（计算数学专业论文）四阶抛物方程的一个区域分裂并行差分格式.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t wi t h t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p a r a l l e l c o m p u t e r s , p eop l e h a v e m o r e a t t e n t i o n t o t h e d i ff e r e n c e m e t h o d w i t h in t r in s i c p a r a l l i s m . i n t h i s p a p e r , w e p re s e n t t h e d o m a i n d e c o m p o s i t i o n p a r a l l e l d i ff e re n c e s c h e m e f o r t h e f o l l o w i n g f o r t h o r d e r p a r a b o l i c e q u a t i o n u , + u _ =1 x，r ) u ( o , t ) = u x ( o , t ) = 0 u ( l , t ) = u . ( l , t ) = 0 f x , t u ( x , 0 ) 二 u o ( x ) 0x_0 t 20 t 之0 0xl a n d d i s c u s s t h e s t a b i l i ty a n d c o n v e r g e n c e . s e v e r a l p a r t s a r e o r g a n i z e d a s f o l l o w s : i n c h a p t e r 1 , w e r e v i e w s o m e p a r a l l e l d i ff e re n c e m e t h o d a n d i n t r o d u c e t h e w o r k o f t h is . 卜 p q i a , i n c h a p t e r 2 , w e d i s c u s s t h e c l a s s i c a l e x p l i c it s c h e m e a n d t h e c l a s s i c a l i m p l i c i t s c h e m e . w e g e t t h e c o n d i t i o n o f s t a b i l i ty f o r t h e e x p l i c i t s c h e m e b y t h e m e t h o d o f f o u r i e r a n al y s i s , w h i c h i s r0 . 1 2 5 s c h e me . . b y t h e m e t h o d o f n o r m e s t i m a t i o n , w e 笋 t h e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i ty o f t h e i m p l i c i t i n c h a p t e r 3 , w e p r e s e n t t h e d o m a i n d e c o m p o s i t i o n p a r a l l e l d i ff e re n c e s c h e m e a n d d i s c u s s t h e s t a b i l i ty a n d c o n v e r g e n c e . t h e s t a b i l i ty c o n d i t i o n i s p r o v e d t o b e r 0 . 2 4 . f i n a l l y , t h e i s a l s o i n c l u d e d . o f t h i s p a p e r i s g i v e n i n c h a p t e r 4 . t h e h o p e a b o u t t h e c o m i n g w o r k k e y w o r d s : f o r th - o r d e r p a r a b o l i c e q u a t i o n , d o m a i n d e c o m p o s i t i o n , p a r a l l e l d i ff e r e n c e s c h e m e , s t a b i l ity 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关 部门 或 者 机构 送 交 论 文的 复印 件 和电 子 版; 在不以 赢利 为目 的 的 前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 崔t l 1 ,0 4 年，! 月 . . . . . .闷. 口. . .， .目 口. . . . . . .呻p. . . . .闷 . .， . . . . . .月.目. . . . .侧.目 口 .目 . . . .门 . ， ，勺山创. . . . .甲 . . .月 . . . . . .目 . . . .叫. . . . . . 月 .口. . .月 . .-. . . . . . . . . . . . . 内 . . . .闷 . .口. . . . . 口 . .心. . . . . 呻 . . . . . 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 仁 n v -l - 尸 学位论文作者签名: lam 色 解密时间: 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 5 年 ( 最 长5 年” 可 少 于5 年) i ( 6 提出了有限差分区域分裂方法，将整个空间区域分裂成多个子区域，子区域的 内点上用隐格式，各个子区域的交界点处用大步长的古典显格式，这种显一 隐结 合的区域 分裂方法具 有好的稳定性， 差分解的 逼近阶很 好;而【 7 中 把1 习 的显格 式应用于 6 的 边界点 计算， 代替h二 2 h 大步长古典显 格式方法，收到了 更好的 收敛性效果，同时，比应用纯新型显格式可节省一倍左右的计算量;另外，文 献 8 9 1 1 0 3 分别 对非 线性扩散方 程、二维常系数扩散方程、二维变系数扩散方 程建立了并行差分格式，得到很好的结果。 在刻画流体运动的某些物理现象，以 及研究热的传导，粒子的扩散等问题 时， 一般都会归结为求解对流一 扩散方程。 为了 解决该类问 题， 文献【 川提出了 一 第一章绪论 种添加罚函数的( :r a n k 一 n i c h o l s o n 格式， 该格式所形成的代数矩阵对角元严格占 优， 有效克 服了 数值震荡， 保 证了 数值求 解的稳定性: 文献【 1 2 】 根据 9 的 方 法提 出了 一种新的添加罚函数的c r a n k - n i c h o l s o n 格式，亦收到很好的效果。 色散方程，在非线性波及孤立子理论的物理问题中，占有相当重要的位置， 对于该类方程的数值解法的研究也已经受到了广泛的关注，许多专家学者也作 了不少的工作， 其中尤以 文献【 1 3 .1 6 最具代表性。 1 3 ) 1 4 给出了 带有周期边 界条件的色散方程的交替分组显( a g e ) 格式和交替分组显一 隐( a g e 一 i ) 格式， 1 5 给出了 色散方程几个新的差分格式: 点对称六点格式、 二阶六点格式、 七点 二阶格式， 均有非常好的 收敛效果; 1 6 给出了一组非对称差分格式， 并用这些 非对称差分格式和对称的c r a n k 一 n i c h o l s o n 格式设计了一类并行交替分段差分 格式. 总之，这一领域中二十多年来的理论探索大体是沿着交替分组 ( 段、块) 型格式与区域分裂型格式两个方向进行的。一般地，两类格式具有以下特点: 1 . 交替型格式是早期得到的具有绝对稳定性的本质并行格式。它的优点在 于具有绝对稳定性，但是实际计算经验表明，这种类型格式的加速比不易提高。 2 . 区域分裂型格式最早见于c . n . d a w s o n 等人 1 9 9 1 年的文章 6 ) 。这种 类型格式的设计思想是把整个求解区域的隐式计算问题，分裂为几个子区域的 隐式计算问题，各个子区域的计算可以在不同的处理器上同时进行。其优点在 于结构简单，并行计算的加速比较大，稳定性限制条件又较传统的显格式宽松， 所以，这种类型的格式近年来引起了 学者更大的重视。 关于四阶抛物型方 程， 近些年来有不少研究工作 2 3- 2 刀 。 如: 2 3 对四阶 抛 物 型 方 程 构 造 了 一 个 显 格 式 ， 但 局 部 截 断 误 差 仅 为 。 伽+ ， ， ) ， 精 度 较 低 ; 2 4 构 造 了 一 个 三 层 含 参 数 的 显 式 差 分 格 式 ， 把 精 度 提 高 到 。 (a t , + ， ) ， 其 稳 定 条 件 网 格 比 / ( 击 一 。 .0 6 2 5 ; 2 5 构 造 了 一 个 三 层 隐 式 差 分 格 式 ， 并 且 绝 对 稳 定 。 总之，关于四阶抛物型方程的差分格式的研究，目 前多以 传统差分格式为主， 还没有见到稳定性限制条件宽松、又具有并行本性的新型差分格式.本文将就 四阶抛物型方程讨论区域分裂型格式。 第一章绪论 1 . 2 本文的主要工作 本文以如下四阶抛物型方程 u , + u _ = a - , t ) u ( o , t ) = u jo , t ) = 0 u ( l , t ) = “ 二 ( 1 , t ) = 0 u ( x , 0 ) = u n ( x ) 0_0 0xl ( 1 . 1 ) 为模型，首先讨论古典的显格式与古典的隐格式的稳定性、收敛性:然后以古 典显格式与古典隐格式为基础，建立区域分裂并行差分格式，并进行稳定性、 收敛性的讨论。结论表明， 所建立的区域分裂并行差分格式的稳定性条件对网 格比限制的上界至少是古典显格式的1 .9 倍。 文章以下内容如下:第二章讨论了差分方法的基本理论，并就上述四阶抛 物型方程的纯显格式与纯隐格式进行讨论，应用 f o u r i o u s分析法得出，当网格 比r 0 .1 2 5 时， 纯显格式稳定; 应用能量分析法得出， 纯隐格式绝对稳定。 第三 章构造区域分裂并行格式， 并进行该格式的稳定性讨论， 得出: 当网格比r _ 0 . 2 4 时，格式稳定。最后，在第四章总结本文的结论并指出今后的工作方向。 第二章四 阶抛物方程的基本格式 第二章四阶抛物方程的基本格式 本章我们主要讨论四阶抛物方程基本的显格式和隐格式。为此， 首先对差 分方法的基本理论进行一下回顾。 2 . 1 有限差分法的基本理论 下面以一维常系数二阶抛物型方程的初边值问题 加一次力 =一角w 浓u l u _ ( 2 . 1 ) . ( x ,0 ) = p w 0 x i , 0 t t 05x51 0_t 5t 为例，说明构造差分格式应解决的问题。 首 先 用 平 行线 族x = j h , t = k r ， 对区 域g : 0 x 1 , 0 t t 作网 格 剖分， 空 间 步 长 记 为 h ， 时 间 步 长 记 为 r ， 网 点 (x i , tk ) 简 记 为 (j , k ) . 设 差 分 格 式 写 成 向 量的形式 a (k )u k * i = b (k ) u k + : r k ( 2 .2 ) 差分格式在实际应用时，都取逐层计算的形式。当初始层上的解有误差时， 必然逐层传播，影响以后各层的解。研究这个误差传播的规律是稳定性讨论的 任务。 定 义2 . 1 差 分 格 式 ( 2 .2 ) 称 为 按 范 数 ii-ii 关 于 初 值 稳 定 ， 若 存 在 正 常 数 r o ， 使 得 对 任 何: ， 。 : r o , h = 8 介 ) ， 相 应 于( 2 .2 ) 的 齐 次 方 程 a (k )u k + l = b (k )u k ( 2 3 ) 的任意解v k ， 均满足不等式 ii k ii 5 m iiv i. n ， 对 任 何 k ,0 :5 k , k 、 里( 2 . 4 ) 其中m为与r 无关的正常数。 第二章四阶抛物方程的基本格式 稳定 性只是格式本身 的内 在性质。 设u k 为差分格式 ( 2 .2 ) 的 精确解， f u l l 表示 第k o 层 存 在 误 差“时 ， 由 ( 2 . 1 ) 得 到 的 解。 令砂= 矿一 u k ， 显 然 有 a (k ) c k = b (k ) e k k 2 k , 即# k 是差分格式( 2 .3 ) 的 解。 从而，当 格式 ( 2 .2 ) 关于初值稳定时，砂满足估计式 ( 2 . 3 ) 。 这表明， 差分格式关于初值稳定的实际含义是: 若格式的解在某层存在误 差，则由它引起的以后各层的误差不超过原始误差的常数倍。因此，只要初始 误差充分小，以后各层的误差就足够小。 定 义2 .2差 分 格 式 ( 2 .2 ) 称 为 按 范 数 1111 关 于 右 端 稳 定 ， 若 存 在 正 常 数 ， 使 得 对 任 何: ， 。 : t o , h = g ( , ) ， 相 应 于 差 分 格 式( 2 .2 ) 满 足 零 初 始 条 件u 0 = 0 的 解 矿， 有 估 计 式 iiu kll_ m r 其 ilv i ii ， 对 任 何 k ， 0 k 二 ( 2 . 5 ) 其中m为与z 无关的正常数。 像关于初值稳定的情形一样， 关于右端稳定的含义是: 当格式的右端存在误 差项时，由 它引起的解的误差，可由右端误差予以控制。 在一定条件下，关于右端稳定可由关于初值稳定推出。 定 理2 . 1 设 矩 阵a (k ) 的 逆 当 。 s z o , h = g ( z ) 关 于k 一 致 有 界 ， 且 差 分 格 式 ( 2 .2 ) 关于初值稳定，则格式关于右端稳定。 根据这个定理，在以下的稳定性的讨论中，可以限于研究格式关于初值的 稳定性。 将差分格式( 2 .2 ) 写成形式 l k 可= 君1 = 1 ,2 , . . ., n 一 1 ( 2 .6 ) 这 里 l 。 表 示 差 分 算 子 ，而 f j 可 能 不 等 于 l r 瑟 ， 只 是 表 示 右 端 项 的 某 个 近 似 。 用r k 表 示 上 述 差 分 算 子 的 局 部 截 断 误 差 : r j = l k u 若 - l u ?( 2 .7 ) 用r表 示 右 端 项的 局 部 截断 误 差 : 第二章四阶抛物方程的基本格式 , f = w 1 , 定义 2 . 3 若当r, 一 对( 2 .8 ) h 0 , k r = t ( 0 t 5 t ) 时， 对于充分 光滑的函 数。 有 iir k 卜” 又 有 p 11 ， 则 称几是 微 分算子l 的 相容逼近. 另 外， 若当r ， h -*0 , k r = t 时， - ) , 0 ，则称 ( 2 .6 ) 是微分方程( 2 . 1 ) 的相容逼近，或简称格式 ( 2 .6 ) 是 相容的。 若对局部截断误差有估计式 11 0 k。 。 .6 1 ilr 一 = o k r - + 则 称l k 对l 的 逼 近 是( a , fl ) 阶的 。 当 。 , 18 为 正 数 时 ，l , 对l 的 逼 近 是相 容 的 。 定 义2 .4设u k 为 差 分 格 式 ( 2 .2 ) 的 精 确 解， 若 对 任 意的 t ( o t _ 约， 当 步 长: ， h 、0 , k r = t 时 ， 相 应 的 差 分 格 式 ( 2 .6 ) 的 解可 满 足 关 系 式 ilu k 一 u r ll - ), 0 赐雌提忖的 。 其 中 u k 小l e 4 2 1 . , r r+-小 引 理2 . 1设 矩 阵矛 ” 的 逆当 。 r r o , h = g 介 ) 时 关 于k 一 致 有 界 ， 且 差 分 格 式 关于初值稳定，则( 2 .2 ) 的解满足估计式 nu kii m (i1u0ii+ ry iv 11) ( 2 . 9 ) 对任何0 t r , 0 k na 定 理2 .2设 矩 阵a (k ) 的 逆当。 二 r a , h = g ( r ) 关 于k 一 致 有 界， 且 差 分 格 式 ( 2 .6 ) 是稳定和相容的，则格式是收敛的。 显然，一个格式的相容性是容易验证的，为得到格式的收敛性，根据上述 定理，重要的是判断格式的稳定性。 判别 格式的 稳定 性的 方法常用的 有: 矩阵方法， 分离变量法( f o u ri e r 分析法 )， 能量估计法。由于能量估计法不能像矩阵方法与分离变量法那样建立统一的判 别准则，而要对各类具体的差分格式直接建立它的能量估计。所以在此只对矩 阵方法与分离变量法做一简单介绍，对能量估计法留在后面应用时具体介绍。 第二章四阶抛物方程的基本格式 1 .矩阵方法 把 ( 2 . 3 )改写成 v k + ) = (a (k ) y i b (k )y k ( 2 . 1 0 ) 记 h (k ) = (a (k ) 厂 b (k ) ， 并 称 之 为 过 渡 矩 阵 ， 则 有 v k + ) =h( k ) v k ( 2 . 1 1 ) 通过 对h ( k ) 的 直接估计来 给出 稳定 性条 件， 就是矩阵方法。 引 理2 .2差 分格式( 2 . 1 1 ) 稳定 的 充要 条 件是， 存 在常数: 。 ， m， 使当0 r r o , h = 8 ( r ) 时 ， 有 llh k ll 5 m ， 对 任 何 k , 0 k n o ( 2 .1 2 ) 定理2 . 3 差分格式 ( 2 . 1 1 ) 稳定的必要条件是， 存在与r 无关的常数m, ，使得 p 扭) 5 1 + m , r ( 2 . 1 3 ) 定 理2 .4若 对 任 意 的: ， 0 r r o , h = g ( r ) ， 存 在 与: 无关 的 常 数私， 使 得 iih k 卜 iia (k，一，b (k )卜 1 + m ,r ( 2 .1 4 ) 0kn 则差分格式 ( 2 . 1 1 )是稳定的。 显然，条件 ( 2 . 1 4 )等价于，对 ( 2 . 1 1 )的解有如下的估计式 v a 1l5 (， + m ,r )llv k 1 ( 2 .1 5 ) 2 .分离变量法 判别稳定性的分离变量法( f o u ri e r 分析法) 要求在任一时间层上， 将解的网格 函数关于变量延拓到实轴，并写出f o u ri e r 级数的形式。分离变量法使用起来非 常 的 方 便 。 我 们 只 需 将 可改 写 成 u n ( x = v ( m l g 的 形 式 ， 再 将 它 带 入 构 造 好 的 差分格式中，消去公因子，即得到格式的传播因子g ( a , r ) 。求出使 回。 ， 训s 1 + 祈 成 立的 ， 步 长 : 与h = 8 ( r ) 所 应 满 足 的 条 件。 此 条 件 称 为v o n m 三 童 卫吵 塑翌遴鲤刻逃兰一一一一一一一一一 n e u m a n n 条件。 下面构造四阶抛物方程的基本格式。为了 方便叙述， 首先作以 下记号约定。 用 平 行 线x = x j = j h ( j = 0 , 1 , 和 t = t = n r ( n 二 0 ,1 , - - -, m将 区 域( 0 , 1 ) x ( 0 , t ) 划分成矩形网格， 其中h = l / j 和r = t i n分别是空间 和时间网 格步长， j 和n是 自 然 数 。 数 值 求 解 初 边 值 问 题 ， 只 需 计 算 网 格 点 ( x j t n ) 上 的 近 似 解 u 即 可 定 义 差 商 算 子 ， 、 + 、 一 、 十 人、a z 和a 2 a z 分 别 如 下: . +u i ， 一 u 二 n , u 丁 = ，a , u i = s a 一 u 罗 = u j 一 u 几 h a , a - u 少 ， 二 ， 一 2 u 罗 + u 二 ， 二 二 一， u 失 : 一 2 u , + u 罗 o + u i = 一 一 h z 一 一 a , a ? u i u ; + : 一 4 u 孔 ， + 6 u 罗 一 4 u 二 : + u 2 . 2 纯显格式 2 . 2 . 1 纯显格式及其局部截断误差分析 建立格式 川= - a z+ - a z u i 十 f i i = 2 ， 3 . . . , j 一 2 ; n = 1 , 2 , - - -, t / r j ( 2 . 1 6 ) u 言 = u 舒 = 心 _ ， = u ; = 0 u 了 = u o 伽) ( 2 . 1 7) ( 2 . 1 8 ) 此格式称为方程 ( 1 . 1 )的纯显格式。 引 理 2 .3 纯 显 格 式 ( 2 . 1 6 ) 一 (2 . 1 8 ) 的 局 部 截 断 误 差 的 阶 为 o 卜 + h 2 ) o 证明:将 ( 2 . 1 6 ) 式中的u 在节点( .1 n ) 处t a y l o r 展开，有 第二章四阶抛物方程的基本格式 u n+i = 、 】: 二 au lat 一 卜 ， ( 2 . 1 9 ) u i*z 一 【，: + 2hi ax ( 2 h ) r a , u l + i - i 4 ! l a x - ( 2 . 2 0 ) u; _2 = ，: 一 2hi o f ( 2 h ) 0 1 a 4 u j 十 - i 4 ! l a x - j + (22)2 u,i 2 一 粤 u ji 3j(2 )3 u3 l + (2h)1 _85u51 axs工 二 。 6, + (2h)2 i al u ii2 一 (23)3 r uli i 3 一 一 (2h) au5! 1w 工 二 。 61 ( 2 . 21 ) r a i n h 2 f a 2 u l h 3 r a u l u 认。 =1 ui ;十胡 i +-1 - i +- 1 - f l + e ; e ? u ; = l u , + o (r + h ) ( 2 .2 4 ) 亦 即 ， 差 分 格 式 ( 2 . 1 6 ) ( 2 . 1 7 )( 2 . 1 8 ) 的 局 部 截 断 误 差 的 阶 为 0 卜 + h ) . 2 . 2 . 2 稳定性分析 由第一章关于分离变量法的介绍， 定理2 . 5如果网格比; = r 1 h 4 0 . 1 2 5 我们得到: ， 纯显 格式( 2 . 1 6 )( 2 . 1 8 ) 是l 2 范稳定的. 9 第二章四阶抛物方程的基本格式 证明: 将( 2 . 1 6 ) 改写成 u = - r u f * 2 + 4 r u + , + (1 一 6 r ) u j + 4 r u j _ 1 一 r u j _ 2 + : f j ( 2 . 2 5 ) 川改 写 成 u h x ) 一 v ( 4 的 形 式 ， 带 入( 2 .2 4 ) 得 v . i ( m ) = h 一 6 r 一 2 r c o s 2 a h + 8 r c o s a h v ( m ) ( 2 . 2 6 ) 传播因 子 g 位， 吟= 1 一 6 ， 一 2 r c o s 2 a h + 8 r c o s a h =1 一 4 r + 8 r c o s a h 一 4 r c o s 2 a h ( 2 . 2 7 ) 当且仅当网格比r 0 . 1 2 5 时， 满足v o n n e u m a n n 条件，纯显格式稳定。 2 . 3 纯隐格式 2 . 3 . 1 纯隐格式及其局部截断误差分析 建立格式 a , u ; = - a ; a z u j * ; + f i j = 2 , 3 ， 一 ， j 一 2 ; ， = 1 , 2 ， 二 、 it/z 呢= u i = 可 一 : = 衅= 0 ( 2 . 2 8 ) ( 2 . 2 9 ) u 罗 = u o 伽)( 2 .3 0 ) 此格式称为方程 ( 1 . 1 )的纯隐格式。求解它需要解一个j 一 3 阶方程组。 引 理 2 .4 纯 隐 格 式 ( 2 .2 8 ) 一 (2 .3 0 ) 的 局 部 截 断 误 差 的 阶 为 o (r + h 2 ) . 证明: 将 ( 2 .2 8 ) 式中的u 在节点以n + 1 ) 处t a y l o r 展开， 有 : 二 ，】:一 au 8t 一二 21 ( 2 . 3 1 ) 。; = 【】:一 2h ( 2 h ) f a u l 十i -i 2 !l a x n + 1 ( 2 h ) 十 ( 2 h ) 4 i a 4 u 1n + 1 ( 2 h ) f a u l - i ， 、 十i -1 t 1 -1十oi n- 1 a ! l ( 2 . 3 2 ) 第二章四阶抛物方程的基本格式 。 一 ，u， ,月 -2hl ajn+l + (2h) raluln+ll i 2! 8x 一一 (2h) 8u3! 8x一 + (24)4 a4u4 一” 一 (2h) au +l + o(hb)5! _ i ，留 一 【ul:一 叱 鬓 一+ h 2 ,u2! ax2 一” + h ou+l3! dr j + h !u4! ox 4 一+ h au5- 1 w 一+ o(h6) u-1j-1一 +iul j 一 dun+l + h2 a2uin. a 2 u f + ， 二 l u + l + o (z + h ) 即 : 差 分 格 式 ( 2 .2 8 ) 一 ( 2 .3 0 ) 的 局 部 截 断 误 差 的 阶 为 口 (r 十 h 2 ) ( 2 . 3 3 ) ( 2 . 3 4 ) ( 2 . 3 5 ) ( 2 . 3 6 ) 2 . 3 . 2 稳定性分析 由于抛物型方程关于右端项的稳定性，可以利用叠加原理转化为初值的稳定 性 来 讨 论 ， 所 以 ， 下 面 只 讨 论 初 值 的 稳 定 性 。 即 : 令a . , t ) = o 0 引 理2 .5 对 于 任 意 的 离 散 函 数( u , ji = 1 ,2 ， 一 ， j - 2 有 艺u , ( a + a ? u , ) =1 ;wh l4 -2一 u i+2 一 4 u , + , + 6 u ， 一 4 u j _ , + u j _ 2 ) 去 2 (u ;+2 一 2u,., + u , ) 2 + u 0 + s u 1 + s u ,2,_ , + u i + u o u 2 + u l u 3 + u , _ 3 u , _ , +u,-2u,一 4 u o u l 一 4 u , u 2 一 4 u , - , u ， 一 4 u , - , u , ( 2 . 3 7 ) 第二章四阶抛物方程的基本格式 特别 地， 当“ 。 = u i = u ! - 1 = u j - 2 = 。 时 ， 有 ylu , ( a * a z u ) = f艺( u j + 2 一 2 u , + , + 。 ， ) ， j = o ( 又u ， ) 2j ( 2 . 3 8 ) 月艺j-0 -一 引 理2 .6 若m. h 5 m ， 则格式( 2 .2 8 ) ( 2 .2 9 ) ( 2 .3 0 ) 是l 2 范稳定的。 其 中 m = 艺( 。 罗 ) 2 h e 定 理2 .6 隐格式( 2 .2 8 ) 一( 2 . 3 0 ) 绝对稳定. 证 明 : 用u , + i h 乘 以 ( 2 .2 8 ) 的 两 端， 并 对.% = 2 ,3 ， 一 ， j 一 2 求 和， 得 去 1-e (u i+)2j.2 一 (u,) h l + 看 = 一 艺 u j + i 又 a ? u , + ) h -2-2 jj = 乏( 从 u 1 ) 2 hj ( 2 . 3 9 ) 即 : 李 f 、 二 : 2 r - 。 一r 一n 夕”. 十一 2艺 ( a , u ) 2 h + j . 2 艺 ( 又 u , + 1 ) 2 h = 0 ( 2 . 4 0) 上 材 二 : 2 r 一 m 卜 一 舌 j-2t ( r ;)2m l = - z i (a ,u ,j ” 一 j-2e (a 2+u j0+1)2hj=o 。 ( 2 . 4 1 ) 由 此可知， 对于任意r , h ， 均有mn + l :5 mn 。 由引理2 . 6 ，该隐格式绝对稳定。 第三章区域分裂并行格式 第三章区域分裂并行格式 本章我们先构造一个区域分裂并行格式，而后讨论这一格式的稳定性与收 敛性。 3 . 1 格式的构造 构造差分格式如下: , u i = - a ; a z u ; + 1 j = 2 , 3 , . . . , k - 1 , k + 2 , . . . , j - 2 ( 3 . 1 ) a : u 罗 . i, u j= 一 从 过 u 少 + ， j = k , k + l ( 3 .2 ) 嘴= u r = 可 一 。 = 可= 0 ( 3 .3 ) u 罗 = u a 伽)( 3 .4 ) 该格式在点j = 2 ,3 , - - . , k 一 i , k 十 2 , . . . , j 一 2 为纯隐格式， 在点j = k , k + 1 为纯 显式，并且能够在两部分2 5 j 5 k 一 1 与k 十 2 5 j 5 j 一 2 的隐式计算完全独立。 因此，这是一个具有并行本性的差分格式。 3 . 2 格式的稳定性 不 妨 设 八 x , r ) = 0 a 用u 尸 h 乘 以( 3 . 1 ) 的 两 端 ， 并 对j = 2 ,3 , k 一 l , k 十 2 , . . . , j 一 2 求 和 ， 得 会 蒸 l(ui+1)2“ 一 u,)z h+ s2 j + 七 , k r l 艺( a , u ; ) 2 h = 一艺 u * ia y a z u * ihj - i ( 3 . 5 ) j j _ zj . k ,k + l 用u 尸 h1 乘 以( 3 .2 ) 的 两 端 ， 并 对j 二 k , k + l 求 和 ， 得 会 ， l r (u /+2 )2j.k.k+1 一 ，” ” ，一 舌 j黔u n+1)2t (a ir2 j=kx *1 “ 一 艺u jn + 1 ( 从 a 2 u - ) h ( 3 . 6 ) j - k 声+ 1 第三章 区域分 裂并行格式 令 m =艺( u , ) 2 h +艺( u 罗 . 1 ) 2 h，把 ( 3 .5 ) 与 ( 3 .6 ) 相 加 ， 并 由 引 理2 .5 , 得 j - k 声+ l 一 m ) + 2 蒸 (a *u i )2” 一 t ， y (0 u n+1)2h2 j-k,k+l = j m 1一zr = 一 艺e + 1 ( 5 + a 2 u j + 1 ) h = 一 艺 ( 从 u-1 ) 2 h ( 3 . 乃 把 方程 ( 3 . 1 ) ( 3 . 2 ) 带 入( 3 .7 ) 左侧的 后两项， 我们得到 上 ( 材 二 : 2 t 一 m )+ 母 奥 (y * o 2 u j+) 2hj.2 j n 孟 jr l 一 蚤 ， (a + 0 2 u +1)2j.k,k+l丙 十 艺 ( 又 u + 1 ) 2 hj 一 0 ( 3 . 8 ) 记 y ， 二 从u + 1j ， 则 上 述 方 程 可 重 新 写 成 与m n + l 2 t 二、r 一弃里 】 十一 2j -2y- (o z y )2j.2 ” 一 t- ， y (az y j)2h +2 j-k,k+1 j s k , k + l 艺夕 2 hy j= 0 ( 3 . 9 ) y j-2艺网 定义 f= y ( e y j ) 2 一 z ， y (0 2 y j)22 j-k,k+l ( 3 . 1 0 ) r工z j s k , k + 1 则 ( 3 . 9 ) 上 ( m rl 2t 可化为 一 m ) + f=0( 3 . 1 1 ) 如果f 非负定，则m + 1 - 0 ， 则f _ o . 令 a o = 1 一 4 r - r.， .、 二 了，a , =k + k z 一 ) r， 乙e b , =- 2 r f 2 二 a o y k2 + a l y k2 + 1 + ( i + ( 3 一 s ) r ) y k . 2 + ( i + 3 r ) + 2 b , y k + , y k + 2 + ry k + ,y k + ， 一 4 r 艺y j y j + l j - k + 2 + (， + 号 )“ 一 + ( + + r 艺y j y j + 2 ( 3 . 1 刀 j - k 十 2 = a . y k 十 。 。 (儿 十 ， 十 b , 儿 。 + 口 l 共y k + 3 ) 2 + ( 1 + ( 3 一 e ) r ) a, b ; ，2 一j yk + 2 a , r 2 + ( 1 +.3 r 一下 丁 一 9 a, ) 殊， + ( 1 + 3 r ) 艺对 j - k + 4 + (1 + 鲁 r )y i-3十 l k + 2 ) y ! - 2 十 2 (二 ， 一 r b , )y k +2y k+ 3 + ry k +2 y k+ 4 a , r- 4 一 4 r 艺y j y ; + l + rj- 4y- y i y i+2 ( 3 . 1 8 ) j - k + 3少 砧+ 3 令 。 2 一 1 十 (卜 ); 一 兰 ，b , = 一 ， 一 奥， 则 2 a , _，b . r z =ay ; + a 3 ( y k + 1 + -y k + 2 口 i r 2 r、 ，.r、 ， +二 ， - 儿+ 3 厂+ a 2 y k + 2 + ( k + 3 r 一 丁-) y k + 3 l a , 9 a , 1 6 第三章区域分裂并行格式 j-4 + ( 1 + 3 r ) 艺， 了 , . k + 4 + (;+ 号 r)y ;一 + (，+ + 2b2 y k + 2 y k + 3 + r y k + 2 y k + 4 一 4 r 艺 j - 七 +y , y , + . + r 艺y , y ; + 2 ( 3 . 1 9 ) 2 a , y t + 3 ) 一 十 “ 2 ( y k + ， 十 y t + 4 ) 2 bz-几 = 。 。 2= a o y k + 。 : 。 :， ， + b , 儿 ， 2 + a , r r y k + 3 +丈 竺 ， l ag _ 、r 2 +l k +i r 一丁 了 ， 9a,舒 )， “ 】 (， ，一 r 2 )y k+44 a2 )y 2 “ ，崖 : ， + 。 十 号 r )y ,2一 十 。 十 r， 2)y3-2一 “ r y- y , y , + . + r j-4 艺y , y , . 2 ( 3 . 2 0 ) 了 . 介 + 3j . 丘 十 3 = 1 +3 r一 b 22 4 a , a 2 ，b 3 = - 2 r a o y t2 ， “ :。 *+ ， 十 鱼 y k + 2 r、 ，b , +二 一 儿+ ， ) 一 +a 2 l v k + 2 +一 儿+ 3 口 1口2 几二 令凡 a , + 弄 y k + s ) 2 口 2 + a 3 对 + ， + ( 1 + 3 r - (， ，翼