（课程与教学论专业论文）“数形结合”的认知心理研究.pdf

“数形结合”的认知心理研究 姓名：徐文龙年级：2 0 0 2 级 专业：课程与教学论方向：数学教学论 论文摘要 本论文选取“数形结合”这一在中国数学界广为流传的习语作为论题，不局 限于原有的实用性的宏观性的研究，重点着眼于“数形结合”的认知心理维度， 将分解提取作为本论文的研究隐喻，充分采用由浅入深，由外及内，由思辨到实 证的研究策略，从而达到了对“数形结合”深入剖析的目的。 论文从文化的角度，对已有的研究和观念进行评述作为开篇，对数、形从表 征角度进行基本定位，对结合的内涵进行剖析，指明后继研究的走向。紧接着， 论文从认知角度回顾了数与形扩充和结合的简史，挖掘出“数形结合”的双重内 涵对象性与功能性，对象性结合表现在知识的转换上，功能性内涵集中反映 在思维上。 随后，论文由外围铺垫转入正面论述，首先从认知心理学的角度提出如下观 念：数形结合是数学学习心理的特征之一。借助心理表征理论对“数”表征和“形” 表征进行区分，并拓展到心理表征领域，而且指出“结合”其实包括两种信息加 工过程：选择与转换。其次从国内外数学教育界对表征研究的比较中确定了实证 研究的重要性，以及收缩研究区域的必要性。 在这些思辨性结论的支撑下，论文展示了从不同角度开展的与“数形结合” 相关的调查研究。在对教师和学生思维片段的质性分析中，论文提出了“数形结 合”的信息加工分析图，从而确立了数表征操作、形表征操作以及储存数表征与 形表征的图式是数形结合表现的三个主要认知因素。在此基础上运用量化研究的 方法论证了这一结论：在解析几何学习中，数表征能力与数形结合表现相关显著。 如下几个研究结果对数学教学具有较强的借鉴作用： 目前对“数形结合”的教学强调对象性结合，对功能性结合重视不够，即 重视知识的传授的教学理念还是根深蒂固。 在功能性结合上，人们对以形助数偏爱，师生都认可图形的直观辅助功能， 但对以数解形回避，对数表征操作不熟练、低水准和恐惧。 因为数表征能力与数形结合表现相关显著，所以在解析几何的实际教学中 要有目的地进行数表征操作的训练。 关键词：数形结合认知 a p s y c h o l o g i c a lc o g n i t i o ns t u d y i n go ft h ec o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ” n a m e ：w e n - l o n gx ue n r o l l m e n t - - y e a r ：2 0 0 2 m a j o r ：c u r r i c u l u m & p e d a g o g y a c a d e m i ci n t e r e s t ：m a t h e m a t i c sp e d a g o g y a b s t r a c t t h i st h e s i si se n t i t l e dc h o o s et h ec o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ”w h i c hi sa w i d e s p r e a di d i o mi nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c se d u c a t i o ni nc h i n a t h et h e s i si s n o tr e s t r i c t e di nt h ep r a c t i c a ia n dm a c r o s c o p i cr e s e a r c h b u tf o c u s e so nt h e d i m e n s i o n a l i t yo ft h ec o g n i t i v ep s y c h o l o g yo ft h ec o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ”a n dr e g a r d sa n a l y s i sa n dd i s t i l l i n ga st h er e s e a r c hm e t a p h o ro ft h e t h e s i s ，f r o mt h ee a s yt ot h ea b s t r a c t ，f r o ms u p e r f i c i a it oe s s e n c e f r o mt h e o r y t o p r a c t i c ea s i t d e v e l o p st h er e s e a r c ht a c t i c s s oa st oa n a l y z ef u l l yt h e c o m b i n a t i o no f “s h u a n d “x i n g ” t h et h e s i sb e g i n sw i t ht h ee x i s t i n gs t u d ya n di d e ai nl e r m so fc u l t u r e a n d i n t e r p r e t st h e “s h u ”a n dt h e “x i n g ”f r o mt h ep e r s p e c t i v eo fr e p r e s e n t a t i o n ； m e a n w h i l ei ta n a l y z e st h ei n t e n s i o no ft h ec o m b i n a t i o na n dp o i n t so u tt h e t r e n do ft h es u b s e q u e n tr e s e a r c h a n dt h e n t h et h e s i sd a t e sb a c kt 0t h eb r i e f h i s t o r yo fe x p a n s i o na n dc o m b i n a t i o no ft h ec o n c e p lo f “s h u ”a n d “x i n g ”f r o m c o g n i t i v ea n g l e t h et h e s i se x c a v a t eo u tt h ed o u b l ei m p l i c a t i o n so ft h e c o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ”t a r g e ta n df u n c t i o n a l i t y , t h et a r g e t c o m b i n a t i o nd i s p l a y si nt h ec o n v e r s i o no fk n o w l e d g e f u n c t i o n a ic o m b i n a t i o n c o n c e n t r a t e so nb e i n gr e t i e c t e db yt h i n k i n g s u b s e q u e n t l y t h et h e s i sd e s c r i p t i o nd e v e l o p sf r o mp e r i p h e r a lt op o s i t i v e f i r s t 。 i t p u tf o r w a r dt h ef o l l o w i n gi d e af r o mt h ep e r s p e c t i v ec o g n i t i v ep s y c h o l o g y ：t h e c o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ”a r eo n eo fp s y c h o l o g i c a ic h a r a c t er | s t i c s0 f m a t h s t u d y i nv i r t u e o ft h et h e o r yo fm e n t a ir e p r e s e n l a t i o n ，i tf u r t h e r d i s t i n g u i s h e st h e “s h u ”a n d “x i n g ”。e x p a n d st h e mt ot h em e n t a ir e p r e s e n t a t i o n a n dp o i n t so u tt h a t “c o m b i n a t i o n ”a c t u a l l yi n c l u d e st w ok i n d so f n f o r m a t i o n p r o c e s s i n gs e l e c t i o na n dt r a n s f o r m a t i o n s e c o n d l yt h ed o m e s t i ca n d j n t e r n a t i o n a m a t h e m a t i c ss t u d yc o n f i r m st h ei m p o d a n c eo ft h ep r a c t i c a l r e s e a r c hw h i l e s i g n i f y i n g t h ec o m p a r i s o n s t u d y i n g ，a n dt h en e c e s s i t y o f s h r i n k i n gs t u d y i n ga r e a s u p p o r t e db yt h e s et h e o r e t i cc o n c l u s i o n s t h el h e s i ss h o w si n v e s t i g a t i o n s c o r r e l a t e dw i t ht h ec o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ”f r o md i f f e r e n ta n g l e s o n t h eb a s i so fq u a l i t ya n a l y z i n gf r o ms t u d e n t a n dt e a c h e r t h i n k i n gp a s s a g e t h e t h e s i sp u t sf o r w a r di n f o r m a t i o np r o c e s s i n ga n a l y t i c a lc h a r to ft h ec o m b i n a t i o n o f “s h u ”a n d “x i n g ”a n de s t a b l i s h e si t3m a i nc o g n i t i v ef a c t o r st h a ti n c l u d e “s h u ”o p e r a t i o n “x i n g o p e r a t i o na n dt h es c h e m ao f “s h u ”a n d ”x i n g ”o nt h i s b a s i s i tp r o v e st h ec o n c l u s i o nb yq u a n t i z e dm e t h o d ：i na n a l y t i cg e o m e t r y s t u d y , i ti sc o r r e l a t e dw i t ht h eb e h a v i o ro fl h ec o m b i n a t i o no f “s h u ”a n d “x i n g ” t ot h ea b i l i t yo f “s h u ”o p e r a t i o n t h ef o i l o w i n gr e s e a r c ha c h i e v e m e n t sc a nb eu s e di nm a t h e m a t i c st e a c h i n gf o r r e f e r e n c e ： e m p h a s i z ee x c e s s i v e l yt h et a r g e tc o m b i n eo ft h ec o m b i n a t i o no f “s h u ” 3 a n d “x i n g ”，p a yl i t t l ee n o u g ha t t e n t i o nt of u n c t i o n a l i t yc o m b i n ea tp r e s e n t ， n a m e l y t h e t e a c h i n g i d e a so f p a y i n g a t t e n t i o nt o k n o w l e d g e i ss t i l l d e e p - r o o t e d o nf u n c t i o n a l i t yc o m b i n a t i o n ，t e a c h e r sa n ds t u d e n t sa p p r o v eo ft h eo c u l a r a u x i l i a r yf u n c t i o no ft h ef i g u r e 。b u ta v o i d i n gc o u n t i n g ，a n df r i g h t e n e dt h e o p e r a t i o no f “s h u o ro p e r a t i n g “s h u ”n op r o f i c i e n c ya tt h el o wl e v e l b e c a u s ei na n a l y t i cg e o m e t r ys t u d y ，i ti sc o r r e l a t e dw i t ht h eb e h a v i o ro ft h e c o m b i n a t i o no f “s h u a n d “x i n g t ot h ea b i l i t yo f “s h u ”o p e r a t i o n i ti sv e r y i m p o r t a n tg o i n g o np u r p o s e f u lt r a i n i n ga m o n ga c t u a lt e a c h i n go fa n a l y t i c g e o m e t r y k e yw o r d s ：“s h u ”，“x i n g ”，c o m b i n a t i o n ，c o g n i t i o n 4 引言 一、论题缘起 数学教育研究，她既是民族的又是世界的。我国的数学教育很有特点，在外国教育专家 看来，一些不可思议的教育现象可以顺理成章地发生在我们国度的任意的教学场境中。然而， 我国选手屡次获得数学奥林匹克金牌，以“烈基”为特色的中国数学教育稳步前行，却是不 争的事实，他们不得不承认我们是个“神秘”的国度。是神秘还是另有隐情? 当我国和国际 之间的学术交流渠道畅通后，我们还是发现了诸多不足，我们似乎太喜欢“闭fj 称王”，太 禁锢于实用的宏观的“黑箱理沦”，太不习惯使_ l = j 分解的思想，“中国人决不缺乏聪明才智， 缺的就是对精细的执着”“。五千年文化底蕴培育出的中国数学教育实在是一片有待进 一步开垦的沃土! 我想：我应该扎根中国数学教育，“师夷之长技而制夷”为开创数学教育 研究的“中国派”，为中国的数学教育走向世界做点力所能及的研究。 数学教育研究，她既隶属于“人教育”的范畴又当立足丁数学学科的教学特征。曾儿何 时，数学教育研究就是教育理论+ 数学教育例子拼凑而成，数学教育如同一个没有个性的橡 皮泥人，而事实上数学教育与其他学科教育一样都有许多自身的特征和规律。随便问一个中 小学生，随便问一个中小学教师，他”j 都能同答出各fj 学科学习的不同特点。近年米情况人 为好转，一人批有着深厚数学功底的数学专家转型成数学教育专家，自此数学教育的学科特 征慢慢突现出来作为数学教育研究的新兵，我也十分愿意投身丁这一变革的；! j ；流中并施展 拳脚。 数学教育研究，她既是理论的提升，又必须从实践中来，到实践中去，更应为实际教学 提供服务的平台、研究的范式。有人说，我国的教育研究身披两张皮，理论研究深借闺中闭 门造车，教学实践冲锋陷阵崇尚经验。随着基础教育改革大踏步前行，这种“冷战”状况已 经有所缓和，我国数学教育理论界已经步出了象牙塔进驻教学第一线，上世纪九十年代末以 来以教学案例利教学个案为龙头的教育研究将两股力量汇集在一起，进而又深入探讨“烈 基”、“变式”、“开放题”等一系列教学现象，“上通世界，下达课堂”成为人们的共识。但 1 3 亿人_ 的教育的整体提升不仅仅需要一两个热点，而是全体教育同f ：的其同参j ，百花 齐放，百家争鸣。曾是数学教师的我，有必要选取一个时代的热点进行透视，咀更高的观点 来剖析常规教学中发生的平常事。 导师汤服成教授一贯重视对数学教育，t 5 理学的研究，经常启发我们思考数学学习中的认 知特点，这也成为j 。卣师范大学数学教育研究的特色之一，身处其中的我深受其熏陶。因此， 我最终选择了“数形结合”这一我国数学教育界耳熟能详的教学现象，作为我的研究论题， 并将其置于认知心理研究之r 。 二、研究方法和研究基本框架 为了全面深入地研究“数形结合”的，i i , 理表现特征和内在规律，研究进展始终按照由表 及里、由理论到实证、由质性到量化等基本程序进行。 研究工作以理论思辨这一维度作为起点，主要采用文献分析法和历史分析法的研究方法。 从文化角度切入对“数形结合”的研究，对“数形结合”的已有研究进行综述，对“数”、 “形”、“结合”这二个词进行分解剖析，拟订研究的基本走向。从历史角度切入，考察数与 形的扩充与结合简史中的认知特点挖掘5 “数形结合”的双重内涵对象性与功能性。 随后，从外围铺垫转入止面论述。从认知心理学的角度提出如下观念：数形结合是数学学习 心理的特征之。借助一i i , 理表征理论对“数”表征和“形”表征进行区分、拓展，寻找“结 合”在认知维度上的内涵。 继而论文进入实证凋查研究维度其间综合运刖了个人访谈法、匮丞! 佳选( s h o w i n g y o u rw o r k ) + 、瞄卷测试法等研究方法，对外显的行为观测结果进行细致入微的认知心理分 析。随着调查研究的深入，论文不断收缩研究区域，而后将研究内容锁定在解析几何的学习 | ，井确定r 影响“数形结合”的认知因素，最后进行认知因素的相关性研究。 最斤希望本研究能有所得，并得到众位方家的认同。 汗中求细青决定成败 m 北京：新华f | i 版社，2 0 0 4 ：4 6 类似于出卢世考，小过它要学生写下i 町不足出声说出自己的思考内容。展示t 作法口j 以暴露解题荐的合 理的数量推理，l 司样也还可以暴露错误的心理操作及错误的概念。 当几个重要领域一几何、非线性几何、代数几何、数学物理自然地融合在一起后， 经典的老大难题便会迎刃而解。 丘成桐 经验的、直观的方法虽然缺乏数学的细致和推理的力量，而且从数学观念看显得朴素、 没有系统，但这种方法的优点不容轻视，它同实际比较接近，容易用个别科学领域的例子 来说明和验证。演绎的系统理论方法有利于分析，但在选择正确的基本关系方面都存在困 难。所以在一般系统研究中应当把这两种方法结合起来。 一般系统论的创立者：贝塔朗菲 第一章文化视角下的“数形结合” “数形结合”是贯穿中小学数学教学始终的基本思想方法，在中国数学教育界，人们对 其的熟悉程度达到了路人皆知的地步，在g o o g l e 搜索引擎中输入“数形结合”这个关键词 后，与其相关的查询结果共有2 6 7 0 0 0 项。“数形结合”一词得到了不同层次的教育研究者、 教学实践者和数学研习者的广泛接受。理论界将“数形结合”作为数学思想方法来研究、深 化；处于教学实践第一线的教师将其作为解题常用方法和技巧米传授；学习者在训练中不断 尝试、运用达至熟练，从而作为程序性知识而内化，“数形结合”成为中国数学教育界教与 学、理论与实践多极研究张力汇聚的衔接点，成为中国数学教育界一道独特的靓丽风景线。 其实，不仪仪在数学教育界“数形结合”词的应用已经辐射到r 物理、化学、生物等基 础理科教育界。 “数形结合”相对于一般的数学概念，其词义并不是非常清晰。不妨从纵深方向提几个 问题，什么是“数”? 什么是“形”? 在方法论的角度上“结合”又做如何解释? 乍看之际 竞把人逼入窘境! 但，是什么力量促使“数形结合”作为普通习语却在教育界受到程度如此 z 高的礼遇? 发人深思! 显然，高频词“数形结合”并非横空出世，在中国的大地上有其产生、生长的温床，是 教育、文化、语言、心理机制等因素的结晶。因此，笔者首先对“数形结合”一同的成因追 根溯源，希望能对读者有所启迪，深化对“数形结合”的理解。 一、“数形结合”的出处考证 数形结合作为习语从产生到发展再剑泛滥前斤不过二、四十年时间。数学通报作为我 国基础数学教育界的核心刊物，从1 9 5 1 年1 1 月复刊( 原名为数学杂志，复刊时为中 国数学杂忐，1 9 5 3 年起改为现名) 剑1 9 6 6 年7 月因“文革”停刊，该刊物十六年间( 共 计1 5 8 期) 的所有文章中都没有“数形结合”一词。但出现过一些与之相类似的词、句，例 如：把数学中两个主要对象“形”与“数”密切地联系、代数与几何统一起米、把代数方面 的矛盾和几何方面的矛盾合流、使代数吸收几何的直观而更丰富等。这一阶段是“数形结合” 一词产生的酝酿期。 “数形结合”一词的止式出现与中国数学界的传奇人物华罗庚先生息息相关。华老t - 1 9 6 4 年1 月撰写了谈谈与蜂房结构有关数学问题这一科普小册子，书中有一首小词：“数与 形，本是相倚依，焉能分作两边e 。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好， 隔离分家万事非：切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离! ”。正因为华老在中国数 学界的影响力，外加文革以后全国高考制度得以恢复，“数形结合”一词不禁在中国的大江 南北开始流行起来。“数形结合”一词推出后不久，立即获得了数学界的普遍认同，儿乎所 有的数学教育教学刊物都出现了此词。例如，数学通报复刊厉不久，1 9 8 1 年8 月就发表 了一篇文章浅谈中学数学中的数形结合。 二、对“数形结合”的训释 数形结合是一个主谓结构的短语，秉承中国语言简洁、形象、概括的特点，是由中国数 学教育界基于中国文化底蕴而产成的“原创作品”。 单就字面意思而言，“数”可以理解为塑 主( n u m b e r ) 、簋查( a r i t h m e t i c ) 、垡塑( a l g e b r a ) 、 。王0 陈德泉，计雷等华罗庚科普著作选集 m 】上海：上海教育出版社，1 9 8 4 ：】8 6 数堂盆蚯( a n a l y s i s ) 、煎堂( m a t h e m a t i c s ) 等意思，“形”可以理解为鱼丝( f i g u r e ) 、里盔 ( c h a r to rg r a p h ) 、b i 亘堂( g e o m e t r y ) 、窒闷型式( s p a t i a ls h a p e ) 、查理世昼( o b j e c t i v er e a l i t y ) 等意思“结合”意为彼此紧密联系，于是“数形结合”的基本意思已经显现，即将数学中 的两人基本研究对象一一数量关系与空间形式紧密联系起来。 对“数形结合”的解释学术界众说纷纭，下面几种是常见的界定： 张同君从解题理论的角度将“数形结合”朴素地理解为：“在问题解决中，将数量关系 的精确刻画和空间形式的形象直观密切结台，调用代数和儿何的双面上具，揭露问题的深层 结构，达到解题的目的”。： 罗增儒从信息加下的目的性来诠释：“一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数 的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实”“： 徐斌艳从思维理论的角度来定义：“数形结合就是使抽象思维和形象思维相互作用，实 现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问 题”o ； 任樟辉从类比迁移的角度认为：“数( 或式) 形结合包括了数( 式) 或形结构本身的变 式、变形问的迁移及相互间的整体或局部迁移”。 对“数形结合”的定义往往是综合性的我”j 不妨另辟蹊释从词意分解的角度来予以尝 试。 2 1 关于“数”、“形”的涵义 数、形两字内涵丰富。从广义上来说，“数”可以指代作为研究客观世界的上具一数学， “形”即为整个客观世界；从数学学科的维度分析，“数”与“形”的解释也具有层次性。 如果将“数”理解为代数学、分析学及其衍生出的数学分支的研究对象，那么相应地“形” r u 以理解为几何学( 欧氏几何、射影几何、解析几何、微分几何和拓朴学等) 的研究对象。 这种理解是基于这样一种隐喻：数学是研究现实世界的空间形式和数茸关系的一门科学。但 实际上，尤其是近百年数学的发展，数学基础经历了逻辑主义、直觉主义、形式主义等思潮 的影响，数与形已经无法概括数学的全部研究对象了，众多学者多倾向于采用更抽象化概括 化、更具现代内涵、更具统一性( 强调数学各分支的统一) 的数学定义。例如，2 0 世纪5 0 年代前苏联一部分颇有影响力的数学家认为：“现代数学就是各种量之间的可能的一般说 是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”o ；2 0 世纪8 0 年代一批美国学者将数学简单 地定义为关于“搓蓝”( p a t t e m ) 的科学：“数学这个领域已被称作拦蓝曲叠堂( s c i e n c eo f p a a e m ) ，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性” 既然现代数学已经不能再简单地划分为数、形两人领域+ 那么“数形”究竟怎样来诠释 呢? 其实“数形结合”中的“数形”本身就不是个严格的数学概念，或者说“数形”的 语义所指并不完全是数学对象，华老在归纳出该词的时候并不是在进行数学哲学中数学本体 的探讨，而是进行类似丁波利瓶的t ：作数学探索( 启发) 法的研究，文中有一句话即 为明i 止：“这是“几何”启发出“代数”，但代数的考虑又人人丰富了儿何”。由此可见，“数 形结合”更多具有问题解决的性质，涉及到思维论、教学论、认知心理学、数学方法论等众 多领域。 冈此，“数”与“形”可以认为是数学知识的表征形式，对“数”的理解廊泛化为：数学 文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题： 相席地，“形”泛化为：图形表征，即实物、幽像、| 璺| 形、符号等。 2 2 关于“结合” “结台”是该主谓结构短语中的对研究主体的施动方式，具有极强的方法论意味，其基 本涵义指彼此紧密联系。目前的研究往往集中于“数”与“形”结台的外在表现：借助一定 。张j 刖辩土编中学数学觯题 丹究 m 长春：东北师范人学出版社，2 0 0 2 ；2 2 8 o 罗增儒著数学解题学引论f m l 西安：陕西师范大学出版社2 0 0 1 ：3 8 4 o 徐斌艳主编数学课程与教学论 m i 杭州：浙江教育“l 版社2 0 0 3 ：7 5 o 任樟辉著数学思维理论 m i 南宁：广两教育出版科，2 0 0 1 ：1 4 8 。亚历山大洛夫等数学它的内容、方法和意义( 第一卷) 【m 】北京：科学山版礼，1 9 5 8 ：6 o 转引白李土林著数学史概论【m 北京：高等教育 n 版社，2 0 0 2 ：8 7 的数学结构或模型进行转换。可以按转换对象来分为：将数转化为形、将形转化为数这两大 类，或按照模型的明显程度分为：套用型转换，利用现成的数学模型进行转换，此类转换“数 形”统一的程度较高，例如在直角坐标系中点与坐标、曲线与方程是一一对应的关系，对“数 形”其中之一的研究即可获得平移；构造型转换，对图形构造数学式子、对数学式子构造儿 何图形，当“数”与“形”之间不是一一对应的关系时要注意等价性的验证。 其实“转换”只是“结合”的表层的操作层面上的涵义。在实现转换前，有一个相互融 合的过程，而且转换也不完全是融台后的唯一趋向，融合发展到高级层面应该不仅仅是操作 层面而且是意识羊| j 思维形式层面的1 2 3 “数形结合”整体释义 从外在表现米看，“数形结合”与形数转换似乎同义，这与上面提及的解释平解释内 涵相当。但结合是手段而不是目的，结合的最终目的是便于两类表征的认知心理加1 j ，即提 取、解秫、变形、概括等。从这一角度来看，“数形结合”应与借数解形、以形助数两词的 合义相当，即与解释内涵相当。 三、“数形结合”思想的传统文化底蕴 “中国的儒家传统文化和教育传统一贯重视一或整体的价值”。，这种注重“一以贳 之”的整体性乘i 直觉性的思维模式，是“数形结合”思想产生的本源。 以筹算的运演操作为代表的中国占代数学，一直贯彻着经世致用的实刚主义原则，中国 文化并不要求数学家们进行太多的逻辑演绎的理性锤炼，只要结果与实践要求相一致就开绿 灯，与改革初期的“黑、白猫论”和中医的“黑箱理论”不谋而合。筹算的使蚪j 广义上可以 认为是数形结合的一种表现形式，中国古代数学一直以来未形成符号化的运算系统，即使到 中国数学发展的鼎盛阶段宋元时期，由李冶给出的建立方程的表述符号也只能认为是半 符号化的运算，没有数学符号做为支撑的数学推理多借助于形象思维，九章算术中所给 出的各种筹算运演规则，如开方术、方程术、割圆术、阳马术、盈不足术等，从命名上就可 以发现这些“程序”性法则( 类似于算法) 的直观性。虽然学术界对中国古代数学上是否存 在严格的逻辑演绎证明一直以来有争议，但中国古代数学家采用归纳、类比、直觉想象等形 象思维形式却是不争的事实，于是占算书中借形论数和以数解形的现象十分普遍例如赵爽 _ e j 勾股圆方图对勾股定理及若干勾股恒等式所作的论说，仅用短短五百余字和六张附图，就 简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就；而比率算法、高次方程数值解法、天元术等在 儿何领域中的j “泛使用就是以数解形的充分体现。 而且中国“法古”、崇古和崇尚权威的后喻型文化传统势必使这些对中国现代数学和现代 数学教育的发展产生深远的影响，“数形结合”思想得到众人青睐亦不足为奇了。 四、“数形结合”思想的传承 “数形结合”思想的继承、传播、应用和发展受到两股张力的直接拉动。一股来自数学 教育理论界对数学方法论的研究，另一股来自考试文化浸淫f 的基础教育 。作者的实践活 动。 数学方法论是“对古往今来的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运片j 的论述”9 ， 与中国古代数学中对“术”的研究在思维模式上有很强的相似性，数学方法论研究在理论界 的盛行也自然是情理中的事。我国的数学思想方法的研究由著名学者徐利治先生丁1 9 8 3 年 所著的数学方法论选讲一石击起干层浪。继而，郑毓信先生、张奠南先生等一人批数学 教育专家直接推动了我国数学方法论的研究。“数形结合”这一微观层面的数学方法被置于 r m i ( 映射反演) 原则下，其方法论上的涵义在形式上得剑抽象，“结合”的词义抽象成为 数学概念映射与反演，而数与形被视为原象系统和映象系统中的两种关系结构。“数形 结合”经过数学化后，对映射、关系结构的已有研究儿乎可以深化数形结合的已有认识，例 如数与形这两种结构之间的关系，可以是同构映射也可以是同态映射，而同态映射不必是一 一对应的。简言之，数与形的结合可以套用已有的一一对应模型，如直角坐标系，也可以构 造出不是一一对应的模型，如新的儿何图形、向量、代数式等。当然当系统结构问的对应不 。顾明远主编民族文化传统与教育现代化【m 】北京：北京师范大学出版社1 9 9 8 ：7 2 4 张奠宙，过伯祥著数学方法论稿【m 】上海：上海教育m 版社1 9 9 6 ：2 是一一对应时，须注意做一些必要的弥补t 作。 中国是最早采用笔试竞争制度的国家，从隋唐开始，到清朝末期，科举制度实行了1 3 0 0 多年，l 丈期的科举意识熏陶，形成了一种考试文化传统，其影响跨越国界远播全球。华人丰t 会，包括汉字文化圈内国家，都有严酷的升学考试，这己成为东亚数学教育的特征之一。文 革后，我国于1 9 7 8 年恢复全国高考制度。与之相呼应的全国中学数学竞赛第三次兴起，并 于同年首先在全国八省、市开展起来，进而发展成为遍及全国的初、高中联合数学竞赛。中 国学生学习数学的主要动力在很人程度上是为了戍付备类考试，于是在打好“烈基”的基础 上，掌握必要的方法技巧并大量练习，成为学子们快速解答考题的必要途径。数量关系与空 间形式几乎囊括了初等数学中的所有研究对象，因此基础教育工作者对“数形结合”的思想 更易产生共鸣，起初数形结合的思想出现在种类繁多的数学竞赛辅导教程中。随着高考竞争 的加剧，试题难度的加大，许多有经验的数学教师将“数形结合”思想方法f 放到高考复习 备考讲义中，目前在国内高考第二轮复习中，教师们都毫不例外地开辟了“数形结合”的专 题复习，以此来整合前面两轮的复习工作。从而可以发现“数形结合”已经成为中学阶段学 生必须掌握的基本思想方法，这一点在2 0 0 3 年4 月出版的( 普通高中) 数学课程标准( 实 验) 中有了充分的体现。 如果说理论界是将“数形结合”的研究，在方法内涵上向纵深方向引领，那么教学第一 线的专家、教师们则是对“数形结合”思想方法的外在表现形式进行整理。用解析几何方法 解决平面几何问题、用向量方法解决数学问题、用代数方法( 代数、了角、复数等) 解决平 面几何问题、用构造几何图形的方法解决代数问题等成为“数形结合”思想方法体现的四种 基本范式。 五、反思 “数形结合”思想方法对基础教育界、对整个数学教育界产生了深远的影响，甚车成为 教育者思考问题的一种模式，直接对数学方法论、数学教学论、数学解题学等二级学科的发 展起到了推动作用，每年在基础教育刊物上有芙“数形结台”的文章也蜂拥出现，作为文化 现象的“数形结合”是流行的、繁荣的，但作为学术层面的“数形结合”却始终是思辨性的， 止步于方法论层面，被圈定在解题思想方法层面米研究，即只是对“数形结台”的外观表现 形态进行总结、概括、分类。对“数形结合”的研究没能与心理学的研究联系起来，“数形 结合”的心理形成过程是怎样的? 有哪些因素在起着作用? 无人问津! 这种反差也折射山经 廿| = 致用之风与理性研究精神的争斗对比，其实“数形结合”只是其中的个缩影。 第二章h p m 视角下的“数形结合” 对“数形结合”的文化成冈进行分析之后，本人觉得有必要追根溯源，运用历史分析的 方法展示“数”与“形”的发展史与结台史，并应用h p m 的观点进行分析，希望能从历史 中发现“数形结合”与认知相关的因素。 一数与形的扩充与结合筒史 随着时间的流逝，人类文明进程的不断推进，数学的内容也不断地扩大着，尤其是在1 7 1 8 十 f = 纪商至1 9 世纪，被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去，而在各学科 的边界又不断创造和衍生一系列新的学科这些新学科现在已融合成面向2 1 世纪的庞人 的数学科学领域它是一个具有内在统一性的科学技术群。 数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是数和形的概念产生、发展、变迁的 历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。正因为数 学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象是数与形这两个概念自身也处于不断变化中。从最 初计数而产生的旦叁塑( c o u n t i n gn u m b e r ) 从最初土地测量而产生的出哇( g e o m e t r y ) ，发 装光明主编数学辞海( 第一卷) m 山西教育版社东南大学出版社，中国科学技术出版社：卜5 9 展成为研究代数系统( 最原始最基本的代数系统有半群、群、环、域、格、模等) 的内在规 律的现代代数学，以及与群论、拓扑学、计算机科学等数学分支相溶合的种类纷呈的现代几 何学。数与形亦作为数学的两大基本研究对象经历了一个“合久必分，分久必合”的过程， 从融合走向分离继而义走向融台。 1 1 数学萌芽时期的“前”数形结合 “在人类的原始时代，数与形是结合在一起的。例如：犬上一个太阳( 数1 与太| j 结合 在一起) ，人的一只手有五个指头( 数5 与一只手的指头结合在一起) 等筲”。当时的“数” 只能定位丁数字( 自然数) ，“形”却似乎可以定位于可以参与计数的客观事物本身。数与形 都是客观事物的属性，此时的数形结合是无意识的一方面反映出人类生活的客观世界的统 一性与事物之间的j 。泛联系性，另一方面也表现出人类在文明进程中限丁认知水平的无奈叹 h 肖。此时数与形的结合的根本原因是人们无法对两者进行区分。 数。的萌芽时期，“人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的。数觉 到抽象的数概念的形成，是一个缓慢的渐进的过程”。人类在采集、狩猎等生产、 生活中，逐渐发现一只羊一头狼一个苹果一棵树之间存在的共通性( 单位性) ， 从而抛开事物的物质属性抽象出物群所共有的特性数。数的概念从客观事物的众多属性 中分离出来，数字“1 ”的出现对人类文明进程的影响绝不亚于人类开始对火的使用。正如 1 9 世纪德国数学家克隆尼克所言：“整数是被亲爱的上帝造成的，其它的一切都是人的 i 作” 。“数”与“形”开始了人类文明史上第一次分离。当生产活动进一步发展，社会交易进一 步频繁的时候止所谓“数由数( s h o ) 中生”，计数得到的数目还需要 0 录f 来或告诉别人， 丁是记数变成了必要。记数经历了手指、7 i 头、结绳、刻痕等方式，直至距今大约再千多年 前终r 山现r | 写记数以及相应的记数系统( 如图2 - 1 ) ，记数义一次将数的概念( j 然数) 与形( 实物、幽形、符号等) 联系起米，与此前不同的是由记数表现的数形结台是人类有 意识的行为。记数系统的出现使数与数之间的书写运算成为可能，初等算术便顺理成章地在 儿个占代文明区域发展起来。 古埃及的象形数字( 公元前3 4 0 0 年前左右) ln e 扁9| rb 11 01 0 01 0 0 01 0 1 0 01 0 0 0 0 0 巴比伦楔彤数字( 公元前2 4 0 0 年左右) ”r 盯甲蛾砰胃拜弼戒擎可弼瀑1 ( o , t i t 利州 丫翼獠取 l 1l tj 03 0蛐4 0?o,80】1 1 0 图2 1 最初的儿何知识也是人们从自然界中提取出来的，从这一点上说，数属于创造，图形属 于摹写。从埃及前王朝时期和西安半坡时期的古陶器壁的装饰画中以及旧石器时代的洞穴艺 。周述岐编著数学思想与数学哲学【m 】北京：中国人民大学出版杜，19 9 3 ：3 6 9 。李文林著数学史概论 m 】北京：高等教育出版礼，2 0 0 2 ：1 1 。新特洛伊克数学简史 m 】北京：科学出版社，1 9 5 6 ：1 4 0 o o l 一 舅一 术中，我们可以看到先人除了对圆、三角形、止方形等几何图形有所了解外，对全等、相似、 对称等几何性质也有了朴素的认识。这种潜意识的几何知识表现为对图形概貌性认识和摹 写，它还只是一种下意识的心理活动：但随之而来的经验几何知识则发展到对图形构成的分 析和关系的描述，以及对图形大小的度量。然而，这种经验| 生的几何知识却是在古埃及得以 发展到极至，被后人誉为“尼罗河的赠礼”。尼罗河一年一度的长期泛滥，使土地所有者的 田界每年都被冲毁，不得不用几何的丈晕手段加以重定，且衄学( g e o m e t r y ) 一词就是由 g e o m e t r e i n 演变而来的，其中g e o 是指土地，m e t r e i n 是指测量。而测量的本身就是对图形 的k 度、面积、容积等性质进行的计算、量化，算术l u j l 何并没有分开，埃及人也像巴比伦 人那样，把几何看成实用工具，然后把有关面积、体积及其他几何性质的问题用算术和代数 来解决，由丁公理体系尚未建立起来概念间的推理还没有进入人们的视野，甚至我们可以 认为几何知识附属于算术。 总之，数学萌芽时期的“数”与“形”的初步概念都已产生，但此时“数”与“形”的 外延斗分有限，“数”与“形”已经开始了分合交替式的发展，此时的结合是由于无法也没 有能力米区分，而分离却是人类认知发展的必然表现。 1 2 古典希腊时期数学中的形与数 古埃及与巴比伦人，由丁长期( 约三千年) 的生活实践，累积了人量直观的、经验的、 实验的几何知识，然后传到了古希腊。麦勉堑( t h a l e s ) 首先尝试用逻辑加以组织，“这使 t h a l e s 成为几何证明的首创者，和将经验几何转变为证明几何的第一个实践者”。 接着是毕达哥拉斯学派该学派特别重视事物的定量研究。因为，他们发现，很多事物 和现象都可以从数量的方面来进行说明和解释。例如，该学派成员发现，和声学就可以借助 弦长的数量关系而得以说明。具体地说，产生各种谐卢的弦的长度都成整数比。例如，当两 根绷得样紧的弦长的比是2 比1 时，就会产生相差八度的谐音；如果两根弦长的比为3 比2 时，那么就会发出另一种谐音：短弦发出的音比长弦发出音高五度；等等：他们认为自 己终于 抓住了世界最终的奥秘那就是世界上的一切事物和现象都可以并且只能通过数学得 以解释，即宇宙的本质就在于数的和谐性。作为这种理论的逻辑发展，他们还提出了“数是 万物的本原”的思想，在他们的心目中的数如同我们心中的原子一样。 进而他们