（概率论与数理统计专业论文）三类经典风险模型的推广研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，而其核心问题是破产理论的 研究。本文中，我们以经典风险模型为基础构造了三类风险模型并且 对其进行研究，得到了与破产相关的一些变量的表达式或性质。 本文主要由五部分组成。 在第一章，我们介绍了风险理论的历史、现状与主要成果，其中 重点阐述的是有关经典风险模型的问题，最后给出了本文研究的内容 与主要结果。 在第二章，我们简单的介绍了数学期望、点过程、卷积和拉氏变 换以及鞅的一些基本知识，并列出了文章中几个常用的定理。这些知 识是本文的理论基础。 在第三章，我们首先推广了经典风险模型，构造了一种双险种风 险模型。在这种模型中，既包含了正风险和保险类( 经典风险模型) 又包含了负风险和保险类。此模型具有实际的背景：典型的负风险和 过程是寿险年金保险，一个较大的寿险公司除了经营寿险年金保险外 还常常有人身意外保险。接着我们对模型进行分析和研究，得到了不 同情况下生存概率的积分一微分方程，最后运用鞅方法得剑了破产概 率的l u n d b e r g 不等式。 在第四章，我们首先指出了经典风险模型的局限性，即模型假设 保险公司单位时间内收取的保费f 是一个常数，而在现实情况中，不 同单位时间内到达的保单数往往不一样，是一个随机变量，而且每张 保单的保险费也可能是随机变量。我们研究了这一类风险模型的一种 特殊情况，即保险费收取过程和理赔过程均为p o i s s o n 过程，且个别 理赔额和每份保单的收取费均服从指数分布，首先得到了破产概率的 l u n d b e r g 不等式，然后得到了，时刻之间的破产概率上界估计。 在第五章，我们首先指出了经典风险模型的另一大局限性，即模 型没有考虑利率影响，而实际情况中，利率也是保险公司要考虑的重 要因素。因此我们建立了常利率影响下，保费收取次数和理赔次数均 服从二项分布，且保费随机收取的风险模型，紧接着我们对这个模型 进行了分析和讨论，运用鞅方法，得到了破产概率的上界不等式。 关键词经典风险模型，鞅方法，破产概率，l u n d b e r g 不等式 a bs t r a c t t h er i s k t h e o r y i st h eb a s i c d i s c i p l i n e o f l e a r n i n g f i n a n c i a l m a t h e m a t i c sa n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s u r a n c ea n di t sc o r ei s t h es t u d yo ft h er u i nt h e o r y i nt h i st e x t ，b a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l ，w ec o n s t r u c ta n dr e s e a r c ht h r e ek i n d so fn e w r i s km o d e l s f i n a l l y w eo b t a i ns o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r so ft h ev a r i a b l e sa b o u tr u i n f i v ec h a p t e r sc o n s t i t u t et h i st e x t i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ep r e s e n tc o n d i t i o n s o ft h er i s kt h e o r ya n dt h em a i nr e s u l t s ，a n dw ee s p e c i a l l yp a ym o r e a t t e n t i o no nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，f i n a l l yw ep r e s e n tt h em a i nc o n t e n t o ft h i st e x ta n dt h em a i nr e s u l t so fm yr e s e a r c h i nt h es e c o n dc h a p t e r , w eo u t l i n et h ek n o w l e d g ea b o u te x p e c t a t i o n ， l a p l a c et r a n s f o r m ，p o i n tp r o c e s s ，m a r t i n g a l ee t c w ea l s oo u t l i n es o m e u s e f u lt h e o r e m s t h i sk n o w l e d g ei sa l s ot h ef o u n d a t i o no ft h et e x t i nt h et h i r dc h a p t e r , w ef i r s t l ye x t e n dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，a n d t h e nw ec o n s t r u c tan e wd o u b l e - m u l t i p l er i s km o d e l t h i sm o d e lc o n t a i n b o t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s ks u m s t h ec o m m o nn e g a t i v er i s ks u m s p r o c e s si sl i f ea n n u i t yi n s u r a n c e ab i gl i f ei n s u r a n c ec o m p a n yh a sl i f e a n n u i t yi n s u r a n c ea n dp e r s o n a la c c i d e n ti n s u r a n c ea l s o t h e nw ea n a l y z e a n dd i s c u s st h i sm o d e l ，a n dw eg e tt h ei n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o r t h es u r v i a lp r o b a b i l i t yu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，f i n a l l yw eg e tt h e l u n d b e r gi n e q u a l i t yf o rt h er u i np r o b a b i l i t y i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ef i r s t l y p o i n t o u tt h el i m i t a t i o no ft h e c l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h a ti st h ep r e m i u mr a t eci sac o s t a n t ，b u ta c t u a l l y ， t h en u m b e ro fr e a c h i n gi n s u r a n c eb i l l s i nt h ed i f f e r e n tu n i t so ft i m ei s o f t e nn o tt h es a m e ，i ti sar a n d o mv a r i a b l e ，a n dt h ep r e m i u mo fd i f f e r e n t i n s u r a n c eb i l l si sa l s oar a n d o mv a r i a b l e w es t u d i e da s p e c i a lc a s eo f t h i s 妙p eo fm o d e l ，t h a ti s ，t h ep r o c e s so fc o l l e c t i n gi n s u r a n c ep r e m i u ma n d p r o c e s so fc l a i m sa r ep o i s s o np r o c e s s ，a sw e l la sb o t ht h ep r e m i u mo f e a c hi n s u r a n c eb i l la n dt h ea m o u n to fe a c hc l a i ma r ee x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t i o n w eg e tt h el u n d b e r gi n e q u a l i t yf o rt h er u i np r o b a b i l i t ya n d t h eu p p e rb o u n de s t i m a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yb e f o r et i m er i nt h ef i f t h c h a p t e r , w ef i r s t l yp o i n to u ta n o t h e rl o c a t i o no ft h e c l a s s i c a lr i s km o d e l t h a ti st h ec l a s s i c a lr i s km o d e ld i d n tc o n s i d e rt h e i n f l u e n c eo ft h ei n t e r e s tr a t e ，b u ta c t u a l l yt h ei n t e r e s tr a t ei sai m p o r t a n t f a c t o r w r ec o n s t r u c tan e wr i s km o d e lu n d e rt h ec o n s t a n ti n t e r e s t ，a sw e l l a st h en u m b e ro fb o t hc o l l e c t i n gp r i m i u ma n dc l a i m i n ga r eb i n o m i a l d i s t r i b u t i o n a n dt h ep r e m i u mo f e a c hi n s u r a n c eb i l l i sr a n d o m t h e nw e a n a l y z ea n dd i s c u s st h i sm o d e l ，f i n a l l yw eg e tt h el u n d b e r gi n e q u a l i t yb y u s i n gm a r t i n g a l em e t h o d k e yw o r d st h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，m a r t i n g a l em e t h o d ，r u i np r o b a - b i l i t y , l u n d b e r gi n e q u a l i t y i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名： 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名导师签名 硕十学位论文第一章绪论 第一章绪论 今天人们习惯用“风险 这个词来表达各种可能发生的灾害和不利的事件， 因为我们确确实实生活在一个充满风险的自然环境和社会环境之中，风险已经或 多或少的成为现代生活无法回避的内容。当然，所面临的具体问题不同，每个人 对风险这个概念的理解和描述也各不相同，同一个词汇可能用来表达不同的意 思。例如，一个社会心理学家可能用“追求风险刺激 来解释某种少年违法行为， 这时他对风险的理解与证券分析人员在讨论股票投资时用到的风险的概念是有 很大差异的，本文所研究的是保险学中的风险问题。 1 1 风险理论简介 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于金融、保险、证券投 资以及风险管理等方面，它借助概率论与随机过程理论来构造数学模型，描述各 种风险业务。 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究。现己公认，破产理论的研究 溯源于瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有百年多的 历史。破产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的理论基础。事实 上，一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在那篇论文罩 提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学严格标准，它的严格化是以h a r a l d c r a m e r 为首的瑞典学派完成的。c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在咯实的数学基 础之上，与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。现己公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作共同为经典破产理论奠定了坚实的基础。 g e r b e r 是c r a m e r 之后，当代研究破产理论的国际领先学者。随着随机过程、 随机点过程等理论的发展，g e r b e r 、g r a n d e l l 以及a s m u s s e n 等人系统地论述了 风险理论的思想。有关风险理论专著主要有 6 5 、 6 7 和 1 。 其后，波兰的t o m a s zr o l s k i 等人在其著作中对这一理沦进行总结推广完善， 至此风险理论的研究已经进入了相对成熟的阶段。 破产理论主要应用在经营稳定分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和 方法。一般地，我们可以用以下随机过程来描述保险公司在时刻，的盈余： u o ) = u + r o ) 一s o ) 其中，u ( u o ) 表示保险公司的初始资本； 尺( ，) 表示( 0 ，】时间段内的总保费收入； 硕七学位论文第一章绪论 s ( r ) 表示( 0 ，t 】时间段内的总索赔。 这里我们忽略了利率和其他除保费和索赔之外影响余额的随机因素。随着时间r 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，我们说保险公司发 生了破产。当然，这罩所说的破产并不是指保险公司要面临倒闭，这样做只是为 了数学上的处理方便而已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话， 当保险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( ，) 仍然可能为正的 或者可能恢复为正的。 然而，我们所研究的破产概率甲“) 仍是衡量一个保险公司或者所经营的某 个险种的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决策者提供一个早期风 险的警示手段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据。因 此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都有着非常重要的 指导意义。 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要风 险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运作。 因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司 的破产概率等等都是十分重要的课题。 1 2 风险理论研究历史及发展 破产理论经过一百多年的研究发展，取得了许多显著的成果，并在实践中得 到了有效的运用，已经走在了风险理论的前沿。 1 2 1 经典风险模型 破产理论最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，本节将给出该模型 的严格定义，有关假定与主要结果。 令( q ，f ，p ) 表示一完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在该空 间之上。保险公司在，时刻的盈余由下式给出： 幽 u ( t ) = 甜+ c t 一也，0 k = l 其中材为初始资本，c 为保险公司单位时间内收取的保费，即保费率， 鼍( k 1 ) 表示保险公司第k 次的理赔额，( f ) 则表示到时刻f 为止发生的理赔总 次数。 上述模型的第一个基本假定为独立性假定： 假定1 ( 独立性假定) 设 置；尼l 是恒j 下的、独立同分布的随机变量序列，记 2 硕士学位论文 第一章绪论 ，。( x ) 2 尸( 爿l x ) v x 0 ， 2 e 【】2j ： 1 - f ( x ) 协； ( f ) ；r o ) 是以名( 五 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； x k ；k - i 与 ( ，) ；，o ) 相 互独立。 盈余过程 u ( ，) ；，0 的一条样本轨道示于图1 一l ： ； 巧互五t 图1 - 1 以下恒记： n ( i ) s ( ，) = 托 v t 0 ， 七= l 它表示到时刻，为止发生的理赔总金额。由模型的独立性假定及w a l d 公式知： e 【s ( ，) 】= e 【( ，) 】e 【五】= 五， 为确保保险公司稳定经营，通常要求： 甜一e s ( ，) 】= ( c 一彳) ， 0 ； i l 0 即c 五口 为此，需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 秒) 丑 其中秒 0 ，则称0 为相对安全负载。 由p o i s s o n 过程具有齐次独立增量性( 关于p o i s s o n 过程的定义和性质可参见 1 4 或第二章) 和模型的独立性假定知， c t s ( ，) ；f 0 为齐次独立增量过程，这样， 由强大数定律得： 1 i m u ( t ) = + o o a s ， o o 不过，这并不排除在某一瞬间盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产 。 硕士学位论文 第一章绪论 以下恒记丁为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令： t = i n f t ：u ( ，) 0 ) 若对f 0 ，有u ( f ) 0 ，则令t = o o 。 l u n d b e r g 和c r a m e r 研究的是保险公司的最终破产概率： 、王，( ”) = p ( t o oiu ( o ) = 甜) ，u 0 以下简称甲( 材) 为破产概率。显然，破产概率可以作为评价保险公司偿付能力的 一个数量指标。l u n d b e r g c r a m e r 的结果可直观的表述为：当初始准备金“充分 大，保险公司在经营“小索赔 情形的保险业务时，破产是不易发生的。 现给出“小索赔 的确切含义，这由假定3 给出： 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额的矩母函数 m x ( ，) = 研p 蹦】= j c o p “卵( x ) = l + ，j c o p “ 1 - f ( x ) k ( 1 1 ) 至少在包含原点的某个邻域内存在； 其次，要求下述方程： m ( ，) = l + ， ( 1 _ 2 ) t l , 具有正解。 注：基于m y ( ，) 在其收敛域内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 卜2 ) 若 有正根，必是唯一的，以下恒记为r ( 如图卜2 ) ，并称其为调节系数。由( 1 - 1 ) ( 1 - 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式： ji m j ( ，) z 1 + 二尸 兄 r 图1 - 2 4 硕上学位论文第一章绪论 注意到： 昙j c o p 殷【1 _ m ) 协= l 詈肛m ，k = 吾= 南 因此，非负函数争1 一f ( x ) 】，x o 不是一个概率密度函数，但若令： 似) = p 出争l m ) 】，觇。 ( 卜3 ) 由( 卜3 ) 式知f ( x ) 为一概率密度函数，这便解释了调节系数r 命名的由来。 定理1 1 ( l u n d b e r g c r a m e r 2 7 , 5 5 , 6 s ) 若假定1 ，2 ，3 都成立，则有下列结论成立： ( 1 ) 甲( o ) = 而1 ； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式： 甲( “) p 一，v u 0 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 近似：存在常数c ，使得： 甲0 ) c e 一舶， 即： lim掣：111 - 4 0 0 c e 。 ( 1 - 4 ) ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) 注初始盈余为。时，破产概率甲( o ) 的确切解仅依赖于相对安全负载p ，而和个 体索赔额的分布的具体形式无关。此外，( 1 - 5 ) ( 卜6 ) 两式解释了：若初始盈余很 大，保险公司在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的。 1 2 2 破产理论中研究方法的改进 定理1 1 的证明虽然c r a m m e r l 6 5 j 给出，但分析方法很繁冗。f e l l e r 4 】的更新 论证和g e r b e r 的鞅方法给了简洁的证明。由于他们的证明方法具有代表性，大 量研究文献所研究的模型虽较经典的破产模型有不同程度的推广，但所使用的方 法却基本上不外乎本节介绍的两种。因此本节将给予重点介绍，通晓本节中给出 的证明，将有助于理解其他类似结果的证明。 1 ) 更新论证技巧 更新论证技巧属于w i l l i a mf e l l e r 引，关于更新理沦的必要的数学知识，详见 1 4 第三章或者本文第二章预备知识。 对于经典风险模型，恒记： 5 硕士学位论文第一章绪论 ( 甜) = 1 一、l j 【u j = p ( u ( ，) o ；t 0 l u ( o ) = 材) 它表示初始盈余为材时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率。 首先，根据首次索赔发生的时刻z 和首次索赔额x 。的大小，对生存概率运 用全概率公式，可得： ) = 研 + 嵋一五) 】= f 兄e - a tr + 廿似+ 甜一z 矽( z ) a t 令x = 甜+ c t ，上式变为： 卿) = _ 鲁e l cp r 吣一z 矽( z ) d xc 栩椰 这表明o ( u ) 是可微的。在上式两端对u 求导，可得： ( “) = 兰c ( 材) 一兰cr 中 一z ) 护( z ) 上式两端从0 到，积分，可得： o ) 一中( o ) = 兰cf 胁+ 兰cff ，( 甜一z 矽( 1 一，( z ) ) 幽 化简整理得： ( ，) = ( o ) + 兰f o z ) 1 一f ( z ) k cw 一一 。l i m o ( u ) = 1 ，则在上式两端令，j 佃，即得： l 叫0 ) + 兰cj c o 【l 川z ) k 州o ) + 昙 于是有： 甲( o ) = l 一( 。) = 昙= r b 从而( 1 - 4 ) 式得证。 进而有： 唧) 小詈f 【l 州z ) k + 尝f 唧叫【l 川z ) 】龙 _ 1 _ 昙j f o 【l 川z ) p 一昙f 1 州) 】【1 - 心) 】出 从而得： 邺) - 1 _ 唧) = 害几l 二即) k + 詈f 邯_ z ) 【1 _ 心) 】龙( 1 - 7 ) 6 硕士学位论文 第一章绪论 詈n - 川z ) l a g = 詈= 而1 o ，恒有： e 防o ) 】：e e x ( o x ( o ) l l = e 防( o ) 】 在介绍鞅方法之前，我们先引入一个构造鞅( 鞅的详细知识可参考 1 5 ) 的重要方 法，这在鞅方法中发挥了重要的作用。 设扩( ，) ：，o ) 是零初值，且具有齐次独立增量的随机过程。记： x o ) = x ( o ) e r ( f ) ，x ( o ) 为一常数 若e 【p 7 ( 1 】_ l ，则口o ) ：，o ) 为一鞅。事实上， e 0 x ( f ) i 】- i x ( o ) i e e 巾) 】：i x ( o ) | 仁k 巾) p ：l x ( o ) | 再对0 j ，恒有： e t x ( , i x ( r ) ：，j 】 = e t x ( s ) e 7 ( h ( l x o ) ：，s 】 = x g 归k 7 ( 卜y o 】_ x g ) e r e y ( ，一j 】_ x g ) a , s l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明如下： 令： x ( ，) = e - n u o ) = x ( o ) e 删( f ) 其中，x ( o ) = e 一砌，r 为调节系数，y ( ，) = c t s ( ，) 。 现令： 】，( ，) = - r v ( t ) ，0 则易知( ，) ；，o ) 为具有零初值，且为齐次独立增量的随机过程，因为： m ，( 1 ) ( 厂) = e k 7 ( 一s ( ) 】= p ”e p 一，、( 】= p ”p z m 、( 一，卜1 】= p f 棚v ( 一r 卜2 + r ，l 根据假定3 易得： e e t m ) 】- e e 删】= m y ( ”( - r ) = l 则留( a t o 为一正鞅。于是，由非负鞅的收敛性定理知： l i m x ( ，) = x ( o o ) o o a s ，- - i 0 0 现设丁为破产时刻，因为对任意取定的，t ar 为有界停时，故由可选抽样定理 即知： e t x ( t t ) i = e t x ( o ) i = e 一砌 利用全期望公式，由上式推知： e - r u = e x ( t t ) r ，) ( 1 8 ) = e t x ( t ) it t l p ( t f ) + e x ( t ) lt ，】尸( 丁 ，) 8 硕十学位论文第一章绪论 注意到，当t f 时，u ( f ) 0 ，从而有： x ( t ) = e - r u t l 这样，在( 卜8 ) 式两端令r 专，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理，即 得： e 一鼬= 8 x ( r ) lt o o 】尸( 丁 ) + e t x ( o o ) it = o o p ( t = ) 又因l i m u ( t ) = 佃，a 矗，故知x ( o o ) = 0 ，t , g ， 从而有： e 一砌= e 【x ( 丁) it o o j p ( t ) 由此知： 口一r u h 砂2 面蒜币面 又u ( t ) l ，由上式即知： 甲( 材) e - r u , v u 0 从而l u n d b e r g 不等式( 卜5 ) 式得证。 c r a m e r 之后破产论研究中最令人瞩目的是方法论的改进。f e l l e r 和g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为研究经典破产论的主要数学工具。近期 大量研究文献所研究的模型虽较经典的破产模型有不同程度的推广，但所使用的 方法基本上不外乎本节所介绍的两种。 1 3 本文的主要内容 本文的第一章概括性地介绍了风险理论的发展历史、风险理论研究的主要成 果及本文所写的一些主要内容。 第二章为预备知识，介绍了本篇文章中要用到的一些理论和研究方法。 第三章中在经典风险模型的基础上我们建立了一种较简单的双险种风险模 型：经典风险模型中保费率是大于0 的常数，个别理赔额是大于o 的随机变量。 而实际情况中，也存在这样的险种：保费率是小于o 的常数，个体理赔额是小于 0 的随机变量，例如寿险。在这两种险种并存的模型中，我们讨论了生存概率的 积分一微分方程，并且得到了破产概率的l u n d b e r g 不等式。 第四章中，根据对实际的分析，我们从另一个角度改进了经典风险模型，把 经典风险模型要求的单位时间的收取的保费为常数值推广为保费收取过程和理 赔过程均为p o i s s o n 过程，同时个别理赔额和每份保单的收取费均服从指数分布。 运用鞅方法我们得到了破产概率的上界不等式和，时刻之前破产概率的上界估 9 硕士学位论文 第一章绪论 计。 第五章中，我们考虑了利率的影响，建了保费随机收取的风险模型，同时我 们假设保费收取次数和理赔次数均服从二项分布，这也是符合现实情况的。运用 鞅方法得到了破产概率的l u n d b e r g 不等式。 1 0 硕十学位论文 第_ 二章预备知识 第二章预备知识 弟一早 耿亩划识 首先把本文中将要用到的基础知识作一简单的介绍。 2 1 随机和 定义2 1 设x ，】，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 ，( 石) ，g ( x ) ，nz = x + y 的分布函数是 日( z ) = 户( z z ) = 卵( x ) 粥( y ) = e g ( z x 矽( x ) = f 宰g x + y z 称为f ( x ) ，g ( x ) 的卷积，记作h = f 囊g 。 设x 。，x 2 ，x 。是独立同分布的随机变量，记x ，的分布函数为 z ( x ) ( f - 1 , 2 ，刀) ，令x = x ，+ x ：+ + 以，设x 的分布函数为以g ) ，则有 f x ( x ) - - 曩b ) 木e g ) 木e g ) 。特别地，若x ，x ：，x 。具有相同的分布函数 f ( e ) ，则凡b ) = f ”( ) 。 设是一只取非负整数值的随机变量，其概率分布为p k = p n = k 】， k = 0 , 1 ，2 ，；x 。，x ：，x v 是独立同分布的随机变量序列，令 s = x 1 + x 2 + + x 我们约定n = 0 时，s = 0 ，且假定以与相互独立， 则称s 为随机和，为求和次数。于是有： ( 1 ) e s - - e n 】防】 ( 2 一1 ) ( 2 ) v a r s = v a ，i n ( e 【x 】) 2 + e 【】哳【x 】。 证明：( 1 ) 设随机变量的矩母函数为r e ( r ) ，则朋( 厂) = p 庸p 。； 因为x i ，置，x 独立同分布，所以它们有相同的矩母函数，记为m ( r ) ， m ( r ) = e p = i e “d r ( x ) 设随机和s 的矩母函数为m s o ) ， m s ( ，) = e p = e p 心l = e i ( m ( ，) ) l = n o 。g u ( ，) ) ( 2 - 2 ) 对上式两边求导，得： m ；( ，) = 0 。g m o ) ) 等籍， 令，= 0 ，则峨( o ) = m ( o ) m ( 0 ) ，即e s - - e n 】e x 】。 ( 2 ) 对( 2 2 ) 式两次求导得： 硕上学位论文 第一二章预备知识 砌b 0 删雠州0 洲协趔铲 令，= 0 ，m ；( o ) = m ( 0 ) 阻( 0 汗+ 肌( o ) 江( 0 ) 一阻( o 汗j ，即： e b2 】= e 【2 】陋防d 2 + e 【】哳防】 ( 2 3 ) y - v a 4 s = e b 2 】一( e 陋d 2 ，由( 2 3 ) 及( 2 一i ) ，得： v a r s = 版矿【】( e 【x 】) 2 + e 【】v a r x 】。 证毕。 此外，随机和s 的分布函数计算如下： f s ( s ) = p ss 】= e 【p p s i ) 】= z ”p s s i n = 后】p 。= 童f g ) p 。 特别地，当求和次数服从参数为兄的p o i s s o n 分布时，有 ( 1 ) e 陋】= 旭防】，v a r s = 2 e x 2 】； ( 2 ) 瓦g ) = f g ) 告a ( 2 4 ) k = o ； ( 2 - 4 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布。 定义2 2 设( x ) 是定义在【o ，0 0 ) 上的任意函数，我们把由 7 g ) =- s t 厂( ，定义的函数称为( x ) 的拉普拉斯变换。 2 2 数学期望 定义2 3 令x 为一个定义在概率空l 丑j ( q ，f ) 上的随机变量，p 是在f 上的概 率，若x 为离散随机变量，则其数学期望为： e x = 。x ( 缈) 尸( 缈)厶一m 、，、， 若x 为连续随机变量，则其数学期望为： e x = l x ( 缈妒( 缈) h、，、， 记概率空间为( q ，f ，p ) ，g 是f 的某一个子代数，gcf ，孝( 缈) 是满足 e l 孝l o o 的随机变量。 定义2 4 具有下面性质的随机变量e ( 善i g ) 成为关于孝( 彩) 的条件数学期望 ( 1 ) e ( e l a ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对于任意的a g ，我们有： e ( 孝i g ) 尸( d 彩) = 孝p ( d 孝) 。 1 2 硕士学位论文 第_ 二章预备知识 定义2 5 设c f 为任一事件，则它的示性函数丘( ) 为一随机变量，不性函 数l ( ) 关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为p ( c l o ) 。 c 关于g 的条件概率p ( c f g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) 水l g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意的彳g ，有p ( c i g ) p ( d ) = p ( a c ) 。 注：在本文中，如无特殊说明，正( ) 均表示事件c 的示性函数，即： 荆= ：篇 、 条件期望有如下重要的性质： 性质2 1 六，孝，刁都是随机变量，且e 蚓 o o ，e 蚓 o o ， ( 1 ) 若孝，7 ，伽，则孝i g 砸7 7 i g ，姒 ( 2 ) 若孝为g 一可测，则e i 纠gi = 孝，口矗 ( 3 ) i e 善l g i e 吲g ，a s ( 4 ) e e 善i g = 骘，伽 ( 5 ) 若孝与g 独立，则e f i g = 彤，口矗 ( 6 ) e i 孝, z l o o ，e i 叩f 0 ，当h 一0 时 尸( m 2 ) = d ( j f l ) 有独立增量 ( 3 ) p ( s 0 = 0 ) = l 有平稳增量 几乎处处有序 有独立增量 ( 4 ) p ( n o = 0 ) = 1 对任意的h 0 ，当h 寸0 时 p ( ，+ 。= 1 ) = a h + o ( h ) ，尸( m 2 ) = d ( 办) 有独立增量 ( 5 ) 尸( s o = 0 ) = l 对于任意j 下整数k ，实数0 ，l 0 ，0 p ( m p 。= 1 ) = 见( f ) + d ( 厅) 尸( m m 2 ) = d ( 办) 硕上学位论文第一二章预备知识 ( 3 ) 有独立增量 这里的五( ，) 是墨上的非负函数，它在任意有限区间是可积的，我们把由 人( f ) = f 旯( s 必 定义的函数称作过程的累积强度函数。 定义2 1 1 有限值计数过程 ，；，o ) 称作非齐次泊松过程，如果它满足以下 条件： ( 1 ) 尸( n o = 0 ) = l ( 2 ) 对任意的h 0 ，0 尸( m 2 ) - - o ( h ) ( 3 ) 有独立增量 定义2 1 2 随机过程 s ；，o ) 称作复合p o i s s o n 过程，如果它可以表示为如 。下的形式：对任意的t 0 ， s = k 其中 m ；f o ) 是带时倚强度a ( ，) 的p o i s s o n 过程，以；甩= 1 , 2 ，) 是独立同分布的 随机变量序列，并且过程 m ；f o 和序列亿；力= 1 , 2 ，) 是相互独立的。 特别地，若 m ；f o ) 的强度为常数a ，那么 n t ；t o 就是齐次p o i s s o n 过 程对于这样的复合p o i s s o n 过程，有如下重要定理： 定理2 3 设s ，最，为相互独立的复合p o i s s o n 过程，则我们有： s = 匕， i = 1 ，2 ，k 其中 ，( ，) ；f o 相互独立而且，( ，) 是参数为a ，的齐次p o i s s o n 过程，对于同一 个f ， 艺 为独立同分布的随机序列( 简记作) ，其分布函数为( y ) ，则： s = s 还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 ( ，) s = 互 i = l 其中( ，) 是参数为a = a ，的齐次p o i s s o n 过程且 2 吉酗( z ) 。 2 4 2 更新过程 定义2 1 3 设钒；玎= 1 , 2 ， 是一串相互独立同分布的非负随机变量，它们的 共同分布函数是f ( x ) ，如果我们把瓦看作是一个点过程的第刀一1 个和第n + a 1 6 硕士学位论文第二章预备知识 事件之间的时间间距，则第胛个点事件的发生时间是 瓯= z ， 刀i 再定义& = 0 ，我们把由 m = s u p n ：最f 定义的计数过程 m ：，0 ) 称作更新过程。称 ，竹o ) = e 【( ，) 】，t o 为更新函数。注意更新函数不是随机变量而是变元，的一个确实性函数。 我们来求f 的分布。因为事件 ，刀 等同于事件 最， ，故对任意非负整数r l 有： 尸( ，