（发展与教育心理学专业论文）算法多样化及其效果的实证研究.pdf

上海师范大学硕士学位论文 摘要 论文题目：算法多样化及其效果的实证研究 学科专业：发展与教育心理学 学位申请人：安茜 指导老师：卢盛华 摘要 完整的数学学习既包括算法的掌握，也包括算理的理解。常规教法以算法传 递为宗旨，有利于算法掌握；但在促进算理理解上的效果如何，则有待研究。同 时，算法多样化教学的效果也有待进一步验证。文章就常规教法与算法多样化教 学，在算理理解上的效果展开研究。选取小学生一、三年级为研究对象，首先对 常规算法教学条件下学生数学学习状况进行临床访谈，并在此基础上找寻有效的 干预策略；然后，进行常规算法教学和算法多样化教学的对比实验。结果表明： 1 在现行算法教学条件下，学生能较好地掌握算法，却不能很好地解释“算 法不同而结果相同 的原因；数学学习停留在知其然、不知其所以然的层面。 2 算法多样化教学和常规算法教学条件下，学生在掌握基本的算法技能方 面都有较好的效果，且两者不存在显著差异。 3 对比于常规算法教学，算法多样化教学更有利于学生理解算理 关键词：算法算理算法多样化数学观 a b s t r a c t上海师范大学硕士学位论文 t i t l e ：e m p i r i c a ls t u d y o nt h ee f f e c to f a l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o n m a j o r ：d e v e l o p m e n t a la n de d u c a t i o n a lp s y c h o l o g y a p p l i c a n t ：a nq i a n t u t o r ：l us h e n g h u a a b s t r a e t c o m p l e t em a t h e m a t i c sl e a r n i n gi n c l u d e sn o to n l yt h ea l g o r i t h ma c q u i r i n g ，a l s o t h er a t i o n a l ef o ra l g o r i t h mu n d e r s t a n d i n g c o n v e n t i o n a lm e t h o d si st oh a n ds t u d e n t s a l g o r i t h ma n df a v o r a b l et ot h ea c q u i r e m e n to fa l g o r i t h m b u ti nt h ep r o m o t i o no f m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n gt h ee f f e c th o w ；i tr e m a i n st ob es t u d i e d a tt h es a m et i m e ， t h ea l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o nt e a c h i n ge f f e c th a sy e tt ob ef u r t h e rv e r i f i e d t h i sa r t i c l e i n v e s t i g a t e dt h ec o n v e n t i o n a la l g o r i t h mt e a c h i n ga n dt h ea l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o n t e a c h i n gi nt h ee f f e c to fm a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g t h ef i r s tg r a d ea n dt h et 1 1 i r d g r a d e e l e m e n t a r ys c h o o ls t u d e n t sw e r es e l e c t e da st h er e s e a r c ho b j e c t a tt h e b e g i n n i n go ft h er e s e a r c h ，t h ec o n d i t i o n so ft h ec o n v e n t i o n a la l g o r i t h mt e a c h i n go ft h e c o n c e p t i o n so fm a t h e m a t i c si sk n o w nb yc l i n i c a li n t e r v i e w s a n df i n de f f e c t i v e i n t e r v e n t i o ns t r a t e g i e so nt h i sb a s i s ；a n dt h e n ，t h e r ea r et e a c h i n ge x p e r i m e n tb e t w e e n t h ec o n v e n t i o n a la l g o r i t h ma n da l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a t ： 1 i nt h ec u r r e n ta l g o r i t h mt e a c h i n gc o n d i t i o n s ，s t u d e n t sc a nb e t t e rg r a s pt h e a l g o r i t h m ，b u tc a l l te x p l a i nw e l lt h ed i f f e r e n ta l g o r i t h m sa n dr e s u l t so ft h es a m e r e a s o n ；m a t h e m a t i c sl e a r n i n gs t a y si nk n o w s i t sh o w e v e r , n o tw h yl e v e l 2 t h ea l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o nt e a c h i n ga n dc o n v e n t i o n a la l g o r i t h mt e a c h i n g c o n d i t i o n s ，s t u d e n t st ol e a r nt h eb a s i cs k i l l so ft h ea l g o r i t h mh a v eg o o dr e s u l t s ，a n d t h e r ea r en os i g n i f i c a n td i f f e r e n c e sb e t w e e nt h et w o 3 i nc o n t r a s tt ot h ec o n v e n t i o n a lt e a c h i n gm e t h o d ，t h ea l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o n t e a c h i n gm o r ec o n d u c i v et os t u d e n t s u n d e r s t a n d i n go fm a t h e m a t i c a l k e yw o r d s ：a l g o r i t h m s ；r a t i o n a l ef o ra l g o r i t h m ；a l g o r i t h md i v e r s i f i c a t i o n ； c o n c e p t i o n so fm a t h e m a t i c s i i 上海师范大学硕士学位论文1 引言 1 引言 1 1 问题背景 1 1 1 问题的现实背景 算法，是解决某类问题的程式化的方法。比如，计算8 + 6 ，从8 开始连续数 6 个数，数到几便是求的和，这可看成是一种算法；也可以把6 分为2 和4 ，这 样2 便和8 凑成1 0 ，这也是一种算法。 掌握算法是数学教学的主要任务。然而，每一种算法都有其之所以成立的必 然性理由( 即算理) ，如在计算8 + 6 的时候之所以把6 分为2 和4 ，而不是1 和5 ， 是因为2 和8 正好可以凑成整十，便于计算；而且“6 ”分出来“2 之后，必然 只剩下来“4 ，也就是说8 + 6 必然等于1 4 。如果说算法是关于“如何做 ，那么 算理则是关于“为什么要这样做。前者是关于“其然 ，后者是关于“所以然。 由此观之，完整的数学学习既要知其然，也要知其所以然就是要在掌握算法 的同时理解其成立的理由( 算理) 。 算法具有其相对的独立性的，可以将算理搁置在一边而单独学会算法，好比 我们不懂发动原理却能在操作层面开车一样。但这是一种不完整的数学学习，久 而久之，会造成学生掌握僵化的算法而不知其所以然。 以上现象是数学教育领域长久以来所要避免的。新课改以来，提倡“算法多 样化，其宗旨正是避免掌握僵化算法。我国全日制义务教育数学课程标准( 实 验稿) 在第一学段的“教学建议中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同， 所使用的方法必然是多种多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考， 提倡计算方法的多样化；在第二学段的“教学建议中指出：“教学中应尊重每 一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式 表达自己的想法，用不同的知识解决问题1 。 “算法多样化 教学被目前数学教育界广泛关注。在新课改之前的大纲 中对计算的要求是“又快又对圆，注重计算技能的发展，忽视了学生的自主性 与个性发展。在新课改之后的标准中不再一味强调速度和正确性，而是提倡 ( 鼓励) 算法多样化。 然而，课程标准提倡，并不等于现实中已经实现。在当前中小学数学课堂教 1 引言上海师范大学硕士学位论文 学中，教师们往往沿用传统的做法，将算法视作一种机械化的运演。算法被掩埋 于机械化的训练中，如此一来，学生很难积极主动地参与数学的发现，而更多的 是机械重复。 近半个多世纪以来，数学教育家们一再强调通过问题解决的方式来让学生发 现算法，因此在数学课堂上算法的呈现方式有了一定程度的改观。但却依然存在 着例解算法、缩减发现的过程的做法，在国内尤其如此。常规教法中教师传递算 法给学生，是无法让学生获得真正的理解的，只有学生在自己已有的认知结构和 经验的基础上主动建构的算法才是可靠的。而现行的算法教学往往是教师提供给 学生可以效仿的例子，把算法直接呈现出来，将算法“喂 给学生，造成学生被 动接受。 在这种教学方式之下，学生会形成怎样的数学观? 在面对算法学习的时候， 学生是把算法看作是外在的一套规则来记忆，还是去主动追寻内在必然性的理 解? 在当前的数学教学中，对解题方法的唯一性或计算方法的最优化的过于重 视，而对学生在解决问题过程中不同的思维方式和在不同解决策略上的探索无暇 顾及。在现实的计算教学中，学生认知方式是不同的，在探索过程中必然会出现 多样化的计算方法。认知方式是作为个体在知觉、思维、记忆和解决问题等认知 活动中进行信息加工和组织所呈现出来的加独特稳定的风格。教学中，尤其在新 知识的探索阶段，理应对每个学生的个性特征给予充分的尊重，对不同的学生从 不同的角度认识问题理应给予肯定。“算法多样化 教学就是尊重不同学生的个 体差异，重视学生间的交流，引导学生进行独立思考，这将有助于“人人都能获 得必需的数学 和“不同的人在数学上得到不同的发展”数学教育目标的实现聆3 。 使学生形成良好的数学观也是数学教育改革的主要目的之一。美国教育家隆 贝尔格曾指出，数学教学改革最迫在眉睫的问题是改革师生把数学看作是由数学 家们发明的一系列的规律和公式，其他人通过应用求得固定答案的观念h 1 。世 界上各个国家均将数学观的培养纳入课程标准。美国的中小学课程标准与批评 标准将“懂得数学的价值 列为衡量数学素养的重要参照；新加坡的数学教学 大纲中指出学生们瞳得数学在他们世界中的重要性和力量 。英国的小学数学教 材也提倡“学生用什么方法来解决问题，这是学生自己的事情 、“学生的方法对 2 上海师范大学硕士学位论文 l 引言 于他自己来说是最好的方法 的理念聆3 。在1 9 9 2 年我国的小学数学教学大纲中 明确提出要培养学生的数学意识的要求；2 0 0 1 年的全日制义务教育数学课程 标准( 实验稿) 中要求数学教育要关注每个学生的情感、态度、价值观和一般 能力，把数学看作是一项创造性的活动，而不是一堆僵化的教条，使得人人学有 价值的数学，人人获得必要的数学。 在我国数学教育中向来对数学形式化过于注重，却忽略了数学观的培养。无 休止的练习题使数学在学生眼中似乎成了数学家或教师编出来的符号和图形的 游戏。学生在枯燥中学习得很累，使得部分学生在学好数学方面的信心不够，开 始惧怕数学；还有部分学生为数学中的形式上的推演所倾倒，但对于生活中的数 学事实却反应迟缓。恰当的数学观影响着个体数学活动中的行为，是促进学生学 习数学的重要动力因素，而不恰当的数学观影响着个体学习数学的兴趣和恒心。 此外，在计算机( 器) 的普及的背景之下，计算教学的要求开始逐步降低， 计算教学的目的也在发生转变，不仅仅是要求学生具备熟练的计算技能，更重要 的是，计算教学要求应该是突出算法思维。长久以来，我国的小学数学教学将培 养学生的计算能力作为小学数学教学的核心，在计算教学中过多地强调计算正确 率和速度，往往会使学生陷入大量的练习中。 对于计算教学，在面对计算机信息技术的迅速发展的形势之下，机械精确的 计算变得没有必要。关注国际数学教育的改革潮流，对计算教学的要求从传统的 “方法的统一和过于“注重计算技能 转变为“尊重学生的思维特点、重视学生 思维能力的培养”。算法多样化的核心在于让学生在已有的知识与经验出发学习 新知识，引导学生经过独立思考去探寻解题的方法，培养学生的创新精神、探索 意识和解决问题的能力。 综上所述，“算法多样化”以及与之相关联的“数学问题教学，一再为数学 教育界所倡导。然而，在现实的数学课堂教学中，却未能真正实行。正是基于对 这样的现实背景的认识，本文试图就此展开研究，探讨“算法多样化 及其实施 效果。 1 1 2 问题的理论背景 传统的算法教学容易造成学生被动接受。数学学习究竟是一个什么样的过程 这是一个有关数学观的问题，也是数学教育中的一个基本理论问题。学生的 3 1 引言上海师范大学硕士学位论文 数学观影响着学生的学习数学动力、策略和成绩阳3 。而学生的数学观是在数学教 育之下逐渐中形成的，也是数学学习的结果之一口3 。 我国传统的数学教学重视的是作为终结状态的数学知识，而对于发现活动本 身的关注是不够的，在这样的状况之下，学生几乎没有数学发现的经验。学生得 到更多的只是从教师那头传递而来的现成的数学知识。 早在2 0 世纪4 0 年代，数学教育家乔治波利亚就提出了要开展数学发现活 动的研究。他在数学的发现第二卷中引用李希坦贝尔格“那些你不得不亲自 动手发现了的东西，会在你脑中留下一条途径，一旦你有所需要，你就可以重新 运用它的话来说明数学学习中主动学习的重要性。在数学学习中教师所做的是 帮助学生去发现，鼓励学生动脑筋，教师的角色是助产士。 所谓完整的数学学习并非是一个“传递 的过程，它是一个重新发现的过程。 荷兰数学教育家弗莱登塔尔提出“学习过程必须包含有学生主观意义上的创造， 通过再创造获得的知识和能力更利于理解和保持川引。唯有发现，才能达到真正 的理解，“对算法理解的最佳的途径是发现它，没有什么比依靠自己的发现更令 人信服。 从皮亚杰的发生认识论的观点来看，认识并不是起源于一个有自我意识的主 体，也不是起因于业已形成的( 从主体的角度来看) 、会把自己烙印在主体之上 的客体；主客体之间的相互作用是认识的起因，作为中介物的活动本身可以看做 是认识的起源。皮亚杰同时强调，内源性知识( 包括数学、逻辑学知识) 的真正获 得，是一个主动探索与发现的过程阳1 。 如何让学生主动探索，从多个方面发现算法? 这也是一个理论问题。 1 2 问题的提出 综上，在数学学习中学生出现的“片面追求正确性和速度、“只知其然，不 知其所以然”、“照猫画虎 、“被动接受和模仿算法 都是不当数学观之下的数学 学习行为，也是数学教学中所要避免的。 从理论上而言，算法多样化是避免上述现象的重要途径。然而，此种教学对 学生究竟会带来何种影响：算法多样化教学是否有助于提高学生解题的正确性； 是否能让学生对数学问题理解地更为透彻，从而形成正确的数学观? 这正是本研 4 上海师范大学硕士学位论文1 引言 究所探讨的问题。 1 3 研究内容 本研究选取小学一、三年级学生为被试，他们属于小学低年级与中年级。考 虑到被试在各年级段的代表性，本研究理应选取高年级学生为被试，但由于客观 原因( 高年级有升学压力不能参与) 未能选取。这将在今后进一步的研究中予以 弥补。 1 3 1 现行常规算法教学条件下小学生数学学习状况的访谈 传统的常规算法教学重在传递算法。我们将对于常规算法教学条件下学生数 学学习状况的调查，定位于对数学观的调查。在这种教法的影响下，学生掌握算 法的情况尚可，但是却易于造成被动接受的数学观，把数学学习看成是从教师或 是课本那里接受的一套现成算法。 数学观具有内隐性，甚至有学者认为它只可通过推测而间接抵达。内隐的数 学观总是体现在数学活动中、体现在思考数学问题的内在过程中。在现有的探查 数学观的方法中，关注活动并能深入到内在过程的首选的方法应该是临床访谈 法。 本研究采用了临床访谈法来对一年级和三年级的小学生数学观进行探讨。 1 3 2 常规算法和算法多样教学对比实验 为了探究算法多样化教学效果，本研究分别对一年级和三年级的学生进行了 算法单一和算法多样教学的对比实验。对不同教学方式下的学生进行后测和数学 观的访谈，考查算法多样化的教学效果。 如果说，对数学观的访谈研究是关于现状的考察，那么，关于两种教法的对 比实验是在寻找改变现状的有效途径。 1 4 研究意义 1 4 1 理论意义 从2 0 世纪9 0 年代开始，建构主义理论为国际教育界普遍接受，成为国际数 学教育改革的主要趋势，建构主义理论也是新课改的主要理论支撑。在数学教学 中，怎样贯彻和体现建构主义理论? 本研究对基于建构主义理论基础之上的算法 5 1 引言 上海师范大学硕士学位论文 多样化教学效果的考察，将有助于数学教学理论进一步丰富。 本研究通过访谈了解小学生的数学观，同时将数学观纳入对算法多样化效果 的考察，这将有助于进一步丰富数学观的研究。 1 4 2 实践意义 从实施“算法多样化”教学以来取得了一定的成果，但由于很多教师对“算 法多样化”教学的实质还未能准确地把握，在认识上还存在着偏差，对算法多样 化及其效果的研究为数学教育者在实践算法多样化教学中提供了一定的参考，有 助于算法多样化教学更加有效地开展。 6 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 2 研究综述 本研究主要探讨算法多样化及其效果；而积极数学观的形成是衡量数学学 习，同时也是衡量算法多样化的标准。本文在这一部分主要介绍“算法多样化 与“数学观”两方面的研究状况。 在介绍研究状况之前，就对几个主要概念进行必要的界定。 2 1 主要概念的界定 2 1 1 算法、算法多样化 算法( a l g o r i t h m ) 是一个非常古老的数学概念。在我国，很早既已出现， 如1 1 世纪贾宪所著的黄帝九章算法西草与杨辉所著的详解九章算法中， 就涉及算法；在西方“a l g o r i t h m ( 算法) 最早源于阿拉伯数学家花刺子模的著 作的拉定译名“a l g o r i t h m i ，意思是用阿拉伯数字进行运算的过程。 中国大百科全书( 数学卷) 是这样定义算法的：在古代，算法指一种运 算或计算，最初是指对自然数的计算如加、减、乘、除等。后来数的概念推广了， 运算的概念也推广成函数，算法也相应地推广为对任何一种函数的计算。广义上 说，算法是指为解决任意一个问题所作的一种处理n 们。 美国数学的原理与实践中把算法定义为解决问题的程序步骤的一个概要 说明，这一程序步骤必须具有确定性，有效性和有限性n 。 其实，算法有广义和狭义之分。解决某一特定问题或一类同质同型问题的步 骤和方法被称为广义的算法；狭义的算法是指数学上的算法，是为解决某一数学 问题进行的一系列基本操作。 一般而言，在数学领域解决问题的一个确定的操作步骤就是算法。四则运算 是算法，方程的求解也是算法。其实，在数学活动中，常常用到有些方法，以致 习惯化了，程式化了，例如： 9 + 5 - - 9 + 1 + 4 = i 0 + 4 = 1 4 7 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 在上述的计算过程中，把较小的数“5 拆分为“1 + 4 便于“9 和“1 凑成“十 。这样一来，计算变得合理又便捷。久而久之，该方法就固定下来， 成为了一种程式化的操作方法，即算法 算法多样化，是这样的一种教学方式，它鼓励学生从不同的角度理解问题， 用多种策略解决问题，允许多种算法的存在，不对学生的算法做一而统的要求， 让学生根据自己的认知结构去发现算法，与同伴交流算法，教师引导学生进行算 法的分析、归纳和比较。 2 1 2 数学观 但凡接触过、学习过数学的人对数学都会有一定的认识，无论这种认识正确 与否，都是属于个人的数学观。对于数学观这一概念，不同的数学研究者有着不 尽相同的定义。 s e h o e n f e l d 认为数学观是人们关于数学本质、数学思想以及数学与周围世 界联系的根本看法和认识是数学行为的先导，它对学生学习数学的态度，从事 数学活动的意识和方式，用数学处理实际问题的能力有一定的决定作用，影响着 学生取得进一步的数学成绩n 别。香港学者黄毅英认为数学观既是数学教育的一 个过程，也是一个“学习成果 。研究者郑毓信指出数学观是人们关于“什么是 数学”问题的认识。研究者张红则认为数学观是人们在做数学的过程中形成的关 于“什么是数学”问题以及数学的基本特征的根本看法和认识n 靶。 从上述定义来看，它们都是围绕“数学观是人们对数学的基本看法 来从不 同角度进行解释的。我们可以这样定义数学观：数学观是关于对数学知识和数学 任务如何解决的元认知。 2 2 算法多样化的研究状况 自从全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 提出了“提倡算法多样化 和“鼓励算法多样化的教学要求之后，在国内数学教育的理论界引发了关于算 法多样化教学的内涵及其效果广泛探讨。 2 2 1 关于算法多样化理论研究 2 2 1 1 算法多样化的内涵 关于算法多样化教学的内涵，国内的研究者主要从算法多样化的实质、特征 8 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 以及与一题多解和算法全面化的区别等方面展开理论探讨的。 李明振认为算法多样化的实质是尊重学生的个体差异，培养学生主动思考， 启发和鼓励学生从不同的角度来分析问题，以不同的方式来表述问题，用不同的 方法解决问题。他认为“算法多样化 教学的特征是1 ) 群体性。“算法多样化 是群体范围内的多样化。2 ) 差异性。“算法多样化 教学尊重并基于不同学生之 间的个体差异。3 ) 过程性。“算法多样化”教学关注学生独立思考、探索发现的 过程，关注学生交流比较、反思评价的过程n 引。杨宝森认为算法多样化教学是以 学生为主体，引导学生主动参与数学知识的探索n5 。李梅仙认为算法多样化是针 对计算过程中，学生由于生活经验和思考角度的不同，而产生了不同的计算方法 所提出来的一种教学策略，是一种手段，但不是目的口别。 郭家兵在对苏教版五年级“分数的基本性质 的算法多样化教学所引发的失 败之中指出让学生掌握多种算法的教学定位是与算法多样化的精神实质不符合 的，算法多样化的实质是从中由于个体间经验的不同而产生的在思考问题角度上i 一 的差异，赏识群体的多种算法n 7 1 。在教学实践中落实算法多样化的教学关键在于 为学生提供独立思考的空间、创造学生操作的机会以及设置开放性的练习n 羽。 很多研究者一致认为算法多样化和一题多解是有很大区别的，一题多解是针 对每位学生提出用不同的思路和方法来解答同一道题目的学习要求，目的在于提 高学生思维的灵活性和发散性。能用多种解法来解决同一问题体现了学生的数学 能力。而算法多样化指的是学生群体内的多样化算法，而且算法多样化并不是方 法越多越好，它提倡的是通过学生之间反馈交流不同的算法，再通过评价沟通求 同存异。 还有研究者根据对算法多样化教学内涵的分析，归纳出算法多化教学的程 式。钱燕提出算法多样化的教学分为独立操作，寻求算法；交流算法，进行分组； 展开比赛，找出差距以及改进不足，明确算法这样四个步骤n 明。陈建洪认为算法 多样化教学应该包含让学生独立思考探究算法，交流算法以及优化算法等流程 啪1 。侯正海通过展示算法多样化的课堂教学片断，提出合理的算法多样化的教学 应该包括这样四个程序：对算法的独立思考、对算法的交流反馈、对算法的自主 选择和对算法的迁移运用 2 1 o 2 2 1 2 算法多样化实践中常见的误区 9 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 由于对算法多样化实质的把握不够深入，在算法多样化教学的课堂中存在着 一些误区。国内的一些研究者通过对一些课堂案例的分析，总结归纳了算法多样 化教学在实践中常见的误区。研究者普遍认为偏离群体算法多样化目标，追求个 体算法多样化和教师主导的缺失在计算教学中是算法多样化教学的误区隆羽。 2 2 2 关于算法多样化效果的研究 算法的多样化可以激发学生思考和归类算法，对问题解决策略进行提炼， 从而达到对算法背后必然性的理解3 。 算法多样化的教学建议提出之后，很多的一线教师都开始践行。研究者除了 从理论上阐述算法多样化的内涵之外，对算法多样化教学的效果情况进行考查和 研究。 有研究者从具体的课堂片断分析中在理论层面探讨算法多样化的效果。陈丽 丹通过分析算法多样化教法之下的一年级2 0 以内退位减法的课堂片断，指出算 法多样化教学的效果在于促进学生的个性化学习，不同算法展示了学生不同的认 知个性和发展水平，提供了教师学生的有效参考瞳们。 也有研究者通过教学对比实验来分析算法多样化的效果。苏子东针对“2 0 以内进位加法 教学内容，对两个班用了算法多样化教学和算法单一化的教学， 对两种教法之下的学生在课堂上的积极性和课堂气氛做了描述性的比较，算法多 样化教学课堂上的学生表现更为主动，课堂气氛更为活跃险5 1 。王桂华对算法多样 化不同处理方式下的学习效果进行了比较，发现算法多样化教学能使学生掌握更 多的算法嘶3 。 2 2 3 小结 从上述的研究中我们可以看到，算法多样化教学是建立在建构主义的思想之 上的，它是建构主义理论在数学教学上的落实，是以尊重学生间的差异为前提， 激发学生独立思考，去发现，去分享算法。而探索算法，交流算法是算法多样化 教学必要的程序。 目前国内对算法多样化效果的研究多集中于对某一或某几个教学片断是否 符合算法多样化教学的要求来进行评判和反思，虽也有为数不多的研究通过对比 教学来考查算法多样化的效果，但是只是做了粗略的比较。 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 2 3 数学观的研究现状 2 3 1 数学观的理论演变 数学观是人们对数学的性质、特征和活动总的看法，是和人们的数学知识发 展水平紧密相连的。在历史的不同阶段，人们的数学观也是不尽相同的。 2 3 1 1 绝对主义数学观 绝对主义数学观认为数学是由绝对真理组成，是代表可靠知识的唯一领域。 数学内在的确定性和稳定性是绝对主义数学观所关注的。柏拉图主义和基础主义 是支持绝对主义数学观的两个主要数学哲学学派。 在数学发展的早期，人们对数学的各种数量和空间的认识可能是浅显的甚至 是不正确的。如在古埃及、古印度、古巴比伦和古代中国，数字往往会和神秘主 义联系在一起。 ，趋 与古埃及、古巴比伦和其他的经验主义的数学范式是不一样的，古希腊数学 具有开创性的。古希腊人创造的演绎数学的范式由毕达哥拉斯和柏拉图将其发展 到了顶点。从毕达哥拉斯开始数学被作为抽象的对象加以研究，在柏拉图的观点 中，抽象的数和理想的图形是数学研究的对象，而这些数学研究对象存在于理念 世界中。柏拉图把数学包括感觉数、数学数和理念数三类；在他的观点中宇宙万 物都是按数学规律来设计的，感官感觉到的世界是含混的、不确切的，我们在数 学中处理的都是“理想化的对象，在这个过程中包涵着由经验向理念的转变， 通过数学领悟到的才是数学的实质，这就是数学哲学学派中的柏拉图主义。 笛卡尔在古希腊演绎数学的基础上开创了基础主义。基础主义主张由演绎法 证明的数学定理都是可靠的真理，数学必定有一个可靠、稳定、绝对的基础。基 础主义主要分为逻辑派、直觉派和形式派。逻辑派主张一切数学概念都可归结为 逻辑概念，数学真理都可通过公理和逻辑推演规则来证明，逻辑是全部数学的基 础；直觉派主张数学概念是先于语言、逻辑和经验进入人脑的，数学是纯粹的心 智活动，直觉决定概念的正确性；形式派认为数学是关于形式系统的科学，数学 研究的是一些符号系统，人们对这些符号按照制定的法则进行纯形式的组合和变 形，数学真理性的标准依赖的是对形式的考察，而非外在的事实。基础主义的三 大流派都在着力为数学真理提供一个坚实可靠的基础，但都以失败告终，因为这 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 三个流派都是用演绎逻辑在自己假设的基础上证明数学定理的真理性，而演绎逻 辑只是传递真理并不能够注入真理。 2 3 1 2 可误主义数学观 2 0 世纪3 0 年代初，“哥德尔不完备性定理”的发表对整个绝对主义数学观 的基础产生了动摇，在此之后，可误主义数学观开始盛行。与绝对主义数学观把 数学真理看成是固定不变的和一劳永逸的不同，可误主义的数学观把数学看成是 动态的、拟经验的、可纠正的，其观点主要体现在波普尔和拉卡托斯等哲学家的 数学思想中。 在科学哲学家波普尔看来在数学中不存在完全确定的东西，可以把公理看成 是一种约定或是科学的假设。数学对象虽然是人创造的，但在某种程度上是客观 存在的。 在数学哲学的经验主义复兴一文中，可误主义的先驱拉卡托斯对罗素、 卡纳普、韦尔、罗瑟、柯里、卡尔曼等人的著作引文摘义，指出他们的有一个 共同的观点即数学的完全可靠性是不可能的盟7 1 。他提出了拟经验主义数学观， 他不主张寻求绝对可靠的数学基础，提出数学并不存在于人脑之外的的外部世 界，数学是认识主体的一个创造啪3 。数学是数学家做过的事情，是有人类活动所 固有的不完善性，数学知识是可纠正的，数学结果并不是最终的或是完善的。拉 卡托斯的拟经验主义数学观注重的是将个人的创造转化成大家承认的公开的数 学知识的过程，提出了来精辟的数学知识发生理论，但并未提出数学创造或发现 的心理学理论。 2 3 1 3 建构主义数学观 作为学习的哲学的一种，建构主义的渊源至少可以追溯到十八世纪文艺复兴 时代意大利的哲学家詹巴蒂斯塔维柯。根据维柯的观点，文明社会是由人创造 出来的，社会的各项原则可以在人类自身心灵变化中发现，同时，这一创造社会的 过程也创造了人自身。正是在这个意义上，他曾经指出，人们清晰理解的只是他们 自己建构的一切1 。 建构主义的先驱皮亚杰认为主体和客体之间的相互作用是是认识发生和发 展的源泉。数学知识不是形成于实在的客体之中，也不是先验地形成于主体自身 之中，而是来源于主体的协调动作或动作图式，是人类在与外界客体相互作用的 上海师范大学硕士学位论文 2 研究综述 基础上建构起来的。数学是对人类动作图式通过不断反身抽象和内部协调的方式 进行内化建构的产物啪1 。 皮亚杰在广义上把逻辑数学范畴定义为“内源性知识 ，内源性知识指的是 儿童从动作的反省和必然性地协调中获得的知识。外源性知识则是指建立在外部 客体的经验基础之上的知识。例如，儿童关于物体的轻重、软硬等这些知识是外 源性知识。逻辑数学经验是主体从动作之间的关系抽象而来的，他指出人类逻辑 数理结构的形成的根源在一般动作的协调中。 主张要用一切可能的办法促使学生思考的波利亚在数学发现二指出教师 在数学教学过程中应该通过启发式问题来推进学生的思考，展示解法的发现过 程。在他看来教会年轻人如何思考是数学教学的宗旨，而解题是教会学生思考的 一种有效的途径。 提倡“再创造 的数学教育家弗赖登塔尔认为数学是系统化了的常识，必然 性是数学最主要的特征。他认为“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活 动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是作问题 他指出“这不可能包含真正的 数学，作问题的只是一种模仿的数学 眦1 。在现成的数学面前，复制是学生唯一 能做的。 弗赖登塔尔主张作为一种活动的数学，在教的过程中应该指导学生进行再创 造，教师要去引导学生去发现和创造要学的东西，而不是给学生灌输现成的数学 知识。如果学习者不进行再创造，他难以真正理解学习的内容，只有由自己再创 造而获得的知识才能被真掌握。 2 3 2 数学观的实证研究状况 目前国内外的学者主要是从以下几个角度来对数学观进行研究的： 2 3 2 1 数学观结构及形成因素的探讨 关于数学观的结构，不同的研究者分别从不同的研究视角提出了各自的观 点：舍恩费尔德认为数学是一个人的数学世界观，是由对自我与数学问题解决关 系的看法、对数学活动中社会情境的看法和对数学、数学学习、问题解决的看法 这三个部分构成口2 1 。刘儒德从以往研究者对学生的一般学习观念认识中推导出， 数学知识观、数学学习观和数学自我概念是构成中小学生数学观的三个部分口3 j 。 研究者李琼指出数学学习兴趣、课堂参与性、数学学科观以及数学交流的素养是 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 构成学生数学观的四个因素口钔。 对于数学观形成因素的探讨，国内一些学者的研究表明影响数学观的主要形 成因素有因主要有数学解题、课程与教材的内容、教师的课堂讲解与演示等引。 可见学校教育是影响学生具备怎样的数学观的首要因素。郑毓信认为学生的种种 数学观是在数学教育现实之中形成的。此外，王建军认为数学观的形成还受到学 生生活、学习的经验空间的影响。 2 3 2 2 学生数学观现状的调查研究 国外研究者对数学观进行的调查显示，大部分学生的数学观是朴素的，不恰 当的。比如解决数学问题只有一种方法：教师是数学知识的来源；这些错误的数 学观会对他们的数学学习带来不利的影响。有研究便发现学生往往把数学看成是 一堆绝对真理的集合汹1 。也有研究则表明学生把数学看成是符号的游戏7 1 。美国 在1 9 8 6 年进行的全国性数学评核中发现有8 3 的7 年级( 相当于初一) 学生赞 同“在数学里，必定有一个法则去遵循 这个命题，5 0 的学生则认为“学习数 学主要在于背诵 。“了解”数学变成了“背诵 数学啪1 。研究发现，在学生眼中， 做数学的主要目的就是找出正确的答案口钔。m a r t h al f r a n k 在对2 7 名美国中学 生进行了较长时间的调查与研究，发现在当时学生们的眼中数学就是计算，得到 正确的答案是做数学题的目的，“传授”数学知识是数学教师的任务m 1 。m u n i r a a m i r a l i 在对巴基斯坦八年级学生数学观的调查中发现学生在对数学知识方面 的认识存在着困惑和矛盾，认为数学是绝对的和易犯错的，在数学态度方面，女 生对数学持更为积极的态度，数学焦虑水平比男生低h 。e c c l e s 等人指出，在 刚开始上学时，学生对数字和数学很有兴趣，在对自身的数学能力方面的自信也 很高，但到了小学阶段结束、中学阶段开始的时候，很多学生对数学已不再持这 样的看法了。他们认为自己在应用数学方面成果很少，逐渐产生了对数学有了恐 慌和害怕，而这种害怕会持续一生。在很多小学生看来学习数学是重要的，但并 不知道原因。对于数学的价值，他们看不到或很少看到。他们对数学学习失去信 心，不愿付出努力h 羽。 中国学生的数学观是怎样的呢? 国内研究者对不同年龄段学生的数学观都 做了相应地调查研究。有国内研究者通过问卷调查了1 9 0 名小学生的数学学习 观，结果表明小学生生的数学学习观总体上是比较朴素和肤浅的n 副。黄毅英、林 1 4 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 智中等人通过让学生填写开放题“你认为数学是什么 来探讨香港学生的数学观， 研究结果显示受访学生的数学观大致可分为数学的趣味性、数学的困难性、数学 的实用性以及数学的实用性四个范畴h 4 l 。大部分的学生认为数学是有趣的，对数 学的兴趣随着年级的升高呈下降趋势，学生学习数学的兴趣直接受到数学难易程 度的影响；对于数学本质，大多数学生的认知是模糊的，而这种认识主要受教师 课堂教学的影响。白乳利通过对5 6 名初中学生的数学观的调查发现初中生的数 学观是狭隘的、不完善的。他们倾向于把数学看成公式和结论的堆积，数学认识 活动也只是繁杂的计算和烦琐的论证h 引。杨新荣、李忠如调查了重庆市、长沙市、 昆山市、北京市四所不同中学初中学生的数学观，调查表明：随着年级的升高初 中生的数学学习态度的积极情感而下降；对数学学习过程的认识有随年级升高而 倾向于接受式学习的趋势m 1 。 周淡等人通过假设性情境题目和数学观问卷调查研究了学生数学观的发展 状况，研究表明在数学观各维度的得分上小学生最高，初中生、高中生依次下降，： 高中生得分处于最低水平，到大学阶段得分开始出现回升，学优生数学观的均分 显著地高于中等成绩学生及学差生学生h 。马芳对大学生内隐数学观的研究表明 大学生中存在着“相对于语文，更否定数学的内隐数学态度、“相对于语文， 把数学和他人相联系 的内隐数学自我认同和“在数学方面，男生比女生更擅长 这样的内隐数学一性别刻板印象1 。 我国学生的数学观是否和国外的一样呢? 王林全、m c g e h e 主要通过问卷的 形式对十一所中国中学以及三所美国中学的学生进行关于数学观的调查。调查结 果表明中美学生的数学观存在明显差异，各呈现出某种片面性h 鲫。 2 2 2 3 学生数学观的相关研究 数学观指导着学生数学学习活动、方式、行为以及对教师教学的评价，学生 数学观的相关研究有助于我们进一步认识数学观的作用。近些年来，以数学观和 学业成绩的相关研究较多。周琰等人对小学生的数学观、数学学习策略的相关研 究中发现数学学习观对学业成绩无显著的直接影响，数学学习观通过对学习策略 的影响从而间接地影响学业成绩呻3 。刁春好对1 2 6 名大学生进行问卷测试，研究 表明学优生和学困生在数学观的自我概念这一因素上差异最大嗡。香港学者研究 对学生的数学观和问题解决策略，进行了相关研究，发现对于高水平的问题解决 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 者而言，他们对数学的感知是结构性的，他们在明确的计划之下进行数学探索； 而对于低水平的问题解决者来说，他们对数学的感知是零碎的，孤立的，他们只 是盲目地求解，希望能碰对答案畸羽。 2 3 2 4 改进数学观的研究 源于数学经验的数学观，影响着数学行为，不正确的数学观会降低学生学习 数学的动机和兴趣，进而影响学生数学方面的学习表现。改进学生的数学观是可 以提高学生的数学学习效果的，同时培养学生正确的数学观也是数学教育的重要 目标。很多研究者在改进学生数学观方面展开了研究。l u c i am a s o n 和l u i s a s c r i v a n i 将米兰8 6 名小学五年级学生随机分为两组，分别运用创新性课堂教 学和传统性课堂教学，在对数学观的前测与后测进行统计分析之后发现创新型课 堂中的学生具有更好的数学观瞄割。刘次律等研究者通过数学阅读课堂、课堂教学 讲座以及数学课外活动的形式，分别从知识层面、观念层面和知识层面来对中学 生的数学观加以干预，实验结果表明中学生的数学观有了显著的改善，如，“当 面对较难数学题自己再努力做做看，提高了1 2 ，“喜欢学习数学的主要原因是： 用途广及数学比较有趣 提高了9 等嘲3 。 2 3 3 数学观的研究方法 对于数学观的研究，国内外学者采用的研究方法主要采用的是问卷法。数学 观问卷的设计一般是采用单选题和开放式题目的相结合的形式，涉及较多的是类 似“数学是什么”“如何学好数学”这样的题目。然而类似这种“数学的用途是 什么、“喜欢和不喜欢数学的原因有哪些”、“如何才能学好数学? ”这种询问收 集到的材料是是面面俱到的，但同时却是笼而统之的。 也有研究者通过假设性情境题目让学生判断在字数估计、分数比较等假设情 境是否在做数学或者用数学。如：假设你爱好读书，有一天你买去了一本书，然 后去估计这本书的序言的字数，你认为你这样做是否正在用数学? 。这类假设性 的情境题目关注的是数学的外延，即什么是数学什么不是数学。所获得的材料也 主要被用来说明被试关于数学外延的观点是狭隘的还是宽泛的。 此外，国外有研究者采用图画的方式调查学生的数学观，具体的做法是通过 学生把自己对数学的认识画在纸上并对自己的画进行解释，根据学生的完成的图 画和解释来对他们的数学观进行归纳和分类畴副。近年来，国外有研究者嘟1 在开始 1 6 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 尝试对数学观进行一些心理学的内隐研究。国内研究者马芳采用内隐认知研究 “内隐联想测验”和“刻板印象解释偏差 的方法对大学生内隐数学观进行了测 量m 3 。 1 7 3 实证研究上海师范大学硕士学位论文 3 实证研究i ：现行常规教法下小学生数学学习状况的访谈 3 1 引言 先期调查表明，常规算法教学往往以算法的传递为宗旨，具体做法是，教师 呈现算法、详述算法，学生模仿算法、练习算法。以退位减法1 4 6 的教授为例， 教师首先列这样的竖式： 1 4 6 让学生清楚地看到被减数这里的4 要减去6 是不够的，应该向十位借“1 ”，这里的 1 代表了1 0 ，有的教师会借助教具来演示1 4 6 。讲解结束之后，学生则埋头于练 习。在这个过程之中，学生是被动地理解和接受单一