（应用数学专业论文）小波在图像处理中的模型应用.pdf

摘要 本文对去噪模型理论进行了研究，从概率统计、小波分析和偏微分方程三个方面做 了系统概述。小波分析，作为一种新的数学分析工其，足泛函分析、傅立叶分析、样条 分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用 背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及口标检测等领域，并在理论和方法上取 得了重人进展。本文区分和描述了噪声的几种模型( 白噪声、高斯噪声、泊松噪声) ， 去噪方法及其相应算法和实验分析。 文章对图像知识给出了简要但系统的介绍，它是数学专业人员研究图像处理的必 备知识，宏观了解图像处理的不同架构，定位交义知识的契合点，更好更全而地 应用小波理论。 小波理论知识的分析为模型的构建奠定了基础，小波变换、多尺度分析、细分方 程及m a l l a t 算法等为专业及非专业研究人员提供了参考。 从概率统计、小波分析和p i ) e 三个方面考虑了小波去噪模型，评价其优劣并分 别给出了适用的范围和条件。 详细讨论白噪声、高斯噪声、泊松噪声这三种常见的噪声模型，并给出了小波去 噪的模型分析及其优点，着重剖析了几种具有典型的代表性小波去噪方法( 小波 变换模极大去噪、基于小波变换尺度间相关性的去噪、小波闽值去噪和平移不变 量小波法去噪( t i ) ) 并进行对比比较。同时，对于小波系数，我们给出了层 内、层间和混合模型并分别进行描述，并结合客观和主观两个方面，给出了图像 处理的评价准则，最后本文通过实验对噪声图像进行了不同方法的处理和比照。 关键词：小波变换，小波去噪，噪声模型，数字图像处理 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw e i n v e s t i g a t et h eb a s i ct h e o r yo fd e n o i s i n gm o d e l sf r o ma s p e c t so f p r o b a b i l i t ys t a t i s t i c s ，w a v e l e ta n a l y s i sa n dp a r t i a ld e r i v a t i v ee q u a t i o n a san e wm a t h e m a t i c st o o l ，w a v e l e ta n a l y s i si sa p e r f e c ti n t e g r a t i o no ff u n c t i o n a la n a l y s i slf o u r i e ra n a l y s i s ，s p l i n ea n a l y s i s ，h a r m o n i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a la n a l y s i s s oi th a sm a n yg o o d f e a t u r e sa n db e e ng r e a t l ya p p l i e di nc o m p u t e r v i s i o n , i m a g ep r o c e s s i n g , o b j e c tr e c o g n i - t i o na n do t h e rf i e l d s ag r e a tn u m b e ro fa d v a n c e sh a v e b e e nm a d e b o t hi nt h e o r i e sa n d t e c h n i q u e s a sa ni m p o r t a n tp a r to ft h i st h e s i s ，w ep r e s e n ts e v e r a ln o i s em o d e l s ( h a t n o i s e ，g a u s s i a nn o i s e ，p o i s s o nn o i s e ) a n di n t r o d u c es e v e r a ld e n o i s i n gm e t h o d sw i t h c o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m s w es t u d yt h e s ea l g o r i t h m st h r o u g hi n t r o d u c i n ge x p e r i m e n - t a la n a l y s i s ab r i e fb u ts y s t e m i ci n t r o d u c t i o na b o u ti m a g ei sn e c e s s a r yf o rm a t h e m a t i c a l 舡 s e a r c h e r s ，w h i c hs h o wu sam a c r o s c o p i cv i e wi nd i f f e r e n ta n g l e sa n dl o c a t et h e i n t e r d i s c i p l i n a r yf o c u si no r d e rt ow i d e l ya p p l yt h ew a v e l e tt h e o r y b a s i cw a v e l e tt h e o r yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm o d e la n a l y s i s , i nt h i st h e s i s , w e e x p a t i a t es o m ew a v e l e tt h e o r y , i n c l u d i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，m r a ，r e f i n e m e n t e q u a t i o n s ，m a l l a ta l g o r i t h ma n d s oo n s t u d yt h eb a s i ct h e o r yo fd e n o i s i n gm o d e l sf r o ma s p e c t so fp r o b a b i l i t ys t a t i s t i c s ， w a v e l e ta n a l y s i sa n d p a r t i a ld e d v a t i v ee q u a f i o n e x h i b i tt h ee v a l u a t i o na n dt a k e t h ec o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o n si n t oc o n s i d e r a t i o n d i s c u s s i n gh a tn o i s e ，g a u s s i a nn o i s ea n dp o i s s o nn o i s ei nd e t a i l ，w ei n t r o d u c e t h ew a v e l e tm o d e l s a n de l a b o r a t es e v s r a l t y p i c a lw a v e l e td e n o i s i n gm e t h o d s ( w a v e l e t m o d u l a rm a x i m u m ，i m a g et r a n s l a t i o ni n v a r i a n tw a v e l e td e n o i s i n gm e t h o d ， w a v e l e ts h r i n k a g e ，t r a n s l a t i o ni n v a r i a n tw a v e l e td e n o i s i n gr m e t h o db a s e do n b a y e s i a n ) a tt h es a m et i m e ，w ep r o v i d et h r e ek i n d so fw a v e l e tc o e f f i c i e n tm o d e l s ri n c l u d i n gi n t r a 。l e v e lm o d e l | i n t e r - l e v e lm o d e l ia n dh y b r i dm o d e lt h a tc o r n b i n et h ef i m tt w ot o g e t h e r a l s o ，b o t hs u b j e c t i v ea n do b j e c t i v ee v a l u a t i o n sa r e g i v e nf o ri m a g ep r o c e s s i n g a tt h ee n d ，e x p e r i m e n t so fw a v e l e ti m a g ed e n o i s i n g a r ep o i n t e do u t , t h o u g h ，b ym y s e l f k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m | w a v e l e td e n o i s i n g | n o i s em o d e l i n gfd i g i t a l i m a g ep r o c e s s i n g 第1 章绪论 1 1 引言 当今世界，以数字化为特征的各种信息采集、传输、贮存与处理的技术日新月异、 迅速发展，正深刻地改变着人们的日常生活。数字图像处理是利用计算机对科学研究和 生产中出现的数字化可视化图像信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了 高度广泛的重视。根据所处理输入输出对象的不同，人们将数字图像处理分为三个层 次【8 6 】：底层图像处理( l o w l e v e li m a g ep r o c e s s i n g ) 、中层图像处理( m i d l e v e l i m a g ep r o c e s s i n g ) 和高层图像处理( h i g h l e v e li m a g ep r o c e s s i n g ) 。底层图像处 理主要包括对数字图像的前端处理，例如图像去噪，对比度增强，图像锐化以及图像恢 复和超分辨率复原等其特点是它的输入和输出均为数字图像。中层图像处理包含了图 像分割，边缘检测、目标特征描述等其特点是输入为数字图像，输出为图像特征或属 性而高层图像处理则强调的是对图像内容的分析、感知与理解它的输入可以是数字 图像或图像特征，输出的则往往是某种判别的结果。长期以来，科学家们渴望机器能够 像人一样，通过视觉器官对周围环境进行感知，完成智能处理，给出准确的判定。然 而，事实证明高层数字图像处理遇到的最大困难是低层和中层图像处理方法和理论上存 在的问题并未得到完全解决例如，实际采集到的图像往往是低信噪比、低对比度，甚 至低分辨率。然而高质量的图像恢复方法并不成熟，难以满足实际应用的需要。此外， 图像分割与边缘检测等问题从理论上也已证明是属于n p 问题，难以获得理论上的彻底 解决 数字化图像处理的今天，毋庸置疑，数学工具发挥着关键的作用。人们为图像建立 数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图 像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分 方程等其中概率统计这一数学工具是最为广泛而有效的数学工具之一小波分析是上 个世纪九十年代应用数学和信号处理领域的研究热点。小波分析在图像压缩中的应用取 得了很大成功以小波变换为基础的j p e g 2 0 0 0 标准已于2 0 0 0 年3 月公布。近年来出现 的新的视频压缩标准例如m p e g 4 ，h 2 6 4 中，都引入了小波分析方法。小波分析在图 像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在图像恢复，图像分割，目标识别等领 域都有小波分析成功应用的范例。对于底层和中层图像处理中出现的问题比如降质图像 的恢复，不同传感器图像的分割，复杂背景下小目标特征的抽取等。这些问题迫使人们 不断寻求新的数学工具和方法，为图像建立各种数学模型小波理论，特别是多小波理 1 2 第1 章绪论 论的出现，以其新的小波特性和更加灵活的小波构造方法为小波在图像处理中解决这些 问题开启了一扇希望之门。 1 2 本文的主要内容 本论文主要结合课题背景小波分析在蛋白质组学中的应用( 应用数学系与浙江加州 国际纳米技术研究院交叉项目) 。交叉学科知识的积累和贯通为小波分析在图像处理中 的应用提供了广阔舞台，利用小波分析这个强大的数学工具进一部研究图像处理的新理 论、新方法，本论文重点是研究去噪模型及小波去噪方法。 论文各章节的安排如下： 第一章简要回顾和介绍了图像及图像处理等领域相关的知识点，研究内容及方 向 第二章介绍了小波分析的部分理论基础，如小波变换、多尺度分析、细分方程及 实现算法等。 第三章从概率统计、小波分析和p d e 三个方面考虑了小波去噪模型。 第四章讨论了各种小波去噪方法及评价，给出了个人学习总结及应用的部分研究 成果。 最后给除了全文的总结和下一步的工作要点 第2 章图像概论 图像是光辐射能量照在客观物体上，经其反射或投射，或由发光物体本身发的光能 量，在人的视觉器官中所重现出的物体的视觉信息。简单来说，图像是客观景物的客观 反映，图像处理技术是人类认识世界和改造世界的重要工具。图像是用各种观测系统以 不同的形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼并产生视知觉的 实体，人的视觉系统就是一个观测系统，图像信息不仅包含光通量分布，而且包含人类 视觉的主观感受，因此，照片，传真，电视、图画等都属于图像的范畴刭。 作为信息时代的今天，对信息的获取加工、传输等构成了现代社会的基础性工 作，科学研究统计表明，人类从外界获得的信息约有7 5 来自视觉系统，即从各种图像 中获得。图像中带有大量的信息。计算机和网络技术的空前发展，人们所面对的图像绝 大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，这称为数字图像。伴随着计算 机计算速度、大规模存储容量，网络和通信速度的飞速提高和显示系统的逐步成熟，数 字图像处理已经发展成为一门重要的学科 人眼是人类最高级的感知器官，毫无疑问图像在人类感知中扮演了最重要的角色。 然而，人类的感知范围只是限于电磁波谱的视觉波段，而专门的成像机器泽课覆盖几乎 所有的电磁波谱，从伽马射线到无线电波，其均可以对超出人类感知范围的那些图像源 进行加工，这些图向源包括超声波电子显微镜及计算机产生的图像，其中较为常见的 有遥感图像、显微图像等 虽然数字图像处理的基础建立在数学和概率统计之上，但人的直觉和分析在评价一 种具体的图像处理技术的时候依然起着主题作用。这种评价常常是主观的视觉判断，图 像处理技术还不是很成熟，主观视觉判断议案是图像处理中的一个重要的组成部分 2 a 1 图像的基本知识 1 】【2 2 1 1图像获取 根据光源的性质，照射能量可从物体反射或从物体投射，如平面反射、使x 射线通 过病人身体产生一幅x 射线诊断图像。而在电子显微镜和伽马成像等应用中，反射和投 射都恩那个聚焦到一个照片转换器上( 图像荧屏) ，该转换器转换为可见光而将图像呈 现在人们的眼前。传感器可用来把照射量变成为数字图像的装置，其原理是：利用对峙 特殊类型能源明暗的传感材料，把输入能源转入输出电压波形，然后将其数字化，从而 得到数字图像信息。下面介绍三种主要传感器【1 】： 3 4 第2 章图像概论 一单个传感器获取图像，这种方法中用得较多的是光敏二极管，它由硅材料构 成，其输出电压波形与光的强度成正比为用单个传感器获取二维图像，传感器和场景 对象之问必须在z 和y 方向有相对位移。 二、带状传感器获取图像，在获取数字图像中更常用的是由单个传感器按线状排列 而形成的带状传感器或传感器带，传感器带在一个方向上提供成像单元。相对于传感器 带垂直方向的运动在另一方向上成像，大多数平半扫描仪所用的装置。成像传感器带一 次输出一幅图像的一行，随着传感器带的运动完成二维图像的获取。 三、传感器阵列获取图像，将各个传感器以二维阵列形式排列就形成了传感器阵 列。目前这是在数字摄像机上常见的主要结构，这些摄像机所用的典型传感器是c c d 阵列，这种阵列可用宽带且具有敏感特性的元件制造而成并封装为4 0 0 0 4 0 0 0 或更多 单元的固定阵列，c c d 传感器广泛地运用于数字摄像机和其他光敏感设备中 2 1 2图像函数 图像所记录的内容和辐射源的照度、波长以及景物( 客观世界) 反射或投射能力有 关。对不同的辐射源，一般地讲物体反射或投射能力是不同的对于某一确定的辐射 源，由同一物质构成的物体，其各处反射或投射能力取决于它的表面形状、性质、内部 结构；由同一物质构成的物体，其各部分反射或投射能力显然也是不同的，所以物体反 射或投射的物质能量在空间上的分布能提供许多信息 物体反射或投射的物质能量在空间上的分布在数学上可以表述为一能量场 e ( z ，z ，a ，t ) ，其中z ，y ，z 表示在几何空间中点的坐标，入为辐射波长，t 为时刻。 适当选取坐标系使取图平面垂直于z 轴，设截距为磊，图像可看作只是记录在平面 2 = z o 上的能量分布【2 】。 厂( z ，可，z o ，a ，t ) = g e ( x ，y ，z 0 ，a ，) 】( 2 1 ) 式中，9 0 表示由物质能量到记录数据值的映射，实际中这种物质能量的记录值往往用 亮度值表示。如果辐射源是单一波段或某一已知的波段范围，成图是在瞬间完成或各像 点记录的时间有一定规律，则上式可简化为： ，( z ，y ) = 夕 e ( z ，可) 】( 2 2 ) 式子中z ，y 为像平面中点的坐标 图像的数学模型是一个二元函数f ( x ，y ) ，在以后讨论中简称图像，( z ，3 ，) ，它反映了 图像上点坐标f ( x ，y ) 与该点上的能量值之间的对应关系。对于一幅灰度照片，它上面 浙江大学硕士学位论文 5 点的明暗程度需用不同的数值代表。图像在某点处的函数值称为图像在该点的灰度或亮 度。 由于，的值是能量的记录，故其是非负有界的实数，即 0 f ( x ，可) a ( 2 3 ) 一幅实际图像的尺寸是有限的，一般定义( z ，y ) 在某一矩形域中，即有 ， i 一z z l l l 可y l 掣 由于实际的图像可以表示为一个二元函数( z ，可) ，因此关于实际函数处理的研究就 可以运用数学手段了。 2 1 3 常用的图像文件格式 数字图像在计算机中是以图像文件的形式存放的，图像文件格式有许多种，目前较 常用的静态文件格式主要有：m b m 、p g i 、f n f f 、 p e g ，下面做一简略介绍【3 】。 一、b m p 文件格式 b m p 是英文b i t m a p ( 位图) 的简写，它是w i n d o w s 操作系统中的标准图像文 件格式，是一种与设备无关的图像无关的格式。它是一种位映射的存储形式，随着 w i n d o w s 操作系统的流行及应用程序的开发，b m p 位图格式理所当然地被广泛应用。 b m p 文件被分成几个域i 位图文件参数头域、位图参数头域、调色板域( 颜色定 义表) 和位图数据等。位图文件参数头域包含关于这个文件的信息，例如从哪里开始是 位图数据的定位信息。位图参数头域含有这幅图像的信息，例如以像素为单位的宽度和 高度位图的彩色、压缩方法等调色板域有对图像颜色r g b 值的定义。这种格式的 特点是包含的图像信息较丰富，几乎不进行压缩。 - - 、g i f 文件格式 g i f 是英文g r a p h i c si n t e r c h a n g ef o r m a t ( 图形交换格式) 的缩写。顾名思义， 这种格式是用来交换图片的。事实上也是如此，上世纪8 0 年代，美国一家著名的在线 信息服务机构c o m p u s e r v e 针对当时网络传输带宽的限制，开发出了这种g i f 图像格 式。它支持2 1 6 m 种颜色、单个文件的多重图像、按行进行扫描的快速解码、有效的 压缩以及硬件无关性。 最初的g i f 只是简单地用来存储单幅静止图像( 称为g i f 8 7 a ) ，后来随着技术发 展，可以同时存储若干幅静止图象进而形成连续的动画，使之成为当时支持2 d 动画为 6第2 2 图像概论 数不多的格式之一( 称为g i f 8 9 a ) g i f 图像文件以数据块( b l o c k ) 为单位来存储 图像信息。一个g i f 文件由表示图形图像的数据块、数据字块以及显示图形、图像的 控制信息块组成，称为g i f 数据流( d a t as t r e a m ) 数据块又分为三类：控制块、图 形描绘块和专用块。 三、t i f f 文件格式 f f ( t a gi m a g ef i l ef o r m a t ) 是m a c 中广泛使用的图像格式，是基于标志域 的图像域的图像文件格式。有关图像的信息都存储在图像域中，如图像的大小，所用计 算机型号、制造商、图像的作者、说明、软件以及数据。它的特点是图像格式复杂、存 贮信息多。正因为它存储的图像细微层次的信息非常多，图像的质量也得以提高，故而 非常有利于原稿的复制。 该格式有压缩和非压缩二种形式，其中压缩可采用l z w 无损压缩方案存储。1 r i f f 的文件格式的结构公有四部分组成：头文件、图像文件目录，目录表项和点阵图像数 据。 四、j p e g 文件格式 j p e g 也是常见的一种图像格式，它是联合照片专家组( j o i n tp h o t o g r a p h i c e x p e r t sg r o u p ) 的缩写，是用于连续色调静态图像压缩的一种标准其主要方法是采 用预测编码( d p c m ) 、离散余弦变换( d c t ) 以及熵变法，以取出荣誉的图像和彩 色数据，属于有损压缩方式。 j p e g 文件的扩展名为j p g 或j p e g ，其压缩技术十分先进，是一种高效率的2 4 位图像文件压缩格式，同样一幅图像，用j p e g 格式存储的文件是其他类型文件的 i 1 0 1 2 0 ，通常只有几十k b ，而颜色深度仍然是2 4 位，其质量损失特别小。 j p e g 是一个使用范围很广的通用标准，其目标如下： ( 1 ) 开发的算法在图像压缩率方面接近当前的科学水平，图像保真度在较宽的压缩范 围里的评价。 ( 2 ) 开发的算法可实际应用于任何一类数字图像源，如图像的大小、色彩空间图像 的内容、复杂程度、颜色数及统计特性等都不加限制 ( 3 ) 开发的算法，在计算复杂程度方面可以调整，因而课根据性能和成本要求来选择 用软件开发还是用硬件开发 ( 4 ) 开发的算法包括四种编码方式：顺序编码、累进编码，无损压缩编码和分层压缩 等 j p e g 采用对称的压缩算法，即统一系统环境下压缩和解压缩所用的时间相同， j p e g 文件由八部分组成【。目前各类浏览器均支持j p e g 这种图像格式，因为j p e g 格 浙江大学硕士学位论文 式的文件尺寸较小，下载速度快，使得w e b 页有可能以较短的下载时间提供大量美观的 图像，j p e g 同时也就顺理成章地成为网络上最受欢迎的图像格式。 j p e g 2 0 0 0 同样是由j p e g 组织负责制定的，另一正式名称叫做”i s 0 1 5 4 4 4 ，与 j p e g 相比，它具备更高压缩率，其压缩率比j p e g 高约3 0 左右。与j p e g 不同的是， j p e g 2 0 0 0 同时支持有损和无损压缩，而p e g 只能支持有损压缩。j p e g 2 0 0 0 的一个极 其重要的特征在于它能实现渐进传输，这一点与g i f 的”渐显”有异曲同工之妙，即先 传输图像的轮廓，然后逐步传输数据，不断提高图像质量，让图象由朦胧到清晰显示， 而不必是像现在的j p e g 一样，由上到下慢慢显示。j p e g 2 0 0 0 可应用于传统的j p e g 市 场，如扫描仪、数码相机等，亦可应用于新兴领域，如网路传输、无线通讯等等。 2 2图形与图像的区别与联系 图形和图像有着较大不同，因而计算机图形学和数字图像处理目前仍被作为两门不 同课程。图形通常有点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线形线宽等非几何属性 组成。图形含有几何属性，或者说更强调场景的几何表示，是由场景的几何模型和景物 的物理属性共同组成的，从处理技术上看，图形主要分为两类： 基于线条信息表示的，用于刻划物体形状的点、线、面、体等几何要素。如工程 图、等高线地图等。 映物体表面属性或材质的灰度颜色等非几何要素。它侧重于根据给定的物体描述 模型、光照来生成真实感图形。如通过摄像机来生成的真实感图形 图像是指利用计算机外部辅助设备( 如扫描仪、数码相机或视频采集装置等) 输入的 自然图片数字图像处理是对图像像素进行数字化处理、变换、压缩和传输的一门计算 机技术。就存储方式而言，图像纯指计算机内以位图( b i t m a p ) 形式存在的灰度或彩色 信息图形的几何属性。其对比与区别详见下表： 表2 1 ：图像与图形的对比与区别 图形( g r a p h i c s )图像( i m a g e ) 数据量少 数据量大 有结构，便于编辑修改 无结构，不便于编辑修改 准确表示3 d 景物，易生成不同视图3 d 景物信息部分丢失，难生成不同视图 生成视图需复杂计算生成视图不需复杂计算 自然景物表示很困难自然景物表示不困难 国际标准：g k s ，p h i g s ，o p e n g l 等国际标准：j b i g ，j p e g ，t i f f 等 8第2 章图像概论 2 3 图像处理与计算机图形学 2 3 1 计算机图形学 计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 是利用计算机研究图形表示、生成、处理、 显示的学科。主要研究将点、线、面、曲面等实体生成物体的模型存放在计算机里，并 可进行修改、处理、操作和显示的一门学科。计算机中图形表示以及利用计算机进行图 形的计算、处理和显示的相关原理与算法，构成了计算机图形学的主要研究内容。 计算机图形学的研究内容非常广泛，如图形硬件图形标准、图形交互技术、光栅 图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及科学计算 可视化，计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。为得到真实感图形，必须建立图形 所描述的场景的几何表示，再用某种光照模型计算在假想的光源、纹理、材质属性下的 光照明效果，所以，计算机图形学与计算机辅助设计有着密切联系 2 3 2 图像处理【l 】 图像处理( 也称之为画面处理) 进行的确实与计算机图形学相反的过程：是基于画 面进行二维或三维物体模型的重建，在很多场合都是十分重要的。如高空监测摄影、宇 航探测器收集到的月球或行星的慢速电视图像、从工业机器人的”眼”中测到的电视图 像、染色体扫描，断层扫描、指纹分析等，都需要图像处理技术概括地讲，数字图像 处理主要包括如下几方面的内容：图像变换，图像增强、图像编码域压缩，图像复原， 图像重建，图像识别以及图像理解 一、图像变换 图像变换是图像处理和图像分析的一个重要分支，它采用各种图像变换的方法，如 傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换等间接处理技术，将空间域的处理转换为变换 域处理，可获得更有效的处理图像变换是许多图像处理和图像分析的技术基础，是图 像增强、图像复原的基本工具，也是图像特征提取的强有力的支持和重要手段。当前新 兴研究的小波变换在时域和频域中都具有良好的局部化特性，它在图像处理中也有着广 泛而有效的应用 二、图像编码压缩 图像编码压缩技术可减少描述图像的数据量( 即比特数) ，以便节省图像传输、处 理时间和减少所占用的存储器容量压缩可以在不失真的前提下获得，也可以在允许的 失真条件下进行编码是压缩技术中最重要的方法，它在图像处理技术中是发展最早且 比较成熟的技术 浙江大学硕士学位论文 9 三、图像增强和复原 图像增强和复原的目的是为了提高图像的质量，如去除噪声，提高图像的清晰度 等。图像增强不考虑图像降质的原因，突出图像中所感兴趣的部分。如强化图像高频分 量，可使图像中物体轮廓清晰，细节明显；如强化低频分量可减少图像中噪声影响。图 像复原要求对图像降质的原因有一定的了解，一般讲应根据降质过程建立”降质模型”， 再采用某种滤波方法，恢复或重建原来的图像。 四、图像分割 图像分割是数字图像处理中的关键技术之一图像分割是将图像中有意义的特征部 分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘，区域等，这是进一步进行图像识别、分 析和理解的基础。虽然目前已研究出不少边缘提取、区域分割的方法，但还没有一种普 遍适用于各种图像的有效方法因此，对图像分割的研究还在不断深入之中，是目前图 像处理中研究的热点之一。 五、图像描述 图像描述是图像识别和理解的必要前提作为最简单的二值图像可采用其几何特性 描述物体的特性，一般图像的描述方法采用二维形状描述，它有边界描述和区域描述两 类方法。对于特殊的纹理图像可采用二维纹理特征描述。随着图像处理研究的深入发 展，已经开始进行三维物体描述的研究，提出了体积描述，表面描述、广义圆柱体描述 等方法 六，图像分类( 识别) 图像分类( 识别) 属于模式识别的范畴，其主要内容是图像经过某些预处理( 增 强、复原，压缩) 后，进行图像分割和特征提取，从而进行判决分类图像分类常采用 经典的模式识别方法，有统计模式分类和句法( 结构) 模式分类，近年来新发展起来的 模糊模式识别和人工神经网络模式分类在图像识别中也越来越受到重视。 数字图像的方法种类繁多，根据不同的分类标准可以得到不同的分类结果例如根据 对图像作用域的不同，数字通向处理方法大致可分为两大类，印空域处理方法和变换域 处理方法。 一、空域处理方法空域处理方法是指在空问域内直接对数字图像惊醒处理。在处 理时，既可以直接对图像各像素点进行灰度上的变换处理，也可以对图像进行小区域模 板的空域滤波等处理，以充分考虑像素邻域像素点对其的影响，通常来讲，空间域处理 算法的结构并不算太复杂，处理速度也还是比较快的，这种方法是把图像看做是平面中 各个像素组成的集合，然后直接对这一二维函数进行相应的处理，空域处理法主要有以 下两大类： 1 0 第2 章图像概论 邻域处理法，图像像素的某一邻域进行处理的方法。如均值滤波法、梯度运算、 拉普拉斯算子运算、平滑算子运算和卷积算子运算。 点处理法，指对图像像素逐一处理的方法。例如，利用像素累积计算某一区域面 积或者某一边界的周长等。 二、交换域处理方法【2 】 数字图像处理的变换域处理方法首先是通过傅里叶变换、离散余弦变换，得到变换 域系数阵列，然后在变换域中对图像进行处理，处理完后再将图像从变换域反交换到空 间域，得到处理结果。由于变换域的作用空间比较特殊，不同于以往空间域处理方法， 因此可以实现许多在空间域中无法完成或是很难实现的处理，广泛用于滤、编码压缩等 方面由于各种变换算法在把图像从空问域向变换域进行变换以及变换中均有相当大的 计算量，所以目前虽然也有许多快速算法，但变换域处理算法的运算速度仍受变换和反 变换处理速度的制约而很难提高，着类处理包括滤波、数据压缩及特征提取等。 2 3 3图像处理与计算机图形学的区别和联系【1 1 虽然计算机图形学和图像处理目前仍然是两个相对独立的学科分支，但他们的重叠 之处越来越多它们都是用计算机进行点、面处理，都使用光栅显示器等。在图像处理 中，需要用计算机图形学中的交互技术和手段输入图形、图像和控制相应的过程。在计 算机图形学中，也经常采用图像处理操作来帮助合成模型的图像。图形和图像处理算法 的结合是促进计算机图形学和图像处理技术发展的重要趋势之一，归结如下图所示： 赫髦蹙伊 强f 毪玉妇，、 i 7 i ，i 。ti ：疆疑琏誓j ，蹙；试疆i 图2 1 ：计算机图形与图像处理之间的联系与转换 瞄罨：分幽 一c 。气；曼) j 第3 章基于小波分析的数字图像处理方法 3 1 小波概述 二十世纪八十年代，随着专家，学者近三十年的研究和积累，小波成为当前数学中 一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义，在数学家们 看来，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和 分析、数值分析的最完美结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音分析 以及众多非线性科学领域，它被认为是继f o u r i e r 分析之后又一有效的时频分析方法。 傅里叶变换没有任何时频局部化的作用，它不能获得信号的局部特性，不能用于局 部分析。为了克服傅里叶变换的不足，人们引入了加窗傅里叶交换，即利用一个窗函数 作用于信号函数，然后再进行傅里叶变换。一般地，窗函数和它的傅里叶变换都具有快 速衰减性，从而分别对时域信号和频域信号起到一个局部化的作用在实际信号分析 中，若要观察分析局部时域的高频信号特性，应该选取较窄的时间窗，并希望相应的频 率窗较宽，以便包含更多的频率信息。同样地，若要分析局部时域的低频信号，应该选 取较宽的时间窗，并希望相应的频率窗窄些。然而加窗傅里叶变换的时一频窗的形状和 大小是固定的，对变化着的不同时间段的信号只能用相同的窗，所以它不能适应信号频 率高低的不同要求，其限制了它在精细分析方面的应用为了保留其优点，克服不足， 人们试图寻找一种理想的正交函数系，用它们来作变换时能够保留傅里叶变换及其反演 的性质，并要求变换的基函数及其傅里叶变换具有快速衰减的性质，还希望相应的时频 窗是可调的。这个理想的变换函数就是小波函数在小波变换中，小波函数的伸缩和平 移表现了它对信号不同频率和不同时问位置的限制。它提供了一种时一频局部化分析， 而且时一频窗在整个时一频平面上移动时，对于高频信号，窗会自动变窄；对于低频信 号，窗会自动变宽。从理论上讲，凡传统上能使用f o u r i e r 分析的地方，都可用小波分 析来代替。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统f o u r i e r 分 析的不足，而且由于它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的 任意细节，因此小波分析具有”数学显微镜”的美称【4 】【5 】 小波分析与f o u r i e r 分析的本质区别在于：f o u r i e r 分析只考虑时域和频域之间的一 对一的映射，它以单个变量( 时间或频率) 的函数表示信号；小波分析则利用联合时间一 尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的区别在于：时频分析在时频平面上表 示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上， 而是在所谓的时间一尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号， 1 1 1 2第3 2 基于小波分析的数字图像处理方法 这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。 小波分析涉及到方方面面的学科交叉，数学家和工程师们的努力使得小波理论趋近 成熟。数学家论证了小波函数的存在性，研究了小波生成和特性以及与奇异积分算子理 论之间的联系，创造性的开创了一个新的分支。物理学家给出了它在理论物理，量子场 论中的物理意义。工程界则将它迅速应用到信号区间小波多小波及其在图像处理中的应 用研究和图象处理，模式识别等方面。 3 1 1 小波的发展历史 小波的起源可追溯到二十世纪初，1 9 1 0 年h a a r 提出了规范正交小波基的思想，构 造了紧支撑的正交函数系h a a r 函数系，这是最早的小波基，但当时并没有出现”小 波”这个词 1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 分析建立了二迸制频率分量分组理论：对频 率按2 进行划分，其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思 想的最早来源 1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换( 或称短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变 换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这个问题。随后，c a l d e r o n ，z y g m u n d ，s t e m 和w e i s s 等人将l p 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。1 9 6 5 年 c a l d e r o n 给出了再生公式 1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对一维耶空间和高维坼空间给出了原子分解。 1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用他最先提出的再生公式给出了抛物型绑的原子分解，这一 公式现在成为许多函数分解的出发点，其离散形式己接近小波展开。而后许多数学家本 着实际问题的不同目的，给出了各自函数空间上的”原子分解”、”分子分解”、”拟正交 分解”，”框架分解”等。 1 9 7 6 年，p e e t r e 在用l p 方法给出b e s o v 空闻统一描述的同时，引入b e s o v 空间 的一组基，其展开系数的大小刻画了b e s o v 空间本身。 1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 通过对h a a r 正交基的改进，引入了s o b o l e v 空间h 的正交 基。这些工作为小波分析奠定了基础。 1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质数据时基于群论首先提出了小波分 析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念m o r l e t 最先提出的是形状不变的小波，因为在分析 函数( 信号) 时，加窗f o u r i e r 变换并不具有形状。m o r l e t 方法所取得的数值分析的成功 不仅激发了m o f l e t 本人对小波分析进行深入研究，而且也大大鼓舞了法国理论物理学 家g r o s s m a n n ，于是他们携手共同研究小波理论 浙江大学硕士学位论文 1 3 1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首次提出光滑的正交小波基，后来被称为m e y e r 基，对小波理论作出了重要的贡献。 1 9 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想 1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 构造出具有紧支集的光滑正交小波基一 d a u b e c h i e s 基，为小波的应用研究增添了催化剂，也正因此，d a u b e c h i e s 名扬世界。 1 9 8 8 年m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出 多分辨分析 6 - 8 j 的概念，用多分辨分析来定义小波，从尺度函数出发构造出了正交小波 基，为此前各种小波基的构造建立了统一的框架。另外将离散小波变换与d a u b e c h i e s 紧支正交小波相结合提出了m a l l a t 塔式分解算法，为离散小波变换建立了快速算法，并 把它应用到图像处理中 9 - 1 1 】m a l l a t 算法的作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t 算法。m a u a t 算法的提出宣告了小波分析从理论研究阶段走向应用研究阶段。随着小 波理论和实际应用的进一步结合，人们逐渐认识到小波各种性能的重要性。小波的主 要性能指标包括：对称性线性相位、紧支撑有限冲激响应( f i r ) 、消失矩和正则性 等。两带正交小波无法同时满足这些性质( h a a r 小波除外) ，c o h e n 、d a u b e c h i e s 和 f e a u v e a u 放宽正交性要求，构造了两带双正交小波，其中分析与合成滤波器不同，但 满足精确重构条件( 或称为双正交条件) 。 1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠将其推广为有限冲激响应和无限冲激响应互为对偶的非 正交滤波器库形式，构造了最小支撑的线性相位的样条小波族 5 ，1 2 】。同年，b e y l k i n 和c o i f m a n 等将小波变换应用于算子理论 1 9 9 1 年，j a f f a r d 和l a u r e n c o t 将小波变换应用于偏微分方程数值解。 9 0 年代初期，小波理论的一个重大发展是w i c k e r h a u s e r 和c o i f m a n 等提出的”小 波包”的概念【1 3 】，它对信号频带的划分突破了小波等q 划分的限制，不仅对低通分量 作分解，同时也对高通分量作分解，从而可以聚焦到感兴趣的任意频段，使对信号的分 析更加灵活方便但是，小波包分析要解决的问题是最优基的选择和信号的自适应最优 表示 1 9 9 2 年，d o n o h o 等提出了”内插小波”的概念【1 4 】，他们把正交小波的细分过程 和对称迭代内插泛函相结合【1 5 1 ，将s a t i o 和b e y l k i n 利用正交小波的自相关函数多尺 度分解和d u b u c 提出的二进l a g r a n g e 对称迭代内插泛函联系起来，使小波的构造更为 灵活简单内插小波的重要作用是可以有效地消除所谓的m a l l a t 误差。在该类小波系数 中，低通分量完全依赖抽采算子得到，细节分量则依赖多项式内插估计与采样值的差分 运算，因此计算过程及其简单，为大量的并行计算提供了可能。由于信号的长度都是有 限的，在进行处理时必须先对信号进行延拓，否则会造成边界效应。 1 4第3 章基于小波分析的数字图像处理方法 1 9 9 3 1 9 9 4 年，许多学者从