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太原理工大学硕士研究生学位论文 带有一个适应递增滤子的随机环境分枝过程的渐近行为 摘要 k l e b a n e r ( 1 9 8 4 ) 研究了依人口数的分枝过程模型，给出了在大多数情 况下，其人口最终要灭绝的结果。在此基础之上，s a n t a n a 和g a r c i a ( 1 9 8 9 ) 讨论了依人口数和代数的分枝过程模型，并给出了人口数能平衡于两个已 知数之间的条件。但是，随着随机环境分枝过程的建立和发展，其结论的 应用受到了一定的限制。将依人口和代数分布的模型推广为带有一个适应 滤子的随机环境分枝过程弥补了这一缺陷。 沿用s a n t a n a 和g a r c i a ( 1 9 8 9 ) 的想法，本文仅考虑j a g e r s 和l u ( 2 0 0 2 ) 及l u ( 2 0 0 7 ) 提出并讨论的随机环境适应于一个渐增滤子的随机环境分枝过 程模型，即随机环境 。) 适应一个渐增滤子锣。) 的随机环境分枝过程 乙) 的 情形。这里瓦：= 仃( z 。，z 。；号0 ，亏。) ，即溉 w e 含分枝过程本身的历史及其 它影响环境的条件。其中取非负整数值的随机变量z 。代表某类人口第n 代 的个体数目( 即人口数) ，眠) 表示第n 代除了人口数之外的其它随机影响 因素，故我们可以假设其取值独立于 乙) 。也就是说，对于每一个固定的n ， 渐增滤子瓦是一个由其历史包括第n 代的人口数和其它影响因素所生成的 一个仃域。在这种情形下，本文所作的主要工作为： 1 讨论了过程 z 。) 的灭绝概率。 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 给出了p k 一) = 0 的两个充分条件。 3 给出了过程 乙) 的渐近行为。 4 给出了人口数稳定平衡于两个已知数之间的充分条件。 关键词：随机环境分枝过程，适应渐增滤子的随机环境，人口数的平衡， 渐近行为 i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 a s y n 伊t o t i cb e h a v i o ro nb ra n c h i n gp r o c e s s e s m t hr a n d o me n v i r o n m e n t sa d a p t e dt o a ni n c r e a s i n gf i l t r a t i o n a b s t r a c t a si sw e l lk n o w n ，i nm o d e l sw h e r et h eo f f s p r i n gd i s t r i b u t i o nd e p e n d so n l y o nt h ep o p u l a t i o ns i z e ( p o p u l m i o n - s i z e d e p e n d e n tb r a n c h i n gp r o c e s s e s ) ，u n d e r m o s tc o n d i t i o n se x t i n c t i o ns u r e l yr e s u l t sa c c o r d i n gt ok l e b a n e r ( 19 8 4 ) o nt h e b a s i c ，s a m t a n aa n dg a r c i a ( 19 8 9 ) d i s c u s s e dab r a n c h i n gp r o c e s sw h i c ht h e o f f s p r i n gd i s t r i b u t i o nd e p e n d so nb o t hp o p u l a t i o ns i z ea n dg e n e r a t i o na n dg a v e c o n d i t i o n so nw h i c ht h eb a l a n c eo ft h ep o p u l a t i o ns i z es t a b i l i z e s b u tw i t ht h e b r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t ss e t t i n gu pa n dd e v e l o p i n g ，w h i c h m a k e st h ea p p l i c a t i o n so ft h ec o n c l u s i o ng e tc e r t a i nr e s t r i c t i o n t h i sd e f e a tw i l l b er e m e d i e db yr e p l a c i n gt h ep o p u l a t i o np r o c e s sw i t ho f f s p r i n gd i s t r i b u t i o n d e p e n d i n go nb o t hp o p u l a t i o ns i z ea n dg e n e r a t i o nw i t ht h eb r a n c h i n gp r o c e s si n r a n d o me n v i r o n m e n t sa d a p t e dt oa ni n c r e a s i n gf i l t r a t i o n f o l l o w i n gt h e i d e a so fs a n t a n aa n dg a r c i a ( 19 8 9 ) t h em o d e lo ft h e g a l t o n w a t s o n b r a n c h i n gp r o c e s s i nr a n d o me n v i r o n m e n t s a d a p t e d t oa n i n c r e a s i n gf i l t r a t i o na ss t a t e di nj a g e r sa n dl u ( 2 0 0 2 ) o rl u ( 2 0 0 7 ) i sd i s c u s s e di n t h i sp a p e r , w h e r et h er a n d o me n v i r o n m e n t s f 。) i sa d a p t e dt oa ni n c r e a s i n g f i l t r a t i o n 慨) h e r e 宅：= c r ( z 0 ，一，乙；芎o ，亏。) ，i e i tc a ni n c l u d et h eh i s t o r i c a lo f t h eb r a n c h i n gp r o c e s si t s e l fa n do t h e ri n f l u e n c eo fe n v i r o n m e n t s w h e r et h e n o n n e g a t i v ei n t e g e r - v a lu e dr a n d o m v a r i a b l e z ，r e p r e s e n t s t h en u m b e ro f i n d i v i d u a l s ( i e p o p u l a t i o ns i z e ) i nn t hg e n e r a t i o nf o rs o m ec e r t a i np o p u l a t i o n ， t h a ti s ，f o re v e r yf i x e dn ，t h ef i l t r a t i o n 瓦i sad f i e l d g e n e r a t e db yt h eh i s t o r y o ft h e p o p u l a t i o n s i z ep r o c e s si t s e l fa n do t h e r e x o g e n o u si n f l u e n c ec o m p o n e n t su pt oa n di n c l u d i n gt h i sn t hg e n e r a t i o n t h e m a i n w o r k sm a d ei nt h i sk i n do fs i t u a t i o no ft h ep a p e ra le ： 1 d i s c u s s e dt h ee x t i n c t i o np r o b a b i l i t yo f p r o c e s s 乙) 2 p r o v i d e dt w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f 尸 乙专0 0 = 0 3 p r o v i d e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fp r o c e s s 乙) 4 p r o v i d e dt h es u f f i c i e n tc o n d i f i o no ft h ep o p u l a t i o ns i z eb a l a n c e sb e t w e e n t w og i v e nv a l u e s k e yw o r d s ：b r a n c h i n g p r o c e s s e n v i r o n m e n t sa d a p t e dt oa ni n c r e a s i n g a s y m p t o t i cb e h a v i o r i v i nr a n d o me n v i r o n m e n t s ；r a n d o m f i l t r a t i o n ；b a l a n c eo fp o p u l a t i o ns i z e ； 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：互塑垂壁五日期：型坌：笸：笸 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 导师签名： 多巾叶 日期：塑壁! 签：墨 日期： 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章引言弟一早jii 为了讨论英国贵族姓氏继承与谱系消亡问题，g a l t o n 和w a s t o n 在1 8 7 3 年建立了一 种新的随机过程模型，此模型即为经典分枝过程模型( g a l t o n w a s t o n 过程) 。从此以后， 分枝过程的研究就倍受国内外学者的关注。由于在g a l t o n w a s t o n 经典分枝过程中假设 不同的个体全部遵循同样的分布律或具有相同的概率母函数，这种时齐性的假设与自然 界中的物种繁衍过程大部分受个体间的相互作用以及其它因素影响相矛盾，这就使得 g a l t o n w a s t o n 经典分枝过程的应用受到一定的限制，于是各国学者经过潜心研究并结合 实际规律相继提出了更一般的分枝过程模型。其中w i l k i n s o n 在1 9 6 7 年和s m i t h 在1 9 6 8 年先后提出了随机环境分枝过程( b r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t s ) ，而后 他们于1 9 6 9 年建立了独立同分布环境的随机环境分枝过程。该模型中的随机环境为一 个独立同分布的随机序列，各代个体的繁衍概率分布是根据这个随机序列的取值而确定 的，但同代各个体的繁衍概率分布都是相同的。此后他们还在1 9 7 1 年提出m a r k o v 随机 环境分枝过程。同年，a t h r e y s 和k a r l m 建立了平稳遍历过程的随机环境分枝过程。随 机环境分枝过程的产生恰好弥补了g a l t o n w a s t o n 经典分枝过程时齐性假设所造成的不 足。 然而，上述几类随机环境分枝过程虽然克服了经典分枝过程时齐性假设的缺陷，但 它们的共同缺点却在于它们都独立于分枝过程本身，即与人口数和代数无关。而在自然 界中，有许多物种其人口的发展必然要受到其生存的环境及资源的影响。在某种条件下， 当个体数目增加过快时，可能导致环境恶化的发生，这就必然会影响人口的再生产。鉴 于以上原因，k l e b a n e r 于19 8 3 年将随机环境分枝过程中的随机环境取成分枝过程本身， 提出了依人口数分枝过程( p o p u l a t i o n s i z e d e p e n d e n tb r a n c h i n gp r o c e s s e s ) 。并给出了大 多数情况下，人口最终要灭绝的结果。随后，s a n t a n a 和g a r c i a ( 1 9 8 9 ) 又讨论了依人 1 3 数和代数分枝过程模型( ap o p u l m i o np r o c e s s e sw i t ho f f s p r i n gd i s t r i b u t i o nd e p e n d e n t o i lb o t hp o p u l m i o ns i z ea n dg e n e r a t i o n ) ，给出了人口数稳定平衡于两个已知数之间的条 件。上海大学王汉兴于2 0 世纪末在依人口数的分枝过程中再引入一个独立于分枝过程 本身的随机环境，形成了所谓的带有随机环境的依人口数的分枝过程 ( p o p u l m i o n s i z e d e p e n d e n tb r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t s ) 。2 0 0 2 年j a g e r 太原理工大学硕士研究生学位论文 和l u 首次提出了所谓的带有一个适应渐增滤子随机环境的分枝过程( b r a n c h i n g p r o c e s s e sw i t hr a n d o me n v i r o n m e n t sa d a p t e dt oa ni n c r e a s i n gf i l t r a t i o n ) 模型。 本文主要考虑的是j a g e r s 和l u 在2 0 0 2 年提出的并在2 0 0 7 年再次讨论过带有一个 适应渐增滤子随机环境的分枝过程模型，即随机环境 。) 适应一个渐增滤子慨 的随机 环境分枝过程 乙) 。其中取非负整数值的随机变量 z 。) 代表某类人1 2 1 第n 代的个体数 目( 即人1 2 1 数) ，随机变量 乓。) 表示除了人口数之外的其它随机影响因素，故我们可以 假设其取值不依赖于 z 。) ，且笤。7 - 仃( z 。，z 。；号。，亏。) 。也就是说，对于每一个固定 的1 1 ，渐增滤子瓦是一个由其历史包括第n 代的人口数和其它影响因素所生成的一个仃 域族。由于环境 。) 适应于渐增滤子，故对每个n = l ，2 ，存在靠2 伽“可测函数， 并使得 为引入的一随机环境，对于每个甩，当给定所有 。，z 。 以及 x j ) ( o m 为 乙) 本身，则为一种新的分枝 过程模型，即依人口数的分枝过程( p o p u l a t i o n s i z e d e p e n d e n tb r a n c h i n gp r o c e s s e s ，简 记为p s db p ) ( 见 1 ) 。 当后代分布同时依赖于人口数和代数时，则称为依人口数和代数分枝过程( a p o p u l a t i o np r o c e s sw i t ho f f s p r i n gd i s t r i b u t i o nd e p e n d i n go nb o t l lp o p u l a t i o n s i z ea n d g e n e r a t i o n ) 。 定义3 设 乙) 为取非负整数值的随机变量序列且 耻b 珀z 刎n = 0 p 州( 七) = 尸( 以。( 七) = f ) 其中乙表示第，l 代的人口数，x 彤( 七) 表示第刀代的人口数为k 时，其第个个体的后代 数。当 和七固定时，随机变量x 聊( 后) 是独立的，具有依赖于刀和七的同样的分布。( 七) 表示第玎代的人口数为k 时一个个体有f 个后代的概率。这样的模型就是依人口数和代数 的分枝过程( 见 2 ) 。 定义4 带有一个适应滤子的随机环境分枝过程( b r a n c h i n gp r o c e s s e s 晰t l lr a n d o m e n v i r o n m e n t sa d a p t e dt oa l li n c r e a s i n gf i l t r a t i o n ) ( 见 4 ) 。 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 记瓦：= o ( z 。，乙；毛。，号。) ，其中z 。表示第门代的人口数， 芎。) 和 z 。 相互独立， 可见瓦c 瓦+ 即 瓦 是一个单调不降滤子。再设随机环境 g 。) 适应于髋) ，即对每一个 = o ，1 ，2 ， 。均为瓦可测。此时存在2 ”1 可测函数岛使对每一个刀= o ，1 ，2 ，有 。：= g 。( z 。，z 。；亏。，亏。) 。可见 。中既包含有过程 z 。) 自身历史的信息又包含其它与 过程无关的影响因素。即 ( 1 ) 设 亏。) 为独立同分布随机变量序列且与 乙) 相互独立。若。= 芎。时，则相应于 s m i t h - - w i l k i n s o n 随机环境分枝过程。 ( 2 ) 若。= z 。时，则相应于依人1 3 数分枝过程( p o p u l a t i o n s i z e d e p e n d e n tb r a n c h i n g p r o c e s s e s ) 。 ( 3 ) 设亏。= ，z 时，若 。= g 。( z 。，n ) 时，则为s a n t a n a 和g a r c i a ( 1 9 8 9 ) 的依人口数和代 数的分枝过程模型。 2 2 相关定义及定理 定义5 设( q f ，p ) 是一个概率空间， e ：”= 0 ，1 ，2 ，) 是包含于，的子d 一域的渐增 序列，即e ec _ f则 吒：，z = o ，1 ，2 ，) 是一个滤子。 定理l 设x 是f 上的有界上鞅，s u p e o x 。1 ) 0 0 则x 。_ l i m 。x 。a s 存在且 有限。 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 1 本文的数学模型 第三章数学模型 本文考虑的数学模型为 z 。) 为随机环境 o l j = l 其中x j ( 。) 表示当环境是 。时，其第”代第歹个个体的子代数目。对于己知的。， x ，( 。) ) ，= 1 , 2 ，乙是独立同分布的( i i d ) 的随机变量，并具有一般的概率母函 数( p g f ) 九。( s ) = - , - - o p ( 。) s 。，o 【o ，1 】) ，其中见( 。) 表示第”代每个个体生产f 个子代 的概率，也就是说，对于，甩o ，1 ，p ( 。) = p x ( 。) = f ) 。 3 2 记号 为方便记，我们令z o = 1 ，并介绍下列记号： p 。( 。) 0 ) 表示第刀代每个个体生产i 个子代的概率； p 。( 。( 七) ) 0 0 ) 表示第刀代人口数为j | 时每个个体生产i 个子代的概率； f 。( 七) ：= 。l z 。；i ； ，。( 尼) _ 。i 乙一：乙：女( ，刀) ； 或( 七) 一仃( b nn z 。= 尼) ) ； 蜀。( 七) - 仃( 笤。n z ，= = z 。= 后) ) ( ， ) ； “) ( s ) ：= 莓。只( ( 枷。； 。) ( s ) ：= 莓。见( “尼) ) s ； 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 p 厶：= ( p ；( 1 ) = e 【j j ( g 。) i 瓦】； 厶( d ：= 9 0 ( ”( 1 ) = e 【( f 。) i 瓦( 七) 】； j u 啡) ：= e 【p “t ) 】2 e 【x ( 。( 七) ) ，其中x ( 。( 七) ) - x ，( 。) lz ，七； 心- e p 厶】 显然，我们能得到： ( 口) g 。= g 。( z 。) ， 。( 七) = 。( 后) ， g 乙( 七) = 亏朋( 七) ， 蜀。( 尼) c 邑( 后) c 零- ： ( 6 ) a 唯) = e 【厶l 乙】e 【( 乙) 】= e 咄】= 1 。； ( c ) j 。= e 【e 【i z 。】 = 二e 魄陬= 七】p 乙= 七) = ：。以以乙= 七) = e 【以( z ) 】； ( d ) 如果f 。= g 。( z o ，一，乙，亏o , - - - , 亏) ， 则有 。( 七) = g 。( z 0 ，如，后，毒o , - - - , 孝。) ， ，。( 七) = g 。( z o ，z ，l ，七，k ，芎o ，芎。) ； ( p ) 对每一个固定的j j ， = l i m 。以乙= 0 ) 。 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 定理1如果3 c 。， 0 ，对v n + ，k n 都有 e p o ( 。( 尼) ) 】 c 。且g o o ， n = 0 则有灭绝概率q 。 又由于 所以有 所以 证明：由 尸 z 州= o l 乙= 七) 2 e p z ，+ 。= o l z 。= 七，笤。) = e 【p 乙+ 。= 0 l 瓦( 后) ) 】 = e l p 。( g 。( 七) ) 。】， 以z 0 = o ) = o p z 州= o ) = 尸 乙= 七) 以乙+ 。= o l z = 七) k = 0 = 尸 乙= o ) + e z 。= k p z 川= 0 l 乙= 七) k = l = p 乙= o ) + 尸 乙= k e p 。( 。( 尼) ) 】 1 = i e z 。= o ) + c 。e z 。= 后) e z 。= o ) + c n 七= i o 。 r = 0 月一1 q = l i m 。一p z 。= o ) l i m 。一c ，= c ， 。 定理2 如果有两个正整数和k o ，当 且k k o 时， 都有卢厶( i ) 1a s ，那么就有以乙一) = 0 。 证明：记 注意到呒o r 2 去， 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 e 【形i 零n - i e 【。b - i b 】 e 【形i = e 【l 】 心。心。i ：j e z 。l 瓦q 】 p ( o p 厶一l = i 击_ e 【：1 一( o ，) i 钆】 j l l f 。p 铀 一”1 。 。 ：_ j _ 乙。 = 么。l “， 如“ ：墨l ：一。伽2 1 ) ， 卜t p n 由此可知， 的非负鞅。因为 既) 是鞅，故可推出存在一随机变量 形 口s 满足一形口s 所以，以_ ) = 0 。 现在令h 。- ：z 。一) ，注意到， h 。= ( 胃。n ( 0 ：m 厶 ) ， 我们能看到日。n 国：兀p 厶 1 ，又注意到条件 n = o 是存在正整数和k o 对所有 nnk ，都有p “( i ) l ，所以对任意的n 必然存在 刀n ，使得乙 r o 总有： x 。 币瓦m 丽 所以，当刀足够大时，对v m 0 则有： e 【以】e 【丘l 】币瓦m 丽吼】m ， 这显然与已知条件l i m e x 。】= c ，n ，e u 。( 纠0 是显然的。 e u 。( ，) i 瓦。】= e 【瓦。】 2 丧即删 2 表球跏j 忆础枉j 太原理工大学硕士研究生学位论文 ：兰血垫垫生 砭投b ， 所以由条件( 1 ) ，对n ，n 我们有 e u 。u ) 】= e e 以( ，) l 或一，】 划礓警， 。雨1 石e 乙- 1 忆碱阳一 带羔瞩j ，胁 n ：j l l 偏) 一q 旧z 尚广 = e 甏， e 甏， = e 【u 。d ( ，) 】 也就是说，对每一个固定，2 n ，e 【u “) 】) 关于疗是递减的，并且有下界0 。所以， l i m 。一。e 【u ( 纠必然存在。 往, - m ，。e w ，| 0 ，对每一个固定，n ， 瓯u ) 是一个非负随机变量序列。所以对任意固定 ，n ，由引理1 可得，l i m 。一u 。( ，) 0 0 口j 。 现在仍令h 。- ：z 。哼0 0 ) ，那么在h 。上必然存在7 0 n ，对v n j o 都有z 。七。 成立。所以对v 玎 ，都有，n = ：k 域 2l 。而且注意到条件( 2 ) h 2 ，一( b ) a o ，我们知 道在日。上i m 。一玑c ，o ，= ，曲。一三手差要三芦= 。这与己证明的结论对任意固定 ，n ，l i r a 。u 。( ，) 0 0口j 相结合，就证明了我们想要证的留= 以乙专) = 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 引理2 对于任意固定的”和j j ，e 【咖“( j ) ( s ) 】仍是一个概率母函数( p g f ) 。 证明： 令t m ) ( x ) 是随机变量 0 ，对于v o 和v 七k o 都有 j l l ) 1 a b ； ( 2 ) 对v n ，七0 ，都有e 【风( 。( 七) ) 】e 【p 。( 。( 氏) ) k 】，其中e 【p 。( 。( 尼。) ) 】 满足二e p 。( 。( ) ) 。】 0 0 时，对v 七k o 都有卢。( t ) 寸l 一。 证明：由假设 二。e 【p 。( f 。( ) ) b 】 s 且对v n ，七0 ，都有 _ _ 开= u o 。 。 e p 。( 。( 七) ) 】e 【p 。( 。( ) ) 。】。 我们能看到二。e p 。( 。( 七) ) 】 s ，从而有e 【风( 。( 七) ) 。卜争o ，( 刀专) 。注意 到f ( x ) = ， x 0 为凸函数，再由j e n s o n不等式可得0 ( e p o ( 6 。( 尼) ) 】) e 【风( 。( 七) ) 】一0 ，( ，2 一o o ) 。由此可推出 e p o ( 。( 七) ) 】一0( 力寸 ) 。 13 太原理工大学硕士研究生学位论文 另一方面，由条件对于v 疗0 和v 七k o 都有p 厶( i ) l 口j ，我们知道，若后k o ，则对 v n 0 和v s 【0 , 1 】都有： 0 九( - ) ( s ) 一s p o ( 。( 后) ) 口j ， 所以，当刀专0 0 时， v n o 和协【0 ，1 】，都有 0 e 【九( t ) ( 5 ) 】一s e 【p o ( 。( 尼) ) 】丰0 。 因此，对v k k o 当”专o o 时，我们有 e 啦肿) ( s ) 】上j ( 对v s 【o ，1 】其收敛是一致的) 。 注意到 型薯岩趔) ( 1 ) ( 当厶个。时) 由单调收敛足理，则口j 得： 毗“明= e b 燮掣 = l 缸i r a t 。缸1 _ _ ( e i ) ( 1 + 血) 卜e 【) ( 1 ) 】) = d e g 。( t ) ( s ) k 。 由引理2 ，我们知道e 【噍) ( s ) 】是一个p g f ，故可记： e 兜m ) = 九( ) o ) = 岛( i ) ( f s 【o ，1 】 由( 1 ) 和( 2 ) 得： 罢e 九尉删d 2 尤( 1 ) 2 e 蝶尉，( ) 注意到以( 。) ( j ) = 概( 。) ( 咖h 5 o ，1 】 i - - - o 由约定 以( i ) ( 1 ) = 帆( t ) ( f ) 瑚，及幂级数理论知， v n 0 i = 0 咙( i ) ( s ) 在【o ，l 】上连续，且当刀- 时，在【o ，l 】上一致收敛， 从而：骢( t ) ( s ) 仍是连续函数，故有 且骢影。，( f 矽= ! 受f 娥。) ( t ) d t = ! 觋( 屯。) ( s ) 一九( o ) ) = s o = s 1 4 ( 2 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 两边对j 求导可得， l i m 以( ) ( s ) = 1 s 0 , 1 】 月啼 特别的，取s = l ，自然有l i m 戎( 1 ) = 1 。 7 即 ! 受心( t ) 2 。l i m 。e t “i ) 21 现e 畦) ( 1 ) 21 受钱( i ) ( 1 ) 2 1 。 x e h 条件n ( 。( i ) 1a s 可得以( i ) 1 ，故必有卢。( 女) 一1 一。 引理3 如果当0 k k o 且v ，0 满足 ( 1 ) l i m 。p o ( ，。( 尼) ) = 0 a j ， ( 2 )存在7 r t ，n ，0 t i 0 当”n 时都有e p l ( ，。( j j ) ) 7 r t ， 那么p 3 1 ；v n 1 , 0 乙 k o ) = 0 。 证明： p 3 i ；v n 1 , 0 z 。 ) 2 l i m 尸 口 0 乙如。 ) = l i m 以o 乙 七。) u 以o z 州 k o l f ，3 一 o z m 其中e o z 州 k o i f q ( o 乙 j = t k o 一1 ” = 尸 n z ， i i ，t 。= 1j = l k o ) ) p 0 z 川 1 一p f l l z ，= k 。一1 ) l n o z ， 七。) ) j = lj = l = k 。一1 ) | n o z ， k o ) ) p o = ， k 。i n z = i 川 z 川 k 。l n z ，= k 。一1 1 1 j = ， = 一尸t 国t z ，= 七。一，1 0 t 。 z ， 七。， ，一p t 。 z 。+ 。 七。1 0 z j = k o - 1 。 ，= f，= ， l j = ， l 由于已知当0 k k o _ rv t 0 时都有l i l i l 。p o ( ，。( 七) ) = 0 a s 故p o z 川 k o l f q z ，= k 。一1 ) ) j = o 后 h z0 ，i 。n 脚u斟 ，、 p = z0 r t 。n 、l f ， 0 = z ，-t 。n川 ，i p + 太原理工大学硕士研究生学位论文 = e p 0 乙+ ， i n z ，= k 。- 1 ，瓦) 】 = e 【“o z 川 j j 。l 蜀。( 七。一1 ) 】 s e 【p l ( f 。( 七。一1 ) ) k 一1 】+ d ( 1 ) 万b 一1 + o ( 1 ) a s 。 因此p o z 。， 七。n o z j 七。) ) 一 一 1 一e n z = k 。一1 ) i n o z j 七。) ) ( 1 7 r 一。一d ( 1 ) ) ， j t tj = t 所以当刀- , o on 寸，则p o 乙+ 。 后。i n o 乙 七。) ) - - 1 。 j = t 从而 所以 一 兀p o 乙+ 。 i n o z j 七。) ) = 0 ， n = l j = t p 3 i ；v n 1 , 0 乙 k o ) = 0 。 3 4 人口数的平衡条件 定理5 令o k ， 吒， 乙) 是一个随机环境 。) 适应渐增滤子 b 。) 的随机环境分 枝过程。若其满足以下条件 ( 1 ) j ，k o ，且o s 1 ，k o z + ，使得对妇都有e p o ( 。( 七) ) 】- e l m ( 4 。( ) ) 。】， 其中二研风( f 。( 后。) ) b 】 o o ； ( 2 ) 当k 。k | i ：，有：。0 - e i p 。( 。( 例) k 2 ，当，2 时，有p ( ( 。( 七) ) = oa s ；。e p 。( 。( ) ) 扣屯“】 o ，使瓢器 l + 要和 p o ( ( 。( 后) ) e a s 成立 ( 4 ) 当0 k k l ，对v ，o 当玎专o o 时，都有- p o ( 4 ，。( | j ) ) 寸0 丸s ； i e i 3 7 r i ，0 万t 1 ，x f f v n 都有e p l ( ，。( 七) ) 】7 r i ； 】6 太原理工大学硕士研究生学位论文 则有( a ) p z 。一0 ) = g s 1 ； ( b ) e 3 t ；v n ，七1 z 。k 2 ) = l g 证明： 在定理l 中取c 。= e p 。( 。( 后。) ) 】且p - j - 得出结论( a ) 。 为了证明结论( b ) ，我们分以下几步 ( i ) 人口数不能无限次的落于陆。，尼：】之外，即需证明下式 p v t ，3 n l ；k l z 。k 2z 。+ l 譬陆1 ，k 2 b = 0 。 k 因为 p 毛z 。k 2 , z 。+ l 仨陆l ，k 2 矗= 尸 z 。= 尼，z 肿l 仨k ik 2b 羔尸 z 仨陆。，后：】z 。： ：羔研p ( 乙+ 。正 k l , k 2 z ：七，毛) 】 k = k ik = k i = 芝e t e z 川硭k i , k ：】瓦( 尼) ) 】芝研( 1 一p 。( 。( 七) ) ) 1 k = k ik = k i k ， = e ( 1 + p 。( f 。( 后) ) + + p ，( f 。( 后) ) 卜1 ) ( 1 - p ，( 。( 后) ) ) 】 【釜七( 1 一p 。( 。( 七) ) ) 】：羔七( 1 一e 【p 。( 。( 七) ) 】) ， k = k i k = k i 由条件( 2 ) 可得尸眠z 。k 2 , z n + ，碧 k i ，k ：b 艺后( 1 一e 【p 。( 。( 七) ) 】) = 七( 1 _ 研a ( 。( 圳) o o ， 即p v l ，3 n l ；k l z 。k 2 , z 。l 仨陆l ，k 2 b = 0 。 ( i i ) 人口数不能无限次的从大于后：减小为小于七。 为方便，我们用b 表示随机变量x 的期望，由詹森不等式有i 南se 妻 ， 那么 p z 。l = i l z 。= k + 1 )【尸 z 。+ l = f f z 。= k + 1 ，笤。 】 p z 川= i l z 。= 七)e p z 州= f 1 z 。= 七，彰) 】 e e z 。l = f i 零。( 足+ 1 ) ) 】 e g + l p o ( 。( 七十1 ) ) k + l - i ( 1 一p o ( 。( 七十1 ) ) ) 】 =一=-一 e p z 。+ 。= i l 瓦( 足) ) 】e 【c ；p o ( 。( 七) ) 1 ( 1 - p 。( 。( 七) ) ) 】 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 后+ 1 ) e p o ( 。( | | + 1 ) ) k + l - i ( 1 一p 。( 。( 七十1 ) ) ) 。】 ( k + 1 一i ) e p 。( 。( 七) ) 。1 ( 1 一p 。( 。( 七) ) ) 。】 fl 堡坐生坠! 堕坠竺坚塑二鱼坠竺型! i 。厶耻i ( 七+ 1 一i ) p o ( 。( 七) ) 一( 1 一p o ( 。( 七) ) ) l =-。，l-毛。+。，l!：!：；：；：j：i；：；：；!；ii：等i。c后，if 由揪3 肌l 七r o i 毛， 庀+ 1 一z 有 ef。膏，lt 。t + ，lj：!：；：；：!i：)旦pj；：2：；：；j：；p筹i。c后，ll 上。f _ 膏i 厶- + 1 l ( 后+ 1 o ( 。( 七) ) 一( 1 o ( 矿当。 r k 当0 i k l ， p z 剃= 4 乙= j j ) = e c ：p 。( k 2 , 0 z 州 毛= 尸 乙= 尼，乙+ 。= f ) = 以乙+ 。= 4 z 产七) 以乙= 七 = e p z 川= 1 z 。= 七，瓦) 】尸 乙= 后) =e砉。篁pzk=ki = i 肘。= 一零。c 七，p t z 。= 七， ：2 i 。+ 。= ：4 零。( 七) z 。= = 七) l i，+ ll 1 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 = e i q p 。( f 。( 尼) ) 卜( 1 - p 。( 。( 尼)