（计算数学专业论文）sylow子群均循环的群局部传递图.pdf

中国民航大学硕士学位论文 中文摘要 本文所指的图是有限的、单的、无向的且无孤立点如果群g 作用在v ( r ) 上，且 这个作用也诱导出e ( r ) 上的作用，则称群g 作用在图r 上特别，当g 是y ( r ) 上的一个 置换群时，称g 是r 的一个自同构群a u t ( r ) 表示r 的全自同构群，gsa u t ( r ) 表示g 是 a u t ( r ) 的子群如果g 在y ( r ) 或e ( r ) 或彳( r ) 上传递，则分别称r 为g 一点传递图或 g 一边传递图或者g 一弧传递图如果对于每个a y ( r ) ，g 。在r 似) 上传递，则称r 是 g 一局部传递图 运用图的自同构群的某种传递性来对图和群进行研究，在群与图的研究中是一种重 要的方法，徐明耀、杜少飞、路在平、陈尚弟等对图的一些传递性进行了研究，并取得 了丰富的成果c a ih e n g l i 等对局部拟本原图的研究进行了全面的总结，并提出了许多进 一步研究的问题本文研究s y l o w 子群均循环的群作用的局部传递图，减弱了图的条件， 研究更广泛的一类图，主要是利用s y l o w 子群均循环的群结构来研究其作用下具有局部 传递性的图。获得了以下研究成果： 一：获得了s y l o w 子群均循环的群的子群结构； 二：获得了s y l o w 子群均循环的群边传递分类； 三：获得了s y l o w 子群均循环的群弧传递和半传递图； 四：获得了一些半点传递图； 五：获得p q ( p ，q 素数) 阶亚循环群局部传递图与分类 关键词：图；自同构群；点传递；边传递；局部传递；s y l o w 子群 中国民航大学硕士学位论文 a l lg r a p h sa r ef i n i t es i m p l eu n d i r e c t e dg r a p h sw i t hn oi s o l a t e dv e r t i c e si nt h i sp a p e r a g r o u pg i ss a i dt oa c to nt h eg r a p hfi fga c t so nt h ey ( r ) a n dp r e s e r v e st h ea d j a c e n t r e l a t i o n s h i po ff e s p e c i a l l y , w h e ng i sap e r m u t a t i o ng r o u p ，w ec a l lga na u t o m o r p h i s m g r o u p t h es e to fa u t o m o r p h i s m so ff i sd e n o t e db ya u t ( r ) f o ras u b g r o u pg o f a u t ( r ) ，t h e g r a p hf i ss a i dt ob eg - v e r t e x - t r a n s i t i v e ( r e s p e c t i v e l y , g - e d g e t r a n s i t i v eo rg - a r c - t r a n s i t i v e ) i f ga c t st r a n s i t i v e l yo ny ( r ) ( r e s p ，e ( r ) o rt h es e to fa r c so fr ) g 口i st h es t a b i l i z e ro f 口i ng ，f o rao re v ( r ) ，t h es e to fv e r t i c e sa d j a c e n tt oai sc a l l e dt h e n e i g h b o r h o o do f 口i nra n dd e n o t e db yr ( a ) fi ss a i dt ob eg - l o c a l l y t r a n s i t i v ei f g 。i st r a n s i t i v eo nr ( a ) a t i p i c a lm e t h o df o rs t u d y i n gg r a p h sa n dg r o u p si su s i n gs o m et r a n s i t i v ep r o p e r t i e so f t h eg r a p h s a u t o m o r p h i s mg r o u p s t h e r ea r eal o to fr i c hr e s u l t sa b o u tt h eg r a p h sw i t hs o m e t r a n s i t i v ep r o p e r t i e sm a d eb yx um i n g y a o ，d us h a o f e i ，c h e ns h a n g d ia n ds oo n ，c a ih e n g l i a n do t h e r sh a v em a d eat h o r o u g ha n a l y s i so fl o c a l l yq u a s i p r i m i t i v eg r a p h sa n dp r o p o s e d m a n yn e wq u e s t i o n sf o raf u r t h e rs t u d y i nt h ep r e s e n tp a p e rw e f i n da l lt h eg r a p h so nw h i c ha g r o u pa l lt h es y l o ws u b g r o u p sa r ec y c l i ca c tl o c a l l yt r a n s i t i v e l y w et a k ea d v a t a n g eo ft h e s u b g r o u p sc o n s t r u c t i o no fag r o u pa l lt h es y l o ws u b g r o u p sa r ec y c l i ca sam a i nm e t h o d s t u d y i n gt h eg r a p h so nw h i c hag r o u pa l lt h es y l o ws u b g r o u p sa r ec y c l i ca c tl o c a l l y t r a n s i t i v e l y t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w e d ： t o # r e a l lt h es u b g r o u p sc o n s t r u c t i o no fag r o u pa l lt h es y l o w s u b g r o u p sa r ec y c l i c ； t of i n da l lt h eg r a p h so nw h i c hag r o u pa l lt h es y l o ws u b g r o u p sa r ec y c l i ca c te d g e t r a n s i t i v e l y ； ， t of i n ds o m et h es e m i t r a n s i t i v eg r a p h s ，s o m es e m i - v e r t e x t r a n s i t i v eg r a p h sa n da r c t r a n s i t i v eg r a p h s ； t of m da l lt h eg r a p h so nw h i c hag r o u pa l lt h es y l o ws u b g r o u p sa r ec y c l i ca c tl o c a l l y t r a n s i t i v e l y k e yw o r d s ：g r a p h ：a u t o m o r p h i s m ：v e r t e x t r a n s i t i v e ：e d g e - t r a n s i t i v e ：l o c a l t r a n s i t i v e ： s y l o ws u b g r o u p 中国民航大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中国民航大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：圭丞挞日期：鳓z 6 日 中国民航大学学位论文使用授权声明 中国民航大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全 部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权中国民航大学研究生部办理。 砑矬瘙岛：主壅签 导1 ) 币端： 日期： 口，p 嚣7 昨多 中国民航大学硕士学位论文 第一章绪论 群和图一直都是人们研究很多的数学对象，但是把二者结合起来，应用图来研究群 和应用群来研究图是本世纪的事1 9 3 8 年证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个图 以它为自同构群，可见 1 ，这个重要的工作揭开了群与图结合起来研究的帷幕而 w t t u t t e 的著名文章“af a m i l yo fc u b i c a lg r a p h s ，p r o c c a m b p h i l s o c 4 3 ( 1 9 4 7 ) ，4 5 9 - 4 7 4 ” 则可以看作是群对图第一个精彩的应用在这个领域的广泛研究是在1 9 6 0 年以后，近几 十年来在这方面出现了很多重要的工作n b i g g s ( 口- 见 2 ) 的书和e m n e u m a n n 的综述 文章 3 较系统的总结了群与图这个领域中成果与方法值得提出的是群论应用于图论 的研究在最近几十年中有着更丰富的结果，图的自同构群是联系群与图的桥梁，具有较 高对称性的图的研究领域是群论最有用武之地的场所图的对称性的描述通常是通过它 的自同构群，特别是自同构群的某种传递性质，如点传递，边传递，弧传递，局部传递 等 上世纪八十年代以来，随着有限单群分类工作的完成，有限群的面貌发生了巨大的 变化，抽象群和置换群的一些重大问题获得了解决现代群论的结果用于高对称性的图 理论的研究产生了极重要的成果，特别是关s 一弧传递图和距离传递图，成果极为丰富， 可见 2 ，3 ，7 等其中最为重要的成果依赖于有限单群的分类w e i s s 证明了对除c - 的任 一个s 一弧传递图，必有s s 7 但s ，1 6 ，可见 2 3 还需要提到的工作时l i e b e c k 等在1 9 8 5 年完成了印的本原群的分类，其中p 是素数，k 是g 的 子群，称为点a 的稳定子群并且对于任意的y g ，g 口，- y 。1 g a y 定义2 1 3设群g 作用在集合q 上，在q 上规定一个关系“ ：对于任意的 口，声q ， 口一声营存在g g 使得口掌一声， 则关系是q 上的一个等价关系对于关系。的等价类叫做g 在q 上的轨道 如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作用是传递的否则，称 g 在q 上的作用是非传递的 命题2 1 4 令有限群g 传递地作用在集合q 上，并且日是g 的正规子群，则 ( 1 ) 日的轨道形成的g 不变区系； ( 2 ) 如果和是两个轨道，那么日a 和日a 是置换同构的： ( 3 ) 日在q 上作用的轨道数整除i g ：何i 3 中国民航大学硕士学位论文 定义2 1 5 设石是一个素数的集合，称g 的子群日为g 的一个万一h a l l 子群，如 果ihl - - ic1 ，而称h 为g 的日口z ，子群，如果对于某个素数集合万来说，日是g 的 万一h a l l 子群特别地，s y l o w p 子群也是g 的h a l l 子群，它对应的素数是石- p 命题2 1 6 设g 是有限群，则下述事项等价： ( 1 ) g 可解： ( 2 ) 对于每一个素数集合万，g 都是石一可分群； ( 3 ) 对于每一素数p ，g 都是p 一可解群 命题2 1 7 设g 是可解群，则 ( 1 ) g 中存在万一h a l l 子群； ( 2 ) g 中所有的万一h a l l 子群共轭； ( 3 ) g 的任一万一子群包含在某万一h a l l 子群之中 推论2 1 8 设g 是可解，则对任一素数集合万，g 中的万一子群存在并彼此共轭， 且任一万一子群含于某一万一h a l l 子群之中 2 2 图的一些基本知识 本文所研究的图都是有限的、简单的无向的图如果r 是一个图，则y ( r ) 表示r 的 顶点集合，e ( r ) 表示的r 边的集合 定义2 2 1 设y 是一个集合，称y 的所有无序元偶的集合 v v - 扣，v l u ，y 研 为y 和y 的无序积( 所谓伽，y ) 是无序元偶指0 ，y ) 一o ，“) ) ，记 形一 p ，v l v e v ，v 2 - v y k 又，称y 的所有有序元偶的集合 v v 一 ，v ) l u ，y y ) 为y 和y 的笛卡尔序积，仍记 k 一 o ， ，) l ，y ， 4 中国民航大学硕士学位论文 则y 2 一v x v v 为y 的所有二元不相同的有序元偶的集合 定义2 2 2y 是一个非空有限集合，e 是v v 的子集，称一对集合y 和e 为一个 无向图r ，y 的元素叫做图r 的顶点，e 的元素叫做图r 的边，记作r 一杪，e 如果满 足e y 孙，则r 称为无向简单图 定义2 2 3 设r 是一个图，g 是y ( r ) 上的一个置换称g 为图r 的一个自同构，如 果缸，v e g ( r ) 当且仅当似暑，暑e ( r ) r 的所有自同构在置换乘法之下组成一个群，称 为r 的全自同构群，记为a u t ( r ) a u t ( r ) 的任一子群g 都称为r 的一个自同构群 命题2 2 4 ( 1 ) 一个顶点传递图是不相交的相互同构的连通的顶点传递图的并； ( 2 ) 顶点传递图是正则图； ( 3 ) 如果一个图r 是关于顶点是2 一重传递的，则r 或者是完全图或者是空图 命题2 2 5 设群g 作用在图r 上，如果r 既是g 一顶点传递的，又是g 一局部传 的，则必是g 一弧传递的 定义2 2 6 设r - ，e ) 是一个无向简单图，v 是v 中的一个顶点，则称- q v 相邻的 顶点的个数( 或与1 ，相关的边的个数) 为点v 的度，即为d ( v ) 用6 ( r ) 和( r ) 分别表示诸 顶点的度数的最小值和最大值 定义2 2 7 设r 一，e ) 是一个无向简单图，如果6 ( r ) 一a ( r ) - k ，则称r 为七度 正则图 定义2 2 8 称图r 一，e ) 为图r 一，e ) 的子图，如果v c _ v ，e c _ e 又 矿，但e 包含e 中所有联结中顶点的边，则称r ，为r 的由矿诱导出的子图，记作 r 一i v 】 5 中国民航大学硕士学位论文 定义2 2 9 设r 一，e ) 是一个无向图，我们在y 上规定一个关系“一：对于 比，v e v ，规定“。，如果u 一 ，或者u 一 ，但至少有一条由“到 ，的路，则关系一是矿 上的等价关系，因此，把y 分成若干个互不相交的子集的并： 矿一ku ku u v ，kn 哆ig ，v f ，j 称诱导出子图形】为r 的连通分支，i - 1 ，2 ，s 如果s - 1 ，则r 只有一个连通分支，称 图r 为连通图 命题2 2 1 0 令图r 关于群g 是边传递的，如果r 不是g 一顶点传递的，则r 恰有 两个g 一轨道，且这两个轨道是r 的二分部进一步，r 的每一条边的两个端点位于不同 的g 一轨道 下面我们介绍本文常用到的有关陪集图的一些基本知识，详见 1 5 定义2 2 1 1 设日是g 群的子群，如果c d 俾) 。旦日5 l1 ，则称h 是g 的一个 无核子群 命题2 2 1 2 设日是g 群的子群，【g ：日】表示日在g 中的右陪集的集合，则g 按 右乘作用在【g ：h 】上，且作用的核为c d ( 日) 因此，这个作用是忠实的当且仅当日是 g 的一个无核子群 定义2 2 1 3假定是h 群g 的一个子群s 一 噍，d ：，吃) 是的一个子集，且 喀诺日( 1s fs 珏) ，令d uh s h 定义一个图r 如下： v ( r ) - 墩i x g 】，e ( r ) 一 ( 礅，h d x ) ld d ，z g 即( 胁，h y ) e ( r ) 兮y x 一1 d 称r 为g 关于h 和d 的s a b i d u s s i 陪集图，即为 s a b ( g ，h ，d ) 特别地，当h 一1 时，s a b ( g ，1 d ) 称为c a y l e y 图，即为c a y ( g ，d ) 命题2 2 1 4g 是图的一个自同构群，如果r 是顶点传递的，则 ( 1 ) ris a b ( g ，h ，d ) ，其中h - a 是g 的一个无核子群，口是y ( r ) 中的任一固定 6 中国民航大学硕士学位论文 点，d 一位g i 口s r ) ) 是日的一些双陪集的并； ( 2 ) 令ti ( d ) ，则s a b ( t ，h ，d ) 是r 的一个连通分支特别，r 是连通的当且仅当 g 。( d ) ； ( 3 ) 是g 一边传递的当且仅当d - 日话，g 。1 坶，其中g e g h ； ( 4 ) 是g 一弧传递的当且仅当d h g h 其中g e g h ，9 2 e h 定义2 2 1 5 称具有二部划分v ( x ) t y ( x ) u w ( x ) 的二部图x 为半点传递图，如果 x 的自同构群a u t ( x ) 在u o ) 和o ) 上都是传递的 定义2 2 1 6设l 和r 是群g 的子群，d 是和r 的一些双陪集的并，即 d u 剐；l ，定义一个二分图r 如下： l y ( r ) ；【g ：工】u 【g ：r 】，e ( r ) i l g ，r a g i g e g ，d d ， 即 l x ，缈e ( r ) 营声以d 这个图被称为g 关于l ，r 和d 的双陪集图记为 b ( a ，l ，r ；d ) 特别地，当一r 一1 称为双铆姆图，即为b ( g ，d ) 命题2 2 1 7 设r 是一个半点传递图，和是r 的二分部，则 ( 1 ) ri ib ( g ，l ，r ；d ) ，其中li g q ，r - q ，口和声分别是和中的任意固定点， d - g si 墨r ) 是若干个形如砒的双陪集的并，且 c o r e g ( l ) n c o r 俾) - 1 ( 2 ) r 是g 一边传递的当且仅当d - r d l 是单个双陪集特别 口，户】e ( r ) ，则 dar l ( 3 ) 令ti ( d 1 d ) ，则口仃，l ，尺；d ) 是r 的一个连通分支特别，r 是连通的当且仅当 g 一( d d d ) 命题2 2 1 8图r 同构于群g 的c a y l e y 图当且仅当a u t ( x ) 包含一个同构于g 的正 7 中国民航大学硕士学位论文 则子群 推论2 2 1 9 设r s a b ( g ，h ，h s h ) 如果g 含有一个正则子群，令 d - g i 蚴r ( 日) ，其中r ( h ) i l l h s hi s e s ，h e h ， 则r 篁c a y ( n ，d ) 命题2 2 2 0 一个半传递图x 是一个双铆z 秒图当且仅当么“f ( r ) + 有一个子群在 x 的二分部上的作用是正则的 推论2 2 2 1 设r 皇b ( g ，厶r ；d ) 如果g 含有一个子群在【g ：三】和【g ：r 】上的作 用正则，令s - ge l r ge r ( l ) ，其中r ( l ) - r di t ie d 则r _ b ( n ，s ) 命题2 2 2 2 任一双陪集胁k 可表示成若干日的右陪集( 或k 的若干个左陪集) 的并它包含的日右陪集的个数为i k 4 ：日4n k i ，而包含k 的左陪集的个数为 1 日4 ：日4n k i 2 3 数论的一些基本知识 本节给出本文常用到的数论知识 命题2 3 1 设a ，b ，c ，d z ，m 为正整数，则 ( 1 ) 若a - - b ( m o d m ) ，贝0 6 薯a ( m o d m ) ( 2 ) 若a - b ( m o d m ) ，b - c ( m o d m ) ，贝, l j a - c ( m o d i n ) ( 3 ) a c b c ( m o d m ) ，贝1 j a _ 6 ( m o d 南) 特别当( c ，肼) 一1 时，口一b ( m o d m ) ( 4 ) 对于每个正整数d ，a - b ( m o d m ) 当且仅a d - b d ( m o d r o d ) 命题2 3 2 设0 ，朋) - d ，则同余方程锻_ 6 ( i n o d 跏) 有解的充分必要条件是di b 并且当时dl b ，此同余方程模m 有d 个解 8 中国民航大学硕士学位论文 命题2 3 3 ( 欧拉定理) 设m 为正整数，( 口，m ) , - 1 ，则口中似一1 ( m o d m ) 特别若m - p 为素数，0 ，p ) - 1 ，n a p 1 一1 ( m o d p ) ( 费马小定理) 定义2 3 4 设( 口，埘) - , 1 ，满足口- l ( m o d m ) 的最小正整数，叫做整数口模m 的阶 命题2 3 4 设( 口，m ) - 1 ，是口模m 的阶则 ( 1 ) 对每个正整数k ，a m l ( m o d m ) 当且仅当，i k ，特别地，r i 驴仰) ( 2 ) 对每个整数f ，a t 模坍的阶为南特别当p ，) 一1 时，口和4 模删有相同的阶 2 4 记号说明 本节给出本论文常用的记号说明 【g ：h 】 群g 的子群日在g 中的所有陪集的集合 m l 万 m 刀 【m ，刀】 如，甩) a u t ( g ) r o ) 瓯 z z 整数m 整除n 整数 整数m 不整除n 整数 整数m 和整数n 的最小公倍数 整数m 和整数珂的最大公约数 群g 的自同构群 图r 的顶点z 相邻的顶点的集合 点口在群g 中的稳定化子 模咒的剩余类加群 与刀互素的整数构成的乘法群 9 中国民航大学硕士学位论文 第三章重要引理 本文主要利用陪集图的方法来获得s y l o w 子群均循环的群作用的局部传递图的分 类我们是在研究s y l o w 子群均循环的群作用的边传递图的基础上，进而研究其作用的 局部传递图下面将证明的引理对本文是非常关键的 引理3 1 设g 群作用在r 上，且r 是g 一边传递的，如果r 不是g 一顶点传递的， 则r 是g 一局部传递图 证明 设，和，是g 在y ( r ) 上作用的两个轨道，则r 是二分图，且，和a ，是r 的 二分部设x 是v ( r ) 中的任意一点，不妨设x e a ，由命题2 2 1 0 ，r 0 ) ，对于任 y l ，y ：r 0 ) ，则忸，m ) ，协，y ：) e ( r ) 由于r 是g 一边传递的图，所以存在g e g ，使 缸，y 。y - 仁，y ：】，这必有一x ，y l 。- y ：，从而g g 因此r 是g 一局部传递的 由命题2 2 5 和引理3 1 可得到 引理3 2 设r 是g 一边传递图，则r 是g 一局部传递的当且仅当r 不是g 一顶点传 递的或r 是g 一弧传递的 引理3 3 每个g 一局部传递图必然是若干个不相交的g 一边传递图的并 证明设r 是g 一局部传递图，q 但) ，d 2 仁) ，0 陋) 是g 在e ( r ) 上作用的全部轨 道令l g - 1 , 2 , ，刀) 是由q ( e ) 诱导出r 的子图对于任意工y ( l ) ，必然存在一个 y e v ( r ) 使得缸，y e o , ) 一e ( l ) ，即有缸，y e e ( l ) ，进而对于每个g e g ，有 o ，) ，ye e ( r , ) ，于是，y ( l ) ，这就是说，g 也诱导出r l 的自同构作用，显然l 既是 g 一边传递的，又是g 一局部传递的 如果y ( r i ) n y ( r ，) 一彩，则存在z y ( l ) n y ( r ，) ，使得缸，咒) q 俾) 且 仁，y j q ) 由r 的局部传递性，存在g q ，使得一y j ，因而 x ，咒y - x ，y ，) 这样必有f _ j ，且r | 譬r l 引理3 4 设图riu l ，其中r ；是m l 阶s y l o w 子群均循环的非交换群局部传递图， 1 - 1 且r 1 ，r 2 , - - , r 。是彼此不相交的，则r 也是聊聆阶s y l o w 子群均循环的 乍交换群局部传递 图 证明设图r i 是q 一局部传递的，其中g l 一( 虿，e i - 7 - p 一1 ，互岛- 互7 ) ，且 1 ， 1 ) ； ( 3 ) 6 ( 伽) ) 一p ) ； ( 4 ) 设石是玎的素因子集合，则峨一一) ( f 一1 ，2 ，m ) 是g 的所有z - h a l l ：子群，它 们都是非正规子群； ( 5 ) z ( g ) 一q ( g ) sh i ，其中0 ( g ) 表示g 的极大的正规石一子群； ( 6 ) 设_ 是厅的任一因数，则- 6 青) 是g 的一个阶子群且 k iqg 营巩l 鲁营k s z ( g ) ； ( 7 ) l 。( 口等) ：伽青) 是g 的一个m l n 。阶子群，且阶子群是共轭的其中 m 1i m ，n 1l n ； ( 8 ) lq g 营a i 言，其中口：是r ( r o o d 釉的阶 ( 9 ) 对于1s f 朋，d o ，朋) ，则存在满足嘎f f id ( m o d m ) 令r 一( 4 ，矿) ，ni n ； q ：r _ z ，( 口n 6 p 严一口舭易肌，则q 是r 的一个自同构 证明( 1 ) 显然 ( 2 ) 设z 一口b j g ，玑是r ( m o d m ) 的阶，则 z z ( g ) 静【x 口】i x b 】_ 1 争丑，口日z b _ x 1 1 中国民航大学硕士学位论文 营a - a j l ( a ) 6 b ji a i b j 争，j l ( m o d m ) 且f ( ，一1 ) 一0 ( m o d m ) 营n ij f l ni i ， 故z ( g ) 一伽山) ( 3 ) x - b a e g ，贝0 x ： 乞( ( 6 ) ) 争b e ( b ) 尊a i ( r - t 1 ) 6 ( 6 ) 静a 砸以( 6 ) 营i ( r - 1 ) 量0 ( m o d m ) 营i 墨0 ( m o d m ) ， 故g ( ( 6 ) ) ；( b ) ( 4 ) 由于g 是可解群，所以由命题2 1 6 ，g 是万一可解群，进一步由命题2 1 7 可知万一h a l l 子群存在，且所有的万一h a l l 子群是共轭的由( 3 ) 石一h a l l 子群的个数 lg ：g ( b ) l - lg ：( 6 ) i tm ，因而毵- ( 6 一) ( f - i , 2 , ，m ) 是z a 的所有石一觑川子群 ( 5 ) 设n 是g 的任一正规万一子群，则【，( 口) 】t 1 又( 6 ) 也是一个万一子群，故 ns ( b ) ，a k insz ( g ) ，因而z ( g ) 一o ( g ) ( 6 ) qg 营口g = ) ) 营p 首) 4 一萨7 对某价仉2 ，n l 口，- 盖6 善曲寺， ， - r 一l ( m o d m ) i j l ( m o d n l ) 营r l ( m o d m ) 营巩i 奇， 或者说k i g 营k 墨q ( g ) 一z ( g ) ( 7 ) 显然 ( 8 ) 工q g 营口g 仁) 营p 吩) 4e l 静口一协苦口一口掣6 ，其中f 他2 ，m l ，j e 1 , 2 , ，m 2 ) 苎b 1 。1 + 牟h ，aa营l ”一芬- l 。 兮口， 6 寺。口1 + 等6 盖j 尊j 善f _ 一一l ( m o d m ) 1 暑l ( m o d n x ) 1 2 中国民航大学硕士学位论文 ( 9 ) 显然 营( 鲁，胁) l ( ，一言一1 ) i 营詈l ，一1 营， - l ( m o d 蔷- ) 营，- 1 ( m o d 书 营口i 言，其中口r ( m o d 书的阶 f 面我们给出引理3 6 中群的一些子群的核 引理3 7 ( 1 ) c o r ( 只) 一p “) ； ( 2 ) 设k 一伽昔) ，力。in ，则d r e g ( k ) ；( 萨) ，其中s 一南； ( 3 ) c o r e o ( ( a 嚣) ：p 言) ) 一 鼋) 则 ( 1 ) g 。( 口，bla e - b 孽- 1 , a 6 - 口7 ) 其中1 ， li s , ，s 2 ，s ， - m ，i t , ，t 2 ，t p j = 1 1 ，【口。，口2 ，口p - n ， j - l 这里q 是，( m o d 墨) 的阶，且qi 当为偶数时，r i ( 墨，) i ( 墨，) 或i v ( ，) ；当f j 为奇 数时，r i q ，) ，) ； “) x 。u x ：x l 。0 l ，) ，x ：。p u - q r 州g f 州) ，其中，1 墨q 口j 6 工- p 口一 静p ) 口扩p ) 口。 寺争d ( ，工+ 1 ) 叠o ( m o d m ) 营，槲- 一l ( m o d 予) 辛r 2 埘- 1 ( r o o d 釉， 设6 ：是r ( m o d 和的阶，则61 2 a n ，即2 a ni o ( m o d 6 ) 当一l ( ，) sz 量即存在6 。使， 暑一1 ( r o o d ：- ) ，若6 是奇数，则心- o ( m o d 6 ) ，显然 ，硝1 ( r o o d 詈) ，与假设矛盾所以此时不存在a 使( 6 a 4 b 埘- ( b a 一，则 q ( 6 a 由“l a 。l 2 ，村u 【( 6 a 一毋肼i a - 1 , 2 , ，正) 又 a 扩。a 打v ，营口i r 硝一口扣v1 1 营d ( ，勰一， ) = o ( m o d m ) 营，埘。 = l ( m o d ) 营a n 暑a ( m o d 6 ) 营ai 九( m o d 翻， 所以i q l i 蒿 如果一1 ( ，) - ：z 粤即存在6 使，& = - 1 ( r o o d 等- ) r 是偶数，此时 q ， ( 6 a 咖埘i a 一1 2 ，甜， 则l q l 一南 如果一1 圣( ，) s z 即不存在6 使厂磊_ - 1 ( m o d e ) ，则同样可得：i q l | 靠 弓i 理4 2 2令g a ，b la ”一6 4 = l a 6 一口7 ) _ s c ( m ，n ，) ，1 墨f 册且1 sj 2 ； ( 3 ) 警k ，g 存在2 阶元f - 2 ； ( 4 ) d n s a b ( ( b x , a ) ，伽) ，伽) 口d , a _ ) 伽) ) ，其中di m ，nl n ，【n ，n 。】- n ； ( 5 ) s a b ( c ，伽) ，( 6 ) 口6 ，b - j a 。 t b ) ) ，其中di m ，n i ，l ，【n ，n 】一弗 证明：f 是g 一边传递的，又是g 一顶点传递的，由命题2 2 1 4 知r i 司构于一个陪 集图，即f 奠s 口b ( o ，日，h g ，g 1 i - i ) 其中日是g 的无核子群，g g 日，t ( 日，g ) ， 则r o _ s a b ( t ，h ，h g ，g 以坶) 是r 的一个连通分支x ( a ) 4g ，设口) 在y ( r ) 上作用的轨 道数n 则由命题z1 4 ，可知nln ，且( 口) 在v ( r ) 上的轨道等长 a )当一1 时，即( a ) 在v ( r ) 上作用传递令 a ；o ，) ，则y ( r ) z “i f - l2 ，研) 因为p l 一晶一警一万，所以日是万一胁刀子群，又因为所有的万一胁盯是共轭的，所 以不妨设ha ( 6 ) ，同时日必须是无核子群， c o r e a 假) = p “) 一1 ，显然刀mn 。，则 f _ s 口b ( a ，( 6 ) ，( 易) g ，g q 】p ) ) 其中g 一口6 7 g ，贝i j r _ s a b ( g ，( 6 ) ，( 6 ) a t , a 可) ( 易) ) 0sf 2 时，l 簟c , g 师r 一竿c f ， 这是定理中的( 2 ) 型图；当f 。2 时，ll b ，从而r 篁等墨，这是定理中的( 3 ) 型图 c )当1 n n 时，即( 口) 有n 个等长的轨道令 aa 瓴 ：) ：，笠) o ，h ：) ， 则y ( r ) t l i - 1 , 2 ，；j - 1 , 2 , ，朋 ，显然有矿( r ) i - n m 因为p i | 嵩；嚣- 号，所以h 是一个阶为号的子群，由于g 的阶为号的子群互相 共轭，不失一般性，令h - ( b ) ， i i ic o r e o ( h ) - ( b 胍) - 1 ，其中a - 南这样必有 n a - 0 ( m o d n ) ，即器一o ( m o d 玎) ，【，n 。 o ( m o d n ) ，进而【，万 - n ，则 f _ s a b ( a ，( 6 ) ，( 6 ) g ，9 4 6 ) ) 令g