（概率论与数理统计专业论文）dirichlet问题的概率数值方法.pdf

摘要 概率理论和分析数学之间的联系和影响是深刻的，其中扩散过程和 二阶椭圆型偏微分方程之间的相互作用就是引人注目的例子之一。本学 位论文，正是注意到了这些现象，提出了一种求解d i r i c h l e t 问题的新数 值方法，克服了以往使用其它数值方法时常常遇到的困难和局限性，显 示了分析数学中的问题借助概率理论来解决有着广阔的前景，在理论上 和实际中都有着很好的意义。 绝大多数d i r i c h l e t 问题的解析解往往难以得到，随着计算机技术的 发展，d i r i c h l e t 问题的数值解法越来越受到人们的重视，新的思想和方 法不断涌现，其中有限元法已经发展成为目前求解d i r i c h l e t 问题的最主 要的数值方法，但是有限元法解决该问题时，存在着一些弱点和局限。 有限元法存在有“多维烦恼”，以它应用到三维问题为例，在单元形状、 区域剖分和方程组的求解等方面都会出现很大的复杂性。特别地，三维 问题最终产生的代数方程组未知数的个数与二维问题相比，将按几何级 数急剧增加，即使计算机技术飞速发展，也难以满足它们的需求。其次， 用有限元法求解工程和物理中集中载荷等问题时，显得工作量过大而且 、叽 浪费。另外，有限元法不能解决d i r i c h l e t 外问题。为此本文以概率理 论及其与d i r i c h l e t 问题之间的联系为基础，提出了一种d i r i c h l e t 问题的 数值方法，以解决上述存在的种种问题。 f 基本思路：先将d i r i c h l e t 问题的解用随机表达式表示；随后在定解 区域边界上进行剖分，将问题离散化；接着利用布朗运动、漂移布朗运 动等过程的强马尔可夫性以及它们的球面首中位置或首中时分布，对定 解区域构作一个辅助球，从而求得离散化了的问题的解。这样概率数值 方法就将定解区域上的问题转化成定解区域边界上的问题，从而三维问 题就转化成了二维问题，带来求解上的简便。又因为此种方法，是逐点 获得数值解的，因此，用于集中载荷等问题时不显工作量大和浪费。另 外，由于在无界区域上解的随机表达式也是成立的，因而可以用来解决 d i r i c h l e t 外问题。最后，这种概率数值方法的边界适应性也很强，可以 用于各种边界复杂的问题。 本论文由七章组成。 第一章综述了d i r i e h l e t 问题数值解的现状、与d i f i c h l e t 问题密切联 系的概率理论以及概率数值方法的实质和特点。第二章介绍了论文中涉 及到的概率理论的基本概念、性质和定理等。余下的内容分为两部分： 第一部分由第三、四、五、六章组成，是关于概率数值方法的研究和探 讨。第三章首先介绍概率数值方法总的思路，然后对平面有界区域上， 调和方程的第一边值问题提出了概率数值方法。数值算例表明，该方法 简便且高效。第四章将该方法推广到了高维情形以及p o i s s o n 问题和一般 问题，并再次以算例验证了该方法的有效性。第五章介绍与漂移布朗运 动相联系的d i f i e h l e t 问题的概率数值方法。第六章将该方法应用到了 d i r i e h l e t 外问题，显示了该方法的另一优越性。第二部分即第七章，研 讨了基于概率理论的其它主要数值方法：m o n t e c a r l o 有限差分法和 m o n t e c a r l o 有限元法。 关键词d i r i e h l e t 问题，概率数值方法，随机表达式，布朗运动， 强马尔可夫性 i i a b s t r a c t t h e r e l a t i o n s h i pa n di n t e r p l a yb e t w e e np r o b a b i l i t yt h e o r ya n da n a l y s i si s r e m a r k a b l e ，f o re x a m p l e ，t h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nd i f f u s i o np r o c e s s e sa n d s e c o n d o r d e re l l i p t i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b a s e do nt h e s e ，an e w n u m e r i c a lm e t h o df o rt h ed i r i c h l e tp r o b l e mi sp r o p o s e di nt h i st h e s i s t h i s m e t h o do v e r c o m e st h ed i f f i c u l t i e sa n dl i m i t a t i o n sr e s u l t i n gf r o mo t h e r s i t s h o w st h a ts o l v i n gp r o b l e m si na n a l y s i sb yp r o b a b i l i t yt h e o r yh a sab r i g h t f u t u r eb o t hi nt h e o r ya n d p r a c t i c e i ti s u s u a l l yt h a t t h es o l u t i o nf o rt h ed i r i c h l e tp r o b l e mc a nn o tb e o b t a i n e da c t u a l l y w i t ht h ed e v e l o p m e n to f c o m p u t e r s ，p e o p l ep a ym o r ea n d m o r ea t t e n t i o nt ot h en u m e r i c a ls o l u t i o n m a n yi d e a sa n dm e t h o d sh a v e a p p e a r e d a m o n g t h e mt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a sb e c o m em o s t p o p u l a r b u tt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a ss o m ew e a k n e s s e sa n dl i m i t a t i o n st o o f i r s t ， i ti sn o tf i tt o h i g h e r - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s f o ri n s t a n c e ，a b o u t 3 - d i m e n s i o n a l p r o b l e m st h e r e e x i s t m a n yd i f f i c u l t i e s i nt h e s h a p eo ft h e e l e m e n t ，t h es u b d i v i s o na n dt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n s e s p e c i a l l y , t h e u n k n o w n so ft h ea l g e b r a i ce q u a t i o n sa b o u t3 - d i m e n s i o n a lp r o b l e m si n c r e a s e a s g e o m e t r i c a lp r o g r e s s i o nc o m p a r e d w i t h2 - d i m e n s i o n d p r o b l e m s s o d e v e l o p m e n t o f c o m p u t e r s c a nn o tm e e tt h e i r n e e d s s e c o n d ，t h e c o m p u t a t i o n a la m o u n ti sh u g ea n du n n e c e s s a r yw h e n i ti su s e dt os o l v et h e p r o b l e m o fc o n c e n t r a t i v el o a d i n gi nm e c h a n i c sa n d p h y s i c s t h i r d i tc a n n o t s o l v et h ee x t e r i o rd i r i c h l e tp r o b l e m t h e r e f o r e ，b a s e do n p r o b a b i l i t yt h e o r y a n di t sl i n k sw i t ht h ed i r i c h l e tp r o b l e m ，w e p r o p o s ea n e wn u m e r i c a lm e t h o d f o rt h ed i r i c h l e t p r o b l e m t or e m o v et h ea b o v ew e a k n e s s e s i t sm a i ni d e ai sa s f o l l o w s ：f i r s t l y , r e p r e s e n t t h es o l u t i o no f t h ed i r i c h l e t p r o b l e m a st h es t o c h a s t i cr e p r e s e n t a t i o n s t h e ns u b d i v i d et h eb o u n d a r yo f t h e d o m a i na n dm a k et h e p r o b l e md i s c r e t i z e d s e q u e n t l y , u s et h es t r o n gm a r k o v p r o p e r t ya n dt h ed i s t r i b u t i o n so f t h et i m ea n dp l a c eo fh i t t i n gs p h e r e sf o r b r o w n i a nm o t i o no rb r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f t ，a n dc o n s t r u c ta na u x i l i a r y l b a l lf o rt h ed o m a i n f i n a l l yg e tt h es o l u t i o nt ot h ed i s c r e t i z e dp r o b l e m s ot h e p r o b l e m o nt h ed o m a i ni st u r n e di n t oa p r o b l e m o nt h eb o u n d a r ya n dt h e3 - d p r o b l e m i s e a s i l y s o l v e dw h e ni tb e c o m e sa2 - dp r o b l e m b e c a u s et h e n u m e r i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e dp o i n tt op o i n tb yi t ，t h ep r o b a b i l i s t i cn u m e r i a l m e t h o di sn o te x p e n s i v ef o rt h ep r o b l e mo fc o n c e n t r a t i v el o a d i n g f o rt h e s t o c h a s i cr e p r e s e n t a t i o ni ss t i l lc o r r e c to v e ru n b o u n d e d d o m a i n s ，t h i sm e t h o d c a na l s os o l v et h ee x t e r i o rd i r i c h l e tp r o b l e m l a s t ，t h em e t h o d i s a d a p t a b l et o b o u n d a r ya n dc a nb eu s e dt ov a r i o u sp r o b l e m sw i t hc o m p l e xb o u n d a r y t h i s t h e s i sc o n s i s t so fs e v e n c h a p t e r s i n c h a p t e r1 ，t h ep r e s e n tc o n d i t i o n s o fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e d i r i c h l e tp r o b l e m ，t h ep r o b a b i l i t yt h e o r yw h i c hc o n n e c t sw i t ht h ed i r i c h l e t p r o b l e m ，a n dt h ee s s e n c ea n dc h a r a c t e r i s t i c so ft h ep r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a l m e t h o da r es u m m a r i z e d i nc h a p t e r2 ，t h ee s s e n t i a l c o n c e p t i o n s ，p r o p e r t i e s a n dt h e o r e m se t c i nt h ep r o b a b i l i t yt h e o r yw h i c hi si n v o l v e di nt h et h e s i sa r e i n t r o d u c e d t h er e m a i n d e ro ft h ep a p e rf a l l si n t ot w op a r t s t h ef i r s t p a r t ， w h i c hc o m p o s e do f c h a p t e r3 ，4 ，5a n dc h a p t e r6 ，i sd e v o t e dt os t u d y i n gt h e n e w p r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a lm e t h o d c h a p t e r3i n t r o d u c e st h em a i ni d e a so f t h ep r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a lm e t h o da n d a p p l i e si tt ot h eh a r m o n i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo v e rb o u n d e dp l a n ed o m a i n s t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o w t h em e t h o di sb o t hc o v e n i e n ta n d e f f i c i e n t c h a p t e r 4g e n e r a l i z e st h em e t h o d t oh i g h e r - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，t h ed i r i c h l e t - p o i s s o np r o b l e ma n d g e n e r a l p r o b l e m s t h em e t h o d i sv e r i f i e de f f e c t i v ea g a i n t h r o u g h n u m e r i c a l e x a m p l e s c h a p t e r5 e s t a b l i s h e st h ep r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a lm e t h o df o rt h ed i r i c h l e t p r o b l e mr e l e v a n tt ob r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f t i nc h a p t e r6t h em e t h o di s a p p l i e dt ot h ee x t e r i o rd i r i c h l e tp r o b l e ma n di t sa n o t h e ra d v a n t a g ei sg i v e n t h es e c o n dp a r tc o n t a i n sc h a p t e r7 ，w h i c hi sc o n t r i b u t e dt os t u d y i n go t h e r m a i nn u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do np r o b a b i l i t yt h e o r y ：m o n t e c a r l of i n i t e d i f f e r e n c em e t h o da n dm o n t e c a r l of i n i t ee l e m e n tm e t h o d k e yw o r d st h ed i r i c h l e tp r o b l e m ，p r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a l m e t h o d ， s t o c h a s t i cr e p r e s e n t a t i o n s ，b r o w n i a n m o t i o n ，s t r o n gm a r k o vp r o p e r t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：监日期：! 生年三月竺日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：臼奠l 导师签名：日期：z 盟年三月竺日 博士学位论文第一章绪论 第一章绪论 概率理论与分析数学之间有着丰富而深刻的联系，它们彼此之问有着很大的影 响【1 3 8 1 。1 9 3 1 年，k o l m o g o r o v 就开始了这方面的研究。1 9 8 4 年，d o o b p 9 1 和d u r r e t t 4 0 】 分别发表了这方面的专著c l a s s i c a lp o t e n t i a l t h e o r y a n dl t sp r o b a b i l i s t i c c o u n t e r p a r t ) ) 和( b r o w n i a n m o t i o n a n d m a r t i n g a l e s i n a n a l y s 括。近年来，也有许多 人从事该领域的研究，不断有专著、文献发表，参见【4 1 - 4 6 1 等。 本学位论文正是注意到了d i r i c h l e t 问题与布朗运动等扩散过程之间的密切联系， 以概率理论为基础，建立了求解d i r 耙h & t 问题的一种新的数值方法，文中称之为概 率数值方法，解决了以往其它数值解法中存在的某些问题，并以数值结果验证了该 方法确实简便高效。另外，本论文还对基于概率理论求解d i r i c h l e t 问题的其它数值 方法进行了探讨。 论文的研究结果进一步显示，分析数学中的问题可以借助于概率理论来解决， 概率理论和分析数学之间的相互应用有着良好效果和广阔前景。 1 1 概率数值方法提出的背景 概率数值方法的提出主要源于两方面的因素：一方面是d i r i c h l e t 问题数值解的 研究现状以及存在的问题，另一方面是概率理论及其与d i r i c h l e t 问题之间的紧密联 系提供的基础。 首先来看d i r i c h l e t 问题数值解的现状【4 7 弓2 1 。 所有的偏微分方程：椭圆型、抛物型和双曲型的偏微分方程，通常是某些物理 规律的数学表示，在理论和实际中有着广泛的应用。考虑到物理现象的周围环境和 历史情况，所有的偏微分方程的解通常需要满足一定的边晃条件或初始条件。椭圆 型偏微分方程一般描述的是定常状态的物理现象。例如，弹性力学中的平衡问题， 无粘性流体的无旋运动、位势场问题等，因此常常需要满足一定的边界条件。二阶 椭圆型偏微分方程的第一边值问题，通常被称为d i r i c h l e t 问题。d i r i c h l e t 问题有着 博士学位论文第一章绪论 悠久而古老的历史。p o i n c a r e l 8 9 9 年证明了，如果区域d 的边界0 9 上的每个点a 都有外部球性质，即存在一个开球觑口) ，使得n ( a ) n d = a ，b ( a ) n o d = a ，那 么d i r i c h l e t 问题在区域d 中总是可解的。随后，d z a r e m b a1 9 0 9 用锥代替球得到了 同样的结果。 尽管线性椭圆型偏微分方程的理论研究已经比较完善，然而对于绝大多数实际 问题而言，因为定解区域或区域边界上的条件复杂，使得我们求方程的解析解相当 困难，甚至不可能，所以对很多偏微分方程包括椭圆型、抛物型和双曲型的问题， 我们只好转求它们的数值解。随着计算机技术的迅速发展，偏微分方程的数值解法， 越来越受到人们的重视，用近似方法对实际问题进行数值研究有重大实际意义和发 展前景。 近几十年来，求d i r i c h l e t 问题数值解的新思想和算法不断涌现，其中有限元方 法和差分方法是目前被普遍认为行之有效的两种主要的数值方法。用差分方法求解 椭圆型偏微分方程已经有不少研究和应用成果，但是，差分方法是用矩形网格等较 严格的网格来剖分定解区域，这对矩形定解区域方便，而对一般形状的定解区域， 差分方法就显得不够灵活、不够方便了。二十世纪六十年代，由数学家冯康院士等 人创造的有限元方法，实用简便，并且具有起码的精度，在各种实际问题中表现出 了很大的优越性。现在有限元方法的理论问题已经趋于完善，实际中更是得到了广 泛的应用。事实上，差分方法被更多地应用于求解抛物型和双曲型偏微分方程的初 值和边值问题，而椭圆型偏微分方程的边值问题一般都用有限元方法来解决。因此， 有限元法目前已成为求解椭圆型偏微分方程边值问题的最主要的数值方法【5 3 稍】。 一般说来，求解偏微分方程问题的数值方法通常需要如下进行。首先是通过区 域剖分，将偏微分方程及其边界条件离散化，然后求离散化了的方程的解。也就是 说，将一个连续问题转化成一个离散问题。而离散问题往往最终化成为一个代数方 程组的求解问题，然后通过电子计算机，解代数方程组，求得数值解。采用不同的 数值方法，对偏微分方程及其边界条件采用不同的方式进行离散，采用不同的算法， 计算效果往往相差很大。我们的目标当然是花费的计算工作量越少越好，而得到的 数值解的精度越高越好。 2 博士学位论文第一章绪论 有限元方法以变分原理为基础，用它来求解d i r i c h l e t 内问题时，首先将d i r i c h l e t 内问题转化为与之等价的某个泛函的极值问题，即相应的变分问题。然后，通过求 解变分问题来求解d i r i c h l e t 内问题。有限元方法是把整个定解区域剖分为有限数目 的单元，在整个区域上，建立与剖分单元结点数目相等个数的基函数，再由这些基 函数构成整个区域上的有限元空间，从而将所求的变分问题离散化，得到一个未知 数个数与结点数目相等的线性代数方程组，然后结合边界条件，求解线性代数方程 组，得到单元剖分结点上的数值解。有限元方法在求解d i r i c h l e t 内问题时，表现出 了很好的效果，然而，有限元方法不能解决d i r i c h l e t 外问题，并且它也存在着一些 弱点。 正如美国工程院院士著名数值分析家lb a b u s k a 所关注的那样，有限元方法存在 着“多维烦恼”。对于二维d i r i c h l e t 内问题，用有限元方法来解决是有效的。然而， 现实中存在大量的实际问题，均应在三维空间中分析讨论才更加合理。例如，电磁 场问题，只有在很特殊的条件下，才可能归结为二维问题，而在很多情形下必须按 照三维场予以分析计算才行。虽然，三维空间中的有限元方法与平面有限元方法在 理论上的分析过程和解题步骤基本上相似，也就是说，原则上讲从二维推广到三维 并不困难，但是，实际上当自变量从二维增加到三维时，在单元形状、区域剖分、 线性代数方程组求解等各方面均出现了很大的复杂性。仅以方程组的求解为例，由 于其离散结点数目将随着定解区域从平面到空间范围的扩展而急剧增加，导致最终 产生的线性代数方程组的未知数的个数按照几何级数急剧增加。这也正是到了二十 世纪六十年代，在电磁场领域中按照三维场分析计算还是为数不多的原因之一。虽 然近代计算机技术飞速发展，使得像电磁场这样的三维问题用有限元方法求数值解 取得了一定的成果。然而，计算机技术发展的速度仍然远远赶不上有限元方法对它 的需求。例如，对于真正的三维弹性力学问题，目前最多只能做到在每个方向上取 大约2 0 到4 0 个结点。所以，我们不能指望依靠计算机，来解决有限元方法用于高 维问题时，带来的计算量过大等方面的问题。 另一点我们要谈到的是，在许多工程和物理问题中，经常会遇到一些集中载荷 问题。对于这类问题，人们不需要知道区域内很多点上的数值解，而只需要知道区 博士学位论文第一章绪论 域内少数几个点上的数值解即可。这时，若用有限元方法，对整个区域进行剖分， 再在整个区域上确立剖分结点和基函数，工作量显得过大。这时有限元方法求得的， 区域内所有网格结点上的数值解中的大多数是不需要的，因此这样做显然浪费了很 多的工作量，去计算很多不必要的结果。 还有一点，有限元方法需要在定解区域内进行剖分，对于定解区域无界的情形， 它便无能为力，所以，它无法解决d i r i c h l e t 外问题。 本论文正是针对以上情况，以概率理论为基础，建立了一种求解d i r i c h l e t 问题 的新的高效数值方法，即概率数值方法，用于解决上述存在的种种问题。 下面再来看概率理论基础及其与d i r i c h l e t 问题之间的联系。 布朗运动最初是指悬浮在水中的花粉的不规则的移动，1 8 2 8 年，由植物学家 r o b e r tb r o w n 观察得到。然而，现在定义的布朗运动，其应用范围已经远远超出了 对悬浮微小粒子的研究，在各种各样的数学、物理、生物、经济和管理等领域中有 着广泛的应用。关于b r o w n 运动的首次定量的研究归功于b a c h e l i e r ，起因是他对股 票价格的波动发生了兴趣。1 9 0 5 年，e i n s t e i n 从热分子运动理论导出了布朗运动的转 移密度。一个关于布朗运动的严格的数学处理始于w i n e n e r ，随后深入的工作来源 于p l e v y ，k o l m o g o r o v 等人的研究。关于布朗运动的随机积分由忍 秒，w i e n e r ， z y g m u n d1 9 3 3 年引入。1 9 4 2 年，l t 0 1 2 0 - 2 1 】给出了现在普遍使用的随机积分的概念， 随机分析学迅速地发展成一门新的学科。由于像布朗运动这样重要的随机过程是处 处不可微的，所以随机分析走的是完全不同于经典的、牛顿和莱布尼兹发明的分析 的途径。研究关于布朗运动的随机积分，i t o 进一步的目标是想要严谨地处理好随机 微分方程。随机微分方程有着强大的物理背景，其概念既坚实可靠，又直观自然， 无论在理论上还是在实际问题中，它的应用都深受欢迎。它的应用之一就是用于研 究扩散过程。随机微分方程经常可以决定扩散过程，例如，有的扩散过程就是指关 于布朗运动的随机微分方程 a x , = 厦置) d t + 仃( 置) d w ,( 1 1 ) 的解。其中，孵是一个布朗运动。 扩散过程与二阶椭圆型和抛物型偏微分方程之间有着广泛的联系，许多二阶椭 4 博士学位论文第一章绪论 圆型和抛物型偏微分方程的问题的解可以表示成某个扩散过程的泛函的期望。特别 地，二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题即d i r i c h l e t 问题，它的解可以表示成由方 程( 1 1 ) 所决定的扩散过程的泛函的期望。我们以后都称这种表示式为解的随机表达 式。利用这种随机表达式，人们可以研究d i r i c h l e t 问题解的基本性质等。这里，我 们正是利用这种随机表达式，提出了求解d i r i c h l e t 问题的新的数值方法。这种概率 数值方法，解决了前面谈到的，目前d i r i c h l e t 问题数值解中存在的若干问题。 另外，本论文还注意到了以概率理论为基础的，求d i r i c h l e t 问题数值解的其它 方法。它们主要有两种，都是以m o n t e c a r l o 方法为基础的，分别是m o n t e c a r l o 有 限差分法和m o n t e c a r l o 有限元法。本文进一步研究和探讨了这两种方法，并且将它 们与新提出的方法作了比较。 1 2 概率数值方法的实质与特点 d i r i c h l e t 问题和布朗运动之间的紧密联系由勋妇m n 尸之4 11 9 4 4 年提出，他的工 作为后来的研究奠定了基础。p o r t & s t o n e 2 9 1 和上) d 曲【3 9 】等随后作了深入的研究。 d i r i c h l e t 问题的一般形式为 a 州u - ，k u 璺套盎 z ， 在一定的条件下，此问题的解“有如下的随机表达式f 6 5 - 6 6 1 ： “( x ) = e 。 厂( x r d ) e x p 一f 。k ( x a d s + r 。g ( x , ) e x p - f k ( x , ) d s d t ( 1 3 ) 其中石是( 1 1 ) 的解。可见，d i r i c h l e t 问题的精确解是某个扩散过程的泛函的期望。 而当随机表达式中石为布朗运动或漂移布朗运动等扩散过程时，正是我们特别关注 的情况。 我们正是从( 1 3 ) 式出发，提出了求问题( 1 2 ) 的数值解的新方法【6 7 4 1 。 我们注意到y ( 1 3 ) 式中的期望是在边界8 d 上进行的，因此，考虑只要在边界上 进行剖分，建立边界上的有限元空间就够了。另外，因为布朗运动等扩散过程的d 维( d 2 ) 球面的首中位置或首中时的分布是已知的【7 5 例，而且布朗运动等扩散过程具 有强马尔可夫性等性质，所以，我们考虑对区域d 构作一个辅助球，来解决任意区 博士学位论文第一章绪论 域上的d i r i c h l e t 问题。具体地，我们提出的概率数值方法的基本步骤是：首先，对 区域d 的边界0 1 ) 进行剖分，并建立边界o d 上相应的基函数，从而将( 1 3 ) 式离散化。 然后，将辅助球风的边界。也进行相应的剖分，并且建立边界。上满足一定条 件的函数。最后，利用布朗运动等扩散过程的强马尔可夫性和它们的球面首中位置 或首中时分布，以及条件期望的性质等等，建立一个未知数个数与边界0 ) 上结点数 目相等的线性代数方程组，求解这个方程组，就可以获得问题( 1 2 ) 的数值解。 从上述说明中可以看到，这种概率数值方法解决了上一节中提出的，目前 d i r i c h l e t 问题数值方法中存在的若干问题。首先，这种概率数值方法从解的随机表达 式出发，将定解区域上的问题转化成了定解区域边界上的问题，只需要对边界进行 剖分，因此，三维问题就转化为了二维问题，离散结点数目大大地降低，代数方程 组的未知数的个数相应地大大降低，工作量大幅度减少，使计算机能更好地发挥效 用。其次，因为我们的求解是逐点逐点进行的，所以，当只需要知道区域内个别点 上的数值解时，就可以只求这几个点上的值，不会浪费更多的精力。另外，因为随 机表达式( 1 3 ) 对于无界区域也是成立的，所以我们可以使用这种概率数值方法，将 无界区域上的问题转化为无界区域边界上的问题，从而解决d i r i c h l e t 外问题，而且 解决过程中步骤与解决内问题类似，并不增添额外的麻烦。最后，随机表达式( 1 3 ) 事实上对边界的要求是非常一般的，例如，它可只要求边界点规则，对边界的形状 没有什么特别的限制。所以，这种概率数值方法可适应各种边界复杂的情形，例如， 可以应用于具有复杂边界的电场问题等。 下面再来看看m o n t e - c a r l o 有限差分法和m o n t e - c a r l o 有限元法的实质。 m o n t e c a r l o 方法1 8 0 】是一种近似求解数学或物理问题的方法。它的基本步骤是： 首先建立与所求问题相似的概率模型，然后对模型进行随机模拟，随后记录试验结 果，最后根据大数定律，得到所求问题的近似值。 早在一百多年前，随机模拟方法就已用于近似数值计算。二十世纪五、六十年 代，随着计算机的普遍使用，m o n t e c a r l o 方法应用到了差分法，产生了d i r i c h l e t 问 题数值解的m o n t e - c a r l o 差分法。m o n t e c a r l o 差分法是差分法与m o n t e c a r l o 方法 的结合。首先，按差分法进行区域剖分和建立差分方程。然后，利用它们来构造一 6 博士学位论文第一章绪论 个质点在网格结点上作随机游动的概率模型，最后利用大数定律和统计的结果，得 到d i r i c h l e t 问题的数值解。但是，该方法由于受差分格式的局限等等原因，没能引 起人们的重视。二十世纪八、九十年代，林群川院士和朱起定吲教授等人提出了 m o n t e c a r l o 有限元法。因为有限元区域剖分较差分法灵活，因而取得了若干进展。 m o n t e - c a r l o 有限元方法是利用有限元的剖分结点和离散化了的变分问题，来建立一 个质点在网格结点上作随机游动的概率模型，同样再利用随机模拟来求数值解。 本文中，我们通过举例分析进一步探讨了这两种方法。我们看到用有限差分法 和有限元法得到的数值解可以表示成统一的形式。事实上，它们都可以表示成某个 马尔可夫链的泛函的期望。将它们的这种随机表达式与d i r i c h l e t 问题精确解的随机 表达式相比较，就会发现差分法和有限元法实质上都是在用某种马尔可夫链来逼近 布朗运动等扩散过程。 我们前面提出的概率数值方法，是从d i r i c h l e t 问题解的随机表达式出发，将随 机表达式离散化，进而求离散问题的解。而m o n t e c a r l o 差分法和m o n t e c a r l o 有限 元法却是从差分法和有限元法出发，把由差分法和有限元法得到的离散问题的解， 表示成一个随机表达式，其基本思路刚好倒过来。但是，这些方法都是在利用随机 的方法来求解非随机的问题，体现了概率理论可以用来解决分析数学中的问题。 m o n t e c a r l o 差分法和m o n t e c a r l o 有限元法是以m o n t e c a r l o 方法为基础，得 到差分法数值解和有限元数值解的近似值，因此，它们不用求解方程组。另外，它 们也是逐点求得数值解的，可以用来求解只需要知道区域内个别点上的数值解的情 形。还有，这两种方法中随机游动的质点，从某结点出发到被边界吸收的时间，不 依赖于区域的维数，只依赖于出发点到边界的距离，这也是它们的优势。然而，这 两种数值方法分别是基于差分法和有限元法得到的，需要对整个区域进行剖分，并 建立基函数，所以用到三维问题时，依然会存在区域剖分困难、结点数和基函数数 目很大等问题。对于二维问题，当区域剖分加密时，质点在区域内随机游动的时间 也较长，使得计算量很大。m o n t e c a r l o 差分法和m o n t e c a r l o 有限元法都具有统计 特征，因而如果想获得理想的逼近精度，就必须花费大量的统计以及计算工作量。 实现一次随机过程模拟所需要的随机数数目往往是很大的，少则几千个，多则几十、 博士学位论文 第一章绪论 百万个以上，而且这些随机数的产生必须简便可靠，这是不容易的。另外，基于差 分法和有限元法的m o n t e c a r l o 差分法和m o n t e c a r l o 有限元法，显然仍然不能解决 d i r i c h l e t 外问题。 1 _ 3 论文的结构 论文中从第二章到第六章研讨新提出的概率数值方法，第七章研讨m o n t e c a r l o 差分法和m o n t e c a r l o 有限元法。具体的结构如下： 第二章叙述本文涉及到的一些基本概念、性质和定理等 8 3 - s 4 ，为后面的章节作 辅垫。 第三章给出了概率数值方法的基本思路，介绍了随机表达式以及边界上的剖分 和函数。特别地，对平面有界区域d 内，二维调和方程第一边值问题 瞥! ：箍4f ” 1 1 1 i ”= ，在国上 、。 提出了其数值解的概率方法。首先在区域d 外构造了一个辅助圆，对区域d 和辅助 圆的边界曲线进行剖分，并具体地给出了d 边界8 d 上的基函数和有限元空间，以 及圆周上相应的函数，接着利用布朗运动对停时的强马氏性等性质和圆上d i r i c h l e t 问题解的泊松公式，将问题归纳为求解一个线性代数方程组，然后解这个方程组， 获得问题( 1 4 ) 的数值解。本章还给出了使用该概率数值方法的数例分析，分析结果 表明，该方法简便高效。 第四章我们将概率数值方法推广到了高维( d 3 ) 的情形。特别地，以三维为例， 具体地构造了球面上的剖分和基函数，以及相应的区域d 边晃8 d 上的剖分、基函 数和有限元空间。 进一步，考虑了d i r i c h l e t - p o i s s o n 问题 j 三血一占，在d 中( 1 ，) i = f ， 在国上 数值解的概率方法。求解p o i s s o n 问题时，解的随机表达式与调和方程问题中的相比 多了一项，它是关于布朗运动边界首中时的期望。同样，需要利用边界上的剖分， 博士学位论文第一章绪论 将这一项的求解，转化为一个离散问题，然后，利用布朗运动边界首中时的期望是 某个边值问题的解，利用布朗运动球面首中时的期望已知以及布朗运动的性质等等， 解决这一f 1 题。 这一章中我们还用概率数值方法处理了一类更一般的d i r i c h l e t 问题 1 2 “一肋一g ，在d 中( 1 6 ) 一 ( 1 6 ) i “= 厂， 在v - d z 这其中又产生出了新的问题，解的随机表达式较为复杂，需要再次用离散的方法， 将这些问题或式子离散化，经过更为复杂一些的处理，得到所求问题的数值解。这 里用到了布朗运动球面首中位置和首中时的联合分布，以及首中时增量的独立性等 等。最后的算例结果再一次表明，此概率数值方法十分有效。 具有强马尔可夫性和对特殊区域有首中位置和首中时分布的扩散过程，其所对 应的d i r i c h l e t 问题都可以使用本文提出的这种概率数值方法。因此，当用漂移布朗 运动来替换布朗运动时，前面章节中，所有的引理、定理依然成立，因而概率数值 方法仍然是可行的。这样，可以将概率数值方法推广到求解另外一些d i r i c h l e t 问题。 例如，可以求解d i r i c h l e t 问题 三甜+ v 甜= o ，在d 中( 1 ，) l 甜= ，在厦) 上 和 三“+ 吼一g ，在d 中( 1 8 ) l “= f ， 在国上 以及 三血+ 吼一胁一g ，在d 中( 1 9 ) i “= f ，在国上 的数值解。这时，要利用到漂移布朗运动与布朗运动类似的性质，以及漂移布朗运 动球面首中时和首中位置的联合分布等等。以上这些构成了第五章的内容。 9 博士学位论文第一章绪论 第六章显示了这种新的概率数值方法的另一优越之处，那就是不但可以用它来 解决d i r i c h l e t 内问题，而且可以用它来解决d i r i c h l e t 外问题。外问题的定解区域是 无界区域，然而( 1 3 ) 式