（计算数学专业论文）汽车碰撞中的hermite插值计算与应用.pdf

原创性声明 l i i i iiii l l l li i i1 1iit i iiii y 17 4 114 6 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或 撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名j ( 釜筮日期：劢1 啤舌研旱胁 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校 有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名忑随趁导师签名：竹日期：纠，p 1 ，厅 上海大学理学硕士学位论文 汽车碰撞中的h e r m i t e 插值计算与应用 作者：丁海燕 导师：侯磊 专业：计算数学 上海大学理学院 二零一零年四月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e c o m p u t a t i o n a ls t u d yo fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n o nc r a s h - s a f e t yb o u n d a r ya n a l y s i s c a n d i d a t e ：d i n gh a i y a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rh o ul e i m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s s c i e n c ec o l l e g e ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y a p r i l2 0 1 0 摘要 碰撞安全问题中移动边界层问题是当今科学工程计算中的难题，建立求解 该问题的有效数学模型是建模问题中的重要课题，其中运用非牛顿力学大变形 理论去计算该问题是一个行之有效的重要途径。作者使用描述粘弹塑性材料特 性的流固耦合数学模型来模拟冲击碰撞时粘弹塑性材料的非牛顿现象，并运用 后估计算法结合高性能计算软件对二维冲击碰撞和三维汽车碰撞模型进行研究。 数值计算中使用h e r m i t e 型基函数的半离散g a l e r k i n 有限元方法，对汽车被动安 全分析中的边界滑动控制问题进行了改进。 关键词：弹塑性；冲击碰撞；数值模拟；有限元；埃尔米特；龙格库塔；非牛顿 a b s tr a c t m o v i n gb o u n d a r y - l a y e rs i m u l a t i o ni nt h ec r a s hs a f e t ya n a l y s i si sad i f f i c u l t p r o b l e mi nt h ec o m p u t i n go fs c i e n t i f i cp r o j e c t b u i l d i n ga ne f f e c t i v em a t h e m a t i c a lm o d e lt os o l v et h a tp r o b l e mi sa ni m p o r t a n tp r o j e c ti nm a t h e m a t i c a lm o d - e l i n g t h ea p p l i c a t i o nf o rc o m p l e xn o n - n e w t o n i a np r o p e r t i e si nv a r i o u st e s t i n g c o n d i t i o ni sa ne f f e c t i v ea n di m p o r t a n tp r o c e s s i nt h i sp a p e ra na p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h en o n - n e w t o n i a nr a t et y p ei m p a c th a r d e n i n ga n ds h e a r t h i n n i n gp r o b l e m s t h ep o s t e r i o r ie s t i m a t ec o m b i n e dw i t hh p c2 d 3 dm o d e l i n g t e c h n i q u ew o u l ds u p p l ye f f e c t i v em e t h o d si nt h er e s e a r c h b yu s i n gs e m i d i s c r e t e g a l e r k i nm e t h o dw i t hh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ns p a c e si nc o m p u t i n g ，w e c a ni m p r o v et h eb o u n d a r ys l i pc o n t r o lf o rt h ep a s s i v es a f e t ya n a l y s i s k e yw o r d s ：e l a s t i c - p l a s t i c s ；i m p a c t ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ；f i n i t ee l e m e n t ； h e r m i t e ；r u n g e - k u t t a ；n o n - n e w t o n i a n i i 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 4 3 第五章 5 1 目录 i i i 绪论 1 研究背景 1 有限元方法的发展及应用 3 研究的问题和主要工作 4 论文结构安排 5 预备知识 6 有限元方法的理论基础 6 差分方法 1 0 约定条件 1 1 流固耦合问题 1 2 流固耦合本构方程 1 2 流固耦合方程的分量展开 1 3 有限元区域剖分及函数变换 1 4 耦合方程分量的权残差形式 1 5 h e r m i t e 型有限元法求耦合方程 1 7 l a g r a n g e 插值 1 7 h e r m i t e 插值 1 9 耦合方程非线性分析 2 0 数值试验 2 4 数值模拟中采用双三次矩形元 2 4 i i i 5 2 有限元单元上数值试验 2 4 5 3 高性能有限元软件f e a 模拟 2 5 总结与展望 参考文献 附录：刚度矩阵 作者攻读硕士学位期间发表的论文 致谢 i v 2 3 8 9 0 3 3 3 3 4 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 本章首先介绍了本论文研究的物理背景，然后介绍了主要的研究方法一有 限元方法的发展及应用，接着阐述了本硕士论文研究的问题及作者所做的主要工 作，最后介绍了论文的结构安排。其中，物理背景包括汽车碰撞安全问题和非牛 顿力学问题以及非牛顿材料的研究和在汽车安全中的应用， 1 1 研究背景 1 汽车碰撞安全问题 随着我国经济实力的不断增强，人们的物质生活水平日益提高，汽车已经逐 渐成为人们的代步工具。很多中国企业与外国跨国公司合作生产研发汽车产品。 我国的汽车年产量逐年攀升，生产制造水平也逐步提高。纽约时报预测中国 将成为世界上最大的汽车生产国。 私家汽车给人们带来了便利，让人们更充分的享受生活。随着全世界汽车数 量的迅速增加、汽车质量、驾驶技术问题及道路状况等多种因素合力作用结果， 汽车交通事故已成为严重问题。联合国世界卫生组织( w h o ) 提交的最新报告 显示：近几年全球每年因交通事故造成死亡的人数多达越1 2 0 万人，另外还有数 百万人在汽车事故中受伤致残。 面对这个严重的问题，各国的工程技术人员都在不遗余力的提高汽车的安全 性能。各国政府相应的制定了碰撞安全性能标准，具有代表性的有美国的f m v s s 汽 车碰撞安全法则、欧洲的e c e 和e e c 汽车碰撞安全法则。目前最为人关注的碰撞 试验为n c a p ( n e wc a ra s s e s s m e n tp r o g r a m ) 。 汽车安全性有主动安全性与被动安全性之分。前者是指汽车防止或难于发生 事故的性能，后者是指事故发生时汽车本身对司乘人员及行人提供安全保护的性 能。大量事故证实，汽车的主动安全性能再好，也只能避免极少量的事故，因此 汽车的被动安全性一直是人们研究的热点。 1 上海大学硕士学位论文 早期的被动安全性研究主要是通过大量的试验来进行，采用同样的碰撞过 程反复进行，收集数据，这样的试验方法需要相当长的时间。发达国家每次汽车 安全性能的试验都需要手工打造几十辆新车，人力、物力及财力都需要很大的消 耗。而在现代汽车的设计、改进、开发过程中，降低成本与缩短时间始终是关注 的核心问题。这就需要能够尽快、尽可能小的代价了解汽车的碰撞规律，拿出切 实可行的设计方案和改进方法，提高汽车的耐撞性。伴随着计算机技术的发展， 原来不可能完成的大量参数有限元计算成为可能。有限元计算分析方法运用到 汽车的碰撞模拟仿真中，极大地降低了汽车的设计成本和研发周期，并且获得更 为准确的数据对汽车结构进行下一步优化【1 1 。 经过几十年的发展，大变形有限元方法在理论上已比较成熟，目前的相关 商业软件包的功能已经相当强大。例如，强大的几何输入、输出功能的软件： c a t i a 、u g 、p r o e 、s t e p 、i g e s 等，强大的分析软件：a n y s y s 、 p a n c r a s h 、l s d y n a 3 d 等。而随着计算机硬件的发展，计算机的运算能力 也大为提高，这一切都意味着用计算机模拟手段解决碰撞安全问题已经比较方 便1 2 l 。 2 非牛顿力学 科学家们将服从牛顿常粘度定律的流体，称为牛顿流体；不服从牛顿常粘度 定律的流体，称为非牛顿流体。在自然界和工业生产过程中，普遍存在的是非牛 顿流体，高聚物熔体和高聚物溶液是典型的非牛顿流体，石油、血液、冰川的蔓 延流动具有非牛顿流体性态1 3 1 1 。只有在一定条件下才有牛顿流体，例如在标准 状态下，水和空气是牛顿流体。 研究牛顿流体的科学，称为牛顿流体力学。牛顿流体力学研究材料的流动和 变形，反映应力与速度变化满足线性关系的流体运动规律。研究非牛顿流体的科 学，称为非牛顿流体力学。非牛顿流体力学研究材料流动和变形，反映在给定温 度和压强下应力与速度不再满足线性关系的流体运动规律。 非牛顿流体力学是新兴的边缘科学，它是近四、五十年发展起来的，起源于 高聚物加工的需要，涉及广泛的工业领域，是力学、现代数学、化学和各工程科 学的交叉与综合，特别是与材料科学有着十分密切的联系，它是现代流体力学的 2 上海大学硕士学位论文 重要分支，同时也是现代流变学的重要组成部分。 当今世界，从事化工、石油、水利、生物工程、轻工、食品材料科学的专家们 对非牛顿流体的研究越来越深入，应用也越来越广泛。非牛顿流体力学以其强大 的生命力迅速发展。 3 非牛顿材料的研究和在汽车安全中的应用 在汽车碰撞中，人的生命在受到不可恢复的金属固体的冲击下显得非常脆 弱，因为汽车碰撞问题是瞬态问题，在短暂的碰撞过程中，汽车材料会出现大变 形。为了减缓这种大的塑性变形，尽可能对车内司乘人员进行保护，需要对车内 的部分结构进行改造，因此需要深入研究可恢复【5 j 的非牛顿软固体材料。科学家 和工程师们已经通过粘弹塑性理论将汽车生命安全保障系统与非牛顿材料联系 起来了。因此现在增加汽车安全性的主流方法是将车上的某些金属材料用聚合 物材料( 如蜂窝材料1 6 1 ) 来代替；部分金属材料的结合部使用弹塑性材料来增加 弯曲弹性，以及在汽车的金属材料的表面附着上一层蜂窝材料。通过适量使用粘 弹塑性材料，可以缓冲吸收掉很多碰撞时产生的冲击能量。 在关于非牛顿材料的研究中，科学家们发现m a x w e l l 方程可用于软固体材 料( 如尼龙、橡胶制品) 1 7 ，s l 制作流程的非牛顿流体应力场计算。p h a nt h i e n 及t a n n e r1 9 ，t o l 在m a x w e l l 方程应用与实验的基础上建立了具有瞬时拉伸特征的应 力计算方程，从而对粘弹塑性流体的正应力与切变应力作了更全丽的描述。m a u r c h a l 和c r o c h e t 1 1 , 1 2 | 对j o h n s o n - s e g a l m a a 1 s l ，g i e s e k u s 1 4 - 1 6 1 ，p t t1 0 , i o i 和f e n e1 1 7 】四 种数学模型进行了全面分析与模拟，发现p t t 模型在描述粘弹塑性材料应力 变化时具有更好的效果。剑桥大学科学家g i b s o n 和a s h b y 的经典著作i 珀呻对蜂 窝多孔材料力学性质作了系统的论述。许进超和d i e c i 给出了三维r i c c a t i 正定系 统的可计算性理论分析【- o ，2 0 l 。还有其他一些关于流变学和非牛顿力学的研究成 果1 2 - - a 5 1 可以用于完善交通安全模型。 1 2 有限元方法的发展及应用 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，2 0 世纪5 0 年代由航空结构工程 师们所发展，随后逐渐应用到土木结构工程，到了6 0 年代，在一切连续统领域都 3u 上海大学硕士学位论文 越来越广泛地得到应用。 有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值方法，它是电子计算机 时代的产物。我国计算数学家【删和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数 学理论基础。由于越来越多数学家加入到发展有限元方法的行列，这种方法便由 工程局限性中逐渐解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并确立了它 的数学基础。 有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，它具有 可以用任意形状的网格分割区域，还可以根据场函数的需要疏密有致地、自如地 布置节点，因而对区域的形状有较大的适应性。 有限元法的数学基础是变分原理和分割近似原理。有限元法就是在变分原理 的基础上，运用分割近似的手段来形成解题方法，它把复杂的结构整体分割为有 限多个基本单元，即点、线、面、体等单元，并将待解函数在每个单元进行分片 插值，通常是极简单的线性或低次的多项式插值，而总体能量泛函就合理地简化 为单元能量的累加和，从而把无限多元自由度的二次泛函的极值问题离散化为有 限多个自由度的普通多元二次函数的极值问题，后者又等价于线性代数方程组， 然后进行结算。 有限元方法在实用上更大的优越性还在于，它与大容量的计算机相结合，可 以编制通用的计算程序，代表着数值计算方法的进步。目前耗资巨大的大型通用 有限元分析程序不断产生，一种工程应用软件学科已经形成了。 1 3 研究的问题和主要工作 本硕士论文描述了弹塑性材料在冲击碰撞中采用流固耦合问题的数学模型 进行研究。流固耦合问题包括用于计算粘弹塑性材料应力场分布和变化规律 的p t t 应力方程，和用于计算速度流场变化的c a u c h y 速度方程，以及描述自由表 面变化特征的边界层方程。这三个方程中初始数据来自边界层方程，而c a u c h y 速 度方程和p t t 应力方程通过应力工和速度! 点来实现耦合。本文对c a u c h y 速度方程 和p r t 应力方程进行离散，对其微观和宏观模型加以分析，并得到有效的数值模 拟结果。 4 上海大学硕士学位论文 作者的主要工作是： 得到了使用双三次h e r m i t e 型形函数作为基函数时的有限元计算格式，同时 通过数值计算以及结合高性能软件模拟，得到了其在有限元单元上的数值计算结 果，以及二维冲击碰撞和三维汽车碰撞的数值模拟结果，从而改进了对汽车被动 安全分析中的边界滑动控制问题的研究。 ( 详见第四章、第五章，上述结果己发表于 h p c a ，l n c s5 9 3 8 ，2 0 0 9 ) ) ，s p r i n g e r 2 0 1 0 ) 1 4 论文结构安排 本文共分为五章，结构安排如下：第一章是绪论；第二章介绍了论文所需要 的基本理论知识；第三章提出论文要研究的核心问题即流固耦合问题；第四章 围绕第三章提出的流固耦合问题，研究使用h e r m i t e 型4 点双三次分片插值的半 离散g a l e r k i n 有限元方法求解该问题，得到了方程的有限元计算格式：第五章使 用h e r m i t e 型有限元方法得到了耦合方程的数值结果，并且结合使用高性能软件 模拟出了二维冲击碰撞和三维汽车碰撞的数值结果，改进了对汽车被动安全分析 中的边界滑动控制问题的研究。 5 上海大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 有限元方法的理论基础 本节内容与记号主要取材于【2 6 】，【2 7 】，【2 8 】，【2 9 】，【3 0 】 变分方法，泛函分析，特别是s o b o l e v 空间的理论，当然还有椭圆边值问题 的现代理论为有限元方法的理论研究提供了基础。 1 相关记号 记号1 设q 为即空间中的开子集，它可以是有界的，也可以是无界的 记号2 q lc cq 是指q ，q 1 均为开集，q 1 有界，且_ 1cq 记号3 s u p pf = z q ，( x ) o ) 称为紧支集一个定义在q 上的函数称 为紧支集函数，当且仅当s u p pfc cq 记号4 设缉为佗重非负整数集合，口= ( o l l ，眈，o n ) 缉，并且i a i = 啦，那么记 i = l 胄i n i fv-j 伊，2 硒两陌 2 变分问题 所谓的变分问题，就是在一个函数集合中求泛函的极小或极大问题。考察一 般线性椭圆边值变分问题。设s ( u ， ) 是h i l b e r t 空间y y _ r 的双线性泛函， 它是对称、连续、强制的。g a r l e r k i n 变分问题是：求仳v ，使得 b ( u ， ) = ，( 钉) ，讹v( 2 1 1 ) 其中( v ) 是y 上线性连续泛函。 设是y 的有限维子空间，当h _ 0 时，k 的维数无限增加，且满足逼 近性质。那么，( 2 1 1 ) 的g a r l e r k i n 逼近解u 坛，使得 b ( u h ，t j ) = ，( 秽) ，铷v h ( 2 1 2 ) 6 上海大学硕士学位论文 设 协) 饕1 是v h 的基函数系，由于u h v h ，t ，v h ，因此有 其中 0 0 ，( 驴) 舻将1 t h ，钉代入( 2 1 2 ) 后，由于b ( u ，t ，) 是双线性的， i ( v ) 是线性的，可得 忭 r 1 1 1 扩i 一b ( 仍，协) 一，( 协) l = 0 ， i = l l j = lj 由 矿) 的任意性，则有 令 则( 2 1 3 ) 可表示为 i = 1 ，2 ，n ( 2 1 3 ) = b ( 伤，协) ，只= ，( 协) 翰一= 只，i = 1 2 礼 ( 2 1 4 ) j = t ( 2 1 4 ) 是对应于( 2 1 2 ) 的线性代数方程组。这里是下面讲的检验函数空间。 设缸七，t 舒( q ) 给定，称序列 “七) 在钾( q ) 中收敛于u ，并记为 札南_ 让，是指满足如下条件。 ( 1 ) 存在一个有界闭集kcq ，使得对任何k ，在k 之外等于o ； ( 2 ) 对于每个a 忍，伊让七在q 中一致收敛于俨t 具有这样收敛性的空间c 铲( q ) ，记为d ( q ) ，称为检验空间。 3 经典函数空间 沪) 空间 设区域q 是l e b 镯g u e 非空可测集，是定义在q 上的实值l e b e s g u e 可测函数， 用c - ( a ) 表示在f l h m 次连续可微( 即所有m 阶偏导数存在且连续) 的函数之全 体。特别 伊( - ) = ，：，c 伊( q ) ，有界，且在q 中一致连续) 7 够 扩 n m = 口 够 0 n 谢 = u 妒 ，- = 、 妒 协 b n 肖 上海大学硕士学位论文 范数为 0 川c 0 回= s u p i ，( z ) l z i z 伊( 孬) 空间 m 为正整数，所有伊( 孬) 空间中存在m 个连续导数的函数全体，构成线性 空间。其中半范数和范数分别为 i f l c , “( r h 2 盖i i 伊f h c o c h ) ， l i f l l 伊= 0 俨州伊 l a l 气m 护( q ) 空间 设区域q 是l e b e 8 9 u e 非空可测集，是定义在q 上的实值l e b e s g u e n - j 澳1 数， 我们记厶，如为厂的l e b e s g u e 积分( 如表示l e b e 8 9 u e 测度) 对于l p ，令 l i f l l l ( m = ( 厶i f ( x ) l p 出) 刍 对于p = o o ，令 i l f l l 州哟2a c 器：。墨阶) i 对于1 q o o ，p 次l e b e s g u e 可积空间定义为 妒( q ) = ，：，在q 上可测且| i 川p ( n ) o o ) 局部汐可积函数空间 对1 p o o ， 上么( q ) = ，：，在q 上可测，f 1 。扩( q ) ，v q lc cq ) 对任何q 和1 p q 0 0 ，有 妒( q ) cl o c ( 1 2 ) ， ( 尹( q ) cl 麓( q ) cl ( q ) c 上乞( q ) cl k ( q ) 广义函数的导数 8 上海大学硕士学位论文 有限元方法是从微分方程的变分形式出发去求解原问题，它是用数值方法求 偏微分方程的有力工具之一，但是满足变分形式的解比满足微分方程的古典解的 光滑性要求低，因此解的范围可以扩大，这种解我们称之为广义解，或弱解。因 此，为了讨论变分问题的解，我们需要引入一个不那么光滑的函数空间广义函数 空间，并且对这种不那么光滑的函数也定义某种导数的概念。这就是我们下面要 介绍的广义函数的导数( 或弱导数) 。 如果存在g l l ，使得 厶g ( z ) ( z ) 如= ( - 1 ) 1 口i 厶，( z ) 伊( z ) 如，v 曙( q ) 则称，具有广义导数g ，且记为d 口= g 其中，a 是经典意义下的微分运算，易 见，如果，是o 次可微函数，则它的广义导数就是它的经典导数。 s o b o l e v 空间 对于m 为非负整数，1 p o o ，规定 i j f ) j 胛，p ( 哟= l j f l l m 舰n = ( j l a 口，j j p 二p ( n ) ) 刍 i q i m 贝l j s o b o l e v 空间定义为 h m ，p ( q ) = ，驴( q ) ：严，! 夕( q ) ，v l 口l 7 n ) 当l p o o 时，s o b o l e v 空间的范数和半范数的定义分别为： i l 州胛，( q ) = i i f l l m 巾，q = ( 厶i 俨，i p d x ) 砉 l a l 0 ，使得 f l l y c i i f l l x ，v f x ， 则称xn - 7 以连续嵌入y ，并记为xqy s o b o l e v 空间嵌入定理 设m 0 为整数，1 p o 。，且设q 是肝中的区域，即有界开的连通集合， 且具有l i p s c h i t z 连续边界。则下述嵌入关系成立： ， 日仇，p ( q ) q l 口( q ) ；2 ；1 一署，若m 1 时，通过适当的选取参数， 可以使方法具有尽可能高的精度。 特殊的r u n g e - k u t t a 方法： ( 1 ) 二阶方法： 十l = + 鲁【，( t m ，) + ，( m + h ，u m + h f ( t m ，) ) 】 ( 2 ) 三阶方法： + 1 = u m 十鲁( h + 3 k 2 ) ， k l = ，( k ，缸m ) ， = ，( k + 鲁，+ 售) ， = ，( + 警，u r n + 警) 2 3 约定条件 文章中经常出现的常数c 是一个正的生成常数，它在不同的场合有不同的值， 但全文中所有的常数c 都不与有限元剖分的离散参数h ( 也就是剖分网格尺度) 有 关。我们用q 七表示双七次多项式函数的集合。 i i 上海大学硕士学位论文 第三章流固耦合问题 3 1 流固耦合本构方程 橡胶搅拌( 图3 1 1 ) 过程中，橡胶流经搅拌机内部叶片与壁面距离最窄( 见 图3 1 2 ) 的应力集中区域【3 2 州，在这个狭窄的区域附近，流体材料呈现出明显的 拉伸变形现象【删。当汽车发生碰撞时，短暂的碰撞过程中，汽车材料会出现非常 大的变形 a 4 1 ，这也具有橡胶搅拌过程中在应力集中区域的拉伸压缩变形的特征。 从某种角度看呈现出流体的性质，我们考虑将碰撞问题视为流同耦合问题来研 究。因此，这两类看似毫不相干的问题，就可以关联在一起了。 图3 1 1p o l y m e r 压缩搅拌过程中的二维非牛顿流场模拟结果：切变应力场及流 场c r o s ss e c t i o n q l 移动边界的正压分量导致应力过激 图3 1 2 搅拌机壁面( 线c ) 和叶片( 线b ) 之间的间隙 p t t 本构方程( 增加了非线性指数冲击项的m a x w e l l 方程 7 , 3 5 删) 是用于计 算非牛顿流的应力场二的分布和变化规律的【s 7 l ，c a u c h y 本构方程是用于计算应 力流场中速度笪的变化的。p t t 方程与c a u c h y 方程通过应力御速度型形成了流固 耦合方程体系。 c a u c h y 速度方程： 翼：- 1 v 7 - - 缸v u ( 3 1 1 ) 面2p 。：笪 舭上 上海大学硕士学位论文 p t t 应力方程： 升入 a 需2 【2 埋一唧丽( + 嘞) 理 ( 3 1 2 ) 一入【笪v z - - v u 三一( 观工) t + ( 垒工) + ( 垒9 1 由于橡胶总是部分充满于搅拌机空间中，在汽车碰撞过程中也一般无法测得 内部的应力与速度的变化，因此上面两个方程的计算需要依赖于自由表面的变化 特征方程计算的初始速度： 百o f ：- u v f v ( 3 1 3 ) 了ro 一 方程( 3 1 1 习1 3 ) 中，笪是流体速度，p 是流体密度，互是应力，d 是应变，是伸长 率，是切变因子，a 是松弛因子，叩是粘度，f 是自由边界上的概率分布函数。 3 2 流固耦合方程的分量展开 1 c a u c h y 方程分量展开 c a u c h y ：方程( 3 1 1 ) 的分量形式是用于计算局部流场受应力的影响： 等：丢c 害+ 等一鲁+ u y 等， 慨2 百2 石( 瓦+ 司一瓦+ 司， _ 叫 酉c o u y ：石1 ( 瓦0 r 翻a + 鲁) 一( 乱霉鲁+ 等) ( 3 2 2 ) 酉2 石( 瓦+ 百) 一( 乱霉面+ 面) _ 一叫 2 p t t 方程分量展开 将方程( 3 1 2 ) 中指数项运用t a y l o r 展开并取其前两项，那么p t t 应力方程可 以写成下面形式： a rg a a 季2 【2 蝗一 1 + 丽( + 嘞) ) 三】 一a 匦踺一v 墅三一( 观9 t + 毒( 垒当+ ( 垒9 t 】 1 3 上海大学硕士学位论文 于是可以写出p 玎方程的分量形式以计算受速度影响的应力场的分布变化： 鲁= 百2 r l 面o u 。邶c 1 卅面o u x 一- 1 1 嘞州2 叫等一鲁嘞。3 删 钆霉耽z 一一r i o ( 兀噶+ ) z 一( u x 瓦+ 乱百) ， 害= 安等伸c 1 卅等一妻嘞州2 叫面o u y 一等嘞。3 删 s 、， d t 一 d z 、 一- - 伽( r z x + 勺p ) 嘞一( 1 v f y y + u 旷v 石- 矿y y ) ， 鲁：昙c 等+ 鲁川主c 2 卅鲁一等霉 + t 主c 2 卅等一鲁嘞州1 叫芸忡叫等一妻嘞+ 够一专面一茅习嘞+ 【( 1 _ f 面+ ( 1 一) 面一_ 】嘞 ，、仂切仂锄 一丽( 兀陆+ 嘞) 嘞一u x 蔷+ u 暂- 丽- y ) 【3 2 5 ) p t t 方程总共有四个分量，由于竺 和竺这两个分量的右端表达式是轮换对称 优 优 的，因而这两个分量相等，所以这里只列出- j p t t 方程的三个分量。 c a u c h y 方程的两个分量和p t t 方程的三个分量有很多共性。在作者推导耦 合方程的半离散g a l e r k i n 有限元计算格式过程中发现，只要使用相同方法，这五 个方程的推导步骤就一样。 3 3 有限元区域剖分及函数变换 1 函数区域的剖分 考虑二维空间区域q 和时间区间t 上的函数。将二维空间区域q 作分块几乎 均匀的四边形剖分。假定其边界由平行于坐标轴的直线段组成，将q 剖分为个 矩形单元勺= ( z ，y ) i l z 一l ，i y 一协l 如 o = 1 ，) 记九= m 磐( 蟛2 - r 2 ) 1 2 若存在与歹， 无关的常数c 使得危十 向c ，则称此剖分驴是 拟一致的。这时单元总数n = o ( h - 2 ) 在时间t 上作适当的剖分，使得最大时间 】4 上海大学硕士学位论文 步长不大于h 2 坐标系转换 在进一步推导之前，我们需要将( z ，秒) 坐标系中的有限元单元勺映射到局部 坐标系( ，s ) 上的标准正方形区域e = ( - 1 r ，s 1 ) 上，基于这个原因，我们通 常使用j a c o b i 变换，令 8 z 8 弩8 置。8 譬 岛2 瓦，岛。而，昆2 丽，& 2 丽。 再令j 表示j a c o b i 行列式，有j = & 宰& 一岛木岛，因此有 o r 不= s 4 j ， 0 o r 五= 一岛j ， 劫 ” o s 瓦。s 1 j ， 8 8 苍= 一j 如 “。 3 函数变换 设( x ，y ，t ) 是q 和t 上适当光滑的函数，在单元勺上作适当的变换，使之能够 映射到局部坐标系r ，s ) 上的标准正方形区域e = - 1 7 ，8 1 ) 上，我们将映 射到e 上的函数仍然记作f ( r ，s ，t ) ，于是有下面的变换 o f ( x ，y ，t )o f ( r ，s ，t )o fo ro fo so f & o f 一= - _ - _ - - _ _ _ _ 一= 4 - 一一= 一一 o xo xo r8 j8 so x 8 r3 8 s3 1 o f ( x ，y ，t )c o f ( r ，8 ，t )o fo ro fo so f 岛o fs l 矿。瓦一2 丽瓦+ 丽面2 一面了十丽了8譬8翟a r 鼬l8 88 譬a tj j 8 sj 3 4 耦合方程分量的权残差形式 在有限元区域上，我们先将( z ，) 坐标系上的单元e j 映射到局部坐标系s ) 上 的标准正方形区域e 上，然后在该正方形区域上使用权残差法，取识( i = 1 ，) 属于e 上的有限元检验函数空间，这里是有限元单元上节点的个数。 使用权残差法，在e 上，c a u c h y 方程和p t t 方程分量的弱解形式可以表示 成： 等批s p ： 慨4 = p j 1 5 上海大学硕士学位论文 鲁州邵p = 丢c 鲁+ 等，一鲁+ 乱v 等m c 邵p 4 2 ， ：一丽( + 嘞) 一( 让瓦+ 嘶一) ，识( 邵p ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ： ( i = 1 ，) 后面两章将介绍两种类型基函数，并使用h e r m i t e 型基函数方法来求c a u c h y 方程 和p t t 方程的有限元计算格式；通过h e r m i t e 型有限元法的数值计算得到有限元 单元上的数值结果图，以及结合高性能软件模拟，得至o t - - - 维冲击碰撞和三维汽 车碰撞的模拟结果。 1 6 上海大学硕士学位论文 第四章h e r m i t e 型有限元法求耦合方程 本章将首先介绍l a g r a n g e 插值和h e r m i t e 插值，然后运用分片双三次：元h e r m i t e 型 形函数作为有限元基函数来求得耦合方程的有限元计算格式。与之前已经做过 的l a g r a n g e 型插值陬5 7 1 相比较，使用h e r m i t e 型基函数对耦合方程进行更进一步 地分析，无论在精度方面，还是在稳定性方面，都有更好的结果。 4 1l a g r a n g e 插值 1 l a g r a n g e 型基函数 一维情形下，在区间e = ( 一1 ，1 ) 上取两个端点和一个中点为节点，能够得 到3 个l a g r a n g e 型基函数 l i ( x ) = 1x ( x 一1 ) ，l 2 ( x ) = z p + 1 ) ，l 3 ( x ) = 1 一x 2 二维情形下，在标准正方形区域e = ( - 1 z ，y 1 ) 上，双二次多项式 有9 个自由度，因此需要9 个节点，一般取正方形的4 个顶点、四边中点及其形心 ( 见图4 1 1 ) 为节点，于是这9 个l a g r a n g e 型基函数为 4 8 1 ( a ) 有限元标准单元9 个网格点( b ) 有限元标准单元9 个点编号 图4 1 1 有限元标准单元及其编号 l ( z ，y ) = l i ( x ) l i ( y ) ， 也( z ，y ) = l i ( x ) l 2 ( y ) ， 咖( z ，y ) = l a ( x ) l 2 ( y ) ， 砂2 ( z ，y ) = l ：( x ) l i ( y ) ， 九( z ，y ) = l a ( x ) l i ( y ) ， 咖8 ( z ，y ) = l i ( x ) l 3 ( y ) ， 1 7 九( z ，y ) = l 2 ( x ) l 2 ( y ) ， 九( z ，y ) = l 2 ( x ) l 3 ( y ) ， 如( z ，y ) = l 3 ( z ) l a ( 掣) 上海大学硕士学位论文 若记9 个节点的自然坐标为 锄) t = - 1 ，1 ，1 ，一1 ，0 ，1 ，0 ，- 1 ，o ) ， 始) t = - 1 ，一1 ，1 ，1 ，一1 ，0 ，1 ，0 ，o ) 那么9 个基函数可表示为 咖( z ，y ) = 互1x j y j x y ( 1 + x x ) ( 1 + 协秒) ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ， 咖 ，y ) = y j y ( 1 一z 2 ) ( 1 + 协可) ， j = 5 ，7 ， 奶( z ，y ) = x j x ( 1 一矽2 ) ( 1 - t - x j x ) ， j = 6 ，8 ， 如( z ，y ) = ( 1 一x 2 ) ( 1 一旷) 2 双二次l a g r a n g e 插值 在标准正方形区域e = ( 一1 r ，8 1 ) 上，取图4 1 1 中9 个网格点为插值节 点，函数f ( r ，s ) 先固定8 ，将f ( r ，s ) 沿7 方向作l a g r a n g e 插值【3 9 l 有 ，、三，、 u ( 7 ) 0 3 f ( ，s ) m ，s ) 2 蚤胞，s ) 厶( r ) + 寺1 t = l ou 其中u ( r ) = r ( r 一1 ) ( r + 1 ) ，e ( - 1 ，1 ) 将前式右端前三项分别固定r 1 ，r 2 ，r 3 ，再沿着s 方向作l a g r a n g e 插值有 l i ( r i = 1 ) ，s ) = ，沁，) 厶( r ) 岛( s ) + _ 一争+ 1 i ：r 一 ) i = 1 j = l u u ，u u o 这里u ( ，) ，u ( s ) 的定义同前，叩e ( - 1 ，1 ) 为了便于计算表达，于是在e 上，函数f ( r ，s ) 的双二次l a g r a n g e 插值逼近可 以表示如下 f ( r ，8 ) = ，( 吩，勺) 咖( r ，s ) = f ( 2 c j( 4 1 1 ) 插值余项为 刚，：掣掣+ 掣喜掣砷，心地， 这里( 吩，勺) 是有限元单元的网格点。 上海大学硕士学位论文 4 2 h e r m i t e 插值 1 h e r m i t e 型基函数 矩形元素的h e r m i t e 型基函数，同样可以由一维h e r m i t e 型的基函数来构造。 设一维元素( 一1 1 ) ，取其两个端点为节点，根据节点= - 1 和= 1 的函数 值和导数值做出插值多项式，就是h e r m i t e 三次插值多项式。其插值基函数是 l p ) = 丢健一1 ) 2 ( 2 + f ) ，l 悠) = 三 + 1 ) 2 ( 2 一) ， l i ) ) = 主 一1 ) 2 + 1 ) ，l 健) = 三( 毒+ 1 ) 2 一1 ) 利用三次h e r m i t e 插值作有限元计算，如果有n 个单元，共n + 1 个节点，每个 节点上有两个未知数，共2 ( n + 1 ) 个未知数。在每一个单元上它分别是三次多项 式，而在节点上，相邻的两个单元在节点的函数值和导数值都是相等的。而一般 的l a g r a n g e 分段插值，即使插值次数提高，可能会提高函数逼近的精确度，却不能 提高函数的光滑性。所以在一些要求一阶导数连续的问题里，常常采用h e r m i t e 单 元。 可以在矩形e 的四个顶点a l ，a 2 ，a 3 和a 分别给定函数值，两个一阶偏 导数值和二阶混合偏导数值，共1 6 个条件，确定一个双三次完全多项式的1 6 个系 数。可以证明这样作出的分片h e r m i t e 插值c 1 ( 孬) 连续性，它的基函数可以通过 一维h e r m i t e 插值基函数的乘积得到。正方形 - 1 毒l ，一1 ，7 1 ) 上的2 阶 双三次多项式基函数为 妒：o ，o ( f ，? 7 ) = ( 1 + 已) 2 ( 1 + 依叩) 2 ( 2 一& ) ( 2 一哺7 7 ) 1 6 ， 妒：1 o 代，7 7 ) = & ( 1 + 6 ) 健2 1 ) ( 1 + 仇叼) 2 ( 2 一伽) 1 6 ， 妒 o 1 ，7 7 ) = 班( 1 + 班，7 ) ( 叼2 一1 ) ( 1 + 6 ) 2 ( 2 一联) 1 6 ， 妒：1 1 ( ，叩) = & 仇( 1 一f 2 ) ( 1 一叩2 ) ( 1 + & ) ( 1 + y i y ) 1 6 ， i = 1 ，2 ，3 ，4 ， 这里 已) = - 1 ，1 ，1 ，一1 ) ， 依) = 一1 ，一1 ，1 ，1 ) 这种双三次矩形元素称 为b o g n e r - f o x - s c h m i t 元。 】9 上海大学硕士学位论文 2 双三次h e r m i t e 插值 与对函数f (