，日付一e ，g 付，a 付a ，就可以由一种波查换为另一种波。 2 1 3m a x w e l l 旋度方程的有限差分表示 氏于1 9 6 6 年首先导出了m 删e l l 旋度方程的有限差分方程。在采用y e e 氏 网格时，用缸，缈和止分别代表在工，y 和z 坐标方向的网格空间步长，网格 点的空间坐标简单地表示为 ( f ，_ ，| i ) = ( f 如，缈，七z ) ， 其中f ，和_ j 均为整数，分别表示x ，y 和z 坐标方向的网格标号或空间步长个 数。时间步长用址表示，用疗表示时间步长的个数。一个时变参量一般地既与空 间坐标有关，也与时间变量有关。为表示方便把时间变量写在其代表符号的右上 角，并采用下面的简化表示方法： p ( f ，_ ，七) = f ( f 血，缈，i ，以f ) ， 其中助任意时变量。 在把m 删e l l 旋度方程转化为差分方程时，y c e 氏采用了具有二阶精度的中心 差商近似。在y 曲氏网格中由于场量之间相距为半个空间步长，因而f ”( f ，工j | ) 在x 方向的中心差商可表示为 竺：( ! ：! ：生：! ：f 兰丝：曼盟二! ! ! 兰垒坐! + o f 缸：1 叙缸 、7 山东师范大学硕士学位论文 间理，对时间微面也采用中心差两近似，且也是相隔半个步长进行计算时就 可得到 竺：皿生尘堕! ) 二尘出生o a， 、7 用以上形式的中心差商近似地代替m a x w e l l 旋度方程中的微商，就可获得y e e 氏所给出的差分方程。例如在_ + ( 1 2 ) 时间步对 f + ( 1 2 ) ，_ ，_ j 点的巨利用中心 差商近似可由方程( 2 1 a ) 得到 ( ，+ 扣) 一f ( ，如t ) 一盟塑孥塑型一旧，。 ( 2 6 ) 在差分方程中( 2 6 ) 中包含相隔半个时间步的三个e 值，这为实际编程计算带来不 便，为克服此缺点，采用如下近似： 点：畦( ，+ 主，t = ：； e ”1 ( ，+ 三，七 一巨“( r + ；，工t 在这一近似下方程( 2 6 ) 可获得关于巨的差分方程： j t ) = + ，竺。 s 叫 l ，f ，+ 知t 衄 1 掣f ，+ b “ z 竺：! 兰i ：! ：i 兰3 ：! ! = ：兰( 兰i ：! ：i 兰) 缈 用完全类似的方法可得到其他电场分量满足的差分方程，其形式完全类似。 1 6 ( 2 7 ) 山东师范大学硕士学位论文 矿( “+ 纠= + f “哇 + ( “+ ；) 一致”；( 坍； l 缸 一f 咖出 + ；( 件纠一t “；( 哇+ 纠 t 丘协t + ；) ( ，咖t + ；) 一矿；( ，一如哇 x ( 2 8 ) ( 2 9 ) 关于磁场各分量满足的差分方程，由于在方程中磁场各分量的值均取在行+ 兰 时间步，后面出现的磁场值也应取自疗+ 丢或者矿三时间步。按照以上考虑可得到 各磁场分量满足的差分方程，其中对皿有 1 7 山东师范大学碗士学位论文 和+ 扣；) = h 扣；) 1 一 吒 “+ 扣； 2 “ “+ ； 1 +”扣割 可瓦瓦 对风，只有完全类似的方程。 卟抄+ ； = 1 8 彰和+ 扣；) 以( ，咖t + ； ( 2 1 0 ) + l + 1iil_lj，jp，。l 山东师范大学硕士学位论文 以”；( ，+ 抄纠 + 稿锄 只。 ( ，+ 抄纠 阻：边：生竖生坐生：生噬到 l 缈 缸 i ( 2 1 2 ) 由所列出的差分方程可以看出该算法的一大特点是，任一网格点上的电场分量只 与它上一个时间步的值及四周环绕它的磁场分量有关：同样地，任一网格点上的 磁场分量也只与它上一时间步的值及四周环绕它的电场分量有关。此外，方程中 的占，卢，盯和吒都表示成了空间坐标的函数。这说明，这些参数可以设置成非 均匀的或各向异性的。因此，这种算法在处理媒质的非均匀性和各向异性方面不 仅有效，而且很方便。 2 1 4 均匀立方体网格空间中的差分方程 方程组( 2 7 ) 一( 2 1 2 ) 是在网格的空间步长x ，缈和业可取不同值时的一般 在这种情况下，( 2 7 ) 一( 2 1 2 ) 中的系数可采用如下简化表示： 卜! 也：! ! 竺 弥焉 3 a ) 2 占( f ，七) 1 9 山东师范大学硕士学位论文 伽 卜垒掣! ! 鲨 胁避 l + 刍掣! ! 半 2 ( f ，七) 一赤 ( 2 1 3 b ) ( 2 1 4 a ) ( 2 1 4 b ) 这里所标出的( f ，七) 是为了特别说明这些参数一般情况下是空间坐标的函 数。即使在同一个网格单元中，由于有半个空间步长的分辨率，也可以赋与它们 不同的数值，用以表明媒质的非均匀性或各向异性。在均匀立方体网格中使用以 上简化符号后差分方程( 2 7 ) 一( 2 1 2 ) 变为如下的形式： ( ， 叫伊纠= “( 伽纠可( 咖纠枷 鼢篆茹铤 ( “t + ；) = 翻t + 护+ ；) 怕( + 匀 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 南 峦 、，1u 、m，0訇 。卜：，一： 肚 ，、 一r新桫谚 k “ ，、 0 ： 卜砂。以 屿 ，、0，卜： e 1 2 名 七 肼卜歹。 ，一2 - + ，、 ，、j： “ 坍， ? m r 0 一 卜 01ll 彬匀一 。卜2 b 。卜2 ，h、，一r b 一2 l 一2 ， 卜l 。幔 n 习。乞 肚! r卜鼍 。旷矿 山东师范大学硕士学位论文 皿一( 讲扣；) = 脚( 咖扣匀 ( 岍匀 叫卅争啪意裳 s ， ( ，+ ；j t + 匀= 删( ，+ ；_ t + ； ( f + ；j t + 匀 嘶扣n 博翁聋矧 9 ) ( ，+ 纠= 删( ，+ 抄纠( ，+ 抄纠 卟如哇 陵麓辫到 了 2 2 数值稳定性分析 由m a x w e u 旋度方程按y 醅氏所导出的差分方程是一种显式差分格式，它的执 行是通过按时间步推进计算电磁场在计算空间内的变化规律。这种差分格式存在 稳定性问题【2 一，即时间变量步长垃与空间变量步长缸，缈和止之间必须满足 2 l 山东师范大学硕士学位论文 一定条件，否则将出现数值不稳定性。这种不稳定性表现为，随着时间步数的增 加，被计算的场量的数值无限制地增大。其原因不同与误差的积累，而是由于电 磁波传播的因果关系被破坏而造成的。因此，为了用所导出的差分方程进行稳定 的计算，就需要合理地选取时间步长与空间步长之间的关系。砌o v c 等于1 9 7 5 年 对y e e 氏差分格式的稳定性进行了讨论，并导出了对时间步长的限制条件【2 5 】。 f ( 2 2 1 ) 这一条件给出了，时间步长与空闻步长之间必须满足的关系。或者说，当空间 步长选定后，为了使计算是稳定的，时间步长的选取所受到的限制。如果采用立 方体网格，则血= 缸= 匈，= 止，于是数值稳定性条件就简化为 ，s 去 ( 2 2 2 ) 对聆维情况稳定性条件成为 觚去 ( 2 2 3 ) 口、，疗 如果计算空间中的媒质不是均匀的，那么稳定性条件对不同的媒质区域是不同的， 因为d 的取值不同。但由于稳定性条件是个不等式，故我们只要选最大的口满足 的条件，在其他区域中自然也就得到满足。因此，对非均匀媒质构成的计算空间 我们用如下的数值稳定性条件： 厶，s j 年 ( 2 2 4 ) 0 口v 其中，d 一为计算空间中电磁波的最大速度。押为空间维度。对非均匀网格 的算法也有类似的结果。在时域有限差分法的实际计算中一般选为 f 竽 ( 2 2 5 ) 2 d 、7 山东师范大学硕士学位论文 2 3 数值色散问题 2 3 1 数值色散现象 如果电磁波所在空间的媒质特性与频率有关，则电磁波的传播速度也将是频 率的函数，这种现象称为色散。存在色散现象的媒质称为色散媒质。显然，在非 色散媒质中，电磁波的传播速度应该与频率无关。所以，如果时域有限差分算法 是精确的，则用时域有限差分方程在计算机中所模拟的平面波的相速度应该与频 率无关。但是，由于时域有限差分方程只是原m a ) ( w e l l 旋度方程的一种近似，当 在计算机的存储空间对电磁波的传播进行模拟时，在非色散媒质空间中也出现色 散现象，且电磁波的相速度随波长、传播方向及变量离散化的情况而发生变化， 我们把这种非物理的色散现象称为数值色散。数值色散会导致脉冲波形的破坏， 出现人为的各向异性及虚假的折射等现象。因此数值色散是时域有限差分法的一 个重要问题，它是提高该算法计算精度的一个重要限制。 分析数值色散口触3 1 问题的基本方法是把单色平面波的一般形式代入差分方 程，从而导出频率与时间和空间步长之间的关系，亦即数值色散关系。由此可讨 。论各种因素的作用。为了使问题简单明了，只讨论二维空间中的1 m 波，且假定 计算空间中的媒质是均匀、无耗、非磁性的。但所用的方法具有一般性，很容易 把它推广到三维空间。 2 3 2 数值色散关系 在二维仝1 日j 甲一仕葸早色半卸渡口j 以表不为 霹( j ，) = e e x p ，( t 尬+ b 坶一础) ， 田( j ，j ) = 皿e x p 啦纶+ 坶一础) ， 蟛( j ，) = 以e x p 鹏雄+ 均一蝴f ) ， 将上式代入二维差分方程，经过整理以后得到 驷( 刳= 等晦s m ( 竽垮s 访( 竽) ， ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 ” ( 2 2 6 c ) ( 2 2 7 a ) 山东师范大学硕士学位论文 日：丝 3 幽 只：丝 曲蕾 把( 2 ，2 7 ”和( 2 2 7 c ) 代入( 2 2 7 a ) ，消去e ，皿和日，即可得到 陆) 2s i n