（课程与教学论专业论文）数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计.pdf

数学概念掌捌中她构活动的分析披教学没计 中文提要 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计 中文提要 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，数学概念是进行数学推理、判断、 证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，那么数学概念就是数学学习的首 妥环节。近年来建构主义被引进数学中，研究者已普遍承认，数学概念学习必须建立 概念之间的联系，而建立概念之间的联系是通过建构活动完成的。 论文首先从理论上寻找建构思想的源头，通过分析数学概念的内部结构，对在课 堂中进行数学概念掌握中建构的可能性作了探讨。接黄从两个方面分析了如何进行数 学概念的建构：双向建构和“具体一抽象一具体”建构。并且探讨了在课堂教学中适 合进行概念建构的教学方式变式教学和整体教学。最后提出在数学概念教学中要 提供感性材料，注意学生差异和激发认知冲突。 在本文的附录中，通过对一节教学案例的分析，试图进一步说明在教学中如何进 行数学概念的建构。 关键词：概念数学概念建构活动 作者：车志荣 指导教j i l i 宋志轶 塾兰壁垒兰塑! 些塑堕垫塑坌堑丝塾兰垦生 一 茎兰丝墼 t h e a n a l y s i s o ft h ec o n s t r u c t i o na c t i v i 姆i nt h ec o m m a n d o f m a t h e m a t i c s c o n c e p t a n dt h e t e a c h i n gd e s i g n a b s t r a c t m a t h e m a t i c si st h en e c e s s a r yt o o li nt h ep e o p l e l i f e ，w o r ka n dl e a r n i n g m a t h e m a t i c s r e a s o n i n g ，j u d g i n g a n dp r o v i n gi sc a r r i e d t h r o u g ha c c o r d i n g t om a t h e m a t i c sc o n c e p t m a t h e m a t i c sc o n c e p ti st h ef o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c st h e o r e m ，p r i n c i p l ef o r m u l a s o m a t h e m a t i c s c o n c e p ti s c h i e fi nm a t h e m a t i c s i nt h e p a s t f e wy e a r s ，c o n s t r u c t i v i s ti s i n t r o d u c e di n t om a t h e m a t i c s i n v e s t i g a t o r sh a v ea l w a y sa c c e p t e da tl a r g et h a tt h el e a r n i n g o fm a t h e m a t i c sc o n c e p tm u s te s t a b l i s ht h er e l a t i o na m o n gc o n c e p t s ，w h i c hi sf i n i s h e db y t h ec o n s t r u c t i o na c t i v i t y a tf i r s t ，t h eh e a d s t r e a mo fc o n s t r u c t i o ni ss e a r c h e di nt h e o r y a n dt h ep o s s i b i l i t yo f c o n s t r u c t i o ni nt h ec o m m a n do fm a t h e m a t i c sc o n c e p ti nt h ec l a s s r o o mi s d i s c u s s e d ，b y a n a l y z i n gt h ei n t e r n a ls t r u c t u r eo ft h em a t h e m a t i c sc o n c e p t t h e nt h i st e x ta n a l y z e df r o m t w oa s p e c t sh o wt op r o c e e dt h ec o n s t r u c t i o no ft h em a t h e m a t i c sc o n c e p t ：c o n s t r u c t i o no f t h ed o u b l ed i r e c t i o na n dc o n s t r u c t i o nf r o mc o n c r e t et oa b s t r a c tt oc o n c r e t e a n dt h et h e s i s d i s c u s st h e t e a c h i n g m e t h o da d a p t i n gt oc o n s t r u c t i o no fc o n c e p ti nt h ec l a s s r o o m - - v a r i a t i o nt y p eo ft e a c h i n ga n dt h ew h o l et e a c h i n g ；f i n a l l yt h et h e s i sb r i n gf o r w a r dt h a t m a t e r i a lo fs e n s i b i l i t yi so f f e r e d ，d i f f e r e n c eo fs t u d e n t si sr e g a r d e da n dc o g n i t i v ec o n f l i c ti s i n s p i r e di nt h el e a r n i n go f m a t h e m a t i c sc o n c e p t i nt h et e x t u a la p p e n d i x ，t h e r ei st h ea n a l y s i so fas e c t i o nt e a c h i n gc a s e ，i no r d e rt oi r y t oe x p l a i nf u r t h e rh o wt oc a r r yt h r o u g ht h ec o n s t r u c t i o no ft h em a t h e m a t i c sc o n c e p ti nt h e t e a c h i n g k e yw o r d s ：c o n c e p t m a t h e m a t i c s c o n c e p t c o n s t r u c t i o n a c t i v i t y i i w r i t t e nb yc h e z h i - r o n g s u p e r v i s e db y s o n gz h i - y i 工b 4b u 2 5 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独奇进行研究t 作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。，对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：鍪：望日期：! ：! 生兰： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的伞部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名 导师签名 日期：之：! 生刍! 兰 & 觏5 i 7 乙 日期s 立! 二 数学概念掌掘中圭l l 构活动的分析及教学设计 、问题的提 ( 一) 选题的缘起 问题的提出 “数学是人们生活、劳动和学习! 凶不可少的工其，能够帮助人们处理数据、进行 计算推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提 供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽 象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用：数学是人类的一种文化，它的内容、 思想、方法和语吉是现代文明的重要组成部分。”1 数学概念教学的根本任务，就是要让 学生能准确地理解概念的内涵和外延，使之在思考问题、进行推理和证明时有据可依， 并能最终达到有创见性地解决问题的目的。因为数学概念是进行数学推理、判断、证明 的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。那么 数学概念的学习就成为数学学习的首要环节，数学概念的教学也相应地成为数学教学的 重要环节。 由于数学科学、计算机、人工智力等领域的巨大成就，认知心理学的成熟，建构主 义观点的完善，以及教育生念学、教育现象学和教育临床诊断研究法等研究方法的引入， 数学学习的研究发生了本质的变化与突破，从传统的经验反省走向课堂教学的细敏观察 与渗断；从一般的心理学实验走向揭示数学学习特殊性的研究；从对形式结论的研究走 向历史文化的分析；从被动的接受学习走向主动的建构学习的研究。对数学概念的认识 从模式观走向层次观，最终发展为网络观。对数学概念的理解，由行为主义的联结论、 早期认知派的结构论，最终发展为建构主义观点。联系与网络的观点，被引入数学概念 学习中。研究者已普遍承认，数学概念学习必须建立概念之恻的联系，建立概念网络。 在概念掌握中建立概念之间的联系是通过建构活动来完成的，建构活动有些什么特 点，直接影响着概念的掌握和教学。因此本文通过分析建构活动的特点，可以为数学概 念的教学提供教学参考。而个体概念的发展水平，在一定程度上决定和反映其思维的发 展水平，中学生f 处在由形象思维向抽象思维过渡的阶段抽象思维能力比较差，数学 数学谍程标准( 拿il 制义务教育阶段) ，北京师范人学版社，2 0 0 1 年7 月第l 版第2 页。 i 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计一、问题的提 概念的学习对于学生思维能力的培养起着重要作用。而通过思维而形成或掌握概念，又 是认u 事物的重要环节。囚此，概念的研究是思维研究的焦点和基础。 ( 二) 选题的实践意义 虽然数学概念掌握的研究【：= 作取得众多的理论成果，但在同常的数学概念教学活 动中存在着许多问题，让学生觉得学习数学概念枯燥乏味，影响了对数学概念的理解。 l 、忽视概念的外延 概念只要将内涵按一定规律扩大或缩小便可形成一类概念，再根据这些概念的外 延及相互关系，便可确定一个概念系统。但是概念教学中往往只重视概念的内涵而忽 视概念的外延，结果导致外延被扩大或缩小。比如，学生把菲本质属性包括到概念的 内涵中，如此就会不合理地缩小了概念，消除这种错误的有效方法是多提供包括非本 质特征的变式。当概念的内涵中包含的不是事物的本质而足其他特征时，如此就有可 能不合理地扩大概念，消除这种错误的有效方法是提供具有本质特征的变式。本文将 在后面详细阐述概念的变式教学，着眼于概念的外延，逐步形成概念。 2 、灌输孤立的概念 教师往往向学生教授一个个孤立的概念，忽视概念之问的联系，这样学生很难从 日| 乙中激活和提取相联的概念，建立起某一概念的立体网络结构，实质上并没有真f 理解概念。然而建立概念之问的联系对学习、理解、运用概念是十分重要的。只有了 解新旧概念的关系，增强概念的清晰性和稳定性，彳能为学生上位学习个别概念提供 具体的实例，为学生下位学习个别概念呈现包摄性更高的概念，为并列结合学习个别 概念提供有潜在联系的类比概念。而且形成整体的概念体系，学生才能灵活运用概念 解决数学问题。 3 、忽视认知结构 教师把确定的概念提供给学生，让他们将其作为现成的东西加以吸收，认为这样 就能加快和提高获得知识的速度和效率，其结果是忽视了构成概念的基础条件，留给 学生更多的只是些文字的公式，所传授的概念距离学生的理解和经验太远，影响数学 概念的掌握。实践经验表明。概念的直接教授是不科学的，而且也是没有效果的。实 际上学生对于教师所讲的概念必须有一个“理解”或“消化的过程。所谓t t 理解， 数学概念掌挺中建构活动的分析及教学傲计 一、问题的提 i 就足指“被纳入到适当的图式之中”。这在很大程度上就是一个意义赋予的过程，即 学习者必须依据自身已有的知识和经验( 认知结构) 去对教师所说的做出“解释”， 也就是必须存新的学习材料与主体己有的知识和经验之问建亩：起实质性的、非任意的 联系，从而使其获得真萨的意义。这个过程显示出学习活动的创造性质，或者说我们 需要的是一种“刨造性的理解”。 4 、定义法的误用 不恰当地使用定义不利于学生准确掌握概念的内涵和外延，也不利于学生数学能 力的提高。 一方面，对定义的表述往往一带而过，引入新概念的过程过于简单。然后迅速转 入练习，以致于学生对概念缺乏从感性到理性的认识，无法与学生原有的认知结构相 联系，新概念不能很好地纳入认知结构中，缺乏系统性。 另一方面，教师对定义字字推敲，并目要求学生熟记定义。这种教学既费时费力 又效果欠佳，还容易把学生导向死记硬背，而不求深入地理解概念的误区。首先，这 种方法不是去发掘思维。而仅仅是诱发一种言语知识的再现，一种对外部提供的现成 定义的再现，由于把注意力集中在词语方面，学习有可能变得过于强调语占，往往把 学习者的注意力分散，使他们不去注意语占所代表的事物，意即概念可不完全参照其 实际情景而习得。其次，中学数学出现的数学概念，考虑到中学生的知识水平与认识 能力等因素，其定义往往不是数学科学中的严格定义。有的给以明确的定义( 如有理 数，角) ，有些则只是通俗的描述或说明( 如直线) 。因此有些概念的表述并不严谨， 数学教材对个别概念的处理也不是绝对严密的，例如，函数概念的形成和发展经历了 漫k 的历史过程，逐步严密化和一般化，从而形成了现代的抽象的函数概念。但是考 虑到学生的可接受性，初中的函数概念教学仍是描述性的。依据中学数学教材给出的 函数定义，就不能清楚解释为什么函数能用图像来表示。但是也要确保概念的准确性， 不能让学生产生误解，以免影响后继的学习。 5 、导致思维模式的缺陷 由于以上几个原因，导致学生的思维模式出现单一化、无序化和表面化的现象。 ( 1 ) 单一化。所谓单一化是指学生在学习中，习惯于孤立、静止地看问题，满 数学 i f 念掌掘中矬构活动的分析段教学i 5 汁 一、问题的提 足于求个别问题的特解，无法从整体上把握数学概念：思维的发散性差，不善于双 向思维。学生在学习数学概念时，仅仅记忆其表达方式或语言表达，无法建立概念 内部的及概念之间的关系，掌握的概念是孤立的，实质上并没有真f 理解概念。这 剃一孤立值化看待概念而产生的错误，导致他们对每一。个概念都很熟悉，但问题终究 解决0 i 了，或者概念定义背得很熟，到运用时却不知所措。例如，他们能记住三角 函数的定义，复数代数式与三角式的变换，极坐标与直角坐标的互换，却很少注意 它们本质是一样的。 ( 2 ) 无序化。所谓无序化是指学生的思维呈杂乱无章的无序状态，这种无序化 使得概念之i - 白j 的联系错位，基本数学概念理解不透，邻近概念辨别不清，建构时常常 把旧知识结构中与新知 = 相似的或相近的，形同而质不同的知识提取出来。而且对概 念的理解模糊不清，在使用标准化的、具有明确内涵的概念名词或符号来表示他们所 理解的概念意义时，概念逻辑不严密，用同一个概念去表达几个不同的对象，或者用 几个不同的概念去表达同一个对象，违反同一律，破坏思维的一贯性和确定性而陷入 逻辑错误，导致概念的内涵( 或外延) 扩大或缩小。认知心理学把这种现象称为概念 的过度延伸。比如将三角形概念体系中的概念定义、概念性质、概念判定等混为一谈 将概念的某些部分性质视为概念的整个本质特性，有刚甚至用概念的一两条明显性质 来替代整个概念，这种不恰当往往使人感到思维混乱。 ( 3 ) 表耐化。所谓表面化是指学生对教师精心组织的探求概念发生发展的过程 不昕或昕不懂，就迫不及待地等待结论的心态，拒绝建立概念之问的联系。尤其是那 些对于理解新概念、运用瓤概念十分有利的已有概念。这种思维的表面化，对概念本 质属性把握较浅，使得概念发生过程与结论割裂，不仅造成记忆负担，而且影响概念 之间的迁移。比如“不等式”概念是在小学、初中接触了大量的不等式现象的基础上， 对不等式知识进行系统的整理，从理论一t - _ 对不等式的性质、证明、解法进行研究，不 了解这一点，就会在建构不等式知识中产生混乱。以致在解不等式时“x 二q f | 经 x 1 常出现因为“x 二”，所以工2 1 ，得“一1 x 3 ，3 2 + 2 3 = 5 5 ， 3 t 一7 ，o + b ：6 2 x + c = 3 d ，5 = 5 x ，从而使学生j f 确理解了方程的本质含义。 若要使学生学会解方程的技巧，又可以进行如下的变式：解方程：18 = 3 x ，k 一1 8 = 0 ， 3 x 十5 8 = 5 8 等，如果学生的能力不止这些，还可以进行如下的变式；解方程： x + 2 x = 6 ，2 x = z 十5 ，x = 2 x ，一系列变换3 6 。 ( 3 ) 变式教学还应注意量力性 学生的心理特点决定了在教学中必须注意量力性原则，在学生可以接受的前提 下，通过变式教学来促进学生的发展。如果忽视了这一原则，只是图新，追求形式的 变化，其结果可能适得其反，造成学生的不知所以。比如况无穷是很抽象的一个概念 无穷多，无穷大。无穷小，无穷远，无穷接近等都很费解。两条直线平行的无限延伸， 1t1 自然数有无穷多个，l + 去+ + + 二+ 究竟有多大，事实证明涉及到“无穷”的相 zj玎 关睛景时，教学就成为难点。但是这样一个形式化的概念也不难找到它的直观变式。 “满天星斗”和“沙漠中的沙粒”使我们得到“无穷多”的感受，蓝天，大海，平坦 的草原会产生“无穷远”的感觉，那么无穷的概念逐渐接近学生的理解范围。 ( 二) 数学概念的整体教学 按知识结构组织的整体教学既能使学生了解新旧知识的关系，领略知识的丰富内 涵，获得整体的系统知识，增强知识建构的清晰性和稳定性，也容易产生一种导向作 用，使所学的知识向抽象程度更高的知识发展，从而实现数学知识的高度抽象化，使 之更易于迁移。层次分明的观念网络结构是良好的认知结构的特征之一。因此为了促 使学生掌握数学概念，教师就必须注意整体教学。 1 、选择知识的整体性 中学数学中前后知识都是按一定的层次发展起来的。在教学中要注重它们的内 在联系，将它们连贯起来形成知识网，这样不但可以弄清知识的来龙去脉，还能提 高学生综合运用不同知识来分析问题和解决问题能力。教材或教师在选择知识时， 必须尽可能保证所选知识有一个相对的完整性和独立性，即把描述某一概念的知识 3 6 岗仕宗；小学数学中变式教学的三点注意，载贵州教育1 9 9 9 年第1 2 期。 3 l 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设汁五、建构活动模式下的数学概念教学 组成捆封独立的一个单元，以有利于学生在头脑中形成个关于某概念的一个完整 形象，从而形成一个认知结构中有一定清晰度的生氏点，以便于进一步同化新的知 识，形成更火范围的良好的认知结构。当然，我们强调的整体性是相对的，不可能 把某一极其抽象的概念所包含f l 勺知识在一个单元内全部讲解，还必须考虑学生的接 受能力。 例如映射概念与函数概念以及函数中其他一些名词概念问的关系，只要抓牢映射 概念这一环，其余概念就容易理解掌握。怎样让学生掌握映射这个概念，进而运用映 荆概念加深对函数的其他一些名词概念的理解。 ( 1 ) 用映射概念来理解函数概念，从映射的概念可以知道，函数实际上就是从 集合爿到集合b 的一个映射f ：aj b ，其中a ，b 都是非空的数集集合a 就是函 数的定义域，函数值的集合c 即是函数的值域，很明显cgb ，所以函数具体地说就 是从定义域爿到值域c 的一种特殊映射。 ( 2 ) 用映射概念来理解反函数概念，通过反函数概念的学习知道，对于函数 y = f ( x ) 的反函数x = q k ( y ) 来说：对于c 中的任何一个值y ，通过式子x = 庐( y ) 在a 巾 都有唯一确定的值x 和它对应，即确定反函数x = 妒( y ) 的映射是从c 到名的映射。于 是可得结论：在单调区间内，如果确定函数的映射是从a 到c 的一对一的映射，则该 函数一定有反函数。 ( 3 ) 用映射概念来理解偶函数、单调函数、周期函数等名词概念，因为偶函数 的图像关于y 轴对称，所以对于定义域中的x 、一x 有相同的像f ( x 1 。因此确定偶函 数的映射是多对一的映射，于是可得结论：偶函数一定没有反函数。 由增函数定义知气 而，有f ( x ) ，( 为) ，由递减函数定义知 f ( x ：) ，从而晚明不同的自变量函数值也不同，所以确定单调函数的映射是一 对一的映射，于是可得结论：单调函数一定有反函数。 由周期函数的定义知：f ( x + t ) = i ( x ) ，非零常数t 是函数f ( x ) 的周期，则对 于定义域中的x ，x + t 在值域有相同的象，b ) ，因此确定周期函数的映射是多对一 的映射，于是可得结论：周期函数一定没有反函数。 1 2 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计五、建构活动模式下的数学概念教学 通过高一映射概念的学习，理清映射与函数中一些名词概念之间种属关系， 将这些概念联点串线，建立概念网络系统，使概念纵横贯通，这样不仅使学生从 概念l 勺个体方面认知概念。而且从概念的群体方面认知概念，从而有助于深化概 念的认识。 2 、教学的整体性 系统论认为任何系统的整体功能不等于各孤立部分的功能之和，它的功能等于各 部分的功能的总和加上各部分相互联系形成结构产生的功能。孤立的数学概念的教学 不能建立学生良好的认知结构，必须使概念与它所处的系统中的其它概念联系起来， 形成种网络结构，这样使得所学的概念不容易遗忘。 ( 1 ) 实施由整体到部分，再由部分到整体的教学。数学概念结构是出一些部分 构成的有机整体，它具有严密的逻辑性和完备的系统性。整体由部分构成，要把握整 体，就要先揭示整体的结构。教师在教学中首先从某一概念体系的研究对象、研究方 法和用途等方面给学生一个全面的概述，使学生对这概念体系有一个整体的认识，使 学生产生对概念体系的整体直观认识，然后逐个讲解各个概念的具体知识。在数学概 念的知u 体系中，每一个概念总与其他一些概念存在着联系，每一个概念又都在知识 体系之中有一定的地位和作用，这些概念又自成系统。最后给以整体性的小结，使学 生形成一个完整的认知结构。 教师从知议的整体出发，用联系的观点指导教学，在知识的连结处，在知识的从 属、对立统一关系中，采用同化与顺应等整体教学手段，把合理的知识结构及时呈现 给学生，帮助学生理清各部分知识的脉络，及其在知识块中的地位和作用，使学生所 学的知识不是几个孤立的点，而是前后呼应，浑然一体的有机整体，从而促使学生形 成良好的认知结构。教师要“瞻前顾后”，帮助学生弄清每一个概念及其与其他概念 之间的关系。一系列的概念串联在一起，前概念是后一概念的基础，后一概念是前 一概念的发展，形成一条环坏相扣的知识链。概念系统的展_ 丁f ，能显示知识发展的线 索。如由整数到分数，再提出有理数和无理数，最后形成实数系统。由数及其运算引 出代数式，再给整式、分式和根式等下定义，最后得到式的系统。 ( 2 ) 要注意概念组块的教学。孤立的概念教学不可能建立起层次分明和联系 紧密的概念系统。因此新概念的教学应把新概念纳入原有的观念系统中进行整体考 1 数学概念掌握中锉构活动的分析及教学、垃计五、建构活动模式下的数学概念教学 虑，使新概念与原有的相关概念相联系，并把这些有联系的概念重新组织为一个大 的概念组块，这样既有利于概念的保持又有利于概念的检索与应用。例如，学完三 角函数概念的1 6 个诱导公式之后，如果不作迸一步的组织加工，那么这些孤立的 知识是难以保持和应用的。但如果教师引导学生把这些公式放在一起进行观察、比 较、分析，最后概括为新的知识组块“奇变偶不变，符号看象限”，那么学生的数 学认知结构就得到优化。又如绝对值概念足中学数学中十分重要的概念，刈它的完 全掌握是在初一、初二及高中逐步完成的。因此教师在讲授这一概念时，必须要有 整体观念，把对其概念的教学放入系统中去完成，这样学生才能形成良好的认知结 构，从而减轻学生的学习负担。在概念教学时，对于有种属关系的概念，教师应适 时地引导学生进行归纳整理，使学生搞清关系，从而形成系统化的完整的知识。如 在学完四边形以后，可以把平行四边形、矩形、菱形、f 方形以及梯形、等腰梯形、 直角梯形等归纳、概括到一个系统之中，这对理解和掌握这些概念及相关知识是大 有帮助的。” ( 3 ) 运用联想方法。数学概念之间存在着千丝万缕的联系，既有本质的，也有 现象的；既有纵向的，也有横向的。数学概念之间联系的内化，使学生的思维在学习 过程也发生变化。同时证是这些联系刁1 吏得人们可以通过联想可以达到对概念由此 及彼的认识和把握。 首先是接近联想。形态或性质相近的事物，容易在人们的思维中建立联系。利用 这种联系，由一种事物联想到另一种事物的方法就是接近联想。在接近联想中，各种 事物的表象往往建立起固定的联系，形成了一串只有在联想中才存在的形象链。因此， 接近联想是一种开始深入事物内部的思维形式。 例如，椭圆与双曲线都是有心型二次曲线，在概念、标准方程、图形等方面比 较接近，因而容易形成表象链。由椭圆的某些性质容易联想到双曲线的相应性质， 从而加深了对二次曲线的本质的认识，这就是接近联想。又如，一元二次方程、一 元二次不等式、一元二次函数在形式与结构方面比较接近，容易形成形象链。山一 元二次函数的图像可以推测一元二次方程及一元二次不等式的解，这罩的方法也是 接近联想。 ”庞晓婷：树中数学概念教学谈，载宁夏教育2 0 0 0 年第1 0 期 3 4 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计五、建构活动模式下的数学概念教学 其次是类比联想。由对一事物的认识，引起对另一在形态或性质上相似的事物的 联想叫做类比联想，也称为相似联想。由于类比联想是借助于对某一类事物的认识， 通过比较它与另一类事物的某些相似而达到对后者的推测和理解的，因而是从一类对 象的认识过渡到另一类对象的认 f 的思维形式。类比联想的这种转移性，使它在思维 活动中往往带来很大的创造性。 类比联想的客观基础在于事物的相似性。山于事物的相似具有形态相似与性质相 似之分，因而类比联想可划分为形似联想与质似联想是两种类型。例如正弦函数与余 弦函数的图形在形态上是相似的，因而由证弦函数的性质很容易推知余弦函数的性 质，这里的思维方法就是形似联想。又如，圆柱、圆锥、圆台都是简单旋转体，在性 质上是相似的，当圆台的两底半径相等或一个为零时，圆台就转化为圆柱或圆锥。因 此，山圆台的性质容易联想并推测圆柱、圆锥的性质和有关公式，这种思维方式就是 质似联想。 最后是对比联想。由对某一事物的认识引起对形态或性质上与其相反的事物的联 想t 称为对比联想。数学对象之间的关系，不仅有形态、性质的接近或相似关系而 且还有对立统一的关系。具有对立统一的对象在思维中形成了一对矛盾，由矛盾一方 推移到另一方的联想叫做对比联想。例如，数学中函数与反函数是一刘具有相反意义 的事物- 山指数函数的图像与性质联想到对数函数的图像与性质，这种思维方法就是 对比联想。3 8 正数与负数、直线与曲线、已知与未知、常量与变量、有限与无限、精 确与近似、一与多等等既矛盾有统一的概念都反映了事物的对立和统一。 8 李玉琪主编：中学数学教学与实姨研究，岛等教育出版社，2 0 0 1 年6 月第1 版第9 7 9 8 贞。 3 5 数学概念掌糖中苴窜构活动的分析_ ；5 2 教学砹计 六、教学建议 六、教学建议 “数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教 师应陔激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在白 手探索和合作交流的过程中炱汇理解和掌揭基本的数学知泌与技能、数学思想和方 法，获得广泛的数学活动的经验。学生是数学学习的主人。教师是数学学习的组织者、 引导者、与合作者。” “建构主义的基本观点是儿意有不同于成人的数学世界；数 学知识不能从一个人迁移到另一个人；一个人的数学知识必须基于个人对经验的操 作、交流，通过反省来主动建构。教师的作用是给学生创建良好的数学场所，教师应 从知识的传授者转变为知识的助产士。教师的重要任务是按照学生的思维模式， 帮助学生建立数学意义，促进学生有意义的发现学习”。4 0 为了促进学生对概念的建构， 教师应为学生的建构活动创造一个合适的“环境”，在教师与学生组成的“学习共同 体”中，教师的责任就是为学生创造一个合适的“社会环境”，使学习内容与学生的 经验世界发生联系和作用，形成一个“搞”数学而不是“学”数学的氛围号情境。 ( ) 提供感性材料 “概念教学要从动作感知入手，要从物质化材料丌始，要让学生掌握大量、丰富 的感性材料，运用各种感官去感知、去观察、操作，进而建立表缘，”引感性认t 是概 念形成的一个重要基础，按照建构主义的观点，在学习新的概念之静，教师就应帮助 学生获得必要的感性认识，从而让学生从中找出概念的对称现象，即努力使概念与学 生的同常生活发生较为直接的联系。因为当学生在学习新概念时，他会从记忆库中努 力提取与该概念相关的感性认识，从丽使得概念得到理解。然丽在学校的学生往往被 淹没在零碎的、琐细的种种事实和知识片段罩，即使是普遍性的原则，也往往是通过 i 己忆的方法内化，而不是用来理解实际的客观事物和事件，或是引出这些原则所包含 的其他概念的意义。这种状态下，学生不能很好地提取周围相关的感性材料，无助于 ”数学课程标准( = 萼! = 制义务教育阶段) ，北京师范人学m 版杜，2 0 0 1 年7 月第1 版。第2 页。 柏j 长维忠：建构主义的数学教学，载西北师范人学学 随 自然科学版) 1 9 9 9 年第lj 1 日。 胡斌善：强化数学概念教学积擞发挥学生参0 意识，载欧两教育2 0 0 2 年4 期。 3 6 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计 六、教学建议 概念的理解。 我们不仅从生活经验、教学条件下的观察和实验获得感性认识，还可以从语言的 直观中获得感受性认识。学生没有亲身经历某些事情，但通过教师的生动描绘，1 亍i 样 能唤起学生的一种直观认识。而且概念最终的检验还要依靠实验性的观察所获得的材 刳，只有当观察到的事实同理论上的结论完全一致没有例外，这时我们才能接受这一 合理的结论，y j 能判定这是一个对实际事物行之有效的结论。运用概念于实际，是概 念的具体化过程，而概念的每一次具体化都会便概念迸一步丰富和深化，对概念的理 解就会更加深刻，所以，学生要在实践中运用概念，这样学生就对概念更加亲切，掌 握概念的积极性就会提高。 然而并不是获得的感性认识越多越好，这不仅不可能，也是不必要的。为了使学 生对所学的知识能在感性认识的基础上进行分析，教师就必须从已有概念所包含的大 量事例中，精选出那些主要类型的、本质联系明显的以及与闷常观念矛盾突出的典型 事例来进行教学，这样才能收到预期的效果。 所以教师在平时的教学活动中要创设实践概念的情境，努力使所教概念与学生的 实际生活直接相联系的，使学生感到相应的概念学习活动是有意义的。通过多种多样 的课肉和课外活动来运用概念不失为最好的途径。教师在教学过程中要加强实验教学 配合概念教学，实验观察属于高度有意识的知觉，它可以将输入信息与长时记忆中有 关信息进行匹配、分析、比较和决策的识别；组织学生参观，进行现场教学和开展课 外活动，这样可以通过闩常生活掌握一定的r 常概念，帮助学生理解课堂上较抽象的 概念；利用模型、图表和电化教学手段可以直观地、形象地使学生获得微观领域的感 性材料；充分发挥课堂提问的作用，直接地了解学生理解概念的水平。同时要学生用 自己的占语复述概念和举例，开始运用概念；及时地、经常地布置系统的、灵活运用 概念的作业，从而巩固和加深概念的理解。同时教师要构建多方面的情景，以便有可 能引发全体学生产生期望的经验，或者使经验多样化。以便对班上的每一个学生都提 供可能对其有重要意义的经验。 但是数学与客观现实之间具有内在的距离( 因为数学对象的抽象性，数学活动是 抽象之上的再抽象) ，所以我们不能( 也不可能) 过分强调数学教学与现实世界的直 接联系，这样，当我们强调数学教学联系客观实际，强调“问题解决”教学的重要性 的同时，还应注意到这种联系的适度性，不能把“解决实际问题”庸俗化。 1 7 数学概念掌握中矬构活动的分析及教学敬订 六、教学建议 ( 二) 注重学生差异 皮弧杰认为，学习是一种“自我建构”，个体思维的发生过程，就是儿童在不断 成熟的基础l ，在主客体相互作用的过程中获得个体经验与社会经验，从而使图式不 断协调、建构的过程。因此对于学生真实思维的了解是一个建构的过程。 不同年龄阶段的学生对概念的理解水平存在差异，概念的教学耍尊重学生的生理 发展阶段。皮亚杰的儿童认知发展要经过四个阶段：感知一运动阶段、前运算阶段、 具体运算阶段和形式运算阶段，所以概念不能超出学生的理解范围太多儿童不能获 得和使用与那些经验丰富的人所使用的相同的概念。对于年龄较小的学生易采用从例 子到概念的方式教授，即概念形成。对于年龄较大的学生易采用从概念到例子的方式 教授，即概念同化。 不同学生的经验背景存在很大差异，而且各个学生的概念结构存在差异。所以学 生之间掌握概念的速度和深度也不一样。教师不可能很准确地抓住每个学生的理解范 围。山于概念学习是主体主动的建构，因此即使就同一概念的学习而占，不同的个体 也完全可能由于知识背景和思维方法等方面的差异而具有不同的思维过程，也即表现 出一定的差异性或个体特殊性。显然，这事实上就为我们如何深入地去了解学生真实 的思维活动提出了更为具体的要求，即我们不能停留于对共性的普遍认识，而应更为 深入地去了解各个学生的特殊性，各种思想方法或认知策略在一定程度上是“因人而 异”的，合理的教学方法在很大程度上是“个体化了的”。但是如果把“学生”看作 群体，那么理解力是相对而言的。在学生群体理解力之下的概念，可以促进理解力较 差的学生更好地发展，在学生群体理解力之上的概念，可以为理解力较好的学生提供 思维的工具。 建构主义的学习环境中，合作是被鼓励的。在学生们互动的学习过程中，白瑞特 与斯卡德曼拉( b e r e i t e rs c a r d a m a l i a1 9 8 9 ) 描述了学习者在学习过程中合作的好处、 基于合作的学习能增加学生的信息量和思维水平，即产生知识。在这样的环境中，学 生有更多的机会向其他的人提出问题。这不仅发展了他们自己的思想和理论解释，而 目激发了团体成员的工作热情和行为动机，从丽也巩固了大家对环境的解释水平。人 们已经将研究的着眼点由“作为个体的学生”转移到了“处于一定社会环境之中的个 体”。也就是说，学习并不能被看成孤立的个人行为，而是“学习共同体”的共同行 3 8 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计 六、教学建议 为。因为个人根据自己的经验所建构的对概念的理解是不同的，也存在着局限性，在 好的“学习共同体”r f l ，每个人都能得到应有的尊重和理解，而不是受到轻视或压制， 通过意义的共享和协调，彳能使学生对概念的理解更加准确、丰富和全面。因此概念 学习过程中的交流是多向的，概念是合作掌握的。 ( 三) 激发认知冲突 在这样的环境中，学生已有的概念不足以解决所面临的问题，从而产生观念上的 不平衡，也即能够较为清楚地看到自身已有概念的局限性，并努力通过新的概念学习 达到新的、更高水平上的平衡。 学生通常并不能清楚地意识到所拥有的概念或已有概念结构的局限性，更不能自 觉地去改善自己的概念结构，从而形成更为合理的概念系统。或者晚，改善概念结构 需要一个十分漫长的过程。而且学生的错误也不可能单纯依靠j 下面的示范和反复的练 习得以纠正，而必须以内在的“观念冲突”作为必要的前提。当然，所说的观念上的 刁i 平衡完全是就学生而占的，而且最终又只能依靠学生自身的努力才可能真证得到解 决，也即达到新的、更高水平上的平衡。同样数学学习主要是一个“顺应”的过程。 因此，教师的一项工作就是从学生的实际经验出发，重新组织教学内容，选择适 当的教学手段和方法，通过问题引起学生反思，形成必要的认知冲突，从而最终达到 建构新的认知结构的目的。在这晕要注意的是学生在抽象数学概念时存在一定的内 在矛盾性，特别是，通过数学学习所获得的形式定义往往与先前关于这一概念的直观 形象相矛盾( 学生常常把直观形象中包含的非本质特征或个别特征当成全部数学概念 的全部本质特征) 。还有学生在同常生活中建立起来的具体经验与形式化的数学概念 常常处于一定的矛盾状态，因此，在强调把数学概念具体到一定的实例中，与具体情 境联系起来的同时，教师应利用这种矛盾来引起学生的认知冲突。通过纠正以往的错 误观念，对已有的认知结构进行调整、扩充或重新组合，使相应的具体经验升华为理 性认i = i i l ，从而达到对数学概念的形式定义的准确理解，建立起关于数学概念的恰当的 心理表征。 例如，在引进零指数、负指数时，可以设计如下的情境和步骤：在运算中出现 “+ a 4 ”这样无法用同底数幂相除法则解决的问题，从而引发出关于零指数、负指 3 q 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计 六、教学建议 数定义的必要性；提出口。：l 。) 和“”= 古( 。) 的设想，从有关运算法则探寻这 样定义的合理性：定义后，从运算的简浩探寻定义的优越性，从而将零指数、负指数 定义“顺应”成新的队知结构，显然创造适合的“环境”，是运用建构观实施教学的 必要条件。 4 0 数学概念掌握中建构活动的分析及教学设计 参考文献 ( 一) 著作： 参考文献 l ，瞿葆奎主编，徐勋、施良方选编：教育学文集教学上册，人民教育出版 社，1 9 8 8 牟5 月第l 版。 2 、约翰杜威著，姜文闽译：我们怎样思维经验与教育，人民教育出版社， 1 9 9 1 年版。 3 、高文主编：现代教学的模式化研究，山东教育出版社，2 0 0 0 年6 月第l 版。 4 、郑毓信、梁贯成著：认知科学建构主义与数学教育，上海教育出版社，2 0 0 2 年1 2 月第2 版。 5 、r m 力a 涅著：“学习的条件和教学论，华东师范大学出版社，1 9 9 9 年1 1 月第 1 版。 6 、( 美) j o h nb b e s t 著，黄希庭主译：认知心理学，中国轻工业出版社，2 0 0 0 年5 月第l 版。 7 、( 俄) 列夫谢苗诺维奇维果斯基著，李维译：思维与语言，浙江教育出 版社，1 9 9 7 年9 月第l 版 8 ，( 美) 爱德华一l 桑代克著，李月甫译：人类的学习，浙江教育出版社，1 9 9 8 年6 月第l 版。 9 、吴庆麟等编著：( ( - a 4 e 口教学心理学，上海科学技术出版社，2 0 0 0 年8 月第1 版。 1 0 、张庆林主编：“当代认知心理学在教学中的应用，西南师范大学出版社，1 9 9 5 年1 2 月第1 版。 l l 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