（应用数学专业论文）强激光场中二维原子的辛算法.pdf

摘要 本文致力于研究强激光场中二维原子含时薛定谔方程的辛算法，主要工作包括： 1 采用f o u r i e r 变换推导了强激光场中二维原予模型的渐近边界条件，利用渐近边 界条件将含时薛定谔方程无穷空间初值问题转化成有界空间初边僮问题，用对称差商 代替空间变量的偏导数将这个问题离散成非齐线性正则方程，对所得的非齐线性正则 方程证明了它的适定性并构造了辛算法 2 由于二维时初始时刻的基态波函数无精确解，本文利用变分原理求得初始时刻 近似基态波函数作为数值计算的初值。 3 通过建立的辛算法数值计算求出几率密度与平均能量并将结果与理论分析进行 了比较，说明所采用的辛算法是有效的算法 关键词：渐进边界条件s d l r 6 d i n g e r 方程辛算法二维原子强场 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：垄拦拯日期：兰丝! ! 互星窆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：囊撞拯 日 期：z 鲤篮g 箩 学位论文作者毕业后去向 指导教师签名：蟊l 睦望乙 日 期：罢杰笸：正呈 工作单位：j 至蕴投煮：妊托莞盛 通讯地址： 电话： 邮编： 引言 薛定谔方程是量子力学最基本的方程在经典形式下可将时闻相关拜定谔方程表 示成哈密顿系统形式，所以可以采用哈密顿系统的数值方法来计算时间相关薛定谔方 程哈密顿系统是动力系统中一种重要的类型，它具有能将不同物理规律纳入统一数学 形式的优点由于哈密顿系统是一个连续的动力系统，一个数值格式对这个动力系统的 近似可以看作是一个具有固定时间步长的离散动力系统去模拟连续动力系统，在这个 意义上，我们很自然的要求数值模拟应该在同一几何框架中进行，尽可能多的保持原 来连续系统的性质哈密顿系统反映了一切无耗散的真实物理过程，因而要求计算哈密 顿系统的数值方法也是无耗散的传统的数值方法，如r u n g e - k u t t a 方法，一般都不适 合于这类问题的计算，这主要是由于它们偏离系统几何原形含有人为耗散性，随着计算 时间的增加，数值解与哈密顿系统的差异会越来越大，从而导致对系统长掰演化性态研 究的失败由哈密顿力学的基本定理告诉我们z 哈密顿系统的正则方程在辛变换下形式 不变，系统的时间演化是辛变化的演化基于此，著名计算数学家冯康与他的合作者提 出并系统地研究了经典哈密顿系统的辛算法辛算法即是基于哈密顿力学的基本原理 而提出的保哈密顿系统辛结构的整分法，它使离散后的差分方程保持原有系统的辛结 构所以，运用辛算法求解哈密顿系统，尤其在长时闻、步数多的计算中和保持系统整 体结构上较其它非辛算法显示出明显的优越性自从玛康等人提出求解哈密顿系统的 辛算法以后，人们对辛算法和多辛算法及其应用进行丁系统的研究9 0 年代初人们开 始将辛算法应用于计算量子系统的时间演化随着强激光技术的飞速发展，理论研究强 场与原子相互作用，解释新的实验现象，预言实验尚无法达到的更高强度激光场中原子 的行为与规律，成为当前国际上极为活跃的前沿研究课题因为是强场，惯用的徽扰法 不适用，含时薛定碍方程包容强场与原子及其相互作用的全部物理内容，数值求解含时 薛定谔方程以研究强场与原子相互作用日益受到人们的关注和采用 数值研究强场与原子相互作用需在无穷空间上求解含时薛定滓方程的初值问题， 通常在空间充分远处作截断，转化成有界空问上的初边值问题本文就二维强场模赠。 用n u d c r 变换推导了含时薛定谔方程的渐近边界条件，并采用对称差商代替空闯变量 的= 阶偏导数，将含时薛定谔方程的初边值问题离散成非线性正则方程，它的齐方程的 通解和非齐方程的特解都由辛变换生成，所以采用辛格式可以很好的保持系统的辛结 构，所进行的计算比采用一般的格式要合理 整篇论文由四章构成z 整篇论文由四章构成z 】 第一章辛代数与哈密顿系统 1 1 辛代数的几个重要结论 设r 2 “是2 n 维实线性空间 定义1 1 令f ，e 是r 2 “中的元素 = ( f l ，锄) 7 ，e = ( 1 ，( 2 ， 2 。) 7 则辛积定义为： n ( f ，( ) = f 7 以= ( f f 白州一靠+ 。o ) t = 1 - ，_ 蚓 j 和。分别是n 阶单位矩阵和零矩阵，j 具有性质j 一1 = ，= 一，具有辛积的舻 称为辛空间 定义1 2 如果舻“上的线性变换s 保辛积守恒即 ( s 已) = ( f ，( )v f ，( r “ 则称s 是辛变换 定理1 1 辛空间上的线性变换s 是辛变换的充分必要条件是铲j s ：l ， 定义1 3 如果2 n 阶矩阵s 满足s 7 l ，s = j 则称s 为辛矩阵 定义1 4 如果2 n 阶矩阵b 满足，b + b j = o 则称b 为无穷小辛矩阵 定理1 2 如果2 n 阶矩阵b 是无穷小辛矩阵，则它的指数变换e x p ( 口) 是辛矩阵 定理1 3 如果2 n 阶矩阵b 是无穷小辛矩阵，且i ，+ 口i o ，则f = ( + b ) 一1 ( ，一曰) 是辛矩阵，称f 为b 的c a y l e y 变换 1 2 哈密顿系统简介 经典力学有牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学三种形式表示，这些不同数学形 式陈述同一物理规律牛顿力学研究质点组在三维欧氏空间中的运动，它满足牛顿运动 方程；拉格朗日力学用广义坐标和广义速度描述运动，它满足拉格朗日方程；哈密顿力 学用广义坐标口( t ) = ( q l ( ) ，啦( t ) ，( t ) ) 和广义动量p ( t ) = ( p 1 ( t ) ，p 2 ( t ) ，p 。( ) ) 描述 3 运动，系统的能量是它们的可微函数日( ng ) ，称为哈密顿函数，系统的运动满足哈密顿 正则方程 象一筹，磐= 筹，。， ， 疵 鲰 以 魄 。”： p “ 或者 d p 8 h d q 8 h 面2 一酉磊2 面 其中 掣：磐，竺r塑：f 塑塑r 舶【a 口1 1 1 a j 却一【却l 鼢。j 如果记z = o - j ，p h 础，一，) 7 ， 嚣= 籍，器，籍，一，榘r ，则正则方程 ( 1 1 ) 又可写成 警= 厂1 筹 ( 1 1 ) ， 面2 。百虿 ( 1 1 ) 定理1 4 正则方程在辛变换下形式不变，即如果s 是辛变换， 。= s ( ) ，日0 ) = 蟊( s ( 2 ) ) = 鸯( 三) ， 君5 么正则方程变为 ；：，一1 筹：j 一1 也 ( 1 2 ) d z 、7 定理1 5 ( 哈密顿力学基本定理) 正则方程的解由一个单参数辛群9 备| _ 6 o ，充分大正整数空间z 方向步长h = 斋，方向步长 2 = 斋 记 “= 女r k = 0 ，1 ，2 ， 吼= 1 ，t = 一，一+ 1 ，一1 ，0 ，1 ，一1 ， 蜥= j h 2 ， j = 一，一+ 1 ，一1 ，o ：1 ，一l ， 二维s c h 啪d i n g e r 方程( 2 1 ) 可简记为 掣= 驯训) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 日= 一；( 嘉+ 品卜而去霄七1 ( t ) z 倒咖) 代入( 3 1 ) 式得 i 掣一掣：日n ( 剐，t ) + ( 删，t ) 。 矾矾 。7 。 因此有无穷维正则方程 害= m ，裳= 一n ( 3 s ) 将矩形区域d = ( 。，) i x z x ，一y y ) 用一组间距为 1 平行于g 轴和间距 为 2 平行于。轴的直线分割成一些网格，交点标上号码，这样霍( 粕，协，t ) 为一个只含 t 的函数霍甜= 8 甜( t ) + 啦，( t ) ，用对z 和的二阶中心差商 竺f 兰! 丝! ! 型二! 里f 苎! 塑! 1 2 里! 苎! 殓= ! ! 12 醒 1 3 代替偏导数 记( 2 一1 ) 2 维向量 昙椭器吣t a ( ) = 一+ 1 一+ 1 ( t ) ，o 一_ v + 1 。一+ 2 0 ) o 一l ，一+ l ( t ) ，口一1 ，一+ 2 ( t ) b o ) = ( b 一+ 1 + 1 0 ) ，b 一+ 1 ，一+ 2 ( ) 一1 ，一+ l ( t ) 加_ 一1 ，一+ 2 0 ) n 一_ v + l ，一l ( ) ，n 一_ v + 2 ，一+ 1 ( t ) ，。1 ，一l ( ) ) t b 一_ + 1 ，一1 0 ) ，6 + 2 一+ 1 0 ) ， 6 一l ，一1 ( t ) ) t g ( t ) =( c 一一+ 1 ，c 一，一_ + 2 ，c 一，一1 ，o ，o ，c ，一+ l d ( ) = ( d 一_ v ，一+ l ，d 一，一+ 2 ，d 一，一1 ，o ，0 ，d + 1 c 一1 ) t ，d ，一1 ) t 一+ 2 一1 ( t ) 6 一+ 2 ，一l ( t ) e ( t ) 篡 ( c 一_ + l ，一，o ，o ，c 一+ 1 ，c 一_ + 2 ，o ，o ，c 一+ 2 ，c 一1 ，一_ ，0 ，o ，c 一1 ) 7 f ( t ) = ( d 一_ v + l ，一，o ，o ，d 一v + l ，d 一+ 2 ，一，0 ， ，o ，d 一+ 2 ，d _ v l ，一_ v ，o ，o ，d 一1 ，) t 令 z ( t ) = ( a ( t ) t ，_ 8 ( t ) t ) ?m ( ) = ( g ( ) t ，d ( t ) t ) t 蚝( t ) = ( e ( ) r ，f ( t ) t ) r 这样( 3 3 ) 可离散成有限维非齐正则方程 警一一去，h 一去啦 z ( o ) = 曷 ( 3 4 ) ( 3 _ 5 ) 其中 g = _ ! ： = j 日，j = 三： ，h = ； ，和。分别是( 2 一1 ) 2 阶单位矩阵和零矩阵，( 2 一1 ) 2 阶矩阵s = 仉+ + y + 矿。 巩一击 2o 0l0 o00 0 0 0 0o o - 。 0 01o - o一2o 01 0o1o o一20 0 o 00 00lo 0 02 o 0 1 1 0 0 o o o 0 0 o 1 0 羔誉i 一_ ji i i j j ：。一- 。! ：；o jj ：? ? 二。i i ：j 季垂誊萼：j j ： ? i ? 言鼍- _ ：? _ ：i j 蓬r 一。- 。j ： ? 。：扁i 蘩上。震；一羹l l 獭勰l 嬖里川坫器葺捧也蓁 童；t = 妻；三i ；妻l ；? t ；晕j 善i 一兰- = ；- j 蠡； 零；i = 曩霪二| 錾 笺i 著辫! i ：季：。妻i 霉ji i ；! ，i i j ：；i ；簪j j 燮 嚣i 攀；一l | ；i 蔑囊：著型j 窭ii 妻笺i 交薹i 1 s 雾i ；i ! ；妻| 耋砉l 冀簋! 廷! l 薹一乎i ! ! m 商m 一；圣鐾，l i ；薹。亏墓l 睡；藩禚譬；霎瞻渺褰囊攀倒薹喜要鬟翼矗。霎r ，“跫秘鞠帅孵豇醐淫球罐怠； 睾菹黼壕嘈 x 证明：( 34 ) 的右端函数为 坤，z ) = ) 弘南，m 一去以j l i ，( t ，z 1 ) 一，( t ，z 2 ) i i = | l g ( ) z l g ( 亡) 忍| | = i i g ( ) ( z l 一忍) 0 令z = 乱一z 2 f | g ( t 如铲= ( g ( 净，g ( f 净) = ( g ( 虹) ( g ( t ) z ) = z g ( ) 7 g ( 净 ( 2 一1 ) 2( 2 一1 ) 2 = a o ( ) 乩叶s i o 甜( t ) 怕怯l t ，j = li ，j = 1 其中0 4 ( t ) 是矩阵g ( ) g ( t ) 的元素，o 墨t s t 令a = m 8 x f 电，( ) f 贝日f f g ( t 净f f 2 口罂i 1 ) 2f 吼f i q f 又z + 碍2 吲b i ，于是o g ( t ) z 1 | 2 。5 凳i 1 2 ；( z + 弓) = ；a ( ( 2 一1 ) 2 + 1 ) 5 凳i 1 2z 令三2 = 。( ( 2 一1 ) 2 + 1 ) 贝日 因而有不等式 成立，命题得证 0 g ( t ) z i l 2 茎工2 1 1 z l l 2 ，0 g ( ) z i i l i i 。| | j | ，( t ，z 1 ) 一，( t ，面) | js 驯蜀一玩j | 3 3 非齐正则方程的数值方法 微分方程( 3 ，4 ) 是个非齐线性正则方程，它的解为 即) 一e x p ( 和蝴防新唧( 肛啦) ( 击删卅去删s 眦 设 g 孑= “p ( g ( t ) d ) 它是一个辛变换，因而( 3 4 ) 的解可写成 z ( t ) = 站z 0 一去z 彬j h ( r ) d r 一去上掰| ，b ( r ) d r 特别的，从一个时刻到下一个时刻 z l = 硌“+ 1 驴南z “1 “1 ，m ( r ) d r 一去z ”1 毋“1 j 耽( 咖r ( 。8 ) 在( 3 ，8 ) 中岔+ 1 = ( ( a 。+ 1 ) 7 ，( 宜蚪1 ) 7 ) 7 = 9 矿驴是正则方程初值问题警= g zz ( “) = 的解在时刻t k + 1 的值同样 i 等1 = ( ( o ( nt k + 1 ) 7 ( 西( nt k + 1 ) 7 ) 7 = 毋+ 1j h ( r ) ，j h ( r ) = ( d ( ，) 7 ，一c ( r ) 7 ) 7 一麦即) + = 驴砖( 鼬) 坷( r ) 陟 胪“翎川+ 南g + 竿妒淞) 圳r 西 + 去即) 十垫孚妒淞n 一驯d r 以上两式中的积分作数值积分或解析求出，下采用梯形求积公式， r 1d ( r ) + ! 生f s ( 砸a + 1 ) 卅r ) ) 出= 弘+ l + 附秒+ ( 却“州) 一刚 x 第四章数值结果分析以及图例 由于欧拉中点格式( 3 9 ) 是隐格式，数值计算中我们采用循环迭代的方法来求解 这样就可算出波函数皿( z ，9 ，) 在各个节点( 巍，驺，k ) 的值，即a 日( “) + 曲u ( t k ) 根据算 出的波函数即可算出时刻如的几率密度分布p ( z ，“) = i 雪( z ，“) 1 2 和平均能量 r x ，y 饵( ) ) = 皿+ ( z ，t ) h 皿( z ，口，) 如却 其中算符 日一；( 嘉+ 暴卜万击霄七m 嘣咖) 图1 、图2 、图3 分别是在不同场强下在时刻；而，如， 如，的几率密度( 码= 1 1 42 4 。一是激光的光学周期) 取脉冲形状函数，( ) = s i n 2 ( 咖0 ，脉宽为2 f s ，激光频率 u = o 0 5 5 时，时间步长r = o j d l 空间步长 = o 9 ，边界x = l ，= 1 3 5 ，场强峰值e 分别 取为o 0 5 ，o 0 8 ，o 1 ，从这些图中可以看出随着场强的增大，在求解区域内的几率减少，在 边界处的几率增大，电子向着远离原子核的方向移动在图3 中当场强为o 1 时电予几 乎完全离开求解区域通过观察图3 中几率分布的时间演化可以发现电子按逆时针方 向旋出求解区域 图4 是不同场强下平均髓量的时间演化，取脉冲形状犀数，( t ) = s i n 2 ( 岫t ) ，脉宽为 2 f s ，激光频率u = o0 5 5 时，时间步长f = o - 0 l 空间步长 = o 9 ，边界x = y = 1 3 5 ，场 强峰值曰分别取为o 0 6 ，o 0 8 ，o 1 ，从图4 可以看出，随着场强的增大，电子平均能量的 最大值增大这与电子受电场加速后场强越大电子所获动能越大的物理规律相一致 图5 是场强峰值e = o 0 8 下不同时刻几率密度分布的等高线图取脉冲形状函数 ，( ) 一s i n 2 ( u o t ) ，脉宽为2 f b ，激光频率u = o 0 5 5 时，时间步长r = o 0 1 空间步长 = o 9 ， 边界x = y = 1 35 ，从图5 看出，在。轴方向上当；如t 时，电子在负轴方向上 出现的几率较大，当兰t g 码时( 电场的方向改变) ，电子在正轴方向上出现的几 率较大。 图6 是参考文献 1 中在3 5 个周期时电子几率密度的快照( f = o0 1 口，“，u = o0 8 6 7 nn ) 其中的原子模型与本文相同，脉冲形状函数为梯形脉冲很容易看出图1 3 ， 图5 中在。平面上电子的几率密度变化与图6 中所得结果一致。 以上用辛算法计算所得到的结果与理论分析的结果相符合说明所采用的辛算法是 合理的算法 1 9 翻3 在垢强峰值e = 0 1 b u 时不同时封的几率分布 图4 不同场强下平均能量的时问演化( 脉宽为2 而，= 0 0 5 5 n u ) 原蚤 造 j 尹飘 蜓岁 露丽 飞乡 圈5 不曰时捌几率密崖分布的等高线圈( 脉宠为卵b ，e = 0 0 8 0 ，u = 0 0 5 5 n u ) 展望 本文在前入的基础上讨论了强激光场中二维原子含时薛定谔方程的辛算法，通过 数值实践得到了二维原子在强激光场下的行为与规律，进一步拓宽了辛算法的应用范 围但所得的结果还是初步的，有许多工作需要继续深入研究 1 由于研究的是二维问题，当数值求解区域增大时，作网格剖分后求解节点迅速 增加，计算时需要很大的计算机内存和很多的计算机时本文是在降 【1 6 1 周世勋量子力学教程高等教育出版社1 9 7 9 【17 1 李荣华冯果忱微分方程数值解法高等教育出版社1 9 9 6 f 1 8 s h o i c h i r on a k a i i l u f a 科学计算引沦- 基于m a t l a b 的数值分析2 0 0 2 i l9 1 欧维义数学物理方程1 9 9 7 【2 0 】