（概率论与数理统计专业论文）索赔量和索赔间隔时间相关的erlang（2）风险模型.pdf

摘要 破产论作为风险论的核心内容，已逐渐成为当前精算界研究的热门话题， 也引起了数学工作者的广泛兴趣对破产论的研究既有实际的应用背景。又有 概率论上的意义经典的破产模型假设索赔次数过程是泊松过程，且索赔量和 索赔次数过程相互独立然而，在实际生活中，保险人的很多行为不再满足经 典的泊松索赔过程 本文研究了索赔量和索赔次数过程相关，且索赔问隔时间服从e r l a n g ( 2 ) 分布的一类风险模型讨论了在相关背景下的生存概率，破产前瞬时盈余分 布、破产赤字分布，破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布以及罚金折现等几 个重要的量 第一部分引入了所要讨论的相关的e r l a n g ( 2 ) 风险模型，并对所要讨论的 生存概率，破产前瞬时盈余分布破产赤字分布破产前瞬时盈余和破产赤字 的联合分布以及罚金折现进行了定义 在第二部分中。用类似d i c k s o nd c m 和c h r i s t i a nh i p p ( 2 0 0 0 ) 的方法，得 到了该模型的生存概率满足的积分表达式，在引入辅助量x l ( a ) ，x 2 ( 。) 后，通 过对生存概率满足的积分方程求l s 变换，我们进一步求出了l s 变换的表 达式并且，d i c k s o nd c m 和c h r i s t i a nh i p p ( 1 8 ) 的一些结果可由这个表达 式得到最后，运用a l b r e c h e r 和b o x m a ( 2 0 0 3 ) 的方法，还可得其显式表达式 第三部分，我们分别考虑了破产前瞬时盈余分布破产赤字分布以及它 们联合分布，得到了它们的积分表达式，积分微分方程以及l s 变换的表达 式 在最后一部分中我们讨论了罚金折现期望函数，得到了它的积分表达 式，在获得了其积分微分方程后，指出独立情形时的e r l a n g ( 2 ) 模型的一些结果 可以由我们的结论得到最后，作为例子，给出了常数折扣利息力度口= o 惦 时罚金折现期望l s 变换的显示表达式 关键词t 相关；e 加g ( 2 ) 分布；l a p l a c e s t i e l t j e s 变换；生存概率；破产前 瞬时盈余分布；破产赤字分布；罚金折现期望 a b s t r a c t a st h ec e n t e rc o n t e n to fr i s kt h e o 珥, r u i nt h e o r yh a sb e c o m eo n eo ft h eh o t s u b j e c t si nt h ef i e l d so fi n s u r a n c eg e n t l y , a tt h e8 a i n et i m ei th a sa b s o r b e de x h 知卜 s i o ni n t e r e s to fm a t h e m a t i c ss t u d e n t s s t u d y i n gr u i nt h e o r y , n o to n l yh a sp r a c t i c a l a p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，b u ta l s oh a ss i g n i f i c a n c ei np r o b a b i l i t y i nc l a s s i c a lr u i n m o d e l ，w ea 8 8 1 1 m ec l a j l nt i m e sp m c e e si sp c e s i o np r o c e s s ，a n dc l a i ms i z e sa n dc l a j l n t i m e sp r o c e s s 啪i n d e p e n d e n c e h o w e v e r ，i np r a c t i c e s ，al o to fh e h a v i o u ro fi n s u r e r a r en o ts a t i s f yc l a s s i c a lp o e s i o nc l a i mp r o c e s s i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t eac l a 8 8o fr i s km o d e lw i t hc l a i ms i z e sa n dc l a i m t i m e sp r o c e s s 珊i n d e p e n d e n c e a n dc l a i mi n t e r - o c c u r r e n c et i m eh a se r l a n g ( 2 ) d i s t r i - b u t i o n i nt h i sd e p e n d e n c e 喊t i n g c o n s i d e rt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y , t h es u r p l u s i m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i n ，t h ej o i n t sd i s t r i u t i o no ft h es u r p l u si m o m e d i a t e s l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i n ，t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t ya t v a i n a n d8 0 0 i l i nt h ef l n s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h ee r l a n g ( 2 ) r i s kp r o c e s sw i t hd e p e n d e n c e ，a n d g i v et h ed e f i n i t i o no f t h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y , t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h e d e f i c i ta tr u i n ，t h ej o i n t sd i s t r i u t i o no ft h es u r p l u si m m e d i a t e s l yb e f o r er u i na n dt h e d e f i c i ta tr u i n ，t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t ya tr u i nr e s p e c t i v e l y i nt h es e c o n dp a r t ，w ed e r i v et h ei n t e g r a le x p r e i o no fs u r v i v a lp r o b a b i l i t yb y a d a p t i n gt h et e c h n i q u e si nd i c k s o nd c ma n dc h r i s t i a nh i p p ( 2 0 0 0 ) ，a f t e ri n t r o - d u c i n gt h ea u x i l i a r yq u a n t i t yx l 扣) ，x 2 ( 矗) ，w eg e tt h el st r a n s f o r me x p r e s s i o n o fs u r v i v a lp r o b a b i l i t yt h r o u g ht a k i n gl - st r a n s f o r mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u r - t h e r m o r e ，8 0 m er e s u l t si nd i c k s o nd c ma n dc h r i s t i a nh i p p ( 1 9 9 s ) m a yb er e g a r d a 80 1 1 1 - s p e c i a lc a s e w ec a ng e tt h ee x a c tf o r m u l ao fs u r v i v a lp m b a b i f i wb yu s m g m e t h o di na l b r e c h e ra n db o x m a ( 2 0 0 3 ) i nt h et h i r dp a r t ，w ec o n s i d e rt h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h ed e f i c i t a tr u i n ，t h ej o i n t sd i s t r i u t i o no ft h es u r p l u si m m e d i a t e s l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i t a tr u i nr e s p e c t i v e l y , a n dg e tt h e i rh l t e g r a le x p r e s s i o n ，i n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ，l - st r a n s f o r me x p r e s s i o m i i i nt h el a s tp a r t ，w ed i s c u s st h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t ys tr u m ，t l r a l y , t h e i n t e g r a le x p r e s s i o ni sd e r i v e d s a dt h e n ，8 0 m er e s u l t si ni n d e p e n d e n c ee r l a n g ( 2 ) m o d e lm a yc o n s i d e ra ss p e c i a lc a s eo fo u rr e s u l t sa f t e rw eg e ti t si n t e g r a l - d i 伍e r e n t i a l e q u a t i o n f i n a l l y , 蠲a ne x a m p l e ，w ed e r i v e di t sl - s t r a n s f o r me x p r e s s i o nw h e n c o n s t a n ti n t 8 r s t 口= 0 0 5 k e yw o r d s ：d e p e n d e n c e ，e r l a g ( 2 ) d i s t r i u t i o n ，l - st r a n s f o r m , t h es u r v i v a lp r o b - a b i l i t y , t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r em i nt h ed e f i c i ta tr u i n ，t h ee x p e c t e dd i s - c o u n t e dp e n a l t y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名。佟l 签名日期p 年f 月p 日， 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存使用学位论文的规定即；按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印，数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名。诗、誊 签名日期，扫 年f 月 日 导师签名历a 6 签名日期i 川年，月3 。日 一引言 一引言 在保险数学，也称为精算数学( a c t u a r i a lm a t h e m a t i a ) 的范畴内。破产论 ( r u i nt h e o r y ) 是风险论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容现已公认，破产论的研究溯源 于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，迄今为止已有百余 年的历史破产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的兴趣在 l u n d b e r g 的这篇论文中，他首次提出了一类重要的随机过程，即p o s s i o n 过程 不过。l u n d b e r g 的工作不符和现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r a l d c r a m 6 r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m 6 r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的 数学基础之上与此同时，c r a m 6 r 也发展了严格的随机过程理论l m d b e r g 和c r a m 幽r 的工作被认为是经典破产论的基本结论 l u n d b e r g c r a m 6 r 经典破产模型描述的是一类保险了的有价证券的盈余 过程，在这个模型里，我们总是假定索赔量、索赔量和索赔间隔时间之间是相 互独立的在这样的假定下，学者们对经典的的l u n d b e r g c r a m 白r 风险模型的 研究达到了相当完美的地步。获得了许多优美的结果e r l a n g ( 2 ) 风险模型就是 被广泛研究的一个模型d i c k s o nd c m ( 1 9 9 8 ) 考虑了更新风险模型，得到了生 存概率的的精确表达式d i c k s o nd c m 和c h r i s t i a nh i p p ( 1 9 9 s ，2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) 对 e r l a n g ( 2 ) 风险模型进行了比较系统的研究，得到了关于破产概率的一些重要 的结论 但是，在实际的风险运作过程中，这些假定过于理想化，我们需要更一 般的风险模型来描述盈余过程近年来，在假定条件放松的情况下，对索赔额 或索赔计数过程相关情况下风险模型的研究巳成为风险理论界研究的热点之 一也得到了关于破产概率的一些渐近结果 假定索赔量是相依的，当它们是轻尾分布时，n y r h i n e n ( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) 利用 大偏差的技巧导出了l u n d b e r g 型破产概论的极限行为；m i i l l e r 和p f l u g ( 2 0 0 1 ) 将相依序列引入了进来，并利用它们描述了有限破产概率；a l b e r e c h e r 和k a n - t o r ( 2 0 0 2 ) 得到了这种情况下的个相依测度函数当它们是重尾分布时，m i k o s c h 和s a m o r o d n i t s k y ( 2 0 0 0 b ) 以及a s m u u s e ns 和s c h m i d l ih ( 1 9 9 9 ) 研究了破产概率 的渐近行为 1 湖北大学硕士学位论文 但是，以上诸多学者得到的都是一些渐近结果，并没有给出在索赔量是 相依的情况下的破产概率的精确表达式在具体保险业务中，我们并不能排除 索赔量依赖于索赔时间间隔这种情况比如在健康保险中，两次索赔量之 间的时间间隔决定了下次索赔量的大小受排队论里一个相关模型( b o x m s 和 p e r r y , 2 0 0 1 ) 的启发。a l b r e c h e r 和b o x m a ( 2 0 0 3 ) 第一次给出了索赔量和索赔时 间间隔相关的特殊风险模型，在这个特殊的相关风险模型里，他们给出了生存 概率的精确表达式 本文在a l b r e c h e r 和b o x m a 工作的基础上，考虑了索赔量和索赔时间间 隔相关的e r l a n g ( 2 ) 风险模型 我们考虑某一有价证券的盈余过程，设( n ，y , p ) 是个完备的概率空间。 a j ，j 1 和，i 1 分别是两列独立同分布的的非负随机变量序列。其 中，马表示第j 次索赔量的大小，均值为晟分布函数b ( z ) = p ( b l z ) ，假设 口( ) 有连续可微的导函数，其l a p l a c e s t i e l t j e s 变换( 以下简记l - s 变换) 记 为议) ，假设索赔过程是u a r k o v i a n 型k 是阈变量。分布函数为y ( ) 若第 次索赔量鼠 m ，那么从第i 次索赔发生时直到第i + 1 次索赔发生这段时间 厶有参数为 l 的e r l a n g ( 2 ) 分布；反之，有参数a 2 的e r l a n g ( 2 ) 分布( 0 ，t 】 时间内的索赔次数记为( t ) ，即n ( t ) = s u p n ；e 厶t ，则这段时间内的总 索赔量为 型 z ( t ) = 马 i = 1 若设保险公司初始准备金为n ，单位时间内所收取的保费为c ，c 0 令u ( t ) 表 示该有价证券在t 时刻的盈余，则 n 。( o u ( t ) = u + d 一易 妒( “) 表示风险过程u = ，( t ) ，t 0 ) 的破产概率，即 妒( u ) = p ( u ( u ( t ) 0 i u ( t ) o ) 为破产时刻它是一停时，则 妒( “) = p ( t 0 0 i u ( o ) = u ) 2 一引言 令u ( t 一) ，i u ( t ) 1 分别表示保险公司破产前瞬时盈余和破产赤字，定义破产前 瞬时盈余的分布函数为 f ( ，司= p ( u ( t 一) z ，t i v ( o ) = u ) 破产赤字的分布函数为 g ( “，耖) = m ( 1 v ( t ) i 玑t 口) q 5 2 “+ c t y ) d b ( y ) d t ( 2 1 ) 类似可证i = 2 的情况，即 咖( u ) 2 五o o k ( ) ， + j c k 2 ( t ) 定理2 1 得证 p ( y 口) l ( u + c t y ) d b ( y ) d t j o ，“+ d p ( y 口) 也( u + c t y ) d b ( y ) d t 4 二生存概率 2 2 生存概率所满足的积分一徽分方程 定理2 2 生存概率( u ) ( i = 1 ，2 ) 在( 0 ，0 0 ) 上连续 证明证明= 1 的情况 只衙证明当a u - + 0 时，有咖扣+ a u ) 一妒l ( “) - + 0 记妒1 ( ) = l l ( u ) 4 - 如( u ) 这里 ，f u + 矗 ( u ) = l ( t ) p ( y f ) 4 , 1 ( u4 - d y ) d b ( y ) d t ， j 0j 0 ，o o，十d 1 2 0 , ) = 女1 ( t ) p ( y m + d y ) d b ( y ) d t j 0 j 0 若能证明 ( “) ，如( u ) 在( 0 ，0 0 ) 上连续。则定理2 2 得证 为证明 在( 0 ，0 0 ) 上连续。只需证明当4 u - 4 0 时有 ( u + u ) 一i i ( u ) - + 0 令 广+ d f p ( y 口) 4 , 1 ( u4 - c t y ) d b ( y ) = 口l ( “) ， 则 i k u + a u ) 一 ( u ) = k l ( t ) 旧l ( u + a u ) 一日l ( ) 】d t 只须证明a u _ + 0 时，b l ( u - 6 a u ) 一b i ( u ) - + 0 即可而 b l 扣+ a u ) 一日l ( u ) = p ( y f ) 妒1 m4 - a u + c t y ) d b ( y ) f u 4 - e t f p ( y ”) 妒l ( u 4 - c t y ) d b ( y ) f a u = fp ( y ) 妒l 似4 - a u + c t y ) d b ( y ) + ( c “p ( y 钏九( u + a u + c t - y 啪) 一：t 州钏妒1 ( u + c t - y ) r i b ( e ( y ct0 们) 一 事) 妒1 耖) ) j 7 垒h i + t t 2 r a u 其中玩2 o p ( y v ) 妒1 “+ a u + c t y ) d b ( y ) ，显然l 。i r + a 。啦= o 凸u 令”= z4 - a u ，则 f s + a u - k c l p ( y | ，) 妒l ( u + a u + c t y ) d b ( y ) j q ，+ c t = p ( y z4 - a u ) 咖似+ c t 一。) d 8 0 + u ) j o 5 湖北大学硕士学位论文 由概率的连续性和假设b ( ) 的连续性有，当a u + 0 时， ，u + d f + c t p ( y z + a u ) q b t ( u + e t - z ) d b ( z + a u ) + f p ( y z ) 庐1 ( u + d 一。) d b ( z ) j oj 0 故有舾。日2 = 0 ，从而1 1 在( o ，o o ) 上是连续的- 同理可证，2 在( 0 ，m ) 上连续，即证妒1 ( “) 在( 0 ，0 0 ) 上连续 在( 2 1 ) 式中作变量替换，令霉= u - i - d ，则t = 5 ，得 仲) = 薯序刊e 一掣f p ( y 钏州删眦 + 菩卜叫e 一掣门y 蜘( 川姚 ( 2 2 ) 定理2 3 生存概率也( 乜) “= i ，2 ) 在( 0 ，m ) 上为连续可微的 证明由定理2 1 和( 2 2 ) 式即证 令 【p ( y 们l 扛一们+ p ( y | ，) 如扛一v ) d b ( v ) = m ( z ) ， 则( 2 2 ) 式变为 妒。( u ) = 薯f ”( x - u ) e 一丑粤生m ( z ) 如 ( 2 3 ) 定理2 4 咖( u ) “= 1 ，2 ) 满足如下的积分一微分方程 c 2 醪似) 一2 c 锇( u ) + 碍也( “) = a 【p ( y f ) 加扣一v ) + p ( y v ) 也( u 一) 】d 且( ) ( 2 4 ) 证明以扛1 的情况为例 在( 2 3 ) 中对两边关于u 求导得 嘲u ) = 叫f 唧( _ 掣) 脚m + 譬小刊唧( - 掣挑 再次对上式两边关于让求导得 整理得 c 2 硝( n ) = + 一z 警z ”唧( 一生型) 帅) 如+ 棚 菩序叫唧 - 掣灿肚 孑硝( u ) 一2 c l 科( u ) + 碍妒( u ) = i 。 f ( 牡) ， 6 二生存概率 即 c 2 硝( u ) 一2 以1 硝( u ) + 九( u ) ， = 【p ( 1 ，f ) 妒l ( 让一口) + p ( y f ) 锄( u y ) l a b ( u ) ， j 0 类似可证i = 2 的情况。即 c 2 硝( u ) 一2 以2 如( u ) + 定锄( u ) ， = a ；【p ( y f ) 也似一) + p ( y ) 锄( u 一) 】d 且( v ) ( 2 5 ) j o 定理2 4 得证 2 3 拉瞢拉斯变换表达式 对任意r e 。0 ，定义 x lc s ) = e 【e 一。口i ( b y ) 】= e 一盯l ，( z ) d b ( z ) ， x 2 ( 。) = e e 。口i ( b y ) 】- f e 1 2 ( 1 一y ( z ) ) d b c z ) 由以上定义可知x 1 ( a ) + x 2 ( s ) = 取s ) ，也( u ) 的拉普拉斯变换记为五( j ) 定理2 5 也( 8 ) ( i = 1 ，2 ) 满足的表达式为 孙) = f 丽i 警警等端鹎暑瓣丽， c 2 6 ) 孙) = f 丽i 警警案端辎暑瓣丽， ( 2 ，) 其中 ( 毋l ( o ) ，如( o ) ，纠( o ) ，如( o ) ) = i x 2 ( 8 ) ( c 2 j 一2 d 2 ) 如( o ) + c 2 x 2 ( 8 ) 以( o ) + ( c 2 3 妒l ( o ) 一2 c l 妒l ( o ) + c 2 纠( o ) ) ( c 2 。2 2 c 2 2 s + a ；一 ；x 2 ( 8 ) ) ， f 2 c 毋lc 0 ) ，也( o ) ，硝( o ) ，如( o ) ) = ；x l ( s ) ( c 2 j 一2 c a l ) l ( o ) + c 2 a ；x l ( a ) 科( o ) + ( c 2 。咖( o ) 一2 以2 如( o ) + c 2 钙( o ) ) x ( c 2 ，一2 c x l s + 增一碍x 1 0 ) ) 证明对( 2 4 ) 式求l - s 变换 7 湖北大学硕士学位论文 因为 ，o o c 2 e 一“钟m ) d u = c 2 ( a 2 而( s ) 一a 4 , l ( o ) 一纠( o ) ) ， j o ， 2 c l e l 4 硝( u ) d u = 2 c a l ( 8 孑1 ( 。) + l ( o ) ) ， z ”a 矿州u ) d | = m 以及 z 。e 一 和( y 矧州u 刊+ p ( y 妣( u 刊蚓汕 = x l ( s ) 五( 。) + i x 2 ( s ) 而( s ) ， 故可得 ( c 2 a 2 2 c a l 8 + a i 一研x l ( 8 ) ) 五( 8 ) 一a i 尬( 。) 而( a ) = ( c 2 j 一2 以1 ) l ( o ) - i - 孑科( o ) 用同样的方法对( 2 5 ) 式求其拉普拉斯变换得 ( c 2 ，一2 c 沁。+ 赡一a ；尬( s ) ) 瓦( s ) 一碣x l ( s ) 五( a ) = ( c 2 5 2 c a 2 ) 如( o ) + c 2 以( o ) 结合以上两式即可解出 孙) = f 丽矗警学错然器而， 孙) = f 丽d 拦訾错裂器而， 这里 ( 妒1 ( o ) ，咖( o ) ，以( o ) ，钙( o ) ) = 研x 2 ( 8 ) ( c 2 。一2 c a 2 ) 锄( o ) + c 2 x 2 ( 8 ) 如( o ) + ( c 2 8 l ( o ) 一2 c 1 妒l ( o ) + c 2 以( o ) ) x ( c 2 8 2 2 c a 2 s + 碹一砖耽( 8 ) ) ， ，2 ( 妒1 ( o ) ，锄( o ) ，以( o ) ，钙( o ) ) = ；x l ( j ) ( c 2 。一2 以1 ) 毋1 ( o ) + c 2 碣x l ( j ) 纠( o ) + ( c 2 8 锄( o ) 一2 c a 2 如( o ) + c 2 钙( o ) ) ( c 2 j 2 2 c a l s + i a i x l ( 8 ) ) ， 8 二生存概率 定理2 5 获证 注意到( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式的分母是一样的，记 a ( d = ( c 5 一a 1 ) 2 ( c 。一a 2 ) 2 一( c 5 一 1 ) 2 ；x 2 0 ) 一( c 8 一 2 ) 2 x l ( 5 ) 注2 1 若在( 2 6 ) 或( 2 7 ) 中令a s = 沁= a ，可以得到 孙，= 止等等鬻当铲 ：! ! ! = ! ! 型生! l 盟! 丝塑! ( c 8 一碣2 一a 2 b ( 8 ) 这个绪果和累赔同隔时同与索赌量相互独立时的结果( d i c k s o n ( 1 9 9 8 ) ) 是一致 的 我们知道，对于生存概率，由大数定律有。l _ + i m 。以( z ) = 1 ，从而有 卜加l i r a j a ( j ) 21 ( i _ 1 ，2 ) ( 2 8 ) 将( 2 8 ) 式代入( 2 6 ) 式( 代入( 2 7 ) 式可得同样的结果) ，并注意到有以下关系- ， x 2 ( 0 ) = p ( b t ) ， x l ( o ) = p ( b t ) ， e b i ( b n 】= 一x i ( o ) ， e b i ( b t ) 】= 一x ：( o ) ， 因此有x f f o ) + x 2 ( o ) = 1 ，一x i ( o ) 一埏( o ) = 卢可以得到 觋( s f 丽d 掣警错筹罄而) = 毳筹端拦躺磐嵩筹警蠕黼俨 “恐( ( c s 一 1 ) 2 ( 一 2 ) 2 一( 一a 1 ) 2 ；x 2 扣) 一( 一a 2 ) 2 a ；柏扣) ) 加 一一2 以2 x 2 ( o ) 锄( o ) + c 2 a x 2 ( o ) 钙( o ) 一2 c a l a ；x 1 ( o ) 毋1 ( 0 ) + c 2 姆x 1 ( 0 ) 烈1 ( 0 ) 一2 c a i a 2 ( a i + a 2 ) + 2 c a i a 2 ( a i x i ( o ) + 2 x 2 ( o ) ) 一 2 l n 2 2 ( 硝( o ) + 砭( o ) ) = 些幽必笺鬻筹蒜群熙警幽一2 c a a 2 x 2 ( o ) 一2 c l l x l ( o ) + f l 卢 = 1 。 湖北大学硕士学位论文 化简为 2 c a l ；x l ( o ) ( 1 一妒l ( o ) ) + c 2 2 2 x 1 ( o ) 硝( o ) + 2 c a 2 x 2 ( o ) 0 一加( o ) ) + c 2 a 2 x 2 ( o ) 钙( o ) 一a i a ；卢= 0 ( 2 9 ) 从以上的讨论中，我们知道也( a ) 在s = 0 处是不解析的( 2 9 ) 式告诉我 们妒l ( o ) ，锄( o ) ，以( o ) ，钙( o ) 的一个关系，为求解出妒l ( o ) ，如( o ) ，以( o ) ，钙( o ) ，还 需找到它们之间的其它关系，于是有下面的引理 引理2 6 方程a ( 8 ) = 0 有四个根乍，且鼬m 0 “= 1 ，2 ，3 ，4 ) 证明首先注意到8 = 0 是方程a ( 8 ) = 0 的根，不妨设7 1 = 0 对任意5 0 ， 令。表示以型! 丝为心，以竺出鲁! 至l 型为半径的一圆对0 z 1 ，引 入函数 a ( 。，2 ) = ( 一a 1 ) 2 ( c s 一 2 ) 2 一z 2 ( c s 一 1 ) 2 鸩x 2 ( s ) 一z 2 ( 一沁) 2 2 x l ( s ) 用9 ( z ) 表示a ( s ，z ) 在圆。内的零点个数，下面证明g 圆周上的任一点 j ，都有a ( s ，o ) 0 当0 0 当z = 0 时，有a ( 8 ，0 ) = 汹一a 1 ) 2 ( c a 一沁) 2 0 又因为j 4 ( = ) 在岛圆内是一解析函数，所以g ( 。) = 南厶芎是鲁幽，并 且g ( z ) 是【0 ，1 】上的连续的整值函数从而9 ( z ) 是一常值函数，而a ( s ，0 ) = 0 有四个根，也即g ( o ) = 4 ，所以g ( 1 ) = 4 再令6 + 0 ，g ( 1 ) 表示a ( a ) 在圆o o 内 的零点个数，引理2 6 得证 注2 2 因为五( s ) 在r e8 0 时是解析函数，所以分母的零点必定是分子 的零点这样，我们获得了卉( o ) ，锄( 0 ) ，纠( o ) ，钙( o ) 的另外三个关系式，再加上 ( 2 9 ) 式，求解这四个未知量的线性方程组。就可以解出九( o ) ，如( 0 ) ，纠( o ) ，( o ) 1 0 二生存概率 当骼( s ) ( = 1 ，2 ) 是一有理函数时，便可通过对表( s ) 求逆拉普拉斯变换给出 也( 司“= 1 ，2 ) 的显式表达式 倒2 7 设t e x p ( 2 ) ，b e x p ( 1 ) ，c = 1 ，a l = 2 ， 2 = 1 ，净收益条件显然 潸足则有 x 2 ( j ) = 雨1 ，删= 而1 一而1 于是以“= 1 ，2 ，3 ，4 ) 是方程a ( 8 ) = 0 在右半平面的零点，即 ( 8 - 2 ) 2 ( ) 2 一。_ 2 ) 2 丽1 - 4 ( ) 2 而1 一南) = 0 解得 s l = 0 ，8 2 = 2 6 4 5 0 ，j 321 3 4 8 2 + 0 3 4 0 7 i ，8 4 = 1 3 4 8 2 0 3 4 0 7 i 由注2 2 ，我们有 ( 九( o ) ，咖( o ) ，以( o ) ，缟( 0 ) ) = 0 ，即 i 一3 ，4 2 6 6 b l ( o ) + 2 5 2 8 9 烈( 0 ) + o 4 5 7 0 如( o ) + o 。7 0 8 6 钙( 0 ) = o ， l o 5 0 5 5 p l ( 0 ) 一o 2 2 3 4 科( 0 ) 一o 5 7 1 5 扔( o ) + o 9 1 4 3 钙( o ) = 0 ， i o 7 5 2 8 咖t ( 0 ) + o 2 5 5 2 矾( o ) + o 3 5 8 2 屯( o ) 一o 0 7 1 6 吡( o ) = 0 ， i 一2 6 6 6 7 q b l ( 0 ) + o 6 6 6 7 纠( 0 ) 一2 6 6 6 7 赴( o ) + 1 3 3 3 3 钙( o ) = - 1 3 3 3 3 解此线性方程组可得 l ( o ) = 0 2 4 3 0 ，如( o ) = 0 2 1 3 1 ，以( 0 ) = 0 3 9 1 4 ，钙( o ) = o 1 6 2 4 ， 将其代入( 2 6 2 7 ) 式，得 7 ，、0 2 4 3 0 8 4 0 0 2 9 9 8 3 1 1 9 7 1 8 z 一0 3 7 0 2 8 + 0 5 5 4 加扣) 5 1 f j 瑟- 二百万干面露【1 磊f j i 一， 7 ，、0 3 9 1 2 s 4 0 6 2 0 4 8 4 3 5 2 2 6 8 3 + 7 1 4 9 2 8 z 一0 4 3 0 0 8 3 9 9 5 2 九【s j2 了【巧= 面f f 五万= 面丽= 瓦一 1 1 湖北大学硕士学位论文 三破产前瞬时盈余分布 d u f f r e s n e 干g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 引入j 函效 f ( u ，z ) = p ( o u ) f 2 ( + c t 一”，x ) d b ( y ) d t j 0j 0 + ! 半k l ( t ) 。d b ( y ) d r ( 3 1 ) ( 2 ) 当u z 时。第一次索赔不导致破产，则有 f o of u + d 乃( u ，) =fk l ( t ) fp ( y u ) l s ( u + c t f ，x ) d b ( p ) d t j o j 0 + z 。州t ) z p ( y ) f 2 ( u + c t - p , x 删y ) d t 1 2 三破产前瞬时盈余分布 综上( 1 ) 和( 2 ) 有 毋( u ，z ) = + + 类似地可证 见( ，z ) = + + k 1 ( t ) p ( y ) 凡( + d v ，z ) d 口( f ) 出 h ( t ) p ( z f ) 局似+ d l t , ) d 日( | ，) 出 z 孚州”z o od b ( 舭 ，o o ，u 十d ，b ( t ) fp ( y ) 毋( u + d i i , z ) d b ( y ) d t j oj o i o o 口+ d 五b ( t o p ( y v ) 易( u + d 一玑z ) d b c v ) 出 k z 孚郴) z o o d b ( 舭 定理3 1 得证 令+ d = z ，则t = 5 ，( 3 1 ) 式变为 2 p l ( u , z ) ： i 。( 。一u ) e - 警生f 。p ( y f ) 毋( z 功凹o ) a z jt , j 0 + ；。( f , - - b ) e h 掣f 2p ( y f ) 易( z 喵z ) 】扭( 口皿 j “j 0 + 呻) a 。( z u ) e - h 字【1 一b ( 2 ) l a z ( 3 2 )+ 。) a o u ) 丑5 产【1 一 ( 3 2 ) 类似前面定理2 2 和定理2 3 的证明可证得r ( u ，z ) 在( o ，0 0 ) 上关于是连 续可微的 3 2 破产前瞬时盈余分布所满足的积分一微分方程 令 fl p ( y 掣) f 1 ( z p ，z ) + p ( y ) f ( z v ，z ) 】d b ( ) = f ( z ) ， ，0 1 一日( 。) 2 ( z ) 则( 3 2 ) 式变为 c 2 局( 。，。) ：a i ，”( ：一。) e - 且芝型m 乜) d zc 2 局( u ，z ) = a i 忙一u ) “产m 乜 ，u + i o , 纠墙- 。( ：一u ) e - h 掣( 批：， ( 3 3 ) + 。) 墙( ：一u ) 丑峰型( 枇= ， ( 3 3 ) 湖北大学硕士学位论文 定理3 2 冠( u ，z ) o = 1 ，2 ) 满足如下积分一微分方程 c 2 ，r ( “，z ) 一2 c 沁爿( u ，$ ) + 埒e ( u ，。) 一 = 埒【p ( y p ) 毋扣一1 1 , $ ) + p ( y v ) 易( u 一玑z ) 】凹( ) j 0 +