（光学专业论文）渐变折射率平板波导的逆分析转移矩阵方法.pdf

渐变折射率波导的逆转移矩阵方法 撼要 桥转移蹩降( a 墨m ) 方法，是精确计算任意折射率分布光波导 ! 折射率的精确方法。在此基础h 本文首次提出厂逆分析专 办法( i a t m ) ，搜据实验测量黝导模有效折射枣，水拟合光波 导的折射率分布。 精确姻分析转移矩蛑方法从多层、f 板波导入，剥j i j 转移矩阵这 仃效的数学r ：具，克服了w k b 方法近似的缺陷，能够严稀求解释 炎折射窜分确if 的模式本短位。在此基础l 提出，逆办法，对棚临参 与。司折射率做线性近似，并使污循环迭代，实现丫光波导任意折射 分钷| 内拟仑。孩方法初值选取方便，运算量小，收敛迅速，结果合 、h 预汁可以搿至旷泛的碰j f = j 。 也：逆分析转移矩翳二的基础h 本文进“步提r 套测量渐变折 _ 寸牢波皆折射率分布的n j + 行住力案和殴订。 本文力求对“逆分折转移矩9 1 二方法”这崭新的理论做鼓令i 匝的 列迷、分祈和讨论。希颦本文能对焉i 眉分析转移矩阵方法拟会弓测6 箍 波导折射j i 分硝j 这领域未来更深入的研究i ：作打f # l 实的基础。 父键训：渐变折射率，光波导，分析转移矩阵方法，逆w k b 力派 g r a d e di n d e xp r o f i l er e c o n s t r u c t i o n sb y t h ei n v e r s e da n a l y t i ct r a n s f e rm a t r i xm e t h o d a b s t r a c t p l a n a rw a v e g u i d e sa r ew i l d l yu s e di no p t i c a lt e c h n o l o g y 。r e f r a c t i v ei n d e x p r o f i l ed e t e r m i n e st h et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h ew a v e g u i d es oi t p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nd e s i g n i n go p t i c a ld e v i c e sa n dc o m p o n e n t s i n v e r s e w k bm e t h o dh a sb e e ne x t e n s i v e l yu s e dt op r e d i c tt h er e f r a c t i v ei n d e xp r e f i l e s f r o mm e a s u r e m e n to fm o d ei n d i c e s i ti st h em o s tp o p u l a rm e t h o df o r r e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l i n gf o ri t ss i m p l i c i t ya n dt h ec l e a rp h y s i c a le x p l a n a t i o n o n t h eo t h e rh a n d ，i ta l s om e e t sd i f f i c u l t yw h e nt h e r ei sas h a r pc h a n g ei n r e f r a c t i v ei n d e x ，s e v e r a li m p r o v e m e n t sh a v eb e e nr e p o r t e dt oy i e l db e t t e r r e s u l t s 。l nr e s p e c tt h a tt h e s ei m p r o v e m e n t sa r ea t lb a s e do nw k bm e t h o d 。 t h e yc a n n o tb r e a kt h r o u g ht h el i m i t a t i o n sb r o u g h tb yw k b m e t h o d 。 a c c o r d i n gt oa n a l y t i ct r a n s f e rm a t r i x ( a t m ) m e t h o d ，i ti sp o s s i b l et o p r e c i s e l yd e t e r m i n et h em o d a lc h a r a c t e r i s t i c so fap l a n a ro p t i c a lw a v e g u i d e w i t ha r b i t r a r yi n d e xp r o f i l e s a t mm e t h o dn o to n l yk e e p st h em e r i t so ft h ew k b t h e o q ，b u ta l s oi sv a l i dw h e ns o l v i n gs o m ep r o b l e m st h a tc o n v e n t i o n a lw k b t h e o r yw o u l df i n dd i f f i c u l t 。i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n ta ni n v e r s ea n a l y t i c t r a n s f e rm a t r i xm e t h o dt o p r e d i c tt h er e f r a c t i v e i n d e x p r o f i l e s f r o m m e a s u r e m e n to fm o d ei n d i c e s i a t ma p p l yt h ea t mm e t h o dt ot h ei n v e r s ep r o b l e m ，a n dh a sb e e np r o v e d t ob ea b l et o g i v e a c c u r a t er e s u l t su n d e rs e v e r a lt y p i c a lr e f r a c t i v ei n d e x d i s t r i b u t i o n s t of u r t h e re v a l u a t et h er e l i a b i l i t yo fo u rm e t h o d ，w ec o m p a r e dt h e r e s u l t sb e t w e e nt h el a t ma n dt h ei w k bm e t h o dw i t hap r o t o ne x c h a n g e d l i n b 0 3w a v e g u i d e i ti ss h o w e dt h a ti a t mt e c h n i q u ea l l o w e dm o r ea c c u r a t e p r o f i l i n go faw a v e g u i d ew i t hs t e e p e ri n d e xp r o f i l e s k e yw o r d s ： g r a d e dr e f r a c t i v ei n d e x ，p l a n a rw a v e g u i d e ， a n a l y t i ct r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，i n v e r s ew k bm e t h o d 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全，解学校有关保留、使川学位除文的删定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件手n 【uj 二 版，允许论义被食阅和借阅。本人授权每交通大学q 以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据席进行检索，可以采埘影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编木学位论文。 保密口，在年解密后适崩本授权限 奉学位论义属下 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位沦文作者签名：f 盘健k - 指导教师签私： 彩瑶 曰期：舢。i 年3 月3 日 同期：山3 年；， _ j 岁曰 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，足本人在导师的指导卜 独j ，进行研究i ：作所取得的成果。除文z 已经注明引用的内容外， 木论文卅i 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作爿，成果。 对本文的研究做f 重要贡献的个人和集体，均已在文中以：列确方式 标明。本人完全意 只到木声明的法律结果山本人承担。 学位论文作者签名：陋i 裳髹 口期： 抽3 年3 月3 口 上海交通大学硕士学位论文 1 第一章 引言 1.1逆方法的描述 光波导是集成光学系统的主要元件而光波导的折射率分布是决定光波导 器件特征和性能的主要参数因此光波导折射率分布的表征对光波导器件的 设计具有十分重要的意义 本文提出的逆分析转移矩阵iatm inverse analytic transfer matrix方 法根据实验确定的模式有效折射率的值 ),.2 , 1 , 0(mmnm=从分析转移矩阵 atm analytic transfer matrix方法出发求光波导的折射率分布 )(xn 与逆方法所对应的正方法描述的是在已知光波导折射率分布 )(xn 的条件下分析光波导传输特性即求解模式有效折射率 ),.2 , 1 , 0(mmnm= 的 过程 图 1.1 所谓正方法的描述 fig. 1.1 the original problem 上海交通大学硕士学位论文 1 第一章 引言 1.1逆方法的描述 光波导是集成光学系统的主要元件而光波导的折射率分布是决定光波导 器件特征和性能的主要参数因此光波导折射率分布的表征对光波导器件的 设计具有十分重要的意义 本文提出的逆分析转移矩阵iatm inverse analytic transfer matrix方 法根据实验确定的模式有效折射率的值 ),.2 , 1 , 0(mmnm=从分析转移矩阵 atm analytic transfer matrix方法出发求光波导的折射率分布 )(xn 与逆方法所对应的正方法描述的是在已知光波导折射率分布 )(xn 的条件下分析光波导传输特性即求解模式有效折射率 ),.2 , 1 , 0(mmnm= 的 过程 图 1.1 所谓正方法的描述 fig. 1.1 the original problem 上海交通大学硕士学位论文 2 而所谓逆方法就是根据已确定模式有效折射率值 ),.2 , 1 , 0(mmnm= 求解光波导的折射率分布的过程 图 1.2 所谓逆方法的描述 fig. 1.2 the inverse problem 1.2逆 wkb 方法 绝大多数光波导的折射率分布只能用近似方法或数值方法拟合近似方法 中逆 wkb 方法具有物理图像清晰分析简单的特点因而得到了广泛的应 用是目前拟合波导折射率分布的主要方法但该方法对缓慢变化的折射率分 布精确度较高而对变化较快的折射率分布其结果的精确度难以保证到目 前为止已经发展了多种改进技术取得了比逆 wkb 方法合理的结果但这些 方法仍基于 wkb 近似的框架中无法摆脱由 wkb 近似引起的困难 1.3逆分析转移矩阵方法iatm 平板波导的分析转移矩阵atm方法从完全不同于 wkb 近似的路径 出发对于任意的折射率分布均能给出物理意义清晰而且数值结果精确的色 散方程我们从分析转移矩阵atm方法出发提出了一种逆分析转移矩阵 iatm方法用于拟合任意分布的渐变折射率光波导对几种典型的折射率 上海交通大学硕士学位论文 2 而所谓逆方法就是根据已确定模式有效折射率值 ),.2 , 1 , 0(mmnm= 求解光波导的折射率分布的过程 图 1.2 所谓逆方法的描述 fig. 1.2 the inverse problem 1.2逆 wkb 方法 绝大多数光波导的折射率分布只能用近似方法或数值方法拟合近似方法 中逆 wkb 方法具有物理图像清晰分析简单的特点因而得到了广泛的应 用是目前拟合波导折射率分布的主要方法但该方法对缓慢变化的折射率分 布精确度较高而对变化较快的折射率分布其结果的精确度难以保证到目 前为止已经发展了多种改进技术取得了比逆 wkb 方法合理的结果但这些 方法仍基于 wkb 近似的框架中无法摆脱由 wkb 近似引起的困难 1.3逆分析转移矩阵方法iatm 平板波导的分析转移矩阵atm方法从完全不同于 wkb 近似的路径 出发对于任意的折射率分布均能给出物理意义清晰而且数值结果精确的色 散方程我们从分析转移矩阵atm方法出发提出了一种逆分析转移矩阵 iatm方法用于拟合任意分布的渐变折射率光波导对几种典型的折射率 上海交通大学硕士学位论文 2 而所谓逆方法就是根据已确定模式有效折射率值 ),.2 , 1 , 0(mmnm= 求解光波导的折射率分布的过程 图 1.2 所谓逆方法的描述 fig. 1.2 the inverse problem 1.2逆 wkb 方法 绝大多数光波导的折射率分布只能用近似方法或数值方法拟合近似方法 中逆 wkb 方法具有物理图像清晰分析简单的特点因而得到了广泛的应 用是目前拟合波导折射率分布的主要方法但该方法对缓慢变化的折射率分 布精确度较高而对变化较快的折射率分布其结果的精确度难以保证到目 前为止已经发展了多种改进技术取得了比逆 wkb 方法合理的结果但这些 方法仍基于 wkb 近似的框架中无法摆脱由 wkb 近似引起的困难 1.3逆分析转移矩阵方法iatm 平板波导的分析转移矩阵atm方法从完全不同于 wkb 近似的路径 出发对于任意的折射率分布均能给出物理意义清晰而且数值结果精确的色 散方程我们从分析转移矩阵atm方法出发提出了一种逆分析转移矩阵 iatm方法用于拟合任意分布的渐变折射率光波导对几种典型的折射率 上海交通大学硕士学位论文 3 分布的分析表明iatm 方法具有极高的精确度为进一步检验这种方法的可 靠性 利用实验测量的质子交换 3 linbo 波导的有效折射率值 用iatm和逆wkb 两种方法进行了分析结果表明iatm 方法比逆 wkb 方法更为合理 上海交通大学硕士学位论文 4 第二章 逆分析转移矩阵方法的描述 2.1逆 wkb 近似方法 逆 wkb 方法根据实验确定的模式有效折射率的值 ),.3 , 2 , 1(mmnm=从 wkb 近似出发通过简单有效的方法拟合光波导的折射率分布)(xn 2.1.1逆 wkb 方法原理 根据 wkb 近似模式本征方程表示为 8 14 )( 0 2/122 = m dxnxn m x m .),.3 , 2 , 1(mmnm=(2.1) 方程中 m x 定义为 mm nxn=)( 令 0 0 =x)0( 0 nn = 注意逆wkb方法中模序数的定义与通常意义上模序数定义的区别 逆wkb 方法中将波导表面折射率的值定义为 0 n . 为从 m n 得到 m x将公式 (2.1) 表示为求和形式 8 14 )( 1 2/122 1 = = m dxnxn m k x x m k k (2.2) 假设相临两个模之间的折射率分布 )(xn 近似为线性即 )( )( )( )( 1 1 xx xx nn nxn k kk kk k + . kk xxx 1(2.3) 把 m nxn+)( 写作中值的形式 mkk nnn+ 2/ )( 1 . kk xxx 1(2.4) 上海交通大学硕士学位论文 4 第二章 逆分析转移矩阵方法的描述 2.1逆 wkb 近似方法 逆 wkb 方法根据实验确定的模式有效折射率的值 ),.3 , 2 , 1(mmnm=从 wkb 近似出发通过简单有效的方法拟合光波导的折射率分布)(xn 2.1.1逆 wkb 方法原理 根据 wkb 近似模式本征方程表示为 8 14 )( 0 2/122 = m dxnxn m x m .),.3 , 2 , 1(mmnm=(2.1) 方程中 m x 定义为 mm nxn=)( 令 0 0 =x)0( 0 nn = 注意逆wkb方法中模序数的定义与通常意义上模序数定义的区别 逆wkb 方法中将波导表面折射率的值定义为 0 n . 为从 m n 得到 m x将公式 (2.1) 表示为求和形式 8 14 )( 1 2/122 1 = = m dxnxn m k x x m k k (2.2) 假设相临两个模之间的折射率分布 )(xn 近似为线性即 )( )( )( )( 1 1 xx xx nn nxn k kk kk k + . kk xxx 1(2.3) 把 m nxn+)( 写作中值的形式 mkk nnn+ 2/ )( 1 . kk xxx 1(2.4) 上海交通大学硕士学位论文 5 m x 解的形式为 )()() 2 ( 3 2 ) 8 14 ( )() 2 3 )( 2 3 ( 2/32/3 1 1 1 1 12/11 2/1 1 2/11 1 mkmk m k kk kk m kk mm mm mm nnnn nn xx n nnm nn nn zx + + + += = ,.,3 , 2mm =(2.5a) 2/1 10 2/110 1 )() 2 3 ( 16 9 + =nn nn x(2.5b) 由此逆 wkb 方法从 1 x 出发由公式 (2.5) 递推出 m x . 通常我们通过实验得到模式有效折射率的值 ),.3 , 2 , 1(mmnm=表面折 射率的值 0 n 未知逆 wkb 方法通过以下途径求 0 n 取 0 n 的值使折射率轮廓在几何上处于最光滑状态即使 = =+ + + + + + + 2 0 2 112 1 1 12 12 22 m kkkkk kk kk kk kk zzxx xx nn xx nn (2.6) 有最小值其主要效果在于将折射率轮廓的前几个分段拉直而这也正好 与折射率轮廓的物理特征相符合 2.1.2逆 wkb 方法计算结果 数值计算方面我们对包括指数函数高斯函数费米函数等其他折射率 分布用逆 wkb 方法进行了数值拟合 上海交通大学硕士学位论文 5 m x 解的形式为 )()() 2 ( 3 2 ) 8 14 ( )() 2 3 )( 2 3 ( 2/32/3 1 1 1 1 12/11 2/1 1 2/11 1 mkmk m k kk kk m kk mm mm mm nnnn nn xx n nnm nn nn zx + + + += = ,.,3 , 2mm =(2.5a) 2/1 10 2/110 1 )() 2 3 ( 16 9 + =nn nn x(2.5b) 由此逆 wkb 方法从 1 x 出发由公式 (2.5) 递推出 m x . 通常我们通过实验得到模式有效折射率的值 ),.3 , 2 , 1(mmnm=表面折 射率的值 0 n 未知逆 wkb 方法通过以下途径求 0 n 取 0 n 的值使折射率轮廓在几何上处于最光滑状态即使 = =+ + + + + + + 2 0 2 112 1 1 12 12 22 m kkkkk kk kk kk kk zzxx xx nn xx nn (2.6) 有最小值其主要效果在于将折射率轮廓的前几个分段拉直而这也正好 与折射率轮廓的物理特征相符合 2.1.2逆 wkb 方法计算结果 数值计算方面我们对包括指数函数高斯函数费米函数等其他折射率 分布用逆 wkb 方法进行了数值拟合 上海交通大学硕士学位论文 6 ? 逆 wkb 方法对指数函数折射率轮廓的拟合 modenxiwkb 12.27480.85740.8989 22.25121.64711.6213 32.23482.41102.4004 42.22263.22573.2000 52.21374.15554.1211 62.20735.29645.2387 = 0.6328 m 表 2.1 逆 wkb 方法对指数函数折射率轮廓的拟合 table. 2.1 exponential refractive index profile reconstruction by iwkb method 图 2.1 逆 wkb 方法对指数函数折射率轮廓的拟合 fig. 2.1 exponential refractive index profile reconstruction by iwkb method 使用逆 wkb 方法对指数函数折射率轮廓的拟合一般都能取得理想的结 果当模数小于 4 到 5 时结果也在保持在误差允许范围之内 上海交通大学硕士学位论文 7 ? 逆 wkb 方法对高斯函数折射率轮廓的拟合 modenxiwkb 12.2861.0500.960 22.2651.7001.720 32.2462.2502.240 42.2302.8202.810 = 0.6328 m 表 2.2 逆 wkb 方法对高斯函数折射率轮廓的拟合 table. 2.2 guassian refractive index profile reconstruction by iwkb method 图 2.2 逆 wkb 方法对高斯函数折射率轮廓的拟合 fig. 2.2 guassian refractive index profile reconstruction by iwkb method 使用逆 wkb 方法对指数函数折射率轮廓的拟合高阶模一般都能取得理 想的结果低阶模的误差相对来说大一些特别是当模数小于 4 到 5 时结果 的精度可能会超出误差允许范围 上海交通大学硕士学位论文 8 ? 逆 wkb 方法对高斯函数折射率轮廓的拟合 modenxiwkb 12.3001.7141.860 22.2851.7471.820 32.2551.7781.760 42.2201.8181.990 = 0.6328 m 表 2.3 逆 wkb 方法对费米函数折射率轮廓的拟合 table. 2.3 fermi refractive index profile reconstruction by iwkb method 图 2.3 逆 wkb 方法对费米函数折射率轮廓的拟合 fig. 2.3 fermi refractive index profile reconstruction by iwkb method 质子交换 3 linbo 光波导退火前的折射率分布呈费米函数形式在一些扩散 条件下接近阶跃型分布对于这一类迅速变化的折射率分布特别是模数比较 少的情况下逆 wkb 方法难以得到理想的结果甚至在物理上是不合理的 上海交通大学硕士学位论文 9 2.1.3逆 wkb 方法的近似实质 以上介绍了逆 wkb 方法在渐变折射率光波导中的应用从对各种形式折 射率轮廓的数值拟合结果来看逆 wkb 方法具有形式简单物理意义明确的 特点特别是对于折射率变化缓慢或模数比较多的光波导逆 wkb 方法可 以得到比较理想的结果但逆 wkb 方法同时存在严重的缺陷它不适用于快 速变化的折射率分布特别是模数比较少的情况下逆 wkb 方法的精确度问 题随之产生甚至得出不合理的结果 逆 wkb 方法基于 wkb 近似方法诞生而 wkb 方法的近似实质是 1 用转折点处的折射率 )( t xn 代替转折点外的折射率从而得到转 折点处相移为 2/ 的结论 2 忽略了散射子波的位相贡献 由于转折点附近的解对转折点外的折射率分布比远离转折点的解具有更紧 密的关系而 wkb 方法不适当地以 )( t xn 取代转折点外的实际折射率分布 说明了 wkb 方法只适用于远离转折点处解的原因另外由于散射子波位相 贡献折射率变化越激烈则散射子波位相贡献越大从而解释了 wkb 方法 仅适用于变化缓慢的折射率分布的原因 这样来看基于 wkb 方法理论框架的逆 wkb 方法不可避免的继承 wkb 方法的缺陷从而在拟合折射率变化剧烈的波导时发生困难 另一方面由逆 wkb 方法的递推公式 (2.5) 可知 1 x 仅取决于表面折射 率 0 n 和一阶有效模折射率 1 n 的值而 2 x 取决于第一个点的位置 3 x 取 决于前两个点的位置以次类推显而易见对于模数比较小的几个点信 息量是非常有限的这就解释了逆 wkb 方法在拟合模数比较少的波导时发生 偏差的原因而对于表面折射率值的获得逆 wkb 方法从纯几何的角度出发 选取使得曲线最为光滑的点作为表面折射率值这显然使该方法的物理意义不 能完全明确 对于逆问题的解到目前为止已经发展了多种改进技术取得了比逆 wkb 方法合理的结果但这些方法仍基于 wkb 近似的框架中除了能提高一 上海交通大学硕士学位论文 10 些 wkb 方法的精度以外无法在物理上有所突破因此无法摆脱由 wkb 近 似引起的困难 2.2逆分析转移矩阵(iatm)方法 2.2.1分析转移矩阵(atm)方法原理 平板波导的分析转移矩阵atm方法从完全不同于 wkb 近似的路径 出发对于任意的折射率分布均能给出物理意义清晰而且数值结果精确的色 散方程 图 2.4 任意渐变折射率平板波导 fig. 2.4 plot of planar waveguide with arbitrary index profile 考虑图 4.12 所示的渐变折射率平板波导折射率分布由下式确定 + = 2 0 2 2 2 1 2 2 2 )/()( )( n dxfnnn xn )0( )0( x x (2.7) 为了用转移矩阵求解首先在远离转折点的 cts xxx+= 处截断在 s x 处 假设场足够小在 s xx 处假设有 s nxn=)( 然后分割区域 ), 0( t x 和 ),( st xx 分别为l和m等份每层的厚度均为h即有 lhxt= 和 mhxc= 则对 te 波相应每一小层的转移矩阵分别为 上海交通大学硕士学位论文 10 些 wkb 方法的精度以外无法在物理上有所突破因此无法摆脱由 wkb 近 似引起的困难 2.2逆分析转移矩阵(iatm)方法 2.2.1分析转移矩阵(atm)方法原理 平板波导的分析转移矩阵atm方法从完全不同于 wkb 近似的路径 出发对于任意的折射率分布均能给出物理意义清晰而且数值结果精确的色 散方程 图 2.4 任意渐变折射率平板波导 fig. 2.4 plot of planar waveguide with arbitrary index profile 考虑图 4.12 所示的渐变折射率平板波导折射率分布由下式确定 + = 2 0 2 2 2 1 2 2 2 )/()( )( n dxfnnn xn )0( )0( x x (2.7) 为了用转移矩阵求解首先在远离转折点的 cts xxx+= 处截断在 s x 处 假设场足够小在 s xx 处假设有 s nxn=)( 然后分割区域 ), 0( t x 和 ),( st xx 分别为l和m等份每层的厚度均为h即有 lhxt= 和 mhxc= 则对 te 波相应每一小层的转移矩阵分别为 上海交通大学硕士学位论文 10 些 wkb 方法的精度以外无法在物理上有所突破因此无法摆脱由 wkb 近 似引起的困难 2.2逆分析转移矩阵(iatm)方法 2.2.1分析转移矩阵(atm)方法原理 平板波导的分析转移矩阵atm方法从完全不同于 wkb 近似的路径 出发对于任意的折射率分布均能给出物理意义清晰而且数值结果精确的色 散方程 图 2.4 任意渐变折射率平板波导 fig. 2.4 plot of planar waveguide with arbitrary index profile 考虑图 4.12 所示的渐变折射率平板波导折射率分布由下式确定 + = 2 0 2 2 2 1 2 2 2 )/()( )( n dxfnnn xn )0( )0( x x (2.7) 为了用转移矩阵求解首先在远离转折点的 cts xxx+= 处截断在 s x 处 假设场足够小在 s xx 处假设有 s nxn=)( 然后分割区域 ), 0( t x 和 ),( st xx 分别为l和m等份每层的厚度均为h即有 lhxt= 和 mhxc= 则对 te 波相应每一小层的转移矩阵分别为 上海交通大学硕士学位论文 11 = )cos()sin( )sin( 1 )cos( hh hh m iii i i i i ), 2 , 1(li?=(2.8) 和 ), 2, 1( )cosh()sinh( )sinh( 1 )cosh( mlllj hh hh m jjj j j j j += = ? (2.9) 其中 = = 2/122 0 2 2/1222 0 )( )( jj ii xnk xnk (2.10) 由转移矩阵理论可得矩阵方程 = + += )( )( )0( )0( 11 sy sy ml lj j l i i y y xe xe mm e e (2.11) 容易知道在 0 区域是指数衰减场即有 = )(exp )exp( )( 00 sss y xxpa xpa xe )( )0( x xx x =exp(2.18) 对 ), 0( t x 的区域采用多层波导的推导方法可得到方程 ( ) ()?, 2, 1 , 0 tantan 1 1 0 1 1 = + +=+ = n pp nsh l t l i i (2.19) 式中 ( ) = = = + + + i i i i i i i i p s 1 1l 1 1 11 1 tan tantan (2.20) 而 () l , , 2, 1ih p tantanp i i 1i1 ii ?= = + (2.21) 显然当()0hl时(2.19) 式转变为相位积分的简单形式 ( ) ()?, 2, 1 , 0 tantan l 1 1 0 1 0 = + +=+ n pp nsdx t xt (2.22) 综上所述任意折射率分布的平板波导利用分析转移矩阵方法可得模 式本征方程 (2.22) 式中 上海交通大学硕士学位论文 13 t x 为转折点且有 0 )( k xn t =(2.23) 1+ = lt pp为等效衰减系数(2.24) 2/1222 0 )()(=xnkx(2.25) 2/122 1 2 01 =nk(2.26) 2/12 0 2 0 2 0 nkp=(2.27) 为导模传播系数 2 0 =k为光波长(2.28) 而子波的相位贡献为 = + + + = 1 1 1 1 1 )tanarctan()( l i i i i i s (2.29) 与 wkb 方法比较以上结果有如下特点 1) 转折点处的相移是常数它不但与传播常数无关而且与折射率分布 的形状也无关是普遍的 2) 与转折点是否靠近折射率分布的截断点和不连续点无关 3) 与波长无关即可适用于两转折点十分靠近的折射率分布 其中散射子波的相位贡献由 (2.29) 式给出 分析转移矩阵方法从完全不同于 wkb 近似的路径出发得到了物理意义 十分清楚的模式本征方程与 wkb 方法比较方程 (2.22) 不但保持了相位积 分方程简单的形式而且可给出精确的模式本征值和转折点处的相移同样重 要的是提出了散射子波相位贡献的概念而在 wkb 方法和改进的 wkb 方 法中散射子波的位相贡献是被忽略的 实际的计算过程表明利用方程 (2.22) 虽然需计算等效衰减系数 t p 和最 接近转折点处横向波矢 l k但分层数l只要取数百即能达到理想的结果 上海交通大学硕士学位论文 14 2.2.2逆分析转移矩阵(iatm)方法原理 所谓逆分析转移矩阵方法就是根据实验确定的模式有效折射率的值从 分析转移矩阵方法出发求光波导的折射率分布 )(xn 为有效地描述该方法本文采用文字公式和图解的形式分步骤阐述 ? 步骤 a实验确定的模式有效折射率值表示为 ),.2 , 1(mmnm= 图 2.5a 实验确定的模式有效折射率值 fig. 2.5a given the set of mode indices ? 步骤 b取任意初始模有效折射率对应的坐标 ),.2 , 1(mmxm=表示 为 )0( m x初始值的选取将在下文中介绍 图 2.5b 取任意模有效折射率对应的横坐标 fig. 2.5b arbitrary x values 上海交通大学硕士学位论文 15 ? 步骤 c由 ),.2 , 1(mmnm= 和 )0( m x 得到一组折射率分布的系列 图 2.5c 基于初值x0的模式分布 fig. 2.5c refractive indices derived from arbitrary x0 values 类似于逆 wkb 法可认为相临两个模之间的折射率分布近似为线性即 )( )( )( )( 1 1 xx xx nn nxn k kk kk k + kk xxx 1(2.30) ? 步骤 d将 )0( m x 代入 (2.30) 式可得到折射率分布 )0( )(xn 图 2.5d 基于初值x0的折射率分布 fig. 2.5d refractive index profile derived from arbitrary x0 values 上海交通大学硕士学位论文 16 ? 步骤 e把 )0( )(xn代入 atm 模式本征方程 (2.22) 可以确定该初始 折射率分布下的各阶模式有效折射率对应的坐标 )1( m x 图 2.5e 基于初值n(x)0的模式分布 fig. 2.5e refractive indices derived from n(x)0 ? 步骤 f比较 )1( m x 和 )0( m x 设 = = n i j i j ij xx 1 2)1()( )(2.31) 若0 j 则说明由 )0( m x 即 )0( )(xn 给出的折射率分布满足实验确 定的光波导模式有效折射率值),.2 , 1(mmnm= 图 2.5f 比较前后两次xm的值 fig. 2.5f comparison on xm 若比较结果表明前后两次 m x 的值有可观的变化 则回到步骤 c 将 ) 1( m x 代入 (2.30) 式得到改进了的折射率分布 ) 1( )(xn 重复步骤 c 到步骤 f 的迭代过程 可得 )( )( j xn 上海交通大学硕士学位论文 17 经过 j 次迭代循环过程收敛于 0 j 由 )( )( j xn 给出的折射率分布 满足实验确定的光波导模式有效折射率值),.2 , 1(mmnm=由此可见通过 以上方法求出的折射率分布从理论上讲是自恰的 图 2.6 迭代法流程图 fig. 2.6 flow chart on iteration process 上海交通大学硕士学位论文 18 2.2.3逆分析转移矩阵(iatm)方法的优化 2.2.3.1 初始值的选定 实际上只要选取一系列合理的递增序列 ),.2 , 1(mmxm=都可以得到唯一 收敛的迭代结果初值的选取在很大范围内具有随意性这从令一个方面证实 了逆分析转移矩阵方法的有效性 初值的选取建议可以采用逆 wkb 方法的结果选取合理的初值可以有 效的减少迭代循环的次数 2.2.3.2 用拟合曲线代替线性近似的优化 对于质子交换 3 linbo 光波导退火前后的折射率分布差异很大尤其是退 火前具有接近阶梯状分布的特征(2.31) 式定义的费米函数包含一个改 变的值可以从渐变到阶梯状的范围内调整曲线形状特别适合质子交换波 导 1 )exp()/exp(1 )( += dx dxfermi(2.32) 而波导的折射率分布可以表示为 )()( 0 xferminxn+=(2.33) 式中d 0 n 为待定参数 一旦以上 4 个参数被确定(2.32) 式即可确定绝大多数质子交换波导的折 射率分布特性 由此我们对图 2.6 中的逆转移矩阵方法做如下优化 上海交通大学硕士学位论文 19 图 2.7 曲线拟合优化的迭代法流程图 fig. 2.7 improved flow chart on iteration process 上海交通大学硕士学位论文 20 流程图 2.6 与 2.7 中描述的曲线拟合优化迭代法流程图的区别在于 图 2.6 中认为相临两个模之间的折射率分布近似为线性将所有这些模折 射率的点用直线相连得到的折线近似认为是折射率分布曲线 图 2.7 中将所有这些模折射率的点 用公式 (2.32) 进行拟合 求出式 (2.32) 中的待定参数d 0 n用式 (2.32) 表征折射率分布曲线 拟合待定参数的方法这里采用最速下降法也称梯度法限于篇 幅原因这里不做累叙请查阅附参考文献 如图 2.7 中描述的曲线拟合迭代法对拟合折射率形态已知的光波导有非 常明显的优化作用该方法适用于任意已知折射率分布函数的拟合只需改动 式 (2.32) 的表达形式就可以拟合其他形式的光波导 2.2.3.3 表面折射率值的优化 目前表面折射率值的采用逆 wkb 方法得到的表面折射率值 2.2.3.4 转折点外折射率分布的优化 实现转折点外折射率分布目前使用的方法有两种 ? 第一种方法假设 + = + = + + + + m m sm s mmm mm mm m xxxs xs nn n mmxxxxx xx nn n xn )( )( )( 1,.1 , 0)( )( )( )( 11 1 1 1 (2.xx) 上海交通大学硕士学位论文 21 其中 s n 是衬底折射率 m x 代表最高阶模所对应的深度 s 代表无穷远处即衬底深度一般选一个 10 倍于 m x 左右的值即可 ? 第二种改进的方式假设 + = + = + + + + ms mmm mm mm m xxxbn mmxxxxx xx nn n xn )exp( 1,.1 , 0)( )( )( )( 11 1 1 1 (2.xx) 在最高阶模以外的折射率分布假设成一个呈指数衰减的形式其中待定参 数 a 与 b 的选择通过折射率分布函数在 m x 两侧 1 函数值连续 2 一阶导数连续 条件获得 2.2.4逆分析转移矩阵(iatm)方法的实验与数值计算结果 对几种典型的折射率分布的分析表明逆分析转移矩阵方法具有极高的精 确度为进一步检验这种方法的可靠性利用实验测量的质子交换 3 linbo 波导 的有效折射率值用 iatm 和 iwkb 两种方法进行了分析结果表明iatm 方法比 iwkb 方法更为合理 上海交通大学硕士学位论文 32 第三章 逆分析转移矩阵方法的应用 3.1渐变折射率波导折射率轮廓测量装置的设计 折射率轮廓是表征渐变折射率光波导的重要参数知道了折射率轮廓才 能计算波导的传播常数进而根据光波导的色散方程计算波导介质的厚度介 电系数等其它参数因此测量光波导的折射率轮廓对波导器件的设计具有十 分重要的意义 到目前为止已发展了多种测量渐变折射率波导折射率轮廓测量的技术和 装置主要包括切片型光束干涉型等一些设计对波导本身有物理损坏 另一些设计要求高实现成本昂贵 从逆分析转移矩阵方法出发利用一般光学实验器材我们设计了一种精 确度高实现成本低的测量渐变折射率波导折射率轮廓的装置 图 3.1 装置设计 fig. 3.1 design chart 如图 3.1设计思想是左侧装置是一套改进了的 m-line 方法测量装置 由右侧计算机控制的 m-line 测量装置采集到的波导 m-line 数据即一组波导有 效折射率的值通过软硬件接口输入到计算机内用逆分析转移矩阵方法软件 进行处理输出被测波导的折射率轮廓 上海交通大学硕士学位论文 33 3.1.1硬件部分描述 有效折射率的传统测量方法是采用 m-line 方法即通过用肉眼观察到 m 线 时记录下角度即可计算得到有效折射率但由于人眼误差较大且对于一些 m-line 不易被观察到的特殊情况如波导损耗较大或光波波长较长等情况m- line 方法就不大有效了本实验中样品被放置在旋转台上用探测器测量反 射光随入射角的变化函数通过反射曲线的骤减峰来判断导模的激发实验 光路布置如图 4 所示为了获得较为精密的实验数据转台的转速及数据采集 都由计算机来控制 图 3.2 硬件部分描述 fig. 3.2 hardware design 需要注