（应用数学专业论文）奇性抛物型方程的奇性解及初值问题解的大时间性质.pdf

奇性抛物型方程的奇性解及初值问题解的大时间性质 o 1中文摘要 奇性抛物型方程的奇性解及 初值问题解的大时间性质 石佩虎导师：王明新教授 本文研究奇性抛物型方程的自相似奇性解及其相应的c a u c h y 问题解的大对阐性 质全文由三个部分组成 在第一部分，我们考虑形如饥= a u l v u r 和u t = ( u m ) 一u 4 i v u l 9 的带有梯度吸 收项的奇性抛物型方程的自相似奇性解的存在唯一性，并给出了存在自相似强奇性解 的充要条件，其中a u = d i v ( i v u p v u ) 主要方法是相平面分析和打靶法对于方程 铆= a u - u q w u v ，以及1 2 时的p ， l a p l a c e 发展方程，证明了自相似强奇性解具有紧支集并给出了边界层的刻画 第二部分讨论奇性抛物型方程的c a u c h y 问题解的大时间性质我们研究两类 方程u t = ( “) 一u 和u c = u i v u p 的c a u c h y 问题第一类方程带快扩散项 ( ( 1 2 n ) + m 1 ) 且吸收项中指数是临界指数( p = m + 2 加) ，我们证明其c a u c h y 问题解的大时间性质可用其对应的纯扩散方程u = ( u m ) 的b a r e n b l a t t p a t t l e 解并 带有一个对数l o g t 因子来刻画第二类方程带有非线性梯度吸收项，我们证明当初 值满足某种条件时，其c a u c h y 问题解的大时间性质可用强奇性解和自相似解进行刻 画其方法是构造合适而精细的上、下解 在最后一部分，我们考虑方程妣= ( t ”) 一i v t f 的c a u c h y 问题解的有限熄灭， 其中0 p m 1 给出了解熄灭和非熄灭的充分条件 关键词：奇性抛物型方程，梯度吸收项，自相似，奇性解，c a u c h y 问题，大时 间性质，临界指数，有限熄灭 i i 东南大学博士学位论文 o 2英文摘要 s i n g u l a rs o l u t i o n so fs i n g u l a rp a r a b o l i c e q u a t i o n sa n dt h el a r g et i m eb e h a v i o r o fs o l u t i o n so fc a u c h yp r o b l e m s p e i h us h i d i r e c t e db yp r o f e s s o rm i n g x i n w a n g a b s t r a c t t h es e l f - s i m i l a rs i n g u l a rs o l u t i o n sa n dt h el a r g et i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n so f c a u c h yp r o b l e m st os i n g u l a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sa r ed e a l e dw i t hi nt h i sp a p e r t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e ri st o i n v s t i g a t et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s e l f - s i m i l a rs o l u t i o n so f s i n g u l a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hg r a d i e n ta b s o r p t i o nt e r m s s u c h 鹊? a t = a u l v l 5 1 9a n d u t = ( u ”) 一u 。l v u p ，w h e r e a = d i v ( i v u ”1 一2 v u “) s h o o t i n gm e t h o da n dt h ea r g u m e n t s o ft h ep h a s ep l a n ea x eu s e di nt h i sp a r t t h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fs e l f - s i m i l a rv e r ys i n g u l a r s o l u t i o na r eg i v e n f o rt h ee q u a t i o n 毗= u u 9 1 v “l pa n dp - l a p l a c i a ne v o l u t i o n e q u a t i o nu = d i v ( w u l p 一2 v u ) l v u i gw i t h1 p 2 ，i ti sp r o v e dt h a tt h e r e e x i s t sau n i q u es e l f - s i m i l a rv e r ys i n g u l a rs o l u t i o n f o rt h ep o r o u se q u a t i o nw i t h 1 m 2 i ti sp r o v e dt h a tt h es e l f - s i m i l a r v e r ys i n g u l a ri sc o m p a c t l ys u p p o r t e d t h ei n t e r f a c er e l a t i o ni so b t a i n e d t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e ri st os t u d yt h el a r g et i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n s t oc a u c h yp r o b l e m s o f s i n g u l a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s h e r et w oc a u c h yp r e b l e m sa r e c o n s i d e r e d t h e c o r r e s p o n d i n ge q u a t i o n s a r e 毗= ( u ”) 一t 9a n d 饥= a u l v u l p ， r e s p e c t i v e l y t h ef i r s tp r o b l e mi s t h ef a s t d i f f u s i o n ( m 1 ) e q u a t i o nw i t ht h e c r i t i c a le x p o n e n tp = m + 2 i ni nt h e a b s o r p t i o nt e r m t h el a r g et i m eb e h a v i o ro fi t s s o l u t i o n sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yb a r e n b l a t t p a t t l es o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n g p u r i l yd i f f u s i o ne q u a t i o n 地= ( u ”) w i t h al o gtf a c t o rt h es e c o n de q u a t i o nh a s an o n l i n e a rg r a d i e n ta b s o r p t i o nt e r m ，t h el a r g et i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h e c o r r e s p o n d i n gc a u c h yp r o b l e mi sp r o v e dt o b ec h a r a c t e r i z e db yt h es e l f - s i m i l a r 童丝堂塑型杰堡塑童丝竖丛塑笪问墼堡塑盔堕闷丝亟 i i i s o l u t i o n sa n dv e r ys i n g u l a rs o l u t i o nu n d e rs o m ec o n d i t i o n so ft h ei n i t i a ld a t a t h e s u i t a b l ea n ds h a r ps u b - a n d s u p e r s o l u t i o nm e t h o d sa r eu s e dh e r e t h el a s tp a r ti sd e v o t e dt oc o n s i d e rt h ee x t i n c t i o ni nf i n i t et i m eo fs o l u t i o n s t o c a u c h yp r o b l e mu c = “m ) 一l v u p ，u 扛，0 ) b g ( 阱。) ，w h e r e0 p m 1 t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fe x t i n c t i o na n dn o n e x t i n c t i o ni nf i n i t et i m e ”e g i v e n k e yw o r d s ：s i n g u l a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，g r a d i e n ta b s o r p t i o nt e r m s ，s e l f - s i m i l a r ，s i n g u l a rs o l u t i o n s ，c a u c h yp r o b l e m s ，l a r g et i m eb e h a v i o r s ，c r i t i c a le x p o - n e n t s ，f i n i t et i m ee x t i n c t i o n 东南大掌学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文 中特别加以标注和致谢的地方外论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果也不包含为获得东南大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：丕垒! 垂l 丝。日期：q 堑扣 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外允许论文被查阕和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名导师签名丝终日期：璺牛阻f f - 第一章前言 1 1问题来源 很多自然现象和规律的数学模型都可归结为抛物型方程( 组) ，通过研究这些方程 ( 组) 的解韵性质以便更好地理解这些复杂的现象和规律不仅是数学学科本身也是其 他应用科学的一个重要任务二十世纪五十年代发展起来的自相似解因其具有特殊 的时空结构，受到广泛重视，特别是物理学家等应用科学家的重视，很多数学家和应 用科学家如b a r e n b l a t t ，g o l d e n f e l d ，z e l d o v i c h 等都在这方面做了很多的工作【1 卜这 种具有特殊结构的自相似解还可以刻画一大类问题解的中间渐近行为 八十年代，人们发现非线性抛物型方程具有一类奇性很大的解h b r e z i s 和a f r i e d m a n 在文献 5 中对半线性热方程 u t = a u 一妒，( z ，t ) 孵x ( 0 ，o o ) ，( 1 1 1 ) 首先证明了当1 p l + 2 n 时对任意c ( 0 ，o o ) ，方程( 1 1 1 ) 存在满足( ，0 ) = 甜( ) 的唯一奇性解u 。( 。，t ) ，即“。( z ，t ) 是( 1 1 1 ) 的基本解，其中j ( 一) 为d 一函数；而当 p 1 + 2 加时方程( 1 1 ，1 ) 无奇性解不久，h b r e z i s ，l a f e l e t i e r 和d t e r m a n 6 证明了当1 p o 一个奇性解如果还满足 l 。i r a 。岫 o ， 就称之为强奇性解 抛物型方程的基本解是奇性解但不是强奇性解并不是所有的抛物型方程同时 都有奇性解和强奇性解，例如，非线性抛物型方程 u = a u j v uj 就只有基本解而无强奇性解【1 4 1 5 1 自相似解有很多表达形式，有定义为爆破形式的自相似解，有定义为有限熄灭 形式的自相似解本文所说自相似解是指该解“具有表达形式 “( 州) = t - a ，( | z 或者u ( 州) = ( ；) 。门z 睁。4 ) ， 其中，满足某个常微分方程，a 和卢为适当选取的常数一般说来，对方程组很难 找到自相似解 定义1 2 2 函数w ( x ，t ) 称为方程( 1 2 1 ) 带初始条件u ( z ，0 ) = “o ( ) 的c a u c h y 问题 的一个上( 下) 解，如果它满足 f t a w + f ( ) 2 ( s ) o ，扛，t ) r “( 0 ，t ) ， l 切( z ，0 ) ( ) u o ( z ) ，z r 矗 我们说非线性抛物型方程的非平凡解有限熄灭，是指该抛物型方程的求解区域 为n ( 0 ，o 。) 且存在有限时刻? 使得当t t 时对任意。q 均有u ( x ，t ) = 0 1 3所研究的问题 本文研究下面三个方面的问题：( 1 ) 奇性抛物型方程的自相似奇性解的存在唯 一性；( 2 ) 奇性抛物型方程的c a u c h y 问题解的大时间性质； ( 3 ) 有限熄灭对于第 第一章前言 一个问题，我们研究的是带有梯度吸收项的拟线性抛物型方程 t = ( “) 一“q l w l 9 ，( z ，o ) 哩“( 0 ，。) ，( 1 3 1 ) u = d i v ( i v u p - 2 w 1 ) 一i w l 9 ( z ，t ) r “( 0 ，o o ) ， ( 1 3 2 ) 的自相似奇性解的存在唯一性如果吸收项是u - 的形式，则已知的研究结果很多 在第二个问题中，我们讨论两个方程的c a u c h y 问题解的渐近行为，其中一个是 吸收项带有临界指数的快扩散抛物型方程 毗= ( u 4 ) 一u 9 ，( 1 3 3 ) 其中( 1 2 加) + m 0 ，n k 2 0 - 一m ) 时，其相应c a u c h y 问题的解的 大时间性质可用方程毗= ( u ”) 的基本解并带有对数因子l o g t 加以刻画第二个 c a u c h y 问题，其方程是带有梯度吸收项的抛物型方程，即 撕= u 1 w , 1 9 ( 1 3 4 ) 我们证明当p 和初值u o 满足某些条件时相应c a u c h y 问题的解的大时间性质可用其 对应方程的自相似解和强奇性解加以刻画所用的方法是构造适当而精细的上、下 解和一些已有的先验估计 最后讨论带有梯度吸收项的抛物型方程 u c _ ( u “) 一i w l 9 ，( 1 3 5 ) 的c a u c h y 问题的有限熄灭，其中0 p m 1 通过构造具有有限熄灭的上解或者 严格正的下解的方法来证明我们的结论 1 4结构安排 3 全文共分四章接下来的第二章我们研究带有梯度吸收项的拟线性抛物型方程 的自相似强奇性解的存在唯一性，其中对p - l a p l a c e 方程( 1 3 2 ) ，我们分1 0 ，0 1 ，q 1 奇性解的概念首先是由h b r e z i s 和a f r i e d m a n 5 研究热方程 t t = a u 一扩，( z ，t 】兄”( 0 ，o o ) ， ( 2 1 2 ) ( 2 i 3 ) 时引入，他们证明了当l p l + 2 加时，对任意c ( 0 ，o o ) ，方程( 2 1 3 ) 存在满足 u c ( ，0 ) = c d ( ) 的唯一奇性解u 。( z ，t ) ，即u 。( z ，t ) 是( 2 1 3 ) 的基本解，其中6 ( ) 为6 一 函数；而当p2l + 2 n 时方程( 2 1 3 ) 无奇性解后来，h b r e z i s n ，l a p e l e t i e r 和 d t e r m a n 6 】证明了当1 p 1 此外，抛物型方程的奇性解，特别是强奇性解，可用来刻画其相应方程的c a u c h y 问题 解的大时间性态( 至少对含有吸收项驴的抛物型方程是如此) ，如文献 1 0 ，1 1 】，【2 0 】- 2 3 等 对于含有梯度吸收项( 如i v u l p ) 的抛物型方程的奇性解的研究，目前只有扩散 项为( 伊) 且m 1 的渗流方程舱24 】等少数结果本章所赛研究的方程( 2 11 ) ， 和( 2 1 2 ) 就属于这一类型目前，研究强奇性孵的存在唯一性大致有两种方法：第 4 第二章奇性抛物型方程的自相似奇性解 5 一种方法是根据抛物型方程关于尺度变换的不变性，如果方程存在唯一的强奇性解 “( z ，t ) ，则该强奇性解必是自相似且径向对称的因此，解u ( x ，t ) 具有一种特殊的结 构u ( z ，t ) = t - o u ( i z 旷4 ) ，其中d ，乒为依赖于钍，p ，m 或者n ，p ，q 的常数将这种关系 式代入相应的抛物型方程就化为一个常微分方程，再根据强奇性解的定义确定该常 微分方程的边界条件用打靶法证明该常微分方程边值问题解的存在唯一性，如文 献1 6 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ) 等另一种方法是将强奇性解u ( 。，t ) 构造为初值为“c ( ，0 ) = c d ( ) 的 基本解“。t ) 当c - 时的极限，如文献【1 4 在后一方法中，最关键之处在于得 到基本解的存在性，以及基本解与初值珏。( ，0 ) 无关的l o 。估计对于吸收项为舻的 抛物型方程，这一点相对要容易一些，因为利用比较原理就可得到方程的一个上解 u ( = ( ( p 1 ) t ) 一t 一1 1 对于方程( 2 ，1 ，1 ) 和2 1 2 ) ，由于缺少必要的先验估计，所 以本章我们用第一种方法 2 2带非线性梯度吸收项的拟线性抛物型方程的自相似解 本节研究带有非线性梯度吸收项的拟线性发展方程( 2 1 1 ) ，即 及其渗流形式 铆= “一u q l v u l p ，忙，t ) r “( 0 ，。) ( 2 2 1 ) u t = ( ”) 一u q l v u l p ，( z ，t ) r “x ( 0 ，。o )( 2 2 2 ) 的自相似奇性解及其分类，其中p ，q 非负且m 1 当q = 0 时，方程( 2 2 1 ) 就是 h a m i l t o n - j a c o b i 方程【2 8 】或k p z 方程( p = 2 ，见文献 2 9 j ) 当p = g 时，方程【2 , 2 1 ) 就是热方程而( 2 , 2 2 ) 是方程( 2 2 1 ) 在多孔介质情形的推广形式文献【3 0 】研究 了方程( 2 2 1 ) 的解的衰减性质 研究这个模型的一个重要原因就是要找到用于刻划自相似曲面的大时间性质的 尺度变换函数和指数当p = 0 时( 2 , 2 1 ) 和( 2 , 2 。2 ) 分别成为热方程和渗流方程， 它们的自相似模式已由许多作者所建立，见文献【5 ，6 ，2 5 ，2 6 ，2 7 】，【3 1 - 3 4 1 自相似解 可用于刻划相应的柯西问题解的大时间性质，如文献【1 2 ，1 3 ，2 1 等当q = 0 时文献 【2 4 】研究了方程( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的自相似解另外，文献 3 5 1 3 9 】等给出了其它非 线性抛物型方程自相似解的很多好的研究结果 受上述文献的启发，本节研究( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的自相似解的存在性及其这种 特殊模式的细微特征其难点要找到吸收项中两个非线性因子舻和l v u i p 对( 2 , 2 1 ) 和( 2 , 2 2 ) 的自相似解的影响 6 一一一。壅堕盘堂竖圭堂焦堡塞 我们总假设，对方程( 2 2 1 ) ，0 1 成立，而对方程( 2 ，2 2 ) ，0 m l 成立 我们寻找具有如下形式的自相似解 t ( ，t ) = t 一。州。旷4 ) 。 ( 2 2 3 ) 对方程( 2 2 1 ) 而言， a = 褊，卢勺1 ( 2 2 4 ) o 2 砸干知，卢2 互， ( 2 4 ) 非负非平凡函数，( r ) 定义在 0 ，o 。) 上且满足 f t ! + _ n - i ，+ ；r ，+ a ，一f 。j ，7 r ：o ，r o ， ( 2 2 5 ) 其中r = 一1 2 对方程( 2 2 2 ) 来讲， a 2 矿确2 - - p 肛蒜， ( 2 2 6 ) 非负非平凡函数，( r ) 定义在 0 o 。) 上且满足 ( ，“) ”+ ! ! ( ，”) + p r ，+ n ，一f q f ，1 9 ：o ， o ，( 2 2 7 ) 其中r = 蚓t 一4 因为( 3 一m ) p + 2 q 一2 = ( 2 p ) ( 槐一1 ) + 2 扫+ g m ) o ，故( 2 2 6 ) 中的卢 0 由奇性解的定义和( 2 2 3 ) ，如果u 是( 2 1 1 ) 的奇性解，则有 ，l _ i r a 。r 。7 9 ，( r ) = 0 ， ( 2 2 8 ) 如果u 是( 2 1 1 ) 的强奇性解，则 洲l i r a p 肛。上 0 ， ( 2 29 ) 反之，如果u 是( 2 1 1 ) 的自相似( 强) 奇性解，则( 2 2 8 ) ( 或( 2 2 9 ) ) 成立此外， 如果礼卢 n 卢 且m 0 ，( o ) = 0( 2 2 1 0 ) 的初值问题将问题( 2 2 5 ) ，( 2 2 1 0 ) 写成一个等价的积分方程，然后应用标准的 p i c a r d 迭代或不动点定理，可以证明对任意n 0 ，问题( 2 2 5 ) ，( 2 2 1 0 ) 有唯一解 f ( r ) = ，( r ；n ) 设r ( 口) = s u p r 0 ：，( r ) 0 ) 0 ，由( 2 2 5 ) 知，”( 0 ) = 一a a n 0 ， 因此在( 0 ，r ( d ) ) 上，( r ) 0 主要结果如下： 定理2 2 1 假设0 o 对任意 0 ，设，( r ) 是( 2 2 5 ) ， ( 2 2 1 0 ) 的解则下列结论成立： ( i ) 如果2 a 冬n ，即n q + m 十1 ) p n 4 - 2 ，则r ( n ) = 。o 并且熙i n f r 2 。，( r ) 0 ( i i ) 如果2 a n ，即n q + m + 1 ) p 住+ 9 ，则存在0 ( 0 ，o o ) 使得 ( i ) 若。( 0 ，o + ) ，则r ( o ) 0 使得当r _ o o 时 ，p ) = ( o ) r 2 。一“e - r 2 4 1 2 ( 2 a n ) ( a 一1 ) r 一2 + o ( r 一2 ) ) ， ( 2 2 1 2 ) 将( 2 2 5 ) 改写成 f ，= u ， i 儿一孚。一扣，+ ，卟n 。2 1 3 对任意a 0 ，记厶= ( ， ) ：， 0 ，一 ， n 时白是正不变 集，即如果( ，( h ) ， ( n ) ) 厶，则对所有r n ，( 2 2 1 3 ) 的轨线( ，( r ) ， ( r ) ) 均在厶 内 8东南大学博士学位论文 证明因为在，的正半轴上向量场总是进入厶，故只需证明在射线h ：= ( ， ”) 1 ， 0 ，”= 一 ，) 上向量场也进入厶在射线h 上有 苦= 一孚一；一。j 吖川”1 2 一；2 一了一i o 石一，l ”r 一一一i 因此，只要r n ：= 2 ( a 十n a ) ，在h 上就有t ，1 一 证毕口 引理2 2 2 如果r ( n ) = o 。，则当r _ o o 时( ，( r ) ，( r ) ) _ ( 0 ，o ) 证明设0 0 ， 所以必存在e 0 使得在( r o ，r o + e ) 内h ( r ) 0 若还存在r l r o 使得h ( r 1 ) = 0 ，不 妨假设r 1 是第一个这样的点则在( r 1 ) 内h ( r ) 0 类似于对r o 的分析，存在 0 使得在( r l c ，r 1 ) 内h ( r ) 0 ，矛盾因此，当r 1 时只有两种可能； ( i ) ( r ) 0 若 ( r ) 0 ，则当r _ o 。时，( r ) ( n 一1 ) r 一1 4 ，( r ) + = j 。7l - u ，( r ) + r 一即，9 + 。( r ) 一q ，p ) 一l 一口 ( t - 一o ) ，( r ) 0 于是，严格单增且存在某个u 0 使得j 骢，协) = 一u 若u 0 ，则当r 。时 ，( r ) _ 一。矛盾故，0 若 ( r ) 0 ，则当r - 。o 时= 一，( r ) o ，v re ( o 捌嘲 所以9 ( r ) 2 r 2 ”1 ，+ r 2 。，在( o ，兄( n ) ) 上严格单增又j 觋9 ( r ) ；0 ，故9 ( r ) o ，r ( o ，r ( 0 ) ) 由f n ，。为引理2 2 3 所定义极限值并对任意o 0 ，定义如下三个 集合： = 8 0 ：r ( 口) 0 ：r ( 。) = o o 且。= 0 ) ， c = 。 o ：r ( 。) = 。o 且如= 一。) 由引理2 2 3 ，a ，层和c 互不相交且有u 8 u c = ( 0 ，o o ) 暑i 理2 , 2 4 假设对某个。 0 ，r ( ) o 。，则，7 ( r ( 。) ) 0 ， 证明对r r ( a ) ，由( 2 2 5 ) ( r “一1 ，+ ；r “f f + ( 口一；) r o - 1 ，- - n - i ，9 i ，r = o ( 2 2 1 4 ) 从0 到r 对上式积分得 r ”1 f j + j i r “，；( ；一口) z s n - 1 ，( s ) 出+ z s p l ，9 ( 3 ) i f 怕) f ，幽( 2 卫1 5 ) 由于r ( 。) 0 0 ，由( 2 , 2 t 5 ) 知l 姆、，( r ) = ( o ) 存在且七( 口) 墨0 若女( 口) = 0 ，则从r r + 托i a l ，1 九r ) + ；酽m ) = ( 。；) z 丘s n 1 ，( 。) _ d s 一，月s n 一1 ，。( s ) i ，( s ) l d s ( 2 2 1 6 ) 1 0东南大学博士学位论文 用f ( r ) 除( 2 2 1 6 ) 并令r + r 得 l i r a 哿+ 互1 n n ， ：( a 一；) 熙学一l i m 也焉掣坚瑚2 1 7 ) 由于，( r ) 0 ，( 2 2 1 7 ) 右边第一个极限为0 下面要证( 2 2 1 7 ) 右边第二个极限也 为0 若g 1 ，注意到，( r ) 0 ，则当r _ r 时有0 铲。f 4 i f 1 如) ，( r ) 伊驴一1 ，9 1 i f 中如_ + 0 同理，如果p 1 ，由罗必塔法则 嬲也铲甜，l_irafrr 蜘凇妒- o lr _ +，i r ) r _ 若0 p 1 ，0 q 1 为了比较，( r ) 和，协) 当r _ + r 时衰减速率，取口：( 1 一q ) v 口 o ，可以证明 对某个0 r 0 0 ，则有0 一，广 0 ，故当r _ r 时 o 害i ，2 ，一，i，出万1再，咒sn一-fq+apfqlf幽 r 。n 一，。+ 印一- d s - + o ， o 卉奇上，- 1中出 万万，s n _ 1幽 ，8 ”1 ，叶印叫d s - + 旺 若 ( r ) 0 ，则f 。 1 ，由罗必塔法则 。 高z r 扩甲矿m s 高产1 ，f j m 一+ 。当r 姐 这就证明了( 2 2 1 7 ) 右边等于0 因此，l 。i r a 。( f ( r ) ，( r ) ) = 一r 2 从而存在r 1 ： 0 0 由于f ( r ) = 0 ， 从而在( r l ，r ) 内f ( r ) e 3 m 4 0 矛盾口 引理2 2 5 对某个a ：0 a i 有a ) ( 0 ，a ) 并且a 为开集 因为4 是由，( r ) 在有限区间( 0 ，r ( n ) ) 内的性质决定的，非线性项不影响解的性 质故可按照文献【2 4 的方法来证明，这里略去其细节 引理2 2 6 对某个5 1 ，8 ( a ，o o ) 且尽为开集 证明首先，注意到对某个r l ，在( 0 ，r 1 ) 内，”( r ) 0 及在( 0 ，r ( n ) ) 内，( r ) 0 ，则存在0 b 0 相应轨线在c - 内，从而o 3 如果结论不对，因轨线从( ，( o ) ， ( o ) ) = ( a ，0 ) 进入c l ，设7 0 是轨线与c 1 边界相 交的第一个交点则f ( r o ) = 一v ( r o ) = i ，( r o ) 1 又p + q 1 ，若0 1 ，则由( 2 2 1 9 ) 有尸+ q - 1 ( ”o ) = i ，( ”o ) l p f q 一1 ( r o ) 口，从而 a l p ，( p 忏1 枷( r o ) 。( p + q - 1 ) p 一掣a t p r 0 1 故当a _ + o o 时r o _ + 不论是哪种情形均与引理2 2 1 矛盾最后，由解对初值的 连续依赖性及引理2 2 1 知8 为开集，n 分0 1 两种情形来证明，表明q 取不同值时解在处有不同的衰 减行为，这可从估计( 2 , 2 1 8 ) 和( 2 2 1 9 ) 中看出 引理2 2 7 假设：d o ) = 0 - 1 ，2 ( o ) = 0 , 2 若0 - 2 o , 1 则有 ，2 ( r ) ，1 ( r ) ，( ，2 ，1 ) 7 p ) 0 v0 r 0 等价于( ，2 ，1 ) 7 0 由( 2 2 5 ) 有 u + ( 下n - - 1 + 乏1 r + 疆l ，；p ) ” = 一，2 爿( 理l 足i ，一定i ，f i ，q ) = a f ( r ) ( 2 2 2 0 ) 记r o = s u p p 0 l ，2 ( r ) f l ( r ) o ) 0 若能证明在( 0 ， r 0 ) 内w ( r ) 0 ，则r 0 = m i a r ( a i ) ，r ( 口2 ) 从而结论成立 “二墨堕蔓堂堂焦堡塞 情形1 ：0 1 一p ，故有 f p ) = 一厂2 爿群i ，；f 9 1 ( 鲁) 9 一( 务) 1 一) 唰m tq t r l ( 扩一( 扩9 ) = 一妒( r ) ，2 爿圩j 矗尸_ 1 鲁一舅) 竹h h ，z 1 船+ s ( 豁一帮) 卜独 于是由( 2 , 2 2 0 ) 知 训+ ( 竺 十互1 r + 拐i 以r 一妒，2 ， 一- l 矗l 一一- ) w ov ，( o ，) ( 2 r 22 1 ) 再由 ( o ) 。0 知在( o ，r o ) 内 ( r ) 0 情形2 ：p 2 1 此时，f ( r ) = 一是慰鹾m o ，v r ( o ，t o ) ，由( 2 2 2 0 ) 得 w t + ( n r - - 1 + ；r + 理) o v r ( o ，r 0 ) ( 2 2 2 2 ) 同理， 1 1 2 0 ，vr ( 0 ，t o ) 情形3 ：p 1 ，因在( o ，r d ) 内厶 ，i ，所以 f ( r ) 2 ，i q + l i 一t 1 9 ( 簧) 9 1 一( 鲁) 一。) 髭q + l t r ( 扩1 一q ) 刮哪 旁穿) + ( 孚+ 互1 r + 定f 钟一，+ 币，f ，f 矧一一，) 。 o ，v ，( o ，伯) 从而 ( r ) 0 ，v r ( o ，t o ) 证毕 由引理2 2 5 ，2 2 6 以及集台a ，疗和c 的定义知下列引理成立 一 曲 c i l r塑川 一 盟刖 + 盟川 ，凡 u 一 = 得 妒 由 斯 隈 捌 口 22 第二章奇性抛物型方程的自相似奇性解 1 3 引理2 2 8c 是非空闭集 定理2 2 1 ( i i ) 的证明由引理2 2 5 228 知，存在o 。：0 o ls ( i 2 0 使得， 熙”z ( r ) = 一2n ，1 + i m 。r 2 。f ( r ) = a ，规r m ( 小p 2 。) = 0 若女 2 ， 拦恐r 2 r z ( r ) 十2 n ) = 一4 0 ( 2 a n + 2 ) 十2 ( 2 a ) p a p + 。1 ， 对任意。c ，相应( 2 0 1 3 ) 的轨线满足3 骢，v ) ，( r ) = 一o 。设f ( r ) = f 熙端= 一知熙器地飞 j 熙鬻刮川) ( 2 ) _ 22 4 于是( 2 2 1 2 ) 成立 现在证明a l = a 2 反设0 1 0 记 6 p ) = 竺 + ；r + 疗l “r _ 。一妒，2 ， _ 1 l 矗r _ 1 若o 0 于是对vr r 1 1 ， 。 ”c r ，e x p z ：s c s ，a s ) 0 ，问题( 2 2 7 ) ，( 2 2 2 5 ) 有唯一 解，( r ) = ，( r ；6 ) 设( 0 ，r ( 6 ) ) 为f 0 的最大区间，则在( 0 ，r ( b ) ) 内，协) 0 且( i ) n ( b ) = 。或( i i ) r ( b ) o 。，( 6 ) ) = 0 主要结果如下： 定理2 2 ，2 设0 p 0 ，1 n z ，则存在互不相交两个开集且，召和一个闭集c 满足 使得 使得 a u l 3 u c = ( 0 ，。) ，( 0 ，b ) ca 若0 b 1 ，( b ，o 。)