（计算数学专业论文）reissnermindlin板问题的高性能有限元方法研究.pdf

些! ! 查翌塑主望堡堡壅 摘要 r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的高性能有限元方法研究 汁算数学专业 研究生王柱指导教师胡兵 r e i s s n e r - m i n d l i n 板是航空航天结构中的重耍模型传统的位移格式有限元 方法在逼近这一模型时会遭遇剪切l o c k i n g 传统的避免l o c k i n g 不稳定的混合 杂交元方法要求k - 椭圆性条件和i n f - s u p 条件同时成立，这就使得低阶元的构造 显得非常困难近来，周天孝教授等提出了组合杂交有限元方法，并从能量优化 这一全新角度研究了有限元格式实现高性能的内存机理 本文将这一思想应刷于r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的数值模拟中，提出 了相应的组合杂交有限元方法，在独立引入剪应力和弯矩的前提下，利用 w e i s s m a n & t a y l o r 元非协调位移，构造出四组新元素( p t i 。，p w u ，c h t l ，c h w u ) ， 利用系列标准测试进行数值模拟，结果显示本论文提m 的几组新元耄具有更 好的数值性能 关键词：r e i s s n e r m i n d l i n ，组合杂交方法，假定弯矩，假定剪应力，1 f 协调 位移 四川大学硕十学位论文 a b s t r a c t h i g hp e r f o r m a n c em e t h o da p p l i e di nr e s s i n e r - m i n d l i np l a t e m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s a u t h o r ：z h uw a n gs u p e r v i s o r ：b i n gh u r e i s s n e r - m i n d l i np l a t ei sa ni m p o r t a n tm o d e lo fa e r o n a u t i c sa n da s t r o n a u t i c s s t r u c t u r e a sw ea l lk n o w n ，w m l eu s i n gt r a d i t i o n a ld i s p l a c e m e n tf i n i t ee l e m e n tm e t h - o d st oa p p r o x i m a t et h i sm o d e l ，s h e a r i n gl o c k i n gw i l lo c c u lt r a d i t i o n a lm i x e dh y b r i d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，w h i c hc a nc i r c u m v e n tt h el o c k i n g i n s t a b i l i t y , r e q u i r et h es a t i s f a c t i o no fk - e l l i p t i cc o n d i t i o na n di n f - s u pc o n d i t i o n t h e r e f o r e , c o n s t r u c t i o n so f l o w e r - o r d e re l e m e n ti sv e r yt h f f i c u l t r e c e n t l y , z h o up r o p o s e dac o m b i n e dh y b r i d f i n i t ee l e m e n tm e t h o da n ds t u d i e dt h ei n t r i n s i cm e c h a n i s mt h a tl e a df i n i t ee l e m e n t s c h e m e st oa t t a i nh i g hp e r f o r m a n c e n i sp a p e rh a si n t r o d u c e dt w ok i n d so fc o m b i n e dh y b r i dv a r a t i o n a lf o r m u l a t i o n s f o rp l a t eb e n d i n gf i n i t ee l e m e n t sb a s e du p o nt h er e i s s n e r - m i n d l i nt h e o r y , a c c o r d i n gt o w h e t h e ra s s u m e dc o n s t a n tm o m e n ts t r e s si si n t r o d u c e dw h e na s s u m e dc o n s t a n ts h e a r s t r e s sh a sb e e ni n t r o d u c e d d u et ot w oo p t i o n sf o ri n c o m p a t i b l ed i s p l a c e m e n tm o d e s ， f o u rn e wt y p e so fc o m b i n e db y b r i de l e m e n t sa r ep r o p o s e d ，as e to fs t a n d a r dt e s t sf o r b o t i it l l i na n dt h i c kp l a t e ss h o wt h a tn e we l e m e n t sp e r f o r mw e l l k e yw o r d s ：r e i s s n e r - m i n d l i n ，c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d ，a s s u m e dm o m e n ts t r e s s ， a s s u m e ds h e a rs t r e s s ，i n c o m p a t i b l ed i s p l a c e m e n t 一一 四川大学硕十学位论文 第一章绪论 众所周知，传统的位移格式有限元方法在逼近r e i s s n e r - m i n d l i n 板模型时会 遭遇剪切l o c k i n g 现象，即板厚趋于0 时，结果不收敛导致薄壁结构有限元分析 的可信度受到质疑 因此在过去的几十年，如何建屯一类l o c k i n g f r e e 的有限元成为研究热 点较早的有效工作就是：对纯位移有限元格式，由z i e n k i e w i c z 等和p a w s e y c l o u g h 提出的简化积分及选择简化积分技术的应用( 见【2 3 1 ，【1 0 1 ) 另外较成熟 的工作即是混合杂交方法，提出了一系列一致逼近的有限元其中的m i t c 4 四边 形元( 见【2 】) ，a r n o l d & f a l k 三角形元( 见【l 】) 及w e i s s m a n & t a y l o r 元( 即c r b l 和 c r b 2 元) ( 见【1 4 】) 有较人影响但是，m i t c 4 对网格畸变非常敏感；a r n o l d & f a l k 三角形元没肓使用t 稃自由度，计算量较大；在1 9 9 0 年，s h m u e ll w e i s s m a na n d r o b e r t l t a y l o r 引入了弯矩变量，利用弯矩和剪应力耦合，在单元程度上避免了剪 切l o c k i n g 。但在有些板厚。w e i s s m a n & t a y l o r 元数值结果非常差，并且由于弯矩 和剪应力相互耦合导致了计算的不便这些传统的避免l o c k i n g 的混合元方法 斋要i n f - s u p 条件和所谓的k - 椭圆性条件同时满足 组合杂交元方法由周天孝教授提出，是一类不同于传统的克服l o c k i n g 途 径的新方法( 见【1 9 1 ) 研究显示该方法是稳定的，即不需要满足i n f - s u p 条件。而 且该格式能够增强粗网格精度该方法以被成功的用来解决很多的工程问题， 如 2 0 l ，【6 】等最近，胡兵博士将这一能量优化思想和w i l s o n 非防涮位移应用在 研究r e i s s n e r - m i n d l i n 模型，构造和分析了一类低阶四边形元，其l o c k i n g f r e e 且 粗网格上具有高精度( 见【6 1 ，【7 1 ) 本文同样将这一方法应用了：逼近r e i s s n e r - m i n d l i n 模型，而非协调部分利用 同w e i s s m a n & t a y l o r 元中的非协调伉移格式，分别独立引入常剪应力和常弯矩 构造了四组四边形元 具体而言，全文内容安排如f 第一章，导论 四川大学硕士学位论文 第二章，r e i s s n e r - m i n d l i n 板模型简介 第三章，部分投影法 第四章，假定剪应力及弯矩的组合杂交法 第五章。数值实验 一2 一 四川大学硕十学位论文 第二章r e i s s n e r - m i n d l i n 板模型简介 本章对r e i s s n e r - m i n d l i n 板模型做简要介绍，采用常规的s o b o l e v 空日j 符号 表示，对于符号说明参见【4 1 设q 为舻中一个具有l i p s c h i t z 边界的区域。板变形前在舻中所占区域 为： ( z i ，z 2 ，x 3 ) 帮l ( z l ，现) q ，l x 3 l t 2 ，其中t 为板的厚度 扳经过变形后，设z ，方向的变形为阢( z l ，z 2 ，z 3 ) ，应变张量f 定义为：c l ，= ；罄+ a 如u , ，i ，j = l ，2 ，3 仅考虑弹性板，则应力可通过应变张量e 来表示： 以，：兰( e t ，+ 去岛嘶) ( 2 0 1 ) 2 丁干了( e t ，+ r i 轴) ( 2 o 1 ) 这里e 是杨氏模量，为p o i s s o n 比 根据m i n d l i n 板假设有：e 3 3 = 0 ，= 0 ，u 3 ( z l ，z 2 ，x 3 ) = w ( x l ，z 2 ) ，且不考 虑薄模能，则仉和可取如f 形式： 仉( 茁l ，z 2 ，z 3 ) = 一z a p l ( z l ，z 2 ) ，沈( z l ，x 2 ，x 3 ) = 一z 3 岛( z l ，茁2 ) ( 2 0 2 ) 设板仅受横向载荷，= 亡3 9 ，则储能函数为 j l 乓f 5 厶f c t ，疵出一上矿锄 ( 2 o s ) 实际情况时剪切力在截面上的形变与公式( 2 0 1 ) 不一致，故需引入剪切校 正因子k 有： 盯1 3 ：黑e 1 3 ，吻：兰e 2 3 ( 2 o 4 ) 盯2 亓巧1 3 ，吻2 万i 2 3 t 2 u 斗j 将( 2 0 1 ) 。( 2 0 2 ) 及( 2 0 4 ) 代入( 2 0 3 ) ，对x 3 积分得势能泛函： ，( p ，u ) = 萼n ( p ，? ) + ：a 产l i p v u 0 3 一矿( 9 ，u ) ( 2 。5 ) 一3 一 四川大学硕士学位论文 这里 。c 阳，= 面上t 肚 卢威u 叩+ 字室c 筹+ 差，c 罄+ 差，锄 i i i i o 及( ) 分别为s o b o l e v 空间中的0 一范数及l 2 内积，a = 隶，l ，为p o i s s o n 系数，e 为杨氏模量 为排除刚体位移，需附加边界条件考虑如卜的固定边界：p = ( 历，岛) ，p 霄i = p 7 = u i = 0 ，a q 为q 的边界，这里育为边界a q 的单位法向。 7 为边界a q 的单位切向则相应r e s s i n e r - m i n d l i n 板问题对应如下的极小化问 题： 求( 反u ) ( 硪( q ) ) 2 明( q ) ，使得 ，( 卢，u ) =i m t ，( 7 7 ， ) ( 2 0 6 ) ( _ ，d ) ( 础( n ) ) 2 x 础( n ) 问题( 2 0 6 ) 等价的变分问题为： 求( 卢，u ) ( 础( q ) ) 2 硪( q ) ，使得 8 ( p ，叩) + a 一2 ( v u p ，v t ，一，7 ) = ( 9 ， ) ，v ( ，7 ，t ，) ( 础( q ) ) 2 础( q ) ( 2 o 7 ) 对给定的( 卢，u ) ，剪应力 盯= a 一2 ( v u 一卢) 则相应子变分问题( 2 0 8 ) 有如下正则性结果： ( 2 0 8 ) 1 1 p 1 1 2 圳盯0 0 c l b l l 乩1 1 u 1 1 z c ( i b l l t + 。2 i b l l 。) ( 2 o 9 ) t l l o l l l c ( i b l l l + t l b l l o ) ， j l 盯0 日( 出。n ) c l l g l l o 一4 一 四川大学硕十学位论文 但足，变分问题( 2 0 8 ) 的一个重要的物理特征足：存在与厚度t 无关常数c 0 ， 使得 j i a t 一2 ( v u p ) 1 1 0 c l l g l l o ( 2 0 1 0 ) 这样，当t 一0 时，即中厚板变成薄板时。有 0 v u p o o c a 一1 t 2 i l g l l o ，0 于是，克希霍夫假设p = v w 得以实现。r e i s s n e r - m i n d l i n 板转变成为克希霍夫板 模型：求u 瑶( q ) ，使得 a ( v w ，v v ) = ( g ，) 讹掰( q ) ( 2 0 1 1 ) 注意到r e i s s n e r - m i n d l i n 板和克希霍夫板的直线假设不同：对于r e i s s n e r - m i n d l i n 板变形前垂直于中面的法线变形后仍为直线，但不一定垂直于变形后 的中面；对于克希霍夫板，变形前垂直于中面的法线变形后仍为直线并垂直于 变形后的中面，即在r e i s s n e r - m i n d l i n 板的约束基础上，还有1 3 = 0 ，2 3 = 0 须满 足故re i s s n e r - m i n d l i n 板比克希霍夫板更具工程实用性 一5 一 四川大学硕士学位论文 第三章部分投影法 本幸在仅引入剪应力新变量时，蕈点研究对r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的一类 新的有限元逼近方法一一部分投影法该方法堆丁区域分解的h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理及其对偶的一种组合利用能黾协调原理，构造了两组低阶四边形，t 该方法具有保持能量最优的特点。且可以不要求i n f - s u p 条件，能够实现数值高性 能，为克服剪切l o c k i n g 提供了一条与传统混合元方法不同的重要途径数值实 验显示该方法在粗网格时可以达到能量几乎最优，目相应丁：w e i s s m a n & t a y l o r 元( 见【1 4 1 ) 整体上有更好的数值性能 近来。胡兵博士将周天孝教授的能量优化思想和丰富戍变的w i l s o n 非协调 位移应用到r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的数值实验中，构造出低阶四边形有限元， 既克服了剪切l o c k i n g ，又具有粗网格扃精度等特点( 见【6 1 ，【7 】) 本文在此方法 基础上。利用丰富应变的t a y l o r 非协调位移构造出一组新的低阶四边形有限元 ( 见【1 6 1 ) ，具有同样的特点，且相应于w e i s s m a n & t a y l o r 元整体上有更好的数值 性能数值结果在第五章一并给出 本章内容安排如下：第一节给出部分投影法的数学框架；第一二节分析方法的 收敛性：第三节结合能晕协调条件构造两组l o c k i n g f r e e 的低阶四边形元素 3 1 部分投影法 假定q ( 詈，5 ) 板变形所占据的【x 域，qc 形为一个单连通区域。t 0 为板 的厚度川表示板中面区域q 的挠度位移，卢表示转角位移，则固定边界条件时的 r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题为( 2 0 7 ) 放松限制u 6 , 0 ( q ) ，则相应于问题( 2 o 7 ) 的位移格式为：求( 仃，u ，p ) rx u h 使得 d ( 卢，町) + a t 一2 乏二( v u p ，v v 一，7 ) 吼一b l ( 盯，u ，) = o ，t ，) v ( 叩 ) h u ( 3 1 1 ) 一6 一 四川大学硕士l 虬位论文 6 1 ( 7 ，) = 0 竹r ( 3 i 2 ) 这里挠度位移封= u e + 嘶，为协调位移，m 为内部位移 引入剪应力盯= a 一2 ( 乳一励之后，得变分格式：求( 以u ，p ) r u h 使得 o ( p ，叩) + a 一1 芝二( 盯，v v 一，7 ) q b l ( a ，u ，) = ( 9 ，t ，) v ( 7 7 ，移) h u ( 3 1 3 ) t 2 ( a ，1 - ) 一a ( 7 ，v “，一p ) 皿+ 6 l ( l ) = 0v 下r ( 3 1 4 ) ( 3 1 1 ) xa t 2 - i - ( 3 1 3 ) ( 1 一q t 2 ) ，( 3 1 2 ) a t 2 + ( 3 1 4 ) ( 1 一a t 2 ) ，贝u 得如下的 部分投影格式： 求( 盯，u ，p ) r u 日使得 。( 删+ 妇莩帆一p , v v - - ，7 ) 见+ ( 卜q 护) 砂珊一，7 h ( 3 一b l ( a ，t ，) = ( g ，口) ，v ( q ，u ) h u ( 1 一a p ) x 一1 t 2 ( 盯，下) 一( 1 一a t 2 ) 乏二( r ，v “，一p ) n i + b l ( 下，u ，) = 0v t r ( 3 1 6 ) t 这里b l ( t ，) = ( r ，育) ，h = ( 砩( q ) ) 2 ，r = f l t t ( d i v ，g ) ，矿= 玩。巩，以= h d ( q ) ，v z ( q 。) = s p a n ( b u b b l e s ) ，a 护( 0 ，1 ) 定理3 1 1 问题( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 有唯一解( 盯，u ，p ) r u 日 证明r e i s s n e r - m i n d l i n 板模犁的原始微分方稃解。显然足问题( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 的解在( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 中，令g = 0 ，7 7 = 屈7 - = 盯， = t 9 ，钉，= u ，可得： a ( z ，p ) + a a i l v o l ，一p i | 3 皿+ ( 1 - c e t 2 ) a 一1 t 2 ( 盯，仃) = 0 ( 3 1 7 ) 由此推得：v u h = 0 以及在区域f z 卜p = o ，o r = 0 从方程( 3 1 6 ) 可得：对任 一1 一 四川大学硕+ 学位论文 意的计r ，b l ( r ，u ) = o ，w i = u 一峨而，乩) u 玩，所以有u 嘲p ) ， 那么一峨) i 觚= 0 并且在区域上u = 0 由此，解的存在唯一性得证 _ 3 2 有限元离散及收敛性 这一节，我们将主要研究部分投影法的构造和收敛性的分析令日“，c ，“，r 为相应于区域剖分瓦的有限元空间，并满足：h “ch ，u “c 以r hcr 则问题 ( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 有如下离散：求( c r h ，w h ，风) 一u “h “使得： 。( 风，7 ) + a a 莩( v 以一风，v 口一叩) 嘎+ ( 1 一。p ) e ，( o h , v v - 7 7 k ( 3 2 1 ) 一b l ( o h ，t _ ) = b ，钌) v ( 叩，t ，) 。h i u h ( 1 - a t 2 ) 入一1 t 2 ( 盯 ，r ) - ( 1 - , 1 t 2 ) 芝二( r ，1 曰峨一风) 峨+ 6 l ( 7 - ，“氇，) = 0v 丁f ( 3 2 2 ) 接下来我们分析上面问题的解的存在唯一性和收敛性 定理3 2 1 假定( 吼“，p ) 为r e i s s n e r - m i n d l i n 板模型原始微分形式的准确解，盯= t - 2 ( v u p ) ，则问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 存在唯一解( a h ，地，风) p u “h “，并且 0 盯一盯 0 0 n + 0 p 一风l i l 且+ ( 0 v ( “j 一峨) l j 3 矾) ； c 罂i i o - 下lj r + 蒜胪一训- ，n + 卷m 一圳各+ 一嚷加) 舟 ( 3 2 3 ) 这里e 0 是一个于h 无关的常数 证明从( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) ，我们知道n ( 7 ，叩) + 口( v v 一刁，v v 一叩) 见+ ( 1 一 t a t 2 ) 铲( r ，下) 在p u “h “上正则。则有限元解的存在唯性可由l a x - m i l g r a m 定理直接到处利用【2 l 】中定理3 1 的技巧容易导出误差估计式( 3 2 3 ) - 在丰富应变的格式中，。盥f 一仇l i ；舶的阶要比，璺l 忪一训i 【，低，定理 t j ， “： 3 2 j 反应不出导致好收敛性的原因因此，有必要更深入地研究收敛性分折 - 8 定理3 2 2 存在与氏无关的常数a 0 ，对任意的q 。v h 及t ，u h ，使得 舾一喙弧s c , l l v u i i 。他，对口 0 准确解( 口，u ，p ) 和有限元解( 盯h ，风) 满 足如f 误差估计： i p 一仃h l i 。n + l l 口一风l i 。皿+ ( i i v ( u 一) 一( p - f ，h ) l 1 0 2 嘎) c 枷i n f 。1 1 p 刊i l 十( 1 + 1 t ) 0 i n 删f 。( 驯v ( u 刊邓一叼) 1 1 0 2 + ，i 。n ，f 。l ( 1 + t ) l l - r l l 。n + i i 仃一r 卧1 + o t ) s u p ( b 1 ( r ，t ，一t ，c ) 1 l r l | r ) 7 r 这里g 是与h ，o 无天的常数 ( 3 2 4 ) 证明首先假定( r 1 0 p ，l u ，2 盯) u “日6 p 是( p ，u ，仃) 的任一逼近 取玎= 西瓯：= o p 一风，t ，= 6 0 , h ：= l u u h ，7 - = 子靠：= n 2 盯一靠，( 3 i - 5 ) ，( 3 i 6 ) 分别减去( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，并注意到一) l = 0 ，易得： 这里 n ( 6 玩，6 风) + a a o v ( & “) 一溉幅“+ ( 1 一a t 2 ) a - 1 t 2 0 6 眩n i l + 1 2 + 1 3 + 1 4 十i 钆 1 1 ： a ( n o p p ，西) + a a ( v ( l u u ) 一( h o p p ) ，v ( & 蜥) 一6 风) n 。 + ( 1 一q 2 ) a 一1 t 2 ( h 2 盯一盯，d “) ， 如：= ( 1 一。护) ( 2 矿一吼v ( 瓦m ) 一4 ) 吼， 厶：= 一( 1 一。铲) ( 6 ，v ( n l u 一“，) 一( n o f i 一卢) ) m ， t 厶：=b l ( 6 吼，h i w 一( r i , w ) 。) ， 矗：=一6 1 ( 2 盯一盯，6 u h 一( 6 u h ) 。) 9 四川大学硕士学位论文 利用s c h w m - z 不等式，则有 c l l n o f l - f l l h + ( i i v ( r i u u ) 一( n o f l - f 1 ) l 1 0 2 嘎) ；+ t l l n ：- 一1 1 0 n 】( ) 如c j | 1 1 2 矿- 盯i i o ，nx ( 口8 v ( 以， ) 一西靠i 括，见) ；， 厶sc 0 0 ( i i v ( n - 一u ) 一( o 口一所j j 爱见) ；( ( 1 一a t 2 ) 2j | 6 f j 3 ，n ) ， h c ( 1 t ) s u p ( b l ( 6 靠，n 1 “，一( l u ) c ) l l 0 ，使 红r f t v s d s c h , l l ，- i i r n l i i v ，1 1 1 勰i 竹p(331)j a n 。 特别的，如果 圣r 商v s d s = 0v r f h , 移u “( 3 3 2 ) 我们称 ，为完全能量协i 1 11 j 勺b u b b l e 我们又称( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 为能量协调条件，该条件是构造“好的”杂交元的 指南为此定义如下空间： r ：= 1 - r ：7 - l 他= c o n s t a n t ，v f l i t h ， 妇下i 皿= ： 兰 这里q ，饧是常数 四川大学硕士学位论文 衅，嘞。分别是t a y l o r 和w u 非协调竹移四边形有限元空间， 衅。 沈。 口u ： p u ： v l n 。= ( + v t 。) l n = 【碗+ 西t 1o 巧1 ，v q 。矗 ， v l n , = ( + y ”) l 瓴= k + 田”l o f 1 ，v q ；磊 ， 其中皖= 毋( e 化，7 ) ) = f 1 飓4l 叮5 ”，这里节点位移向量q ”) = ( 口l 忱地饥) ，肌= ( 1 + 6 f ) ( 1 + 轨7 ) 4 ，( 6 ，仇) ( t = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是顶点 ( - i ，- i ) ，( 1 ，- i ) ，( 1 ，1 ) 和( - i ，1 ) 只是从参考单元_ j i ：卜1 ，l 】卜1 ，1 j 到n 的双 线性等参变化( 见图3 , 3 1 ) ，fz ) ；e 他，叩) = 盛l ( ，叩) f 黾) ，轨) ： ty i 弘 1 ，2 ，3 ，4 ) 为q 四个顶点的坐标 图3 3 1 b i l i n e a ri s o p a r a m c t c fm a p p i n g 毋讹= i ； q p ，这里i = ( 1 - 舞叩) ( 1 一f 2 ) + 凳，7 ( 1 一p ) ， ；= ( 1 一f ) ( 1 一町2 ) + 名叩( 1 一 2 ) ，v 醇r 4 a s ：秽”= 鹏旭】q ，这里心= 2 一盐3 , o ，。- - 3 地, 0 ” t ， 心= 矿+ 盐3 , i o 一毪吼v 口7 彤 其中而= 8 1 6 3 一a 3 b z ， = 1 6 2 一a 2 b z ，如= 0 2 6 3 一n 3 6 2 ，n l = l ( - x , + 2 + x 3 一z 4 ) ，d 2 = 0 l x 2 + 。3 一x 4 ) ，a 3 = ( z l x 2 + x 3 + z 4 ) b l = ( 一y z + y 2 + 蜘一玑) ，5 2 = ( 暑，1 一珈+ 驰一玑) ，b 3 = ；( 一暑l y 2 + 蜘十玑) 一1 2 一 四川大学硕七学位论丈 相心于组合变分有限元格式( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 我们提出f 眄组新的四边形元空间 p t l = r u 拿l h ，p w u = f u 品。日 这里日“= ( t 7 h ：叩l n 。( q 1 ( q ，) ) 2 ，v n 。矗 引理3 3 2 当以为凸四边形剖分时，对任意的1 _ f h , v 噼l 或者t ，阮。， b l ( 丁， ) = 0 ，是完全能量协调的 证明 fq f 下 j 孰 疗v l d s = ( d z v r , v 1 ) 吐+ ( l v v l ) n 。 = r 莩p _ ( 萋) 定理3 3 1 假定u 明( q ) nh 3 ( q ) ，p ( 础( q ) r lh 2 ( q ) 2 ) ，那么模型的唯一解 和相应于( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 并p 1 l 或p w u 决定的有限冗解( o h ，o j h ，风) ，应满足如f 误差估计： t 0 盯一靠0 0 n + 0 p 一风0 。n + ( 。0 v ( 。一) 一( p 一尻) 1 1 3 n 。) sc h l l z l l z o + ( h 2 + h u t ) ( 1 1 w l l a n + 1 1 p 1 1 2 q ) + ( 1 + t ) l l 7 l ll ，n + h l l d i w l l o n 证明在定理3 3 1 的证明中，利用引理3 3 2 可知，厶= 0 ，估计式容易得到 - 一1 3 一 四川大学硕士学位论文 第四章假定剪应力及弯矩的组合杂交法 本章在第四章的基础上，同时引入剪应力和弯矩两个独立变量，提出相应的 组合杂交方法，利用非协调t a y l o r 和w u 位移插值以及能量协调原理，构造了两 组l o c k i n g - f r e e 的低阶四边形元( 见【1 7 1 ) 分折和数值结果表明：该疗法具有保 持能量最优的特点，且不要求i n f - s u p 条件，而且比第四章构造的有限元具有更好 的数值性能 本章安排如下：第一节在同时引入剪应力和弯矩两个独征变量时，导出 r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的组合杂交方法，建立相应的数学框架：第二节讨论组合 杂交有限元格式及其收敛性：第三节构造两组l o e l o n g f r e e 的低阶四边形有限 元数值结果在第五章一并给出 4 1 假定剪应力及弯矩的组合杂交变分方法 在任一单元k 上，组合变分泛函有如下表达： 玎( r ，t ，叩) 2 ；陋( 叩，7 ) + a 一2 ( v v - - r h v v - 7 1 ) 一( 9 ，”) j d k - b l ( 下，t ，) 一( ( 1 一a t 2 ) 2 ) ( t 2 a ) ( 7 - 一a t 一2 ( v v 一町) ，r a t 一2 ( v v 一叼) ) ， 这里。为组合参数：o 口 t 对应等价变分问题为( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 相应的 优化能量并不是系统真解能量，我们只是通过强迫能量优化来改变精度，这一技 巧在以前的混合投影，插值法中是没有的而问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 中相应的剪切部 分为口( v 嗍一风，v 妒一，7 ) 以，相应的能量就对口选择较为敏感，口较大时，剪切 部分的作用就较大，会导致l o c k i n g ；o z 较小时，实际系数o t 2 就更小，调整有限 实际计算发现：当能量几乎最优的时候，中心挠度位移精度有所欠缺；当中心挠 度位移精度较高时。能量的绝对值又比精确值大得多。所以口的选抒对精度调整 有限 一1 4 一 四川大学硕士学位论文 基于这一现象，我们同时引入剪应力和弯矩作为两个独立变量，提出 r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的假定剪应力及弯矩的组合杂交元法在任一单元k 上， 其变分泛函有如下表达： ( 下，m ， ，叩) = 厂；【0 ( 吼叩) + a t 一2 ( v 一仉v 一叼) 一( 9 ，u ) 】d 一6 l ( 7 ，研) c h 盖 一( ( 1 一o l t 2 ) 2 ) ( 2 a ) ( r a t 一2 ( v v 一刁) ，丁一a 一2 ( v v 一 7 ) ) 一( q 2 2 ) d ( m d e ( 叩) ，仇一d e ( 7 7 ) ) ， 相应的组合参数有两个。即口l 和a 2 ，n l 为对应剪应力的组合参数，n 2 为对应弯 矩的组合参数锄对能量的贞献比o 。小，但对中心挠度位移精度的影响要稍大 一砦所以，可主要通过口。来调整能量。当o t l 基本固定下来后( 能量几乎最优 时) ，再用n 2 来调整中心挠度位移精度 引入剪应力盯= a t _ 2 ( 钆一卢) 和弯矩m = d e ( b ) 作为独立变景，放松 限制“，c o ( q ) ，类似第三章第一节，我们考虑如下的组合杂交变分格式：求 ( 仃，m ，u ，p ) rxz uxh ，使得： ( 1 - a 2 ) n ( 成叼) + a o l ( 一卢，乳- , d n 。+ ( 1 一a l t 2 ) ( 盯，乳一，7 ) 皿 ll + a 2 ( m ，e ( 叩) ) 一b i ( a ，u j ) = ( 9 ，t ，) v ( e ，秽) h u ( 4 1 1 ) ( 卜q 1 t 2 ) a 1 2 ( 叩) 一( 1 一o l t 2 ) ( 下，钆一p ) n 。 + a 2 d ( m ，n ) 一a 2 ( m ，e ( p ) ) + b l ( r ，“j ，) = 0v r r ( 4 i 2 ) 这里b l ，h ，r ，u 和第三章定义相同，d ( m ，m ) = 厶m d _ 1 m 扪，也= m a x t ，耐，h = m a z h ，t h = 0 ，对任意的q t h 及t ，u “使得 口一鸭。c d w v l l o 。m 又对口l 0 ，0 q 2 1 ，准确解( 盯，m ，u ，p ) 和有限元解( 靠，m i ，o i h ，风) 满足如 下误差估计： t l l , ，一a h l l o f l + i i m m , 1 l o 。o + 忪一驯t 。o + ( 愀u - w h ) 一一风) 。) i 蚓荔归枷时( 1 圳) 删i n 胙f 到v ( 一旷( 卢一叩) e 1 0 2 5 + 器( 忙一丁i i r + i i n = a - a i i 。n ) + 。i n z f 。i i m 一呲n + ( 1 “删i n f k s u r p ( 讹u t ，o ) h 7 _ i i r ) ) 一1 7 一 四川大学硕七学位论文 这里e 是与h ，t ，口无关的常数 证明首先假定( o p ，1 u ，2 盯，i 3 m ) 碑l h “xf “z “足，u ，叽m ) 的 任一逼近 取玎= 6 风：= o p 一风，u = 轧i ：= i i l u 一帆，f = 6 “：= 2 一o h ，m = 6 靠：= 3 m m h ，( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 减去( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ，并注意到( u 一【如) i 鼬。= 0 ， 易得： 这里 ，l ：= ，2 ：= 厶：= 1 4 ：= 矗：= ：= ( 1 一n z ) o ( 慨，6 风) + d t a i i v o u h ) 一慨惬n 。 t +( 1 一a