（计算数学专业论文）几类椭圆型变分不等式的边界元与有限元方法.pdf

几炎椭j 鳅j 型变分小等式的边界儿? 订般死方法 摘塑 摘要 全文丰要分为三大部分：第章介绍相关问题的背景知识；第二章讨论摩擦问 题中的第二类椭圆型变分不等式的边界冗方法：第三章讨论两类椭圆型四阶变分不 等式的有限元方法。 对摩擦问题中的第二类椭圆型变分不等式，采用m r m 一方法( 多重互易法) 将该摩 擦问题中的第二类椭圆型变分不等式化解为椭圆型m p , h - 边界变分不等式，给出了该 变分不等式解的存在唯一性，为使用边界元方法解该类问题提供了理论依据。最后， 针对该m p , m 变分不等式中的不可微项，采用正则化方法给出该变分不等式的等价 的变分方程，最后给出解变分不等式的迭代格式及其收敛性分析。 对第二类椭劂型四阶变分不等式，采用两类有限元方法进行离散。首先，采用 有限元方法直接离散变分不等式，提出了此类问题的抽象误差估计，给出了离散近 似解的收敛性分析及误差估计：其次，采用正则化方法，将这类问题转化为等价的 变分方程，用有限元方法离散该变分方程，并给出该变分方程离散解的抽象误差估 计以及离散近似解的收敛性分析及误差估计。 关键词混合变分不等式，m r m 一方法，边界变分不等式边界元，四阶问题，有p i d , - , 正则化误差估计 作者：钱富斌 指导教师：丁睿 一b e ma n dfemfors o m ek i n d s o f e l l i p t i c v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa b s t r a c t b e ma n df e mf o rs o m ek i n d so f e l l i p t i cv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a b s t r a c t t h i st h e s i si s c o m p o s e do ft w os e c t i o n s i ns e c t i o no n e ，i ta n a l y s i st h eb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o do f t h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( v i ) o f t h es e c o n dk i n da r i s i n gi nu n i l a t e r a l c o n t a c tp r o b l e mw i t hf r i c t i o nt e r m i ns e c t i o nt w o ，t w os o r t so ff i n i t ec l e m e n tm e t h o df o r t h ef o u r t h - o r d e rv io f t h es e c o n dk i n da r ed i s c u s s e d i ns e c t i o no n e ，as i m p l i f i e dm o d e lo fat w o - d i m e n s i o n a lu n i l a t e r a lc o n t a c tp r o b l e m w i t hf r i c t i o ni sc o n s i d e r e d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ec o r r e s p o n d i n gv 1o ft h e s e c o n dk i n di sd i s s c u s s e d i t sc o r r e s p o n d i n gm r m - b o u n d a r ym i x e dv ii s c o n s t r u c t , w h i c hp r o v i d e su st h et h e o r e t i c a lb a s i sf o ru s i n ge l e m e n tm e t h o dt os o l v et h em i x e dv i u s i n gr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，t h ee q u i v a l e n tv a r i a t i o n a le q u a t i o ni so b t a i n e d b yu s i n go f i t s e q u i v a l e n tn o n l i n e a rv a r i a t i o n a le q u a t i o n ，i tf o l l o w st h ei t e r a t i v em e t h o d f i n a l l yi t p r e s e n t s t h e c o n v e r g e n c ea n a l y s i s f o rt h e a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o na n dd i s c r e t e a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n i ns e c t i o nt w o ，af o u r t h - o r d e rv 1o ft h es e c o n dk i n da r i s i n gi nap l a t ef r i c t i o n a l b e n d i n gp r o b l e mi sc o n s i d e r e d f o r t h ep r o b l e m ，t w ok i n d so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r e a n a l y s e d f i r s t ，u s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ed i s c r e t ev ii s o b t a i n e d a b s t r a c te r r o r e s t i m a t ei se s t a b l i s h e di nt h ef o r mo f e n e r g yn o r m o p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t eo f t h e a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o ni sd e r i v e di nt h ef o r mo f e n e r g yn o r m n e x t , u s i n gr e g u l a r i z a t i o n m e t h o d t h eo r i g i n a lp r o b l e mc a nb ef o r m u l a t e da sad i f f e r e n t i a b l ev a r i a t i o n a le q u a t i o n ； t h ed i s c r e t ev a r i a t i o n a l e q u a t i o nb yf i n i t e e l e m e n tm e t h o di s y i e l d e d a b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e sa n de r r o re s t i m a t e so ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na r eo b t a i n e di nt h ef o r mo f e n e r g yn o r m a n dl2 | n o r m k e y w o r d s ：m i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ，m u l t i p l er e c i p r o c i t ym e t h o d ( m r m ) ，m i x e d b o u n d a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l t i y , b e m ，f o u r t h o r d e rp r o b l e m ，f e m ，r e g u l a r i z a t i o n ，e r r o r e s t j m a t e w r i t t e nb y q i a nf u b i n s u p e r v is e d b yd i n gr u i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明t 所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：趣薹型! 日期：! ! 表! ! 日 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：蛰重型i 日期：! ! 薹垒g 望旦 导师签名t逮日期：2 1 ! ：三i b 盏撒幽型垒丛：受丛鲤丝班匹当血哩匹直选 j 立丑 第一章序言 变分不等式主要来源于力学，如弹性力学巾的障碍问题、摩擦问题，流体力学中 的宾一汉流问题。另外，控制问题和金融学r j 的一些问题也刚变分不等式模型米表述。 对椭圆型变分不等式，常见的逼近方式是有限元法、边界元法、差分法等。 对于第二类椭圆型变分不等式， a ( u ，v u ) + j ( v ) 一j ( “) ( f ，v 一“) v v v ，( 1 1 1 ) 其常用数值方法有三类。第一：直接离散法。通过引进空问v 近似有限元空间吒， 将( 1 1 1 ) 离散成如下有艰维变分不等式： a ( u ，v 一“ ) + j ( v ) 一j ( u ) ( ，v 一u ) v v v ( 1 ，1 , 2 ) 文献【1 7 】和 1 5 】分别给出问题第二类四阶变分不等式的协调元和非协调元的离散形 式，并给出离散问题的收敛性分析和最优阶误差估计。第二：正则化方法。由十，( v ) 是不可微项，不便于进行数值计算，故通常的方法是先使用正则化函数对j ( v ) 进行正 则化，即构造可微泛函。( v ) 近似，( v ) ，从而得到如下近似变分不等式： a ( u 。，v 一“。) + ，。( v ) 一，。( “。) ( ，v 一“。) v v v ， ( 1 1 , 3 ) 利用文【9 】的结论，问题( 1 i 3 ) 的解“。存在唯一，且“，强收敛到问题( 1 1 1 ) 的解 “。类似于方法，可以给出问题( 1 1 3 ) 的有限冗离散形式： a ( u 。 ，v 一“。 ) + 。( v ) 一。( “。 ) ( ，v 一“。， ) v v v ( 1 1 4 ) 文献【1 8 】给出了二阶变分不等式离散解的收敛性分析和误差估计。 由于问题( 1 1 3 ) 的离散形式( 1 1 4 ) 是一个非线性变分不等式组，这给数值方 法构造和使川带来用难。由文献 9 】，变分不等式( 1 i 1 ) 正则化得到的变分不等式 ( 1 1 3 ) 等价于下述变分方程： a ( u 。，v ) + ( ：( “。) ，v ) = ( ，v ) v v 矿 ( i i 5 ) 川有限7 二方法离散一l ：述力程得 叠耋煎型堕2 垒坌尘玉丛堕型蝤皇l 皇： 塑匹壹丛 庄蛊 a ( u 。 ，v ) + ( ，：( “。 ) ，v ) = ( ，v )v v 矿 ( 1 1 6 、 文献i r a 和 1 7 1 分别针划二阶和四阶浏题，给出了离散剃题( 1 1 6 ) 解的误差估计。 第三：采川埘偶方法，将问题( 1 1i ) 转化为等价的鞍点涮题。 以上介绍了第二类椭圆型变分不等式丰要的有限兀方法，除了有限冗方法外，边 界元方法在变分不等式数值计算， 1 也有了一些应用。文献提出了一类变分不等式 的边界变分不等式形式，从而为边界元方法在变分不等式中的应用提供了理论基础。 在文献 1 1 和【1 5 工作的基础上，本文讨论了两类变分不等式的边界元和有限元 方法。全文分为两大部分：第，文1 】将该类变分不等式化解为边界变分不等式， 从而达到了降维，减少计算量的目的。然而我们发现齐次h e l m h o i t z 方程的基本解是 零阶修正b e s s e l 函数，其表达式十分复杂，不利于实际编程计算。为了克服这个困 难，我们引入了多重互易法( m r m ) ，讨论了摩擦问题巾的第二类变分不等式的m r m 一边 界元方法。这样既避免了含复杂基本解的边界单元方法，又保留了边界元降维，计算 量少的优点。第二，文【1 5 】讨论了含不可微项j ( v ) = i ，g h 幽的第二类四阶变分不等 1 t 式的非协调元逼近。这里针对问题巾另一类特殊的不可微项，( v ) = g 1 暑卜s ，提 出了两类有限元方法，并给出了相应离散问题的收敛性分析和误差估计。首先，给出 了该变分不等式韵直接有限元近似，并提出了抽象能量范数误差估计，给出了该问题 离散近似解的收敛性分析及误差估计：其次，由于问题是含有不可微泛函项的变分不 等式，且离散形式是个非线性变分不等式组，不便于进行数值计算，这里采用正则 化方法，利用文【9 】中的可微函数，将这类问题转化为等价的变分方程，再构造该变 分方程有限元逼近，提出该变分方程离散解抽象的能量范数和2 范数误差估计，并 给出了该问题离散近似解的收敛性分析及误差估计。 几冀椭p f 掣雯分小等式附垃群兀与仃硪兀方沾新旱第 必m 地祚蹙分小等j c 及j t _ 数伯万诅 第二章m 1 第二类m r m - 边界变分不等式及其数值方法 本章考虑摩擦问题中服从静态c o u t o m b 定律的二维簟侧接触问题简化模型。此类 问题对应于第二类含不可微项的混合变分不等式1 4 】。文 1 将该类变分不等式化解为 边界变分不等式，从而达到了降维，减少计算量的目的。然而实际计算- h 我们发现 齐次h e l m h o l t z 方程的基本解是零阶修正b e s s e l 函数，其表达式十分复杂，不利于 实际编程计算。为了克服这个困难。我们引入了多重可易法( m r m ) 。全文结构如下： 第一节中我们提出了摩擦问题和等价的单侧边值问题。第二节中首先建立了齐次 h e l m h o l t z 问题的m r m 一积分方程和边界积分方程；其次给出了 次截断的m r m 近似解 的误差估计，由此说明了相应m r m 一边界单冗方法取较小截断的合理性；最后利门 m r m 一 边界积分方程把区域型第二类混合变分不等式转化为在边界上作积分的m r m 一边界变 分不等式。并证明了m r m 一边界变分不等式解的存在唯。性。这样既避免了含复杂基 本解的边界单元方法，又保留了边界元降维，计算量少的优点。此外特别值得提的 是由于m r m - 方法中基本解的迭代序列是给定的，因而尽管m r m 一边界变分不等式中各 项均有求和，但在实际计算t i t 仪需对和式t t 的第和第二项编程处理，和式可以迭代 循环完成。所以m r m - 边界变分不等式的计算量要远小于文 1 ，常规的边界变分不 等式。 2 2 摩擦问题和相应边值问题 设q 是月2 中具有光滑边界f 的有界开区域，“，p v = 胃( q ) 定义 n ( ) = 枣“v v d x + 鼻诎 ( v ) = 声出， 其1 1 1 _ 厂“( q ) m ) = 州忡，c ，0 几炎椭l 扎喇娈分4 、等式的边界兀) - j fj 雕兀方让第吊第，炎边外安分小等式址儿数值乃江 上式t f v ( r ) = v 在r 上的迹，v v ) ，g r ( r ) ，g 0 由文 2 ，4 知，服从静态c o u l o m b 定律的线陛弹性体中侧接触的摩擦问题，其变 分形式的提法是求泛函 j ( v ) = 了1a ( u v ) 一j 1 ，出+ f g i v 陋 在v 上的极小点“，它可等价地归化为解如下第二类混合变分不等式： 求a ( “u , v 矿- u 满) * 足j ( 。) 一( “) 【( 。一u ) a x ，v 。v ( 2 21 ) i( v ) 一( “) l ，( v 一 ，v ” 、7 不等号右端的泛函_ ，( ) 是不可微的。在文 2 川- 已证明了( 2 2 i ) 解的存在唯性， 由文 4 该问题的解可由下列非齐次方程的单侧边值问题表征： 一a u + “= 厂口e i n q 剧g “孚+ g l “i = o 口聍 0 ；ir 0 ；ir 设日：( q ) 是下列d i r i c h l e t 问题的弱解 m q o n r ( 2 2 2 ) ( 2 , 2 3 ) 令w = “一h ( q ) ，其中“是问题( 2 2 i ) 的解。由文 1 类似的推导，则w 是 下面变分不等式的解： ( 2 2 4 ) 我们知道，j 1 f l 2 ( q ) 时，边值问题( 2 2 3 ) 在：( q ) i 存在唯。解”。，若w 是( 2 2 4 ) 的解，则“= w + “。是( 2 2 i ) 的解。将“= w + “o 代入( 2 2 ，2 ) 并利川( 2 2 3 ) 式 我们得到变分不等式( 2 1 4 ) 的解w 可由下面的齐次边值问题( 2 2 5 ) 表征： ， = 十o j l 以 ，c【 pv凼“一 扣 堕加 ，ll 一w “ 一 d 吖 八 十 矿 曲 一 w vw 求 “ ，l 几娄椭叫剂变分小等，的让羿兀与“瞰兀方浊如审罐 光m 洲边抖业分小等j 坎儿数值方池 加n o f 偿+ 割刊= 。町 定理2 1n 2 1 变分不等式问题( 2 2 4 ) 有唯。解。 2 3m r m 一边界变分不等式 ( 22 5 ) 文 1 对h e l m h o l t z 方程利j j 边界单，l 方法，将服从静态c o u l o m b 定律的线性弹 性体双侧接触的摩擦i a j 题化为边界变分不等式，从而达到了降维、简化计算的目的。 在实际计算中，由于齐次h l m h o l t z 方程的摹本解是零阶修正b e s s e l 函数其表达式 十分复杂，不利于实际计算。为了克服这个阑难，且保留边界单j l 方法的降维、简化 计算的特点，这里采用m r m 一方法1 。 设“：= 一上2 z l n r 是二维l a p l a c e 方程的基本解，其1 1 ，= k y i ，按如下方式定义 基本解序列【5 】： “：圹“：女= o ，l 2 ，t = 鲁 ( 2 3 1 ) 心一瓦1 志( n r 一矧1 亿，埘 齐次h e l m h o l t z 方程一“+ = 0 的m r m 一秋分方程为 “( x ) + 主f “( y ) t ( 训) 一a ( y ) “：( 训) 扭，= 一“：她x q ( 2 f 3 3 ) 这里 ：o u ，由于( 2 ，3 3 ) 式右端在打寸时趋于0 ，齐次h e l m h o t z 方程的m r m 一 秋分方程为 “( x ) + 至缸( y ) 五沁y ) 一丑( 一) “：( w ) 扭，= o xe q ( 2 3 4 ) g 却l r 盟锄 v + 也跏一锄 几炎械叫型业j 、等，的边蚪兀与仃瞅兀方池第：亭销：炎m r m 边y # 变分小等式及儿数值方j ：i 令区域点x 趋于边界f ，由于边界f 光滑，可得到如下的m r m 一边界年j 分乃程 吉吣) + 善f 五：( 训h ( y ) 帆力扭，= 。x t i _ ( 2 3 - 5 ) 由文 6 ，埘( 2 3 4 ) 式求方向导数，再令区域点趋向于边界，得到m r m 一边界秽 分方 程 扣+ 耕 ，掣叫y ，掣卜r s 固 注1 1 由( 2 3 4 ) 式可知齐次h e l m h o t z 方程一“+ “= 0 的解“在q 中的每点 的值可由边界量u l r , 五| r 积分标出，且边界量u l r , 五i ，满足m r m 一边界积分方程 ( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) 。 注1 2 若由 2 ，3 5 ) ，( 2 3 6 ) 求出边界量甜 ，五，利川( 2 3 5 ) 就可以求出齐次 h e l m h o l t z 方程的解在q 中的每点的值。 注意到( 2 3 4 ) ( 2 3 6 ) 式中无穷和在实际计算中必须截断，我们可以给出如 下截断误差估计。 定理2 2 设q 是r 2 t 具有光滑边界f 的有界开区域，“( 妁是齐次h e l m h o l t z 方程一“4 - “= 0 的解，记月次截断近似解为： 力= 套f 缸( 咖：( w ) 叫朋：( w ) 扭， z e q ( 2 3 7 ) 则有如下估计： ) 叫刮善毛时 m l v x e q ( 2 。8 ) 其小d 为q 的直径。 证由( 2 3 3 ) 式有： 眦石) 一“( 划= f “：刊s 黑野肚洳一州牺， 又 一慨s 拦叫兰垡型氐 m 忙y 忱s b 一嘶 儿炎椭臃l 划变分小等，的边抖兀与n 兀方浊第串第 炎m r m 地群啦卵小等式及h 数伉方刊、 由e u le r 公式有 ；熹2 掣 窆上：c + i n ”+ ，n 智k ” 其中。斗0 ( h - o o ) ，c 为e u l e r 常数。故i 1 1 斗o o 时，有 从而只要月充分大，有 ：唑二坐二! 二划斗o 。斗。 = 一叶i ， 月叶刚 州 掣，斋，： 又当月充分大时，由s t i r l i n g 公式，有 去 埘 故当h 充分大时 所以有 舭，b ，丢( 翁 小酬袅”嘴l 溉e q h 次截断的m r n 一近似解误差估计( 2 3 8 ) 表明r 在具体计算l i ，取较小截n g j # n 性，证 毕。 下面建立问题( 2 2 4 ) m r m - 边界变分不等式。在m r m 一边界积分方程( 2 3 5 ) 两 一i ，z， 、 端乘h ( i _ ) = 江h 2 ( r ) ， 肚= o l ，并在f g , c f ，从而有 ! 生鳖塑堡羔望墅生竺量丛塑些丝苎兰尘型苎查鲨一一一 塑：翌塑 篓! 塑丝堑竺坌! ：量生些些墼堕立鲨 圭沁搬椭，+ 喜f t 咖( m ( 舳，出。 喜”j c x 、，) 丑c ，c 。，d l 。西。：。 239 吼( ，z ) = = 0f f “j ( x ，y ) 五( y ) ) 出，西； ( 2 3 1 0 ) 6 ( 鸬材) = 圭f “红) 。) 出，+ 芝ff t ( x ，y ) ”( y ) 芦( x ) 幽，如， ( 2 3 li ) 从而( 2 3 9 ) 可重写为： 一b ( u ，“) + 4 。( ，丑) = 0 v 肛h( r ) ( 2 3 1 2 ) i 2一， 由于“( z ) 是齐次h e l m h 。i t z 方程一“+ “= o 解，对v v h 一( q ) ，由g r e e n 公式，得 嘶，v ) 2 枣“v 咄+ 鼻池= f v 言幽= p 幽 ( 2 3 1 3 ) 利用m r m 边界积分方程( 2 3 6 ) 式得 m ，v ) = 軎p v 出+ 告p 渤 。薹“掣协m 帕砖一委“掣彤m 蛐 + 圭肛 对善ff ! ! ! 竽“( y ) v ( ，) c l s y d s x 采 j 分部积分n m ，有 毗v ) = 薯i l 掣蝴删晦砖+ 善m 似力d 啦u o , ) , i 出v ( x ，) , i s , i s ， 。 。 7 4 ( 2 3 1 4 1 + 到批( w ) c o s 加( x ) d s f l s j p 胁 州 ) 2 喜m 警警蛐，+ 砉m y ) c o 咖一( y ) v ( 蛐 弧( 警，警) + 砉m 栅帆以帅地出， 8 ( “，v ) 2n i ( ，v ) + 6 ( 五，p ) ( 2 3 15 1 几类椭侧型娈分小等式的边界兀与n 限无方沾 第葶粥：炎m r m 边外坐分小等，盟儿数值方沾 l l jj t j 一 o 使得m f c i 叫2 西8 ( v ，卢舭，v ( v ，) e h 。冈此有 ( 1 + 2 m ) i c ( “：“一) 2 出c ( “：一) 2 d s i - i l i 即有 几炎 | ；f j 圳掣尘分小等，n 0 边抖兀一。川裂兀方 j 、第亭蚺炎m 洲地外叟分小等j 成j t 数值方江 j c ( “：+ 。一“。) 2 d s 1 ，故结论得证，证毕。 一u e ) 2 d s 几类椭恻刑蜚分小等式的让外7 c 与n 限兀方泣第二亭第炎阴阶蹙分小等式的n 限兀近似 第三章1 第二类四阶变分不等式的有限元近似 3 1 问题的提出 本覃讨论如f 变分不等式的有限j c 逼近及其误差分析： 嚣焉(v)_(啦vveva(uf ( 3 i j ) 【，v 一“) + ，( v ) 一，( “) 设n 是月2 中具有边界r 的凸多边形有界区域， v = h 2 ( n ) n h o ( 0 ) ， 口( ”，叻= l “诚，( v ) = g i r 矧d s , g 是正常数 _ l 出，j _ q b f e l 2 ( q ) 上述变分不等式来源于弹性平板的摩擦问题。文 1 2 】等讨论了平板理论中不含不 可微项“y ) 的四阶交分不等式的有限元逼近和误差分析。文【1 5 】讨论了含不可微项 ，( v ) = 鼻9 1 1 ，| 办的第二类四阶变分不等式的非协调元逼近这里针对问题( 3 1 ，1 ) 中 另。+ 类特殊的不可微项( v ) = g j ，l 詈卜s ，提出了两类有限元方法，并给出了相应离 散问题的收敛性分析和误差估计。本章结构如下：首先，给出问题( 3 1 1 ) 的等价问 题( 3 1 5 ) ，给出了该变分不等式的有限冗近似，并提出了抽象能量范数误差估计，给 出了该问题离散近似解的收敛性分析及误差估计：其次，由于问题( 3 1 5 ) 是含有不 可微泛函项的变分不等式，且离散形式是一个非线性变分不等式组，不便于进行数值 计算，这里采用正则化方法，利用文【9 】中的可微函数，将这类问题转化为等价的变 分方程。再构造该变分方程有限冗逼近，提出该变分方程离散解抽象的能量范数和2 范数误差估计，并给出了该问题离散近似解的收敛性分析及误差估计。 首先考虑变分不等式( 3 1 1 ) 的等价问题定义翁( 弧v ) = l 杰a ，v ，由g r e e n 公式，可导出i l i i ： 讯”2j n 山出+ l 2 w 一懈v 一呦出 ( 3 1 2 ) = j na u a v d x + j r ( a u av a 。们。y ) 出 几炎椭删划变分小等式的诎抖兀与n 限兀方池第二币辩炎蛐阶坐分小等式的“瞰兀近似 这里h 、s 分别是边界r 的单位外法向量和切向量注意到“，v h2 ( q ) n 联( q ) 以及 n 是多边形区域，则m 1 a 。v = 0 ，a 。“= 0 a e 在r 上 因此，对任意“，v 日2 ( q ) n 日：( q ) ， a ( u ，v ) = a ( u ，v ) 这样问题( 3 1 1 ) 可改写为如下的等价变分不等式 ( 3 1 4 ) 求“矿，满足 ( 3 1 5 ) 【a ( u ，v 一“) + ，( v ) 一j ( u ) v v e v 定义2 ( r ) 的子空问 如下 a = ( x ) i ( x ) l z ( r ) ，j ( 工) f 1 口e 在r 上) ( 3 1 6 ) 定理3 1 9 设问题( 3 1 5 ) 的解“h 3 ( q ) ，则变分不等式问题( 3 1 5 ) 等价于， 存在丑人，使得 a 2 “= f i nq “l ，= 0 叫，= 一朗 ( 3 1 7 ) 学= 矧伽一 注3 1 注意到该定理的条件引i 日3 ( n ) ，所以( 3 1 7 ) q - i 的 a 2 “= 厂i n q ( 31 8 ) 是在广义导数的意义下成立的又因为f l 2 ( r u ，所以等式( 3 ，i 8 ) 在空问r ( q ) - j 成 立，从而有 a 2 “= f 日口i n q ( 3 1 9 ) 3 2 变分不等式有限元近似 下面建立问题( 3 1 5 ) 的有限j i 的逼近。e l f 。 。是区域孬的。族正则三角形剖 ! ! 壅塑型竺些坌尘! 生的边塑无，f f 瞅兀方法第一二二章嬉类四阶尘分小等工的打限兀近似 分，其ph 为r 。t t 的最大单j l 直径。为了说明方便起见，以修正的c i o u g h t o c h e r 三角形j 二为例构造有限，空间v 。，它满足如下三个条件邮】： ( 1 ) 在任 译7 0 k f 。上，v 。y 。的自由废由三角形顶点处的函数值与阶偏 导数值确定且在边界上的顶点处函数值为0 ； ( 2 ) v 一 k c l ( 足) ，且有v i 。p ，( k ，) ( 扛i ，i i ，i h ) ，这坐k ( f - i ，i i ，1 1 1 ) 是 由彤心将k 分成的三个小三角形； ( 3 ) v 。在a k 三边的法向导数值分别限制为一次函数。 由( 1 ) ( 2 ) ，( 3 ) 可知v 。c c ) ，且nc h 2 ( q ) ，现在考虑变分不等式 ( 3 i 5 ) 的逼近： 妻：，v-l,满lh ) 足+ j ( v 。，- j ( u 。， v 。矿。 e ，：， i 石( “ ， ) ) v v e 矿 由文献【9 ，5 ，4 】知变分不等式( 3 1 5 ) 、( 3 2 1 ) 问题都存在唯一- 解。下面我们估 计( 3 i 5 ) 和( 3 2 1 ) 的解h 和“。之间的误差。记删。= 圻石丽为能量范数。首先， 引入下面的抽象误差估计： 引理3 1 设和”。分别为( 3 ，1 5 ) 和( 3 , 2 1 ) 的解，有下面的抽象误差估计式： f - - 。h 峙舛、曦泓吨峙+ 旯一( v ，) ( 3 2 2 ) 这里r ( v ，u ) = 孑( “，v 一u ) - + ，( v ) 一y ( u ) 证( 3 i 5 ) 式中取v = 得 万( “，u - u ) + j ( u ) 一j ( u ) ( 3 2 3 ) 将( 3 1 5 ) 式和 3 2 3 ) 式相加，经整理并利川双线性形式f f ( ，) 的强制性得 g u - u , , l i ：蔓万( “一“一，“一“一) ( 3 2 4 ) 孑( “，v 一材) 一 + ，( v ) 一( “) + 万( “ 一甜，v 一“) 由双线性形式孑( ，) 的有界性，上式最后。项有如下估计： 石( “一- - u , v h 一“) m i i “一一“1 1 ，i p 一一“。 舟。“+ 孙托。 。2 5 其 - g 和m 分别是双线性形式石( ，) 的强制性和有界性系数。 望型些竖塑兰生笠堡查堕丝型曼兰型苎查些 塑三至塑耋婴堕窒坌兰：量苎竺坐型苎望坚 结合( 3 2 4 ) 、( 3 2 5 ) ，且由v 。矿。的任意性，引理证毕 利j 1 j 引弹3 1 ，结合标准的有限误差估计及有限i 插值坤论，分别估计抽象误 差估计式( 3 - 2 2 ) 型面的0 l g - - vh 忆2 和r h ( v 。，“) ，从商有下面的误差估计 定理3 2 问题( 3 1 ，5 ) 的解“和离敞问题( 3 2 1 ) 的解“。之间成立下述最优误 差估计式： 卜“。8 ，c ( 删，。+ 曲z ) ， ( 3 2 6 ) 证设n 一是从空间v 到矿 的插值算子，在( 3 2 2 ) 中取v ：兀。“，从而有 卜”盯s c 她一兀。2 + r h ( n 膨“) ) ( 3 2 7 ) 由有限元插值理论，1 6 1 ，有 肛n 。“忆叫“k ， 下面我们估计( 3 2 7 ) 右端第二项； r h ( n 。“，“。) = 拓( nh u - - x ) 一 f ，1 2 。“一“，j + “( 兀“) 一( “) 兰i + i2 记w = n “，从而 1 1 = 石 ，w ) 一 2 l “a w 一出+ l ( a 。妇，w 一a 。“a 。w 。) 出一f ，加。出 对上式第一项使用g r e e n 公式得 a w 一出= e ”毫 西一n v a 必w 威 = 肛等西一r 等岫+ n 2 柳。出 注意到w 。h ：( q ) ，敝( 3 2 1 i ) 式右端第二项为0 ，从而有 i l = 孑( 甜，w ) 一 2 l ( 2 “一) w 一出+ ( “等+ a 。，柏，w 一a 。，。w ) 以 由( 3 1 9 ) 式， i ，= 小“鲁蛾印 - - ，咖泌 由文 1 1 ，1 6 】的标准有限i 误差估计及有限i 插值卿论，结合( 3 ，2 8 ) 式 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 们 d 幻 ” 下 0 2 2 己 己 女 兰； 兰| 兰； 兰| 翮 几类椭i 型变分小等式的边界兀与n 限兀方法笫三吊第类叨阶堂分小等式的柏限兀证似 i c h l l m 。川1 ，= 叫眺。“一“虬c h2 2 3 。 ( 3 ，2 1 4 ) 下面估计i ， 利川三角不等式及s c h w a r z 不等式得 ”朋叫咖s r l 等钟 ss r i 掣出 。2 1 5 s 皤1 i 气竽h 对v y c r ，设”亡t ，这里t r 是“个三