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复数中的数学思想方法山东 闫朝仁 史纪卿一、数学思想方法之一：类比法1.复数的运算复数代数形式的加法、减法的运算法则：复数代数形式的乘法的运算法则：然在运算法则上类似于多项式的加、减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便2.复数的几何意义我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点是一一对应的.类似地，我们有：复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应于是：复数复平面内的点，复数平面向量例1 复平面内三点点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求点对应的复数解：对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为又，点对应的复数为注：此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考查了对复数的几何意义的理解例2非零复数，分别对应复平面内向量，若，则向量与的关系必有（），共线解：如图所示，由向量的加法及减法可知：，由复数加法以及减法的几何意义可知：对应的模，对应的模又因为，且非零复数，分别对应复平面内向量，所以四边形是长方形，因此，故答案选注：此题主要考查了复数加法以及减法的几何意义.3.复数的化简虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”例3（2005年高考天津卷）若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）46解：由因为复数是纯虚数，所以且解得故答案选注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数的性质，即解题的过程中包含一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且二、数学思想方法之二：转化法我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算基础知识：复数例4已知复数，且，则解：，则，故虚部，或但时，故例5（2005年高考全国卷）设，若为实数，则（）解：由，因为为实数，所以其虚部，即故答案选注：这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以
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