（概率论与数理统计专业论文）结构型ev模型参数估计的相合性.pdfVIP

中文摘要 本文分三个部分在第一部分，讨论了e v 模型的类型和研究e v 模型所运片；| 的一些方法和所取得的成果在本文第二第三部分借鉴了他们的研究方法在 第二部分，给出了结构型一般线性e v 模型参数估计的相台性在第三部分，给出 了结构型e v 多项式模型参数估计的相合性 在：1 中，陈桂景老师用矩方法得到了简单线性结构型e v 模型的参数估计的 相合性和渐进性受此启发，在第二部分把陈老师的一些结果推广到结构型一 般线性e v 模型考虑模型为： 1 r = 口+ x 卢 = r + e ( 0 1 ) = 工，+ 毛 其中岛，j ，j ，是p 维向量，气= 瓴0 l 磊( 2 l ，瓯0 ) y ，x 足随机变 数，= 1 ，n i , i = 1 ，k 用矩方法构造了未知参数的估计量，并证明了在一定的适当条件下这些估 计量是未知参数的强相台估计 在 2 中，m a r iel l c et a u p f n 考虑了结构型非线性b v 模型： 2 。c ) + 鼻( 0 2 ) l z ，= - 工，+ s 其中，噼，) 是x ，的非线性函数，互。是随机变数，i = 1 ，月 对模型( 0 2 ) ，m a r i e l u c et a u p i n 利用修正最小二乘估计的方法，构造了未 知参数的估计量，证明了在些假设条件下此估计量是相合估计，并给出了估 计量收敛速度的上界 本文第三部分考虑结构型e v 多项式模型： 妒厶( + 毒2 丢属f + ( 0 3 ) 忆= x 。+ e 其中( e ，z 。) 足观测值，毒，q 分别是因变数，自变量的观测误差，工是随机变 数，i = l ，月 晒数厶伍，) = 崩五j 满足 2 中假设的条件，也运用修正最小二乘估计的 方法构造7 估计量，并得到了这些估计量是未知参数的弱相合估计 关键诃：结构型e v 线性模型，结构型e v 多项式模型，矩估计，相台性 l i a b s t r a c t t h ep a p e rc o n s i s t so ft h r e es e c t i o n s i ns e c t i o n1 i li sd i s c h s s m d t h et y p e so fe vm o d e la n ds o m em e t h o d s u s e da n ds o m cf r u i t s o b t a i n e d w er e f e rt ot h e s er e s e a r t hm e t h o d si ns e c t i o n2a n ds e c t i o i l 3o ft h ep a p e r i ns e c t i o n2 ，t h ec o n s i s t e n c yo ft h ee s t i m a t o r so ft h e u n k n o w np a r a m e t e r si n g e n e r a l l y1 i n e a rs t r u c t u r a l e vm o d e li s s i r e d i ns e c t i o n3 ，w eo b t a i nt h ec o n s i s t e n c yo ft h ee s t i m a t o r so f t h eu n k n o w np a r a m el e r si nt h es t r u c t u r a le vp o l y n o m i a lm o d e l i n 1 ，c h e n g n5j i n gh a so b t a jn e dt h ec o n s is t e n c ya n d a s y m p t o t i c o le o r m a l i t yo ft h ee s t j m a t ，o r s nt h es i m p l e1i n e a r s t r u c t e r a le vm o d e lb ym o m e n tm e t h o d w i t hz h ei n s p i r a t i o no ft h e r e s e a r t hi n 1 ，w eg e n e r a ljz et h er e s a t st ot h eg e n e r a jy1 jn e a r s t r u c t u r a le vm o d e li ns e c t i o n2 c o n s i d e r i n gt h e f o l l o w i n gm o d e l ： f f = 瑾+ 直。7 砺= r + g o = x ，+ 6 。| w h e r e u ，x 。，6 a r ep - d i m e n s i o nv e c t o r s 五ja r er a n d o mv a r i a b l e s ，j = 1 ，月i ，i = 1 ，女 ( 0 1 ) t h ce s t i m a t o r so ft h eu n k n o w np a r a m e t e r sa r ec o n s t r u c t e db y m o m e n tm e t h o da n dt h ec o n s js t e n c yo ft h ee s t i m a t o r si s r o v e du n d e r s a m es u it a b l ec o n d i t i o n s i n 2 ，h l a r i e l u e et a u p i nh a sc o n s i d e r e ds t r u c t u r a ln o n l i n e a re v m o d e l ： l i i 侄 ( 0 2 ) w l c r e l 。伍。) i s t l l en o n l i n e a r f u n c t i 。n ，x ，5 e r a n d o m v a r i a b l e s ，i = i ，月 t o m o d e l ( 0 2 ) ，m a r i e l u t et a u p i nh a su s e da m o d i f i e d l e a s ts q u a r e s c r i t e r i o d a n d c o n s t r u t e d t h e e s t i m a t o r so ft h eu n k n o w n p a r a m e t e r s t h ec o n s i s e n c yo ft h ee s t i m a t o r sh a sb e e np r o v e da n dt h e u p p e rb o u n do ft h er a t eo fc o n v e r g e n c eh a sb e e ng i r e d i ns e c t i o n3o ft h ep a p e r ，c o n s i d e r i n gt h ef e l l o w i n gs t r u c t u r a e vp o l y n o m i a lm o d e l i r = 厶。) + 毒= 崩卜f 1 z ，毯蝎 。 ( 0 3 ) w h e r e r ，z 。a r e t h e o b s e r v a t i o n ，当，s 。a r e m e a s u r e m e n t e r r o r s ，x ，a r er a n d 。i nv a r i a b l e s ，f ：1 ，”， f u n c t i o n 厶) = 届s a t i s f y st h e a s s u m p t i o n si n 2 ，t h e 1 2 0 o s z i m a z e r sa r ec o n s t r u c t e db yu s i n gt h em o d i l i e dl e a s ts q u a r e c r i t e r i o na n dt h ec o n s i s t e n e yo ft h ee s t i m a t o r s o ft i l eu i l k n o w n p a r a m e t e r si so b t a i n e d ， k e yw o r d s ：l i n e a r s t r u c t u r a le vm o d e l ，s t r u c t u r a l 州p o l y n o m i a l m o d e l ，m o m e n te s t i m a t e ，c o n s i s t e n c y ， 、 阮竹 0 x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获绳张穗或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：j 习踩翌 签字日期：2 删g 年，月孑日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解蕾i 放翘有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权运极越可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位黻储张j 习跋芝锄鼢骷召 签字日期：2 口。乡年，月占日 签字日期：z 。 彳夕月矿日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 电话： 通讯地址：邮编： 第一章序言 第一章序言 对于经典的回归模型： r = 厶陇) + q i = l ，k( 1 1 ) 其中因变量r ，自变量墨是可观测的，置可以是随机的，也可以是非随机 的，s ，是随机误差，p 是未知的待估参数根据回归函数厶( z ) 的不同形式，对 模型( 1 1 ) 进行分类 若厶佤) 是墨的线性函数，模型( 1 1 ) 称为线性回归模型：若厶，) 是 x 。的非线性函数，模型( 1 1 ) 称为非线性回归模型对于线性回归模型，已经研 究的很深入，利用最小二乘估计的方法，可以得到未知参数的估计：而对于非 线性回归模型，情况要复杂些，对不同的模型，有不同的估计方法如对偏线性 回归函数，采用两步估计的方法，得到未知参数的估计 。 在经典的回归模型中，一般假定自变量置是已知的，若五是随机的，则 置是可以直接观测的但在实际问题中，一般置是不能直接观测的，或者z 带 有测量误差这样就有了自变量带测量误差的回归模型 隅= 厶口。) r h = r + 4 ( 1 2 ) 毽l = x i + 8 t 其中t ，置不能直接观测，因变量e 与自变量置之间满足e = 厶伍。) ，r h , 分 别是e ，置的观测值，4 ，分别是z ，x l 的观测误差 模型( 1 2 ) 称为e v ( e r r o r s i n - v a r i a b l e s ) 模型对e v 模型的研究已经很 多了，并且在e v 模型中最小二乘估计一般不是未知参数的相合估计如w o l t e r 和f u l l e r 3 在误差方差趋于0 的条件下，对函数型e v 模型得到极大似然估计 是相合估计：z w a n z i g 4 证明了在熵的条件下，最小二乘估计是相合估计并得 到其收敛速度；k u k u s h 和z w a n z i g 5 明了在没有嫡的条件下或者没有误差方 差递减的假设下，最小二乘估计不是相合估计 在模型( 1 2 ) 中，若自变量x ，是未知常数，模型则称之为函数型e v 模型： 结构型e v 模型参数估计的相合性 若自变量z 是随机变量，模型则称之为结构型e v 模型 在e v 模型中，根据厶) 的不同形式，可对e v 模型进行分类若 厶乜。) 是自变量z 的线性函数，则称为线性e v 模型：若厶伍，) 是自变量x 。的 非线性函数，则称为非线性e v 模型如厶伍，) = 届叫，则称为e v 多项式模 ，；1 型 由于e v 模型的复杂性，对e v 模型的研究，总是要假定很强的条件一般 总假定测量误差的方差已知或者假定一些其它条件成立如上面刚才提到只有 在这假定下才能得到相应的结果张三国利用重复观测的方法对函数型e v 模型 克服了这种限制，不再需要假定误差方差已知这个条件考虑模型为： 阮= 厶阮) = 】j = + 磊 ( 1 3 ) 嗡2 置+ 气 从而得到未知参数的相合估计m a r i e l u c et a u p i n 2 用修正最小二乘 估计的方法，在一定的假设下对非线性结构型e v 模型进行了研究，得到参数的 相合性估计 上面研究的模型参数未知但是不变的，但近来欧阳光研究了变系数线性 e v 模型如： f i = 口( f ) + 6 ( f ，阮 可= e + 坑 ( 1 4 ) u l = x t + 8 t 从而得到参数的相合估计 2 第二章结构型一般线性e v 模型参数估计的相合性 第二章结构型一般线性e v 模型参数 估计的相合性 2 1 引言 e v ( e r r o r s i n v a r i a b l e s ) 模型形式上就是自变量和因变量在测量时都有 误差的回归模型对e v 模型的研究已有很长的历史，近年来，由于经济生物医学 等领域中e v 模型的应用，使对e v 模型的研究又活跃起来在e v 模型中，若自变 量是非随机的，称之为函数型e 、r 模型：若自变量是随机的，则称之为结构型e v 模型 在e v 模型的研究中，一般对模型和自变量的方差进行了限制，假定它为已 知或部分已知在2 0 0 0 年，张三国陈希孺利用重复观测的方法，克服了这种限制， 在文 1 中，陈桂景利用矩方法对结构型简单线性模型： = 屁+ z , x o j + 勺，乃= 而l + 毛，j = l ，n j ，f = 1 ，后 ( 2 1 ) 进行了研究本文对结构型一般线性模型的未知参数进行了研究 考虑模型为： 乞= 五+ 毛勘= + 毛= 口+ x ，+ 白j = 1 ，珂，f = l ，k ( 2 2 ) 这里白，置瓯= 毛( 1 ) ，岛( 2 ) ，屯( p ) 是p 维向量，假定以下条件成立 ( a ) ( 毛，勺) ，= 1 ，i = l ，j i i d , g s l l = o ，e 毛1 = 0 f = 0 ) m ，= e 4 1 ( ，) 4 l ( m ) ，0 如矗= 吒2 0 0 五，x 2 ，i i d , e x l = ，= c u ，( 1 ) ，；( 2 ) ，z 。( p ) ) 。 b2 ) m = c o v ( x i ( 1 ) ，墨( 埘) ) ( 2 3 ) 置) ( 吒，巳) 2 吩，l o ( 七j0 0 ) l 岛是五的第，次观测值，对应观、钡0 误差为岛，嘞是j 】：的第，次观测值，对 应误差为勖，故( 乞，) 是已知，而r ，霹，以，b ，盯，是未知的4 。与q 。的独 立性没有假定，它们的协方差向量a 和相关系数向量p 也是未知的彳( ，朋) 表 3 结构型e v 模型参数估计的相合性 示矩阵a 的第，行第i n 列元素，矿( ，) 表示向量y 的第，个元素为估计这些未知参 数 记：舌2 i l ；n , 乞，矾2 音喜，盛= 吉善嗡，t = 丢喜毛 i m = m = 击妻砰 万= 击喜q 磊，菘= 瓦1 善k m 仇， 瓦= 击妻嘛i = 瓦1 蕃k 瓦= 击砉q 五，& 2 = 喜m ( 置一_ x 置一习 2 2 估计量的构造 设 矿：圭竞嗨一历( 岛一历，q 钾：圭壹嗨一万) 魄一- ) ，t 1g - i - lj - l q 聊：圭壹( 嘞一动z i mt 那么 q 嚣= ( 白一点) ( 白一鼻) + 啊( 磊一飘鼻一劢 f lj = lj = l 篮七竣 有模型( 2 ) 可知： i 蜥 q 芦= ( 磊一点) ( 磊一4 ) 7 类似有 鳟：壹吩( 五一g x x , 一- ) ，+ 壹吩( 4 一g x a , 一_ ) ， j l j t l i + 2 坼一g x s , 一对 鲻+ q 髫+ 2 篮其中簖一。2 4 苎三兰丝塑型= 墼垡竺型堡型堡墼笪生堕塑鱼堡 1 月f i t q 即= ( 乞一点) ( 一研) + ( 点一劢( 矾一_ ) 鲤p 啤 th 这里 卵= ( 岛一4 ) ( 勺一t )醇= 簖+ 酸+ 醵+ 簖 其中 i 簖= 珥( 置一瓦) ( z 一夏) 簖= 一( 正一) 瞄一瓦) 7 卢 i 翰= 珥( 岛一_ ) 一_ ) ，- l i 山i q ”= ( 嘞一仍) 2 + 吩( 仇一_ ) 2 垒g ”+ 饼， l z ij - l j ，i 下面计算上面各式的期望： = 帆一k ) r e ( q j ) = e 僖陋，一以) + o ，一冠近阮一段) ，+ 伍，一冠y = e 壹_ 陇一以x x , 一以y 一以e ( 豆一以) 阮一以y 2 e _ 陇一以一以y 一以e ( 豆一以) 阮一以) l t - ij = 帆一仇泗 e ) = 攻喜吃 一五一瓦y l ，l， = 毒啊文4 4 ) 一以e 佤露)f l l 、 ， 5 | 一 墨动 一 q呱 。 = 醇 、， 瞑 酞 n 。m 一 ) 吒吒 酞 。川 。 i l 结构型e v 模型参数估计的相合性 = o l 矿 e 眙) = 喜_ 伍，一墨一五y ) = 圭e 一互逸b 一瓦y = o e ”) = e 瞎羔j - i 慨一4 姑，_ ) j f ；1 生， t = e ( 屯勺) 一一e ( i 毛) = 帆一_ | m e 幽) ：e f 壹。，化一墨肛，一瓦) ，1 j - i = e 蠊扮= 帆一m k ) 四p 由 氏) ， 毛 ， 置) 之间的独立性可知 e 窖) = e ( q 曾) = o e ( q 蜜) ：e f 圭。，g 。一五x 4 一最门 i f f i l = 圭e b 4 ) 一机e 瓴覆) = 0 1 以 由上面的计算即得： e ( q 产) = ( m k ) r 联q 学) = ( l 一月) be ( q 髫) = ( 七一o re ( q 髫) = o 占( ! 驴) = ( m 一a e ( q 靠) = c 也- - t f j 叩e ( q 碧) = o 6 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 蔓三兰 丝塑里二墼丝堡旦_ 墼墅塑型望塑塑墅兰兰一 e 妇蠹) = 0e 鼢) = q 一1 m ( 2 8 ) e ) = 似一j i n 2 9 占( 万) = 儿 ( 2 l o ) 由矩方法可以得到如下的矩估计量： = 志鲜互= 去卵咖a 志饼” 舻 彘- - 会= 去( 萨一姒棚 ) 我们可以看出这些矩估计量都是无偏估计量由( 2 5 ) ( 2 6 ) 式可以得到 口p 的估计量 ( a ) 当旯= 0 时，p = 。【= n t ux9 ( m 一珞) b ( b ) 当五。时，歹= 叟等昂；磊一五，声 2 3 主要结果 由上面通过矩方法构造的估计量，我们能得到如下结果： 定理1 估计量亡，幺，互，反，蜃分别是r ，畦，a ，以，丑的强相合估计量即 舰f = r 熙篚= z 熙互= 旯熙疋2 以熙雪= 曰 a 矗 定理2 估计量芦( 万) ，在( 茸) 分别是，口的强相合估计量即 望巴矽= 卢 。l i r a 。c = 口a 8 2 4 定理的证明 为了证明以上估计量的相合性，我们首先引入以下三个引理 引理l 6 ( j a m i s e n e ta l1 9 5 6 ) 设而，屯，a a 是l i d 的且 e k i ， 口l ，口：， 是 一 列 正实 数，记 7 结构型e v 模型参数估计的相合性 4 = 妻 塾4 = 电瓦= 彳一妻q ( 妁是使得4 七下标i 的个数 如果当女_ 。时，再1 m 。a x 。q 斗。且s u p 旦 o ，使得对所有的i ，肌q m ，则瓦一z x , a s 引理2 1 8 ( p e t r o v1 9 7 5 ) 设k 是均值为零的独立随机变量序列，记 瓯：喜，如果个m 且对某个l s p 2 ，有主掣 。，则当。一。 i l = l“ 时，旦_ 0 a s 引理3 1 9 ( k o l m o g o r o v 强大数定律) 设 x 。 是i i d r v 序列，则 x 。一e x ，a s 的充要条件是e x 。存在 儿k 。l 定理l 的证明： 首先证明 寸ra s 由f 的表达式知： f ( ，肌) = 丙河1 备k 否n l ( 吒u ) 一4 ( f ) ) 峨( 历) 一4 ( 聊) ) 5 忐妻争扣鹇c 聊卜忐妻 弘c 魄c 朋， 因为嘿2 ，丢l 一，矿蔓l ，由引理l 的系知： 志喜争扣驰，j a s 删理，知e ( 丢熟删 朗腱2 舭酗善1 矿 - l v j 一， 所以志喜密蛳加o a s 嘻器- 0 细鲁( m 2 第二章结构型一般线性e v 模型参数估计的相合性 故屯j a s 即得f - - fe 1 s 其次证明6 - ；斗仃； a s 皆忐喜孔啊) 2 = 忐喜善h ) 2 = 志睦矿2 扣 蚓理的飙志砉* 转一以a s 嘻焉 。 由引理z 知：雨旨喜亡熹毛。毛：专。 a s 所以彰砖 a 再证互哼1 a s 互= 忐喜善战一玩k 一) = 志陲忏扣_ 9 气气 艺讹 一q 。m忐 、，口r 一m ，、 厶一 。忐 磐 结构型e v 模型参数估计的相合性 由引理- 的系舭雨与喜喜( 一亡p 气_ 五 a s 由引理2 知：nk l - k 争, - 1 土n , j 争：j 2 气占。：斗。 a s 所以互_ a a s 下面证台_ b 扎s 台= 上n k - m k6 2 髫一一l 妒) ( n 。一l x r + d 。( 1 ) ) ba s n k m t n k m k 其中o 。( 1 ) 表示o 。，( 1 ) _ 0 a s k _ 0 0 由k o l m o g o r o v 强大数定律知：丘，斗s 。 a s 这样就证明了 毕 谚_ 露as ，五专2a s ，a 专以a s ，台专曰a s 证 1 0 勺毛 撬 。h南 气 p ，一q ，、3 乙州 。忐 第二章结构型一般线性e v 模型参数估计的相合性 定理2 的证明： 郎胡书赫脚 = 瓦三妻善c 与一动c 一- ) 一番! 杀，i 一劫 曾l i ! 一i ， ，i = 丽1善k 惕( 置一- ) ( 五一_ ) + 瓦圭瓦妻耋( 五一_ ) ( 气一_ ) + 志窑善( 磊一_ ) c 置一- ) 卢+ 去；| ；喜c 岛一动( 白一_ ) 垒，1 l + 2 + 3 + 4 枷志击妻吩瞄一而c 五一珊 = 土n k - m , 击参阮他一以妇 一击阮他阮一以y 由引理1 和条件( a ) 知l 专筇a s 结构型e v 模型参数估计的相台性 i 萨f 1m k 智k 智n , x 瓦k 一瓦) = n k 上- - m k 圭, = ln ( x 。一夏k 一五) ：兰-上壹一，一冠k，一瓦)nk 一n k 鲁” “ 由引理1 和条件( a ) 知：1 1 2 寸0 a s k o o z ，= 瓦七石喜芸瓴一五) 一冠) = 瓦1 i 酗k 一瓦阮一瓦y = 击击喜吩 一瓦托一豆y 由引理1 知：1 1 3 _ 0 a s k 。0 0 五= 瓦七i 喜骞瓴一五k 一瓦) = 万| 元缶k 萎n l 气勺一_ k - - l m k 玩 由k o l m o g o r o v 强大数定律知： 毛哼旯a s 由以上知：1 1 专即+ 五a s k jo o 由定理1 和条件( a ) 知：l _ a 8 s 厶_ 印a s 1 2 第二章结构型一般线性e v 模型参数估计的相合性 所以雪( 万一) 寸o a s 故万寸卢a s 舀一口= i 一t ，万一口= i + 2 ，一，万寸0 a s 即昂专口a s 当兄= 0 时，也得分，舀的强相合性证毕 结构型e v 模型参数估计的相合性 第三章结构型e v 多项式模型参数 估计的相合性 3 1 引言 考虑e v 多项式模型：假设x 和y 的真实值之间满足 y = 厶( x )崩x ，；m ( 3 1 ) 其中x ，y 不能直接观测，= 魄，届，成) 张三国在文 1 0 中对函数型e v 多项式模型中未知参数，利用重复观测的方法，通过作一些变换，把函数型 e v 多项式模型转化为多元线性e v 模型，从而得到了未知参数的估计本文 本想对结构型e v 多项式模型，也利用重复观测的方法，把其转化为多元线 性e v 模型，但由于结构型模型中x 是随机变量，利用这种方法有一定的困难 因此我们考虑下面的方法 设( z 1 ，k l ( z ：，k ) ，( z n ，匕) 是( x ，y ) 的r 1 次独立观测值，考虑如 下模型： 荨三蕊+ 4 z ， u = 厶伍，) + 4 u “ 其中厶是m 次多项式，= 慨，届，风y 假定以下条件成立： x 。，i = 1 ，n ，是i i d 的一元随机变数，x 。有未知密度g 口 ，0 是r ”1 中的紧子集 观测误差h ，4 ) 是i i d 的服从中心化正态分布的随机变量 g ，4 屿独立，e s , = 磁= o ，哳b ) = l ，胁 ) = 盯2 第三章结构型e v 多项式模型参数估计的相合性 若m = 1 ，陈桂景老师在文 1 中已经得到了未知参数的估计若模型 ( 3 2 ) 是函数型模型，即不可观测的x 是固定的未知常数，在文 4 中 z w a n z i g 证明了在熵的条件下，由下面定义的最t j 、- - 乘估计量 = a r g ，。m 。i n 扎m x i n 以去喜陋一a ( x , y + c 乙一置) 2 l ( 3 3 ) 是口的相合估计 对形如( 3 2 ) 的模型即厶伍) 不一定是多项式，在文 1 1 中h s i a o 在x 。 的密度g 已知和一些条件的假定下证明了 肛彳俨喜嘭一e 阮) i 训 ( 3 4 ) _ 2 是口的相合估计量 但我们考虑的模型是结构型模型，置有未知密度g 如果g 已知，由上面 知，提出一个自然的估计标准是： 鼠，g ) = ! n 窆s - i 矿c z 。) k e ( 厶) i z f 砰 ( 3 5 ) 其中矽( ) 是一确定的具有紧支撑权函数 易知在适当的假设下，如下定义的万 万= 一，g m i n 鼠，g ) ( 3 6 ) 是的相合估计量 然而g 是未知的，在( 3 5 ) 中e k 阮) iz l j 不仅与互有关而且与未知密 结构型e v 模型参数估计的相合性 度函数g 有关因此万不是一个估计量我们一个自然的想法就是在 墨以g ) 中，由基于z 1 ，z 。的一个估计代替条件期望层k ) l z 。j ，使这 个标准达到最小柬估计口 因此考虑修正的最小二乘标准 瓯) = 丢喜形( z 。牡一$ ，( z 疗 其中$ ，( z ，) 是五l 厶阮) l 互j 的一个估计 卢的估计量定义如下： 夕= a r g m i n $ 。( f 1 ) 口e e 在适当的假设下，估计量矽是卢的相合估计 3 2 估计量的构造 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 为了得到( 3 7 ) 式，我们先要构造条件期望e k 伍，) i 互j 的估计量 记： o 眦= j 1 g ) i 出 ，v ) = 弘g 声g ) 出 l o ) = 睇 表示函数的f o u r i e r 变换 丘o ) = k ，g ) = 厶g h g z ) 其中，7 为q 的密度函数，即标准正态分布 t ，o ) = 慨( x ) c p i t x d x 0 0 。，= s u p l b ) i其中昂表示权函数形( ) 的紧支撑 , , g f - j w 1 6 第三章结构型e v 多项式模型参数估计的相合性 由模型( 3 2 ) ，因为置的密度为g ，q 的密度为r 且置与独立，所以 ( x 。，z 。) 的联合密度为：吁( z x k ( x ) ，则zz 的条件密度为 所以条件期望 町( z x k ( x ) s , z ( z - x k ( x ) d x ( 3 9 ) 批肛f 】- 掣篝警= 铬呜s 由( 3 1 0 ) 式知：要估计e k 伍，) iz i 】，就需要估计分子已( z ) 和分母 亿) 下面我们就找出分子分母的估计量，从而得到的估计量 3 2 1 分子的估计 根据p a r s e v a l p l a n c h e r e l 公式和x 。与s 。间的独立性可得 o ( z ，) = 万1 t g ) = 荔1 ”t * ，6 7 m ) ( 3 1 1 ) 用经验估计量吉喜e 哟k ：( t ) = 吉喜h 。( t ) 代替h ( t ) 其中k ：( t ) 是函数k 。的f o u r e r 变换，k 。( x ) = c 。k ( c 。x ) ，k 为一个可以 选择的核，c 。- 4 0 0 则匕亿) 的估计量： 屯( z f ) = 丽1 妻r e 似。6 7 r ，) ( s - 2 ) 其中i b ( z ) 表示z 的实部 由( 3 1 2 ) 知：估计量屯亿) 依赖于c 月和核k ，其中k 满足下列条件 1 7 结构型e v 模型参数估计的相合性 ( a 1 ) 核k l ：( r ) 且为偶函数 ( a 2 ) k 的f o u r e r 变换满足：k + ( t ) = 1v t 卜1 ，1 】 ( a 3 ) lk ( t ) 喀i - l 2 i ( t ) v t r 3 2 2 分母的估计 分母h ( z 。) 是密度h = 7 7 + g ( 卷积) 在z 处的值，其核估计量为 j ；6 亿) = 丢喜k ( z j 一乙) 其”t ，喇= 1 吒矿( 韵毒= 厕嘲= 丁c o s x - c o s 2 x 3 2 3 的构造 由( 3 7 ) 式知：面，( z 。) 是，( z ) 的估计量，再有( 3 1 0 ) 知： 喇= 锷 其中屯( z i ) ，讹) 由( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 所定y g j # i 为了更精确 讹) 2 石1 罄n 匕一z ，) = 1 窆西匕，乙) - i i i 厶l d ，撕t ! ￥l i 屯亿) 2 硐1 ，羔黜( 艺与6 7 r ，吃) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 第三章结构型e v 多项式模型参数估计的相合性 = 告娶n 哪妇- 将( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 代入s 。) 中，得到的估计 p = a r g r a i n s n ( 3 ) 注：在( 37 ) 式中引入权函数是为了使i lo 口l i 。w 0 0 3 3 主要结果 在得到主要结果之前，需要假定函数满足一些条件： ( a 4 ) 函数乃，满足，吃，兰，云dt 机 工l 忸) 比昂 记： 乃，z ) = e l 瓴6 7 + ) 1 ，) 1 2 仃：) = s u p 乃，z ) z e 却 只) = s u p i i 吃。；ti i 。 z f s w m 一) - c 一s u p s 。u p t f p ，膨m o rf i 见以) = g 嬲泌l 导a z 哆，( f k 蹄m 羁 ( a 5 ) 函数厶满足： 盯m 函= 。临1 ) l 。g n = o ( n ) 吡，) = 0 1 蚓 1 9 ( 3 1 6 ) 结构型e v 模型参数估计的相合性 ( a 6 ) 厶g ) 关于的有3 阶以上连续的导数，x c v p ( a 7 ) e 杪2 ( z 鼽伍) 一m ，( z ) o ，形( f ，r ) = s u p q 仁) 一u ) l ：l 口一p l - 气 ；磊j o l 结构型e v 模型参数估计的相合性 则每个最小对照估计量 ) ， ) l ，口 证明：设d 是。上可数稠子集，赠u q ) = 。i n e n f 。u ，如) 是只可测随机变数 则国( t 川) = s u p u 如) 一u l ) l ： ，) d 2 , i g 一峰玎 是一随机变数， 足 口) 取0 设b 是以口为球心的非空开球区域，有有限个以p 为球心，半径小于 仇的球域b 。，i i n ，覆盖。一b k ( o ，) 定义在。一曰上且k p ，) 2 e 取某k 使g k e k = 0 n一 由引理1 知：夕与定理得证 定理3 2 的证明 彦2 = 瓦够) 一言喜吸( z ，) $ ，；( z ，) 一呜亿) 。丢喜亿她一击，( z i 圩一i 1 备彬，| 】l q 巧( z j ) 一嘭亿) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) = s 。窆j = l 形( z j ) k 伍) + 最一呜( z l 开一丢喜呒( z ，) $ ，；( z i ) 一嘭( z j ) 2 4 第三章结构型e v 多项式模型参数估计的相台性 2 丢喜呒( z ) 后) 一$ ，；( z 川+ 三r l 窆t 。l 呒亿牺；( z 1 ) 一厶似，净口( z f ) 】 + 三n 杰t = l 呒亿埒+ 詈喜( z ，扮k 伍，) 一面j ( z 川 垒! g l + g 2 + g 3 + g 4 一 由矽的相合性和4 与z ，独立，再由假设( a 7 ) 知 g ，o 盯2 当n 专o o g = 0 ) 对，2 ，在假设( a 4 ) ，( a s ) 下，由定理3 1 的证明中知 g 。- - - - o ，0 )g 2 = 0 ) 由( 3 3 0 ) 式知：矛2 盯2 即证 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 结构型e v 模型参数估计的相合性 参考文献 1 陈桂景a k m d e s a l e h 结构型e v 线性模型中参数估计的若干 结果安徽大学报( 自然科学版) 2 0 0 4 1 l ：l 一5 2 m a r i e l u c et a u p i ns e m i - p a r a m e t r i ce s t i m a t i o ni nt h e n o n l i n e a rs t r u c t u r a le r r o r s i n v a r i a b l e sm o d e la n n s t a t i s t i c s2 0 0 1 v 0 1 2 9 ，、o 1 ，6 6 9 3 3 w o l t e r ，k m a n df u l l e r ，w a e s t i m a t i o no f n o n l i n e a r e r r o r s i n - v a r i a b l e sm o d e l s1 9 8 2a n n s t a s i s t 1 05 3 9 5 4 8 4 z w a n z i g ，s o nc o n s i s t e n c yi nn o n l i n e a rf u n c t i o