（理论物理专业论文）耦合哈密顿系统的同步研究.pdf

摘要 同步现象是物理学中的一个古老的问题，早在1 7 世纪惠更斯( c h u y g e n s ) 研究 耦合单摆的同步时就已发现。自从佩考拉( l mp e c o r a ) 和卡罗尔( t l c a r r o l l ) 于 9 9 0 年提出混沌同步的思想后，这方面的研究引起人们广泛的关注。随着对同步现象的 深入研究。人们发现其中蕴涵着丰富的内容和潜在的应用价值。 测度同步现象是耦合保守系统所具有的一种集体行为，从宽泛的意义上它类似耗散 系统的同步行为，它的物理图像简单、明了；物理意义丰富，为保守系统的研究提供了 一个新的角度和方法。因此，测度同步现象的发现对深入认识哈密顿系统的性质及量子 混沌的研究都将有十分重要的意义。本文以标准映象的全程耦合模型及两个标准映象耦 合的四维辛映象为研究对象，对耦合哈密顿系统的测度同步的性质作了深入的研究。 论文的第一章是绪论，简要地介绍了混沌理论及混沌控制和同步的发展历程，为后 续工作做了简单的理论和知识上的准备。 第二章集中介绍了当前混沌控制和同步理论的最新发展。因后续的工作主要集中在 测度同步的研究上，所以本章重点介绍了混沌同步方面工作。 在第三章中，我们首先用全程耦合模型引入了测度同步的概念，研究了规则区域准 周期轨道耦合的系统的铡度同步现象。给出了相同初始条件下，测度同步临界点与非线 性参数的关系。我们深入研究了混沌状态下系统的测度同步，发现系统在转变为测度同 步时存在着临界慢化现象。为了方便地判断系统的测度同步、特别是混沌状态下系统的 测度同步，我们根据测度同步的基本含义提出了一种判断系统是否测度同步的方法，该 方法简单、实用且不受模型形式的限制。通过高斯白噪声的引入，我们考察了测度同步 现象的抗噪声的能力，发现该现象有一定的抗噪声性，这对于利用测度同步现象控制保 守系统的混沌很有意义。由两个标准映象耦合形成的四维辛映象是耦合哈密顿系统中的 一个典型模型，我们也研究了辛映象测度同步的性质，重点讨论了两子系统非线性参数 不同时，系统的测度同步行为，发现当系统参数有小的失配时，测度同步现象仍然存在， 并给出了非线性系数的偏差和测度同步l 临界点偏离的关系，我们看到用该祺型来研究测 度同步现象更具有优越性。 在第四章，重点研究了耦含哈密顿系统的相位行为与测度同步的关系。对于准周期 变化的耦合系统，其测度同步总是伴随着系统的相同步，而且系统的相行为在临界点邻 域存有标度关系，我们在数值和解析上给出了标度关系。而对于混沌状态下系统的测度 同步，系统的相位移是一种随机行走的行为，并研究了其扩散现象，混沌系统的测度同 步和相同步没有必然的联系。我们发现在耦合系统中，系统的最大李雅普诺夫指数和系 统的相位行为有密切的关系，即系统做准周期运动，测度同步时系统的相位锁定，测度 同步点和相锁定点重合；系统做混沌运动，测度同步时系统的相位移是随机行走的，没 有测度同步点与相锁定点的重合。 在第五章，我们研究了系统中高周期轨道耦合的测度同步的性质，发现其存在和两 个准周期轨道耦合系统的一些不同性质。对于高周期轨道耦合的系统其测度同步往往伴 随着系统转变为混沌运动，测度同步临界点和系统出现混沌相联系，这反映出系统的李 雅普诺夫指数在高周期系统中和系统的测度同步有着一定的联系；这个现象在三个子系 统的耦合中也存在，由三个不同准周期轨道组成的系统，当系统达到测度同步时，系统 的运动电变为混沌。弄清这些现象与测度同步的本质关系还需要我们进一步的工作。对 于高周期耦合系统其相行为也表现出和低周期轨道耦合系统的不同，即在测度同步前、 后相位都是锁定的，这些现象说明测度同步现象含有丰富的内涵，需要我们进一步探索 才能揭示它们之恻本质上的关系。 关键词：全程耦合模型、辛映象、耦合保守系统、测度同步、相锁定或相同步、 李雅普诺夫指数、加性噪声。 a b s t r a c t t h es t u d yo fs y n c h r o n i z a t i o nh a sh a dal o n gh i s t o r ys i n c eh u y g e n so b s e r v e dt h e s y n c h r o n i z a t i o no fac o u p l e dp a i r o fc l o c k p e n d u l u mi n i7c e n t u r y t h ec h a o s s y n c h r o n i z a t i o nh a sb e e nat o p i co fg r e a ta t t e n t i o nb yt h ep i o n e e r i n gw o r ko fp e c o r a a n dc a r r o l li nl9 9 0a n di t sa p p l i c a t i o ni nv a r i o u sf i e l d s 。 t h ep h e n o m e n o no fm e a s u r es v n c h r o n i z a t i o ni sac o l l e c t i v eb e h a v i o rw h i c ht h e c o u p l e dc o n s e r v a t i v es y s t e m sd i s p l a y i ti san o v e lp r o p e r t yo fc o u p l e dc o n s e r v a t i v e s y s t e m s b es i m i l a ra s 也ec o n c e p t i o no fs y n c h r o n i z a t i o n i n d i s s i p a t i v es y s t e m m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o ns h o u l dp r o v i d ean e w w a y i ni n v e s t i g a t i n gt h eh a m i l t o n i a n s y s t e m sa sw e l l8 sq u a n t u m c h a o s t h ef i s t c h a p t e ri s ab r i e fr e v i e wa b o u tt h et h e o r yo f c h a o s ，i n c l u d i n gt h ec h a o s c o n t r o l l i n ga n ds y n c k r o n i z a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es u m m a r i z et h er e c e n tp r o g r e s so fc h a o sc o n t r o l l i n ga n d s y n c h r o n i z a t i o n ，e s p e c i a l l y ，t h ep r o g r e s s o fc h a o s s y n c h r o n 娩a t i o n a n d p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r , w ef i r s t l yr e s e a r c ht h ep r o p e r t yo fm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n u s i n gg l o b a lc o u p l i n gs t a n d a r dm a p a n ds h o wt h er e l a t i o no fm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n c r i t i c a l c o u p l i n gs t r e n g t h a n dn o n l i n e a rp a r a m e t e r w ef o u n dt h ec r i t i c a l s l o w i n g d o w n p h e n o m e n o n i nm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o nf o rc h a o t i cs y s t e m s s o ，an e wm o t h o d i s p r o p o s e d f o rj u d g i n gt h ec r i t i c a l p o i n to fm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n i ti sv e r y c o n v e n i e n c e 幻d e t e r m i n em e a s u r es y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m s w eo b s e r v e d t h ee f f e c ti n t r o d u c i n gt h eg a u s sw h i t en o i s ei nc o u p l e ds y s t e m sa n df o u n dm e a s u r e s v n c h r o n i z a t i o ni s s t e a d yf o rw e a kn o i s e i nt h i sc h a p t e r , w ea l s oi n v e s t i g a t e t h e m e a s u r es y n c t l r o n i z a t i o nb yaf o u r d i m e n s i o ns y m p l e c t i cm a pw h i c hi sac o u p l e d v e r s i o no ft w os t a n d a r dm a 口s ，a n df o u n dm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o ns t i l le x i s t s h e n t h en o n l i n e a rp a r a m e t e r so ft w os u b s y s t e m sh a v eas m a l lm i s m a t c h i ti sab e t t e r m o d e jf o rs t u d y i n gm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n i nt h ef o r t hc h a p t e r t l l eb e h a v i o ro fp h a s ed i f f e r e n c eb e t w e e nt w oc o u p l e d s t a n d a r dm a pw a sr e s e a r c h e d w eh a v ef o u n ds o m es i g n i f i c a n ts c a l i n gi nc r i t i c a lp o i n t n e i g h b o r h o o di nn u m e r i c a la n da n a l y t i c a lw a y f o rc o u p l e ds y s t e mi np e r i o d i co r q u a s i - p e r i o d i cm o t i o n ，t h em e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n i sa c c o m p a n i e dw i t ht h ep h a s e s y n c h r o n i z a t i o n w h e nt h ec o u p l e ds y s t e m s a r ec h a o t i c ，t h a ti s ，t h el a r g e s tl y a p u n o v e x p o n e n t i s p o s i t i v e ，t h e m e a s u r e s y n c h r o n i z a t i o n d o e sn o t g o w i t ht h e p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n ，t h ep h a s el o c k i n gc h a n g e sr a n d o mw a l k ，t h e r e f o r e ，t h e l a r g e s t l y a p u n o ve x p o n e n to fc o u p l e ds y s t e m sh a sr e l a t i o n sw i t lt h ep h a s es y n c h r o n i z a t i o n i nm e a s u r es y n c h r o r f i z a t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dac o u p l e dp a i ro fh i g hc y c l eo r b i ti nr e g u l a r r e g i o n ，an e wp h e n o m e n o ni s ，w h e nt h ec o u p l e ds y s t e m s w h i c ha r ec o m p o s e do fh i g h c y c l eo r b i tr e a c hm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n ，t h ec o u p l e ds y s t e m st u r ni n t oc h a o sf r o m r e g u l a ri e ，t h el a r g e s tl y a p n n o ve x p o n e n t b e c o m e p o s i t i v e , ：ni sa i r r e i n f r o ma b o v e r e s u l ti nt h r e ec h a p t e r f u r t h e r m o r e ，t h ep h a s eb e h a v i o ro f c o u p l e dh i g hc y c l eo r b i t s - i i i - a l s oi sd i f f e r e n tf r o mt h a to fa c o u p l e dp a i ro fq u a s i p e r i o d i co r b i t s w ea l s od i s c u s s e d t h e m a n yb o d yc o u p l i n gs y s t e m s f o r t h e c o u p l e ds y s t e m sc o m p o s e do ft h r e e d i f f e r e n tq u a s i p e r i o d i co r b i t s ，t h el a r g e s tl ) r a p u n o ve x p o n e n ta l s ob e c o m ep o s i t i v e w h e nt h ec o u p l e ds y s t e m sa c h i e v e dm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n t h e s ep h e n o m e n as h o w m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o nh a sac o m p l i c a t e dn a t u r ea n dm a n yc h a r a c t e r sn e e dt ob e e x p l o r e dy e t k e y w o r d s ：t h eg l o b a l l yc o u p l e dm o d e l ，s y m p l e c t i c m a p ，c o u p l e d c o n s e r v a t i v e s y s t e m s ，m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n ，p h a s el o c k i n g o rp h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o v e x p o n e n t ，a d d i t i v en o i s e i v 独创性声明 y ：6 6 2 9 3 9 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的晓明并表示谢意。 学位论文作者签名 f 录旗签字隰砌昨月7 日 | 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名 签字曰期：a 如4 年 莸锡荚 臼石 导师签名 晤莉 1 m t - h 期：协牛年月吝日 第一章绪论 1 1 确定论与非线性理论 第一章绪论 长久以来，人类一直在孜孜不倦在寻找着大自然的秩序。古老的柏拉图哲学认为统 治自然界法则是简单的，这种思想电影响了后来的人。人们电一直想用简洁的规律来描 述大自然的法则。爱园斯坦晚年也一直致力于统一场论的研究，以及后来的霍金等的不 断追求，都是要得到这样一个法则，即用简洁、优美、对称的法则来描述大自然。自 然界只有一个，自然的规律的也是不依赖人们的意志而转移的。然而，描述自然规律的 数理科学确有确定论描述和概率论描述 1 ，这两种描述在其所描述的领域都有其丰硕的 成果。虽然，两套描述的发展也有许多并行之处，但在认识论上基础上有深刻的对立。 人们习惯于以牛顿力学为代表的确定论，因为确定论的描述更接近人们生活的地球的时 空观念，也更符合人们要追求确定法则的观念。当然，这科，习惯也带来了以前人们刺存 在的众多的非线性现象的淡漠。 随着社会的发展和科学的进步，人们面埘着更加复杂的自然和社会现象。变化多端 的大气环流、野生动物种群的起伏变化、可怕的地震、巨大危害的海啸、心脏的跳动、 神秘的大脑波形、变化莫测的股票市场、日益堵塞的城市交通等等。对于这些复杂的现 象，简单的线性关系在其中失去了作用，而代之而起的是复杂的非线性关系起了主导作 用。这源于自然界绝大多数现象是非线性的，此时，非线性对于追求简单线性关系的人 们无疑于洪水猛兽。但能够严格求解的非线性模型却少的可怜。面对这些问题的复杂性、 随机性、不可预见性，起初人们感到彷徨、感到束手无策，人们急待想找到一把金钥匙 来打开复杂世界之门。1 9 6 3 年，美国气象学家落伦兹( e nl o r e n z ) 发表“决定论的非 周期流，的论文后，揭示了非线性系统的。些共同的本质，逐步地发现了非线性的许多 内在规律( 混沌概念最初源于p o i n e a r e ) 。这样，原来看似杂乱的、无章可循的行为变 得可认识和掌握了，j 泉来看似毫无规律的现象有了一定的规律来支配。非线性科学迅猛 的发展，推动了混沌动力学的发展，它缩小了两种对立描述之间的鸿沟，使人类真正有 了一把开肩复杂性的金钥匙。2 0 世纪中叶，非线性理论的迅速发展，使一个原来我们想 避之而义无法回避的复杂的现象推到科学工作者面前，这个现象就是非线性系统中普遍 梢爵哈搬顿系统的刷步 口f 究 存在的混沌现象。非线性现象广泛存在于现实世界中，在一定条件下，非线性将导致 混沌。混池现象表面上呈现无规律特性，但其背后却隐藏着有序的本质特点。 1 ，2 无处不在的混沌 自然界中最常见的运动形态，既不是完全确定的，电不是完全随机的，而是介于 二者之间的，混沌理论的出现为描述自然界这种最普遍的复杂现象提供了一个理论框 架，为人类更好的认识自然和改造自然提供了一个锐利武器。自2 0 世纪7 0 年代初，全 世界掀起了对混沌现象的理论探索的热潮，形成了混沌学这门新兴的学科。混沌学其研 究的领域之广，涉及的学科门类之多，在科学发展史上绝无仅有。近半个世纪以来，广 大科学丁作者对混沌现象作了大量的研究，揭示出混沌现象广泛的存在于物理学、化学、 生物学、天文学、地学、工程技术等自然科学的各个领域1 2 。j ，甚至在经济学、音乐、 美术和社会科学中的些现象中也存在着混沌运动。能够吸引如此众多的科技人员关注 该学科，说明混沌现象的重要性和其存在的普遍性。人类的需要是科学研究的重要动力。 人们需要了解混沌，弄清其本质，以便在实际的问题中消除或利用混沌的性质，同时， 在此过程中，电极大的推进了混沌科学的发展。计算机技术的突飞猛进的发展，大大提 高了人们数值计算的能力，为混沌科学的发展提供了强大的工具上的支持。从理论上说， 保守系统可以分为可积的与不可积的，不可积意味着混沌运动。如果以方程的结构与参 数为轴构造一个空问，那么这个空间中绝大部分方程都是不可积的，都具有混沌运动。 这从数学角度说明r 混沌的普遍性 7 j 。f 是不可积的普遍性，使所有宏观现象都是不可 逆的，所有宏观系统都属于耗散系统。对于耗散系统如果存在比较强的非线性，一般都 会出现混池。但需要注意的是，混沌并不等于混乱、完全的随机、杂乱无章。它是在完 全确定的方程中不需要附加任何随机项就可以出现的随机行为，是一种确定性的随机性 ( 内在随机性) ，它导致系统对初始条件的极其敏感及长期行为的不可预测性。 第一个有意义的混沌模型是三阶连续自治系统l o r e n z 系统。它也是耗散系统中 个十分有代表性的模型。是由美国著名气象学家落伦兹( en l o r e n z ) 1 9 6 3 年在研究热 对流不稳定性时提出的”。著名的“蝴蝶效应”就来源于此，反映了混沌运动一个非常 重要的特征，即对初值的敏感性。l o r e n z 模型是耗散系统一个非常有代表性的模型，由 此模型得出了混沌运动的一些最基本的规律，这体现在它的那篇著名的确定性的固期 流的论文中。混沌现象还在很多实际的系统中存在着。例如，古地磁场的极性多次的 第一章绪论 随机反向，近几年对人类生活影越来越大的厄尔尼诺( e ln i f l o ) 现象，有可能是其内部 混沌运动所致。在生命现象中，混沌现象更是比比皆是。各种生物节律，既非完全周期， 又不是纯粹随机，它们既有“锁频”到自然界周期( 季节、昼夜等) 的一面，又保持着 内在的“自洽”性质。许多生物节律都可用耦合的非线性振子模型来解释，而混沌运动 f 是耦合振子系统的典型行为。人类的大脑具有自然界最复杂的结构，脑电图能够反映 其内部活动的部分情况。人们研究已发现癫痫病患者在发病时的脑电波呈明显的周期 性，而让人感到不可思义的是正常人的脑电波确是混沌的。还有很多生理现象都跟混沌 现象有千丝万屡的联系，如健康人体的心跳和呼吸频率、各种心律不齐、房室传导阻滞 以及流行病的发病率等等。除在生命现象中的混沌外，在天文学中小行星带的k i r k o o o d 间隙与地球上流星的起源问题；受控热核反应实验装置中约束磁场的漏失；光学双稳器 件输出的不稳定性：些化学反应出现的周期分岔现象以及湍流的机制等等无不跟混沌 有着密切的联系。在社会科学中，人们也发现经济学、市场管理学、已有的股票资料分 析中也都存在着混沌现象。上述大量混沌现象有的表现为时间混沌，有的表现为更为复 杂的时空混沌，这些混沌现象广泛地存在自然界及社会生活的各个领域。混沌理论的产 生和形成必将为我们提供一个解决复杂自然现象及社会生活现象的锐利武器。 1 3 混沌特征的描述 要对混沌现象作。个准确描述，即给混沌一个确切的定义到目前为时尚早。但列混 沌所表现出的一些特征确是公认的。在经典力学中，混沌运动是指确定性系统中局限于 有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定，是指近邻的轨道随时间的发展 会指数地分离【1 】。确定性，一般指的是有确定的运动方程或确定的运动方式，这其中并 不含有随机因素，按人们以往的认识由此所决定的运动规律也是完全确定的。而混沌运 动正是在确定性系统内产生的，它对系统的初始值具有极端的敏感性，导致系统的短期 行为可预测而长期行为的不可预测。对于任何一种运动方式都要根据其特征给出刻画它 的物理量，当然，混沌运动也不例外。从本质上说混沌是一数学概念，其在数学上有严 格的内涵。数学的表现是高度抽象的，虽然现实世界中找不到其严格的对应物，但其却 可以描述自然界一大类类似的现象。混沌作为有严格数学定义进入现代科学是1 9 7 5 年， 是由数学家李天岩和约克( j a y o r k e ) 在他们名为周期3 意味着混沌的论文提出的。 1 9 7 2 年荷兰数学家茹厄勒( dr u e l l e ) * 口塔啃斯( ft a k e n s ) 在研究湍流机制时提出了“奇怪 一j 一 耥占哈鲁顿系统的蚓步 f 究 吸引子”的概念，而此时他们并不知道日本的二田皖亮( yu e d a ) 和美国的洛伦兹已经 在实验中观察到了奇怪吸引子。在传统的动力学中，它的几何实质是固定点、闭合曲线 和环面，而混沌的几何实质却是由其吸引子所决定的拉伸和折叠，拉伸和折叠是构成混 沌的两个基本因素。混沌的运动的本质特征是通过描述它的物理量反映出来的，其中比 较重要的有李雅谱诺夫指数( l y a p u n o ve x p o n e n t ) 、熵( e n t r o p y ) 、维数( d i m e n s i o n ) 、测度 ( m e a s u r e ) 、功率谱( p o w e rs p e c t r u m ) 等，其中李雅谱诺夫指数主要刻划系统长时间演化的 动力学行为，维数和测度主要刻画相空间流形的几何特征，而功率谱又是分析振动现象 的有效方法。这些量从不同的侧面反映出混沌运动的特征。 1 4 混沌的控制、同步及其应用 混沌运动的基本特征是对初值的极端的敏感性以及由此导致的对于系统长期运动 的不可预测性。它是自然和人类社会普遍存在的一种复杂的现象，是有序与无序的统一， 是确定性和随机性的统。一般来说，在实际问题中，出现混沌运动对系统是有害的。 例如，激光本是相干性很好的种光源，但在半导体激光阵列出现混沌时会导致输出光 的相干性减弱，输出强度大大减弱 。强流离子加速器中出现的束晕混沌，会使等离子 失去控制 1 0 】；电路系统中由于混沌的出现，导致类噪声出现，降低了电路的品质【l ”；化 学反应、流体运动中出现的混沌使一些有序的运动结构遭到破坏 9 1 ；通过混沌控制可以 将系统控制到期望的轨道上并在航天领域得到直接的应用。n a s a 的科学家只用了少量 剩余肼燃料，把完成主要任务的太空飞船i s e e 3 i c 送到离太阳8 千万英里的地方，实 现了对彗星的近距离的观察辨。还有人体心脏中由于螺旋波的出现导致的纤颤等诸如此 类的现象在我们的实际生活中还有很多。因此，对混沌现象的控制就成为混沌理论研究 中的一个极其重要的方面。1 9 8 9 年，h u b l e r 发表了控制混沌的第一篇文章l ”1 。在此之 后，1 9 9 0 年奥特( e o t t ) 、格锐柏基( c g r e b o g i ) 乖1 约克( j a y o r k e ) 提出著名的o g y 混沌 控制方法 1 3 。该控制方法建立在任何混沌吸引子中都嵌有无穷多不稳定周期轨道，通过 对系统参数作小的扰动并反馈给系统，使系统的运动轨道最后稳定在这些不稳定轨道中 的一条确定的轨道上这样一个巧妙思想上。在此方法提出之后，混沌的控制理论与应用 得到了前所未有的发展，人们又提出了许许多多的控制方法h 粕 。这些方法有些已经在 光学、等离子体i 生物系统、人工神经网络、各种工程上等方面耨到应用和验证。当前， 非线性科学的研究领域中几个前沿课题为：孤立子与孤波，时空混沌，班图动力学利分 第一章绪论 形结构。时空混沌在混沌控制中占有特殊重要的地位。一方面，多数的实际系统都是b , i 空系统；另一方面，时空系统在大尺度一端联系着湍流，在小尺寸一端联系着低维系统 的混沌。因此，对时空混沌的研究及控制是至关重要的。当然，由于时空混沌的复杂性， 对时空混沌的控制是比较困难的。一般的控制方法基本是把低维混沌的控制方法移植到 时空系统上，通过列部分空间点( 或少量模式) 的控制，将这些点( 或被控摸) 驱动到 目标态附近，通过耦合把其他非控制点也带到目标态，从而达到控制的e l 的 9 】。这种局 域的控制方法在很多的实际情况证明是有效的。因此，时空混沌的控制一直是人们研究 的个热点，人们期待着通过对时空混沌的进一步了解，能够揭开湍流这一百年之迷， 并实现对它的控制。 由于混沌系统刺初始条件极其敏感，两个或多个混沌系统的同步曾一度被认为是不 可能的，自从1 9 9 0 年佩考拉( l m p e c o r a ) 矛h 卡罗尔f t l c a r r o l l ) 首先提出并实现混沌的驱 动h 刚应同步2 ，混沌同步的研究迅速发展，在理论上提出了多种同步方案 2 7 - 3 2 1 ，并在 实际中应用于保密通讯和激光系统的同步的研究。由于它在秘密通讯、信号处理和生命 科学等方面有着十分广泛的应用前景和巨大的市场潜在价值，引起人们极大的关注。混 沌控制和混沌同步是由奥特和佩考拉等人在1 9 9 0 年分别独立提出的，各自独立地发展 了一段时间。但随着这两方面研究的深入，人们发现两者有十分密切的联系，从广义说， 混沌同步问题也是混沌控制问题，两者之间的很多处理方法都是通用的。但混沌同步的 概念还有其特有的含义，它是已经建立起近二百年的周期同步概念的发展，这不仅加深 了我们对同步概念的理解，而且对混沌控制理论也起到了促进作用。因此，深入混沌同 步的研究是具有卜分重要的理论和实际意义。在驱动。响应同步提出后，人们又提出了 多科形式的其它同步，这包括广义同步0 3 3 j ( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 、相同步 3 4 1 ( p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n ) 、滞后同步 3 5 - 3 6 ( 1 0 9s y n c h r o n i z a t i o n ) 、部分同步3 7 。8 1 ( p a r t i a l s y n c h r o n i z a i o n ) 、投影同步”9 1 ( p r o j e c t i o ns y n c h r o n i z a t i o n ) 、耦合哈密顿系统的测度同步 4 0 ( 1 n e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n ) 等，极大的丰富了我们对混沌系统的研究内容，使我们能从 更多的角度来认识混沌系统的眭质。特别是最近提出的耦合哈密顿系统的测度同步，给 我们提供了一个认识祸合哈密顿系统性质新的角度，为研究多体问题提供了新的思路。 因此，对测度同步的深入研究也是本论文的重点。 当然，混沌控制不仅仅只是对混沌运动的抑制，通过控制而在有些时候我们往往要 利用混沌运动的性质。利用混沌运动还可加快不同液体的混合、固体表面杂质的掺杂、 梢台哈街顿系统的喇步埘f 究 通信的安全性的加强、图象数据的压缩等9 1 。因此，混沌控制也包括如何利用的性质来 达到我们的目的。 1 5 本论文的主要工作 本文的第一章概述了混沌的基本性质，其存在的普遍性及混沌研究发展历程。对于 混沌，人们既要消除它，有时又要利用它。混沌的控制及利用伴随着人们对混沌现象的 研究应运而生。因此，混沌的控制和同步也是混沌研究中及其重要的方面。 第二章，集中阐述了当前混沌控制与同步的方法。由于保守系统的保测度性的限制， 用以控制保守系统的混沌的方法要比控制耗散系统的方法少的多。因此，探索和发展保 守系统的混沌控制方法将是一项重要的工作。因为我们的工作主要集中在同步方面，因 此，本章重点介绍了同步研究的进展。 第三章，重点研究了耦合哈密顿系统测度同步的性质。对标准映象的全程耦合模型 及辛映象模型的测度同步的性质作了详细的讨论。我们给出了两种模型的测度同步和系 统非线性参数的关系，发现了混沌系统在达到测度同步时存着在临界慢化现象，提出了 个判断系统测度同步的简单方法，并对离散系统测度同步其他方面的性质也进行了较 为详细的研究。 规则系统的测度同步对耦合哈密顿系统的相位关系也产生一定的影响。在第四章， 我们重点研究了耦合系统的相位与测度同步的关系，给出了测度同步临界点前后相位的 标度关系。我们发现对系统的规则运动，测度同步和相同步是关联的，系统的测度同步 点和相锁定点是重合的；而对系统的混沌运动，测度同步和相同步没有必然的联系，系 统的相位移变成随机行走行为。 在第五章，我们对两个高周期轨道之削的糯合以及多个子系统之帕j 的耦合的测度同 步行为进行了研究，发现在这两种耦台的情况下，系统的测度同步行为和系统的最大李 雅普诺夫指数的变化有关，也就是说，当系统取得测度同步时，系统由原来的规则运动 变为混沌运动，显示出与两个准周期轨道耦合系统的不同性质。高周期轨道的相位关系 也表现出与前丽两个准周期轨道耦合系统的不同性质，弄清它们之间的区别与联系还需 要我, fr 进一步的工作。 第一章混沌的控制与刊步 2 1 引言 第二章混沌的控制和同步 我们已经知道混沌的基本的特征是对初值的极端敏感性以及由此导致的对系统长 期运动的不可预测性。一般的来说，混沌运动对系统是有害，是应该加以抑制和控制的。 因此，导致了混沌控制理论的建立和发展。控制混沌己成为混沌研究中极其重要的一部 分。当然，混沌办不是总有害的，在有些方面我们还要利用混沌的性质，因此，混沌的 控制也包括如何控制和利用混沌的性质为我所用。1 9 8 9 年，胡伯勒( a h u b l e r ) 发表了 混沌控制的第一篇文章“，首次提出了混沌是可以控制的思想。第二年，奥特( e o t t ) 、 格里波基( g g r e b o g i ) 和约克( j y o r k e ) 提出了著名o g y 控制方法“。1 ，它是基于混沌 吸引子中嵌有无穷多不稳定周期轨道这样一个事实，通过列系统的参数作微小的扰动来 实现的。o g y 控制方法提出后很快由迪托( w l d f t t o ) 等人在磁致弹条物理实验上得到 验证”1 ，随后又被罗意( r r o y ) 等人应用的激光系统中。“。由此可见，混沌的应用可见 端倪。混沌控制思想提出的几乎同时，佩考拉( lm p e c o r a ) 和卡罗尔( t mc a r r o l l ) 提出了在混沌信号驱动下，两条初值不同的混沌轨道可以同步化的现象“。混沌控制和 混沌同步的思想分别独立提出后，两方面的理论各自独立发展一段时间、后又殊途同归、 融合，相互促进。混沌的同步从广义上说也是混沌控制问题。同步问题广泛涉及到物理 学、生物学、工程科学等许多方面，而且发展年代久远。混沌同步的研究，特别是大量 混沌系统的耦合后同步性质的研究更具有理论和实际意义。因此，混沌同步的研究不仅 是对历史上同步概念的发展，也为同步现象更广泛的在实际当中的应用打下了坚实的理 论基础。 2 2 混沌控制的目标和对象 控制混沌当然是为了更好的应用混沌为人类所利用。根据人们的需要混沌的控制目 标有两个。一是根据混沌吸引子中嵌有无穷多不稳定周期轨道的事实，把混沌轨道控制 到人们所需要的周期轨道上。这种控制不改变系统原有的周期轨道，保持系统的原有的 动力学性质。二是只要抑制住系统的混沌就可，目标态可以不是原系统的周期态。从混 耥台喻密顿系统的同步, l i j l ：究 沌的控制目标看d , k a 不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道的稳定： 控制对象也由低维混沌系统发展到高维混沌系统以至到无穷维混沌系统一即时空混沌系 统“。而时空混沌在小尺寸系统联系着低维混沌，在大尺寸一端过度到湍流，它是建 立混沌和湍流之间联系的理想桥梁，同时，时空混沌也是一个极为丰富的态库，其丰富 程度远胜于低维混沌，它所包含的无穷多的运动模式有着形形色色的时间和空间的有序 结构，为实际应用提供了极为巨大的潜力一，。 2 3 混沌控制的方法 混沌的控制方法从根本j 二可分为反馈控制和非反馈控制。反馈控制通常以混沌态中 嵌入的不稳定轨道为目标态，反馈的对象可以是系统的参数、变量、外部参数等，所选 择的控制信号都与系统的状态有关。所以反馈控制可以保留系统的原有的动力学性质， 当控制信号趋于零或很小时，则可实现混沌控制的第一个目标。反馈控制的核心问题是 目标轨道的局域稳定性问题“。非反馈控制在要求上比反馈要容易些，因为，它不需要 事先掌握系统动力学性质。因此，对于非反馈控制，控制以后目标态一般不是非反馈系 统的原有轨道，实现控制后的控制信号并不趋于零。o g y 方法“”“1 是人们最早提出的混 沌控制方法，其巧妙的利用了混沌吸引子的性质，把原认为不可能的事情变为事实。o g y 方法提出后，控制方法如雨后春笋般的产生，人们又提出了一系列的控制混沌的方法。 这其中有条件比例反馈法”“”1 ，周期脉冲反馈法“。2 “”洲，时间延迟反馈法“，连续 变量反馈法5 “”1 等反馈控制方法以及周期信号驱动法。“”，输运和迁移控制法”1 “j ， 常数周期脉冲法“”。等非反馈控制法。这些方法主要都是针对耗散系统的控制方法。 保守系统由于刘维定理的限制，其在相空间上不存在吸引子。又由于在保守系统中 初始条件作为一个特殊的控制参数对系统的运动状态有很大的影响，因而导致适用耗散 系统的控制方法并不一定对保守系统适用，这使得保守系统的混沌控制比耗散系统更有 难度，r l l 控的方法也比耗散系统少的多。 保守系统控制项的选择非常重要。控制项的加入，增加了原系统的复杂性，如何使 控制项简单而又能保持系统的保守性是需要我们认真加以研究的。根据控制项对保守系 统的影响，可将保守系统的混沌控制分为两大类。 ( 1 ) 控制后不改变系统的保守性质，例如采用与时间有关的控制。控制的结果使 相空间部分k a i i 环得到重构，改变了规则区的面积，限制了混沌轨道的扩散。 一r 一 第二章混沌的控制与l 刘步 ( 2 ) 控制后的系统变为耗散系统，相空削这时发生收缩，从而将系统控制在周期 或准周期轨道上。 i 习此，既要保证控制项对系统没有影响或影响比较小，又要控制系统的混沌般是 很困难的。这就导致了保守系统混沌控制方法大大少于耗散系统的原因。保守系统的控 制方法比较有代表性的有l d g 方法”、测度同步的控制方法“、高斯曲率控制法“5 、常 数周期脉冲法“。2 “、周期驱动控制法、类钉扎控制法。“、直线控制法。”1 、非周期 信号扰动法”、混沌哈密顿系统的优化控制法1 等。由于本文的工作主要在保守系统同 步的研究，因此，控制方法的具体内容就不多介绍了。 2 4 混沌的同步 自从1 9 9 0 年佩考拉( l m p e c o r a ) 哥d 卡罗尔( t l c a r r o l l ) - 苗先提出并实现混沌的驱动一 响应同步p7 j 方法，混沌同步的研究迅速发展，人们又提出了许多其它同步方案。这其中 有连续变量反馈同步法【7 2 , 7 3 ，外噪声实现混沌同步 ”1 ，主动一被动同步方法1 7 5 】等，并在 实际中应用于保密通讯和激光系统的同步研究。由于它在秘密通讯、信号处理和生命科 学等方面有着十分广泛的应用前景和巨大的市场潜在价值，引起人们极大的关注。我们 r 面简单介绍几中同步方式。 1 替代信号的驱动一响应混沌同步方法 为 佩考拉等研究两个混沌系统之间的同步，但两个系统不是完全独立的，而是用其中 个系统的输出作为信号去驱动另一个系统。实际上两个系统组成复合动力系统。其中 个是驱动系统，一个是响应系统。响应子系统取决于驱动子系统的变量。设驱动系统 其中x 0 ) = ( x 、，x ， i = f ( x ，) 歹，= 妒( t j 一) ，x 。) ，y 0 ) ( 2 1 ) 中输出作为驱动信号， i ：，y ) 。 、。 、j 一一， ( 2 1 ) 】，y ：，：y 。) ，系统的运动是混沌的。把混沌信号y o ) 从 用它驱动响应系统 ( 2 2 ) 耥台哈密顿系统的矧步研究 响应系统与驱动系统有完全相同运动形式( 同类驱动) ，只是第一式中v 变量被驱动变量 y ( ) 代替。因此( 2 1 ) 、( 2 2 ) 应有相同的混沌解 “盱x 蚴 ( 2 3 ) v ( f ) = y 0 ) 一 这个称为与( 2 1 ) 式同步的混沌解。该解的稳定性由响应系统的线性化方程 a f t ：d 。厂( x ( 也y 0 ) ) 幽 驴掣山，址“( 0 - 4 0 2 4 i = d 。妒b y o ) ) ” 聊：塑驴h m ”巾) ) ( 洲。坦即 的全部李雅谱诺夫指数全部为负，也就是响应系统在驱动信号的作用下全部条件李雅谱 诺夫指数为负则两系统达到同步。如果( 2 3 ) 解