（计算数学专业论文）四阶波动方程和海水入侵问题的有限体积元方法.pdf

四阶波动方程和海水人侵的有限体积元方法 摘要 本文进行了如下两部分的工作 第一章研究了四阶波动方程的全离散有限体积元法对方程的时间项，我们 采用中心差分的方法离散，对空间项采用有限体积元方法进行离散文中对误差 给收敛性和稳定性给出了分析，同时给出了一些数值结果 第二章研究了海水入侵问题的迎风有限体积元方法对于海水入侵问题的浓 度方程，本文用迎风方法处理，构造了求解海水问题的迎风有限体积元方法并 给出了误差的日i 范数的最优阶估计 关键词：四阶波动方程。有限体积元方法，试探函数空间，检验函数空间， 海水入侵问题，误差估计，迎风方法 f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d sf o rh i g h - o r d e rw a v e e q u a t i o n sa n ds e a w a t e ri n t r u s i o np r o b l e m a b s t r a c t t h ec o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o n8 x ed i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s c h a p t e ro n es t u d i e daf 讪l y - d i s c r e t ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d sf o rh i g h o r d e rw b ee q u a t i o n s f o rt h et i m et e r m w e1 1 s ec e n t r a ld i f f e r e n c em e t h o d st o d i s c r e t e ；f o rt h es p a c et e r m w e1 l f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d st od i s c r e t e i nt h cp a p e x t h e , c x i e t c n c ca n dt h ec o n v c x g c n c eo ft h ef i f l l y - d l s c r c t e , s c h c m ca r c p r o v e d s o m en m n e r i c a lr e s l l i 协f t l - ea l p r e s e n t e d c h a p t f ! rt w o 计u d i e du p - w i n df i n i t ev o h t m ee l e m e n tm e t h o df o rt h es e 目脚 t 目i n t m m i o np r o b l e m t h e a w a t e ri n t n m i o np r o b l e mi sm o d e l e da sc o u p l e dt w o p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，o fw h i c ho n e 妇8f l o we q l l a t i o f o rt h ep r e s s u r e ，t h eo t h e ro n eac o n v e c t i o n - d i f f i l 面o ne q l m t i o nf o rt h ed e n s i 竹i nt h i sp a p e r t w es e tu paf i n i t ev o l u m ed e m e n tm e t h o dt oa p p r o x i m a t et h es e a w a t e ri n t r u s i o n m o d e l t ot h ec o n v e c t i o ni t e m w et z e 8 tw i t hu p - w i n dm 晚h o d h 1f l o r i ne r r o r e s t i m a t e sa r eg o t k e yw o r d s ：f o r t ho r d e rw a v ee q u a t i o n ，f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ， t r i a lf u n c t i o ns p a c e ，t e s tf u n c t i o ns p a c e ，s e a w a t e ri n t r u s i o np r o b l e m ， c o n v e r g e n c e ，u p - w i n dm e t h o d s 2 引言 在关于非线性弹性杆中描述纵波振动的非线性波动问题的研究中，文献f 1 - 4 1 提出了主部为“。一“。一“。的一类四阶非线性波动方程，并对此类方程的孤 立子解及孤波对于固体结构可能发生的破坏方式作了研究；文献f 5 8 1 研究了 此类方程的初值问题，初边值问题的适定性以及孤波解；考虑到实际问题中的粘 性耗散，文献【9 】9 提出了主部为1 t 一 u z a 。一n 。一u 。的一类四阶拟线性耗散， 色散波动方程，并讨论了在单纯色散，单纯耗散效应下，软硬两种非线性材料的 应变孤波但据笔者查阅，对于此类非线性发展方程的数值解法却很少有文献研 究 有限体积元方法( f v e m ) 作为微分方程求解的新技术日益受到重视有限 体积元方法通常采用数值积分公式及差商近似的方法离散积分守恒方程由于其 具有非常好的质量守恒性，其在计算流体力学领域得到了广泛的应用有限体积 元方法相当于李荣华教授提出的广义差分方法的特殊情形，即取试探函数为线性 或者双线性有限元空间，检验函数空间为分片常数空间有限体积元方法与有限 差分方法和有限元方法相比，既有有限差分方法的计算的简单性，又有有限元方 法的计算精度从而可以在保证计算的精度的情况下，有效的减少了计算量本 文对四阶色散耗散波动方程采用全离散有限体积元方法求解通过数值箅例并与 文【l7 】结果比较可以看出，有限体积元方法和有限差分方法相比有着更高的精 度确实是一种求解此类波动方程的有效的数值方法 本文的第二部分研究了海水入侵的迎风有限体积元方法在滨海和海岛地 区，由于地下水的超量开采，以及持续性的气候干旱或海平面上升等自然因素而 引起的海水入侵正成为沿海地区特别是滨海平原区普遍面临的重大地质灾害，近 年来，在世界上许多国家如美国、荷兰，以色列和我国许多地区都有发生海水 入侵造成滨海工业区供水水源水质咸化，大量机井报废，地下设备锈蚀严重；此 外，海水入侵还会导致土壤的盐演化自2 0 世纪7 0 年代以来，国内外对海水入 侵进行了大量的研究并取得了很大进展，海水入侵数学模型的研究是其中的重 要方面之一嘲一碉研究海水入侵数学模型可以确定海水入侵含水层的范围和 变化规律，定量了解成，淡水之间的相互作用和运动机制，为海水入侵的监测预 报，综合治理和滨海区水资源的合理开发利用提供科学依据海水入侵数学模型 一般是一类非线性偏微分方程组的初边值问题，一个是关于压力的流动方程，另 个是关于含盐浓度的对流扩散方程，目前对其数值方法的研究已有一些重要工 作口“3 x 1 对流扩散方程的沿特征线离散方法( m m o c ) 于1 9 8 2 年由d o u g l a s 提出阻一删，此方法关于时间的截断误差比传统的差分方法要小得多，分子扩散 实际上是沿着特征线方向的，用特征线方法处理浓度方程的一阶双曲部分将具有 很高的精度因而，在不损失精度的条件下，可采用时间大步长计算；另外，用 此方法可避免数值弥散和非物理的数值振荡现象文献【2 9 3 0 】分别研究了海 水入侵数值模拟的特征有限元方法和交替方向特征有限元方法，文献【3 1 1 研究 了特征差分法；文献f 3 2 1 研究了海水入侵问题的有限体积元方法，对于海水入 侵问题的浓度方程，采用特征线方法处理，得到了误差的1 模的最优阶估计 者受以上诸多研究成果的启发，考虑模型的二维问题对于浓度方程，采用迎风 方法处理，构造出求解海水入侵问题的迎风有限体积元方法，并对误差进行了估 计，得到了误差的h l 模的最优阶估计 2 第一章四阶波动方程的有限体积元方法 本文研究下述初边值问题 塑一生一丽a3u一丽04ucgt,2c 9 2 2c g z z = m ；) ，( z ，) q ra z 2 疣疣2 “。”7 u ( z ，o ) = t o ( z ) ，豢( z ，o ) = u t ( z ) ， z 刚， t ( o ，) = ( 1 ，) = 0 【0 ，司： ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) ( 1 0 3 ) 其中，q t = j ( 0 ，习= ( 0 ，1 ) ( 0 ，卵，( z 幻，u o ( x ) ，u l ( z ) 是给定的函数为便 于理论分析，假定问题( 1 0 1 卜( 1 0 3 ) 的解充分光滑，且函数( s ) 满足l i p s c h i t z 条件即； y ( s 1 ) 一，( s 2 ) i c i8 1 一乱i ，c 0 第一节给出了一些预备知识，第二节构造了全离散的有限体积元格式，并引 进了几个引理，第三节作了误差估计，第四节给出了数值算例本文的g 一般 均表示正常数，不同的地方有不同的值 1 1 预备知识 对，= 【0 ，l 】作剖分，节点为： 0 = 勒 z i 善j = 1 单元五的长度为屯2 甄一矗1 ，记h2 1 m s j a s x j h ，t ，并设剖分满足正则性条件 而肿0 = 1 ，2 ，) ，p 为正常数 再作对偶剖分耳，节点为 0 = z o z j z 墨 z j j z j = l 对偶单元石= i z 。，z j ，c = k 。一 ，z 。一扣，“= l ，2 ，j - 1 ) ，巧= 陋j 一 ，z j 】 其中，毛一毒= ( 毛一l + ) ，1 i z 。 3 用z ；而，0 = 0 ，1 ，2 ，：刀和t = p = m ，= 0 ，1 ，2 ，) 划分区域 0 t ，其中，r = 正n 是正整数记嵋= n ( q ，t “) ，矿= 嵋) 凡表示第n 时间层上的网格函数 取试探函数空间巩c 础( ，) 为相应剖分a 的一次有限元空间，其基函数 为 奶( z ) e j ：- 。i 检验函数空间cl 2 ( ，) 取为相应于剖分霸的分片常数函数空 间，基函数为 竹( z ) l 鲁 对“础( ，) ，定义两个插值算子z ：肼一巩，：础一玩，分别满 足： j - 1j - 1 h h u = u ( 巧) 九( z ) ，知= u ( 码) ) j 2 lj 。1 我们用”表示，上的m 阶s o b o l m , 空间，( ，) 表示h o = l 2 内积， | i 0 。表示“范数，i l - i i o = 1 i m 1 2 全离散有限体积元格式 u n ： i 。，俨+ ：；( 矿+ t 严+ 1 ) ， 抗。” v + 1 - v 俨矗= ；( ，件1 + 2 ，+ t i n - - 1 ) = ；o ，件女+ 矿一 ) ， ：二。笔等专二警掣， 岛。俨：! 兰珲竺：鱼芝生垒! ：! ： ) + n ( a 嵋，v n ) + ( 九u 2 ，) = ( 广j ：讥) ，v t j ，( 1 2 1 ) z 【0 ，l 】，( 1 2 2 ) 【0 1 】 ( 1 2 3 ) 其中，( u h ，巩) ：“彗( q ) 。( u h , ；o j ) j “ 4 砖巩 州叫 小= = 篇一 一 面a ( u h ，仍) 按照下式计算， d ( t h ，n ) = 君 6 忙一一1 1 2 ) 一6 p 一而+ l 2 ) 】出 = t ( 巧一l 2 ) 一“l ( + 1 2 ) = ( q 一嘶一1 ) ，一( 码+ l 一嘶) 毛+ l “u 和u 1 矿分别是蛳和“i 的某种近似，最通常的方法是分别取 u 岫和t l 为蛳和t l 在巩中的插值投影，或将( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 分别用下面 的初始条件代替； ( f | ( ，o ) ，1 撬) = 讪v v h 坛 i ( i t h ( ，o ) ，i j h ) = ( 札) 下面引入几个定义和引理： 定义3 1 定义巩上的离散范数： i iu 。= l | i t ：u h 轧= ( 芝( n 。( 巧) ) z 幻) - 2 ， 尸( 萎掣) m ， 3 = i 7 0 慨忆 = ( i iu h 昭j i + lu h ) 1 2 ， 川i l h 怖= ( “ ，r i z , t h ) ， 引理3 1 在魄上，1 i - h 与l h 一致；0 i i o ， 和0 j i o 及8 i i l ，j i 和i | i i l 等价，即存在与无关的正常数q ，a ，使得 q l i l i b l i o ， s f l i i h i l 0 5 g | iu h i i o h v u h 玩 g i f 蛳忆d 0 “ 8 l a i l l i h i h , hv u h 以 引理3 2 对于v ，_ 巩，存在正常数c 使得 in ( 蛳，：- ) 一“( 砺，u h ) s u hi lu h 孤i i l 引理3 2 存在正常数# t o ，n ，c ，使得当0 h k 时，有 a ( u h ，i i ：u n ) 2 n l i 地| i j 】 魄 1a ( u h ，：锄) i gi l 撕l _ 0 l ，v u h ，k h 魄 ( 以上引理的证明见【9 | 第3 章，第5 章，这里不再证明) 5 1 3 误差估计 先定义椭圆投影算子r ： r 2 ( ，) n 硪( i z ) 一巩，对任意u h 2 ( ，) n 砩( i 2 ) ，r 巩由下面的广义差分方程确定： 为 由 9 1 知， - ( p h ： o h ) = 口( “，t 仉) ，v ( 1 3 1 ) 0 “一r u l l l c h0 t 肚( 1 3 2 ) 设t ，u h 分别是分别为问题的精确解和近似解，记 u i t h = ( u p h u ) + ( p h u 一 u h ) = p + b 由( 1 3 2 ) 可得p 的估计式 0p l h = l f 一屁u 队c h l iu | f 2 c h ( 1 l 咖肚+ i oi i “t i i ：出) ， i p u i l o = l iu “一f k “i i o c h 2 | u “1 1 2 ， ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 注意到口( u r u ，i h ) = 0 ，则由方程( 1 1 ) 和( 3 1 ) 可得关于e 的误差方程 ( 九矿，住) + o ( 矿一，v h ) + d ( a 矿，t 氇) + n ( 巩矿，v h ) = ( t “2 一如矿，地) + ( 露，咖) + n ( 嚏，) ( 1 3 5 ) 其中，余项r r ：a 扩一贯， 和垲：如矿一露 满足如下的估计式c a 1 2 1 ) 旧l l o ： 卵厂叶1 j k 一1 i f 吁i i ；- - - 卵钆1 j t n 一1 i i 圳i g r 3 广“ 。分_ 1 伊“ 彬 伊 侥3 i ；，4 “ a p 出 出 出 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 特别取= 啦a e “：则 ( 如矿，；a e “) + ( 沙 ，：a 矿) + “( a 矿，n i 址- ) + ( 如e 忭，磁。t 矿) = 一如矿，：a e 4 ) + o ( 叶，：a 矿) + n ( 曙，磁a 矿)( 1 3 9 ) 以下分别计算上式各项 左端第一项 ( 如矿，i 】：缉c n ) = 去( ( 矿”一2 c “+ 矿“) r - 1 ，n i ( c 忭“一c n “) r 一1 ) = 去( 侥c n + i 一侥c ”一 ，i e ( a c n + 4 c n 一 ) ) = 去【限e ”，秘e “ ) 一( b 矿一l ，飘e 一 ) 】 = 击洲瓠一钏曙一川a t e ”钏胁 左端第二项 口 ，磁a t e 4 ) = 再1 叭c i t + 。1 + e n 一：i ( 矿+ 一矿一 ) ) = 砉 d ( 矿+ ；，r l t , e + ) 一口( e 一；，i e 一 ) 】 一去 n ( ，” i e 一) 一n ( 矿一，：一) 】 由引理3 2 及有限元的逆估计得。 去in ( 矿”，n ：矿。j ) 一n ( e 一，磁矿 ) 1 = 去ln ( e ”j 一矿一j ：i i t 。e 一 ) 一口( 矿一：z ( e ”j 一矿一) ) = ji 口( a i 矿，n 盂e t - j ) 一口( 矿卜墨，互a 矿一) i g i | e ”一 1 1 1 i i a e n i i o c ( 1 le ”i i 十i ia e n + j1 1 3 + i ia e n l | | 若) 左端第四项 n ( 如g n ，n i a 矿) = 砉( 瑰，“i a e ”一 ，i ( a e n + j + a 矿一 ) ) = 去陋( a 矿+ ，i a e ” ) 一n ( 4 矿一 ，i a 矿一) 】 一去【d ( a 矿吾，盂a 矿吾) 一口( a 矿吾，五a e ，卜吾) 】 7 由引理3 2 及有限元的逆估计得 嘉口( 魂一圭，r l ；, a c e “+ ；) 一口( a 8 外；：岛矿一 ) j = 去ia ( o t e “一，m h ( a , e + 一a e “一；) ) 一a ( a , e q 一岛e 一：磊e ，一 ) = o ( a 矿一j ，哦如e 8 ) 一n ( 如矿：1 v , e t e 一；) l e l | a e 7 ”ji | 。i i 瓯e n i i 。 0 ( 1 1 穗c 4 一| i + 魏c 计l 培+ j j 磷c n 一言j 培) 右端第一项 j ( 四一磊c 矿，n l a , e - ) i j j 呀惦+ j j 岛c 矿船十 | 五a 矿惦+ f fr q a , e n j 船， 右端第二项 右端第三项 i in ( r ：n t , 磊e 4 ) i c0 叩f 聪a 矿| | - c ( 1 lr 旧+ i i i l i a , e + i j + i ir l i o , e - 幡) | f ( 嚏r t i o , e ) i g0 嵋l l l n ：a 矿l l - c ( 1 lr ；ii i + 0n i a e ”li i + i ii l l & e - ji i ) 于是由( 1 3 9 ) ，并注意到8 ( 岛e “，r t ；a , 0 得， 去i = j 矿+ 3 一l i i 磊一一ii | i 司 + 去【n ( e ”j ：尹) 一n ( 矿一j ，r i l e 4 一 ) j + 去 n ( a f 呻l ：h 矗a e 冲 ) 一( a e f 卜专，r t i o , e - 一女) 】 c ( i i 矿卜专| i ： + 0a e 8 一孟i i j + 8a e “一li i i j + 0a e 叶量| l ； + 0n ：伉e t ”j 艏+ 0n ；a 矿+ 船+ i i i a e ，一 i i + 0r i ；o , e - + l 腑+ 0 芹船+ i i 圬幅+ i i 哼孵+ i i 如矿略) 两边乘以打，关于n = 1 ，2 ，：n 一1 相加，得 i ia l e x 一 i i i j + 口( e 一 ，i i i , e m 一 ) + a ( a t e 一专，盂a e 一i ) i ia t e ；+ n ( e i i t , e ) + ( a e ，：a e j ) + c _ r m - 1 【i ie n 一言i i + l | a 矿一i i + i ia e n 一 幅+ i ia 矿+ j1 1 3( 1 3 1 0 ) + i i ：a e “ 略+ 0i i l , o , 矿+ i i j + l l i a 矿一 i i ! + i i z a 矿i 吉旧4 - 0r 艏+ i | r n 幅+ i ir ；j i ；+ i i 九p n 旧】 注意到( 1 3 6 ) - ( i 3 8 ) 和 o ( 矿一 ，i i j ：e n 一 ) 0 ti ie ，一 i i i ， ( a 矿一，：a 矿一 ) 口i ia 矿一艏 n - i i i 钆矿幅 ：专篁i ir 1f t 触( 。) d s 出惦 t = 1，kj 卜r ；写e 1 ：出 ；上抑惦出 罕上1u “i l l d t 由川u m 和i i t 0 i h 和j i n ：u c f z z ) 等价性，川缸i i i - = i i i i u i i i o ， 因此( i 3 ，1 0 ) 可以化为； i ic 铀；4 - i i 魂c 一钏； c i t 一考脏+ oa ，i 陪+ 一ro 蚍i 悟出+ 一z ri i “敝o ：疵 + 吖i iu n 岫+ 下剐e n - 5 肌“枷) ， 最后由g a o n w a , l l 不等式则得 0c 一钏i + 0 执一轴 c l le 5i 曙+ a 量| | i + r 4 j u 1o ”mo ：虎 + r 4 f “。o ；出+ 1 1 4 th 饥。f f ；出， 与( 1 3 3 ) 结合，即得全离散方法的误差估计， 定理1 ：设t 和u z 分男是方程精确解和近似解，则有误差估计： i i “( 沁| ) 一谤峙i i i c l l ( p h u 一“) i i + i ia ( p u t ) i i i + 1 - 4 i it mi i i 出 ( 1 _ 3 1 1 ) + 一知n 洲出+ 铲钏训；+ 巾”。赫+ f o r i iu 洲；蝴 注 在( 1 , 3 1 1 ) 式右端项中， ( r u t h ) i ， = ( p 一u 2 ) + ( r u l 一畦) = ；( r 一t 蛳) + r ( “1 一“o ) + h ( 一以) = 女以一呦 ) - i - j r ( u 1 一u 0 ) r + i , r r m u 1 一) 一 第一和第三项的精度由初始近似u 哺：钍i 的取法决定，第二项由t 的光滑 1 0 t 1 4 数值结果 我们取精确解t = 唧( 一t l l o ) s i n7 r x 和t = c o s ( t l o ) s i n 丌z 进行数值实验 的结果与文【1 7 中的计算结果比较情况分别见表1 和表2 ，其中e = u 一1 ，其 中，u 是数值解，u 是真解7 = ) ，乍= ( o 1 z ，o 1 2 ) ， 表1t = l 时，t = 唧( 一t 1 0 ) 咖7 r z 时的文【l7 】和本文计算结果的比较 如下 一y l i , ，1 1 ：1 1 7 1 f 。 1 1 , 0 1 1 。【卅i 。 1 n 1 6 0 0 5 0 - 36 7 5 7 0 e - 0 0 42 3 9 0 7 0 - 30 5 5 5 9 0 - 0 0 4 一y l 4 2 0 2 9 e _ 4 1 5 1 4 3 e - 0 0 45 9 4 3 7 e 42 1 4 1 6 e - 0 0 4 饱 1 0 3 0 5 e - 4 2 7 2 2 3 e - 0 0 51 4 5 7 3 e h 4 3 8 4 9 9 e - 0 0 5 加 2 4 6 1 7 e - 5 1 2 4 3 2 e - 0 0 63 4 8 1 3 e - 5 1 7 5 8 2 e - 0 0 6 表2t = l 时，u = c o s ( t l o ) 面n m 时的文l i t 和本文计算结果的比较 ，y l l e l l 2 1 t i l e l l ：i l e l l 。【1 7 ji 。 7 0 19 9 4 5 e - 38 3 1 4 7 枷0 42 8 1 7 8 e - 30 0 0 1 2 一r l 5 0 3 4 6 e - 41 7 4 8 6 e - 0 0 47 1 1 6 5 “2 4 7 2 9 e - 0 0 4 7 2 1 2 8 5 5 p 42 9 1 0 6 0 - 0 0 51 8 1 7 6 0 - 44 1 1 6 l o - 0 0 5 讹 3 3 4 8 2 e - 51 6 8 8 4 e - 0 0 74 7 3 4 6 e - 52 3 8 8 7 e - 0 0 7 = 1 ，“= e 。c p ( 一t l o ) s i n | ：时，不同的时间和空间步长计算结果的图像 图1 1t = 1 时，h = 0 1 ，r = 0 1 时真解和数值解的的波形 图1 2t = 1 时，h = o 1 r = 0 1 时误差的的波形 图1 3t = 1 时，h = 0 0 2 5 ，r = o 0 2 5 时真解和数值解的的波形 图1 1 4t = l 时h ；0 0 2 5 ，r = 0 0 2 5 时误差的的波形 1 3 t = ：( t z o ) s i n 埘时，不同的时间和空间步长计算结果的图像如下 图1 5t = l 时，h = 0 1 ，f = 0 1 时真解和数值解的波形 图1 6t = 1 时， = 0 1 ，f = o 1 时误差的的波形 1 4 图1 7t = 1 时，h = o 0 2 5 ，r = o 0 2 5 时真解和数值解的波形 图1 8t = 1 时h = 0 0 2 5 ，r = o 0 2 5 时误差的的波形 第二章海水人侵问题的迎风有限体积元方法 2 1 引言 海水入侵是沿海地区社会经济发展，引起自然水资源条件改变而导致的海水 向沿海地区储水层的侵入，其作为重大的资源和环境问题日益受到重视海水入 侵是- - + 可混液体间的水动力弥散问题海岸带含水层的海水和淡水是完全可溶 解的，形成多孔介质中的单项渗流，根据达西定律，对各项同性介质，流涕渗流 速度为 p = 一- ( v p + p y v d ) ， ( 2 1 1 ) p 其中p 为压力，p 为密度，g 为重力加速度，d 为含水层高度，p 为流体 的粘度，k 为渗透率 海水入侵问题的数值模拟最早由文【2 6 ，2 8 】建立，其简化数学模型 3 0 - 3 l 】为 只百o h v ( 。v h ) = 吼z 2 ，t z ( 2 1 2 ) u = - a ( c ) v h ，z q ， ( 2 1 3 ) 妒瓦c 9 c + u v c - v ( 妒d v c ) + 妒只r 箸= q ( ，一c ) ，z n t ， ( 2 1 4 】 其中q 为三维有界区域，j = ( o 卅为时间区间，= 生为参考水头， 系数口= 号篆导，妒= 妒( z ) 为孔隙度，只= q p o g 为储水率，伽为淡水密度， q ( x ，t ) 为单位流速，c ( 。，t ) 为已知浓度函数，假设 0 “d ( c ) sa 。，0 似s 妒妒，0 0 ( 2 1 5 ) 其中，口，d ，吼，矿，n ，d 。，及翱为正数本文仅考虑分子扩散情况，即d = 如j 方程( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 分别为压力方程和浓度方程，满足初始条件 c ( z ，0 ) = q ，( z ) 日( z ，0 ) = 凰( z ) ，z n ， ( 2 1 6 ) 和边界条件 v h 了= 0 ，d v c 彳= 0 ，z 锄，t 以( 2 1 7 ) 其中，彳为边界a q 的单位外法向量 文 3 0 1 用特征有限元方法，研究了三维区域q 上方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 7 1 的数值 逼近，得到皿模最优估计由于时间步长和空间步长之间的约束，文【3 0 j 的估计 对二次或更高次元才有效，面不适用于一次有限元或者一次有限体积元文【3 3 】 研究了海水入侵的有限体积元方法，采用特征线方法处理浓度方程( 2 1 4 ) 的对 流项本文采将相关量取竖直方向平均值，把三维区域数学模型转化成二维模型 3 2 】；用迎风有限体积元方法处理浓度方程( 2 1 4 ) 的对流项，建立问题的一次迎 风有限体积元格式，得到日1 模最优估计 下文总假设n 为二维区域，而且文中函数具有适当的光滑性假定( 2 1 1 1 ( 2 1 7 ) 的解存在唯一肘和为一般常数，在不同处有不同的含义 2 2海水人侵的问题的迎风有限体积元格式 设n 是多边形区域，边界a q 为简单闭折线正则三角剖分( 见【1 8 】) 死将 n 分成有限元k 的集合记h 为最大三角形单元直径面为三角形网格节点 的集合，其中内节点集合为u ，边界节点集合为，y ，即 u = 口n n ， ，y = 口u 文中s o b o l e v 空间及其模采用文【37 】的定义和记号，这里不再详述 定义对偶剖分露：三角形单元k 死的外心记为g ，在的边i i 取中点 z 玎，用线段连接g 和z 巧对三角形单元顶点磊，：其邻节点的记为( i ) ，围 绕五的多边形称为关于点五的对偶单元，记为k 表示两个相邻单元的公 共边，即= k n k j 1 1 ( 0 1 7 对应剖分死引入分片线性函数空间 以= 扣( n ) ： j 为线性函甄k t h ) 对偶剖分靠相应的函数空间由k 上的特征函数x 张成，即 坛= 扣l 2 ( n ) ：uj m 为常数，k 7 警 设 也) ：。目为巩的基，w ) 表示定义在节点集面上的网格函数的集合 定义插值投影， ：w ( _ ) 一玩，露：w ( u ) 一k 如下： 厶吨( z ) = “( 丑) 血( 。) ， 珊扛) ；v h i z , ) x ( z ) i2 每 文中离散s o b o l e v 空间和离散模的定义和记号，一阶离散模与连续模的等价性关 系参考文献【2 0 类似于文 2 0 1 可以证明下面的引理 引理1 设函数5 ( 。，“) 有一阶连续偏导数。则当h 充分小时，对任意的 ：巩， 。 j ( s ( z ，。) ”，矗叫) sm i i v l i i l ”l l ， i ( s ( z ，v ) v v ，v 艋) i m l l v l h l l w l l l 引理2 设函数8 ( z ，“) s o 有一阶连续偏导数，则h 当充分小时，对任意 的口巩， i ( s c z ，”) ”，霸”) i 尝i ：，i ( s ( 而v ) v v ，v 露”) i 尝m i 1 苍 引理3 设函数s ( z 有一阶连续偏导数，q 为正常数，方程 v ( s ( z ，v ) v v ) + 彻= 0 ，z 2 ， 娑：0 ，z a q 有唯解 ( o ) 设其一次有限体积元遥近方程，( s ( x ，v h ) v v h ，v w h ) + a ( v h t j h ) = 0 ， t o h k 有唯解珊巩则当h 充分小时，有下面的估计 一珊ms m h 1 v 1 2 记h = m a x ( b ，h e ) ，h 。分别为压力水头和浓度网格的最大直径，巩，巩。分 别为日，c 分片线性函数逼近空间，且满足初始条件( 2 1 6 ) 其对偶空间分别记 为，魄 平分区间( 0 ，t ) ：0 1 - t = t ，a t = t i + 1 一p ，f = 0 ，1 ，- 一，n 一1 则海水入侵问题的全离散迎风有限体积元逼近程序为： 限兰堡! j = 川+ ( n ( 四_ 1 ) v 田，v ”) = ( 矿m ，v e ( 2 2 1 ) t ：一1 = 一n ( c 譬一1 ) v 刀嚣一1 ， ( 2 2 2 ) 、，c h - - c + h ，w ) + h ( u = 一1 ；四， ) + ( 妒d v 四，v 伽) + ( 妒s 四一- 圭鲨- = 天笋= ，埘) 、， 。+，) + h ( u 罟一1 ；c 嚣，删) + ( 妒d v c 嚣，v 伽) + ( 妒s c ：一1 1 蔓二；垡一，埘) = ( f 7 ，i ( ，“一f 瑶一1 ) ”) ， l ，k ( 2 2 3 ) 其中， 掣) v h ，v 垆互，如) 如) n ( ) 罟d s ， ( 2 2 4 ) 甄e 。 a q 一 ( 妒d v c ，v 叫) = 薹，础。) 飙如) 佃凼 ( 2 2 5 ) “6 。a 嚷 一 b h ( u ：- 1 ；c ， ) = ) 街c k ) 一麽c ( 墨) 一c - w d i v u 奢 1 d x ( 2 2 6 ) $ t u z “) 矗 黠= m “( 风，o ) ，屈i = m 缸( 一风；0 ) 风= 畎凼其中，是把看成a k ，。的边界时的单位外法线 这样确定解序列：由( 2 2 1 ) 解得卿，同时从( 2 2 2 ) 解得嵋，再由( 2 2 3 ) 得簖 、 2 3 收敛性分析 我们将要利用如下的椭圆投影设霄：，一，0 ：j 一，分别满足 ( ( c w c h 一蜀，v v ) + a ( 日一百：口) = 0 ，w ，t j ( 2 3 1 ) d v ( c 一0 ) ，v u ) + 0 ( c 一矛，u ) = 0 ，u r ，t ， 硼= 荐( o ) ，穰= 0 ( o ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 其中a ，0 为正常数，使得( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 两式左端椭圆箅子正定 令q = 盯一万，7 r = 万一h ， = c 一0 ，e = d c k 由引理3 可以证明 攀葛篙旧拶o h , t e 眨s 寓罐麓裟鬻”川t ，f 纠 首先考察压力方程( 2 , 1 2 ) 0 = 护) ，将其两端与试探函数口= i t , d t 矿做驴内 积并与( 2 2 1 ) 相减，应用椭圆投影( 2 3 1 ) ，整理后得 hr ，n ( 只喀矿，最五w 山) + ( d ( c 譬一1 ) v 丌，v 呓也7 严) = ( 只【西e p 一：菇_ 】，辰画7 r ”) ( 【n ( g 一1 ) 一n ( ，) 】v 膏，v 瑶五”“) 一( 只也矿，贬也7 r “) - i - a ( 矿瑶也”4 ) ( 2 3 5 ) 其中也矿= ( 矿一矿) a t 应用关系式 ，一 也( n ( q ：一1 ) v 4 ，v 瑶 r “) = 2 0 ( 嚅- 1 ) v ”8 ，v 瑶i c r “) + 去( 陋( 簖一1 ) 一( 簖一2 ) 】v ，r 1 ，v 坛丌，”1 ) 一( ( 叼一1 ) v 五矿，v 坛也”) ( 2 3 5 ) 式化为 ( 只画矿，e 五丌n ) + 去也( 口( c ：一1 ) v 矿，v 最丌”) = ( 【( ( 置_ 1 ) 一n ( 矿) 】v 霄n ，v s p , d , _ - ) 一( 只也矿，坛以 r ”) + ( s , i d 。驴一等1 ，；d 。矿) + 去( 陋( 赁一1 ) 一a ( 罐一2 ) 1 v 矿一，v 瑶矿1 ) + a ( 祀最d i 矿) 一去( 口( c 矿1 ) v 凶矿，v 露d 矿) t ( 2 3 6 ) 2 0 为了下面的分析，做归纳假设 m l p | f v 丌n i i o 尬，m n( 2 3 7 ) o _ n m - 1 由引理2 知( 2 3 6 ) 的最后一项满足 言( o ( c 譬- 1 ) v 也矿，v 最反矿) 0 将( 2 3 6 ) 两边同乘以a t 并关于n 求和，n = 1 ，2 ，m 应用引理l 和 ( 2 3 4 ) ，并注意到( 2 3 3 ) 可得到7 1 o = 0 我们有 害妻。也矿i i 。a + ；( ( 四一t ) v 矿，v 最一) 。 1 m 4 m v 矿- 1 l | 2 + | | ，。o + e + 燧+ ( ) 2 ，( 2 3 8 ) 。 托i l a , c 2 a t + ( 【n ( 簖一一矿) 】v 咖，v q 磊e ) a t t = lr 高1 其中最后一项有估计 ( 【o ( c 嚣一1 ) 一a ( ，) j v 霄“，v 最d t 丌n ) ”l m 彳 e 【i i v - 4 1 1 1 2 + i i c n - ! i i2 】a t 十l l e ”| 1 2 + 圮+ ( t j 2 ， ( 2 3 9 ) 描l m ， 枉j i 磊p i l 2 a t + s l i v 丌m 0 2 nl 应用不等式( 见【3 7 1 ) 0 矿8 2sf ij 画矿0 2 a t + m 妒“| 1 2 a t( 2 3 1 0 ) ，=l，=l 和估计( 2 3 9 ) ，我们化( 2 3 8 ) 为 鲁曼1 | 五月刈z a t + 百1 ( 。( c t h 一- ) v 。m ，v 最，m ) s 。，仁l 。 ， 一l m m 【i i w 1 1 2 + i i c 1 1 2 a t + ；+ h ：+ ( ) 2 + e i l a , c 1 1 2 a t n=l，=1 由上式并利用( 2 3 1 0 ) 式可得 慨矿1 1 2 h - 6 略 觜! l。( 2 3 1 1 ) m 1 1 1 ，r 1 1 j + 1 1 ( ”1 1 2 】t + 酵+ h ：+ ( t ) 2 + s l l 盔( ，1 0 t 其次考虑浓度方程( 2 1 4 ) ，将其两端与试探函数w 玩傲f 内积，并与 ( 2 2 3 ) 相减，应用椭圆投影( 2 3 2 ) 得 ( p 天一，) + ( p d v p ，v 删) + b h ( u 罟一1 ；，叫) 吡1 c a _ c 广n - t 一妒筹川叱与乒川十6 h ( u 。n - - 矗小( 矿础删 嘶只f 四一l 型x t一矿筹】，埘) + o ( c ，卅( 矿( 四卅，叫) ( 2 3 1 2 ) 进一步整理( 2 3 1 2 ) 后= - t w ： ( 妒三x 一，”) 十( , , o d v c ，v 彬) + h ( u 三一1 ；( ， ) 吡1 c a _ r c n - 1 一妒筹，旷( 妒与乒，小k ( 雌如)= 【妒荟：i 一一_ 妒西f ，叫j 一( 妒二_ j j ：；一，埘j + h 【1 喵；u ，叫) + ( ( 一矿矽，卅( 妒鼠防。1 掣一矿等咖) 一( u ：一1 v ，) + o ( c ，埘) + ( 矿( 四一1 一，) ， ) 上式取 = 最也r ，并应用关系式： 鼬h ( u n _ l ；p ，最r ) = 2 h ( u ：_ 1 ；，露也p ) 一h ( u n - 1 ；磊p ，露五p ) 五( 妒d v r ，v 瑶p ) = 2 ( 妒d v p ，v 圪也p ) 一( 妒d v 盔r ，v e 盔r ) 有 ( 妒j 乒：嵋也( “) + ；吨( 妒，) v r v 瑶( - ) + 三2 正k f l l 7 1 r ，嵋，) 吡与乒一妒筹m 吨与乒m n 州斌似“) + ( ( 一师嘲