（应用数学专业论文）模糊选择函数合理性条件的研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 模糊选择函数合理性条件的研究 摘要 在选择函数的研究中，无论是模糊还是普通情形，合理性 条件的讨论都具有极其重要的意义。本文系统地讨论了目前 文献中存在的一些常见的模糊选择函数合理性条件之间的关 系，并在此基础上，探讨了模糊选择函数的合理性刻画问题， 同时对模糊选择函数和偏好关系之间的联系进行了研究。其 主要研究内容与结果归纳如下： 首先，我们归纳了a r r o w ，r i c h t e r ，s e n 等提出的普通选择 函数合理性条件及这些条件之间的相互关系，并给出了一些 结论，从而完善了目前存在的普通选择函数理论。 其次，我们以普通选择函数有关结论为基础，建立模糊选 择函数的合理性条件，并讨论这些合理性条件之间的联系，从 而将a r r o w ，r i c h t e r ，s e n 等人的工作推广到模糊选择函数中， 得到了一些一般的结论。 我们注意到，在这种推广过程中，许多在普通选择函数中 成立的结论在模糊选择函数中已不再成立，但如果对模糊选 择函数加以限制，仍能得到一些令人满意的结果为此，我 们在每个选择集都是正规的条件下，更为深入地探讨了模糊 选择合理性条件之间的关系，其主要结果为：选择函数是传 递合理的与该选择函数可以被合理化、弱( 强) 一致性公理 以及选择函数满足f a 条件和，声条件都是等价的。由此可以 看出，在我们的假设下，普通选择函数的大部分结果都得到 太原理工大学硕士研究生学位论文 了相应的推广。同时，我们指出，即使如此，我们仍不能像 普通选择函数那样用弱( 强) 显示偏好公理来刻画模糊选择 函数的传递合理性。 最后，我们对模糊选择函数和偏好关系间的相互联系也 进行了讨论。并得到：若所涉及的偏好关系自反且模糊选择 函数正规，则模糊选择函数和偏好关系二者可以相互唯一确 定。这个结论推广了a r r o w 关于普通选择函数与序关系可以 相互唯一确定的结论。 总之，本文较为系统地讨论了定义域中的元素为普通集的 模糊选择函数的合理性条件，并在特殊情形下得到了模糊选 择函数传递合理性的刻画条件。这对一般情况下研究如何刻 画模糊选择函数的合理性奠定了基础。 关键词：模糊选择函数，合理性条件，显示偏好，正规性 传递合理性 【i 太原理工大学硕士研究生学位论文 as t u d yo n r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n s o ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s a b s t r a c t i nt h er e s e a r c ho nc h o i c ef u n c t i o n s ，t h ei n v e s t i g a t i o n o fr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n si so fe x t r e m e l yi m p o r t a n ts i g n i f - i c a n c en om a t t e rw h e t h e rt h ei n v o l v e dc h o i c ef u n c t i o ni s c r i s po rn o t i nt h i st h e s i s ，w es y s t e m a t i c a l l yd i s c u s st h e c o n n e c t i o n sb e t w e e ns o m ee x t e n s i v e l yu s e dr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n so ff u z z yc h o i c ef u n c t i o ni nt h el i t e r a t u r e ，m a k ea n e x p l o r a t i o no nt h ei s s u eo fh o wt oc h a r a c t e r i z er a t i o n a l i t yo faf u z z yc h o i c ef u n c t i o n i na d d i t i o n ，w es t u d ys o m e l i n k sb e t w e e nf u z z yc h o i c ef u n c t i o n sa n df u z z yp r e f e r e n c e r e l a t i o n s t h em a j o rr e s e a r c ha s p e c t sa n dr e s u l t sa r ea s f 0 1 l o w s f i r s t l y ，w es u m m a r i z et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns o m e r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n sf o rc r i s pc h o i c ef u n c t i o n sw h i c ha r e p r o p o s e db ya r r o w ，r i c h t e r ，s e ne ta 1 w ea l s op r e s e n t s o m en e wr e s u l t s ，a n dt h u sc o m p l e t et h ee x i s t i n gc o n c l u s i o n si nt h et h e o r yo fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n s e c o n d l y ，b a s e do i lt h er e s u l t si nc r i s pc a s e lw ep u t i n 太原理工大学硕士研究生学位论文 f o r w a r ds o m er a t i o n a l i t yc o n d i t i o n sf o rf u z z yc h o i c ef u n c t i o n sa n de s t a b l i s hl i n k sb e t w e e nt h e s ec o n d i t i o n s a sa c o n s e q u e n c e ，s o m ew o r kd o n eb ya r r o w ，r i c h t e r ，s e ne t a 1 i sg e n e r a l i z e d w en o t et h a tm a n yc o n c l u s i o n st r u ei nc r i s pc a s ea r e n ol o n g e rv a l i di nt h eg e n e r a l i z a t i o nw h e nc h o i c ef u n c t i o n s a r ef u z z i f i e d h o w e v e r ，i fw ei m p o s es o m er e s t r i c t i o n so n f u z z yc h o i c ef u n c t i o n s ，t h e ns o m es a t i s f a c t o r yr e s u l t sa r e s t i l la v a i l a b l e f o rt h i sp u r p o s e lw ed e e p l yi n v e s t i g a t er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n su n d e rt h e a s s u m p t i o nt h a te v e r yi n v o l v e dc h o i c e s e ti sn o r m a l t h e m a j o rr e s u l ti st h a tac h o i c ef u n c t i o ni st r a n s i t i v er a t i o n a li se q u i v a l e n tt ot h a tt h ec h o i c ef u n c t i o nc a nb er a t i o - n a l i z e do rt h ec h o i c ef u n c t i o ns a t i s f i e sw f c a ( s f c a ) o r t h ec h o i c ef u n c t i o ns a t i s f i e sf c ga n df8c o n d i t i o n c o n - s e q u e n t l y , m o s tr e s u l t sc o n c e r n i n gc r i s p c h o i c ef u n c t i o n s a r ea c c o r d i n g l ye x t e n d e d m e a n w h i l e ，w ep o i n to u tt h a t w a f r po rs a f r pc a nn o tb ee m p l o y e dt oc h a r a c t e r i z e t h et r a n s i t i v er a t i o n a l i t yo ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n sl i k ei n c r i s pc a s e f i n a l l y ，w em a k ea ni n v e s t i g a t i o n i n t ot h ei n t e r r e l a 。 t i o n s h i pb e t w e e nf u z z yc h o i c ef u n c t i o na n df u z z yp r e f e r e n c er e l a t i o n w 色d r a wt h ec o n c l u s i o nt h a t ，i ft h ei n v o l v e d f u z z yp r e f e r e n c er e l a t i o ni sr e f l e x i v ea n dt h ef u z z yc h o i c e f u n c t i o ni sn o r m a l ，t h e nt h e ya r eu n i q u e l yd e t e r m i n e db y t v 太原理工大学硕士研究生学位论文 e a c ho t h e r t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e st h er e s u l to b t a i n e db y a r r o ww h os h o w st h a tc r i s pc h o i c ef u n c t i o na n do r d e r i n g c a nb eu n i q u e l yd e t e r m i n e db ye a c ho t h e r t os u mu p ) r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n so ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n sw i t ht h ed o m a i nb e i n gc r i s pa r es y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t e d ，a n dc h a r a c t e r i z a t i o nc o n d i t i o n so fat r a n s i t i v e r a t i o n a lf u z z yc h o i c ef u n c t i o na r ep r o v i d e di nt h et h e s i s t h er e s e a r c hl a y saf o u n d a t i o nf o rh o wt oc h a r a c t e r i z et h e r a t i o n a l i t yo fac h o i c ef l m c t i o ni nt h eg e n e r a lc a s e k e yw o r d s ：f u z z yc h o i c ef u n c t i o n ，r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n jr e v e a l e dp r e f e r e n c e ln o r m a l i t y ? t r a n s i t i v er a t i o n a l i t y v 太原理工大学硕士研究生学位论文 主要符号说明 x 一一全体备择对象集且论域有限 日一x 上所有非空普通子集的集合 f x 上所有非空模糊子集的集合 v 任意 | 一一存在 闫一一不存在 一一属于 不属于 一包含于 垡一一不包含于 扣一空集 u - - 一并 n 一一交 4 - - 一取大 a 取小 s u p 一一确界 n 一一非 | v 一标准非 t t 模 s t 余模 g 一模糊关系 吩一一由t 模导出的蕴含 v i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 g 一模糊关系g 的逆关系 g c 一模糊关系g 的余关系 g l 模糊关系g 的对偶关系 g 。g 。一模糊关系g 。与g 。的合成关系 t ( a ) - - 模糊关系g 的传递闭包 e ( ) 一选择函数 c ，( ) 一导出选择函数 0 ( ) 一选择函数的像 冗一显示偏好关系 矗一生成关系 户一严格显示偏好关系 矗一弱严格显示偏好关系 w 一间接显示偏好关系 p + 一间接严格显示偏好关系 v i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 选择函数作为一个经济学术语最早由u z a w a ， 及a r r o w 2 1 提出。 该概念是为了描述一个消费者在权衡收入及价格后的消费行为。实际 上，这种消费行为即为决策行为。用决策术语即可描述为：当面对一 些备择对象时，决策者需要从中选择一个最好的备择对象或者选择一 些较好的备择对象有鉴于此，选择函数也作为一个决策术语出现在 众多文献中，具体内容可参见f 3 - 9 。 对选择函数的研究主要涉及合理性条件的引入及相互关系，选择 函数的显示偏好理论，选择函数的各种传递合理性等 上世纪三十年代，s m u e l s o n 【1 0 在严格显示偏好关系基础上，提出 了一些合理性条件，其中应用最为广泛的就是弱显示偏好公理( w e a k a x i o mo f r e v e a l e dp r e f e r e n c e ，以下简称w a r p ) ；在文 1 1 中，h u o u t h a k k e r 将弱显示偏好公理的前提条件加以修改，得到了一个更强的合理性条 件：强显示偏好公理( s t r o n g a x i o m o f r e v e a l e d p r e f e r e n c e ，以下简称s a r p ) ； 1 9 6 6 年，r i c h t e r 在文【1 2 l 中利用间接显示偏好关系提出了一致性公理 ( c o n g r u e n c ea x i o m ) ；在文【1 3 】中，s e n 利用显示偏好关系定义了另外一 个较弱的致性公理为了加以区别，他将p d c h t e r 的一致性公理称为 强一致性公理( s t r o n gc o n g r u e n c ea x i o m ，记为s c a ) ；而将自己提出的 一致性公理称为弱一致性公理( w e a kc o n g r u e r l c ea x i o m ，记为w c a ) 另外，s e n n 。s j 和c h e r n o f f n 】还提出了n 条件、正规性条件、p 条件 和7 条件等一系列合理性条件除了这些合理性条件之外，a r r o w 2 还 提出了一些其它合理性条件当然，这些众多的合理性条件之间存在 着千丝万缕的联系在文1 2 , 1 2 1 5 】中，s e n 、a r r o w 和r i c h t e r 对这些合 理性条件之间的相互关系进行了详细的讨论。 太原理工大学硕士研究生学位论文 关于选择函数的各种传递合理性的刻画工作主要有：在文f 1 ，2 1 中，u z a w a 和a t r o w 从显示偏好的角度得到了w a r p 是选择函数传 递合理的刻画条件；s e n 1 3 】扩展了u z a w a 和a r r o w 的工作，找到了选 择函数传递合理性的众多刻画条件；在文 1 2 中，r i c h t e r 从基于偏 好关系的角度得到了选择函数可以被合理化的充分必要条件另外， b a n d y o p a d h u a y ”】还对普通情形下选择函数的各种传递合理性的刻画 问题进行了讨论 随着决策科学的发展，所讨论的决策系统的复杂性也随之增加， 精确的数据往往很难获取，同时决策过程又离不开人的主观因素的参 与，所以用普通偏好来构模实际中的两两比较远远不够那么建立在 普通二元关系基础上的普通选择理论在处理实际问题的时候就存在一 定的局限性为此，o r l o v s k y 。】将模糊关系引入了决策中以构模偏好程 度的概念，并提出了模糊非控元的概念。实际上，o r l o v s k y 定义的模糊 非控元可以看作是模糊选择函数的雏形，只是当时他并没有确切地指 出模糊非控元就是模糊选择函数在这之后，o r l o v s k y 的非控元集被众 多人作为o r l o v s k y 选择函数进行了详细的研究，其研究内容主要有： m e n t e r o 1 目讨论的选择集非空的条件以及b a n e r j e e 等人在各种传递性下 对o r t o v s k y 选择函数的刻画问题等f 1 9 - 2 0 1 上面这些基于o r l o v s k y 的选 择函数的讨论都假设这个选择函数是非模糊的1 9 8 9 年，r o u b e n s i t 】首 次提出了模糊选择函数的概念，并从决策的角度讨论了四种基于模糊 偏好关系的模糊选择函数前面的这些讨论，无论是o r l o v s k y 的选择 函数还是r o u b e n s 的选择函数，都是基于一个偏好关系上讨论的。1 9 9 5 年，b a n e d e e n 】对模糊选择函数提出了一个更为一般的数学定义他 所定义的模糊选择函数仅值域中的元素为模糊集此后，g e o r g e s c u 在 文 6 - 9 】中从决策的角度将模糊选择函数的定义域中的元素也扩展为模 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 糊集，进行了更一般的讨论。 同普通情形一样，对模糊情形下的选择函数的研究也主要涉及合 理性条件的引入及相互关系，选择函数的显示偏好理论，选择函数的 各种传递合理性等 r o u b e n s 【】首先对基于一个模糊关系的选择函数进行了讨论，并提 出了一些合理性条件，这些条件包括：继承性( h e r i t a g ep r o p e r t y ) 和不相 关选择的独立性( i n d e p e n d e n c eo fi r r e l e v a n ta l t e r n a t i v e s ) 等。b a r r e t t 5 j 在 同样的框架下引入了r p w d 、r p s d 、s r e j 、w r e j 等合理性条件， 并对一些常见的基于偏好关系的选择函数是否满足这些条件进行了详 细的讨论在文 2 l 】中，b a n e r j e e 将普通选择函数的w a r p 、s a r p 、 w c a 、s c a 等合理性条件模糊化，探讨了模糊化后的这些合理性条件 之间的关系，并提出了合理选择函数的定义最后得到了合理选择函 数的充分必要条件( w a n g 在文 2 2 中指出b a a m r j e e 刻画选择函数合理 性所用的条件不是互相独立的) g e o r g e s c u 6 认为既然选择函数值域 中的元素可以是模糊的那么它的定义域中的元素也可以是模糊的，这 种模糊性可用来反映定义域中元素的可获得性( a v a i l a b i l i t y ) 所以她研 究了定义域和值域中的元素都为模糊集的模糊选择函数，是目前关于 选择函数的最为一般的讨论。另外，g e o r g e s c u 还第一次将一些模糊逻 辑联结运算( 如t 模，蕴含和非) 用于刻画选择函数的合理性条件，得 到了一些比较好的结果，同时为研究模糊选择函数提供了一个强有力 的工具具体内容可参见 6 - 9 】 以上就是选择函数研究的大致情况，从中我们可以看出：对于普 通选择函数合理性条件的研究比较多，也相对较为完善。但是对于模 糊选择函数合理性条件的研究还较少，仍然处于起始阶段r o u b e n s 及 b a r r e t t 等人所提出的合理性条件主要针对基于偏好关系的选择函数， 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 因而并不具有一般性b a n e r j e e 将普通情形下的显示偏好公理和一致 性公理模糊化，推广了s e n 和r i c h t e r 的一些结论。但对一些在普通情 形下占有非常重要地位的合理性条件( 如。条件、口条件、1 条件等) 的模糊化没有进行研究g e o r g e s c u 关于模糊选择函数合理性条件的讨 论都是建立在连续的t 模以及由t 模定义的蕴含和非的基础之上。她 较为详细地探讨了模糊选择函数合理性条件之间的关系，并且推广了 普通情形下s e n 和r i c h t e r 的许多结论然而，她在t 模m i n 意义下的 讨论所使用的非是直觉非，这是一类非常特殊的非( 只在一点取1 ，其 它点均取0 ) ，因而所获得的结果与非模糊的情况极为相似而且在模 糊选择函数合理性的刻画方面，她只给出了一个必要条件。 在本文中，我们首先对a r r o w 、r i c h t e r 、s e n 等提出的普通选择函数 合理性条件之间的相互关系加以完善并以普通选择函数有关结论为 基础，建立模糊选择函数的合理性条件，讨论了这些合理性条件之间 的联系，从而将a r r o w 、r i c h t e r 、s e n 等人的工作推广到模糊选择函数 中，得到了一些一般的结论然而我们注意到，在这种推广过程中，许 多在普通选择函数中成立的结论在模糊选择函数中已不再成立，但如 果对模糊选择函数加以限制，仍能得到一些令人满意的结果为此， 我们在每个选择集都是正规的条件下，更为深入地探讨了模糊选择合 理条件之间的关系通过我们的讨论可以看出，在我们的假设下，普 通选择函数的大部分结果都得到了相应的推广另外，我们对模糊选 择函数和偏好关系间的相互联系也进行了讨论并得到：若所涉及的 偏好关系自反且模糊选择函数正规，则模糊选择函数和偏好关系二者 可以相互唯一确定这个结论推广了a r r o w 关于普通选择函数与序关 系可以相互唯一确定的结论 本论文组织如下：第二章介绍本文所涉及的一些基本概念，主要 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 包括模糊关系的运算及有关性质、模糊逻辑联结运算等；第三章，对 普通选择理论已有结果进行综述，并给出了一些新的结果，从而完善 了普通选择函数合理性条件之间的相互关系的讨论；第四章，我们首 先将普通情形下的一些重要的合理性条件进行了模糊化，同时定义了 传递合理模糊选择函数和模糊选择函数可以被合理化的定义，然后我 们讨论了这些模糊选择函数合理性条件之间的联系。并在每个选择集 都是正规的条件下，深入地探讨了合理性条件之间的关系以及模糊选 择函数传递合理性的刻画问题，得到了刻画模糊选择函数的传递合理 性的一个充分必要条件最后我们对模糊选择函数和偏好关系间的相 互联系也进行了讨论 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章基本概念 本章给出了文中所用到的一些基本概念及记号。其中包括：模糊 关系的一些基本性质及其运算和模糊逻辑联结运算等 2 3 , 2 4 1 2 1 普通关系的有关性质 定义2 1 设x ，y 为论域，若g x y ，则称g 是x 到y 的关 系。 n 果( z ，y ) eg ，则记为x g y 。 特别地，若x = y ，刚称g 是x 上的关系。我们用g 、酽、 g d 分别表示关系g 的逆关系、余关系和对偶关系。其定义如下： g 一1 = ( z ，y ) i ( yz ) g ) g 。= ( z ，) l ( z ，y ) gg ) g 4 = ( z ，y ) l ( y ，z ) 车g 容易验证，g 4 = ( g 。) 一：( g 。) 6 。 由于关系是一个集合，所以关系的并、交运算就是集合的并、交 运算设g 1 ，g 2 都是x 上的关系，则g l 与g 2 的合成关系g 1 og 2 定义为： g l 。g 2 = ( 3 7 ，y ) 3 z x ，x g z 且z g y 特别地，g 2 定义为g 。g ；一般地，g ”1 定义为g “0g 。 定义2 2 设g 是x 上的一个关系， ( 1 1 若对v z x ，z g x ，则称g 是自反的； 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 2 ) 若对v x ，x ，。，x g y 或y g x ，则称g 是完全的； ( 3 ) 若对v x ，y ，z x ，x g y 且y g z ，有x g z ，则称g 是传递的 ( 4 ) 如果g 满足自反、完全和传递性，则称g 为一个序。 定义2 3 设g ，g 均为x 上的关系，若g 满足： ( 1 ) g 垦g 7 ， ( 2 ) g 是传递的， ( 3 ) 若g g ”，并且g ”传递，那么g g ”， 则称g 为g 的传递闭包，记为t ( c ) 。 若i x i = n ，则传递闭包的计算公式为：t ( g ) = u g 2 。 2 2 模糊关系的有关性质 定义2 4 设x ，y 为论域，若g ：x y _ 0 ，1 j ，则称g 是x 到 y 的模糊关系 特别地，若x = y ，则称g 是x 上的模糊关系本文所涉及的 模糊关系均为x 上的模糊关系。 我们用g _ 。、g c 、g 4 分别表示模糊关系g 的逆关系、余关系 和对偶关系，其定义如下：v z ，y x ， g - 1 ( z ，y ) = a ( y ，z ) g c ( z ，y ) = 1 一g ( z ，9 ) g 。( 茁，可) = 1 一g ( g ，。) 容易验证，g d = ( g 。) 一1 = ( g _ 1 ) 。 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 设g l ，g 2 ，g 都是x 上的关系，则 g 1 g 2 当且仅当v z ，y xg l ( z 、y ) g 2 ( z y ) ； g 1 = g 2 当且仅当妇，gex ，g l ( z ，y ) = g 2 ( x ，y ) ； ( g 1ug 2 ) ( z ，y ) = g t ( x ，y ) vg 2 ( x ，y ) ； ( g lnc 2 ) ( x ，y ) = g 1 ( z ，) g 2 ( x ，v ) ； ( g 1og 2 ) ( z ，y ) = s u p ( g 1 ( z ，z ) ag e ( z ，) ) 。 z x 特别地，g 2 ( z ，y ) = ( go g ) ( z ，y ) = s u p ( g ( x ，z ) a c ( z ，) ) ，更 z c x 一般地，对于任意的n 2 ，g 时1 扛，y ) = ( g “。g ) ( z ，y ) 。 下面定义本文所涉及的模糊关系的一些基本性质： 定义2 5 设g 是x 上的一个模糊关系， ( 1 ) 若对v xex ，g ( x ，z ) = l ，则称g 是自反的； ( 2 ) 若对v x ，y x ，z y ，c ( x ，y ) vc ( y ，) = 1 ，则称g 是完全 的； ( 3 ) 若对v 。，y ，z x ，g ( x ，。) 芝g ( 。，y ) a a ( y ，。) ，则称g 是传递 的； ( 4 ) 如果g 满足自反、完全和传递性，则称g 为一个序 定义2 6 设g ，g 7 均为x 上的模糊关系，若g 满足： ( 1 ) gcg 7 ， ( 2 ) g 7 是传递的， ( 3 ) 若g g “，并且g ”传递，那么g 7 g ”， 则称g 7 为g 的传递闭包，记为t ( g ) 。 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 若i x l = n ，则传递闭包的计算公式为：t ( g ) = u g i 。 2 3 模糊逻辑联结运算 以下我们介绍文中所用到的模糊逻辑联结运算：非，t 模，t 余 定义2 7 设n ： 0 ，l 】- ( 0 ，1 ，若n 单调减少，且n ( o ) = l ，n ( 1 ) = o ， 严格非，且成立复原律：v z 0 ，1 ，佗( n ( z ) ) = 。，则称n 为强非。 心c 茹，= ：三；是一个非，通常称该非为直觉非； 显然，模糊关系的余运算( c ) 是通过标准非n ( x ) = 1 一。来构模 定义2 8 设t ： 0 ，1 0 ，1 】斗【0 ，1 1 ，若t 满足： ( 1 ) v z f 0 ，1 ，丁( 1 ，z ) = z ； ( 2 ) v z ，y 【0 ，1 】，t ( x ，y ) = t ( y ，x ) ； ( 3 ) 若z ，y u ，则t ( x ，y ) ? ( u ，v ) ； ( 4 ) v x ，y ，z 0 ，1 ，t ( t ( x ，) ，2 ) = t ( x ，t ( p ，z ) ) ， 定义2 9 设s ：1 0 ，1 1 0 ，1 _ 【0 ，1 ，若s 满足： 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 1 ) v z 【0 ，1 ，s ( o ，。) = z ； ( 2 ) v z ，【0 ，1 ，s ( x ，) = s ( y z ) ； ( 3 ) 若z u ，ys ，l js ( z ，y ) ss ( u ，w ) ； ( 4 ) v z ，y ，z 【0 ，1 ，s ( s ( z ，y ) ，z ) = s ( z ，s ( y ，z ) ) ， 则称s 是一个t 余模 定义2 1 0 设，： 0 ，1 【0 ，1 _ 0 ，1 ，若，( z ，y ) 对z 单减，对y 单 增，且满足，( o ，0 ) = z ( o ，1 ) ：i ( i ，1 ) = l ，【1 ，0 ) = 0 ，则称，为蕴 含 t 模以及其对应的t 余模和蕴含是本文所用到的重要概念，其定 义及相关研究在许多文献中可找到，例如：可参见 2 3 2 8 】。 对任意一个左连续的t 模t ，可以定义 0 ，1 上的运算厅： 矗( z ，y ) = s u p z t t ( x ，。) 茎 容易验证：b 是一个蕴含并且当t 左连续时， t ( z ，y ) 墨。静z l r ( y z ) 引理2 1 似 设t 是一个左连续的t 模，对v 孔 t ， 0 ，1 j ， 有：t ( x ，s b p z i ) = s u p t ( z ，) t ，i e i 引理2 2 似设t 是一个左连续的t 模，对v ，z 0 ，1 ，以下 性质成立： ( 1 ) t ( z ，1 ) sz 铸zsb ( 口，z ) ； ( 2 ) t ( x ，r ( z ，) ) = z a9 ； ( 3 ) ys 厅( z ，) ； 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 1 ) t ( x ，y ) = m i n ( x ，y ) ，m i n 通常称为取小t 模，简记为 ； s ( z ，g ) = m a x ( g ，可) ，r l l a x 通常称为取大t 余模，简记为v ； ，m “z ，v ，= 3 2 xs 9 y 称k m 是“n 对应的蕴含。 ( 2 ) t ( ，y ) = m a x ( z + y 一1 ，0 ) ，该t 模通常称为l u k a s i e w i c zt 模 s ( x ，y ) = m i n ( x + y ，1 ) ，该# 余模通常称为l u k a s i e w i c z t 余模 1 wx ，们= r a i n ( 1 ，1 一。+ y ) ，称1 w 是w 对瘦的蕴含。 太原理工大学硬士研究生学位论文 第三章普通选择函数合理性条件研究综述 在研究普通选择函数的过程中，a r r o w 、r i c h t e r 、s e n 等人 各自提出了一些合理性条件，如：c 卜c 5 、显示偏好公理、一致性 公理、q 条件、口条件以及7 条件等 2 , 1 2 0 3 1 本章我们首先介绍与 普通选择函数有关的基本定义，然后给出文献中存在的各种合理性条 件，并对已有的关于这些合理性条件之间关系以及选择函数的合理化 问题的研究成果进行综述，同时在这些成果的基础上，提出一些新的 结果，从而完善了普通选择函数合理性条件之间的相互关系的讨论 3 1 普通选择函数有关的基本定义 本文设x 为全体备择对象集，我们假设它是有限集，x 上的所 有非空普通子集的集合记为日下面我们给出选择函数的相关定义。 定义3 1 似剐若映射c ：h - - + h 满足：v s h ，v ( s ) cs ，则 称g ( ) 为一个普通选择函数 选择函数定义的意义非常明确，即是从任一备择对象集中，均须 挑出一部分作为我们的选择实际上，若仅考虑消费者的消费行为时， 一个选择函数即被视为一个消费者 t 2 1 在一般决策中，它反映的是 一个决策者的决策行为【3 】一个选择函数往往可以显示出消费者( 决 策者) 的偏好，从文献中可以看出由选择函数得到偏好关系的方式是 多种多样的，以下我们介绍文献中最常用的三种定义方式 定义3 2 伊5 刃设g ( ) 为一个普通选择函数，定义： 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 r = ( 茁，y ) 1 3 s h ，茁e ( s ) ，y s 1 尸= ( z ，g ) i x r y 且y r 6 z ) j = ( z ，g ) f z r y 且y r x 通常称r 为显示偏好关系( r e v e a l e dp r e f e r e n c e ) 。 定义3 3l i t 剐设c ( ) 为一个普通选择函数，定义： 矗= ( z ，y ) l x e ( z ，) ) ) 户= 扛，) f z 五且詹。z ) ，= ( z ，) i 茁盈，且g 五z 一般地，称五是由选择函数生成的关系，简称为生成关系( g e n e r a t e d r e l a t i o n ) 。 定义3 4 以圳设g ( ) 为一个普通选择函数，定义： p = ( 。，y ) l | s h z c | ( s ) ，y s e ( s ) ) 袁= ( z ，y ) l y b 。z j = ( 茁，y ) l x 南且蠡 通常称p 为严格显示偏好关系( s t r i c tr e v e a l e dp r e f e r e n c e ) 。 反过来，由偏好关系也可以得到选择函数，以下我们给出两种基 于偏好关系的选择函数的定义：导出选择函数和像 定义3 , 5 俐对任意的一个关系g ，定义： e 7 ( s ) = z i z s ，x g y ，v y s ) 为由g 导出的选择函数似e r i v e dc h o i c e f u n c t i o n ) 。特别地，若g 为 显示偏好关系r ，则称g ( ) 为g ( ) 的像记为g ( ) 显然，g ( ) 0 ( ) ，但反之不一定成立，以下给出反例： 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 例3 1 令x = z ，y ，。) ，已知选择函数为： c ( z ，) ) = 扛 ， c i y ，。) ) = 。) ， c ( z ，z ) ) = kz ) ，g ( k y ，。) ) = z ， 那么由定义，x p y ，x l z ，z p y ，x p y ，z ，。，z p y ，但是 z ，z ) = c ( z ，f ，z ) ) 。 故e ( s ) gc ( s ) 定义3 6 似剐若v s h ，c ( s ) = 0 ( s ) ，则称g ( ) 是正规的 r 佗o f 7 t a z ) 注3 1 术语证规”有两种不同的定义方法。定义，1 6 中的正规是 指选择函数满足v s h ，c ( s ) = c ( s ) 。正规的另外一种定义是针对 模糊集而定义的，其定义为：若模糊集a ：x 。 0 ，1 是正规的，则 3 x x ，使得a ( x ) = l 。 定义3 7 似圳v z ，g x ，若j z2 ：i = 0 ：亿，使得茁o = 茁，妒= 并且v i = 1 ，一，n ，x i - 1 p z 2 ，则称x 与y 具有间接严格显示偏好 关系( i n d i r e c ts t r i c tr e v e a l e dp r e f e r e n c e ) ，记为z p + y 。 定义3 8 似圳v x ，y x ，若| ，i = 0 ：- 一n ，使得2 7 0 = x ，3 7 “= y ， 并且v i = 1 ，n ，2 2 i - 1 r x ，则称z 与y 具有间接显示偏好关系 ( i n d i r e c tr e v e a l e dp r e f e r e n c e ) ，记为z w y 注3 2 定义37 和定义3 8 提到的两种间接显示偏好关系分别是严格 显示偏好和显示偏好的传递闭包，即p + = t ( 户) ，w = ( 兄) 。 3 2 普通选择函数的合理性条件 文献中有很多关于普通选择函数合理性条件的讨论，s a m u e l s o n 1 0 1 1 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 最早提出了弱显示偏好公理w a r p ( w e a ka x i o mo fr e v e a l e dp r e f e r e n c e l ；h o u t h a k k e r “1 对w a r p 加以修改，得到一个更强的公理：强 显示偏好公理s a r p ( s t r o n ga x i o mo fr e v e a l e dp r e f e r e n c e ) ；r i c h t e r 在文 1 2 中提出了一致性公理c a ( c o n g r u e n c ea x i o m ) ，也就是文【1 3 中的强一致性公理s c a ( s t r o n gc o n g r u e n c ea x i o m ) ； s e n ”】削弱 了s c a 的前提条件，得到了弱一致性公理w c a ( w e a kc o n g r u e n c e a x i o m ) 这些合理性条件的具体内容如下： v ，a r p ：若z 户口，则9 r c 茁j s a r p ：若o p + y ，则y r 。2 7 ； w c a ： 若g ( j s l ) ，z s 且x r y ，贝0z c ( s ) ； s c a ：若c f ( s ) ，z s 且z w y ，则茁c ( s ) 。 另外，a r r o w 在文2 1 中提出了如下五种合理性条件： c 1 ：若对v x ，y ，9 s h ，z c ( s ) ，y e ( s ) ，自5 么z p + 。 c 2 ：若s 岛，则s t c ( s ) 岛一c | ( 岛) ； c 3 ：若s l & ，贝0c ( s 2 ) ns l g ( s 1 ) ； c 4 ：若s l 互岛且g ( 岛) ns l 咖，则g ( s 1 ) = c ( ) ns c 5 ：若x p y ，则扫s ，使得z s 且c ( s ) 除了以上列出的合理性条件以外，s e n t l 3 1 5 】和c h e r n o f f 1 6 j 还 提出了其它一些收缩扩张类的合理性条件 。条件：v s l ，& h ，v x s 1 s 2 ，若z c ( 岛) 则z c ( s 1 ) 序条件：v s l ，s 2 h ，v z ，y s l s 2 ，若z ，c ( s 1 ) ，则 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 茁c ( 岛) 当且仅当9 c ( 兜) ； 7 条件：若z c ( s 】) 且z e ( ) ，则z c ( s 1u 岛) ，即： c | ( s ，) n e ( s 2 ) c ( s lus t 2 ) ； q 2 条件： v s 日，v