（应用数学专业论文）非线性椭圆方程的正解的渐近行为.pdf

摘要 本文主要讨论一类非线性椭圆方程 仳+ i o i 。妒+ l z i 一2 t 上口= oi 礼r 住，扎3( 1 ) 在无穷远处的性质和它的一些渐近性态其中一2 z o ，l ( n + 2 ) ( 凡一2 ) 日寸 方 程存在唯一正对称解，其中n 2 在胛空间中研究椭圆方程 珏+ ，( z ，u ) = 0 的正径向解的渐近性，这些方程来源于很多数学应用问题，例如：在方程 相位变换，核科学及近来发展起来的生物种群模型在本文中，我们考虑方 程的径向对称形式，令r = 于是方程化简为： 铭，+ 型强7 + 一矿+ ，2 钍g = o ，n 3 ，( 2 ) t 特别的我们将研究非线性方程( 1 ) 在正无穷大处的正径向解的渐近行为， 其中p ，q ，z 为常数，对一些正常数m 和l ，使得1 i mr m u ( r ) = l 对于方程 ( 2 ) ，我们还研究了它在零点的先验估计 关键词：渐近展开；径向解；非线性椭圆方程 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r 伧m a i n l ys t u d yt h ea s 姗p t o t i cb e h 撕0 ro fp o s i t i v es o l u t i o 璐o f t h ef o u n n ge q u a t i o n s u + l 。i 矿+ i z l - 2 u g = o i 礼冗”，n 之3 w h e r e 一2 2 o ，1 p ( 他+ 2 ) ( 孔一2 ) 、 s t u d yt h ea 圊l r i l l p t o t i cb e h a 历o ro fp o s i t i v er a d i 出s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n t + ，( z ，u ) = o i n 舻t h i se q u a t i o n 盯i s e si nv a r i o u sp r o b l e i i l si n 印p l i e dm a t h e m a t i c s ，e g i nt h e s t u d yo fp h a s et r a l l s i t i o 璐，肌c l e 盯c o r e sa n dm o r er e c e n t l vi np o p u l a t i o ng e n e t i c s t h i sd i s s e r t a t i o nw i l ls t u d yt h er a d i a ls o l u t i o n st oe q u a t i o n ( 1 ) ，w i t hr = i z l ，t h e e q u a t i o n sr e d u c et ot h ef o l l 伽l r i n g ： u + + 一矿+ 7 一2 t 正g = 0 ，n 3 ， i i i i np a r t i c u l a r ，w e 丽1 ls t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so f t h en o n l i n e a re q u a t i o n ( 1 ) a ti n f i n i t y w h e r ep ，q ，2 1 ，z 2 ，s a t i s 分i n gf o rs o m e p o s i t i v ec o n s t a i l t sm ，厶s u c ht h a t l i m7 m t l ( 7 1 ) = 己 r a sf o re q u a t i o n ( 2 ) ，w ea j s 0s t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a 们o ra tz e r o t i o n k e y w o r d s ：a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ；r a d i a ls o l u t i o n ；n o n l i n e 盯e 1 1 i p t i ce q u 扣 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：工单密? 8 研年钥罗日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名： 导师签名： 阁械乡磊 日期：0 7 每为月箩日 日期：口丫年月歹日 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 1 绪论 1 1 本课题产生的历史背景 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方 程的应用范围变得更为广泛从数学自身的角度看，偏微分方程的研究促 进了函数论，变分法，级数展开，常微分方程，代数，微分几何等各数学分支 的发展 对于非线性椭圆方程正解的研充尤其是对它在无穷远处的渐近行 为的研究一直是偏微分方程研究的重点和热点这类方程在力学，天文 学，电子技术，现代生物学，工程学，经济学，孤波及人口理论的领域有着广 泛的应用研究这类方程有助于对这些学科的某些实际问题进行更深入 的研究和分析，并推动了这些领域的发展 在本文中我们将研究下列椭圆方程在舻空间中正解的渐近性 仳+ i z l 2 矿+ i z | - 2 u q = o i 佗彤， n23 ， 其中一2 z o ，1 p 2 ，爱 o ，在a b 上u = o ) ，当e 充分小时，他们研究了方程 正解的存在性和渐近行为在1 9 9 2 年，m k m o n g ，j b m c l e o d ，l a p e l e t e r 和 w c n o y 【2 0 】研究了方程一让= 妒一俨，当g p ( n + 2 ) ( 佗一2 ) 时，方程 存在唯一正对称解，其中扎 2 m o 舢1t a n g 于1 9 9 9 年研究了方程 也口( 1 v 让i m 一1 v u ) + 矿一u 口= o ， 当h o o 时，钍_ o ，其中m l ，n m ， m n a n c a 讨论了方程 p u 一七1 ( r ) 乱j t lj 9 1 1 + 如( r ) t 正l u i 驰一1 = o 的正径向解，其中锋u = 出u ( i d t | l p 一2 d u ) 叫p 一拉普拉斯u ，z 舻，例= 7 ，n p ，9 2 p 1 ，口l o ，其中f 一2 ； ( k 2 ) k ( r ) 在无穷远处是可微的，且【( 鲁) ( r k ( r ) ) 】+ l 1 ； ( k 3 ) k ( r ) 在无穷远处是可微的，且【( 岳) ( r k ( r ) ) r l 1 定理b 【2 3 】：设u ( r ) 是方程( 2 ) 的正径向对称解，假设 ( i ) 当一2 ) 2 仇 m 一2 ) 时，k 满足( k 1 ) 和( 2 ) ； ( i i ) 当o m m 一2 ) 2 时，k 满足( k ，1 ) 和( 3 ) ，其中m = 等，那么 耵m ，= 一2 时，则方程( 3 ) 在无穷远 处有一个正解且满足u ( r ) 一r 2 “；当f _ 一2 时，方程( 3 ) 在无穷远处有无穷 个正解且满足u ( r ) 一r ( 2 一n ) ( 2 + ) 4 本文的主要工作 在本文中我们对l i 【2 3 】的一些结果进行推广，研究方程( 1 ) 的正解的 渐近性方程( 1 ) 与( 2 ) 在许多领域里有很重要的应用例如：微分几何，种 群遗传学，种群生态学，基因工程和数学物理方面有重要的应用在本文 中，我们研究方程的径向对称解，令r = 川，方程( 1 ) 化简为 + 掣t 正，+ 一矿+ r 一2 伊：o ， ( 4 ) 7 本文主要讨论方程( 1 ) 在全空间上解的渐近行为，分两个方面进行讨 论 ( i ) 方程( 1 ) 的正解在零点和无穷远处的渐近行为； ( i i ) 方程( 1 ) 的径向对称解在正无穷远处的展开 下面概述一下本文以下各章的主要内容： 第二章是预备知识，给出了一些相关的定义和基本定理，主要有日耐d e r 连续性，极值原理，几个常见的不等式等这些知识都是解决后面问题必备 的基础知识 第三章是本文的主要部分之一，也是为下一章的展开做准备在这一 章里我们首先研究了方程( 3 1 1 ) 的径向正解在零点的先验估计，得到引理 ( 3 1 1 ) 和引理( 3 1 2 ) ；然后研究方程( 3 1 1 ) 的径向正解在无穷远处的先验 估计，得到引理( 3 2 1 ) 和引理( 3 2 2 ) ；接着我们做一个经典的变换，运用能 量函数和积分性质得到解在无穷远处的渐近行为，也就是得到定理( 3 3 1 ) ； 4 非线性 觜圆方程的正解的渐近行为 最后通过一个重要估计，并运用它得到正解在无穷远处快速衰减的性质， 即定理( 3 3 3 ) 第四章也是本文研究的主要部分，利用积分的性质，泰勒展开式和常 微分方程的一些基本知识把方程( 3 1 1 ) 的径向对称解在无穷远处展开，并 且得到了一系列的展开结果，如定理( 4 1 1 ) ，( 4 2 1 ) ，( 4 3 1 ) 等 总之，本文只是对于一类比较特殊的非线性椭圆型偏微分方程进行了 小部分的研究研究的范围相对比较狭窄，得到的结果也不十分完美，没有 涉及到一般的椭圆方程这些存在的问题为我们今后的研究指明了方向 5 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 2 预备知识 2 1 日6 2 d e 7 连续性 定义2 1 设z o 胛，而，是定义在包括z o 的有界区域d 上的一个 函数假设o q a 。 o ，那么在q 中是 严格椭圆的如果安在q 中有界，我们称l 在q 是一致椭圆的 2 3 s o b o l e v 空间 设qcr n 为一开域对任何整数m o ，任意实数p ，l ps 。o ，考虑 函数空间 w m p ( q ) = ：d 口刨三p ( q ) ，j 口l m ) ， 其中n = ( o l ，o n ) 为整指标，i n | = ，d 表示 的分布导数这个空 间在范数 旷( 墓妒卵d z ) 9 ，如1 p o 。 口i m n 鲫2 麟 e s s 裟眇”( z ) i ) ，如p 2o 。 构成一个b 口n q c 空间，这种b o n o c 九空间，我们叫做s 0 6 0 f e 空间有时我 们也采用半范数 二a q = p 卵d z 广胍 川。，n = 珥a x e s ss u pi d 口秒( z ) i ) ，如p = i o l 2 mz q 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 对于舻上每个函数 ，记 s ! z p p ( u ) = z q ： ( z ) o ) ， 并称之为函数u 的支集( s u p p o r t ) 支集属于q 的紧集的一切无限次可微 函数的全体记为d ( q ) ，即 d ( q ) = ：s q 卯( 口) cq 紧，t ，c o o ( q ) ) d ( q ) 按范数i 唧，n 的闭包记为字p ( q ) ，显然 w 矿p ( q ) c 仉p ( q ) 一般地，w 伊伊( q ) 是唧( q ) 的一个真闭子空间，记 日”( q ) = w “，2 ( q ) ， 珊1 ( q ) = w ，2 ( q ) ”| i m q = ”2 ，q ，i i m ，q = i i 仇 2 q ，于是日”( q ) 依范数”i | m ，n 构成一 个日订6 e 庀空间，钾( q ) 为其闭子空间 为简便起见，我们有时将以上空间中的范数，半范数简记为 l i 仇，p ，i i m ，p ，l i i i 。，i i m 下面引入s o b o l e v 空间中最重要的理论，其证明过程可以参照文献【4 1 】 s o b 0 1 e v 嵌人定理设qc 脚为一有界区域，l p + ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = 佗时，有 1 ，p ( q ) cl 9 ( q ) ，1 g + 而且对任意的“w 叱p ( q ) ，有 l lul l 助( n ) d ( n ，g ，q ) l iu | i l ，( n ) ，1 g + 。o ， 9 硕士学位论文 当p 礼时，有 w 1 p ( q ) cc n ( 孬) ，o 理1 一吾， 而且对任意的u w 1 护( q ) ，有 i 乱l 。；q c ( n ，q ，q ) l i 乱l l t 曩哟，o a 1 一罟， 在这里，我们称p 为p 的s o b o l e v 共轭指数，而称上述三个不等式中的常 数c 为嵌入常数 注：上述嵌入定理可以简记为 l l p ( q ) q 三9 ( q ) ，1 g p + = 老，p 礼； 1 护( q ) ql q ( q ) ，1 g + o o ，p = 礼； 【1 ，p ( q ) qc a ( 孬) ，o 傩 注：需要说明的是上面的第三个嵌入，即 w 1 ，p ( q ) qc a ( _ ) 其含义是，对任意的让，p ( q ) ，总可以通过修改牡在一个零测度集上的 函数值，使u 为c a ( 孬) 中的函数 重复应用嵌入定理k 次，可以得到如下推论 i 七，p ( q ) ql 9 ( q ) ，lsg p + = 亲，七p 扎； w 七，p ( q ) ql 9 ( q ) ，l 口 + 。，切= 佗； i 如( q ) q 俨( 瓦) ，o 佗 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 s o b o l e v 紧嵌人定理设qc 舻为一有界区域，1 ps + o 。 ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则下列嵌入 w 1 p ( q ) q 工9 ( q ) ，1 g p ，p n ； w 1 护( q ) 。l 9 ( q ) ，1 q n 时下列嵌入 w 1 p ( q ) qc a ( 孬) ，o o ，p 1 ，口 1 ，并且；+ ；一1 则有 。6 竺+ 竺 pg 特别的，当p = g = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式 则有 设 o ，在上述不等式中用；o 和号6 代替口和6 ，可得 带的y o u n g 不等式设。 o ，6 o ，p 1 ，g 1 ， o ，并且；+ ：= 1 。6 壁+ 塑e 矿+ 寻6 9 pg 一1 l 一 硕士学位论文 特别的，当p = 口= 2 时，它变为 口6 三n 2 + 去6 2 上述不等式也称为带e 的c a u d l y 不等式 设qc 舻为一可测集，下面是p ( q ) 空间中几个常用的不等式 h 6 l d e r 不等式设p l ，g 1 ，并且；+ ；= 1 若，p ( q ) ，9 p ( q ) ， 贝4 ，9 l 1 ( q ) ，且 | ，( z ) 9 ( z ) l 妇l i ，( z ) i i p ( q ) 似z ) ( n ) ，n 特别的，当p = g = 2 时，它变为 上im ) 出) 陋 i i m 川州n ) 1 忆。( n ) 称之为s c h w a r z 不等式 m i n k o w s k 不等式设l g + ，夕驴( q ) ，则，+ 夕驴( q ) ，且 i l ，+ 9 l i 护( n ) i l ，( z ) i i p ( n ) + 1 9 ( z ) l f p ( n ) p o i n c a r 环等式设1 碍 + 。，qc 舻为一有界区域，则有 ( 1 ) 若u 懈p ( q ) ，则 上i 札i p 如c 上i v u i p 如； ( 2 ) 若a ( q ) 满足局部l i p s c h i t z 条件，乱w 1 ( q ) ，则 上f u u n i p 如c 上i v u i p 如； 其中c 是仅依赖于n ，p ，q 的常数， u n = 高上出，她2 丽厶链( z 飚 这里我们用iql 表示q 的l e b e s g u e 测度 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 3 径向对称正解的先验估计 3 1 当r _ o 的先验估计 在本章，我们研究俨上的方程 “+ 蚓2 扩+ 一2 u g = o ( 3 1 1 ) 其中n 3 ，一2 z o ，1 l ，得到了一系列的结果在本文中我 们对l i 2 3 】的一些结果进行推广，研究方程( 3 1 1 ) 的渐近行为 引理3 1 1( 先验估计) 设u ( r ) 是方程( 3 1 1 ) 的一个正的径向解， r ( o ，。) ，如果1 i m ，o 钍= o o ，那么 u ( r ) c l o g 南r 证明：重新改写方程( 3 ，1 2 ) 为 ( p 一1 ) 7 + r n 一1 ( 一妒+ r 一2 u g ) = o ，( 3 1 3 ) 因为当r _ o 时，u _ ，所以存在常数伽 o ，使得对于r ( o ，r o ) ，都有 乱，( r ) o ( 3 1 3 ) 式两边从f 到r 积分( r r o ) ，得 ，1 札v ) = 训矿z 7 扩l ( s 。矿+ s _ d s - 因此对所有的o f r 都有 ，r r “一1 札7 ( r ) 一s n 一1 ( 扩+ s 一2 乱9 ) d s 硕士学位论文 令f _ o ，我们可以得到 p - 1 让( r ) 一z s ”1 ( s 。矿+ s 2 钍9 ) 如 一z 7 s n 一1 s 一2 d s 因为r _ o 时，u ( r ) 是递减的，所以 r 1 嘶) 卅( r ) z 7s n _ 3 d s = 一刍广2 乱口( r ) ， 即 警一篙让q 一 扎一2 ( 3 1 4 ) ( 3 1 4 ) 式从7 到r 积分，得 一嘶) _ z 7 篙d s - ( 3 1 5 ) 从( 3 1 5 ) 可得 令f o ，得 因此，我们得到 证完 矿q ( r ) 帑) 一是( 1 呵- l o g - ) u 1 - 4 ( r ) c 1 0 9 r “( r ) c l o g 南7 ， o o ，使得对于r r ， 都有u ，( r ) o 证完 引理3 2 2 设牡( r ) 是方程( 3 1 3 ) 的一个正解，令秒( ) = r m “( r ) ，江l n7 ， 则 满足 + ( n 一2 2 m ) 钝一m ( n 一2 一仇) + 矿+ e m ( 1 一q ) 2 u 口= 0 ( 3 2 2 ) 证明过程可以通过直接计算得到，这里省略 主要结论 在这一节里，我们主要来讨论当r o o 方程( 3 1 1 ) 的解一些性质 定理3 3 1 假设t l ( r ) 是方程( 3 1 1 ) 的一个正解，仇= 一 笔且p 絮挚那么 1 i 1 堡7 m u ( r ) = 工= 【仇( n 一2 一m ) 】声 r 证明：设 ( ) = r m 牡( r ) ，t = l n r ，由引理3 2 2 得 ( 丢) + ( 札一2 2 m ) 衫7 ( ) + m ( 弦一2 一m ) 移( ) + 伊( ) + r m ( 1 一q ) 钞4 ( t ) = o ，( 3 3 1 ) 假设 o q 2 。羔i n f ( t ) t 里s u p u ( t ) = p 。，卜叶c _ 十o 。 那么，存在两个序列 仇】和 铀当j 一。o 时，& _ 。o ，依一o o 不妨取 端盏嘉黥黯 同时满足协 已 仇+ = 1 ，2 ， 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 定义能量函数 踯) ：= 扣2 一掣n 击 ( 3 3 2 ) 把( 3 3 2 ) 式两边同时乘以t ，( t ) ，对给定的一个充分大的常数t ，从t 到t 进行分部积分得 聊) 帕一2 2 m ) r ( 删2 拈叩) + 掣r 一沪1 矿1 d s ( 3 3 3 ) 由引理3 2 1 和( 3 3 2 ) 式知，”( t ) 是有界的，e ( 碾) 是有界的又根据几一2 2 m 的符号，从( 3 3 3 ) 式我们知道 ( u ，( s ) ) 2 d s + 。 ( 3 3 4 ) 所以由( 3 3 3 ) 式和( 3 3 4 ) 式，我们可以得到 e = j i me ( t ) t 存在又从( 3 3 2 ) 式知 他) 是有界的进而由( 3 2 2 ) 知( t ) 也是有界的 令 m ) = = 一掣n 寿， 因为 l i me ( 碾) = ( a ) = e = ( 卢) = l i me ( 矗) ， 我们选择口 o ，使得心一正岛+ 乱有l u 7 ( 岛) l ，所以与( 3 3 4 ) 矛盾 因此，我们有 e = j i me ( 岛) = j i m ( 言( r ( s ) ) 2 + 危( 7 ) ) = ( 7 ) _ o 。卜o cz 硕士学位论文 所以从上式可以得出与，y 的选取相矛盾 所以u = 1 i m 扣。u ( t ) 存在对给定的一个手 o ，存在一个序列收敛， 使得叭s ) i e 汪l ，2 因为e ( 鳓有界，从( 3 3 3 ) 得到( 3 3 4 ) 式成立 从( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) 知l i m h 。e ( t ) 存在这样由( 3 1 7 ) 知l i m l j ) = o 所 以由( 3 3 1 ) 得1 i m ( t ) 存在且一定为o 因此我们从( 3 3 1 ) 得到= l 证 - 芒a 7 g 设( ) = u ( ) 一l ，则( ) 满足 和 且m ( t ) = o t o 。 ( 3 3 5 ) w 么+ ( n 一2 2 m ) 1 哌+ ( p 一1 ) m ( n 一2 一m ) + ，( t ) + e m ( 1 一口) 。( w + l ) 4 = o ，( 3 3 6 ) 其中，( s ) = ( s + l ) p 一驴一p 汐- 1 s ，当s 叶。时， m ) = 掣s 2 + o p ) 定理3 3 2 设满足方程( 3 3 5 ) ，并且w 是方程( 3 3 6 ) 的一个解，则 j i m 职( ) = 0 t 证明：( 3 3 6 ) 式两边同乘以2 m ，且从到丁 积分，得到 w 孑( 丁) + 一1 ) m ( n 一2 一m ) z ( 丁) ：w 孑+ m ( p 1 ) ( 竹一2 一m ) w 2 ( ) + 丞旦手旦p 一2 彬2 ( t ) 一2 ( n 一2 2 m ) z tw 詈d s 一2 ? e 仇c 1 一a 扣矾( + l ) 口 因为l i m 。w ( t ) = o ，存在一个序列 瓦 茫。，使得 墨哦眦( 瓦) = o - 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 令丁= 致_ o o ，我们得到 ，o o o = w 宁一2 ( 几一2 2 m ) w 名d s 一2 e m ( 1 一q ) 5 巩( + l ) 9 d s ( 3 3 7 ) ，tt ，t 令t _ o o ，由( 3 3 7 ) 式得l i m t 孵( ) = o 即l i m 扣。m ( t ) = o 证完 定理3 3 3 设w 满足方程( 3 3 5 ) ，并且w 是方程( 3 3 6 ) 的一个解，对 给定的任意正整数z ，有 m w ；= 0 ，v 2 z + t 证明：( 3 3 6 ) 式两边同乘以2 m ，且从到t 积分，令t _ o o ，由 1 i m 扣w ( ) = o 和1 i m t + 。比( t ) = o 得 2 ( n 一2 2 m ) 厂0 。孵如：孵+ o 一1 ) m ( n 一2 一仇) w z ( t ) + 丛写生汐一2 w 2 ( t )2 ( n 一2 2 m ) 孵如= 孵+ o 一1 ) m ( n 一2 一仇) w 2 ( t ) + 丛_ 汐- 2 w 2 ( t ) ， _ 因为 ，。加= 熙 + 2 。e m ( 1 _ g ) s 职( w 删q d s m ( 1 一口) ( 3 3 8 ) e 似h ) s 一丽与e m ( h ) t 一丽与e m ( 1 刊c 可积，又因为( + l ) 口巩有界，所以re ”( 1 一a ) 5 巩( + l ) a d 5 t 积分，令丁一。，通过分部 积分可得 ( p 1 ) m ( n 一2 一m ) z 。w 屹d s + ，( ) w 如+ ”e ”( 1 一们5 ( + l ) 9 d s ( 3 3 9 ) 式隐含了 ：w m + 厂孵蚺学胪 ( 3 舢) ， 厶 l 2 ( 死，。o ) 1 9 ( 3 3 1 1 ) 硕士学位论文 但是由( 3 3 8 ) ，( 3 3 9 ) ，( 3 3 1 1 ) 式有 ，o 。 嘭d s l 1 ( 死，) ，t 又由( 3 3 1 0 ) 式得fw 2 如1 ( 死，o o ) ； 2 ( 咒一2 2 m ) 厂打厂0 。孵d s ：厂【孵+ 一1 ) 仇( 几一2 一m ) w 2 ( s ) + 丞型妒一2 w 2 ( s ) 】d s 2 ( 咒一2 2 m ) z 打z 孵d s 。z 【孵+ 一1 ) 仇( 几一2 一m ) w 2 ( s ) + 塑与型妒- 2 w 2 ( s ) 】d s + 2 。打f 别卜小巩( 印如； ，o 。，o 。1 打【p 一1 ) m ( n 一2 一m ) w 2 ( s ) ，( ) + e m 1 - 咖( w + l ) 9 】d s + 吉2 j tj 下 = 号手厂n 打，。啪 ( 3 3 加) 我们对f 3 3 1 2 1 的两个等式重复积分得 巴l ：晾s 、a s o 。 其中f 为任意正整数上式等价于 ， s 。孵 o o ，v j z + j 死 因为1 i m 扣( ) = o 我们由 和( 3 3 1 3 ) 可得 一l 慑w 8 d s j i m w ( t ) = o ，v f z + o o 这就说明w 衰减得很快 另一方面，由( 3 3 6 ) 式可得 ( 3 3 1 3 ) ( 3 3 1 4 ) m = ( 死一2 2 仇) w 一( p 一1 ) m ( n 一2 一m ) d s + 。【，( ) + e m ( 1 一口) 8 ( + l ) 9 如 2 0 非线性椭圆方程的正勰的渐近行为 因此，从( 3 3 1 3 ) 式可得 证完 l i m w ；= o ，v f z + ： 一2 1 一 ( 3 3 1 5 ) 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 4 径向对称正解在无穷远处的渐近行为 4 1 当警( 1 一弓) ? 积分，我们得出 ，c 兄；+ ( u 2 + 九( 彬) ) 砰一( ) 眠r 2 d s = 磁( t ) + ( u 2 + ( ) ) r 2 ( t ) ( 4 1 3 ) ，t 若在无穷远处冗兰o ，则在无穷远处“( r ) = c 0 r m 若r o ，则存在 t ，由( 3 3 1 4 ) 和( 3 3 1 5 ) 使得 c ( 丁) = 砰( 丁) + p 2 + l ( w ) i r 2 ( 丁) o ，( 4 1 4 ) u 2 一怕( ) 忆一) 一f ( w ) 形i 兄2 如譬 ( 4 1 5 ) 因此我们得出 碍+ ( u 2 + ( ) ) 兄2 一上九( ) 巩碚如c ( 丁) ( 4 - 6 ) 我彳| 1 断言：r 2 ( t ) ( 1 + 2 u 2 ) c ( ? ) ，v r 硕士学位论文 证明：假设上述不等式不成立，由于冗2 ( 丁) c ( 丁) u 2 丁使得 r 2 ( t ) ( 1 + 2 u 2 ) c ( t ) ， 对所有的t ( 互t o ) ，但是冗2 ( o ) = ( 1 + 2 u 2 ) c ( t ) 从而( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) 和 ( 4 1 6 ) 表明 譬( o ) + 【( u 2 0 ( 加) i l l * ( e o o ) 一l 7 ( 1 矿) w 名l d s 】譬( t o ) c ( 丁) ，c ，t 和 r 2 ( o ) + ( u 2 2 ) 序( 幻) c ( 丁) 则由上式得出2 ) ( 1 + 2 加2 ) c ( ? ) c ( 丁) 推出矛盾，因此，冗必须在( 死，o 。) 有界 由以上的推导，我们可以证明： 定理4 1 1 如果u ( r ) 是方程( 3 3 6 ) 的一个径向正解，当 警( 1 一 1 一；) m o ，则在无穷远处 ( r ) = 刍+ 。( 毒) 证明省略 下面我们在无穷远处对( r ) 进一步展开首先让我们再来回顾方程 ( 3 3 6 ) ，由定理4 1 1 ，我们可得 ( ) = d ( e 一号产。) ( 4 1 7 ) 因此由常数变易法把( ) 写成 ( t ) = e 一学( 。s i n u + 6 c o s u t ) 一言”e 学( s 一纠，( w ) + e m ( 1 q ) s ( w + l ) 9 】d s ， ( 4 1 8 ) 其中a ，6 为常数 设 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 m ( ) = e 一生铲2 ( 口s i n t + 6 c o s u t ) = c e 一苎= 等2 卫s i n ( u + u 1 ) t ， 其中t a n z = ：，然后由( 4 1 7 ) ，( 4 1 8 ) 可计算得 w ( t ) = c e 一生挚s i n ( u + 。1 ) + o ( e 一( n 一2 2 t r ；弦) ， i fm 需； e e 一生铲。s i n ( u + u 1 ) t + o ( e ”( 1 一g ) 。) ， i fm 鬻 把( 4 1 9 ) 代回( 4 1 8 ) 式，并利用，( ) 的二项式展开，可得 ( t ) = c e 一生学s i n ( u + u 1 ) t + c 2 e 一协一2 2 m ) 。【q + q s i n 2 + 叻+ 忱) 叫+ d ( e i ( n 一2 2 m ) ) ， i fm 鬻； c e 一堑每_ 2 卫s i n ( u + u 1 ) t + 俨e 一一2 2 m 【q + qs i n2 ( + u l + 忱) 叫+ d ( e ”( 1 一g ) 。) ， i fm 帮 其中q ，q 和忱，f ，n ，p 与u l 有关 定理4 1 2 如果u ( r ) 是方程( 3 3 6 ) 的一个径向正解，当 孚( 1 一 t ( r ) = ) m o ，则在无穷远处 砉+ 南s i n 【( u + u ) 1 0 9 叫 + i 岛 a + q s i n2 ( u + u 1 + u 2 ) l 。g r 】+ o ( i 厨= 甚虿石) ， i fm 希； 嘉+ 鼎s i n 【( u + u 1 ) 1 0 9 r 】 + 刁禹【q + 岛s i n 2 ( + u 1 + 忱) l o g r 】+ o ( 南) ， i fm 鬻 一2 5 一 ( 4 1 1 1 ) 硕士学位论文 4 2 当o m 孚( 1 一弓) 时解的展开式 对于在这个范围里的每一个m ，方程( 3 3 6 ) 所对应的特征方程为 入2 一( 嚣一2 2 观) 入+ ( p 1 ) m ( 礼一2 一m ) = o ， 此方程的解可写为 其中o 入l a 2 ，且p 、( n 一2 2 m ) 士 ( n 一2 2 r n ) 2 4 ( p 一1 ) m ( 佗一2 一m ，) 2 i 一 令冗( ) ：= e ( a t 一) t ( t ) ，那么r 满足 尺( ，) + ( n 一2 2 m 一2 入l + 2 ) r ( ，t ) + ( 几一2 2 m 一2 a 1 ) 冗( ，) + e d ，一5 ) 【，( t ) + e “( 1 一g ) ( + l ) 4 】= o ( 4 2 1 ) 类似前面的方法，我们可以证明： i r ( ，t ) j c ( ，t ) ，死，( o ，入1 ) ( 4 2 2 ) 也就是说 w ( t ) i + l m ( ) l c g ) e n ，一5 h ，vt 蜀，( o ，a 1 ) ( 4 2 3 ) 令兄( t ) = e a ，( t ) ，则r ( ) 满足 + ( n 一2 2 m + 2 入1 ) 昆+ e a - 2 厂( t ) + e ”( 1 一q m ( ? + l ) 9 】= o ( 4 2 4 ) 从( 4 2 4 ) 式可以得出 r = r t ( 死) e ( n 一2 2 m 一2 a 1 ) ( 乃一) 2 6 非线性椭圆方程的正解的渐近行为 一e c n 一2 2 2 川( s - t ) 【一5 勰“m ( 1 - 口m 1 ) s ( 帅( s ) d s 令危( ( t ) ) = e 器+ e ( m 1 刊+ ( w + l ) 口。 因为 ( 即) ) i 掣p “酬+ l e 仲( 1 1 ) + 锨驯 由( 4 2 2 ) ，( 4 3 3 ) ，( 4 2 6 ) 式可得 九( w ( ) ) r ( t ) = o ( e 一( 1 一口) + a ，一5 ) 。) 所以由( 4 2 5 ) 可以得到 因此r ( t ) 有界且 r = d ( e m n ( 似一2 2 m + 2 a 1 ) ，( m ( 1 一口) + l 一。p ) ， w ( ) i + l 毗( ) l c l e 若我们把这些新估计式代回( 4 2 5 ) 式，令m 。= 上式表明 d ( e 一( n 一2 2 一2 a 1 ) ) ， d ( t e 一( n 一2 2 m 一2 a 1 )