（应用数学专业论文）非线性离散特征值问题的多解性.pdf

人原j 平i ：人。兰丝：! 型 窒! 兰竺笙奎 一 _ 一一一。 非线性离散特征值问题的多解性 摘要 本文利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，特别是临 界群与m o r s e 理论，研究了非线性离散特征值问题 爿“；胛f 【“) ( 1 1 1 ) 解的存在性与多重性。其中爿为n 阶正定矩阵，参数旯 o ，c 1 ”，尺1 ) ，v f 表示f 的梯度，即v 脚) - ( 鼍，盖，差) o 全文共分四章。 第一章主要介绍了模型( 1 1 1 ) 的研究背景、研究方法及应用方向等。 第二章导出了问题( 1 1 1 ) 所对应的能量泛函j ，从而问题( 1 1 1 ) 的 解等价于泛函j 的临界点。并且介绍了本文所要用到的有关i 临界点的基本理 论。 第三章首先利用强单调映像原理、山路引理及环绕定理等研究了问题 ( 1 1 1 ) 解的存在性与唯一i 生，得到如下结论： 定理3 1 1 假设存在常数口 o ，使得( v ，( “) 一v f ( y ”以一y ) 5 口肛一y 8 2 对任意 的“，v r n 成立，则当a ( o ，生) 时，问题( 1 1 1 ) 在r “中有唯一解。 定理3 1 2 假嘞。舒a l i r a 刚，贝哨柜( 0 ，扣问题q 1 d 在 尺一中至少有一个解。 定理3 1 3 假设f ( p ) ：o ，并且存在常数尺 o ，e o ，j 1 ) ，当 r 时 太原理1 人学硕十研究生学何论文 州小胛脚) o 同叽存在常数b o , c o ，使剐i 川m p i n f 静虮 l i m 枷s u p 静“。则当a ( 去，鱼2 c ) 时，问题( 1 1 1 ) 在彤中至少有一个非零解。 定理3 1 4 假设，( 口) = o ，并且存在常数尺 o ，f o ，i 1 ) ，当 尺时， f ( u ) 0 ，使得当“尺“时，f ) 之6 2 ， l i i m n 枷s u p 嚣产 0 ，问题( 1 1 1 ) 在r 1 中至少有三个不同的解。 定理3 2 4 假设下列条件满足： ( 1 ) f ( u ，材：，羟。) 在r ”上具有二阶连续的偏导数； ( ”眦l i m 。1 v f ( f u ) u ；激导竽= o o 努l 神| 1 t 1 2扣l 一嘶 则对任意的a 0 ，问题( 1 1 1 ) 在r ”中至少有三个不同的解。 定理3 2 5 假设下列条件满足： 0 ； 8 巾。圳2 h 扣m m i n f 爷加o ( 5 ) 存在七妖 1 ，2 ，以) 使得导鲁。 一l 。 则当a ( ，鱼) 时，问题( 1 1 1 ) 在r ”中至少有2 k 个解。 、2 a 。2 a 。 第四章简述了本文所得结论在差分系统中的具体应用，并且举例说明 了假设条件的合理性与可实现性。 。 全文所得结论都是新的，并且包含、推“了一些已有的结果。 关键词：特，征值问题，多解性，能量泛函，变分方法，临界点， 瞄界群，m o r s e 理论 太原理i 人j i 帧i u j t ! 卜 眵论文 m u l r i p l i c i t yo fs o l u t i o n st oa n o n l i n e a rd i s c r e t ee i g e n v a l u ep r o b l e m a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rad i s c r e t e e i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h ef o r m a u = z v r ( u )( 1 1 1 ) a r ed i s c u s s e db ym e a n so fv a r i a t i o n a lm e t h o d ，t h ec r i t i c a l p o i n tt h e o r y ， e s p e c i a l l yc r i t i c a lg r o u p sa n dt h em o r s et h e o r yo fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ， w h e r eai sag i v e n 咒x ，z p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x t h en u m b e rai sp o s i t i v e a n dt r e a t e da sap a r a m e t e ri nt h es y s t e m ( 1 1 1 ) ，v f ( “) ：( _ o f ，_ o f ，_ o f ) r ， o u lo u ，d u 。 w h e r ev fi sd e n o t e dg r a d i e n to ff ，t h el e t t e rti sd e n o t e dt r a n s p o s i t i o n t h i sp a p e ri sc o m p o s e do f f o u rc h a p t e r s i n c h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d ，t h em e t h o da n da p p l i e dd i r e c t i o n a r e i n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，e n e r g yf u n c t i o n a ljo ft h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) i si n d u c e d ，s ot h e s o l u t i o no ft h e p r o b l e m ( 1 1 1 ) i se q u i v a l e n t t ot h ec r i t i c a l p o i n t o f f u n c t i o n a lj a n dt h eb a s i ct h e o r i e so fc r i t i c a lp o i n ta r ei n t r o d u c e d i n c h a p t e rt h r e e ，s t r o n g l ym o n o t o n eo p e r a t o rp r i n c i p l e ，m o u n t a i np a s s l e m m a ，l i n k i n gt h e o r e ma n ds oo na r ee m p l o y e dt o d i s c u s st h ee x i s t e n c ea n d u n i q u eo fs o l u t i o n sf o rt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h ef o r ma u = z v f ( u ) ( 1 1 1 ) v 太原理1 人硕i ：究! 卜0 0 伊论文 t h e nt h em a i n l yr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m3 1 1a s s u m et h a tt h e r ee x i s t sac o n s t a n ta 0s u c ht h a t ( v f ) 一v f ( ，) ) 一v ) s 口陋一l ，i i ：f o r h ，v 尺”，t h e n w h e n ( 1 1 1 ) h a sau n i q u es o l u t i o ni n r 4 a e ( o ，生) ，t h ee q 口 t h e o r e m3 1 2a s s u m et h a tt h e r ee x i s t sac o n s t a n ta 0s u c ht h a t m l i l mf 川( - 掣u 2 ) 锄t h e nw h e n 。，知t h e e q ( 1 - 1 1 ) h a sa t l e a s to n es o l u t i o n i n r ” t h e o r e m3 1 3a s s u m et h a tf ( o ) = 0a n dt h e r ee x i s tc o n s t a n t s 胁0 , 胙1 0 ，五1 ) ，s u c h t h a t ，( “) s 删w ( 比) f o ri , 1 1 r ，s u p p 。s ef u r t h e rt h e r e e x i s tc o n s t a n t s p o ，s 岫t n 州i m m 掣i n 静叱h m m 掣s u 静岫n w h e n a e ( - - 刍，去) ，t h ee q - ( 1 1 1 ) h a s a tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o ni n 肌 t h e o r e m3 1 4a s s u m et h a t f ( o 、= 0 a n dt h e r ee x i s tc o n s t a n t s 1 r o ，zs 1 0 ，去) ，s u c ht h a t ，q ) s 掣v f ( u ) f o r 肛0 r ，s u p p o s ef u r t h e rt h e r e e x i s tc o n s t a n t s p0 ，s u c h t h a 叫川2 , l i m 掣s u 静“f o r ue r , t h e na n yp o s i t i v ei n t e g e r1s i 。，l i mf ( - 掣u 2 ) 刍， t h e nw h e n g ( 。，去) a n d 万1 i sn 。t e i g e n v a l u e o fm a t r i x 职眈t h ee q ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt w on o n z e r os o l u t i o n si nr “ t h e o r e m3 2 3a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) f e c 2 ( r ”，r “) ( 2 ) l i 阳m 半l u l l o ，。! 墨半l u l l 。 l uo 。 2 4 “8 z t h e nw h e nz 0 ，t h ee q ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt h r e ed i s t i n c ts o l u t i o n si nr ” t h e o r e m3 2 4a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) f e c 2 ( r ”，尺”) ( 2 ) l i 忡mv f 陋( u 旷) u 一一陋l i m 1 1 。半。0 0l “i o l l “1 1 2 i b i i z o z t h e nw h e na 0 ，t h ee q ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt h r e ed i s t i n c ts o l u t i o n si nr “ t h e o r e m3 2 5a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) f ( 0 1 = 0 ； v 】i 太原硎1 人。l - 颂十j 研究e 。学f 市论文 ( 2 ) v ( u ) i so d d ，i e f ( u ) = ，( 一“) ，f o r “gr 4 ； ( 3 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n t 盯 us u c ht h a t i 1 i i m 掣t l u l l - ( 口，f o 雠r ”： ( 4 ) t h e r ee x i s t s a 0 s u c ht h a t ( 5 ) t h e r ee x i s t 七 1 , 2 , - - - , n s u c ht h a t 三 0 ，f e c l ( r nr 1 ) ， 表示f 的梯度，即v f ) ：( 兰，兰，兰) r 。 o u to u ，o u 。 在文献 1 8 2 3 中，作者利用变分方法，结合临界点理论与m o r s e 理论，研究了非 线性特征值问题 a u = ) ， ( 1 1 2 ) 解的存在性与多重性。其中a 为，z 阶正定矩阵，f ( u ) = ( l ( u 。) ，l ( u ：) ， ( u n ) ) 丁， 而厂e c ( r 1 ，r 1 ) ，i = 1 , 2 , - - - , n 。我们注意到，若记 ，( “：，“。) = f o ) 出+ f 2 厂2 似) d x + + f “ ( z ) 出， 那么_ o f ：厂j ( “，) ，i ：1 ，2 ，z ，于是，v f ( “) ：厂似) ，所以问题( 1 1 2 ) 是我们所研究的 问题( 1 】1 ) 的特殊情形。显然，模型( 1 1 1 ) 比( 1 1 2 ) 更具有一般性。 另一方面，如果我们考虑二阶差分系统 p ，2 矾( 儿) ，k = 1 , 2 ，以， ( 1 1 3 ) i“o = “川= 0 ， 太原理i ：人学硕十仰究t 7 ：俺论文 其中f 。= h 一1 4 。，2 “。= a ( a u 。) ，则导致非线性特征值问题 若记n 阶正定矩阵 五1 一u 2 = 矾( f 1 ，u 2 ，。) ， 一“l + 缸2 一h 3 = a 厶( “i ，比2 ，h 。) ， 一 ( 1 1 4 ) 1f ， 、 一h 月一2 + 妇月】一u h2 可n 一1 ( u l , u 2 ，1 1 月 一h 。一1 + 2 u 。= 歹矿j ( “1 ，“2 ，“。) ， a = 21 12 0 o o o 一1 o 一1 21 012 “= ，“2 ，“。) r ，并且存在f 1 ，“2 ，u 。) ，使得 ( 1 1 5 ) _ o f ；正( 比l ，“2 ，“。) ，f ：l 2 ，以， ( 1 1 6 ) d u ： 则问题( 1 1 3 ) 即为a u = a v f ( u ) ，而差分系统( 1 1 3 ) 显然是以往差分系统 i 一2 h - 1 = x f t ) ，k = 1 , 2 ，甩， l 甜o = “。“= 0 ， 的推广。因此非线性特征值问题( 1 1 1 ) 是有实际应用价值的。 由于问题( 1 1 1 ) 存在变分结构，因而本文采用变分方法研究问题( 1 1 1 ) 解的存 在性、唯一性及多重性等问题。我们在一定的假设条件下，分别应用临界点理论中的强 单调映像原理、山路引理及环绕定理研究了问题( 1 1 1 ) 解的存在性与唯一性；同时结 合临界群与m o r s e 理论，应用一些著名的多解定理研究了问题( 1 1 1 ) 解的多重性，分 别证明了问题( 1 1 1 ) 至少有2 个解、3 个解及2 七个解等情形。并且举反例说明了在非 线性项为奇函数的条件下，问题( 1 1 1 ) 存在无穷多个解这一结论是不成立的。最后， 我们将所得的理论结果具体应用于二阶差分系统( 1 1 3 ) 的研究，得到了相应的结论。 全文所得结论都是新的，并且包含、推广了一些已有的结果。 2 a 圬i 理l ：人学硕 ：研究t 学f 论文 第二章基本引理 2 1 临界点理论与m o rs e 理论 本节我们简单罗列些本文将要用到的临界点理论与m o r s e 理论的相关知识，具体 内容详见参考文献【1 8 】，它们在本文主要结论的证明中将起到至关重要的作用。 定义2 1 1 设e 是一个实b a n a c h 空间，d 是e 中的开集，泛函j ：d r 1 在d 上f r 6 c h e t 可微。如果j 。) = 0 ，。e d ，那么称z f 。是泛函，的一个临界点，并称c = j ( “。) 是j 的一个临界值。 定义2 1 2 设e 是个实b a n a c h 空间，j ：e 一尺1 是c 1 泛函。如果仁。) ce ，j ( u 。) 有界，j7 ( “。) 呻0 蕴涵缸。) 有收敛子列，则称泛函j 满足p a l a i s - s m a l e 条件，简称p 5 条 件。 定义2 1 3 设j 。= 恤；j 0 ) s c ) ，“是j 的一个孤立临界点且，0 ) = c ，u 是“的 一个包含唯一临界点的邻域。称 c 9 ( j ，u ) = h ，( ，。n u ，j 。n u 恤 ) ， 为j 在“点的第q 个临界群，其中h 。( 。，) 表示第q 个系数取自域q 的奇异相对同调群。 如果点u 的临界群中至少有一个是非平凡的，则称z l 是j 的一个同调非平儿临界 点。 引理2 1 1 1 2 4 ( 强单调映像原理) 设e 是一个实b a n a c h 空间，t ：e 一连续，若 存在常数c 0 ，使得( 死一n ，比一y ) 己c 肛一v i2 ，uv v e ，那么r 是与e 之问的同胚映像。 引理2 1 2 1 6 设e 是一个实b a n a c h 空间，如果泛函j ：e 一尺1 弱下半连续，并且 l i r a 。j ( “) = + ，则存在u o e ，使得j 。) = i 。n f j ( u ) 。又若，在“。点具有有界线性的 g a t e a u x 微分，则“。是j 的一个临界点。 引理2 1 3 1 2 5 ，2 6 1 ( t j l 路弓i 理) 设是一个实b a n a c h 空问，j c 1 ( e ，r 1 ) 满足p 5 条 太原理i ：人学硕r f = 研究生。7 ：何论文 件，假设 ( 1 ) j ( 口) = 0 ； ( 2 ) 存在p o ，a o 使得当fe e ，= p 时，j 似) a ； ( 3 ) 存在“。e 且肛。忙p 使得j ( | ，) 0 ，ze x ，l i z l l = 厂，分别记 m ：甚：y + 允：i i - l l s p ，a 0 ，ye v ； m 。；甚：y + 允：ye v ，l p 0 ：p ，a o 或l 卜0sp ，a = o ； n ：0 x ：肛i l _ r 。 如果je c l 仁，r 1 ) 满足( 胎) c 条件， 并且6 = 。i n fj ( “) 口= m 。刨a x 。j ( u ) ， 那么 c = i n 。fm a x j ( y ( u ) ) 是j 的一个临界值，其中f = 杪c ，) ：) ，m o = 趔j 。 y 日叫 。 。 引理2 1 5 【3 0 ，3 1 设0 是，的一个临界点且j p ) = 0 ，并且j 在0 点有一个关于 e = k 哆的局部环绕，其中k = d i m k 0 使得 ，( “) s0 ，“k ，i b 0 sj d ： j ( 比) 0 ，屹，0 i 缸i i p 。 那么c ku ，0 ) 0 ，即0 是j 的一个同调非平凡临界点。 引理2 1 6 【3 1 ，3 2 】假设j 满足p 5 条件且有下界，如果j 有一个同调非平凡、非极小 的临界点，则j 至少有三个临界点。 引理2 1 7 【7 】假设j c2 ( h ，r 1 ) 有下界，满足j p 5 条件，且有一个非退化，非极小， 具有有限m o r s e 指数的临界点，那么j 至少有三个不同的临界点。 引理2 1 8 6 】设是实的h i l b c r t 空问，厂：一只1 是c 1 泛函，f = g r a d f ， a 臌理l 人t 颂卜研究尘；：叫沦炙 q 凡= 仁h ：t h l 0 是西个实数。假定 ( 1 ) f 在h 的任何有界集s 上都满足l i p s c h i t z 条件，即存在常数k s 0 使 i ，( 工) 一f ( y ) i isk ， k y 9 ，v x ，ye s ； ( 2 ) 缸。) ch ， x n 】- 有界，v ( x 。) 一0 蕴涵 _ ) 有收敛子列； ( 3 ) v x e o q ，( f o ) ，x ) 0 ；v x e o f 2 r ，( ，o ) ，x ) 0 ，或者满足v x e o q ， ( ，0 ) ，工) 0 。 那么泛函厂在q 尺内有三个临界点。 引理2 1 9 1 2 5 设e 是一个实b a n a c h 空间，je c l 陋，r 1 ) 为偶泛函，有下界，满足p 5 条件，j ( o ) - - 0 。如果存在集合kce ，使得k 与s 柑以奇映射同胚，并且s u p j a ：v ；+ + 九v j j s 九l | v | | ! 。 而j p 为i f 交矩阵，于是= i i v l l ，从而结论成立。 在r ”上定义泛函j 如下： j ( 比) = 1 2 u r a u _ z f ( u ) ，比尺“。 ( 2 2 1 ) 引理2 2 2 若f e c l 俾“，r 1 ) ，则泛函( 2 2 1 ) 在尺“上是f r 6 c h e t 可微的，并且f r 6 c h e t 导算子 j ) = a u - a , v f ( u ) ，he r “。 ( 2 2 2 ) 从而在r “上，“是问题( 1 1 1 ) 的解当且仅当雎是泛函( 2 2 1 ) 的临界点。 证明给定u e r “，定义尺“上的线性有界泛函 愚( 矿) = ( a u a v f ) ，y ) = v r 印h a v f ( h ) ) ，v e r ”。 那么存在亭r “，当一。时，亭一比使得 j + ，) - j ( u ) - h p ) ：昙v 丁彳v a ( ， + l ，) 一， ) ) + 知r v f ( “) 2 、 ；1 v t 月l ，一a v ，( 亭) y + 2 v r v f ( 甜) 2 。 ：晏 ，丁爿v + 加，( v ，( 占) 一v f ) ) 2 、 = 乏( v ，彳y ) + a ( v ，g ) ， 其中g = w ( 亭) 一v f ( u ) 。因为 i j ( “+ v ) 一j ( 比) 一| l ( v ) is 丢i ( v ，彳v ) i + a l ( v ，g ) | s 圭i i v 洲爿v o + a | i 矿g i l ， 所以当_ 0 时， 望兰! 1 2 掣s 三2 i p v l l + a i l g l l 。， | | v l l 。旷”“6 i 一 所以j ( “) = a u x v f ( u ) 。从而在r “上，h 是问题( 1 1 1 ) 的解当且仅当“是泛函j 的 临界点。 6 人原理l ：人学硕 ：研究q ：学何论文 引理2 2 3 如果j ，翻婴 l u 警l l 。，则当a ( 。，量2 a ) 时，下列结论成立： 一“i = 。 、 7 一一一。 ( 1 ) j 强制，即。l i m ，( h ) = + ； l u l 虻 ( 2 ) j 在尺”上有f 界： ( 3 ) j 满足p s 条件。 证明( 1 ) 由l i _ r a 。f ( u z ) 。使得 f 似) o ，【o ，i 1 ) ，当 尺时，f ) 0 ，j 满足尸5 条件。 证明 由于，似) 一掣v 厂似) 当s 月时连续，所以存在常数c l 0 使得 f ) si z u 。v f ( u ) + c 1 ，再由条件当l l u i l r 时，f ) s 掣v f ( u ) ，就得 ，( “) s 脾v f ( u ) + c 1 ，“尺”。 ( 2 2 4 ) 设扣， c r ”， p ( f 刊 o ，并且当，一时 j 7 ( “) = a u ，一2 v f ( u ，) 一0 。那么 ( j7 ( “f ) ，“f ) = ( a u i z v f ( u ，) ，雎，) = u ；a u f a ( v f ( u f ) ，“，) ， 太原理i ：人学颀 j 研究乍。、何论文 r 以 c ：j ( u ) ：昙“，r a “一a f ( “j ) 2 三比j 一a ( 掣，v f ( a u y“j ) + c ，) 2 i 比j 一l 【肛mj “j j + l 1 j ；昙“；一z a ( v f ( u a “j ) 一a c a u j 。 。i “； 一 ，j ，“j ，一 1 ：昙比；彳比，+ ( ( j ( 比j ) ，比) 一“，t 爿比，) 一a c ，2 i 比月比，+ 【l j 【比j j ，正f j 一“，月比，一 l ( 吾一) i p 川2 一l i ，( “，) 吲“川一a c ，。 由于j 7 u i ) 呻0 ，故存在_ 。使得 c ：2 j 1 一) f 卜川2 一i b ，| i a c ， ) j o o 这说明仁， o r ”是有界的，而r ”是有限维空间，因此缸， 有收敛子列，即j 满足p 5 条 件。 8 型垒堡! 叁竺婴! ：塑壅：至竺笪堕皇一 第三章主要结果 3 1解的存在性与唯一性 本节应用强单调映像原理、山路引理及环绕定理等研究问题( 1 1 1 ) 解的存在性与 唯一性。 定理3 1 1 假设存在常数口 0 ，使得( v ， ) 一v f ( y ) ) 一v ) s 口她一y 0 ：对任意的 甜。v 尺一成立，则当ae ( o ，鱼) 时，问题( i i i ) 在r “中有唯一解。 口 证明因为f c ，职n ，r 1 ) ，所以j7 ) = a m a v f ) ：尺“一r 4 连续。又因为 u7 ( “) 一，( y ) ，“一y ) = ( a u - a v - a ( v f ( u ) 一v f ( 1 ，) ) ，比一v ) = ( “一 ，) r a ( u y ) 一z ( u y ) r ( v f ( “) 一v f ( v ) ) 九，恤一v l l 2 一口a l b y i l 2 ( 1 一口a ) 陋一v | 1 2 ， 所以当a ( o ，量) 时，j 是强单调算子。根据引理2 1 1 ，- ，是尺”上的同胚映像，即 口 j ) ：0 在r ”中有唯一解，所以问题( 1 1 1 ) 在尺”中有唯一解。 推论3 1 1 假设存在常数口 。，使得砉【 ( “i ) 一厂l ( v 川一叫s 口喜( “r 一匕) 2 对任意 的“，v r ”成立，则当a ( o ，鲁) 时，问题( 1 1 2 ) 在中有唯一解。 定理3 1 2 假设l i m 。f ( u 二) 。， 则当a ( o ，争) 时，问题( 1 1 1 ) 在尺” z a 中至少有一个解。 证明由于，( “) ：a u a v f ( “) 全连续，所以j 弱下半连续，由引理2 2 3 知， ，是 强制的。从而根据引理2 1 2 ，泛函j 在r ”中至少有一个临界点，所以问题( 1 1 1 ) 在尺“ 中至少有一个解。 太原理i - 人学硕 研究生学位论文 推论3 1 2 假设i l 髻曼f 面 l r ( x 一) a x 。，则当a ( 。，量2 a ) 时，问题( 1 1 2 ) “一 2 。 征彤甲仝少句一个j 哞。 定理3 1 3 假设f ( 日) = o ，并且存在常数r 。，【o ，三) ，当 j r 时 忡胛忡刚席群蜘 0 ，c 0 椎得i i m 呼i n 静地l i m 枷s u p 帮 则当a ( 去，叁) 时，问题( 1 1 1 ) 在尺“中至少有一个非零解。 证明 显然j p ) = 0 。由假设条件及引理2 2 4 知j ) 满足p 5 条件。 挑( 去，扣存幻。，使得生2 b a 土2 c 一自l j m 卅s u 。p 静引口存在 6 0 ，l k , i i s 6 时，f ) 0 ，使得 f ( u ) b l l 比i i ! 一c ，ugr “。于是，注意到彳岛= a ，岛，那么对于任意的s 0 ， j ( 5 氧) = i 1 ( 嚆) 丁彳( s ) 一腼( s 最) = 三耵一灯( s 二1 s2 一a p 忙岛0 2 一c ) s ( 要 一a b ) s 2 + a c 。 而去厶一肋 p ，使“l = s o r ”，“1 硭口p ， ，5 o + 蕊 j ( u 1 ) 0 ，即存在“r ”4 史得j ( u ) = c ，jb ) = 0 。由一f - j ( o ) = 0 ，因此h 0 ， 推论3 1 3 假设工( “i ) = 0 ，i = 1 ，2 ，以，并且存在常数r o ，【o ，_ 1 ) ，当 r 时， 善f 正。) 出s 喀“i ( “r ) 。 同时，存在常数b o , c o ，使得 。戳f 学溉馏2 p 学艄堋去枷他， 定理3 1 4 假设，p ) = 0 ，并且存在常数r o ，【o ，i 1 ) ，当删 r 时， ，以) s 掣v f ( u ) 。 同时，存在常数b 0 ，c 0 ，使得当比r ”时，f ) 苫6 i 圳2 ， m m 枷s u p 静删于任意的正整妣，当艇c 去，等m 问题( 1 1 1 ) 卸 证明 我们先证明下文中要用到的不等式：即存在常数c ，c ： 0 使得 f ) c l 陋旷一c ：，“r “， ( 3 1 1 ) 其中u ：一1 。事实上，因为当恤i i r 时，由，以) s 缈v f ( “) ，令f ：l l ul ，则得 从而当 r 时， 丢c 半) = 婴学地 静静卜异翱删古爷= 簧。 记c 。= 驴b 2 。，即得f ( m ) ，- c , l l 比，怕i i j r 。再山f ) - c i ”在sr 上的连续 知存在c ： 0 ，使得f ) c j ”一c ：，“j r ”。 下面用环绕定理证明泛函j 在r ”上至少存在个非零的i 临界点。 太原理l ：人。”j - 顼- ：研究生1 - ”t 位论文 对给定的i ( ，z ，令y = s p a n 亭l ，亭：，) ，x = y 上= 印伽 皇量，亭。 ，则 尺”= y 。，并且d i m y 。，使得生2 9 0 ，艄洲鲥吼脚) s c 堋刚 o ， n ：0 x ：i l u l ：r ，那么当“e n 时， 这说明 j ) = 三u r a u - ) 扛，一砷i | 2 = ( 扛。一知) w c 2 ， 。i n f j ) c e p 2 = 口 0 。 ( 3 1 2 ) i gz = r 氧钉，那么ze x ，并且例= ，。于是，当比e vf f ) r 1 时，由不等式( 3 1 1 ) 知 j o ) = 1 2 u r a u _ x f ( u ) s 昙“丁爿一鸩娜+ 鸩 2 ” s 三九+ 。l b i l 2 一a c ，l b ”+ a c ：， 注意到 2 ，因此当呻时，- ， ) _ 一。而在嵋上，由于当“尺“时，f ) 6 l 川2 ， 所以 j ( h ) = 1 2u r a u _ 肛( “) s 却比n 肋w = ( 三 瑚w 北 所以存在p 厂使得m a x j ( u ) = 0 ，其中 i , i e m “ m 。= t u = y + b e ：yg v ，l b 0 = p ，o 或i b0 0 = m 。创a x 。j 0 ) 。 另外，由假设条件及引理2 2 4 知j 满足尸5 条件，从而满足( p 5 ) 。条件。于是， 若记 m ：0 ：y + 胆： s p ，o ，y y ， 则根据环绕定理，j 有一个临界值c = i n fm ；a 。x j ( ( “) ) ，其中f = 侈c ( m ，) ：yk = 耐 。 r t = ，t 朋 1 2 太胤晕1 人。、j i 坝f 究生 寺沦文 注意到mnn 矽，n 与( m ，m 。) 上不绕，即) ，( m ) nn 矿，所以存在朋。e m ，并且 c = i ，n 盯fm 。创a x j ( y ( u ) ) i ，n 甘fj 0 ( “。) ) i ，n r f 。i n 刨fj ( “) 口 o 。 由于j ( 臼) = 0 ，f i ) t 以j 在r ”中有一个非零的临界点，所以问题( 1 1 1 ) 在r ”中至少有一 个非零解。 推论3 1 4 假设f ( 比i ) = 0 ，i = 1 , 2 ，刀，并且存在常数尺 o ，【o ，去) ，当 尺 时，善f 。正 ) 出s 肛善n “i f ( “r ) 。 同时，存在常数6 o ，c o ，使得当“尺“时 渺圳2 川秽学删一一 a ( 生，鱼) 时，问题( 1 1 2 ) 在r “中至少有一个非零解。 、2 b 。2 c 3 2解的多重性 本节应用多解定理( 引理2 1 6 - 2 1 9 ) 计冗i 叫忽( 1 1 1 ) 解阴多更任。 定理3 2 1 l 搬即) - o 门胛m ，叫l i 刊mf ( - 掣u 1 2 ) 并且l i m m 邮i n f 静州， m 阳s u p 静 0 。 证明由假设条件知0 是j 的一个临界点，并且j ( 目) = 0 。因为a ( o ，拿) ， z 口 l i m 三筚 口，由引理2 2 3 知j 满足尸5 条件并且有下界。对于给定的f