（理论物理专业论文）非对易orbifold+r2ng上的量子态及孤子解.pdf

摘要 时空坐标非对易的思想已经有好久了，但是长期以来，非对易几何并米 在物理上受到人们广泛关注。近几年来，随着弦理论以及量子霍尔效应的研 究，越来越多的非对易背景上的物理学问题引起人们的重视。自从弦列! 论- 5 非对易理论之间的关系被揭示以后，对非对易场中的孤子解的研究引起理沦 物理学家的广泛关注。非对易场和弦理论中的孤子解经常对弦理论的非微优 和强耦合行为的研究提供重要线索。因此研究各种空间的孤子解就显的很重 硬。 本文求得非对易o r b i f o l dr 抑a _ t ：的量子态和孤子解。方法是求得一 维和二维以及i i 维由广义坐标和广义动量的一般二次型构成得哈密顿量的；占 态，由此可以求得各能级的本征态。由于非对易空间辟“( n = 1 ，2 ，t ，) 在相 应转动群gcs 0 ( 2 礼) 下的坐标的不变二次型可以正则化成这类哈密，顷篮， 因此我们得到了非对易空间上的转动不变态矢量。当g 是s o ( 2 n ) 的有限子群 时候它们是非对易o r b i f o l d 上的态矢量。由此可以得到其上的孤子解。 另外，物理问题中有一类型振子是高维的，在其哈密顿量中动量和坐 示 是相互耦合的，比如量子霍尔系统就是如此。本文就提供了一般的将这类，型 哈密顿量对角化成标准形式的方法。 关键词：非对易，孤子，哈密顿量，产生算子，湮灭算子，基态波函数 l l a b s t r a c t t h ei d e at h a tt h es p a c e t i m ec o o r d i n a t e sd on o te o m m u t a t ei so l d b u t n o n c o n u n u t a t i v eg e o m e t r yc a n n o ta t t r a c tt h ep h y s i c i s t si n t e r e s tf o r 。l o n g t i m e i l lt l mr e c e n ty e a r s ，m o r ea n dm o r ep h y s i c a lp r o b l e m si nt h en o d c o ii u m t a t i v eb a c k g l o u n da g er e g a r d e da si m p o r t a n tb yp e o p l ew i t ht h es t n d 3 fj f th es t li n ga n dq u a n t u mh a l le f f e c t s i n c et h er e l a t i o nb e t w e e nt h es t lii g t l l e o i ya n dn o n c o m m u t a t i v et h e o r yw a sr e v e a l l e d ，t h es t u d yo ft h es o l i t l l i l s o l u t i o ni nn o n c o m m u t a t i v ef i e l dh a sa t t r a c t e dt h et h e o r e t i c a lp h y s i c i s ts ir t e n t i o n s o l i t o ns o l u t i o n si nn o n c o m m u t a t i v ef i e l da n dt h es t r i n gt l i e l 1 y o f t e l lp r o v i d ei m p o r t a n tc l u ef o rt h eb e h a v i o ro fn o n p e r t u r b a t i v ea n ds r i o li g c o u p l eo ft h es t i i n gt h e o r y s ot h es t u d yo ft h es o l i t o ns o l u t i o n si na l li d n , l s o fs p a c ei sv e r yi m p o r t a n t i n t h i sp a p e r ，w eo b t a i nt h eq u a n t u ms t a t e sa n ds o l i t o ns o l u t i ml sr ，1 1 u o n c o n m m t a t i v eo r b i f o l dr 鼽g t h em e t h o di so b t a i n i n gt h eg r o u n d 吼 ir p o ft h eh a n f i l t o n i a nw h i c hi sc o n s t r u c t e db yg e n e r a lq u a d r a t i cf o r mo fg o ( 因为哈密顿量是正定的) 。产生算子利湮火 锋子满足 f 吗，a l 】= 如0 ，南= 1 ，2 ) ( 4 4 ) 进一步我们可以由血i 妒) = a 2i 妒) = o 求出矗的基态表达式。只要得到堪杰， 由于a ；是西的线性一次微分算子，由a ；的各幂次作用于基态就得到舛j 行 育本征态，它们在非对易转动下是不变的态。 4 1 寻找产生算子和湮灭算子 假如我们找到这样的a ；和呜，则由( 4 3 ) 和( 44 ) ，我们就有 【a j ，疗】b 吗， 【苟，膏l = 一苟 其中 0 。由于a ；，a j 是 自，a ) 的线性函数，因此可以写成吗或者 只其中争表示行矢量孑= ( 6 1 6 2 b 3 b 4 ) ，其矩阵元都是复数。因此构成产生徊 湮灭算子的争f 必须该满足下面的性质 i 争只疗1 = 入( 争而( 4 - ) 第四章非对易空间印上的量子态 其中a 是常数a 我们现在的关键闯题就是求解( 4 5 ) ，看能否得到相应的吗 和霹使它们正好满足正则对易关系( 4 4 ) 。m ( 4 5 ) 左边得 e 官】= 曩产c r - i = 利用b q = b a ，c l 数，( 4 6 ) 可以写成 跨翻= ( 口如西tj ；z ) +( 6 。6 。6 3 6 。) ca 6 2 6 3 6 4 ，( 萎) ，c ( 囊) = ( 一) ( o - 如庐。亩z ) + ( 口。如叠1 r ，乳、i 1 岛l ， 。1 1 他 ( ：6 3 6 。) i 譬i ，( 口。如妒， 、 飞 = ( 一) ( 产c j 西t + ( 争j ( 弼t = 争( 一j c + j c ) f l i 注意到是g 对称矩阵，而j 是反对称矩阵，所以得到了 【争最疗】= 2 ( 铲j e 刁 g 玑m现 ，一j匣 c j j 目 、 l 一 引 辊 。 一兀 痧 降 扔 矩的 吼 孑 ( 和、户靶 6：啦n沈 方，li到 ) 意 k 注j 1 以 c 如 司 巩 阻 、；， 吼他饥m ，。，。一 c 、， 扔抛如舢 ，jjfl、 、， 耽 第四章非对易空间帮上的量子态 由于( 4 5 ) 左边应该等于( 4 5 ) 右边，所以得到 2 ( 争j g 而i = a ( 争而( 4 7 ) 这样发现，满足( 4 5 ) 式的矢量亨该满足( 4 7 ) 式。由于尹的各分量0 l ，如，p t 如 是线性独立的力学量，这样就得到 ( 2 i ) j c = a ，( 4 8 ) 注意到a 是对称矩阵，且j 。= 一z 所以将( 4 8 ) 转置变形得 3 = a i 。 ( 4 , 9 ) 可见满足( 4 5 ) 的矢量f 该满足( 4 9 ) ，即f 是2 c j 对应于本征僮如的本 l e 矢量。 4 1 1 2 c j 的本征值以及本征矢鼍的特点 将( 4 9 ) 两边同时左乘了得， 2 j c j 亨= ( a i ) j 置 将( 4 ，l o ) 两边同时左乘争得 ( 4 1 1 ) 2 争j c j g = ( 她) 争j 置( 4 1i ) 其中争= ( 蜒6 ；畦6 ：) 是韵厄米共轭行矢量。将( 4 1 1 ) 取转置和复共轭 得到 2 t ，e ，j f = ( 一a ) i 争，z( 4 12 ) 整理( 4 1 2 ) 并注意到= 一z 褥 2 争j c j g = ( ”i ) ，j 基( 4 1 3 ) 第四章非对易空间尉上的量子态 3 ( 4 1 3 ) 左边等于一2 ( 了功g ( j 而，由于c 是正定实对称矩阵，i n 而( 4 1 1 ) 和( 毒l ：；) 左 边都是非零实数，所以a 和a 都非零。比较( 4 1 1 ) 和( 4 1 3 ) 得 = + 0 可见a 是非零实数。这样我们得知；2 c j 的本征值( 如) 是纯虚数。并且 由于2 c j 是实数矩阵，所以是蚕复数矢量。现在我们对( 4 。9 ) 式两边取共轭 复数得 2 c j f * = ( 一崩) 矿 可见，当f 是对应于2 c j 本征值是她的本征矢量时，则矿也是2 c j 的本征矢 量，对应的本征值是( 一m ) 。即2 g l ，的本征值是纯虚数并且成对出现。这样， 对于矩阵2 c j ，我们肯定可以找到两个不同的本征矢量面和回，为了明确起 见，令矗对应的本征值是a l i ，回对应的本征值是一a l i ，其中的a l 是正实数、 现在考虑萌和瓦所在的空间v a i l - 斜正交关系，找出与曩和靖都斜丑：交n 勺 四维矢- 量g ( j = l ，2 ) ，即 弓j a = e j j s l 0 由于j 瓦和l ，砖线性独立，弓组成一个二维空间。下面我们证明这个空间在2 - 门： 是不变的。由于 ，2 = 一， j = 一一 g = c 我们有 ( 2 g j 西) j 蟊= 2 弓( 一j ) c 。j 西 = 一弓j n l t ) 西 = 一a 1 t ( 弓j 瓦) = 0 第四章非对易空间序上的量子态 同理 ( 2 g 喝琴- 0 所以，我们又可以在这个两维空间找出一对矢量而和雹使 2 c j i 2 = a 2 i 磊， 2 g j 霹= 一a e ( a 2 o ) 我们可以证明虱和嚣，瓦和砖都不是斜正交的。 弘弓= s “jj 可2 c j 曩j = ( 一考) 弘g 吗= ( 考) ( 吲坝吲 ( j 西) e ( j 弓) 0 ( 由于g 是正定对称矩阵) 我们可以适当地将它们归一化，使得 ( 吲+ c ( j 互a = 鲁 于是有 由上述构造知道 ( 4 ，1 6 ) 取复共轭得到 葛玛= i 曩j 面= 甍j 蔚= 0 葛。t ，霹= 砖j 蟊= 0 i i 且容易看出：对任意复矢量础有 节3 吊= 0 由一对复矢量繇口方组成的力学量衙口萨湘对易关系 【铲t 萨司= 铲t 产韧 = ， = ( 铲同t q 2p lp t1 4 ( 4 1 4 ) ( 4 1 j ) ( 4 1 ( ” ( 4 1 7 ) ( 4 j ) 第四章非对易空间尺4 上的量子态 从前面( 4 ，1 4 ) ( 4 1 s ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 我们令 就得到 其余对易关系是零。 4 1 2哈密顿置的表达形式 奶= 苟t a ；= s “jf 心，醚】= 白e ( 4 ) 由于a j 和满足( 4 1 9 ) ，所以它们是线性独立的四个力学量，从而膏可以 由它们的二次型来组成 ( 42 【】) 由对易关系( 4 5 ) 和( 4 1 9 ) ，我们知道哈密顿量只能表达成以下的形式 矗= a 1 a t a l + a 2 a ! a 2 + c d n s ( 4 2 1 ) 如前面的构造可见其中a i ，a 2 0 这与哈密顿量是正定的相一致。 4 2 量子态的得出 综合以上的工作，我们其实是通过一个变换b ，将基底口1 ，壶，多。，血变成 了5 l ，5 。，a ，嬉即 = b ( 42 2 ) 时帆cr 口 趄 眈 屯 面 + 施 通竹 。料 + 观 庙 岛 。归 叼 。哟 。皿 i f h 第四章非对易空间尉上的量子态 其中b 是4 维方矩阵，由前面的计算我们知道它是由2 c j 的本征矢量蟊，而，贯，焉( 复 数矢量) 构成。 由( 4 1 9 ) 得到 b ： | 引i a 1a 2a t 结合( 4 2 2 ) ( 4 2 ) 和( 4 2 4 ) 日p 有 b 钏，引b 。 i ：1j 、7 p 2 ( 4 2 3 ) = ， ( 4 2 4 ) = b ( j i ) b 。= ， ( 4 2 5 ) 由( 4 2 3 ) ，所以可以把矩阵b 写成如下的分块形式 b 七a ：) ， z 其中的o ，b 等都是2 2 矩阵。令 埘 啪z 用z 。，得( 未) = a 。 盼( ；) ：) ( ；) 将以上形式代入c a 。s ，得 啦a ：) ( 二州菩a 矿t ) = 0 ， ：- ， 6 第四章非对易空间硝上的量子态 得到 4 2 1 基态波函数 b a t = 口6 t 6 一= n t i ( a b t 一6 1 = ， i ( b + a 一a * b t 、= i 7 ( 4 2 8 ) ( 4 2 ) ) ( 4 3 | ) ) ( 4 3 1 ) 现在我们来求基态波函数，按照量子力学中的熟知结果它应该是湮灭佯 子a 。和a 2 具有零本征值的本征态。我们注意到湮灭算子的形式是 面= 血于十蜮( 4 3 2 ) 基态波函数该( q 1 ，口2 i 妒) 满足 a m ( g ，q 2 【妒) = o ( m = 1 ，2 ) ( 4 3 3 ) 我们令基态波函数具有的形式是 ( q ，q 2 l 妒) 一，“t( 4 3 4 ) 将( 4 3 2 ) - 写成分量形式代入( 4 3 3 ) a 。( g ，q 2 l 砂) = ( a m j q j + h ，叫岛) e 铲 4 ( 价，j = l ，2 ) = f 嘶蚶西+ 6 。巧( 一i ) v 】e “4 “4 = 【a t n j 白+ b m j ( 一i ) ( 0 a 捌伪+ q k a k t s j l ) e 4 。4 “ = 0 所以得到 a m ! = i 坼可( a l + 以f j ) 写成矩阵形式即是 a = i b ( a + a ) ( 4 3 j ) 第四章非对易空间彤上的量子态 8 m ( 4 3 0 ) ，可以证明6 是非退化的，d e t b 0 ，( 否则，令i z ) 为6 t 的零矢量，就会 有矛盾的等式 【( z l a b ti 。) 一( 。jb a l z ) 】= 0 = ( 石i z ) ) n t a b 。是存在的。所以 我4 1 1 把f 4 3 5 ) 化成 ( 一i ) 6 q a = a + a 。( 4 3 6 ) 这个式子要求( 一i ) 6 - 1 a 是对称矩阵，a 才会有解。而凸，b 都是矩阵，由( 4 ? 8 ) 如 道f o b 一1 n 是对称矩阵。所以可以令 a = ；( 一i b - l a ) ( 4 ：! ；7 ) ( 4 3 6 ) 就可以满足了。我们有 a + a + = ( 一妻i ) 【6 1 0 一( 6 1 n ) + 】 ( 4 3 8 ) 由f 4 3 0 ) 得到 a b t b a t = ( i ) i ， 又因为6 - 1 n 是对称矩阵，所以 ( 4 4 0 ) 两边取复共轭得 所以f 4 3 9 ) 就是 ( 4 4 【j ) i 【6 a 一( 5 7 1 ) 1 = ( b t b ) 一 ( 4 4 【) 因为6 是非退化的，所以( 6 十6 ) 是正定的，又由( 4 4 1 ) 看出，它是实数矩| j 1 ：。 所以( 6 + 6 ) - 1 是正定的实数矩阵，因而( b - a ) 的虚部是负定的。又由于( 4 3 f ，) ， 所以这样的矩阵a 必须满足i n ( a + a 。) 的实部负定。这样由( 4 3 4 ) 确定的波函 数是平方可积的，属于h i l b e r t 空间。 34 l一 p | | ， 血 l 一 6 ，【 一 n l 一 6 p r 第四章非对易空间硝上的量子态 最后我们求这个波函数的归一化因子，假设这个因子是d ，那么 ( q l ，q 2 1 币) = d e e i 假设基态波函数是归一的，则有 ( 妒i 妒) = ( 妒i q l ，9 2 ) ( 口- ，q 2 l 妒) d q l d q 2 ：h d + d 7 e 一“7 由1 嘞 ：吲2 ，“e f 4 + d q l d 9 2 = i d l 2岳d e t ( a + a * ) 吲= vd e t ( a 2 + a * 吲= 高如 这样我, f f j 最终得到了基态波函数 ( 9 1 矧妒) = 南 盯 9 这是一个保持疗= 霹在转动群g 下不变的态矢量的波函数，其c l l 4 】自 j ；l ( 4 3 7 ) 给出。 4 2 2其它能级波函数 有了能量的基态波函数形式，其它能级的波函数也可以相对容易地确定 下来。它们是由的各幂次作用于基态的结果。由于砖是口和多的一次 2 式，因而6 j 就是一些形如暑( 0 。劬+ 岛南) 的微分算予，它们作用于基态 后得到p ( g ) a f 的形式，其中p ( q ) 是的q 的多项式。这个方法可用于研 究一个一般拉氏量由广义坐标和广义速度的二次型组成的体系。 第五章转动不变态矢量 不难证明膏的基态是在g 下不变化的。这是因为膏的基态不简并。现庄 我们考虑在g 下不变的激发态。在g 的作用下 鑫，= 雪始- 。， a 7 t = 雪a 互一1 = ( a ，) i 和a t 作线性变换，令 a ，= m 1 矗+ m 2 矿 则有 a 叶= 竹2 ；i + - i - 喝a 由于真空态在下g 是不变化的，因此 g i o ) = a 1 0 ) 所以 m 2 = 0 另一方面 m - a ，m 】_ f a ia f = l 所以 i m l l 2 = 1 所以对于a 和a t 作线性变换的变换矩阵b = ( ：1 竺：) ，是属于s 。c 。由 一个子群。 第五章转动不变态矢量 这样我们得到在9 下不变的态是 = 掣 至此我们就得到了非对易o r b i f o l dr 2 g 上的量子态。 四维情形下我们考虑在g 下不变的激发态。在9 g 的作用下， 筋= 弛口， ( 5f ) 西= a ；g = ( 奶9 _ 1 ) + = ( 弓) 吗和司作线性变换，令 a ；= m j 。丘l + m j 2 a 2 + m 靠丘 + m a 1 由于真空态是9 下不变的，因此g - 11 0 ) = ai o ) 。所以有 苟i o ) = 9 鸟9 - 1f 0 ) = 9 如a f o ) = 0 司见 m 矗= m = 0 ( 52 ) 设鸟和苟作线性变换的变换矩阵是。则由( 5 2 ) 我们知道可以写成这样f | 分块形式= ( 苫z + ) 。其中m 是z z 矩阵。那么就有 嘭= 坞ia f ， a ；t = 晦a t 得到 g 疗9 一= 9 a j 目一1 9 & j g = b n 吩司屿自a b ，# = 鹋吗 j 第五章转动不变态矢量 m 矜i m k 一6 i k h 令矩阵 扣( 吉芝) ， 则有 m t ) 。m = a 另一方面由于吗，a l 的对易关系与够，的对易关系一样，因此 【弓，a 2 = 埘矗。a m 霹。峨。】= 妨t m 讥。m j 。k = 6 渺 推出m m = j 。所以mcu ( 2 ) ，因此有 m t a m = m a m = a 、 入 彳= m a 当a = ( 鲁兰) ，其中a - a z 时，m 是对角矩阵am = ( 焉17 。) ， 其中i 呐i = 1 。也就是使 a 净叻奶， a ： = 啊a ， 这里对j 不求和。所以对于一般的m 1 ，m 2 在9 下不变的态是 = 嘴学f o ) 。 ( 5 v l ：2 1 问题完全分离为两个空间的直积。 第五章转动不变态矢量 而当a - = a 2 时，m = m ( 9 ) 可以是任意的u ( 2 ) 矩阵，而在g 不变的态由 所有的在有关己，( 2 ) 子群g 下不变的多项式只( a i ，趣) 作用在真空态上构成 1 1 ) = p , ( a l ，a ! ) 1 0 ) 非平庸的多项式r 的存在，实际上给出u ( 2 ) 子群g 的可能的形式，这也就是 给出原来群g 的可能形式。 至此我们得到一系列在g 下不变的态矢量，在正交归一化之后，得到吓 变态矢量的集合 | 咖) ) ，满足 mi 讥) = 讯 第六章 o r b i f o l dr 2 c r 4 a 上的孤子 6 1 o r b i f o l dr 2 a m c 上的孤子 非对易0 r 6 i ，“dr 2 g 础g 上的孤子，按文献【1 2 】【1 3 】可以由在，铲 r 4 上 的对g 群不变的投影算子组成，也就是要求投影算子户满足 户2 ：户 g p g 1 = p ( g g 1 我们可以构造投影算子户如下 p = i 咖) ( 训 i 其中m ) 是满足 g i 砌) = 严m ) ， mi 仇) = 的波函数。求和的范围任意。请注意，即使是由( 5 3 ) 中的j 咖) 组成的投影 算子也并非是两个直积空间的投影算子的直积。这就是说，虽然当a 。 a 2 时，r 4 g 可p a 分解为咒2 g 1o r 2 g 2 即两个d 柏i ，川d 的直积，但是r 4 ci 二 的孤子一般并非是两个o r b i f o l d _ h 的孤子的直积。这个结果是m a r t i n e , 在定 献 1 3 中部分结果的推广。 6 2 讨论 另外我们还可以从这些不变态矢量由g 日s 构造【1 4 】来得到非对易o ，6 ，f o l dt 4 g 上 的孤子解的有限形式( 基本方法由【l o 】【1 1 】给出) 。并且我们可以推广以上的 结果，研究非对易2 n 维空间，2 c j 的本征值非简并情形。 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 7 1 将疗化成标准二次型 由前面知，哈密顿量膏= 产贸可以写成分块形式 其中西声都是n 维列向量，g 是正定实对称矩阵，宣是含有4 ，p 的正定二次型。 婪想求得其基态矢量，首先将由化成标准二次型。显然当g 是对角矩瞰容埸 达到这个目的。即在新的以口7 ，为基底的情况下矗的表达式只有口7 ，1 7 的f 方项。为了达到这一步我们需要找到一个变换矩阵e 来把c 对角化。令 其中e 为实矩阵。 宜= ( 矿矿) g ( 勒 = ( 矿) e g e ( 爹) = ( 矿。妒) q ( ；) ( 7 i ) ( 7 ，2 ) 其中上面的q 是对角矩阵。而且这个变换e 不同于纯粹的般数学上的变换 它必须保持正则对易关系不变，只有这样才是有物理意义的( 因为只有这样 、 _ g _ p ，一 g 、， 矿 贸 矿 产i = | i h 日 、， 驴，嚣。 西_矿 e ( = | i 、 f f 矿 ，一 酽 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 1 6 我们把膏化成新基底4 ，p ，的标准二次型后，才可以把其进一步化成产生罐 子和湮灭算子的形式) 。即仍然保持 【爵，最1 = i 国e 对于 力= ( 爹) 由( 7 1 ) 掰1 1 ( 7 2 ) 式知道对易关系即是 l 开，】=f ( ；) 如叫) 】 【e q t 产( e 一1 ) 】 = e 叫( i j ) ( e “) 。 = z 其中t ，= ( 二：) 棚n 碑位矩阵。则有 e 一1 j ( e 一1 ) 2 = j e j - 。e = j 一1 凶为j 一1 = 一j ，所以 e j e = ，( 7 4 ) 可见e 满足辛群的定义，变换矩阵e 是一个实辛矩阵。接下来我们寻找这 ：羊 的辛矩阵e ，其是否可以将对称矩阵c 对角化。为此我们首先来讨论。，( 饷杠 硅值本征向量的情况，假设年德j c 的本征向量，对应的本征值是a ，即 g e 。e ： 虿 ( 7 j ) 那么有 j g ：”万+ ( 7 f j ) 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 2 7 在( 7 5 ) 式左右两边同时左乘矩阵g c j c - 莎：a g 万， 同时在上式左乘护+ 得 矿，c j c - 妒： 矿g 万( 77 ) 将上式两边取转置取厄米复数，得 护+ c j t c 万：”矿+ g 万 ( 78 ) 由于是非零矢量，且g 为正定，矿+ g o ，利用j f = 一j ，比较( 7 7 ) 式【7 h ) 式 得 a = 一” 又由于d e t ( 。i c ) = d e t j d e t c o ，由7 5 得知a 0 。所以a 是纯虚数，( 。1 1 勺 本征值都是纯虚数。所以j c j c 有负实数本征值。可以在空间取j c j ( 的一 个实本征矢量访，其对应的本征值是一u 是实数) 。即有 j c j c 砂。= 一u 磊 ( 7 tj ) 让 j g 霸= u l 而( 7 1 】) 因为j c 是非退化的矩阵，u 1 0 ，所以有实矢量a 0 ，又因为j c 没有兵 本征值，所以妒1 七妒l ，则有 j c 西= 一u 1 霸( 7 ) 则由( 7l o ) 式和( 7 1 1 ) 式知五和西都是j g j g 的对应本征值是一u 的本 i | ( 矢：匠。 我们可以适当标度五，让下面的式子成立( 推导请看附录) 霸j a = 一1 ( 7 1 2 ) 鹾= 1 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 接下来取其余与磊和豇邦线性无关的矢量弓0 = 3 ，4 ，孰) ，再减去磊和西的 适当线性组合 毛f = 毛+ a j 妒l + b j 吊l ( 这个变换不改变空间的秩) ，使下面成立 g p t j 移l = 弓，。j a = 0 = 3 ，4 ，2 祀l ( 7 粥) 这是可以做到的。考虑方程 其中显然 所以( 7 1 4 ) 得 g j t j 砂l = ( 苟+ q 设+ b 癖) j e( 7 】4 ) = 苟j 厩+ q 霸l ，磊+ 诺j 讧 = 0 雠j 妒l = 0 弓j 再+ b j 商j e = 0 由( 7 1 2 ) ，只要令 p 襄一蛳 就可以使( 7 1 4 ) 成立。 同理可以类似地解出q ，考虑 弓，j 西= ( 弓+ 厩+ b 藏) j a = 弓j a 十q 设j a + 商j 西 = 弓，西+ n j 识j 西= 0 所以令 就可以了。 a j = 弓，a 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 这样弓，五，氟组成2 n 雒非退化的空间( 它们是线性无关的) 。而且 弓，) 徂 成的子空间与霸和万。都斜正交，即( 7 1 3 ) 式。 下面我们证明与厩、西都斜正交即满足( 7 1 3 ) 式的矢量俩，) 属于矩 阵j c 的不变子空间。 现在我们考虑羁j ( j c 弓，) 和最j ( j c 弓，) o 由公式( 7 1 0 ) e j j j c 巧i = 0 2 1 黾j 两= 0 犁j j c 万t = 一c 0 1 毛，3 西l = 0 因此我们有 霸，( j e 弓，) = 一前g 弓， = 一弓，。嘶 = 屯p jj c 每l = 0 类似地可以得到 错了( 了c 弓，) = 0 这样我们得到( j g ) 弓，分别与讧和a 都斜正交，即博， 组成j e 的不变子宅 间， 弓，) 也当然组成了j c j g 的不变子空间，那么在 弓，) 这个子空间里一定呵 以找到j g 。，e 的一个实本征矢量厩，对应的本征值是非零一u ；。当然u 翔l 一叮 以相等或者不相等( 即可以是简并的) j e j = 一遽厩 让 i ，c 磊= u 2 见( 7 1 5 ) 则有 t ，e 沈：一t 0 2 厩 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 同理疡七磊，我们可以再标度厩和范，使 旌蛹= 一1 霞厩= 1 这总是可能的。在子空间弓，找( 2 礼一2 ) 个线性独立的矢量厩，西， 弓，) ( j = 5 ，6 ，2 n ) 然后找出 e i h f = a | + 0 ：$ 2 七b i 荦2 ， 使 弓， 与厩和晚都斜正交 己j 季2 = 毛”门歌= 0 ， 而且 弓，) 组成的空间当然是j g 以及j g j g 的不变子空间。于是可以在 弓，) 组 成的子空间中解本征方程，由此可以求出新的本征矢量磊，从而得到西。如此 类似地下去，直到2 n 维空间全部分为正则对 西) 西) 0 = 1 ，2 ，”) 因为我们每一步都没有改变空间的秩，所以这2 n 个矢量线性独立，于是 令矩阵 = ( 乒- 诧风而厩厩) ( 7 1 ( ；) 其中再，西是列向量。则有 ( j c ) n = ( 一u 。五u 。厩一厩9 u z 仍 由( 7 1 6 ) ，以及由于 秀，访) 满秩，所以有逆，令其为 n 1 = 磊) ( 71 7 ) _氐舀曼讲磋；碗 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 其中西，谚为n 维行矢量，我们有 于是 n l j c n = 我们前面有 = j 瓜= 0 t ，露厩= 0 谚蟊= 0 ，谚厩= 砖t 0 0o 0u n t 0 0 0- - 0 一00 0 码t ，画= 一毋t ，秀j 磊= 咄 !jn f 7 1 叶1 ( 7 ，1 tj ) o 吨o 0 o o ； 0 ；o o 0 ； o o ；o o 0 o ；| |! | j o 。；o o 啦。 o 0 ；0 u o ； o o o o o o o o o 0 o o o o o o o o o o o o o 0 o o o 0 o 0 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 这样就有 郎 n 3 n = 藏 渡 霞 霸 雹 破 最 程 羁 雹 獗 了( 西西磊再五磊) j 渤珂。j 西。j 每：j 每f i 、 ；f ，、1 ：j 、一，0 n t3 n = 3 满足辛矩阵的定义，是一个辛矩阵。 由( 7 1 9 ) 式 得到 n 一1 = 一j n t j n 一1 j c n = j q 一】n t l3 c n = 1 n c n = 】戏 f 7 ，2 n ) 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 其中 n 2 c n = q ， ( 7 2 1 ) 这样对称矩阵c 僦被辛矩阵对角化成了q ，q 的矩阵元是实数。 q= u ，000 0 。0 00 。0 0 0 0 3 1 0 0u 2 0 000 ( 7 2 2 ) 至此我们寻找到了可以对角化对称矩阵c 的变换辛矩阵e ，即是这里的n 。 7 2 量子态的确定 经过了以上的探讨，已经实现了 矗= ( 矿矿) c ( ；) = ( 矿) q ( ；) 其中q 是( 7 2 2 ) 。所以 n 詹= 屿( 考+ 曾) ，( 屿 o ) ( 7 鲥) j = l 由于前面的变换保持了对易关系不变，协，m 】= i 蕊，因此仍然有 彰= 等，v z 彭= 面- 5 , 1 ( , 一 )v z ( 7 2 4 ) o ：o o 0 第七章2 n 维( 包括有简并情形) 的相关问题 将( 7 2 4 ) 式代入( 7 2 3 ) 式，会得到 膏= 屿句劬+ c o n s t 我们可以求解最低能级态即真空态i o ) 奶1 0 ) = 0 方法与第四章求态矢量的方法完全相同。进而也可以得到其孤子解。 附录一 在第七章里面我们曾经标度下式成立 下面是证明 蟛了西= 一l 羁场= 谚j 警 码 屿 取畸是正实数，我们可以令 例警) 1 归 这是可能的。因为c 是正定的，西是实矢量，所以码g 羁 0 再令 码= p j 访， 鹂= p j 羁 仍然有 j g 羁= 畸玛， 3 c 串3 = 一两i 附录一 这样就会有 成立。 谚峥刃j 警 = 神警 _ 鱼 回一畸 一 _奶一再岈盟畸 正砺 稍警乩 参考文献 【l 】h s s n y d e i ，q u a n t i z e ds p a c et i m e ，p h y s r e v 7 1 ( 1 9 4 7 ) 3 8 ，t h ee l e c t 磬 n e t i cf i e l di nq u a n t i z e ds p a c et i m e ，p h y s r e v 7 2 ( 1 9 4 7 ) 6 8 2 1a c o n n e s n o n c o m _ m u t a t i v eg e o m e t r y , a c a d e m i cp r e s s ，1 9 9 4 3 】g l a n d ) ，”a ni n t r o d u c t i o nt on o n c o m m u t a t i v es p a c ea n d t h e i rg e o m ( 1 t l j ， h e p t h 9 7 0 1 0 7 8 ；jv a r i u y , a ni n t r o d u c t i o nt on o n c o n n n u t a t i v eg e o n m t 3 、” p h y s i c s 9 7 0 9 0 4 5 f 4 1j m a d o r e ，”a ni n t r o d u c t i o n t o n o n - c o m m u t a t i v e d i f f e r e n t i a lg e o m e t l yi l l lc l i t sp h y s i c a la p p l i c a t i o n s ”c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s2 n de d i t i o n ；19 i 【5 jr bl a u g h l i n ，”t h eq u a n t u mh a l le f f e c t ”，e d i t db yr p r a n g ea n ds ，c i i i ， p 2 3 3 【6 】6m b ，g r e e n j h s c h w a r za n de w i t t e n ：s u p e m t r i n g ( c a m b r i d g eu l f i 、l l 。 s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e 1 9 8 4 ) 7 】n a t h m l ，s e i b e r ga n de d w a r d w r i t t e n ，“s t r i n gt h e o r ya n dn o n - c o m i n t l ta ii 、e g e o m e t r y ”，j h e p9 9 0 9 ( 1 9 9 9 ) 0 3 2 ，h e p - t h 9 9 0 8 1 4 2 ；v s c h o m e r u h “d b r a n e sa n dd e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o n ”，j h e p9 9 0 6 ( 1 9 9 9 ) 0 3 0 【8 】j p h u ，s c z h a n g ，“c o l l e c t i v ee x c i t a t i o n sa tt h eb o u n d a r yo fa 4 dq u n l d1 1 l l h a l ld r o p l e t ”，c o n d - m a t 0 1 1 2 4 3 2 【9 】y x c h e n ，b y h o ua n d