（应用数学专业论文）不连续动力系统的稳定性分析及其应用.pdf

册j | j 大学博士学传论文 捅要 不连续动力系统的稳定性分析及其应用 应用数学专、j k 研究生朱伟指导教师徐道义教授 本文研究几类不连续动力系统脉冲微分系统，脉冲差分系统，随机差 分系统，脉冲开关系统的稳定性，及其在脉冲模糊神经网络和混沌同步上的应 ，门。 第一苹研究几类脉冲微分动力系统的稳定性。首先讨 a 了具有奇异扰动 的非自治的脉冲时滞微分方程的指数稳定性。然后利用连续形式的h 6 l d e r 小等 式以及脉冲时滞微分不等式研究了脉冲反应扩散方程的指数稳定性。最后，利 用脉冲积分微分不等式讨论了一类脉冲积分微分方程的稳定性问题。 第二章研究具有时滞的脉冲差分方程的指数稳定性和随机差分方程的均 方指数稳定性。首先通过建立脉冲时滞差分不等式和引入p 一锥的概念讨论了一一 类具有脉冲的时滞差分方程的指数稳定性；然后利用离散形式的h 6 1 d e r 不等式 和非负矩阵谱半径的性质得到了随机差分方程均方指数稳定的充分条件，改进 和推广了已有的一些结果。 第三章利用m 矩阵，脉冲时滞微分不等式以及单向线性耦合方法对一类 具有时滞的混沌系统的脉冲指数司步问题进行了研究，得到了其脉冲同步的充 分条件。 第四章研究了具有脉冲和变时滞的开关系统的稳定性问题。利用负定矩 阵的性质，将状态空问表示成了若干( 有限) 子区域的并集，进而设计了开关 法则。利用所得到的开关法则和脉冲时滞微分不等式得到了该类系统稳定的充 分条件，丰富和推。了一些有关开关系统稳定性的结果。 第五草研究曲类脉冲模糊神经网络的稳定性首先对t - s 模糊神经网络在 有随机于扰和脉冲影响下的稳定性问题进行了讨论：然后对模糊细胞神经刚络 一i 一 阴i i 大学博士学位论文 在脉冲影响下的稳定性问题进行了研究。分别得到了这两类模糊神经网络均方 指数稳定和指数稳定的充分条件。 关键词脉冲微分方程、时滞微分方程、模糊神经网络、开关系统、混沌系 统、稳定性、指数稳定、均方指数稳定性、同步、h o l d e r 不等式、脉冲微分 ( 积分) 不等式、单向线性耦合方法。 i i 四川大学博士学付论文 a b s t r a c t s t a b i l i t ya n a l y s i so fd i s c o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m sa n d i t sa p p t i c a t i o n s m a j o r a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：w e iz h us u p e r v i s o r ：d a o y ix u t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hs t a b i l i t yo fs e v e r a lc l a s so fd i s c o n t i n u o u ss y s t e m s ， i e ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n c es y s t e m , s t o c h a s t i cd i f f e r e n c e s y s t e ma n di m p u l s i v es w i t c h i n gs y s t e m ，a n di t sa p p l i c a t i o n so ni m p u l s i v ef u z z yn e u r a l n e t w o r k sa n d c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n i nc h a p t e ri ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs e v e r mi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s i sc o n c e r n e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ne x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v es i n g u l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i m p u l s i v er e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sa n di m p u l s i v ei n t e g m d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e d ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r2 ，b yu s i n ga d e l a yd i f f e r e n c ei n e q u a l i t ya n d t h ep r o p e r t yo fp c o n e ， w es t u d yt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o re x p o n e n t i ms t a b i l i t yi nm e a ns q u a r eo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n a r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h eg l o b a li m p u l s i v ee x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mf o rd e l a y c o u p l e dc h a o t i cs y s t e m si si n v e s t i g a t e d b ye s t a b l i s h i n ga l li m p u l s i v ed e l a yd i f f e r - e n t i a li n e q u a l i t ya n du s i n gt h ep r o p e r t yo fp - c o n ea n du n i d i r e c t i o n a ll i n e a rc o u p l i n g a p p r o a c h ，s o m es i m p l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a li m p u l s i v ee x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no ft w oc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m sa r ed e r i v e d i nc h a p t e r4 ，an e wc l a s so fs w i s h i n gs y s t e mw i t hi m p u l s e sa n dv a r i a b l ed e l a y s i si n t r o d u c e da n dt h e i ra s y m p t o t i c s t a b i l i t yp r o p e r t i e sa r ei n v e s t i g a m d b yt h ep r o p e r t y o fn e g a t i v ed e f i n i t em a t r i x t h es t a t e s p a c ei sd i v i d e di n t om s u b r e g i o n sa n dt h e nt h e c o n s t r u c t i o no fs w i t c h i n gr e g i o n s ，c a l l e dq r e g i o n s ，i sg i v e n i nt e r mo ft h e s ef z i 一一 阴川大学博士学侍论文 r e g i o n s ，as w i t c h i n gl a wi sd e s i g n e d u s i n gt h eg i v e ns w i t c h i n gl a wa n da l ii m p u l s i v e d e l a yd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , s o m eg e n e r a lc r i t e r i af o rs t a b i l i t yo ft h es w i t c h i n gs y s t e m w i t hi m p u l s e sa n dv a r i a b l ed e l a y sa r eg i v e n i nc h a p t e r5 ，f i r s t ，am o d i f i e ds t o c h a s t i ct a k a g i s u g e n o ( t s ) f u z z ym o d e li se s ， t a b l i s h e d b ye s t a b l i s h i n ga ni m p u l s ef u z z yd e l a y d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , s o m ec r i t e r i a f o rt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nt h em e a ns q u a r ef o rt h em o d i f i e ds t o c h a s t i ct s m o d e la l eo b t a i n e d t h e ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rf u z z yc e l - l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hi m p u l s ee f f e c ta l eg i v e n k e yw o r d s ： s t o c h a s t i cs y s t e m s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ，n e u r a ln e t w o r k s ， c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，u n i d i r e c t i o n a ll i n e a l c o u p l i n g ，s w i t c h i n gs y s t e m 一一 阴川大学博士学位论文 符号 伊 r ”。“ a 2 b ( a b ) c ，y 】 c p c i x ，胛】 p c 口】+ i i a l l ， 怿( t ) 卜 口( f 2 ) s a ，6 j z 磊 ( q ，厂， 五) 幻，p ) u ( t ) 1 2 ， 三1 ( f 一0o l ，r ) 部分符号对照表 说明 竹一维e u c l i d 空间 mx 礼的实矩阵 矩阵或向量a 和b 的对应元素满足相应的不等式关系 从拓扑空闻x 到拓扑空间y 的连续映射构成的空间 c 垒e 【一n o 】，形】，r 0 p c z ，尼1 垒 妒：j 一pl 妒在，上除点“外都连续， 在点t 处右连续，左极限存在，“为脉冲序列，cr p c = p g ( 卜- lo j ，；p ) 矩阵a 的每个元素都取绝对值后构成的矩阵 矩阵a 的p 一范数，p = 1 ，2 ，o o ，若无特殊说明表示 其中某种范数 渺( t ) j ，= ( 眵z ( ) j ，一，f 棘( t ) 卜) t ，f ( ) 】 = 【庐( o ) r 卜， 其中i 晚( t ) 】，= s u p 一，s o 九0 + s ) ) n 上实l e b e s g u e 可测函数构成的空间，显然是按l 2 一范数： d1 1 t , 1 1 2 = 【丘l u ( z ) 1 2 如】 ，u = c o l ( u 1 ，) ，的b a n a c h 空 j v a ，b 】；如，n + 1 ，讣，其中o b ，d ，6 都为整数 z = ( o ，1 ，) z o = ( - h ，o ， 为已给定的正整数 具有流 五 。的完备概率空间 ， 定义在( n ， 五h 如，e ) _ l z 的n 维b r o w n i a n 运动 l 1 2 。= s u p 一，。0z v l o ( t ) 1 2 o o ，其中e 表示随机过程 的数学期望 一上文【= 丁，0 】，冗) = 和是由 一f ，0 】到同 句可测函数且 y _ o ，i z ( t ) l a t + o o ) 四川大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四j i l 大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期问在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明 作者签名：生雄 日期：掣 一1 3 2 一 导师签名： 日期： 歹孙 囡一鼍逸 7 四川大学博士学仿论文 引言 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍 存在的，其数学模型往往可以归结为脉冲微分系统或脉冲差分系统鉴于这类新 型非线性系统在现代诸多科技领域日益广泛的应用，逐渐引起了广大学者专家 的关注与重视， 自2 0 世纪8 0 年代以来，脉冲微分系统的研究逐渐引起微分方程学界的关注， 不少学者致力于从理论上对其进行研究【1 1 ，【2 】。许多重要的理论成果也在这一 时期相继出现。如脉冲微分系统解的基本理论，脉冲微分不等式等等这些结果 都被系统的总结在v l a k s h i m i k a n t h a m 等1 9 8 9 年出版的专著 t h e o r yo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 中，这就标志着脉冲微分系统基本理论己经形成 自9 0 年代以来，脉冲微分系统作为非线性微分系统领域的一个新分支，已取 得了一批重要研究成果特别是近年来国内外不少学者如v l a k s h m i k a n t h a m ，徐 道义，刘新芝等在脉冲泛函微分系统方面做出了很多有意义的工作，2 0 0 4 年，傅希 林等学者对这一时期的研究成果在专著“脉冲微分系统引论”里进行了系统的总 结，介绍了近年来在“脉冲”与“时滞”共存下的一些最新研究成果 脉冲微分系统这一新的研究领域极具吸引力和挑战性在理论上，它综合了 连续和离散系统的特征又超出了连续和离散系统的范围，特别是在“脉冲”和“时 滞”共存甚至更复杂的情形下系统解的性质的研究尚需深入探索在应用上，脉 冲微分系统源于实践，在科技领域及工程技术中层出不穷，近年来脉冲微分系统 已成功地应用于通讯领域 脉冲差分系统的研究结果相对较少，m s p e n g 等对脉冲差分系统解的振荡 性给出了一些结果( 【7 5 及其参考文献) r z a b d u l l i n 等对特殊的脉冲差分系统 也进行了一些研究( 【7 8 ，【7 9 及其参考文献) 。 本文拟对几类脉冲微分系统解的稳定性及在神经网络和混沌同步中的应用 给出一些研究成果同时也对脉冲差分系统和具有随机扰动的差分系统的稳定 性问题进行深入的研究 一2 一 四川大学博士学位论文 一、脉冲微分系统的理论分析 一类典型的脉冲微分系统可以表示为 i圣( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t r k ( z ( t 一) ) ，t 0 ， io = 厶( 一，z ( 一) ) ，t ：= t x ( z ( t 一) ) ，七z 其中z = ( 矿) 一o ( t 一) ，厶：冗xnc 口， r e ：q _ r 满足仉一1 ( z ) 仉( z ) ， l i m k 一。仉( z ) = o 。第一个方程描述了系统的连续渐变过程，称为连续部分；第 二个方程刻画了系统的脉冲效应，称为离散部分( 或脉冲部分) ；仉决定了脉冲发 生的时问，称为脉冲时刻；i k 描述了脉冲跳跃的强度，称为脉冲函数当每个亿都 是常量函数时，它是固定脉冲时刻的脉冲微分系统否则是变时刻的脉冲微分系 统，其脉冲跳跃时刻由方程t = r d x ( t i ) ) 所确定，不同初始位置的解可能由不同 的脉冲时刻脉冲微分系统的一个最大特点是：它的解是按段连续的在整篇文 章中除特别说明外我们都约定：z ( t ) 在t e 处是右连续的，即z ( t k ) = o ( t 吉) 这样约 定就使得在后文中计算的右( 上) 导数在t 处总是有定义的 易知，上述脉冲微分系统，当厶三o n ，退化为一般的微分系统；当，兰o 时， 退化为一般的差分系统因此，脉冲微分系统是微分系统和差分系统的综合体， 是一类典型的混合系统，其理论研究比纯粹的连续系统或差分系统有着更丰富 的内容 由于时滞效应、脉冲现象或空间影响的广泛存在，人们很自然地把脉冲常 微分系统的工作推进到脉冲泛函( 时滞) 微分系统和脉冲偏泛函微分系统上，获得 了很多有意义的结果如文【2 0 1 - 【2 2 1 研究了脉冲泛函微分方程的解的存在性、 唯一性、延拓性和解对初值的连续依赖性；文【1 7 ，【1 8 ，【2 5 1 ，【6 2 ， 6 3 1 ，【6 4 1 ， 【6 5 1 利用l y a p u n o v 函数( 泛函) 方法和r a z u m i k h i n 技巧获得了脉冲泛函微分方程的 稳定性；文【3 3 1 一【3 7 讨论了脉冲偏( 泛函) 微分方程的振动性问题 在动力系统的定性分析中，稳定性的的研究是关键的，也是最引人入胜的工 作之一但对于脉冲微分方程，特别是脉冲泛函微分方程和脉冲偏泛函微分方程 的研究并不充分，而且我们知道奇异扰动也是造成系统不稳定的一个重要因素 四川大学博士学位论文 因此本文第章将对一类具有脉冲和时滞的奇异扰动微分方程，脉冲积分微分 方程以及脉冲偏泛函微分方程的稳定性问题进行研究，分别给出这些方程稳定 的充分条件 二、差分系统的稳定性分析 近几十年来，随着高速数字计算机的出现，对于控制理论家，经济学家以 及生物学家来说，差分系统已经成为一个重要而且有用的数学模型。如：通信 系统、数字信号处理、控制论、生物基因遗传、宏观经济学、社会学、随机时 间序列分析、排队论、量子辐射、几何、离散神经网络等。毫无疑问，随着差 分方程理论的不断完善，它将在应用数学、应用分析领域里占据不可忽视的地 位。特别地，差分方程稳定性理论更是如此。正如j p l a s a l l e 在“动力系统稳定 性书中所指出：“今天越来越有必要系统地研究差分方程，它们都拥有本身 就很重要的数学模型。除要求理解收敛性和连续性外，其它方面要求不多，而 且完全不涉及解的存在性及解的定义域之类的麻烦问题。然而，差分方程的研 究为微分方程、微分一差分方程和泛函微分方程的稳定性提供了一个很好的入 门的途径”。 在实际中，系统往往受到时滞，脉冲或随机扰动等多种因素的干扰，在有这 些干扰存在的前提下，其稳定性分析就显得更加重要，讨论的难度也更加大了 关于脉冲差分系统已有一些作者进行了研究( 【7 5 - 7 9 ) 但对于稳定性结果却相 对很少因此，我们将在第二章给出一类脉冲差分方程稳定的充分条件，并对具 有随机扰动的差分方程的均方指数稳定性给出易于判断的充分条件 三、脉冲泛函微分系统的应用研究 1 混沌系统的脉冲指数同步 混沌是一种在确定性系统中所出现的类似随机运动或无规则运动形式它广 泛地存在与自然界中，如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学和社会科 学中的各个领域混沌系统具有初值敏感性、遍历性、耗散性、分数维性和正 的l y a p u n o v 指数等复杂特征，从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的 1 9 7 5 年发表了著名的l i y o r k e 定理一周期3 蕴含混沌定理描述了混沌的数 一正一 四川大学博士学付论文 学特征为以后研究开辟了方向，并率先引入“混沌( c h a o s ) ”一词，从而为混沌现 象的研究树立了一面统一的旗帜7 0 年代中期开始，试验物理学家纷纷加入混 沌学研究行列。开创了混沌学试验研究的新局面后来m a n d e l b r o t 的分形思想 和f e i g e n b a u m 常数的引入。从而将混沌研究从定性分析推进到了定量计算阶段 由于混沌系统的复杂动力特性，长期以来，人们认为混沌系统是不可控制的 直到1 9 9 0 年，o t t ，o r e b o g i ，y o r k e 发表了题为“控制混沌”的文章，并提出了有效的 控制混沌的o g y 方法，才根本改变了对混沌控制的认识经过随后十多年的发 展，混沌控制的研究取得了长足的进步，并逐渐成为非线性科学在工程应用中的 研究热点混沌同步实际上属于混沌控制的范畴所谓同步，通俗的讲是动态系 统中步调一致的现象，对于不同初始条件出发的两个混沌系统，随着时间的推移， 它们的轨道逐步一致这种混沌同步现象在1 9 9 0 年被p e c o r a 与c a r r o l l 所观察到， 并提出了混沌同步的原理，奠定了混沌同步研究的理论基础，随后，混沌同步的研 究进入蓬勃发展的时期一些主要的混沌同步方法有：驱动响应同步，线性反馈 同步，非线性反馈同步，相同步，耦合同步，广义同步，脉冲同步等 因为脉冲控制的方法可以通过很小的控制脉冲使混沌系统稳定或同步，特 别是将脉冲控制方法用于混沌保密通信中的同步化问题时，更显示了它天然的 优势：脉冲同步提供了将数字信息调制到混沌载波信号上的一个直接方法，并且 只需要用小的脉冲控制量就能实现两个混沌系统的同步因此在很多稳定化或 同步的问题的得到了广泛的应用【1 2 4 ，【1 2 5 ，【1 2 6 ，【1 2 7 1 然而由于研究脉冲时 滞微分方程稳定性的困难较大，很少有利用脉冲控制方法研究时滞混沌系统的 文献出现【1 2 7 ，对非自治的时滞混沌系统的就更少了，而且在同步问题上，不仅 希望同步还希望有较快的同步速率，指数同步刚好能满足这些性质因此本文将 在第三章对一类非自治的时滞混沌系统的脉冲指数同步问题作初步探讨 2 脉冲开关系统 开关系统是混合系统( 同时包含离散的和连续的动力系统) 的一种类型该系 统的标准形式是在文【1 3 5 申提出的这种系统是在那种不能只单独用连续或离 散系统描述的模型情形下出现的最近，利用l y a p u n o v 数和其他的一些分析工 具，对线性或非线性的开关系统的稳定性或稳定化进行了研究，并得到了很多有 一5 一 四川大学博士学位论文 用的结果【1 3 6 1 【1 4 3 目前文献中研究的开关系统大致可以分为两类：连续的和离散的开关系统 但这些类型并不能概括现实中很多有用的模型，如在开关点具有脉冲影响的动 力系统，即有状态的跳跃发生所有这些模型都包含有状态的交换以及在开关点 处的突然改变这种现象虽然广泛存在，但对其研究却相对较少【1 4 4 1 - 【1 4 5 ，这 是因为其不连续性将会对模型的分析带来很大的难度，且该类模型不能用纯粹 的连续或离散系统来描述 另一方面，当系统状态的改变率不仅依赖现在还依赖过去的状态时，时滞微 分方程就是描述该类系统的有力工具【1 4 6 1 ，【1 4 7 1 ，这对控制系统来说更是尤为 重要的而又因为很多开关系统都包含控制，因此有必要对含时滞的开关系统进 行研究 从以上分析可以看出，对同时具有时滞和脉冲的开关系统进行研究是非常 有必要的，然而从现有文献来看，这方面的工作相当缺乏故本文将在第四章对 具有时滞和脉冲的开关系统的稳定性问题进行初步探讨 3 脉冲神经网络的稳定性分析 人工神经网络是对人脑智能活动或人脑部分功能( 如自主学习功能、联想 存储功能、高速寻找优化解的能力) 的模拟，并成为根檀于神经科学、数学、 物理学、自动控制、计算机科学以及工程学等学科的一门边缘性交叉学科，在 建模仿真、并行计算、模式识别、信号处理、图像压缩与传输、智能控制、金 融证券理论、时间序列分析等领域中有着非常广泛的应用前景。对于人工神经 网络理论及应用的研究已经成为当今世界科学研究的热点之一。 在应用中，人玉神经网络的平衡点的存在性与稳定性是设计网络稆应用 网络的前提之一从已有的文献来看，获得判断时滞神经网络的平衡点的存在 性和稳定性的条件层出不穷，对激活函数的要求也不断被一般化由于人工神 经网络系统中，普遍存在时间延迟现象，它不但会降低网络的传输速度，而 且也会导致网络的振动性i 不稳定性乃至出现混沌现象。另外，由于频率转 换、开关闭合、瞬动干扰等原因，人工电子网络中出现脉冲效应也是在所难 一6 一 四川大学博士学位论文 免的。当神经网络执行计算的时候也时刻会受到随机扰动的干扰，导致其不稳 定 3 8 ，【9 9 1 ，【3 8 1 ，【1 0 0 ，【1 0 1 再者模糊逻辑理论也是处理复杂的非线性系统的 分析与合成的非常有效的工具在文【1 0 2 中，t a k a g i 与s u g e n o 提出了一个把非 线性系统转化为一系列线性的子系统的方式，那就是通过定义线性的输入腧出 关系做为单个p l a n tr u l e 的结果，然后构建一个模糊模型( t s 模型) 然后不少作者 对该模型作了推广和研究文【1 0 3 】中，把标准的t s 推广到了具有时滞的情形，并 利用线性矩阵不等式( l m i s ) 为工具得到了系统稳定的充分条件；在文【1 0 4 中，具 有时滞的t s 模型被迸一步推广到了具有变时滞和随机扰动的情形 基于上面的讨论，有必要对这几种因素共存的条件下神经网络的稳定性问 题进行研究，因此本文第五章将对具有脉冲和时滞的两类模糊神经网络的稳定 性问题进行讨论 一1 一 四川大学博士学仲论文 第一章时滞脉冲动力系统的稳定性分析 脉冲( 偏) 泛函微分方程是描述动力系统存在脉冲现象和时滞效应( 或空间影 响) 的重要数学模型，不管是理论研究还是实际应用中都具有重要的价值 本章将主要讨论几类脉冲泛函微分方程，即脉冲时滞奇异扰动微分方程，脉 冲时滞反应扩散方程，脉冲积分微分方程的稳定性问题通过综台x u 等( 【1 5 】， 【4 0 1 ，【6 7 】) 关于连续系统或脉冲系统的方法，利用脉冲时滞微分( 或积分) 不等式以 及其他一些技巧，给出上述几类方程稳定的充分条件( 1 5 u ， 1 5 4 ， 1 6 0 1 ) ， 1 1 脉冲泛函微分系统的基本理论 本节内容主要引自【2 0 1 ， 2 1 ，【1 4 9 ， 1 5 0 设j = a ，6 ) ，0 a bs 。o ，qc 舻是开集考虑下列脉冲泛函微分系 统( i r f d e ) ： i 士( t ) = f ( t ，觑) ，t n ( z ( t 一) ) ，t 2 t o ， l a 。= z k ( x ( t 一，x ( t 一) ) ，t 仉( z ( t 一) ) ，k = l ，2 ， ( 1 r 1 1 ) 【 ：毋 其中p c ，函数，：jxp c j p 。c ( a ，r + ) ，且满足0 = 而( z ) t i ( x ) 乃( z ) 0 使得：l l f ( t ，妒) i | sm ， 一8 一 四川大学博士学竹论文 v ( t ，妒) t o ，t o + o ) xp e ( 卜。r ，o ) ，矿) 定义1 1 3 称函数x ： t o r ，t o + o t l 一n ，q 0 ，p o ，t o + q 】c1 7 为满足初值 问题( 1 1 1 ) 的解，如果 ( i ) t = 0 ( ，t o + 叫i t = 靠0 ( 亡一) ) ) 是有限集合，七为某个自然数： ( i i ) x e t ，t o + d ) t 右导数存在且连续； ( i i i ) z 在t t o ，如+ 8 ) t 处满足系统( 1 1 1 ) 的第一个式子，对t t 满 足( 1 1 1 ) 的第二个式子 ( i v ) x ( t o + 口) = ( p ) ，口【- - t ，o 】 若对任意口 o 上述4 条都成立，则称z ( t ) 为定义在i t o 一7 - ，o o ) 上的解 定理1 1 1 假设，( t ，妒) 是复合按段连续，拟有界且关于妒连续，c 1 ( q ，j 2 + ) ， 并且只要对某个k ，( t ，x + ) y x q 和矿= ( 矿) ，都有一个6 0 ，【t + ，矿+ 田cj 使 得 v r k ( z ) ( t ，x t ) 1 ，v t ( t + ，t + 司，。p c ( i t 一r ，t + + 司，n ) ， 其中矿= x ( t ) ，l i z ( s ) 一矿i | 0 定理1 1 2 设j = r + ，q = 印假定，( t ，妒) 是复合按段连续，拟有界且关 于妒连续；d 1 ( q ，r + ) ，l i r a 。( 。) = o o 关于z 一致成立，并且 以及 v 扛( t ) ) s ( t ，x t ) 1 ，v ( t ，妒) ( 矿，矿+ 司xp c 砂( o ) + 厶( t k ( 妒( o ) ) ，妒) n ，仉( 妒( o ) ) + ( t k ( 妒( o ) ) ，妒) 住( 妒( o ) ) 其中妒p c ，币( 0 一) = 妒( 0 ) 如果存在函数九1 ，k p c ( n + ，r + ) 吏雀4 1 1 f ( t ，砂) | i h 2 ( t ) l l v l l ，+ 危1 ( t ) ，( t ，t f ，) rxp e ( 【一7 ，o l ，j p ) 那么对每个，) j 一o 一 四川i 大学博士学位论文 p g ( 【一7 ，0 1 ，形) ，存在初值问题( 1 1 1 ) 的一个斛。( t ，t o ，矽) ，t f t o r ，o o ) 定理1 1 3 假设f ( t ，妒) 是复合按段连续且关于妒局部l i p s c h i t z 连续，那么最 多存在一个初值问题( 1 1 1 ) 的定义在i t o r ，t o + 卢) 上的解，这里0 pso 。， t o ，t o4 - 用cj ， 定理1 1 4 假设函数f c ( j p c ，舻) 且存在n e ( z r 十) 使得对任意 的妒，妒p c 有 l f ( t ，t i i ) 一f ( t ，妒) 1sa ( t ) l l 咖一v l h ， 则初值问题( 1 1 1 ) 存在唯一解 1 2 具有脉冲和时滞的奇异扰动微分方程的指数稳定性 具有时滞的奇异扰动微分方程出现于某些光学设备和各种生理过程或疾病 模型的研究之中【4 】如i k e d a 6 幂e j 用模型 g q ，s ) = 一y ( t ，e ) - 4 - a 2 【1 + 2 b c o s ( g l ，) ) 来描述光学设备，并在很小和某些常数ab 下，通过数值计算的方法显示了该 模型的不稳定性和混沌性最近不少文章( 【7 】一【1 3 1 ) 对具有或不具有时滞的奇异 扰动微分方程( s p d e s ) 的稳定性问题进行了研氮 但是在很多系统中除了时滞和奇异扰动外，脉冲现象也是广泛存在的( 【1 4 】， 【1 7 】) 如生物神经网络，频率调制信号处理系统等因此对脉冲影响的讨论也是 非常重要和有必要的 1 4 ，【 8 1 故这节将对同时具有脉冲和时滞的奇异扰动微 分方程的稳定性问题进行讨论 一1 0 一 四川大学博士学 上论文 1 2 1 具有脉冲和时滞的奇异扰动微分方程 考虑如下形式的具有脉冲和时滞的奇异扰动方微分程 ( 1 2 1 ) 其o e o r ( t ) sr ，z ( t ) = ( 2 ：1 ( t ) ，t , n ( t ) ) t p c i r ，r 1 ，a ( t ) = ( o 巧0 ) ) 。 p c i r ，j p 。“】， e 阻舻，尼m ，p c i r p c ，r r ( 0 ，o 】是任意小的 常数，t l 0 和g r 0 ，以及常数a 0 ，使得对任意t t o 和满足s u p 【驴( 3 ) 一妒( s ) 】+ 0 对非奇异m 一矩阵，记 q j l f ( d ) 垒 z j r l d z 0 ，z o l - m ， 啡印州 仲肌炬卅舷飓 篡一 础地粥 四川定学博士学衍论文 1 2 ，2 指数稳定性分析 引n 1 2 1 设0 u ( t ) = ( 乱l ( ) ，( t ) ) 7 舒，t t o 满足 id + u ( t ) p ( t ) u ( t ) + q ( t ) 阻( t ) k ，t t o ， 【“( t ) = 妒o ) ，t t o r ，岛1 ，妒0 ) p c ， ( 1 2 2 ) 其中t t o ，p ( t ) = ( ( t ) k 。0 ( i j ) ，q ( t ) = ( 口d ( t ) h 。0 若存在正向量z = ( 2 l ，磊尸形和对角矩阵三= d i a g l 1 日= d i a g h l ， ，其中厶 0 ，0 恕 i ，使得 则 ( q ( t ) + h p ( t ) + l ) z 0 ，t t o u ( t ) sz e 一1 ( “ ，t2t o 其中，对任意给定的五正常数a 定义如下 。 a 0 记 ( 1 2 3 ) ( 1 ，2 4 ) f ( 九( t ) ) = 九( t ) 盈+ ( ( t ) 卜啦j ( t ) e k ( 妒) 勺，i = 1 ，扎，t t o ， ( 1 2 6 ) j = 1 1 2 5 2 、rj l o ( | | 刁 四川大学博上学传论文 则对任意t t o ，南( 1 2 3 ) 与0 0 ，i = 1 ，n 有 n f ( o ) = ( 黝( t ) + ( t ) ) 勺 ，苦l p , j ( t ) z j 一屯( t ) 3 = 1 j = 1 = ( 1 一峨) p 巧 ) 刁 j = 1 一( 1 - ) 鲁名 0 ( 1 2 7 ) 另一方面 卅i i m 。f ( 九。) ) 硝且( 亡) ) 硝+ ；以r 毋8 p 妒o 1 。2 8 ) 因此由( 1 2 7 ) 与( 1 2 8 ) 知，方程组 n 丸( t ) + ( p 舒( t ) + ( t ) e k 7 ) 勺= 0 ， i = 1 ，一，n ，( 1 2 9 ) j = 1 存在唯一正解丸( t ) 所以由知的定义易知，a o 0 下面我们将进一步说明入o o 如果不真，对满足0 m 地 1 ，i = 1 ，n 的，一定存在t 。亡0 和某一 整数f 使得- l ( 矿) j 和 矾) 句+ ( t ) + ( t ) e 裥7 ) = o ， ( 1 2 1 0 ) j = l 1 3 一 四川大学博士学竹论文 成立，其中o 5 m i n ( 1 一v 1 ) h 。i ，i n 击) 因而 o = l ( t ) z t4 - ( p “( t ) + ( ) 7 ) 弓 j 句+ ( 册( ) + q l i ( t ) e 打) 勺 锄+ 宴0 + 石1 础) ) 勺 锄+ ( ( t ) + 石( 州勺 = l u s 翰+ 争勺一篆蕃础) 乃 = 如r + ( 1 - 等) 觥) 勺 d z t - - ( 1 一瓣铆 矛盾显示a o 0 故在( 1 2 4 ) 定义的正数0 1 有 啦0 ) 亡。使得 u 。( 句= t k ( 句，d + “。( t 3 咄( f ) - 1 4 - ( 1 2 1 3 ) 四川大学博士学伊论文 啦 ) 仉o ) ，t o 一丁s ，i = 1 ，佗 ( 1 2 1 4 ) 因此由( 1 2 2 ) ，( 1 2 1 3 ) 中的等式，( 1 2 1 4 ) 以及( t ) 0a j ) ，q | i j ( t ) 20 和a 的 定义得到 d + u 。( 匀s ( p 州( 旬( f ) + q m j ( i ) u j ( i - r ) ) j = l ( 旬e 。扛啪+ 蛳( 匀锄e “。r 刊) j = i = ( p 州( 旬+ g ( 旬e 打) o 刁e 一1 “。 j = l ( 旬+ ( f ) e 。7 ) k z j e - x ( i - t o ) = 一 。( 旬z 。七e 一1 ( 仁t o ) 0 ，0 p ( t ) q q ( t ) ，0sq 1 ，则 由引理1 2 1 易得到【7 】中的引理2 1 注1 2 2 如果在( 1 2 2 ) 中，p ( t ) ，q ( t ) 都为常数矩阵，即对任意t t o 有p ( t ) 兰 p ，q ( t ) 兰q ，其中p ，q 都为常数矩阵若p = ( ) 。0 ( 当t ，) ，q = ( q i f ) 。0 则与引理1 2 1 相似有如下结果 推论1 2 1 如果一( p + q ) 是非奇异的m 一矩阵，则一定存在正向量z = ( 2 l ，) t 使得 “( t ) z e 一1 ( t - t o ) ，( 1 2 1 5 ) 一1 5 一 四川大学博士学位论文 其中，对任