（应用数学专业论文）mv代数上的概率和期望及相关性质的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 m v 一代数是一种逻辑代数，它是国际著名模型论专家c c c h a n g 提出的 代数体系，其目的在于提供无限值l u k a s i e w i c z 逻辑完备性定理的证明，这 种逻辑完备性可以归纳为关于m v 一代数的一个完备性近半个世纪来对m v 一代 数的研究长盛不衰，m v 一代数与吴望名教授提出的f u z z y 蕴含代数、徐扬教授 提出的格蕴含代数，以至日本学者提出的b c k 代数、b l 一代数和风代数均有着 重要的联系对m v 一代数的研究也日益引起了人们的兴趣上个世纪九十年代 开始有学者在m v 一代数上建立概率测度，研究斟一代数中与概率测度有关的内 容但是目前对相关的许多问题的研究还不系统，不完备，仍然需要进一步 地加强国内诸如m v 一代数中条件概率和条件期望相关性质的问题至今还没有 人讨论对m v 一代数中与概率测度相关的一些内容的研究还是空白的做这方 面的研究有着重要的理论意义为此，本文试图建立一套较完备的关于m v 一 代数中的概率、条件概率和条件期望的理论体系 本文与k o l m o g o r o v 模型相对比运用了现代分析和分析概率论中的理论 内容及鞅的收敛定理，在现有的研究基础上，主要做了下面几个方面的工作： 1 进一步完善了m v 一代数中概率测度的性质； 2 讨论了m y _ 代数上的观测的两种独立性，并给出了其中一种独立性的 充要条件； 3 讨论有关条件概率的性质，研究与条件概率有关的条件独立性的问 题： 4 接着本文讨论了m v 一代数中条件期望的相关性质 本文为了讨论方便，所有性质都是在m v 一代数的一个典型代表一一个 f u z z y 事件族上进行的 关键词：m v 一代数，观测，概率测度，条件概率，条件期望 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t m v - a l g e b r ai s ak i n do fi o l g i c a l g e b r a ，w h i c hh a sb e e ni n t r o d u c e db yt h e i n t e r n a t i o n a lf a m o u sm o d e l e x p e r tc c c h a n g i tw a si n t r o d u c e d t os o l v et e s t i f y o ft h ei n f i n i t ev a l u el n c a s i e w i c z l o g i c a lc o r n p l e t e n e s st h e o r y , a n d t h i s c o m p l e t e n e s s c a n b er e d u c e da s t h e c o m p l e t e n e s s a b o u tt h em v a l g e b r a s m v - a l g e b r a h a sa t t r a c t e dq u i t eaf e ws c h o l a r s i n t e r e s ts i n c et h el a s t5 0 s t h e r ea r em a n yi m p o r t a n tr e l a t i o n sb e t w e e nm v - a l g e b r aa n df u z z yi m p l i c a t i o n a l g e b r a i n t r o d u c e db yw u w a n g m i n g ，l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai n t r o d u c e db yx u y a n g ，t h eb c ka l g e b r ai n t r o d u c e db yj a p a n e s es c h o l a r ，b l - a l g e b r aa n dr 0 a l g e b r a a n d m o r ea n dm o r es c h o l a r sa r ei n t e r e s t e di nm v - a l g e b r a s o m es c h o l a r b e g a n t o p r o p o s e t h ep r o b a b i l i t ym e a s u r ei nm v - a l g e b r ai nt h el a s t9 0 s ，a sw e l la s t h e yb e g a n t os t u d yt h ec o n t e n tr e l a t e dw i t ht h ep r o b a b i l i t ym e a s u r e b u ti ti ss t i l l n o t s y s t e m i cf o rm a n yq u e s t i o n s w e s t i l ln e e dt oi m p r o v ei t t h e r ea r ef e w p a p e r s t h a tc o m p r e h e n s i v e l yi n v o l v et h ec o n d i t i o n a lp r o b a b l ya n dc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n i nc h i n a a n di ti ss t i l lb l a n kf o rt h er e s e a r c ho ft h e p r o b a b i l i t y i nm v - a l g e b r a i t h a sa ni m p o r t a n tt h e o r e t i cm e a n i n gt os t u d yt h ea b o v e - m e n t i o n e dp r o b l e m t h i s p a p e rt r i e s t od i s c u s st h e p r o b a b i l i t y ，c o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t y a n dc o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o nm v - a l g e b r ao f f u z z y s e t s b a s e do nt h ea b o v e m e n t i o n e d s t u d yb a c k g r o u n da n dc o m p a r e dw i t ht h e k o l m o g o r o v m o d e lu s e dt h et h e o r yo fm o d e m a n a l y s i s ，a n a l y t i c a lp r o b a b i l i t ya n d m a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r y ，t h i sp a p e rd o e st h ew o r k s a sf o l l o w i n g ： 1 p e r f c c tt h ep r o p e r t i e so ft h ep r o b a b i l i t yo n m v - a l g e b r a 2 d i s c u s st w ok i n do fi n d e p e n d e n c eo fo b s e r v a b l e so nm v - a l g e b r aa n d i n t r o d u c et h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r o n eo ft h et w o i n d e p e n d e n c e s 3 d i s c u s st h e p r o p e r t i e sa b o u t t h ec o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t ya n dt h ec o n d i t i o n a l i n d e p e n d e n c e 4 d i s c u s st h e p r o p e r t i e sa b o u t t h ec o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n f o rc o n v e n i e n c e ，a u p r o p e r t i e s a r ed i s c u s s e di na p r o t o t y p e o f m v - a l g e b r a - - t h ef a m i l yo f a l lf u z z ye v e n t s k e yw o r d s ：m v - a l g e b r a ，o b s e r s r a b l e ，p r o b a b i l i t ym e a s u r e ，c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y ，c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 m v 一代数是c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性而引 入的一种代数体系1 1 1 这种逻辑完备性可归结为关于m v 一代数的一种完备 性近半个世纪以来关于m v 一代数的研究长盛不衰，文献【2 1 【9 】只是近十几年来 研究成果的- d , 部分，州一代数和许多其他的代数系统都有密切的联系，王国 俊在【叫中阐述了各种代数系统间的关系上个世纪九十年代开始有学者在m v 代数上建立起概率测度，开始研究m v 一代数中与概率测度有关的内容但是目 前对相关的许多问题的研究还不系统，不完备，仍然需要进一步加强国内 对m v 一代数中与概率测度相关的一些内容的研究比较少，对w 一代数中条件概 率和条件期望相关性质的讨论不深入做这方面的研究有着重要的理论意 义本文主要在现有的研究基础上，进一步完善了概率测度的基本性质，详 细讨论了与经典概率模型中的随机变量相对应的m y - 代数上的观测的性质及 两种独立性，讨论有关条件概率的性质，研究与条件概率有关的条件独立性 的问题，并完善条件概率的各种性质及多个事件的独立性并讨论m v 一代数中条 件期望的相关性质希望能为今后相关领域的研究工作做一些准备 本章将介绍本文写作的背景并简要介绍本文的主要研究工作 1 1 引言 1 1 1 逻辑代数 逻辑代数的思想开始于莱布尼兹试图用数学方法研究思维规律，把思维 过程、推理过程计算化英国数学家、逻辑学家布尔在他的逻辑的数学分 析( 1 8 4 7 年) 和思维规律考察( 1 8 5 4 年) 中建立了第一个思维演算，而 逻辑的数学分析这本书后来发展成为逻辑代数因此人们常称逻辑代数 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 为布尔代数逻辑代数是一门介于代数与逻辑之间的边缘学科，是数理逻辑 ( 二值逻辑) 的初步的、基本的部分因此可以说：“逻辑代数是用代数的 方法研究关于推理、证明等逻辑问题的科学【1 4 l ”或者说是“人们利用代数学 的方法研究人类思维规律所得到的一个重要成果1 1 4 】”同时，在应用方面，逻 辑代数也为计算机逻辑线路的分析与设计提供了有力的工具 随着对不确定性推理方法的研究日益深入，以及多值逻辑研究工作的日 益活跃逻辑代数所包含的内容已不再仅仅是布尔代数，现在的逻辑代数已 经具有相当丰富的内涵基于各种逻辑背景，国内外的一些学者在研究多值 逻辑的过程中相继提出了各种形式的逻辑代数。1 9 5 8 年，著名逻辑学家 c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性而引入了m v - 代数 1 】 这样一种逻辑代数系统，这种逻辑系统的完备性就可以归结为关于m v 代数 的一种完备性1 9 6 6 年，日本数学家k i s 6 ki 从命题演算系统的代数公式化 的角度提出了b c k - 代数【1 0 】，此后又提出了b c i 代数( 1 l 】，并证明了b c k 代数 是b c i 一代数的子类1 9 8 6 年，d m u u d i c i 2 7 】证明了m v 代数范畴等价于有界 可换的b c k - 代数1 9 9 0 年，为研究蕴涵算子的共性，吴望名在文f 4 9 】中引入 了模糊蕴涵代数( 简称为f i 代数) ，并详细地讨论了一类h e y t i n g 型f i 代数 一正则h f i 代数的性质，f i 代数是对【o ，1 】值逻辑中的蕴涵连接词的一种代 数抽象王国俊于1 9 9 7 年提出了代数 4 7 1 p h a j c k 于1 9 9 8 年提出了b l 代数【1 ”为了研究命题真值取值于相对比较广泛的一类格上的逻辑系统，徐 扬于1 9 9 0 年通过结合代数格和蕴涵代数，在对算子的公理化定义的框架之内， 提出了格蕴涵代数 ”1 的概念后来王国俊在研究了以上各个代数的基础上在 他的文章【3 2 l 中详细阐述了各个代数系统之间的关系很好地解决了其他代数 由于外形的差异而掩盖了与m v - 代数的关系的问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 1 2 k o l m o g o r o v 模型 k o m o g o r o v 模型是一个经典的概率模型，目前对在这个模型上建立的概 率测度的研究已经相当成熟，所谓的k o l m o g o r o v 模型是指一个概率空间 ( q ，s ，p ) 3 3 1 ，其中q 是一个非空集合，s 是由q 的子集构成的盯代数， p ：s 一 o ，1 】是一个概率测度，即p 是盯可加的并且p ( q ) = 1 在这个模型中定义的随机变量宇为一个s 一可测函数，即亭：q r 随机 变量亭对应的概率分布是一个由等式只o ) = p 倍一1 似) ) 定义的概率测度 足：口僻) 一【0 ，1 】 ， 而相应的分布函数f ：r 一【o ，1 】是由等式 ，( f ) = 尸“；亭 ) c f ) 一只( ( 一m ，f ) ) 定义在k o l m o g o r o v 模型中随机变量的期 望e ( 亭) 是由积分e 皓) 一正亭护一j 二z 僻o ) = 正f 扭o ) 定义的 1 1 3 布尔代数上的态和观测 设曰是一个布尔d 代数，这个布尔代数b 上的态是一个口可加的概率测 度，布尔代数b 上的观测是一个盯同态b ( r ) 一日，如果口是一个由集合y 的 子集组成的仃域，而且y 是b 上的观测，那么存在一个y 上的b 可测函数，使 得对任意的r 口( r ) 都有y 仃) = ，。1 仃) 1 2 相关课题的研究现状与本文具体工作简介 本节将对本文所选课题的研究现状以及本文具体的研究工作做一个简要 的介绍 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 1 2 1 相关课题的研究现状 1 9 5 8 年，c c c h a n g 6 1 】首先提出了m v - 代数这一代数体系，并对他的 性质作了初步的探讨：其后对m v - 代数的研究进入了一个繁荣的时期，其中 文献【2 8 】1 【3 1 】做大量的工作，为进一步研究创造了有利条件：但是其中绝大部分 都是讨论的与多值逻辑系统相关的性质，其后各种于m v 代数和相似的代数 系统先后被提出来，例如：b l - 代数，b c k 代数，格蕴含代数等等，而且对 各个代数系统的研究都取得了丰硕的成果，2 0 0 2 年，为了弄清上述各种代数 系统间的关系和他们的逻辑背景，王国俊在研究了各个代数系统的基础上， 对他们之间的关联作了详细的讨论，说明了各个代数系统之间能等价问 题1 9 9 1 年和r f r i c 和r i e c a n 分别在半简单m v - 代数和m v 代数上建立 了测度，讨论这个测度的性质【1 5 1 。【i 7 1 随着概率论的发展，对布尔代数上经典概率模型的研究已经取得了相当 完善的结果，但是对于建立在模糊集合基础之上的m v 代数中概率测度的研 究还处在一个较为初级的阶段，2 0 0 2 年r i e c a n 在与经典模型相对比的前提 上，在m v - 代数上提出了态【1 8 】，对应于经典k o l m o g o r o v 模型中的概率，观测， 对应于经典模型中的随机变量其后开始在此基础上讨论了m v - 代数上的概 率测度的定义 1 2 2 本文具体研究工作简介 本文对m v 一代数中的概率测度的相关内容进行了研究，具体来说主要做了 下面几个方面的工作： 1 在本文第二章中，研究了m v - 代数上的概率测度：给出了态和观测的相 关性质，并且具体证明了m v 一代数上概率测度的各种性质 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 2 在本文第三章中，讨论了观测的两种独立性，证明了观测的p 一独立和 。一独立的关系，并给出了。一独立的充要条件并且给出了一个例子蜕明 了p 一独立和。一独立的不同 3 在本文第四章中，研究了m v 代数上的条件概率测度的相关性质，证 明了p ( a i 叼) = p ( a i y ) m ，一几乎处处成立；在条件期望定义的基础上证 明了观测的条件期望可以用随机变量的条件期望表示 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章m v - 代数上的概率测度 m v - 代数作为一个代数系统，到目前为止，虽然对m v - 代数本身的研究已 经取得了一些比较深入的成果1 1 9 】_ l 洲，但仍然存在许多需要进一步研究的工 作 首先，本章将简要介绍在本文中将要用到的与m v - 代数相关的一些基本 概念；随后，将讨论m v - 代数上与概率测度相关的内容 2 1 预备知识 定义2 1 1 1 ”设尸是一个集合，p 上的二元关系“；，叫做一个偏序关 系( 或半序关系) ，如果满足 ( 1 ) 自反性：asd ，o f a p 1 ； ( 2 ) 反对称性：口s b , b s 口 口一6 ，( v 口，b e p ) 。 ( 3 ) 传递性：口s b , b 主c 口sc ，( v a , b ，c e p ) ， 这时称( p s ) ( 或简称p ) 为一个偏序集( 或半序集) 对任意的n ，b e p ，若 s b ，则读作“口含于b ”或“a 小于或等于b ”；若as b 而a ，t b ，则记成a b ， 读作“a 真含于b ”或“a 小于b ”称a 与b 是可比的，如果as 6 或者b sn ； 否则就称a 与b 是不可比的，记作ai i b 若偏序集p 中任意两个不同的元素都是可比的，则称p 是一个线性序集 ( 或链，或全序集) ，此时，偏序关系蔓称为线性序( 或全序) ；反之，若p 中 任意两个不同的元素都是不可比的，则称p 是一个非序集( 或反链) 定义2 1 2 0 3 在一个偏序集仁，s ) 中，如果任意两个元素z ，y 都有上确界 西南交通大学硕士研究生学位论文 第7 页 xvy 和下确界x y ，则称偏序集( 上佰) ( 或简称l ) 为一个格 设s 是格l 的一个子集，若v a ，厶5 ，总有a b s ，av b e s ，则称s 为 格l 的一个子格【”1 如果还满足：v a ，b s ，v x e l ，如果d s 算墨6 ，贝f j x c s 这 时称s 为l 的一个凸予格【1 3 】 对任意格l ，如果满足：x ( ) ，vz ) = ay ) v az ) ，v x ，y ，z ， 则称l 为分配格【5 3 1 定义2 1 3 设犯，v ，a ，0 山是有界格，1 与0 分别是l 上的最大元与最小 元，如果l 上还有两个二元运算。和一，满足下列条件时称l 为剩余格 1 0 ，o ，1 ) 是以1 为单位的交换半群，即0 满足交换律，结合律且 1 鼢- - - a ，口l ： 2 ( o ，一) 是伴随对，即a o b ：e c 当且仅当n s 6 一c ，a , b ，c l 设有界格( l ，v ，a ，0 ，1 ) 上有逆序对合对应+ ：l l 即 a s b 时b sa ，且( 口) = a ，口，6 三则 d e m o r g a n 对偶律成立，即( av 6 ) 一a a 厶， a 6 ) + = a + v b + 定义2 1 4 所谓给定论域( 非空集) u 上的一个模糊子集a ，是指对任 何x ( e u 都有一个数以 ) 与之对应，并且称为x 属于模糊子集爿的 隶属程度【3 4 1 ；即指的是映射儿：u 一 x 一儿o ) 映射心又称为a 的隶属函数，并且在不致误解的情况下，对模糊子集a 和它的隶属函数以 ) 将不加区分，同时模糊子集也简称为模糊集3 4 1 u 匕的所有模糊集的全体构成的集族记为f 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 定义2 1 5 设x 是一个非空集合，z 上的模糊量子空间1 3 5j fc o ，1 】。是 指满足下列条件的集合f ： 1 常数o f 2 如果口f 那么a 一1 一口f 3 如果仃和；) 。c f 那么v 。q e f 4 常函数昙链f 模糊量子空间也是一个带有最大元1 和最小元0 的分配d e m o r g a n 格 模糊量子空间和布尔代数是集合域的两种不同推广，但是在这两种结 构上由很多相似的概念( 态，观测) ，因此我们可以使用和布尔代数上类似的 术语来定义在模糊量子空间上的相应定义而在以后的讨论中我们会将模糊 量子空间上的定义不加说明地用在m v 代数上 2 2m v - 代数的基本概念和性质 本节将简单介绍m v - 代数的一些基本概念和相关的主要结论，它们是本 文研究工作的基础 定义2 2 1 代数系统( m ，o ，o ，0 ，1 ) 是一个m v 一代数【1 】， 如果它满足下列条件： x o y = y o x ， ) ，) o z x ( y o z ) ， x 0 = x ，x 0 1 1 ，石o x = 1 ， 0 ) = x ，0 = 1 ， o 。o y ) o y = 0 0 y + ) + x 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 x o y = 。y ) + 引理1 1 对任意m v - 一代数m ，存在一个交换格序群( g ，+ ，s 1 和 一个g 中的强元“使得m 同构于l o ，u 】，这里x o y = + y 一“) v 0 ， x = u z ，工0 y 互( x + y ) a u 定义2 2 2 令m 是一个一完备的m v _ 代数，m 是一个可加测度【3 3 1 ， 如果m ：m + 【0 ，1 】满足下列条件： 1 m ( 1 ) 一1 2 a , b m ， 如果ao b = 0 ，或者说a 上b ，那么 m ( a 0 6 ) = m ( 口) + m ( 6 ) 3 a 。e m ，如果a 。t 口，则有肌 。) tm ( a ) 如果对v a 均有肌 ) 0 ，则说胁忠实的可加测度又叫做态，在以下的讨 论中我们都把它称为态 定义2 2 3 对任意a , b m ，m 是一个m v - 代数，如果a + 4s b + 成立， 就称a 与b 正交，记作矗上b 在下面的这个定理中讨论了态的一些简单性质，为后面m v - 代数上概率 测度的讨论打下了基础 定理2 1 态m 具有如下性质： 1 m ( a ) 一1 一m 0 ) a e m 2 m ( o ) = 0 3 如果口s b ，则m ( 6 ) - m ( a ) 一1 m ( a 6 + ) 4 如果4 s b ，则m ) s m p ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 证明1 对v a 有玎。口+ = 1 ，a “( d a = ( a ”口。) 一00 以+ ) + = 1 = 0 ， 那么m ( a + a ) = m ( a 。) + m q ) 5 l m ( a 以) = r e ( 1 ) = 1 = m ( a ) + 打l ( 口) 所以m ( a + 、= 1 一r e ( a ) 2 因为0 = 1 所以m ( o ) = m o ) = 1 - m ( 1 ) = 1 - 1 = 0 3 如果8s b ，n b + s 口，所以口”s ( 6 ) + ，即口上6 所以m 0 0 6 ) = m ( a ) + m p ) 一m 0 ) + 1 一m ( b ) 即卅( 6 ) 一m ( a ) = 1 一m ( a0 3 b ) 4 如果ns b ，贝t j m ( a0 6 ) s l 所以m ( 6 ) 一m ) = 1 一r n ( 口0 6 ) 1 1 = 0 即m p ) 苫r e ( a ) 正如在摘要中所说的一样，在本文中讨论的m v - 代数的性质及所有定义都 是指模糊集上的m v - 代数这是一般m v - 代数的初级类型它的定义如下 定义2 2 4 对于模糊集合族f = ，：q 一 ；厂是s 可测的 ，如 果f 满足下列的条件，那么f 是一个m v - 代数 3 6 1 ： 1 如果f ，g e f ，那么f g = m i n ( f + g ，1 ) 2 如果f ，g e f ，那么，o g = m a x ( f + g l o ) 3 如果，e f ，那么，= 1 - ，e - f 4 如果e f ，lt ，那么，f 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 如上述定义的m v - 代数也是一个瓦族 在这个m v - 代数上我们用1 0 和0 。分别代表两个常数函数即：对任意的 珊e f 有1 。( 山) = 1 ，0 。( c o ) = 0 在：艾献中给出如果f 包含所有的常数函数 则有，g e f 辛，g e f ，即f 关于乘法封闭 需要说明一点的是由，ge f 和f s g = 1 一g 可以得到 ，g = m i n ( f + g ，1 ) 一，+ g ，也就是说在m v - 代数f 中“o ”和“+ ” 等价 推论 对于m v - 代数f = ： ，：q 一 ；，是s 可测) 和映射 m ：f 一【0 ，1 上述定义的态m 满足下列条件： 1 卅( 1 q ) = 1 2 如果，g e f ，fs 1 一g ，那么m ( f o g ) = ，l ( 厂) + m ( g ) 3 如果l e f ，厂e f ，lt ，那么m ( ，) 。t m ( ，) 事实上对于给定的概率空间( q ，s ，p ) ，f 表示如同定义2 2 3 中定义的 m v - 代数态m ：f _ 根据b u t n a r i u k l e m e n t 定理【3 7 】可以用一个积分 式定义为m ( ，) 2 l ，卯 在下面的这个定理中，作者给出了关于m v - 代数上元素的差的态的性质 定理2 2 如果，g f ，s g ，那么r e ( f ) s m ( g ) ， m ( g 一，) = r e ( g ) 一m ( d 证明 ，g f ，sg ，那么g 一，f ，+ ( g 一厂) s 1 ，即 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 fs 1 一( g 一，) ，那么m ( g ) 一m ( f 十( g 一，) ) = m ( f ) + m ( g 一，) ，所以 m ( g f ) = m ( g ) 一r e ( f ) 定理2 3 m ( o 。) = 0 证明因为m ( 1 。) = 1 。m ( k + 0 。) 一m o 。) + m ( o 。) ；1 所以卅( 0 。) = 0 定义2 2 5 令f 是一个盯一完备代数，映射x ：b ( 尺) 一m 称为观测， 如果x 满足下列条件： 1 z ) 一1 2 a ，b e b ( r ) ， an b = 驴，即x ( 4 ) 上工( 曰) ， 那么 x ( au 口) = x ( 4 ) + x ( b ) 3 a 。e b ( r ) ，如果a 。ta ，贝4 x ( a 。) tx ( a ) 事实上，x ) ；0 因为对v 4 丑( r ) 有a n 庐一驴，即x ( a ) 上z ) ， x ( a ) = x ( a u 庐) = x ( 4 ) + x ( 妒) ，因此x ( 妒) 一0 这里定义的观测的概念实际上可以和k o l m o g o r o v 模型中的随机变量的概念 相对应，在下面的这个定理中作者给出了观测x ：曰( r ) 一m 的相关性质 定理2 4 若a ，b 曰僻) ，且a b ，那么x ( a ) s x ( b ) ， x ( b 一4 ) = x ( 曰) 一石( 4 ) 证明。a u ( b 一爿) = b ，a 厂1 ( b a ) = 妒 工( 丑) ；x a u ( b 一爿) ) i z ( 彳) + x ( b 一爿) 即x ( b 一爿) 一x ( 曰) 一x ( 爿) 芑0 那么x ( b ) x ( 爿) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 定理2 5对任意的 a ，b e b ( r ) 都有 x ( a u b ) = z ( 彳) + x ( b ) 一x ( a n b ) 证明对任意的a ，b b ( r ) 记a ；a 一4 n b ，b 一b - a n b 爿，b ，爿ob 两两不相交，那么 x ( a u b ) 一x ( a u b u ( 4 n b ) ) = x ( a 7 ) + x ( 8 7 ) + x ( ao b ) = 石( 爿一a n 君) + x ( 8 一a n b ) + z ( 爿n b ) 一x ( 4 ) 一x ( a n 曰) + x ( 曰) 一x ( a n 刀) + x ( 4 n b ) = x ( 4 ) + x ( b ) 一x ( a n 曰) 2 3 m v - 代数上的概率测度 本节将在m v - 代数基本概念的基础之上讨论m v - 代数上的概率测度的相 关性质，由于m v 代数和b o o l e a n 代数是不同的代数系统，因此结果是新的 定义2 。3 ，1 如果z ：曰( r ) 一，是一个观测，? t i t ：f 一 o ，1 】是一个态， 且是从下连续的，则复合映射m ，= 一啊。z ：b ( 尺) 一 0 ，1 】是个概率测度 证明1 、m 。俾) 一m 0 俾) ) 一蹦i ( 1 ) = 1 2 、如果a n b 一驴，贝0 x ( 爿) 上x ( 曰) ，所以 m o 以) o 石p ) ) = m ：o ) + m ，) i 而x ( a ) o x ( 8 ) = x ( a u b ) 贝0 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 m ( x ( au b ) ) = 卅 口) o x ) ) = m ，似) + m ，p ) 即m o au b ”= m ，叫) + m ：p ) 3 、如果a 。ta ，则有_ ( a 。) 1 x ( a ) 所以m ；( 4 ) tm 。口) ，因此恢是一个概率测度 在下面的几个定理中，作者着重讨论了m v - 代数上概率测度的相关性质 定理2 - 6对 v a ，e b ( r ) ，a 。n a i o , i 一1 , 2 ，3 ， 有 垅，( 静) 。善坍，) 证明 记s 一2 善4 ，s4 善4 ，则，s 丑( 尺) ，i = 1 , 2 , 3 ，且 s 。c s c c s ，l i m s 。= s ，即只是从下连续的 f 1 3 f f ：m ；是从下连续的，所以l i m m ，( s 。) = 埘。 ) 而! i m m x ( s 一) = l ! m m ( 善爿t ) 1 姆荟m ，) 2 善历；即；) 因此m ，( 善4 ) 1 善卅，“) 定理2 7 m z 是从上连续的即v a , 曰僻) ，m ，口，) + ，爿。爿，有 胁卅。0 。) = m ，似) 证明记e 一4 4 。b ；4 4 ，则etb ，似彳) f q a 一妒， “一) u 彳= 4 故z ( ( 4 4 ) u a ) - - x ( a 。彳) o 工o ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 5 页 m ：0 。) = m ，( - 4 4 ) + m ，掣) 因此m ，( b ) = m ，“爿) = 麒| ，“) 一m ，似) 肌，从下连续所以 姆m ；) = l i m m ，a n + ，) = 卅，似) 一m 。小m ，) + 。 所以l i m m ，。) = m ，0 ) 定理2 8 x c v a 、b e b ( r ) ，如果a c b ，那么小，似) s m 。) 证明由a 匕b ，则b a u c 日4 ) ，a n ( 口4 ) = 驴 所以卅，p ) = m ，口) + m ，p 彳) ，脚，p ) 0 ，故m 。口) s m ；( b ) 事实上， 如果m ，但) 0 时，0 s x ( 爿) 5 1 ，0 s y p ) s 1 所以x ( 4 ) + y ( b ) - 1 就是 p 一独立的 如果令m ，x m ，：曰俾2 ) 一 0 , 1 】是概率分布m x ，m ，：曰c r ) 一【o ，1 】的乘 积，则可以看出p 一独立又可以描述成：x c f f 意的a ，b 口( 尺) ，都有 m 口b ) ) = ，( a x b ) 因此由上述表述可知m 。h = 州，肌， 由定理3 2 又可以得到下面的结论 定理3 3 4 鄙如果x ，y ：曰僻) 一m 是p 一独立的两个( 弱) 观测，那么 对任意f 尺都有m ( 0 + y ) x ( 一。，f ) ) 一m x m 。似，v ；u + v = f ) ) ，因此 n 、， oo f f ，m ( x ( a ) ) ，埘( y ) ) 其中之一为1 证明 辛因为t y 是。一独立的，那么m g ) o y ( 居) ) ；m 仁口) ) 小( _ y ( b ) ) 当x ( 4 ) 十y ( b ) 一1 s 0 时，m 0 似) ) m ( y ( 口) ) = 0 即m g ) ) = 0 或 m ( y ) ) = 0 当x ( a ) + y p ) 一1 0 时， m b o ) o ) ，( b ) ) = 肌g 0 ) ) + m 夕徊) ) 一1 = m o o ) ) 肌( y ( 曰) ) 即g 0 ) ) 一1 ) ( 1 一卅( _ ) ，( 曰) ) ) = o 那么m 仁( 爿) ) ；1 或m ( y ( 曰) ) = 1 乍当x ( 爿) + y ( 曰) 一1 5 0 时，m b o ) ) = o 或m ( y ( 曰) ) = 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 m b 口) ) 小( y ( b ) ) = 0 m 0 ( 爿) o y ( 曰) ) ；0 那么m 0 0 ) o y ) ) = 卅0 口) ) - ，l ( y ( 日) ) ，因此x ，y 是。一独立的 当x ( 4 ) + y ( 曰) 一1 o 时，肌仁( 4 ) ) = 1 或优( 廖) ) = 1 卅b 口) o _ ) ，p ) ) = m g ) ) + m ( y p ) ) 一1 f 1 + m 0 ( b ) ) 一1 一m ( _ ) ，( 曰) ) = m b “) ) 肌( 曰) ) ，m b 叫) ) = 1 1 掰g ( 么) ) 十1 1 一所& o ) ) = 垅b ( 么) ) - 所p ) ) ，肌( 曰) ) 。1 = m b ) ) m ( y p ) ) ，因此x ，y 是。一独立的 下面的这个例子说明了p 一独立的观：测不一定是。一独立的 例膨是一个i v - 代数，态的定义如定义2 2 4 中定义的一样 ，l ( ，) 2 二，l 】弘f ，其中百是一个i e b e s g u e 测度，：b ( r ) 一 o ，1 】是定义在 0 , 1 】上的般概率分布，即u ( a ) = f ( 爿n 【0 ，1 】) ，a e b ( 尺) ，令 x = y ：b ( r