（应用数学专业论文）混合平衡问题与多值平衡问题的辅助迭代算法.pdf

混合平衡问题与多值平衡问题的辅助迭代算法 应用数学专业硕士研究生肖飞 指导教师邓磊教授 摘要 本文研究了广义非线性混合平衡问题及一般混合问题、多值平衡问题 一、应用辅助变分原则研究了一类新的非线性混合平衡问题，证明了辅助问题解的 存在性及广义非线性混合平衡问题解的存在性，也证明了迭代算法序列的收敛性 二、应用辅助变分原则考虑了一般混合平衡问题，证明了辅助问题解的存在性及一 般混合平衡问题解的存在性，也证明了迭代算法序列的收敛性 ， 三、应用辅助原则和迭代算法研究了多值平衡问题，得到多值平衡问题的迭代算法， 并利用偏松弛强单调和拟单调性质证明了算法序列的收敛性 本文的结果是对以往一些相应结果的改进和推广 关键词：广义非线性混合平衡问题一般混合平衡问题多值平衡问题辅助原理 a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，w es t u d yac l a s so fg e n e r a h z e dn o n l i n e a rm i ) 【e de q u i l i b r i u mp r o b l e m sw h i c h a r en e w ，a 1 8 0s t u d ym 仅e dg e n e r a le q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dm u l t i 、氇l u e de q u i l i b r i u mp r o b l e i 璐 i nt h es e c o n dc h 印t e r ，w eu s et h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u et os t u d yac l a s so fg e n e r a l i z e d n o n l i n e 缸m i ) 【e de q u i i i b r i u mp r o b i e m 8w h i c ha r en e w w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n 0 ft h ea u 】c i l i a r yp r o b l e mf o rt h cg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e de q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n ds h o w t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nb yu 8 i n gt h e a u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e w b 如op r a v et h e c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m i nt h ct h i r dc h a p t e r ，w r ci n t r o d u c et h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u et os t u d yac l a s so fm i x e d g e n e r a le q u i l i b r i u mp r o b i e m s w bp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h ea u x i l i a r yp r o b l e m f o rt h em 没e dg e n e r a le q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n ds h o wt h ce x i s t e n c eo ft h cs o l u t i o nb yu s i n gt h e a u x i l i a r yp r i n c i p l ct e c h n i q u e w ba l s op r o v et h cc o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e d b yt h ea l g o r i t h m i nt h ef o r t hc h 印t e r ，w eu 8 et h ea u ) 【i l i a 搿p r i n c i p l et e c h n i q u et os t u d yam u l t i v 烈u e de q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，w ca l s op r a v et h a tt h ec o n v e r g e n c co ft h es u g g e s t e dm e t h o d s r e q u i r e so n l yt h e p a r t i a l i yr e 王a x e ds t r o n g l ym o n o t o n i c i t ya n dp s e u d o m o n o t o n i c i t y i n 龃l ，t h er e s u l tp r e s e n t e di nt h ep a p p e rg e n e r a l i z e da n du n i f yk n o w nr e s u l t si nr e s c e n t s l i t e r n a t u r e s k e y w b r d s ： g e n e r a l i z e dn o n i i n e a rm i x e de q u i l i b r i u mp r o b i e m s ；m i x e dg e n e r a l e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ； m u l t i v a l u e de q u i l i b r i u mp r o b l e m s ； a u x i l i a u r yp r i n c i p l e i i 独创性声明 学位论文题目：湿佥垩煎闻题生垒焦垩煎闻题鲍箍助达岱篡法 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：肖飞签字日期：2 。8 年多月o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：仍不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：肖专 签字日期：) d d 8 年告月o 日 导师签名： 签字日期： 巍黔慨缛 第一章绪论 1 9 6 6 年，日口r t m o 几和鼠n 印n c c 耽o i l l 提在一篇研究椭圆泛函微分方程的文章中首次 引入并研究了下面经典的变分不等式问题； z j r ，( t z ，暑，一z ) 0 ，v 秒k 其中k 为舻中一闭凸子集，r 为从k 到r ”的泛函 这一不等式最先在有限维空间进行讨论，后来被l 帆s 和b r 伽d e r 等人推广到无穷 维空间，沿着这一方向，变分不等式问题作为变分原理的主要推广得到大力研究和发展 而平衡问题由于在实际应用当中的重要作用，已经日益受到广大数学工作者的重视和研 究如今平衡问题已经广泛深入到力学、物理学、现代化控制、非线性规划、经济与交通 平衡、管理科学等诸多领域变分不等式理论的最重要的内容是设计有效的迭代算法来 计算它的近似解及分析算法的收敛性最近，出现了很多新型的变分不等式其中最有 用的一类问题就是平衡问题，这个理论已经被广泛的应用到前沿科学的许多方面 研究变分不等式一个有效的一个数值计算方法是投影算法及其变形为了保证投影 算法产生的迭代序列的收敛性，往往要求算子必须是强收敛且l i p s c h i z 连续的。这些条 件限制了投影算法的应用范围，使得投影算法不能应用到平衡问题的求解上这促使许 多学者研究辅助原则来研究平衡问题的解的存在性及解的迭代逼近算法以下是辅助原 理以及迭代算法的发展过程及研究现状 1 9 6 7 年，血帆叫；s 玩m p o c c 一2 】首先在变分不等式的求解上引入了辅助原理技术 1 9 9 4 年， e 。引u m 和o e 捌删研究了从变分不等式和优化论到平衡问题；2 0 0 3 年， 。d r 用辅助技术证明了一般平衡问题解的存在性和序列的收敛性，g f 删饥s 惫删应用辅 助原理研究混合变分不等式解的存在性2 0 0 4 年，o 卯【5 l 研究了一般变分不等式的发 展情况，其中就讨论了变分不等式和平衡问题之间的关系2 0 0 6 年，d 卯【6 l 用辅助技 术解决了三元函数的广义混合拟平衡问题现在解此类问题多足应用此方法 第二章广义非线性混合平衡问题 一、预备知识 令日为具有范数”| | 和内积( ，- ) 的实h i l b e r t 空间c ( 日) 表示日的所有非空紧子 集的集族设r ：日一c ( 日) 是集值映射对三元函数( ，t ) ：日日日r ，考虑 是否存在牡日，u 丁( 2 1 ) ，使得 ( u ，u ，t ，) + 6 ( t ，口) 一6 ( “，u ) 0 ，b 勺日( 2 ，1 1 ) 称为三元函数的广义非线性混合平衡问题 此处6 ( ，) ：日日一r 满足以下性质： ( 1 ) 6 ( 2 z ，秽) 关于珏线性； ( 2 ) 6 ( u ，可) 有界，即存在常数7 o 使得 6 ( t ，钞) 7 | | 牡l | f i 秽l i ，地，可日； ( 3 ) b ( u ，t ，) 一b ( 札，t t i ) s6 ( t ，t ，一t l j ) ，v t l ，u ，t l ，日； ( 4 ) 6 ( 乱，t ，) 关于t ，凸 特殊情况： ( 1 ) 若6 ( u ，口) = 妒( t ，) ，则问题( 2 1 1 ) 等价于存在u 日，叫丁( u ) ，使得 m ，叫，u ) + 妒 ) 一妒( t ) 0 ，v t ，日( 2 1 - 2 ) 称为三元函数的广义混合拟平衡问题，见n o o rf 5 】 ( 2 ) 若( u ，叫， ) = ( 切，口一u ) ，则( 2 1 1 ) 等价于存在t 日，硼t ( 缸) ，使得 狮，9 ( 秒) 一9 ( 钍) ) + 扫( 戳，t ，) 一6 如，钍) 0 ，坎，日( 2 1 3 ) 广义非线性混合变分不等式，是 7 】的一种特殊情形 ( 3 ) 若6 ( t ，t ，) 三o ，讹日，则( 2 1 1 ) 等价于存在牡日，训丁( 牡) ，使得 ( t ，伽，u ) 0 ， v z ，日 ( 2 1 4 ) 即是所谓的平衡问题由上可知，适当的选择空间和算子，一些已知的变分不等式和平 衡问题可以看作( 2 1 1 ) 的特殊情形因此( 2 1 1 ) 可以看作一些已知结果的推广为解决 问题( 2 1 1 ) ，给出以下概念 定义2 1 1 集值映射? ：日c ( 日) 称为t 2 ( 1 ) l i p s c l l i t z 连续，如果存在常数，y o ，使得 h ( t ( z ) ，t 【可) ) ，y0z 一可0 ，v z ，可日， 此处青( ，) 表示c ( 日) 的h a u s d o 呵度量 ( 2 ) 松弛l i p s c h i t z 连续，如果存在弘 o ，使得 ( 钮1 一伽2 ，t t l 一t t 2 ) 一pl lt 正1 一t 正21 1 2 ，讹1 ，t 1 2 日，v 加1 丁( t 正1 ) ，埘2 t ( t 正2 ) 定义2 1 2 三元函数称为非扩张的，如果存在常数，y o 使得 ( t ，奶，u ) 一( u ，们1 ，t ，) 7 ( t 晚一t l ，“牡t ，) 定义2 1 3 设d 是日的非空凸子集且，：d 一( 一，+ 。o ) ， ( 1 ) 称，是凸的，若对任意的u ，u d 和任意的q 【o ，1 】，都有 ，( a 牡+ ( 1 一q ) t ，) a ，( t 上) + ( 1 一q ) ，( t ，) ( 2 ) 称，在d 内下半连续，若对任意q ( 一。o ，+ 。o ) ，集合 t d ：，( t ) a ) 在d 内 闭 ( 3 ) 称，是凹的如果一，是凸的 ( 4 ) 称，在d 内上半连续如果一，在d 内下半连续 为证明结果，作以下假设 假设2 1 1 三元函数( ，叫，钞) ：日日日一r 满足以下条件t ( 1 ) 对任意的加日，u 日，口日，存在常数下 o 使得： l i 、r ( u ，叫，t ，) i i r0 叫i i i lu t 0 ( 2 ) 对给定的u 日，叫丁( t | ) ，映射u 一( 缸，叫，口) 是凹的和上半连续的 ( 3 ) ( u ，似，u ) = 一( 口，1 口，) 引理2 1 1 设e 是h a u s d o r f f 拓扑线性空间，x 是e 的非空闭凸子集，映射砂，妒： x x _ r 满足以下条件： ( i ) 妒( z ，夕) 驴( z ，可) ，v z ，可x ，且妒( z ，z ) o ，v z x ( i i ) 任意的z k ( z ，) 关于影上半连续 ( i i i ) 任意的y x ，集合 。x ：妒( z ，y ) o ) 是凸的 ( i v ) 存在非空紧集kcx 和z o k 使得矽( z o ，分) o 是常数注意到若z = t ，则孑是( 2 1 1 ) 的解 定理2 2 1 设6 ( ，) 满足( 1 ) ( 4 ) 和假设2 1 1 ，则辅助问题有解 证明：定义映射，妒：日日一r 如下； 咖( ，z ) = ( t ，u 一孑) 一( u ，t ，一名) + p ( z ，伽，u ) 一p 6 ( t 正，z ) + p 6 ( t 正， ) 则可证明驴妒在弱拓扑的意义下满足引理2 1 1 的条件 首先，和妒显然满足( 1 ) 又因为b ( ，) 双线性，由于假设2 1 1 ( 3 ) ，对任意给定的 秒日和q r ，集合 名：( 口，z ) n 闭再根据架设2 1 1 ( 2 ) 可知妒( ，z ) 关于z 弱 上半连续i 易见集合扣日：舻( 口，z ) 一( t l ，z 一乏) + p ( 乏，”，z t ) 一p b ( t l ，乏) + p b ( t l ，z ) = t ( 伍，钉一乏) 一( u ，口一乏) ) l p ( 细+ ( 1 一) 虿，硼，乏) + p ( 6 ( u ，细+ ( 1 一t ) 虿) 一6 ( u ，乏) ) t ( 缸t ，口一- ) 一似， 一- ) ) + p t ( ( - ，t u ， ) ) + ( b “，u ) 一6 ( u ，乏) ) 于是 ( z t ，钞一- 一亿，秽一乏) + p ( 乏，埘，留) + 砖( t t ，移) 一加( 缸，牙) 0 即 让t _ 0 + ，我们有 ( z t ，秒一虿) ( t 正，口一虿) 一肛( i ，硼，t ，) 一加( u ，t ，) + p 6 ( ，“，乏) ( 夏移一- ) 似，口一- ) 一p ( 乏椰，口) + 矽0 ，- ) 一p 6 0 ，t ，) ， 讹日 因此孑日是辅助问题的解，证毕 接下来考虑问题( 2 1 1 ) 的迭代算法 算法2 2 1 对给定的仳o 日，叫o t ( 乱o ) ，存在h 中的序列 ， 伽。 满足以下条件； 伽n f ( u n ) ：i lt u n 一加n + li i ( 1 + ；南) 日( t ( ，u n ) ，丁( 札n + 1 ) ) ( t 正n + 1 ，可一u 十1 ) ( u n ，t ，一t | n + 1 ) 一j 口( t n + l ，t t ，n ，t ，) + p 6 ( u n ，t n + 1 ) 一p b ( u ，1 u ) ，、9 7 t ，日，n = o ，l ，2 ( 2 2 3 ) 此处p o 是常数 三、收敛定理 这节我们将证明由算法2 2 1 所得到的序列是收敛的，而且收敛到问题( 2 1 i ) 的解 定理2 3 1 三元函数非扩张， z ：日一g ( 日) 松弛l i p s c h i t z 连续具有常数p o 且l i p s c h i t z 连续具有常数 o 函数6 ( ，) 满足条件( i ) 一( i v ) 若假设2 1 1 成立且 o o 则有： 和 0 一u n l + j 口6 ( 伽竹一切n 1 ) 1 1 2 = 0 一札。一l0 2 + 2 p 6 ( 一一1 钍。一t 正t l 1 ) + 2 6 2f i 叫n 一一10 2 一z 肛2 p 舡一一- f | 2 + 矿6 2 即+ 去) 2 一u 。一- 1 1 2 = ( 1 2 p 舡+ 矿6 2 2 ( 1 + 去) 2 ) l l 一饥n 一10 2 ( 2 3 6 ) b ( t 一t 正”一l ，t 上n ) 一6 ( t 一u n 一1 ，t + 】) 6 ( 让，l u 一l ，t n 一札n + 1 ) 一y0t h t 。一1i i i iu n t 上n + l0 6 ( 2 3 7 ) 于是； 得到 此处 让。+ 。一让n0 2 0 了了丽i 干歹夏虿丽f i 一t ，l 一- 洲+ - 一o + 刃i i 一一li i l i 一+ 11 1 0 + 1 一i l 日。0u n 一一1 ：乒磊孑研+ 刀 ( 2 3 8 ) 令口= 、r = 历币干积+ 刃，则礼_ o 。时以一伊 由于当o p o 是常数 注意到如果脚= 钍，则趔是( 3 。1 1 ) 的解基于此点，可以考虑如下的迭代算法 算法3 2 1 对任意的u o 日，伽丁( 9 ( 咖) ) ，存在序列u n ，i nk 满足以下条件： o ， ( 3 3 6 ) 由于最 o ，使得 ( 硼l ，9 ( u 2 ) ) + ( 地，雪0 ) ) 甜l i ，9 ( 孑) 一9 ( u 1 ) 0 2 ( i i ) 9 一单调当且仅当 ( 加1 ，9 ( t 正2 ) ) + ( 忱，9 ( u 1 ) ) o ( i i i 油一拟单调当且仅当 ( 彬1 ，9 ( t 2 ) ) o = 今( 耽，夕扣1 ) ) o 定义4 1 2 帆，移日，伽1 ? ( t 1 ) ，伽2 t ) ，多值算子丁：日c ( 日) 称为m l i p s c b j t z 连续的当且仅当存在常数6 o ，使得 m p ( t 1 ) ，t ( 忱) ) 刚u l u 2 fi o 此处m ( ，) 是c ( h ) 的h a u s d o r f f 度量 注意到若名= t 1 ，则( ，) 的夕一偏松弛强单调恰好是夕一单调若夕三j 此处i 是恒 等算子，定义( 4 1 1 ) 分别成为二元函数( ，- ) 偏松弛强单调，单调和拟单调 二、辅助问题和迭代算法 此节中，使用辅助原则，构造了迭代算法用于解决问题( 4 1 1 ) 对给定的u 日，9 ( u ) k t ，t ( t ) ，考虑是否存在叫日，9 ( 硼) k ，满足辅助平衡问 题 p ( u ，夕( t ，) ) + 白( 硼) 一9 ( 仳) ，9 ) 一9 ( 伽) ) 0 ，v 叠 ) k 。( 4 2 1 ) 此处p o 是常数 注意到如果 = u ，则显然加是多值平衡问题( 4 1 1 ) 的解基于此点，可以考虑预测 修正算法用于解决问题( 4 1 1 ) 算法4 2 1 对给定的咖日，由以下迭代方法计算近似解札n + 1 p ( ，7 h ，夕( t ，) ) + ( 9 ( 札n + 1 ) 一9 ( t t h ) ，9 ( t ，) 一9 ( t l n + 1 ) ) o ，、哟( u ) k( 4 2 2 ) t ( 撕。) ：0 + 1 一伽i f m 口( t l ，n + 1 ) ，t ( 嘶) ) p ( 矗，9 ) ) + 臼( 如h ) 一9 ( 协；) ，9 ( u ) 一分( n ) ) o ，的( v ) j r - ! 占0 、 ，j ， 靠t ( ) ：| | 靠+ 1 一靠l i m ( t ( + 1 ) ，t ( 锄) ) 和 p ( t h ，9 ( t ，) ) + 9 ( 3 h ) 一9 ( 让n ) ，9 ( t ，) 一9 ( 3 h ) ) o ，v 9 ( 钞) 危 t ( ) ：0 + 1 一i i o ，p o ，p o 是常数注意到如果9 = j ，此处i 表示恒等算子，则算法4 2 1 可 写如卞形式，即解决平衡问题的预测一修正算法 算法4 2 2 对给定的u o 日，由以下迭代算法计算u n + 1 ( ， ) + ( 让”+ 1 一，t ，一2 坤十1 2 ；o ，地k t ( ) ：0 + 1 一i i o 是常数则 0 夕( u n + 1 ) 一夕( ) f 1 2 i i9 ( 札n ) _ 9 ( q ) 8 2 一( 一2 孵) 09 ( 缸n + 1 ) 一9 ( t n ) 8 2( 4 2 8 ) i j - i 证明：设牡甄t ，t ( t ) 是( 4 1 1 ) 的解则 p ( u ，9 ( ”) ) 0 ，v 套( ) k( 4 ，2 9 ) 卢( q ，9 ( 秽) ) 芝0 ，v 9 ( 口) p n ( 铭，夕( 秒) ) o ，v 9 ( 移) k 1 5 ( 4 2 1 0 ) ( 4 2 1 1 ) 此处p o ，p o ，p o 是常数在( 4 2 9 ) 中取夥= + 1 ，( 4 2 2 ) 中取t ，= 也，则有 p ( 秽，9 ( t l 住+ 1 ) ) o 和 j 口( ，h ，夕( u ) ) + ( 夕( t n + 1 ) 一9 ( t h ) ，9 ( u ) 一9 ( t n + 1 ) ) 0 应用( 4 2 1 2 ) 和( 4 2 1 3 ) ，可得。 臼( t h + 1 ) 一夕( u h ) ，夕( 牡) 一9 ( u n + 1 ) ) 一p ( ，h ，9 ( t ) ) + ( 移，9 ( t l n + 1 ) ) ) 一c i pi l 夕( t 切+ 1 ) 一夕( t 协；) 0 2 后一步用到了( ，) 是9 一偏松弛强单调具有常数q o 在( 4 1 7 ) 中取让= 夕( u ) g ( n + 1 ) ，可= 9 ( t n + 1 ) 一9 ( ) ，得到 ( 夕( 钆 + 1 ) 一9 ( 牡h ) ，夕( u ) 一9 ( t 厶n + 1 ) ) ( 4 2 1 2 ) ( 4 2 1 3 ) ( 4 2 1 4 ) = 扣9 ( u ) 一9 ( 幻 ) 1 1 2 一u ) 一9 ( 乱。+ 1 ) 1 1 2 _ i i g ( t i n + 1 ) 一9 ) 1 1 2 ) ( 4 2 1 5 ) 由( 4 2 1 4 ) 和( 4 2 1 5 ) 可得t i | 9 ( 乱n + 1 ) 一9 ( 珏) 1 1 2 j | 夕( 硼n ) 一夕( t h + 1 ) 0 2 一( 1 2 c 呐i | 9 ( u ”+ 1 ) 一9 ( ”) 0 2( 4 2 1 6 ) 分别在( 4 2 4 ) 中取t ，= 珏和( 4 2 1 0 ) 中取t ，= ，则有 p ( 钞，9 ( 撕。) ) 0( 4 2 1 7 ) 和 p ( 靠，9 ( 缸) ) + 夕( t 蜥。) 一9 ( g h ) ，9 ( u ) 一9 ( 札h ) ) o( 4 2 1 8 ) ( 4 2 1 7 ) 与( 4 2 1 8 ) 相加得， ( 9 ( 札h ) 一9 ( 斩；) ，9 ( t ) 一9 ( t n ) ) 一p ( & ，9 ( t ) ) + ( 秒，9 ( 缸h ) ) 一纽i 夕( 协；) 一9 ( t k ) | | 2 ( 4 。2 。1 9 ) 最后一步是由于( ，) 是夕一偏松弛强单调且相关常数口 o 分别在( 4 1 7 ) 中取秒亍 9 ( ) 一9 ) ，u = 夕( 让) 一9 ( ) ，则( 4 2 1 9 ) 式可写成： f i9 ( 让) 一9 ( t ) | 1 2 i i9 ( 铭) 一夕( ) 8 2 一( 1 2 p a ) i l 夕( ) 一9 ( 2 ) 1 1 2 1 6 i i 夕( t ) 一夕( 箩b ) 0 2 ，v 0 p 去 ( 4 2 2 0 ) 类似地，在( 4 2 6 ) 中取可= u ，在( 4 2 1 1 ) 中取t ，= t ，l + 1 ，再根据( ，) 是9 一偏松弛 强单调性，可以得到 臼( ) 一9 ( ) ，9 ( u ) 一9 ( 鼽) ) 一p aij9 ( ) 一9 ( ) 4 2 ( 4 2 2 1 ) 在( 4 1 7 ) 中取t ，= 鼽一，t = u 一，再结合( 4 2 2 1 ) ，得到 则 9 ( 孙) 一9 ( 珏) 0 2 | i9 ( t ) 一9 ( ) 0 2 一( 1 2 p a ) i l9 ( ) 一9 ( t n ) 1 1 2 l l 夕( u ) 一9 ) 悒v 0 p 去 ( 4 2 2 2 ) 9 ( + 1 ) 一9 ( 锄。) 1 1 2 = 09 ( t l n + 1 ) 一9 ( ) + 夕( u n ) 一9 ( 札h ) 8 2 = 09 ( + 1 ) - 9 ( t l 。) f f 2 + i i 夕( ) 一9 ( 硼。) 0 2 + 2 ( 9 ( z b ；+ 1 ) - 9 ( u 仆) ，9 ( t n ) 一9 ( 奶。) )( 4 2 2 3 ) 综合( 4 2 1 6 ) ，( 4 2 2 0 ) ，( 4 2 2 2 ) ，( 4 2 2 3 ) ，可得 i l 夕( t i n + 1 ) 一9 ( u ) l | 2 l l9 ( t ，i ) 一互( t ) 0 2 一( 1 2 p q | l 夕( t 上n + 1 ) 一夕( t ) 1 1 2 得到( 4 2 7 ) 三、收敛定理 定理4 3 1 设日是h i l b e r t 空间，映射夕：日，日是单射，o p 去，t ：日一c ( 日) 是m l i p 8 c h i t z 连续算子则由算法4 2 1 给出的序列仳。收敛到问题( 4 1 1 ) 的解 证明：设札日是问题( 4 1 1 ) 的解，且o p o 是m l i p s c h i t z 常数，所以d ( ，t ( u ) ) = o 又由于t ( 札) c ( 日) ，故t ，t ( u ) 证毕 1 8 第五章进一步的问题 还有一些值得我们思考和进一步讨论的问题： 1 把h i l b e r t 空间推广到b a n a c h 空间或者更广泛的一类空间，内积改成配对，辅助 迭代算法应该相应有怎样的改进或变形? 2 解决平衡问题除了辅助迭代算法之外，是否还能找到一种更普遍的算法使得其能 适用于更广泛的平衡问题? 参考文献 【1 】h a r t m a np ，s t 锄p a u c c l l i ag ，o ns o m en o i l l i i l e a re l l i p t i cd i f f 白e n t i a lf l l n c t i o n me q u a t i o n s j 1 a c t am a t h ，1 9 6 6 ，1 1 5 ：2 7 l 3 1 0 【2 】n o o rma ，s o m ep r e d i c t o 卜c o r r e c t o ra l g o r i t h i n s 五d rm u l t i v 龃u e dv 打i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j 】 j o p t i m t h e o r ya p p l ，2 0 0 1 ，1 0 8 ：6 5 9 - 6 7 0 【3 1 b i u me ，o e t t uw ，n o mo p t i m i z a t i o na n dv 打i a t i o n 啦i n e q u m i t i e st oe q u i i i b r i u mp r o b _ l e m s 【j j m a 乞h 锄a t i c ss t u d e n t s ，1 9 9 4 ，6 3 ：1 2 3 一1 4 5 4 jg l a 研n s k ir ，l i o 璐jl ，n e m o l i e r e sr ，n u m e r i c a la n a l y s i so fv 缸i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ( m j n o r t h h o l l 卸d ，a i n s t e r d 锄，h o l l a n d ，1 9 8 1 ( 5 】n o o rma ，p r 喇m a lm e t h o d s 蠡wm 政e dq u a s i v a r i a t i o n 越i n e q u a l i t i e s j 】j o u r n a l0 fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 2 ，1 1 5 ：4 5 3 - 4 5 9 【6 jn d o rma ，g e n e r a l i z e dm i x e dq u 蹈i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sw i t ht r i f u n c t i o n j 】。a p p l m a t h l e t t e r s ，2 0 0 6 ，1 8 ：6 9 5 7 0 0 【7 】h u a n gnj ，cxd a u ) 【i l i a i yp r i n c i p l ea n di t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rg e n e r a l i z e ds e t v 龃u e d s t r o n g l yn o n l i n e 盯m i x e dv a r i t i o n a l l i k ci n e q u a l i t i e s 【j 】m a t ha n a la p p l ，2 0 0 1 ，2 5 6 ：3 4 5 3 5 9 【8 】n o o rma ，t h e o r yo fg e n e r a lv 打i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s p r e p r i n t ，e t i s a l a tc o u e g e0 fe n g i - n e e r i n g 【m 1 s h a r j a h ，u n i t e da r a be m i r a t e s ，2 0 0 3 【9 1n 0 0 rma ，g e n e r a u z e ds e t v a l u e dv 打i a t i o n a l li n e q u “i t 涵【j 】m a t h e m a t i c h e ( c a t a j l i a ) ，1 9 9 7 ， 5 2 ：3 - 2 4 【1 0 】f a n gfc ，p e t e r s o nel ，g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n 出i n e q u a l l i t i e s 【j 】j o p t i m t h e o r ya p p l ，1 9 8 2 ， 3 8 ：3 6 3 3 8 3 【1 1 】n 0 0 rma ，g e n e r a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s f j 】a p p l m a t h l e t t ，1 9 8 8 ，1 ：1 1 9 一1 2 1 【1 2 1d i n gx p an e wc l a u s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a u ri m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t h f u z z ym a p p i n g s 【j 】c o m a p p l m a t h ，2 0 0 2 ，1 3 8 ：2 4 3 2 5 7 【1 3 】m a r t i n e tb ，r e g u l a u r i z a t i o nd i n e q u a t i o n sv a r i a t i o n n e l l e sp 盯a p p r o x i m a t i o ns u c c c s s i v e 【j 】 r 电v u ed a u t o m a t i q u e ，i n f o r m a t i q u e ，e tr e c h e r c h eo p e r a t i o n n e l l e ，s e r i er d u g e ，v 0 1 1 9 7 0 ， 3 ：1 5 4 15 9 2 1 【1 4 】舶c k a 儆l a rrt m o n o t o n eo p e r a t o r s 粕dp r 耐m a lp o 硫a l g o r i t h n l s j 】s i a mj 0 l l r n 越 o nc o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，1 9 7 6 ，1 4 ：8 7 7 8 9 8 【1 5 1d i n gxp a 1 9 0 r i t h m so fs o l u t i o n sf o rc o m p l e t e l yg e n e r a u z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v 打i t i o n a li n c l u s i o 璐【j 】a p p lm a t ha n dc o m p u t ，2 0 0 4 ，1 4 8 ：4 7 6 6 【1 6 】n o o rma ，s o m ed e v e l o p m e n t si ng e n e r a l lv 钌i t i o n a li n e q u a j i t i e s 【j 】a p p lm a t h c o m p ，2 0 0 4 ， 1 5 2 ：1 9 9 2 7 7 【1 7 】m o u d a 丘a ，m i x e de q u i i i b r i u mp r o b l e i i l s ：s e i l s i t i v i t ya n a i y s i sa n da i g o r i t h m i ca s p e c t s f j 】 c o m p u t m a t h a p p l ，2 0 0 2 ，4 4 ：1 0 9 9 一1 1 0 8 1 8 】g i a n n e s s if ，m a u g e r ia ，p 盯d a i o sm ，e q u i i i b r i u mp r o b l e m s ：n o n s m o o t ho p t i m i z a t i o n a i l dv 打i a t i o n a li n e q u a d i t ym o d e l s 【m 】k l u w e ra c a d e m i c ，d o r d r e c h t ，2 0 0 l 。 f 1 9 】f g i a n n e s s i ，a m a u g e r i ：v 甜i a t i o n a 王i n e q u a l l i t i 铅锄dn e t