（应用数学专业论文）一类浅水波方程的解分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了带色散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的尖峰解的轨 道稳定性，以及粘性色散d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的c a u c h y 问题的局 部适定性理论。d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程，( 简称d p 方程) 是d e g a s p e r i s 和p r o c e s i 得到的，它不仅有尖峰解，还有激波解。他们发现只有三 类方程满足这一族的渐近积分情况：k d v 方程，c a m a s s a h o l m 方程 和d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程，因而它们具有相似的性质。在流体领域， 当d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程所表示的浅水波模型发生色散时，此时该 浅水波模型就可以用带色散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程来描述，带色 散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程有光滑的孤立子，尖峰孤立子和周期 c u s p o n s o 在第三章中，在合适的控制下将带色散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方 程的孤立波构建为能量极小值，利用轨道稳定性的基本定义运用变分 法研究了带色散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的尖峰孤立波解的轨道稳 定性。运用这一稳定性结论，对于广义d p 方程的非零边界尖峰解的 稳定性问题，可以通过适当的变换，转换为带色散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的尖峰解的稳定性问题。第四章中，基于对弱色散项对 粘性d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的影响的兴趣，运用k a t o 定理，研究了 粘性色散d p 方程的初值问题的局部适定性理论。 关键词：d - p 方程，适定性，轨道稳定性，尖峰解，色散 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fp e a k o n sf o rt h ed e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o nw i t hd i s p e r s i o n ，a n dw e l l p o s e d n e s so ft h ec a u c h y p r o b l e mf o rt h ev i s c o u sw e a k l yd i s p e r s i v ed e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o n w i t hi n i t i a ld a t a t h ed p ( d e g a s p e r i s p r o c e s i ，i e ，d pe q u a t i o n ) e q u a t i o ni sd e p r i v e db yd e g a s p e r i sa n dp r o c e s i i th a sn o to n l yp e a k e d b u ta l s os h o c kp e a k o n s t h e yf o u n dt h a tt h e r ea r eo n l yt h r e ee q u a t i o n s w h i c hs a t i s f yt h ea s y m p t o t i ci n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o ni nt h i sf a m i l y ：t h e k d ve q u a t i o n ，t h ec a m a s s a - h o l m ee q u a t i o na n dt h ed e g a s p e r i s - p r o c e s i e q u a t i o n t h u st h e yh a v es i m i l a rp r o p e r t i e s i nt h e f i e l do ft h ef l u i d ，w h e n t h es h a l l o ww a t e rw a v ew h i c he x p r e s s e db yt h ed e g a s p e r i s p r o c e s i e q u a t i o no c c u r sd i s p e r s i o n ，t h ed i s p e r s i o nw a v e sm o d e lc a n b ed e s c r i b e d a sd e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o nw i t hd i s p e r s i o n i th a ss m o o t hs o l i t o n s ， t h ep e a k e ds o l i t o n sa n dt h ep e r i o dc u s p o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h eo r i b a ls t a b i l i t yo fp e a k o n sf o rt h e d e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o nw i t hd i s p e r s i o nb y v a r i a t i o n a la p p r o a c ht h a t c o n s t r u c t st h es o l i t a r yw a v e sa se n e r g ym i n i m i z e r su n d e ra p p r o p r i a t e c o n s t r a i n t s t h e nu s i n go ft h e s t a b i l i t y o ft h ec o n c l u s i o n ，t h r o u g h a p p r o p r i a t et r a n s f o r m a t i o n ，w ec a nc o n v e r tt h ep r o b l e m so fd pe q u a t i o n f o rt h eg e n e r a l i z e dn o n v a n i s h i n gb o u n d a r yp e a k e ds o l u t i o n s s t a b i l i t yt o s t a b i l i t y o fp e a k e ds o l u t i o nf o r d e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n w i t h d i s p e r s i o n i nc h a p t e rf o u r , s i n c ew ea r ei n t e r e s t e di nt h ee f f e c to ft h e w e a k l yd i s p e r s i v et e r mt ot h ev i s c o u sd e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n ，u s i n g t h ek a t o st h e o r y , w eo b t a i nt h el o c a lw e l l - p o s e d n e s so ft h ec a u c h y p r o b l e mf o rt h ev i s c o u sw e a k l yd i s p e r s i v ed e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n k e yw o r d s ：d - pe q u a t i o n ， d i s p e r s i o n p e a k o n s ，s t a b i l i t y , w e l l p o s e d n e s s ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密囹。 学位论文作者签名：切拷矛 沙o7 年i 三月1 彦日 i 扩 汐日 孙c=_ 签 月 磁 啊 勃 年 导，1醮1 指 夕 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容 以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 学位论文作者签名：勃0 殇号 日期：砷年，2 月矿日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 在众多领域中，数学模型都可以用偏微分方程来描述，其中物理、力学、流 体学科的许多基本方程本身就是偏微分方程。长期以来，人们一直用偏微分方程 来描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学和 ：程技术，不断取得了显 著的成效。以应用为目的的或以物理、力学、流体等其它学科中的i 、u j 题为背景的 应用偏微分方程的( 定性及定量的) 研究，不仪是传统应用数学的一个最重要的 内容，而且是当代数学中的一个重要组成部分。它是数学理论与实际应用之间的 一座桥梁，研究工作一直非常活跃，研究的领域r 益扩大。 在上世纪3 0 年代以前的近二百年中，偏微分方程紧密地联系着物理学、力学、 几何学等方面的需要，人们对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导 方程、调和方程、波动方程等) 已有了系统的了解，并以多元微积分学为主要工 具，形成了许多至今仍在广泛使用的有效方程。一方面，在实践中不断提出新的 研究课题，而且电子计算机的出现也为偏微分方程的研究提供了强有力的实现手 段，因而偏微分方程的应用领域前所未有的扩大了；另一方面，大量素材的积累 进一步提出了将它系统化的任务；早在1 9 0 0 年，希尔伯特( h i l b e r t ) 为预见2 0 世 纪的数学发展所提出的2 3 个著名问题中，有好几个都提出了研究偏微分方程的重 要性。上世纪3 0 年代开始，在索伯列夫( s o b o l e v ) 空间理论基础上建立起来的 泛函分析方法，为处理线性及非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架 和工具，并在实践中已得到广泛的应用。随着拟微分算子、f o u r i e r 积分算子等强 有力的工具的发展，又将偏微分方程的发展带到了一个新的高度；最后，偏微分 方程的发展又为许多现实问题的解决带来了可能。例如，在流体领域诞生了许多 新的重要的方程，! t n o s t r o v s k y 洋流方程，c a m a s s a h o l m 方程等新型浅水波方程 以及弱阻尼k d v 方程等。 1 1 研究背景和意义 十九世纪庞加莱等人已指出三体问题的不可积，并意识到许多哈密尔顿系统 是不可积的，从而转入对动力系统的定性理论的研究。此后，人们对可积系统的 江苏大学硕士学位论文 研究就不太关注了。孤立子的发现，对数学物理有着深远的影响。反散射方法， 也称为非线性傅里叶分析，是数学物理在2 0 世纪的一个重大进展。它引起了人们 对被遗忘多年的可积系统的研究兴趣。6 0 年代初期关于弱不可积保守系统普遍性 质的k a m 定理得到了证明。于是，非线性问题的可积性便清楚勾画出来，成为 一个广泛的研究领域。虽然大多数进展还只限于时空维数较低的系统，但它对非 线性科学发展的促进作用是不可低估的。系统的可积性是指系统的运动学情况或 者动力学方程的解，或者与热力学相关的热力学函数可以严格的用基本函数解析 表示出来。系统可积性的证明主要有两种途径。一是根据著名的n o t h e r 定理，另 外一种方法是利用l a xp a i r ( l a x 对1 。可积模型是统计物理和低维场论中一类非常 重要的模型，它可以看成是真实物理系统的简化。其最显著的特征之一就是可以 严格求解，在理论物理和数学物理的研究中扮演了十分重要的作用。具有相互作 用的低维系统成为近几十年来理论物理学家研究的热点，正是基于这方面的考 虑。尤其是一维体系，它能运用特殊的方法而获得完全严格的解析解，揭示些 与维数无关的规律，使原本相当复杂的问题得以简化。 另一方面，一维的复杂性又足以引出相当丰富的物理问题。可积模型的研究 在凝聚态物理、共场论等领域中有广泛的应用。在凝聚态物理中，对于可积模型 的研究开始于对一维海森俸模型的b e t h ea n s a t z 解。b e t h ea n s a t z 可以给出各种一 维系统的很好的解析解，从这一点来说，它是研究一维系统的最重要和有效的方 法。c o o r d i n a t eb e t h ea n s a t z 方法( c b a ) 的产生是证明可积性的个里程碑，它 被非常成功地应用于解决相互作用电子模型。随后发展的量子反散射方法 ( a l g e b r ab e t h e a n s a t z 方法) ，以及近年来广泛应用的热b e t h e a n s a t z 方法等，为 研究可积模型提供了有力的手段。最近，精确可解模型被运用于超对称规范理论， 讨论与引力、弦理论的关系等。 通过长期深入的研究，建立了很多经典的可积模型。如强关联电子系统中的 h u b b a r d 模型，最早可用来解释过渡金属化合物的磁性质，更深入的研究则发现 它和费米液体理论，高温超导理论中的氧化铜平面都有联系。另外，对量子可积 系统的深入研究更是揭示了物理学和数学在一些领域如代数结构等方面的相互 联系。例如，对y a i l g b a x t e r 方程的深入研究直接导致了量子群的产生。 孤立波是非线性科学中的一个重要方面。一方面，它在经济，金融，军事， 2 江苏大学硕士学位论文 通信等方面都有应用。例如，在信息高速公路计划中，针对如何进一步提高光纤 通信速度和距离上，很有希望解决的方法是“光孤立波通信 。另一方面，在非 线性科学中轨道稳定问题也是其中的重点和难点。因此解决轨道问题也变得尤为 重要。1 8 4 4 年，英国工程师罗素( r u s s e l l ) 记述了他1 8 3 4 年在连接格拉丝和爱丁 堡之间的运河上观察到的一个现象，他发现有一种水波发生碰撞后仍然保持原来 的形状和速度前进，他称之为“s o l i t a r yw a v e 。1 8 5 9 年，荷兰数学家k o r t e r v e g 和他的学生d e v f i e s 研究了浅水波的运动在长波近似和小震动的前提下建立了单 向运动方程( k d v ) ，并求出了与r u s s e l l 描述一致的孤立子解，从而理论上证明了 孤立波的存在，然而孤立波的轨道稳定性并未得到解决，以及两个孤立波的碰撞 是否会被破坏，非线性方程不满足叠加原理，人们担心碰撞可能会破坏孤立子解， 由于担心孤立波“不稳定”从而没有大物理意义，孤立波的研究没有大规模展开。 微分方程的产生来源于生产实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的 客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。对于反映某一 运动规律的微分方程，如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一 定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它对 某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解“运动 具 有所需的性能。而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的 地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其它理论的基础。但对于非线 性微分方程解的存在性以及其它性质的研究比常微分方程解的性质要复杂得多。 非线性偏微分方程c a u c h y 问题( 或称初值问题) 的定性理论在非线性偏微 分方程理论研究中有着非常重要的地位。由于物理学、力学和工程技术等方面的 许多问题都归结为偏微分方程的定解问题，因而数学物理方程最终目的是研究这 些问题的解法。但是，数学物理方程的任务也不只局限于是对具体的问题来研究 求解的方法，它还要对物理学、力学和工程技术中所可能碰到的方程及其定解问 题作系统的研究。这些研究有助于求解问题，也有助于把实际问题归结为偏微分 方程的定解问题。因此它一方面从量的侧面来考察这种归结的合理性，另一方面 又对定解问题的提法给出一定的要求。这样在数学物理方程就需要考虑适定性的 问题。 目前关于浅水波方程解的研究已经比较完善，研究其解的性质是极其重要的 3 江苏大学硕士学位论文 一项工作。通过其性质的研究，可以更深刻更广泛地了解非线性方程解的性质。 本文通过对一类浅水波方程解的轨道稳定性、局部适定性的研究，丰富和发展了 这一理论工作，也使得该理论体系得到了进一步的完善。 1 2 研究现状和研究内容 近年来，随着浅水波方程理论的发展，非线性方程解的性质理论也逐步得到 了丰富，同时众多学者也在不断的探求浅水波方程解的更多性质( 存在性、轨道 稳定性、爆破) 。在浅水波解的理论中，解的轨道稳定性是解性质的一个重要分 支。所以研究些浅水波方程解的的轨道稳定性成为近几年许多学者研究的热点 问题。 陈林等人研究了广义s r l w 方程的孤立波的轨道稳定性与不稳定性【。2 0 0 0 年，c o n s t a n t i n $ i s t r a u s s 给出了c a s s a m a - h 0 1 m 方程p e a k o n s 解的轨道稳定性 2 】。 2 0 0 4 年，周勇给出了以下杆方程的轨道稳定性证吲3 1 。 q + 4 u 吱+ 龟+ 喀( 2 吃+ d ) = 0 刘跃等研究了d p 方程的全局存在性及爆破【4 】，只有在浅水波破裂或碎波的 情况下，非线性方程才有解的爆破。证明d p 方程浅水波全局存在或波破裂的方 法是应用c o n s t a n t i n 的思想，即带有初值条件的d p 方程相应的解要么全局存在， 要么在一定量时问内爆破。但是，这些思想要依靠守恒量，虽然方程的哈密尔顿 结构提供无究多个守恒量，但是守恒量不仅不能保证波的斜率是有界的，而且还 没有找到控制e 测度空间中的守恒量，解决这些问题是有一定困难的。2 0 0 9 年 刘跃给出了方程p e a k o n s 解的轨道稳定性的证明1 5 1 。桂贵龙利用k a t o ，s 方法证明了 一族b 族方程p e a k o n 解的的局部存在性、全局存在性及其爆破 6 1 。 d e g a s p e r i s f f = l p r o c e s i 在文献( 7 ) 研究了如下三阶色散p d e 守衡律族 + c o u ，+ _ 珊一口2 u t x _ r = ( q 甜2 + 巳+ c 3 1 d u x x ) 。， ( 1 2 1 ) 其中，口，c o ，c a ，c z ，g 是实常数。他们发现至少有四类方程满足这族的渐近可积 情况：k d v 方程，c a r n a s s a h o l m 方程，d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程和d e g a s p e f i s p r o c e s i 方程。 方程( 1 2 1 ) 中当甜= c 2 = g = 0 时，它变成众所周知的k d v 方程 4 江苏大学硕士学位论文 u l + + u u x = 0 ， ( 1 2 2 ) k d v 方程是完全可积的，且它的孤立波是孤立子【& 9 1 。k d v 方程的柯西问题已被 广泛研究，k d v 方程的局部或整体存在性理论也己具备【l o l 。当h o h 5 似) s 1 ， k d v 方程是整体适定的。 令q = 一3 c 3 0 i , 2c 2 = c f f 2 ，方程( 1 2 1 ) 变为c a m 勰s a h o l m 方程 ，鸭+ ，“+ 2 m u 。= o ，m = ( 1 一a ：) h ( 1 2 3 ) 它有双哈密顿结构1 1 1 1 2 1 ，且是完全可积的【1 3 1 。c a m a s s a h o l m 方程的柯西问题已 被深入研究。在初值“o h5 伍) ，s 3 2 的条件下，c a m a s s a h o l m 方程的解是局 部适定的【体1 6 1 。在索伯列夫空间( h s ，s 3 2 ) 中，对一系列初始条件，它有整 体强解【1 4 1 7 1 ，并在有限时间内发生爆破【1 4 ，1 7 - 2 0 。如果u 是c a m a s s a h o l m 方程在初 u 0 h 1 ( r ) 下的解，则对所有的f 有 u ( f ，) k ) 压，) 1 1 州- - 压lu o ( 讹。( r ) 对比k d v 方程，c h 方程的优越性是明显的，c h 方程有尖峰孤子，但它没有激 波1 2 。 在方程( 1 2 1 ) ，令q = _ 2 2 ，c 2 = 巳可得到d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程 + 埘吼+ 3 u , m = 0 ，石r ，t 0 ( 1 2 4 ) 这里朋= ( 1 一a ：弘，d e g a s p e r i s ，h o l m 和h o n e 通过构造l a x 对证明了方程( 1 2 4 ) 的可积性【捌。他们也证明了方程( 1 2 4 ) 有购j , h a m i l t o n 结构和无穷多守衡量，且 与c h 方程有相似的精确p e a k o n 解。尽管d p 方程和c h 方程在许多方面是很相似 的，但它们之间也有重要不同之处。 d p 方程的标准谱问题在l a x 对中有三阶导算子 虬一妙掰一砌沙= 0 ， c h 方程的标准谱问题是二阶导算子 一了1 沙一2 m 沙：0 一石沙一 沙2 u c a m a s s a h o l m 方程最先由f o k a s 和f u c h s s t e i n e r 1 2 1 作为一个哈密尔顿系统被 推导出来，然后作为一个浅水波模型由c a m a s s a 和h o l m 提出【1 3 1 。d p 方程也是 5 江苏大学硕士学位论文 一个不可压缩的浅水波近似欧拉方程【2 3 ，矧，并且它的渐进精度和c a m a s s a h o l m 浅水波方程是相同的，这里u ( x ，f ) 可以看做在带有动量m 的空间x 方向时间为t 时的流体速度。 文献( 4 ) 中说明了方程( 1 2 4 ) 第一爆破必然出现碎波，并且在随后可 能会出现激波，随后c o c l i t e 和k a r l s e n t 捌计算出其有下述形式的激波尖峰解 m ( f ，功。忐s g n ( x ) e 十f ，露 0 在文献( 2 5 ) 中说明了d p 方程( 1 2 4 ) 的解的存在时间不受其光滑度和初始 分布的尺度的影响，而受初始分布的形状的影响( c h 方程的可参看文献 1 8 ， 2 6 ) 。这是d p 方程( 或者是c h 方程) 与k d v 方程的最大不同。而且k d v 方 程不像d p 方程或c h 方程，它没有波的爆破现象阳。我们在波的爆破下理解奇 异性为：在有限时间内波保持有界但它的斜率变成无界【2 8 1 。 d p 方程可看作非线性浅水波的个模型，它的渐近精度与c h 方程相同， d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m t 2 9 l 证明d p 方程可通过k o d a m a 变换从浅水波中得到， v a k h n e n k o 和p a r k e s t 3 0 1 研究了方程( 1 2 4 ) 的行波解。h o l m 肃i s t a l e y 2 3 1 研究了方 程( 1 2 4 ) 的孤子解的稳定性及数值p e a k o n s 。 在d p 方程给出以后，它被广泛的研究，例如，殷朝阳证明了在初值 u o h 。僻l ( s 3 2 ) 的条件下方程( 1 2 4 ) 在直线j z l 3 1 】以及圆环上f 3 2 】具有局 部适定性，导出精确爆破准则，并给出一个爆破结果。在文献( 3 3 ，3 4 ) 中给 出了方程( 1 2 4 ) 强解的整体存在性与整体弱解。目前，l e n e l l s 3 5 1 归类了所有的 弱行波解。m a t s u n o 研究了多重孤子解和它们的p e a k o n 极限 3 0 1 。h e n r y 3 7 1 和 m u s t a f a 3 8 l 表明方程( 1 2 3 ) 的光滑解有无限增长速度。c o c l i t e 和k a r l s e n 分别得 到了集l ( r ) n b v ( r ) 以及集r ( 尺) n r 俾) 上方程( 1 2 4 ) 弱熵解的整体存在及唯 一性【3 9 】。 d u l l i n ，g o t t w a l d 矛1 h o l m l 4 0 1 推导出一类1 + 1 维新型单向浅水波方程( 通常称 为d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程，简称为d g h 方程) ： ，+ c o u ，+ 鸭+ 2 m u ，= 一肛。， x r ，t o ( 1 2 5 ) 其中“o ，x ) 表示x 方向的流体速度，m = u 一口2 “。表示动量，y c 。是区间长度的 平方，c o = 朗( 其中c o ：= 2 缈) 表示线性波速。d g h 方程有) 0 2 h a m i l t o n 结构和l a x 6 江苏大学硕士学位论文 对。 d p 方程所表示的浅水波模型发生色散时，此时该浅水波模弛可用下面色散 项的d p 方程来描述 u t u t r x + 4 u u ，= 3 u ，甜。+ u u x x x + ( 甜一l ， x r ，t 0 ( 1 2 6 ) 带色散项的d p 方程出现在流体领域里，它和d p 方程有着相同的尖峰孤立子。 方程( 1 2 6 ) 的守恒最及相应的哈密尔顿算子如下： 即 p 3 d r ，h 2 = - - 兰肛， b 1 = m 2 1 3 c 3 ，肌邶( a x a ；) 一1 历1 3 1 多x m 2 3 + 2 9a ，( 1 一a ；) “( 1 - a ；) ， 忍= a 。1 一引( 4 一c a 2 , , ) + 2 7 t 9 ，( 1 一a ：) 甜一( 1 一a ；) 方程( 1 2 6 ) 也是双哈密尔顿系统，即可以表述成两个不同的哈密尔顿形式 = 哆等= 电等， 递归算子b 2 ，且组成一个哈密尔顿对，它们的和仍是一个哈密尔顿算子，因此 方程( 1 2 6 ) 是双哈密尔顿结构，由 且盟：岛盟三一，6 1 m 2 6 m 。 它的两个相容的哈密尔顿算子的比是一个递归算子，由这个递归算子可以导出无 穷守恒量序列 也( “) = 丢j m w a x ，皿= 吾p v 3 d x ，马= 一丐1 且幢m - 7 3 + 9 m - l 3 ) 出 。 递归算子吼= b 2 b f l ，相应的可由下式递归导出 耐肿1 ) = k h 叫= 孵k 【聊】，n = o ，l 挖， 方程( 1 2 6 ) 有l a x 对： ( 1 一a ：) 虬= 朋y ， 彬+ 三。+ ( 扰+ y ) 虬一虬少= 0 彬+ 一。+ 【扰+ y j 虬一虬少= “ 带有粘性项和色散的d p 方程为 u t 一“。一占( “。一“一) + 4 u u , , + 厂( 比一“。) 。= 3 u 。u 。- i - u 甜一 ( 1 2 7 ) 7 江苏大学硕士学位论文 在上面的研究基础上，本文研究了带色散项d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程的解得 爆破问题以及其尖峰解的轨道稳定性，并且研究了带有粘性项和色散的d p 方 程的适定性。 1 3 符号说明 我们用| | i p 揪r b jl p ，l o ，存在一个万 o ，如果对任意的( 功，l l u 。一纯峙俾) 艿，那 么对方程具有初值u o ( x ) 的解“( x ，f ) 有，s ，u 卸p i 脚n f 肛( f ，) 一纪( 一f ( f ) ) 峙 0 ，令m = m a x f ( t ，功i i ，五= m i n ( 口，刍) ，贝l jc a u c h y 问题在 区间i t - t o i l 上有一个解x = 砸) ，且它是唯一的。方程( 2 2 4 ) 等价于： x = 而+ f ( t , x ) d t 2 2 2 相关定义、定理 定义2 2 3 对于任一函数厂( 力1 9 ( 彤) ，定义其f o u d e r 变换为 于( 9 = f 【门= 厂( 力e - 扫：d x ， 江苏大学硕士学位论文 又若函数g ( 善) 1 9 ( 彤) ，定义其f o u r i e r 逆变换为 讹) = f - l g 5 荆扩击出， 这里x 孝= 五缶+ 恐乞+ + 毛靠。 定义2 2 4 设，( 砷，g ( 力是彤上的可测函数，若积分工。f ( x y ) g ( y ) d y 7 存- 在，则称此积分为f ( x ) 与g ( x ) 的卷积，记为( ，木g ) ( 力。 定义2 2 5 设七为非负整数，1 p 0 0 ，q 是尺“中的开集。定义s o b o l e v 空 间彬咖( q ) 为满足条件：ue w ( q ) ；d “p ( q ) ，l a ， 则可定义d _ 日的算子召为 b x ：l i m s ( h ) x - x 称b 为算子半群s ( f ) 的无穷小生成元。 定理2 2 7 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q c r “为一有界区域，1 p 。 ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = 刀时，有 1 ，( q ) c 口( q ) ，1 q 佃 而且对任意的u w 1 p ( 哟，有 i u c ( 疗，q ，q ) l l u b ( ，1 q 佃 当p n 时，有 1 2 江苏大学硕士学位论丈 w 1 ，( q ) cl q ( n ) ，1 q 疗时，有 w 1 ，( n ) cc “( 确，o a 1 一一n p 且对任意u w 1 p ( q ) ，有 叱c ( 伽，固1 ，( o o 中一点，过p 点往下做一弱类空向曲面f p 。该曲面与平面f = 0 围成一个区域q 。对任意满足 0 0 ，这里似功= e h 。因为这些行波除了在波峰处都是是光滑的， 因此称这些解为尖峰解【1 3 2 1 。 d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程的三个重要的守恒量为 互( 甜) = m d x ，垦( 甜) = 班m 出，毛( 掰) = 上掰3 d x ( 3 1 4 ) 相应的c a m a s s a h o l m 方程的三个重要的守恒量为 曩( “) = 工砌，t ( 甜) = ( 甜2 - t - 甜：) ，e ( 甜) = ( u 3 + u u ：) 出( 3 1 5 1 ) 这里，l = ( 1 一) 甜，v = ( 4 一) “。可以看出d p 方程的守恒量要弱一些。 孤立波的稳定性是非线性波方程解的一个基本性质，数值模拟认为尖峰解碰 撞之后不会发生大小和速度的变化，因此这些模型有望是稳定的。而且，据观察 尖峰解随着时间t 一埘和，专佃时，其形状大致相同。对于c h 方程，其尖 峰解的稳定性已经证明【4 l4 2 。d p 方程的尖峰解的稳定性在文献( 5 ) 中也已 经给出。 有两种基本的方法研究色散波方程的稳定性问题。一种方法是线性化孤立波 江苏大学硕士学位论文 方程，通常认为非线性稳定被线性化方程所控制。然而，对于c h 和d p 方程， 非线性起了主导作用，而不是一个高阶线性修正项，因此，目前还不清楚是否可 以通过研究线性问题得到尖峰解的非线性稳定，而且，尖峰孤立子c 矽是不可微 的，这就很难分析线性化算子c 够的谱。 另一种研究稳定性的方法是构造合适的控制下能量极小的孤立波。然而，如 果没有极小的独特性，则只能获得规定的最低标准的稳定性。变分法的应用在文 献( 4 1 ) 中关于c h 方程的稳定性给出。结果表明，在文献( 4 1 ) 每个尖峰 解是唯一最低( 基态能量的限制) ，它的轨道稳定性在初值u 。h 3 及 m o = ( 1 - o ：) u o 0 时被证明，该证明强依赖于c h 方程的守恒量e 是解的日1 范 数。然而对于d p 方程的守恒量e 仅仅是解的r 范数，因此用变分法来证明它 的稳定性就更困难。 在文献( 5 ) 中刘跃等建立了d p 方程稳定性的结果。文献 5 拓展了文献 ( 4 1 ) 中对于c h 方程的方法，文献( 4 1 ) 中对于稳定性的证明大致思路是 用能量e 作为l i a p u n o v 泛函，通过围绕尖峰解c 缈扩展( 3 1 5 ) 中的最，余项是 对c 缈的极大差异和解的扰动形式。为了估计这个差异，文献 5 中构造了函数g 并利用其得出两种可积关系 b 2 d x = h ：( “) 一2 ( m a x “) 2 和i u 9 2 d x = 甄 ) 一( m a x h ) 3 ， 进一步得到 h a ) 0 ( 3 1 6 ) 这里y 是一个是常数。方程( 3 1 6 ) 有着和d p 方程如下形式的尖峰解 h 2 ( x ，t ) - - - - - ( k , + c ) e k 一屯+ 。l i ( 3 1 7 ) 1 6 江苏大学硕士学位论文 本章将要利用上述文献( 5 ) 中的方法研究( 3 1 6 ) 尖峰解的非线性稳定性。 令m = “一，方程( 3 1 6 ) 可写成双曲型拟线性发展方程 i ，珥+ 珊吩+ 3 u m , 一y m x = 0 ，x r ，t 0 ， i m ( 0 ，功= h o ( 功一弗， x r 由绪论，方程( 3 1 6 ) 有如下两个重要的守恒量： 皿 ) 2 2 1 _ l m w a x ，日z ) = 一丢，3 出 这旱m = 0 - o ：) u ，w = ( 4 一或) u 。 3 2 预备知识 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 在这部分，将要给出研究非线性稳定所必须的关于方程初值问题的适定性以 及局部存在性理论。文献 5 1 中给出了这些结论，下面简要叙述这些结论。 定义p ( x ) = 三口一，z r 那么( 1 一a ：) - 1 厂= p 堆厂对所有的厂工2 伍) ， p 宰聊= u ，用这个定义，可以改写方程( 3 1 6 ) 为如下 挑x r ， ( 3 2 1 ) 或写成等价的形式 坼+ 甜峻一y u 。= - a x ( 一a ：) q ( 三甜2 ， ， 。芦r ， 。3 2 2 ， 【“( o ，x ) = ( x ) ，x e r 带初值“o h8 僻) ，s 詈的方n ( 3 1 6 ) 的c a u c h y 问题的局部适定性可由k a t o s 定理得到，有下面适定性的结论 引理3 2 1 1 5 1 1 给定u 。h3 俾) ，s 昙，存在一个最大值丁= r ( a ，c o ，厂，u o ) o 和方程( 3 1 6 ) 的唯一解，使得 “= “( ，m 。) c ，丁) ；日5 ) n c l ，丁) ；日一) 此外，解连续的依赖于初值，即映射 1 7 扩 r3 2 p屯 一、弘x ，叭 心 一 1 l 力 蹦 咒 甜 江苏大学硕士学位论文 砧。一“( ，砧。) ：h5 专c ，丁) ；日3 ) n c l ，z ) ；日5 q ) 是连续的。 引理3 2 2 f 5 1 】在引理3 2 1 中r 在以下情形可以选择不依赖s ，如果 “= 比( ，“。) c ，z ) ；日3 ) nc 1 ，r ) ；日8 d ) 方程( 3 1 6 ) 的解，而且对某些配o 日5 ，s 7 s ，s 詈，则 “c ，z ) ；h 5 ) n c l ( 1 0 ，r ) ；日) 有相同的值r 。特别地，如果h 。h 。= nh 5 ，则有c ( o ，丁) ；日。) 。 j a u 以下引理应用守恒量，得出方程( 3 1 6 ) 强解在r 上的先验估计，从而得 到方程( 3 1 6 ) 有全局强解。 引理3 2 3 i s l 】给定“。日。僻) ，s i 3 ，只要解比( f ，砷存在，就有 扣( f ，x ) v ( f ，x ) d x = h ( 矽( 力出 最r 其中肼= ( 1 一) l ，y = ( 4 一或) q m 。而且，有陋( t ，够2 - i 3 ，m o o ，其中= ( 1 一a ：) h o ，令z o 是方程( 3 1 6 ) 的解托的最大存在时间，则有 , x ) l l 聊，3 帆( x ) 咖+ m 训l 矿 引理3 2 5 1 5 1 】假设“o 日5 但) ，s i 3 ，如果m o = ( 1 一或) 1 1 0 在尺上不变号， 则方程( 3 1 6 ) 有全局强解 站= 口( ，z t 。) c 他，丁) ；h 5 ) n c l ，z ) ；日州) 并且q ) = 毒卜眺是方程的一个守恒量，这里聊= ( 1 一a ：弦，w = ( 4 一) 一1 甜。 一r 对一切t 冠，有 晰6 引l u o l l t 2 + 4 1 1 u 。u o bt + i l u 。婿 1 8 江苏大学硕士学位论文 3 3 稳定性证明 性。 在这，部分，将要证明方程( 3 1 5 ) 的如( 3 1 6 ) 形式的尖峰解的轨道稳定 定理3 3 1 ( 稳定性) 令“：( x ，f ) 足如( 3 1 6 ) 形式的尖峰孤立子，则“2 ( x ，f ) 在以下情形是轨道稳定的。如果对任意的s 兰，日5 僻) ，m o = u o - a ：是 一个非负有限总量的r a d o n 测度。对任意的o 占 要( 白+ c ) ，如果怯0 - - u 2 1 i x s ， 则带初值l l ( 0 ) = 比。的方程( 3 1 5 ) 的解“( x ，f ) 满足 s u p b ( t ，) 一“：( 一孝( f ) ) i | x 3 2 ，并r u 0 ，则o 1 ，它必定有带有局部极大值的刀个点 瑶挺。和带有局部极小值的，l 一1 个点 戋) ：，把这些关键点进行如下排序 一0 0 轰 r 1 邑 磊一1 砀一l 戋 仇 仉- 1 磊 + o o 令比( 戋) = m i ，1 i n 。且瓴) = 他，1 i 以- 1 ( 3 3 7 ) 假设刀 3 2 ，并_ ru 0 ，用( 3 3 2 ) 中记号，定义 函数g g = 2 w + c 3 ：w , ,