（产业经济学专业论文）多维甄别理论在垄断移动产品定价中的应用.pdf

山东理t 大学硕士学位论文摘要 詈量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量量曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼! ! ! 璺曼! ! 兰曼曼曼曼曼曼量皇皇皇曼曼曼曼曼! ! 兰曼曼曼曼曼曼量皇皇皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼! 曼 摘要 自从上世纪七十年代起，甄别理论开始受到理论界的广泛关注，特别是在最优非 线性定价、最优税制及最优规制当中都有广泛的应用。而近十多年来，多维甄别理论 成为了甄别理论的一个新的研究热点，重要的研究成果不断出现。但是由于多维甄别 理论使用的数学工具超出了一般经济学者所掌握的经济范畴，限制了多维甄别理论的 推广和应用，使之局限在研究该理论的少数专家当中。 本文尝试把最简单的两类多维甄别模型应用到垄断的移动产品定价当中，以此来 推广多维甄别理论在多维非线性定价领域的应用，并希望这种新的方法能够为垄断移 动通信运营厂商提供一种新的定价思路。 本文首先试图介绍两类最简单的多维甄别理论，即二维离散模型和多维连续模型， 包括他们的基本假设，模型表示以及求解方法。随后我们把这两类模型分别应用到了 垄断的多产品移动通讯厂商的定价问题当中，并且获得的非常有意义的结果，其中包 括不同类型消费者在均衡状态下的消费水平和福利状况，消费者的需求函数，剩余函 数和价目表函数，以及价目表应该包含数量折扣的条件。 关键词：多维甄别；移动通信；非线性定价；多维非线性定价 山东理工大学硕十学位论文a b t r a c t a b s t r a c t s c r e e n i n gt h e o r yo r i g i n a t e di nt h el a s tc e n t u r yf r o mt h es e v e n t i e s ，a n dw i d e l yu s e di n n o n l i n e a ro p t i m a lp r i c i n g ，o p t i m a lt a x i o na n do p t i m a lr e g u l m i o n h o w e v e ro v e rt h ep a s t d e c a d e ，m u l t i d i m e n s i o n a ls c r e e n i n gt h e o r yb e c a m ean e wf o c u so ft h es c r e e n i n gt h e o r y ， a n di m p o r t a n tr e s u l t sc o n t i n u et oe m e r g e h o w e v e r t h em a t h e m a t i c a lt o o li nt h e m u l t i d i m e n s i o n a ls c r e e n i n gt h e o r yi si st o oc o m p l e xf o rg e n e r a le c o n o m i cs c h o l a r s ，s oi ti s o n l yw e l lk n o w e da m o n gas m a l ln u m b e ro fe x p e r t si nt h i sf i e l d i no r d e rt op r o m o t et h eb a s i ct h e o r yo fm u l t i d i m e n s i o n a ls c r e e n i n gm e t h o d s ，t h i s a r t i c l ea t t e m p t st oa p p l yt w ot y p e so fm u l t i - d i m e n s i o n a ls c r e e n i n gm o d e lt h em o n o p o l y p r i c i n go fm o b i l ep r o d u c t s a sas i m p l ea n dp r e l i m i n a r ya t t e m p t ，w eh o p et h i sp a p e rw i l l p r o m o t e t h e a p p l i e d r e s e a r c ho fm u l t i d i m e n s i o n a l s c r e e n i n gt h e o r y ，a n dp r o v i d e m o n o p o l i n gm o b i l eo p e r a t o r san e wn e wp r i c i n gm e t h o d i nt h i sa r t i c l e ，w ef i r s ti n t r o d u c et w ot y p e so fm u l t i - d i m e n s i o n a ls c r e e n i n gm o d e l ，t h a t i st w o - d i m e n s i o n a ld i s c r e t em o d e la n dm u l t i d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sm o d e l t h e nw ea p p l y t h e s et w ot y p e so fm o d e lt ot h ep r i c i n go fm o b i l ep r o d u c t s ，w eo b t a i n e dv e r ys i g n i f i c a n t r e s u l t s ，i n c l u d i n gt h el e v e lo fc o n s u m p t i o na n dw e l f a r eo fd i f f e r e n tt y p e so fc o n s u m p t i o n , c o n s u m e r sa l l o c m i n gf u n c t i o n ，a n do p t i m a lt a r i f f k e yw o r d s ：m u l t i d i m e n s i o n a ls c r e e n i n g ；m o b i l ec o m m u n i c a t i o n ；n o n l i n e a rp r i c i n g ； m u l t i - d i m e n s i o n a ln o n - l i n e a rp r i c i n g 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 禾瓤岔 、c ， 时间：z po | 年6 窍t 如 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在 不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：衣移务 导师签名： 日 日 多r 3 ，f，jf 月 月，d ，b 年 年 丫7 沙 问 间 时 时 山东理下大学硕十学位论文第一章引言 一。皇暑曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼鼍曼曼暑曼曼曼曼量曼曼曼曼! ! 曼曼曼曼曼曼曼曼蔓曼曼曼寡曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼置曼曼曼曼曼曼曼曼舅 1 1 课题背景与意义 1 1 1 课题背景 第一章引言 自从上世纪七十年代起，甄别理论开始受到理论界的广泛关注，特别是在最优非 线性定价、最优税制及最优规制当中都有广泛的应用。而近十多年来，多维甄别理论 成为甄别理论的一个新的研究热点，重要的研究成果不断出现。但是由于多维甄别理 论使用的数学工具的复杂性，限制了多维甄别理论的推广和应用。 当前电信产业正经历着前所未有的高速发展，特别是移动通信服务发展尤为迅速。 统计数据显示，截止2 0 0 9 年2 月全球移动通信用户已经达到了全球移动用户数已经达 到4 0 亿。此增长势头意味着全球移动市场继续朝着到2 0 1 3 年6 0 亿移动用户的目标迈 进。移动用户数量激增的同时，移动通信产业的产品种类也是不断扩展，新产品新服 务层出不穷，如何恰当的安排多种电信产品的定价，逐渐成为了困扰移动运营商的一 个难题。此外，由于行业竞争的加剧，电信运营商面临着销售收入增长速度和利润水 平出现了下降的趋势。 本人在与导师和同学们的课外讨论中受到启发，考虑是否可以把这两者结合起来， 用多维甄别理论解释移动通信产品的定价问题，一方面推广多维甄别理论的基本结论， 另一方面可以提供电信运营商一种新的定价方法。后将该想法与导师讨论多次，最终 肯定了该课题的可行性。 1 1 2 课题的意义 1 ) 理论意义 国外对多维甄别理论的研究起源于上世纪九十年代，而之前甄别理论的研究和应 用多建构于一维模型的基础之上。多维甄别理论的研究近些年来在理论层面上有了很 大的进展，但可能由于技术上的复杂性，对多维模型上的应用研究并不是很多。而目 前国内对多维甄别理论的研究也尚属起步阶段，多维甄别理论应用文章也比较稀少。 本课题把一类最简单的多维甄别模型应用到了移动通信产品的定价当中，希望能够引 起学界对多维甄别理论更多的关注，推动我国多维甄别理论研究的开展，把多维甄别 理论这一有力的工具推广到我国的经济研究工作当中。 2 ) 现实意义 随着电信市场的高速发展，电信运营商面临的重大挑战之一就是业务收入增长速 度趋缓和利润水平的降低。有的运营商业务收入增长速度不仅无法保持过去那种高于 山东理t 大学硕十学位论文第一章引言 国家g d p 增长的速度，甚至还低于国家g d p 增长的速度。这一重大挑战的具体表现 是“增量不增收”，即业务收入的增长速度不能达到甚至远低于用户数量以及电信产品 使用量的增长速度。此外，新的增值业务的出现给移动厂商带来了新的利润增长点， 但同时如何对多种产品进行恰当的定价以实现利润的最大化也成为移动运营商必须面 对的一个棘手问题。在这样的情况下，电信运营商必须积极应用科学的电信产品定价 理念、定价策略和定价方法，去研究如何运用价格杠杆刺激用户多使用电信业务、引 导和培育高值客户、大力研发新业务和发展新客户，从而实现“保存量激增量，量收 协调发展 的目的。科学的对电信产品进行定价，不但可增加厂商的收益，而且有理 由消费者剩余的增加，从而增加社会的整体的福利水平。而多维甄别理论在非线性定 价领域有着广泛的应用前景，如果我们可以把这一新近产生的理论工具恰当的应用于 移动电信产品的定价当中，这必将会对移动通信事业的发展产生巨大的推动作用，因 此这项课题的研究有着相当的现实意义。 1 2 多维甄别理论研究现状 甄别理论起源于上世纪七十年代，并且在公共产品的供给、非线性定价和不完全 竞争等经济领域有着极为广泛的应用。但其早期的研究主要构建在对一维模型的分析 之上，而对多维甄别理论的研究进展相对有限。直到上世纪九十年代中期以后，以 a r m s t r o n g ( 1 9 9 6 ) 1 1 1 ，r o c h e t 和c h o n e ( 1 9 9 8 ) 【2 】以及b a s o v ( 2 0 0 1 ) 1 3 】三篇文章为标志，多维 甄别理论才进入了一个快速发展的时期，并取得了很多重要的研究成果，如排除的一 般性，配置的可行性，以及汉密尔顿方法的使用等。在这- - d , 节我们将对多维甄别理 论文献进行一个概括性的回顾。 1 2 1 国外研究状况 甄别理论，也称为信息屏蔽理论或自我选择理论，是契约经济学的重要组成部分。 用委托一代理术语来解释，它研究信息不对称情形下，委托人如何针对不同的代理人 的类型而设计出不同的契约，从而根据代理人的不同选择，推知出代理人的私人信息 - 类型，从而克服逆向选择问题，达到自身收益最大化的目的。 上世纪七十年代，m i m e s 【4 】一篇有关最优税制的论文成为了甄别理论的发端。这篇 文章很快便引起了理论界的关注，并被引入其他经济领域，如公共产品的供给( g r e e n 和l a f o n t ( 1 9 7 7 ) t 5 j ) ，非线性定价( s p e n c e ( 1 9 8 0 ) 叫以及g o l d m a n ，l e l a n d 和s i b l e y ( 1 9 8 4 ) t 7 1 ) ，不完全竞争( m u s s a 和r o s e n ( 1 9 7 8 ) 1 8 】) 等。早期的甄别理论可称为一维甄 别理论，所谓一维就是代理人的私人信息或称类型是用一个一维变量来表示的。目前 看来一维甄别理论的研究经过二十多年的发展已经相对成熟，并且也已成为各种契约 经济学教科书重要的组成部分。 然而在实际的问题当中，代理人的私人信息或者偏好往往包含多个方面，而非仅 仅一个，在这样的情况下，一维甄别理论的成熟结论在多维情形下是否依然有效呢? 2 山东理t 大学硕十学位论文第一章引言 这个问题成为了理论界的一个研究热点，对多维甄别理论的研究也便发源于此。这个 问题的研究最早出现在信号传递的文献当中，k o h l e p p e l ( 1 9 8 3 ) 9 j 和w i l s o n ( 1 9 8 5 ) 0 0 考 虑了一个多维信号传递模型，而q u i n z i i 和r o c h e t ( 1 9 8 5 ) 】及e n g e r s ( 1 9 8 7 ) 0 2 j 则证明了 这种模型结果的存在性。 现存的甄别理论文献中，多维甄别理论问题实际上被分为三类情况进行考虑，即 一维工具一多维类型问题，一维类型一多个工具问题以及多个工具一多维类型问题。 所谓的工具，是委托人甄别代理人的手段，也就是委托人所设计契约中的变量，在非 线性定价问题中可以是产品的质量或数量。所谓类型，是代理人的私人信息，在非线 性定价问题中可以是消费者的对产品的品味参数。 第一类文献主要代表性文章有l a f f o n t ，m a s k i n 和r o e h e t ( 1 9 8 7 ) b 】，l e w i s 和 s a p p i n g o n ( 1 9 8 8 ) 14 1 ，s r i n a g e s h ( 1 9 9 1 ) 15 1 ，第二类文献有m a t t h e w s 和m o o r e ( 1 9 8 7 ) 1 6 1 ， 第三类文献则相对较多。下面我们对这三类问题分别进行一个简单的介绍。 在第一类问题中，对代理人的完全歧视或者区分是不可能的。同一水平的工具( 如 受管制企业的生产数量) 会被很多不同的企业来选择。所谓不同的厂商，按照l e w i s 和s a p p i n g t o n ( 1 9 8 8 ) 中的说法，指面对不同的成本和需求函数的厂商。虽然如此，l e w i s 和s a p p i n g t o n ( 19 8 8 ) 1 正明可以把厂商的所有类型都加总成为一个总类型。在他们的模型 中，所谓的总类型也就是那些选择相同生产水平的企业的平均成本。如果把加总起来 的总类型视为一个一维类型，问题就转变成了一个一维甄别问题了，也就容易求解了。 l a 仃o n t ，m a s k i n 和r o c h e t ( 1 9 8 7 ) 中的结果也非常有意义。他们证明集聚( b u n c h i n g ) 现象是肯定存在的，也就是对商品有不同品味的消费者会购买相同数量的商品。在他 们的例子中我们会惊喜的发现一些一维甄别模型的性质在此处重现了，也就是最优价 目表( o p t i m a lt a r i f f ) 会包含数量折扣性质，而且产品偏好最强或者说品味最高的消费 者得到最有效的消费数量。 针对第二类问题，m a t t h e w s 和m o o r e ( 1 9 8 7 ) 扩展了m u s s a 和r o s e n 的模型，使得 垄断者除了对消费者提供不同质量水平的产品，还提供不同水平的售后担保，这样垄 断者就相当于提供两种服务或者说二维工具给一维类型的消费者。在他们的模型中一 个最显著的结果就是质量的配置水平不一定是随代理人的类型水平单调变化的，也就 是品味高的消费者不一定得到质量高的产品。因此，非局部的激励相容限制( n o n - l o c a l i n c e n t i v ec o m p a t i b i l i t yc o n s w m n t s ) 在最优结果中也是可以成立的，而这明显区别于一 维甄别模型的情形。采用第二类建模方法的论文还有r o b e r t s ( 1 9 7 9 ) 7 j 和m i r m a n 和 s i b l e y ( 1 9 8 0 ) 1 8 】。他们的模型的求解方法类似于标准的一维甄别模型的求解方法，但是 对于求解更一般的多维甄别问题借鉴意义不大。 多维工具多维类型的甄别问题是最有研究意义也是最难求解的一类问题。 s e a d e ( 1 9 7 9 ) 1 1 9 】研究了对于多维类型顾客的最优税制问题并且证明了这个问题实际上 是一个多变量的变分问题( c a l c u l u so f v a r i a t i o n sp r o b l e mw i t hs e v e r a lv a r i a b l e s ) 。r o c h e t ( 1 9 8 4 ) t 2 0 】把b a r o n 和m y e r s o n ( 1 9 8 2 ) 2 1 】的管制问题扩展到了一个二维的环境中，其中的 3 山东理t 大学硕十学位论文第一章引言 边际成本和固定成本对于管制者都是未知的。不同于l e w i s 和s a p p i n g t o n ( 1 9 8 8 ) ，r o c h e t 的模型允许随机机制的存在，这给了管制者获得了更多的灵活性。正如b a r o n 和 m y e r s o n 所曾经推测的，r o c h e t ( 1 9 8 4 ) 用一个例子证明了最优机制确实是随机的。 m c a f e e 和m c m i l l a n ( 1 9 8 8 ) 2 2 】是多维非线性定价问题非常关键的一个进展。为了解 释代理人的决策问题，他们引进了广义单一交条件( g e n e r a l i z e ds i n g l ec r o s s i n g c o n d i t i o n ) ，而这个条件后来被证明对于多维甄别模型的求解是不可缺少的。除此之外， 他们同样证明最优税制问题其实是一个变分问题的求解过程。 a r m s t r o n g ( 1 9 9 6 ) 证明并非所有的消费者都会参与到均衡之中，有一部分消费者会 被排除在均衡结果之外。他还给出了几个例子的解析解。他的解法实际是一维甄别模 型的解法在多维情形下的推广。a r m s t r o n g ( 1 9 9 9 ) 1 2 3 l 证明在产品数量也就是工具很多时， 可以求出甄别问题的一个近似解。他证明当类型参数是独立分布时，最优价目表可由 一个两部定价方法来近似，而当类型的参数分布相关时，则可以通过一个两部定价价 目表来近似。这篇文章给出了多维甄别模型在极端情况下的求解方法。 r o c h e t 和c h o n e ( 1 9 9 8 ) 对m u s s a 和r o s e n ( 1 9 7 8 ) 的模型在多维环境下进行了推广。 他们证明了解的存在性，并用微分方程组对结果进行了描述。他们还证明即使类型的 分布函数是常规的分布函数，集聚( b u n c h i n g ) 现象在多维甄别当中仍是相当稳定的 ( r o b u s t ) 。这个现象来源于参与条件与二阶激励相容条件之间的强烈的冲突。为此他 们设计了一个不同于m u s s a 和r o s e n ( 1 9 7 8 ) 的熨烫程序( i r o n i n gp r o c e d u r e ) 的新程序 请扫过程( s w e e p i n gp r o c e d u r e ) ，来解决多维甄别理论求解中的集聚现象。最后通 过两个例子来演示他们的方法。在下面我们会看到，他们的求解方法是多维甄别模型 对偶解法的发端。 r o c h e t 和c h o n e ( 1 9 9 8 ) f 1 0 解法中有一个非常强的前提假设，也就是要求消费者的类 型数量n l 要等于商品的种类数n 。针对于这个局限，b a s o v ( 2 0 0 1 ) 给出了m 不等于n 时 的求解方法。他证明当n m 时可以很轻松的转换为n 铀的情况进行求解。而i i 鱼逝( 2 6 ) ，那么最后的解是关于两种产品分离的，也就是说巧地选 口儿 择并不依赖于消费者的效用函数“? 。在这种情形下，低端消费者的消费水平是向下扭 曲的，也就是： 磋= 砝彰( ( 1 - 夕) 等等 1 3 ( 2 7 ) 红枷舻卜) 等等j ( 2 8 ) 情况b ：弱的正相关性或者负的相关性，且没有大的不对称性。 不同于情况1 ，情况2 要求的条件是，p 当血不成立，并且下列条件 形( ( 1 - ，卺卜( ( 1 - ，嚣) 以( ( 1 _ ，毪卜c 以( ( 1 ) 嚣卜( ( 1 - ) 嚣) 0 时，容易证明以上两式都成立； 当存在负的相关性，p 0 ，而且存在近似的对称性，也就是九( ) 九( - ) ，并且= 时，以上两式也成立。 在这种情形下，低端消费者的消费水平会比最有消费水平向下扭曲的，并且矗会 比矗更加扭曲( 产品b 情形类似) 。具体而言， 彤卜，卺卜( ( 1 ，嚣) 霹。 h l lh 图2 3 完全问题的激励约束条件 1 6 a 山东理工大学硕十学位论文第二章二维连离散模型在垄断移动产品定价中的虑用 l lh 图2 _ 4 完全问题的激励约束条件 2 5 在垄断移动产品定价中的应用 人 下面我们利用a r m s t r o n g 和r o c h e t 的模型分析一个垄断移动通讯运营商的产品定 价问题。假定有一个居于垄断地位的移动通讯提供商，提供两种产品，分别是手机语 音通话( a ) 和手机短信( b ) 。 首先，我们假设在移动通信市场消费者的效用函数对于这两种产品的是可加可分 离的，也就是说d t j ( x _ + x 丑) = 材， 爿) + “? 曰) 。其中，f 表示消费者的类型或者说对两 种产品的偏好的高( h ) 或低( l ) ，f = h ，l 。在这种假设下，我们排除了两种产品的存在 交互效用的可能性，也就是说单独购买a 和单独购买b 产品的效用和恰好等于一起购 买两种产品的效用。这种假设是对实际情况的一种简化，便于我们的求解。 实际经验表明，消费者对一种商品的效用函数应该是一个凹函数，也就是每多消 费一单位产品给消费者带来的边际效用是递减的。这个规律对产品移动通讯产品a 、b 的消费也不例外。因此，我们不妨假设类型为i 消费者对产品k 的效用函数为 ”? ( x ) = f ? x 。这就是一个凹函数，其中矿是消费者的品味参数。品位高的消费者的品 味参数r k 要大于品味低的消费者的品味参数，! ，假定a = f k 一，i 0 ，因此对一个消费 水平x ，品位高的消费者获得的效用要高于品位低的消费者获得的效用。 移动运营商无论提供语音通话服务还是短信息服务，他的成本都可以分成两部分 考虑，即固定成本和可变成本。固定成本在短期内可以视为不变的，他不随消费水平x 的变化而变化。而可变成本则是随着消费水平x 的增加而增加，他是消费水平的增函 数。在此处为了计算的方便，我们暂且假设移动运营商的固定成本是零，并且有一个 线性递增的可变成本，就是说该运营商对产品k 有固定的边际成本扩。 1 7 根据上面的分析，社会总剩余函数为钟( x ) = 妒x c k x ，并且( x ) = 以。假 定运营商并不考虑消费者的效用，则= 0 。此时，厂商面临的问题可以归结为规划问 题： i i = 。m 。a x r t ，一一f c b 带 s u b j e c tt o ： a 、f _ a + x ；一互z o t ? 扁+ t ；嗣一t r a r 厨a b ? 厮4 一t 了+ r t ；厮+ t ：品一t 厨 其中i = 日，l ；j = h ，厶f = 日，l ；j h ，l 。 约束条件一共十三个约束条件，包括一个个人理性约束和十二个激励相容条件。 以上的假设满足a r m s t r o n g 和r o c h e t 模型的的所有要求，并且通过计算可得： 孵卜等( 如盼出毗欢伊( 等p = 斟。 如果我们令矿= ( a 七) 2 c ，我们可以证明a r m s t r o n g 和r o c h e t 模型中的等式( 2 9 ) 和 等式( 2 1 0 ) 等价于： s a p + s b ( 吼+ ) 0 ( 2 1 9 ) s b p + s 一( + ) 0 ( 2 2 0 ) 并且等式( 2 1 7 ) 和等式( 2 1 8 ) 等价于以下条件： s a p + s 矗( 1 一) 0 ( 2 2 1 ) s n p + s _ ( 1 - a u v ) 0 ( 2 2 2 ) 因此，我们可以作出以下结论， 1 ) 如果不等式( 2 1 9 ) 和不等式( 2 2 0 ) 都是成立的，那么根据命题1 我们可以知道放 松限制问题的解也是完全于适用完全约束问题的，所有的高端客户都获得社会有效的 消费水平，而低端的客户的消费水平要稍低于社会有效的消费水平。具体而言，高端 消费者的消费水平为 确= 磕= 露= ( 参) 2 ，墙= 珐= 露= ( 告) 2 而低端的客户的消费水平，可能符合情形1 或者是情形2 如果( 2 6 ) 成立，情况a 适用，低端消费者获得的消费水平为： 硅= 珐彰( ( 1 _ ) 等罢) 吃= 也群( ( 1 _ ) 篆剖 1 8 如果( 2 6 ) 不成立，情况b 适用，低端消费者的消费水平为： 兑纠( ( 1 - 助半 矗纠卜，等 圪科卜， 磕甜h ，号争)ll 其中参数名满足以下条件： 形卜，芈卜( ( 1 - 励紫) = 始( c 一，竺尘芝兰差纽 一以( c t 一，! l 二差 2 ) 如果( 2 1 9 ) 不成立，( 2 2 1 ) 成立，那么激励相容约束的活跃情况如图2 - 2 c 所示， 由命题2 可知，放松问题情况c 的解同样适用于完全约束问题。而且除去所有高端消 费者都获得社会最优的消费水平外，h l 类型消费者对产品b 的消费水平同样达到了社 会最优水平，而其他的所有低端消费者的消费水平比社会最优水平向下扭曲。 具体而言，高端消费者的消费水平为 确= 镌= 霹= ( 鲁) 2 ，墙= 墙= 霹= ( 告) 2 而低端的客户的消费水平为 兑：舅一( ( 1 一) ! 丝) ，矗：圣月( ( 1 一) 譬盟) ，埴= 量口( ( 1 一) 竺些) 墙= 鲈( o ) = 硭。 删m 以伊( 等) 2 ，孝= 。 3 ) 如果( 2 2 0 ) 不成立，( 2 2 2 ) 成立，那么激励相容约束的活跃情况如图2 - 2 d 所示， 由命题b 可知，放松问题情况d 的解同样适用于完全约束问题。而且除去所有高端消 费者都获得社会最优的消费水平外，l h 类型消费者对产品a 的消费水平同样达到了社 会最优水平，而其他的所有低端消费者的消费水平比社会最优水平向下扭曲。 具体而言，高端消费者的消费水平为 蠕= 确= 霹= f ，生2 c a1 ) 2 ，墙= 墙= 露= ( 告) 2 而低端的客户的消费水平为 也= 一( ( 1 一) 丝粤)砝= 圣4 ( o ) = 霹磕= 曼丑( ( 1 一) 翔， 磋= 圣占( ( 1 一) 盟) 。 1 9 山东理t 大学硕十学位论文第二章二维连离散模型在垄断移动产品定价中的席用 4 ) 如果等式( 2 2 1 ) 不成立，由命题3 可知，那么激励约束的活跃情况如图2 3 所示， 类型h l 的消费者同时对两种产品获得社会最优的消费水平，并且对产品b 的高端消 费者的消费水平会向上扭曲，也即产品b 的高品位消费者将获得比社会有效的消费水 平更高的消费水平，因此z 名，x 知 工- - 8 。 5 ) 等式( 2 2 2 ) 不成立情况相似。由命题3 可知，那么激励约束的活跃情况如图2 _ 4 所示，类型l h 的消费者同时对两种产品获得社会最优的消费水平，并且对产品a 的 高端消费者的消费水平会向上扭曲，也即产品a 的高品位客户将获得比社会有效的消 费水平更高的消费水平，因此x 刍，x 易 石- - ，a 。 2 6 本章总结 在本章中，我们介绍一类最简单的二维离散模型，a r m s t r o n g r o c h e t 的模型。 a r m s t r o n g r o c h e t 模型可以通过两个步骤来求解，即首先求出较为简单的放松问题，然 后求解完全问题。通过模型的求解，我们可以到不同类型消费者的最有消费水平，以 及他们的福利状况。随后我们把该模型应用到了移动通讯产品一语音通话和短信的定 价当中，得到了不同类型消费者的消费水平和福利水平。 山东理t 大学硕士学位论文第三章多维连续模型在垄断移动产品定价中的应用 第三章多维连续模型在垄断移动产品定价中的应用 在这一章的讨论中我们会把消费者的类型参数从离散转换到连续，转而研究连续 的多维甄别理论。为了能够更好的理解多维连续模型，我们将首先回顾已经比较成熟 也比较简单的一维连续模型。随后我们将引入多维连续模型，并将该模型应用于垄断 移动产品定价应用中。 3 1 一维连续模型回顾 不同于离散模型，在一维连续模型中，我们假设消费者的口味参数秒是一个连续 的随机变量，密度函数为厂( 臼) ，而且p 的取值区间是| - 旦，万 ( 0 旦歹) 。假定类型为 秒的消费者的效用函数为：u ( o ，q ，t ) = 0 v ( q ) - t 。其中q 为消费者对产品a 的购买量， t 为他对该商品的支付。假定v ( ) 是递增的连续的，而且是凸的函数。并且满足v ( o ) = 0 。 此外，为了确保问题的解的存在性，消费者的需求函数还满足单一交条件或者说是 盎2 s p e n e e m i r r l e e s 条件：v o ，v q ，兰( g ，秒) 0 。这个条件保证了任何不同口味类型的消 a q o v 费者，他们的无差异曲线只能相交一次。 假定垄断厂商的成本函数为c ( x ) 。c ( o ) = 0 而且c ( x ) 是平滑的函数。此处为了求解 的方便，我们不妨设垄断厂商的边际成本为c ，此时成本函数c ( x ) = 掰。 垄断厂商提供给消费者一个价目表函数f ( x ) ，使得消费者进行则我选择。并且， 这个价目表函数r ( x ) 应该满足厂商的利润最大化。假定在消费者之间是没有可能进行 套利，并且厂商可以观察到每个消费者的购买数量，那么厂商就可以提供任意形式的 价目表函数，包括包含价格折扣和价格溢价的价目表。如果消费者不能被强迫消费， 厂商应该使得价目表函数f ( o ) 0 。 类似于离散模型，垄断者面临者着两类约束，即个人理性约束和激励相容约束。 个人理性约束( i t ) 要求消费者愿意购买商品，而不是不购买。假设消费者不购买产 品a 时，他的保留效用为o ，则个人理性约束用数学表达式可以表示为： m a x ( u ( e ，x ) 一f ( x ) ) 0 激励相容约束( i c ) 要求消费者不进行个人套利，也就是高品位客户不会选择针 对地品味客户设计的组合，低品味客户也不会选择针对高品位客户设计的产品组合。 用数学表达式可以表示为： x ( p ) a r gm a x ( u ( o ，x ) 一，( x ) ) 此时，厂商面临的问题可以归结为规划问题： 2 1 山东理t 大学硕十学位论文 第三章多维连续模型存垄断移动产品定价中的鹿用 m a x j ( 如( 秒) ) 一c ( x ( 臼) ) ) 厂( 口) d 秒 f p jq s u j e c tt o ： x ( p ) a r g m a x ( u ( o ，x ) 一r ( x ) ) ( i c ) m a x ( u ( o ，x ) 一，( x ) ) 0 ( i r ) 我们定义消费者的剩余函数s ( o ) 定义为 s ( 9 ) = m a x ：u ( o ，x ) - t ( x ) x 0 由于f ( 0 ) 0 ，所以函数s ( 力是非负函数。同样，他应该是连续的，递增的，凸的 函数。如果s ( x ) 过于矽是可微的，根据包络定理我们可以推出：s ( p ) = 材( x ( 秒) ) 。 此外，正如我们将会在下面看到的，为了保证剩余函数s ) 和配置函数x ( o ) 的可 行性，x ( o ) 是非减函数。这样垄断者面临的问题可以被转换为： m a xf ( 秒，x ) - s ( o ) - c ( x ( o ) ) ) f ( o ) d o t x ( 秒) q s u b j e tt o ： s ( 回= 甜( x ( 乡) ) s ( d 0 x ( o ) 是非减函数 为了求解的方便，我们需要把限制条件s 7 ( p ) = 甜0 ( 口”代入目标函数。通过分步积 分法我们可是实现这个目的： r s ( o ) f ( o ) d o = f 材( x ( 目) ) 【1 一f ( o ) d o ( 3 1 ) 其中，( ) 对应于概率密度厂( ) 的分布函数。利用( 3 1 ) 我们就可以把目标函数中的 s ( o ) 消去，因此厂商的目标函数式变形为： 万= r 【秒“( x ( 乡) ) 一c ( x ( 秒) ) 】厂( 秒) 一甜( x ( 秒) ) 【l 一，( 秒) 】 c 增 ( 3 2 ) 通过在( 3 2 ) 式把目标函数t 表示成为需求函数x ( o ) 的函数。由于我们假定 s 坦) = 0 ，并且，= u ( x ) 0 ，由此我们可以推出s ( ) 0 。如果我们暂时忽略掉条件x ( o ) 是非减函数这一限定条件，对变形的目标函数求导，我们可以得到最优的配置函数z 满 足以下条件： z v ) 喈：卜1 - 2 朋f ! ) o ) j u ( x ) - c ( x ) ( 3 3 ) 现在我们重新考虑忽略掉限定条件：x ( p ) 是非减函数。我们可以轻松的证明只需 山东理t 大学硕十学位论文第三章多维连续模型在垄断移动产品定价中的应用 要下面的条件满足2 ：秒一上焉茅是非减函数，则x ) 肯定是非减函数。 下面我们证明数量折扣何时最优的，也就是说什么条件下，最优价目表函数r ( x ) 是 凹函数( c o n c a v e ) 。我们已知：r ( x ( 9 ) ) = u ( o ，x ( 伊) ) 一j ( 秒) 。对该式关于x ( o ) 求一阶导数 可得o u ( x ( p ) ) = | ( x ( 9 ) ) ，然后我们通过对( 3 3 ) 式求一阶导数，我们可以得到： f ，( x v 炉而菇貉两 因此，可以证明，只要下面两个条件成立： 1 成本函数c ( x ) 是若凹的 2 p 一鬻胖减函数 那么以下结论便可以成立： 1 ) 秒一生箬是非减函数，而且x ( 秒) 是非减函数。 2 ) ，( z ( ) ) 关于0 是非增函数。由于x ( ) 是非减函数，这就说明，( x ) 关于x 是非增 函数，也就是说，( x ) 是凹函数。此时数量折扣，也就是消费者购买的产品越多，产品 的平均价格越低，对于厂商便是有利的可图的。 最后，我们可以通过以下方法求出价目表函数f ( x ) 。通过( 3 3 ) 式我们可以求出最优 的配置函数x ( 伊) 的表达式，把最优配置函数x ( 秒) 代人s 7 ( 秒) = 材( x ( 秒) ) ，我们便可以求 出剩余函数s ( p ) 。又因为，( x ( 印) = u ( o ，x ( p ) ) 一s ( 秒) ，把剩余函数s ( o ) 代入该式，我们便 可以求出价目表函数，( x ) 。 3 2 多维模型的结构 假设市场中存在一个垄断者制造，他制造一种产品，并且这种产品包含力个质量 维度，用一个向量x = ( 而，) r ”来表示。此时垄断者面对的就不再是一维非线性 定价问题，而是多维非线性定价问题了。或者我们可以假设他制造玎种不同产品，同 样可以用一个向量x = ( 而，k ) r ”来表示。这时垄断者面对的问题实际转变为一个 多产品非线性定价问题( m u l t i p r o d u c t n o n l i n e a rp r i c i n g ) 。多产品非线性定价问题可以 视为多维非线性定价理论的一种特殊情况。多维和多产品非线性定价的差别在于，对 于多维非线性定价而言，消费者可以自由地选择商品的质量特征，对不同的质量特征 进行组合，例如电力用户可以选择用电时间和可靠性，邮递用户可以选择信件的快慢， 而多产品定价下，消费者只能在有限的不同质量特征的商品中进行选择。 假设产品的消费者对该产品或者这些产品的偏好参数或者类型可以用一个m 向量 2 如果该风险率条件不成立，那么“熨烫”过程就不可避免了，详细内容可以参考m u s s a 和r o s e n ( 1 9 7 8 ) 。 2 3 山东理t 大学硕十学位论文第三章多维连续模型存垄断移动产品定价中的庇用 表示，口= ( ，口肿) 。口r 卅是垄断者的不能被观测到的消费者类型，该类型变量分 布在一个有界且开的凸集合qcr ”上，分布函数f ( a ) 是正的连续函数。 当一个消费者消费数量为x = ( 而，) 的产品，并且支付的价格为t 时，他获得的 效用为：u ( a ，x ) 一f ( x ) 。其中，u ( o ，x ) = u ( a ，0 ) = 0 ，函数u ( a ，x ) 关于两个变量都是递增 的，并且u ( a ，x ) 是连续的，凸函数，关于向量口是一阶齐次的。t ( x ) 是产品的价格。 制造产品的成本函数可以由二次可微函数c ( x ) 来表示。该函数对于质量向量x 是凸的。 最后我们假设消费者有一个其他选择，或者说是保留效用氐位) 。 垄断者寻求一种机制，以使得他的利润最大化的。可以证明在一定条件下，厂商 可以通过直接公布一个恰当的价目表( t a r i f f ) t ( x ) 来实现其利润的最大化。 因此厂商面临的问题可以表述为 m a x j ( t ( x ( a ) ) 一c ( z ( 口) ) ) 厂( 口) d 口 f 1 )q x ( 口) a r gm a x ( u ( a ，功一f ( x ) ) m a x ( u ( a ，x ) 一，( x ) ) s o ( 口) 其中，消费者的剩余函数s ) 定义为 j ( 口) = m a x ：u ( a ，x ) - t ( x ) x 0 借鉴一维甄别方法，可以通过包络定理把全局的激励相容约束条件转换为对消费 者的剩余函数的导数的约束条件。为此，对消费者的剩余函数应用包络定理可得 v s ( a ) = 扰口( 口，x ( 口) ) 此外，正如我们将会在下面看到的，为了保证剩余函数j ) 和配置函数x ( a ) 的可 行性，s 位) 应该是凸函数。 这样垄断者面临的问题可以被转换为： m a x ( “( 口，x ) 一s ( 口) 一c ( x ( 口) ) ) f ( a ) d t r x ( ) q s u b j e c tt o ： v s ( a ) = ，x 位) ) ( 3 4 ) s 位) s o ( a ) ( 3 5 ) s 位) 是凸函数 ( 3 6 ) 在介绍完了多维甄别的模型假设之后，下面一节我将着重介绍模型的几种常见的 求解方法。 山东理t 大学硕十学位论文第三章多维连续模型在垄断移动产品定价中的府用 3 3 多维甄别模型的求解 多维甄别模型的求解问题是多维甄别理论的核心问题，也是最难以处理的问题。 求解多维甄别模型，首先要对多维甄别模型进行分类，不同类型的模型采取不同的解 法。多维甄别模型分为两大类，即放松问题( r e l a x i n gp r o b l e m ) 和完全问题( c o m p l e t e p r o b l e m ) 。两者的区别在于放松问题在求解过程中，省去了配置的可执行条件，而完 全问题则没有。因此，完全问题的求解自然要难于放松问题。目前的解法多集中于放 松问题的求解，而对完全问题的解法相对较少。总体而言，目前的求解多维甄别模型 方法大体可以分为三种，即直接方法、对偶方法和汉密尔顿方法。以下分别详述之。 3 3 1 直接方法 a r