（计算数学专业论文）几类抛物方程的最小二乘galerkin有限元法.pdf

山东大学硕士学位论文 几类抛物方程的最小二乘g a l e r k i n 有限元法 郭会 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文对于微分积分方程提出并分析了新型数值方法：最j 、- - 乘g a l e r k i n 有限元 法，充分发挥了最小二乘法的优越性，分别在h ( d i v ；q ) h 1 ( q ) 和( l 2 ( n ) ) 2 l 2 ( n ) 范数意义下取得最优收敛阶，并且我们将最小二乘g a l e r k i n 有限元法与特征有限元 法有效的结合起来处理对流占优微分积分方程。误差估计表明在h ( d i v ；q ) h 1 ( q ) 范数意义下，这种方法具有最优收敛阶最后我们分别利用变网格最小二乘g a l e r k i n 方法和变网格特征混合元方法处理对流扩散问题和非线性对流扩散问题，并且取得 了一定意义下的最优收敛阶。 本文共分四章 第一章对于微分积分方程提出并分析了最小二乘g a l e i k i n 有限元方法，并给出 h ( d i v ；n ) h 1 ( n ) 和( l 2 ( q ) ) 2 l 2 ( n ) 范数下的误差估计。 本章共分三节。 第一节是引言，给出了方程 卜) 害叫。( z ) v u + b ( z ) z 。v 吣，啪) 抑= f ( z , t ) ( 州) 印圳， 1u ( z ，f ) h j = 0 ，( a ( x ) v u + 6 ( 。) v u ( x ，t ) d z ) 一( z ) h 。= 0 ， 【钆( o ，0 ) = u o ( x ) ， 其中j = 【0 ，卅，q 是砰上的有界凸多边形区域边界r 满足l i p s c h t z 连续 f = f d ur ，是r 外单位法向量 q = q ( x ) 0 以及，= f ( x ，t ) 是已知函 数 第二节给出最小二乘g a l e r k i n 有限元逼近方法 第三节对数值方法进行收敛性分析，得到h ( d i v ；q ) h 1 ( n ) 和( l 2 ( q ) ) 2 l 2 ( q ) 范数意义下的最优收敛阶 定理1 1 ：( 盯，让) 是方程( 1 1 ) 的解，( 略，u z ) 是方法i 的解，则成立先验误差估计： m a 。x 。i i “一“：0 2 + a t 1 l 盯”一硎乙。( n 胪+ 愀“一“n 川( 2 纠n ) ) 钉 1 。 o _ n s y i 山东大学硕士学位论文 矗警+ 矗争缸十a t 2 ， 定理1 2 ：( 盯，u ) 是方稷( 1 1 ) 的解，( a ：，“：) 是方法i i 的解，则成立先验误差估 计： 。娶臻备| 1 “一z | f + 忭m 聪a x 川 i 盯“一盯：1 ( 工：( n ) ) 。sk 愚：+ 1 + 忍1 + t ) 第二章将最小二乘g a l e i k i n 有限元法与特征有限元法结合起来处理对流占优 微分积分方程，并给出h ( d i v ；q ) h 1 ( q ) 范数意义下的误差估计。 本章共分三节。 第一节是引言。在零节中给出对流占优徽分积分方程模型。 f出) 掣删。) v u - v ( 0 ( 石) v u + b z v 巾1 r ) 州= ，( 则h 1鞋( # ，t ) = 0 ，g f ， 其中( z ，t ) ( q j ) ，边界q 为r 2 的有界凸多边形区域，j = 0 ，q r 满足 l i p s c h t z 建缕，d ( z ) 一( 或茹：南( 髫) ) r f = f ( x ，t ) 是基戴孝数， 第二节给出最小二浆特征有限元邋近方法。 在第三节中我们进行收敛性分析，得到h ( d i v ；q ) h 1 ( n ) 范数下的最优收敛 盼。 定瑾2 。l ：溉妨是方程( 1 1 ) 懿簿，( 囔，嚣莛莲邂方法静黎，翔成立先验浚夔绩 计： 。m a x 。 i 扩一珊+ 删矿一哪n2 职。+ 慨“”删炉】 o s n s 矗警+ 芋。+ 1 + a t 2 ) ， 第三章对于对流扩散问题提出了嶷网格最小二乘g a l e r k i n 方法。误差估计表 明在一定意义下这种方法具有最优收敛阶。 本章共分三节 第一繁为弓l 言。在零譬中给氆方禚模型。 山东大学硕士学位论文 其中( z ，t ) ( f 2 j ) q 为础的有界开区域，1 曼d 3 , j = 0 ，丁】，边界r 满足l i p s c h t z 连续，6 = ( b l ( z ，t ) b d ( x ，t ) ) r ，源泉项g = q ( z ，t ) 0 以及f ( x t ) 是已知函数 第二节构造变网格最小二乘g a l e r k i n 逼近方法。 第三节进行收敛性分析，得到误差估计 定理3 1 ： 设( 盯，“) 为方程( 1 1 ) 解，( 。，) 为方程( 2 7 ) ，( 2 8 ) 的解，则成立： n 嘶m a 。x 。ir 札n 一+ 匹a t 。( 1 l 盯n r , 。1 1 2 + i f v ( “。一u 。) 1 1 2 p 1 。 n = o s k ( h ：+ ：+ 1 + a t + m 1 ) 以上定理中的与t 以及( 仃，u ) 的范数有关，与网格参数h 。，h 。，a t 无关 第四章将特征混合元方法与变网格结合来处理非线性对流扩散问题，得到了一 定意义下的最优收敛阶 本章共分三节 第一节为引言。在本节中给出非线性对流扩散方程。 v ( d 胁) + 静删) 是 牡仕，t ) u ( x ，0 ) = y ( x ，t ，札) = 0 = 9 ( z ) ， ( z ，t ) f ， z q 其中n 为二维区域，其边界为r ，j = 0 ，列 第二节构造变网格特征混合元逼近方法 第三节进行收敛性分析，得到误差估计 定理4 - 1 ： ( 让，w ) 为( 2 1 ) ( 2 3 ) 的解，( 以w ) 为( 2 9 ) ( 2 1 1 ) 的解假设条件成 立则当t 充分小时，成立： m | j 一m i f + ( 芝二z x t l l w 一训。| 1 2 ) ；sk ( a t 一1 h 七+ 1 + t ) z 幻 l 马 扛 八仇仉咖 = | | i | | | z z 川 n ，m 如 一一 + = 牡卜型“叫“似 山东大学硕士学位论文 关键词：微分积分方稷，最小二乘g a l e r k i n 有限元，对流占优，特儆有限元，变网 楱，对浚扩教 i v 山东大学硕士学位论文 l e a s t - s q u a r e s g a l e r k i np r o c e d u r e s f o rp a r a bo l i c e q u a t i o n s g n o h u i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t w o l e a s t s q u a r e sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n ts c h e m e sa r ef o r m u l a t e dt os o l v ep a r a b o l i c i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ea d v a n t a g eo ft h i sm e t h o di st h a ti ti sn o ts u b j e c tt ot h el b b c o n d i t i o n t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i ss h o w st h a tt h el e a s t s q u a r e s m i x e de l e m e n ts c h e m e sy i e l dt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nw i t ho p t i m a la c c u r a c yi n h ( d i v ；q ) h 1 ( q ) a n d ( l 2 ( q ) ) 2 l 2 ( q ) ，r e s p e c t i v e l y i na d d i t i o nal e a s t s q u a r e s g a l e r k i nf i n i t ee l e m e n ts c h e m ew i t ht h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c si sf o r m u l a t e d t ot r e a tc o n v e c t i o n d o m i n a t e d p a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i ss h o w s t h a tt h em e t h o d y i e l dt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sw i t ha c c u r a c y o p t i m a li nh ( d i v ；f 2 ) h 1 ( q ) t h e nl e a s t - s q u a r e sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n ts c h e m e w i t hd y n a m i cf i n i t e e l e m e n ts p a c e si sf o r m u l a t e dt os o l v ef i r s t o r d e rt i m e d e p e n d e n t c o n v e c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s a tl a s tam e t h o du s i n gac o m b i n a t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i cm i x e dm e t h o dw i t hd y n a m i cf i n i t e e l e m e n ts p a c e si sf o r m u l a t e dt os o l v e n o n l i n e a rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m s e r r o re s t i m a t e ss h o wt h a tt h e t w om e t h o d sh a v eo p t i m a lc o n v e r g e n tr a t ei ns o m es e n s e t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rp r o p o s et w ol e a s t - s q u a r e sg a l e r k i np r o c e d u r e sf o rp a r a b o l i c i n t e g r o d i f i e r e n t i a le q u a t i o na n dg i v ee r r o re v a l u a t i o n s t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，w h i c hg i v e se q u a t i o n s fc ( z ) ；一v ( 。( 。) v + 6 ( z ) z 。v u 孑，r ) d r ) + q u = f ( z ，( 。，t ) ( q j ) 1 札( 。，t ) l r 。j = 0 ，( a ( x ) v u + b ( x ) v u ( x ，r ) 打) ( 石) k 。j = 0 ， 【u ( z ，0 ) = u o ( x ) ， w h e r ej = 0 ，t i st h et i m ei n t e r v a l ，ni sab o u n d e dp o l y g o n a ld o m a i ni nr 2 v 山东大学硕士学位论文 w i t hal i p s c h i t zc o n t i n u o u sb o u n d a r yr f = r 妇ur a n d 扩i st h eu n i tv e c t o r n o r m a lt or q = q ( x ) 0a n df f ( z ，t ) a r e g i v e nf u n c t i o n s i nt i l es e c o n ds e c t i o n ，w ef o r m u l a t et w ol e a s t s q u a r e sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n t p r o c e d u r e s i nt h et h i r ds e c t i o n w ee s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c e t h e o r yo n t h et w oa l g o r i t h m s t h e o r e m 1 1 l e t ( 盯，“) b et h es o l u t i o no f s y s t e m ( 1 1 ) a n d ( 盯2 ，札x ) b et h e s o l u t i o n o fs c h e m el + t h e nt h e r eh o l d st h ep r i o r ie r r o re s t i m a t e 慨m a 。x 附一“邪+ z l t i o ”一叫n2 纠n ) ) 。十i v ( 珏“一让；) 慨刊 一一 o n s _ v 曼k 危警+ 争“+ 1 + a t 2 ， t h e o r e m 1 2 l e t ( 萨，乜) b e t h es o l u t i o no f s y s t e m ( 1 1 ) a n d ( 仃i ，u ) b et h es o l u t i o n o fs c h e m ei i t h e nt h e r eh o l d st h ep r i o r ie r r o re s t i m a t e 。m 。a 。x 。i l u 8 一锃l + 。m 。a 。x 。，i i 玎”一l | ： q 严冬趸 盎1 + 礤1 + t h es e c o n dc h a p t e rc o m b i n eal e a s t s q u a r e sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n ts c h e l n e w i t ht h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c st ot r e a tc o n v e c t i o n d o m i n a t e dp a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n de s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i s t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n + i nt h i ss e c t i o nw eg i v eo u tt h ee q u a t i o n s ， f 如) 丝删搿) v u - v z ) v u + b ( 川，。v m 川例_ ，( 碱 1“( 茹，t ) = 0 ，。f ， l( 茹，0 ) = 髓。( 。) ， w h e r e ( x ，t ) ( n j ) j = ( 0 ，t ) i st h et i m ei n t e r v a l ，ni s ab o u n d e d p o l y g o n a l d o m a i ni nr 2w i t ha l i p s c h i t zc o n t i n u o u sb o u n d a r yr + d ( x ) = ( d l ( 茹) ，如( 茁) ) r f = 歹茁，t ) a r eg i v e nf u n c t i o n s i nt h es e c o n ds e c t i o nw ed e s c r i b et h el e a s t - s q u a r e sg a l e r k i ns c h e m ew i t ht h e m e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s t h et h i r ds e c t i o nd e r i v eap r i o r ie r r o re s t i m a t ef o rt h en o v e ln u m e r i c a ls o l u t i o n ， t h e o r e m 2 1 。l e t 溉档) b e t h es o l u t i o no f s y s t e m i 1 ) a n d ，毯) b et h es o l u t i o n v i 山东大学硕士学位论文 o fs e h e m e t h e nt h e r eh o l d st h ep r i o r ie r r o re s t i m a t e 嘛m a 。x 。t l u ”一础+ 圳矿一刚n2 删) 。+ 愀“一“：) n ) ) 钳 矗 鑫雾4 - 南钳+ a t 2 ， i nt h et h i r dc h a p t e r ，l e a s t s q u a r e sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n ts c h e m ew i t hd y n a m i c f i n i t e e l e m e n ts p a c e si sf o r m u l a t e dt os o l v ef i r s t o r d e rt i m e - d e p e n d e n tc o n v e c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s w eg e tae r r o re s t i m a t e t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s 。 t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o na n dt h em o d e lp r o b l e mg i v e n 坶 卜) 掣+ d i v 巾，咖，咖( 州) = f ( x , t ) ， j巧t ) a ( x ) v u ( x ，t ) 4 - b ( x ，妨鞋( 茹，0 = 0 ， ie ( 篁，t ) = 0 ，z f d ，盯( 。，t ) - 扩( 。) = 0 ，。f n ， i“( 搿，0 ) = u o ( 。) ， w h e r e ( 茹，t ) ( q j ) j = ( 0 ，t ) i st h et i m ei n t e r v a l 。l e tq b ea l l o p e nb o u n d e d d o m a i nr 8 ，1s d 3 ，w i t hal i p s c h i t zc o n t i n u o u sb o u n d a r yf f = f d u f , va n d i st h eu n i tv e c t o rn o r m a lt of n q = q ( x ，t ) 0a n df = f ( x ，t ) a r eg i v e nf u n c t i o n s i nt h es e c o n ds e c t i o nw ef o r m u l a t et h em e t h o d t h et h i r ds e c t i o ne s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c et h e o r yo nt h en o v e ln u m e r i c a ls m l u t i o n t h e o r e m 3 1 l e t ( 盯，) b et h e s o l u t i o no f s y s t e m ( 1 1 ) a n d ( n ，碥) b et h es o l u t i o n o f s y s t e m ( 2 7 ) ，( 2 8 ) 。t h e nt h e r eh o l d st h ep r i o r ie r r o re s t i m a t e n 嗡m a 。x 。l l 越n 一+ i z a t n ( i t 伊n e n l i 2 + s l y ( n g ) t 1 2 弘 尉( ：4 - 危：+ 1 + a t + n f 1 ) i nt h ea b o v et h e o r i e st h ec o n s t a n tki sd e p e n d e n tu p o nra n ds o l l l eu o r m so f t h es o l u t i o n ( 盯，u ) a n di n d e p e n d e n to ft h em e s hp a r a m e t e r sh ，h da n d t t h ef o u rc h a p t e rf o r m u l a t e 箍m e t h o du s i n gac o m b i n a t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i c v i i 山东大学硕士学位论文 m i x e dm e t h o dw i t hd y n a m i cf i n i t e e l e m e n t s p a c e st o s o l v en o n l i n e a rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m sa n de s t a b l i s ht h ee r r o re v a l u a t i o n s t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n i nt h i ss e c t i o nw e g i v eo u tt h ee q u a t i o n 卜，象一v 1 ( d ( 叩胁) + 昏札) 丝o x i ：f ( z , t , u ) u ( 。，t ) = 0 ， 札( z ，0 ) = g ( 。) ， ( z ，t ) qxj ( x ，t ) f j o q w h e r eq r 2 1 j = 0 ，t 1 i nt h es e c o n ds e c t i o nw ed e s c r i b et h em e t h o d t h et h i r ds e c t i o ne s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c et h e o r y t h e o r e m 4 1 l e t ( 札，w ) b et h es o l u t i o no fs y s t e m ( 2 1 ) 一( 2 3 ) a n d ( uw ) b et h e s o l u t i o no fs y s t e m ( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) s u p p o s et h eh y p o t h e s e sh o l d t h e n ，f o r ts u f l i c i e n t l ys m a l l ，t h e r eh o l d st h ep r i o r ie r r o re s t i m a t e 一“。忡( 圳眠一叫。5s k ( a t 一1 h 州+ t ) n = 1 k e y w o r d s ：p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；l e a s t - s q u a r e sg a l e r k i nf i n i t ee 1 e m e n t ；c o n v e c t i o n d o m i n a t e d ；m e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ；d y n a m i cf i n i t e e l e m e n t s p a c e ；c o n v e c t i o n d i f f u s i o n v i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盔l 金日期：型! i 生垄 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：i 隆导师签名：卤鹾垄日期：型兰垒2 壁 第一章微分积分方程的最小= 莱g a l e r k i n 有限元方法 考虑如下微分积分方程 圭。1 吾| 畜 其中( 嚣，o ) 辫国，q 蠢嚣2 黥有赛氇多逡形区装，j = 静，蜀。逡癸r 灌是 l i p s c h i t z 连续，f f dur ，是f n 外单位法向量q ( 搿) 芝o i ，( 。，t ) 是已知函 数 爰设移在正常数k l ，如，a 。，8 + 涝怒； 0 k l c ( z ) sk 2 ，0 0 是厩常数由文献【8 l 知成立； l l u ( t ) 一r u ( t ) i i l 。( o ) 尉危1 i i ( t ) l l 胃( n ) ， l 秘e ( ) 一( r u ) t ( t ) t i l 。) k 矗1 i i - ( t ) i i w ( n ) + m ( t ) l l 甘n z f n ) j ( 2 4 ) 我f j 稷怒耪始蕊满是 啦一遽l b n ) 冬嚣a 1 # 铷l 芹， t l v ( “o u ：) f f l = f n ) ：“u o f f 川+ t ( n ) ， ( 2 5 ) l i 印一0 2 t i ( l 。( o ) ) 。篓耳霹孵 o o l l ( h k + t ( n ) p 2 山东大学硕士学位论文 方程( 1 1 ) 等价于求解下列问题 x f 2 0 t t z n ，o 。茎t ， ( 2 6 ) z f n ，0 tst ， z n 对于给定的光滑函数y 0 - ) ，我们有下列性质： f t i + l f ( t ) d r = a t f ( t , ) + e i ( ，) 】 d t t 由文献 3 知： i i e m ) i i = o ( a t ) ( 27 ) i = 0 则方程( 2 6 ) 可以变为下列离散形式i ： 其中 等价于 o q o n z r z q 耻如) 与# 叫州 丑；= t 6 ( z ) “一1 2(z)一6(。)fot“vue v u v u ( x i = 0 ，r ) d r丑；= t 6 ( z )2 ( z ) 一6 ( 。)，r ) d 7 - ； c t t n + 叫d i v 州茹) - j r q u n ( 圳= l u n - 1 + a t 以删+ 譬咒。q o ( 。) 一1 【盯“( z ) + a ( z ) v u ”( z ) 】 = 一a t o ( z ) 一1 6 ( z ) ea t 、t u ( 。) 十a t 口( z ) 一1 r 3 ， 。f 2 3 ( 2 8 ) 埘q 向 = ， i = 油如 卜n = 扛扛 w v 一叫 吣 。 0 + 队 t z r 啡+ 甸 一 巾吣姒 扛瓦+ = | l 丝 蚪毗如咄 l | i掣p 州 6 删 m 扛 i 制 叫 b 惹淼舻州m o | | opz n 盯 d r lz 扛 ， 0 o u = | i n 0 批 u 由窳大学硬士擎经论文 r $ 予( 以铅) h ( d i v ；q ) ；p ，。) 珏1 固，我鳃嶷义双绂牲形残 a 熊删刚) ) = ( ( c w + a t ( d i v c r + q w ) ) , c v + a t ( d i v w + q v ) ) + a t ( 8 ( 。) ”1 ( 盯+ 乜白) v 螂) ，u + a ( z ) v v ) ( 2 9 ) 方法i 给定初始值乱2 瓯。，对于n = 1 ，2 n ，求解( 唠，“h h ，魏。满照； 。( ( 簖，嚣；) ，甜 ，铴) ) = f ；( c 钍：一l + a t ，n ) ，c 2 h + + q v h ) c 2 ha t ( d i v w h q v h ) 。( ( 簖，嚣；) ，甜 ，铴) ) = ；( c 钍：一1 + a t ，“) ， + j 一t ( n ( 搿) _ 1 拍( z ) v 让胁+ a ( x ) v v h ) f 盏銮攀篇嚣篇篇魏 l 钍( z ，t ) 尝0 ，。r d ，o ( x ，t ) ( z ) ：= 0 ， 。r ，0 t 正 【鞑( 。，0 ) 一嚣8 ( 。) ， 茹q n ， 茹鸵， ( 2 1 2 ) 霉r ， o n 磺= 鑫拶“( 茁) 一露善) + 窿( 篁) ( v 磊珏8 和) 一v 珏；f 墓) ) ， 反n = t , “n - - u n - - 1 。 对于( 盯， ) h ( d i v ；q ) ；( u ， ) h 1 ( q ) ，我们定义双线性形式 叭( 盯，毗( u 川) = ( ：1 ( 舢+ 蛔i w + g ) ) ，跏+ 蛔i w + 删) 4 | | 托睡 城舶 州喇 ：照轨 蓑糍啦生以吼 山东大学硕士学位论文 + a t ( a 扛) 一1 ( 盯+ a ( z ) v w + t 6 ( z ) v 叫) ，u + a ( x ) v v + a t b ( x ) v v ) ( 2 1 3 ) 在( 2 1 2 ) 基础上，我们定义最小二乘有限元方法： 方法i i 给定初始值醒h h ，；乱2 = ( r u ) o 瓯。，对于礼= 1 ，2 ，求解 ( 口2 ，“：) h h 。s h 。满足： 6 。( ( 口：，u z ) ，( u ， ) ) = ( ( c “：一1 + a t f “) ，c 口h + a t ( d i v u h + q ) ) + a t ( 口( 。) 一1 ( 硝一1 + o ( 。) v “：一1 ) ，u + a ( z ) v v + a t b ( x ) v v ) v ( w h ， v h ) h h 。s 。( 2 1 4 ) 在文献【9 】中作者研究了一阶椭圆问题的混合元方法，得g u t 下列结果 引理1 1 【引存在正常数k ，o 与网格参数h 。，h ，和f 无关，满足： i ( d i v a + q u ，d i v w + q v ) + ( 盯+ a ( x ) v u ，u + a ( x ) v v ) l k i i v u l i l 。( n ) ) 。+ l j 盯j i 备( d i v ；n ) 1 7 2 l i l y ”j f 乙：( 删p + l u l l 刍( d i 。：n ) 】1 2 ， ( d i v a + q u ，d i v a + q u ) + ( 盯+ a ( x ) v u ，c r + n ( 。) v “) o 1 l w l l h 。( n ) ) ：+ j l o l i 刍f d i 。；n ) 】 i ( d i v a + q u ，d i v w + q v ) + ( a + a ( z ) v u + a t b ( x ) v u ，u + o 扛) v + a t b ( x ) v v ) f k i l v u i i ；l 。( n ) p + l i 盯l l 备( d i 。，n ) 】1 7 2 l i l y l 乙：( n ) ) ：+ l l 叫1 ；( d i 。二n ) 1 门， ( d i v a + q u ，d i v o - + q u ) + ( 盯+ n ( z ) v u + a t b ( x ) v u ，盯+ n ( z ) v “+ a t b ( x ) v u ) 训v 让瞄( n ) ) ：+ 备( d i v ；n ) j 由引理( 1 1 ) 知双线性形式a n ( ，) 和k ( - ，- ) 在h x s 上是连续，一致正定的 由l a x m a l g r a m 引理可知有限元方法i ，方法i i 在每一时间层上具有唯一解我们 在下一节中对方法i ，i i 进行收敛性分析。 1 3 收敛性分析 我们首先对方法i 进行分析： 5 出东大学硬学位论文 “：一= = = = = # = = = = = = = 2 1 = = = = = = = = 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 可以得到： ，1、 。( ( 仃”矿，乱“一钍2 ) ，( 峨，强) ) = ；( c ( 钍”一1 一珏2 。) + t 霞? ) ，+ a t ( d i v w n + q v h ) ) 、。 、 ， n - i 、 + a t 。( 圹1 ( 蝣一6 ( 。) v ( 一乱洳) ) ，u n + d ( 搿) v j v ( ，如) 点如，xs t , 。 ( 3 1 ) 令 0 n = ( _ r u ) “一u z ，p “霹扎“一( r “) “，7 r “= ( r 4 一盯2 ，e n = 盯”一( r 盯) “ 我露器要镄计0 “，7 f ” 由( 3 1 ) 我们知道( 矿，0 ”) 满足下列估计式： f ( ；( c ( 扩+ t ( d i v 霄“+ 9 酽) ) ，c 口+ t ( d i v + ) ) + a t ( n ( 。) 一1 ( 7 r “- 4 - 聪( z ) v 口8 ) ，“ + a ( z ) v v ) = ( 扣旷1 + 1 _ 矿) - z x t ( d i v c n + q 矿坷m 胁+ 蛔+ q v h ) ) + z x t ( a ( x ) 一1 ( 捉i a t b ( x ) v ( p i + # 。) ( 。) ) ，蛳+ a ( x ) v v h ) 一a t ( n ( z ) 一1 ( “十a ( x ) v p “) ，u + a ( x ) v v h ) v ( w t , ，冁) 厩。& 。 ( 3 2 j 由分步积分我们可以得到： ( ：( c ( 俨+ t ( d i v 霄n + q o n ) ) ，甜“+ 。( d i v l r n + q o n ) ) + a t ( 8 一1 ( 驴十a 。) v 轳) i 扩十a ( z ) v e ) = ( c o l0 ”) + t ( n ( ) v 口“，v o ”) 十( 口( z ) 一1 丌”，7 r “) 】 十t 。 ( 1 d i v t r n , d i v t r n ) + ( g p “，9 8 “) ! + 2 tl ( c o + a t d i m r 8 ) ，9 8 “) ， 在( 3 2 ) 中取( w ，v h ) = ( 驴，o n ) ，可彳尊： ( c ( o “一o - - i ) ，0 “) 十a t f ( 8 ( 茁) v 母”，v o “) + ( n ( 嚣) 一1 耳“，耳“) l + 鼎；d i 研“，曲矿) + 孑1 9 轳，扩) j 6 山东大学硕士学位论文 ： ( p “1 ，d i v 7 r ”) + o n - 1 , q o “) 一t 2 ( d i v e ”，d i v 7 r “) + ( ( c ( p n - i _ _ 矿) 一t ( q p n _ 1 = i 釉) ，胡“+ 酬d i v 矿+ q o n ) ) 一t ( 0 扛) 一1e ”+ v p ”，”“) + t a ”，扩) - 2 a t1 ( c o + a t d i v ”n ) ，q 日”1 拙( 啦) _ 1 ( 魈一丢n - i a t b ( x ) v ( 删圳，+ 0 ( 坍酽) ( 3 3 ) + 。 n ( 圹1 ( 魈一v ( + ) ( 。) ) ，7 r “+ 。( 茹) v 酽) ( 3 3 ) l = 0 我们逐项进行估计 ( 4 0 “一o - 1 ) ，0 n ) ：； c o n ，0 n ) 一c o - i , 0 n 一1 ) + ( 4 0 n o - i ) ，0 n 一日n 一1 ) 】，( 3 4 ) a f r o 1 ，d i v t r ”) = a t ( o 一1 一o n , d i w r “) 一( r e “，7 1 n ) ； ( c ( 日“一0 - - t ) ，口”一o - - i ) + a t 2 ( ；d i v ”n ，d i v ”)； ( c ( 占“一 ，日”一 + 2 ( ；d i v 7 r “，d i v 丌”) + a t ( a ( x ) v o “，v o ”) + t ( o ( z ) _ 1 矿，”) ，( 35 ) 由( 2 5 ) 式我们有： v ( u o u 2 ) l l k h ：l l u o l l h i + t ( n 】( 3 6 ) n l ( t n ( z ) 。6 ( 。) a t v # ( z ) ，丌“+ n ( z ) v o “) i = 1 s t 警l i | | ：。( h ) + 占t ( | | 7 r “| | z ( n ) ) ：+ i i v o “| | 乱：( n ) ) ：)