（应用数学专业论文）三角形插值系数有限元梯度误差的研究.pdfVIP

摘要 本文针对半线性微分方程中的非线性项厂 ) ，在有限元的计算过程中，用 i h f ( u 。) 代替f ( u 。) ，从而得到一种高效而经济的算法插值系数有限元方法。在前 人的研究成果上，对半线性边值问题，研究了三角形插值系有限元( 线性插值) 的 平均梯度在对称中点上的超收敛性，获得了满意的结果。 本文主要包括以下几个方面： 1 首先，对半线性两点边值椭圆问题进行了研究，在多角域q 上作三角形均 匀剖分，并作线性插值，论证了插值系数有限元的平均梯度在对称中点上具有如 下超收敛性： l d ( u - g ) i = o ( h2 i l n h ) ： 然后推导了插值系数有限元的日1 ，r 模有误差估计： l b 一“ 8 1 c h 肛一u h 忙c h 2 ： 其次，对该问题作了后处理，将四个相邻单元合并成一个大三角形，对一次元u 。作 二次插值得到1 2 u 。，并讨论了双二次插值有超收敛性： l b - i ：忆一o ( h 2 1 n h ) ： 最后，给出了数值例子，以验证理论的证明结果。 2 对半线性抛物问题，同样证明了插值系数有限元的平均梯度在对称中点上 也具有相同的超收敛性：其次列举了抛物问题的全离散格式。 3 给出了半线性双曲问题的插值系数有限元的基本计算格式。 关键词：插值系数有限元：梯度超收敛性：半线性椭圆问题：半线性抛物问题：后处 理 湖南科技大学硕士学位论文 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r f o rt h en o n l i n e a rt e r n 厂 ) o fs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w e i n t r o d u c e sam o r ee c o n o m i c a n de f f i c i e n tm e t h o d ，c a l l e da s i n t e r p o l a t e dc o e f f i e n t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h i c hr e q u e s t st h a t f ( u ) i sr e p l a c e db yi n t e r p o l a t i o nh f ( u ) i nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n b a s e do nt h ep r e v i o u sw o r k ，f o rt h es e m i l i n e a rb o u n d a r y v a l u ee l l i p t i cp r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es u p e rc o n v e r g e n c eo ft r i a n g u l a t i o n i n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d a v e r a g eg r a d i e n to ns y m m e t r i c a lc e n t e r p o i n ta n do b t a i n sr a t h e rs a t i s f a c t o r yr e s u l t s t h e f o l l o w i n ga r et h em a i nc o n t e n t si nt h i sp a p e r 1 f i r s t ，t h es e m i l i n e a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ee l l i p t i cp r o b l e mi ss t u d i e d t h e r e g i o nqi se v e n l yc u t t e di nh a l fb yt h et r i a n g u l a t i o na n di sl i n e a r l yi n t e r p o l a t e d w e p r o v et h a tt h ea v e r a g eg r a d i e n to ft h ei n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e m e n th a st h e f o l l o w i n gs u p e r c o n v e r g e n c eo ns y m m e t r i c a lc e n t e rp o i n t l d ( u 一瓦) i io ( h 2 i l n h t ) s e c o n d ，t h ee r r o re s t i m a t eo ft h ei n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e m e n t t h eh 1 ，r n o r m 陋一“。0 。 c h ， i b 一“。0s c h 2 i s d e d u c e d ；n e x t ，t h ep r o b l e mi si n t e r p o l a t e d a g a i n f o u rn e i g h b o r i n ge l e m e n t si s c o n s t i t u t e da b i g g e rt r i a n g u l a t i o n “ i si n t e r p o l a t e da n do b t a i n e d 1 2 比 t h e s u p e r c o n v e r g e n c eo ft h eb i q u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o n i b - 1 2 u m 。一o ( h 2 i l n h l ) i s s h o w n f i n a l l y , t h eb e t t e rp r o p e r t i e sa r es h o w nb y a c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s 2 f o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m ，w e p r o v et h a tt h ea v e r a g eg r a d i e n to ft h e i n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e m e n th a st h es a m es u p e r c o n v e r g e n c eo ns y m m e t r i c a l c e n t e rp o i n ta st h ee l l i p t i cp r o b l e m ； p r o b l e mi ss h o w n n e x t ，t h ef u l l d i s c r e t ef o r mo ft h ep a r a b o l i c 3 t h eb a s ec o m p u t a t i o n a lf o r mo ft h ei n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e m e n tf o r i l t h es e m i l i n e a rh y p e r b o l i cp r o b l e mi ss i m p l ed i s c u s s e s k e y w o r d s ：t h ei n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e m e n t ；t h es u p e r c o n - v e r g e n c eo f g r a d i e n t ；t h e s e m i l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m ； s e m i l i n e a r p a r a b o l i cp r o b l e m ； i n t e r p o l a t e da g a i n i i i 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：僻i 丐日期：勰年石月 1 6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南科技大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 导师签名： 髓、惩 焦二；劾 日期：d 占年 日期：舻 易民，苦 b 6 月 7 7 日 湖南科技大学硕士学位论文 1 1 研究背景和意义 第一章绪论 由于偏微分方程在理论和实践上的的重要性，它的数值解法长期以来吸引着 数学家，物理学家和工程师们的注意。一种数值方法包括它的数学基础和它的实 现，都紧紧依赖于理论数学的发展和计算手段的改善，随着计算机科学的发展， 现代大型高速电子计算机的出现，作为求解偏微分方程的一个强有力的手段之一 的有限元方法，也悄然兴起。 有限元方法最早于1 9 4 3 年由r c o u r a n t 提出，在三角形网格上用逐片线性函 数去逼近d i r ic h l e t 问题，这是有限元方法最原始的思想。5 0 年代由航空结构工 程师们所发展，随后波及土木结构工程，到了6 0 年代，在一切连续领域运用越来 越广泛。我国数学家冯康教授( 在1 9 6 4 年在国际上最早论证了有限元的收敛性0 , 2 1 ) 和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础。由于愈来愈多的数学 家加入了发展有限元方法的行列中，有限元方法从工程局限性中逐渐独立出来， 以统一的观点和严密的数学描述，确立了它的数学基础。到2 0 世纪7 0 年代初， 有限元方法已达到完善的地步，2 0 世纪7 0 年代以后，各国学者对有限元进行了全 面而深入的研究，涉及的内容包括：有限元在数学与力学领域所依据的理论；单 元的划分原则；形状函数的选取及协调性；有限元所涉及的各种数值计算方法及 其误差，收敛性和稳定性等问题的限制性。 有限元的主要思想是：首先将连续的求解区域剖分为一组有限个单元，在每 个单元内未知函数用低次多项式表示，在单元之间用节点上未知节电值连接，从 而将一个连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题，用能量极小原则导 出它们的一个方程组，一经求解解出这些未知量，就可以通过函数插值计算出各 个单元函数的近似值。显然，随着单元的数量的增加，即单元尺寸的减少，解的 近似程度也将不断改进。 到目前为止，有限元方法已成为科学与工程领域中应用最广泛的一种数值计 算方法，它被成功地应用于固体力学，流体力学，热传导，电磁学，生物力学等 各个领域，可以求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性( 线性与非 线性) 、弹塑性或塑性问题，能求解各类场分布问题( 流体场、湿度电磁场等) ， 还能求解水流管路、电路、润滑噪音以及固体、流体、湿度相互作用的问题，附 带所产生的有限元软件也产生了巨大生产力效益。从8 0 年代开始，有限元理论与 第一章绪论 应用进入了蓬勃发展的时期，由于现代科学技术的发展提出了越来越高的要求， 其中最为突出的有：( 1 ) 计算规模大：( 2 ) 各种复杂的非线性问题。为了解决这些 问题，各国学者都做出了巨大的努力，也取得了重大的进展。各种复杂的非线性 问题的有限元收敛性分析，也成为了重要的问题之一。 回到本论文的主题：有限元的超收敛性。早在1 9 7 0 年前后，人们就发现有限 元解或导数在某些点上有特别好的精度，称为超收敛性。例如： 在小区间k ，量，】上作函数u ( x ) 的线性插值函数： “， ) 。坠止巡华警兰幽逊， ，l 用t a y l o r 公式可得其插值余项为： 喇川蜘坠掣h 询+ 。，z 一半， 则导数误差为： 陋 ) 一h ， ) 】一ur ) 一u ； ) = o 一舅 ) + 0 0 2 x 从上式可知，在z 以外的点上是一阶小量o ( h ) ，但在区间中点舅上，它却是二 阶小量o ( h 2 ) 。可见，导数在舅点上有更加准确的逼近，这就是超收敛性的意思。 有限元超收敛性研究最早见于1 9 7 2 年，以后随着多种方法和理论的提出，丰富了 结果。到1 9 9 5 年芬兰召开有限元国际会议，b a b u s k a 称超收敛是有限元的十大进 展之一。如今，前人对有限元超收敛性研究已经有了更多的认识0 , 4 , 5 1 ，对有限元 梯度的超收敛性研究也有了不少成果【6 7 8 l 。对一般非线性问题，在一定条件下已 经证明，非线性有限元具有线性有限元相同的超收敛性。对一类特殊而应用广泛 的半线性问题，插值系数有限元是一种简单经济有效的算法，本文主要研究半线 性问题三角形插值系数元的梯度超收敛性，给出了满意的结果。 1 2 插值系数有限元介绍 z l a m a l 等在1 9 8 0 年首次提出了插值系数有限元法( z i e n k i e n w i c z 也曾提出这 种插值的思想) ，并成功应用于拟线性抛物问题，证明了分片线性的插值系数有限 元的最佳阶收敛估计陋一h 。i i i0 0 2 ) t 9 ，1 0 。对半线性抛物问题，用三角形线性元空 间离散化的半离散问题，s l a r s s o n ，v t h o m e e ，张乃莹 1 1 1 1 9 8 9 年证明了插值系数 有限元u 。有误差估计： i i ( u 。- u ) ( t ) l l d 仰) 。 随后，陈传淼，s l a r s s o n ，张乃莹 1 2 1 对分片均匀三角形剖分情形，使用了超收敛 湖南科技大学硕士学位论文 技巧，并基于算子a 的椭圆投影r h u 和插值l h u 所满足的超收敛估计式( 比最佳阶低 1 阶) ： 帆“o ) 一r 。u ( t ) l l = d 2 i l a b “2 ) ， 证明了几乎最佳阶收敛性估计： 0 一“) o ) 0 一o ( h 2l n h ) 。 直到2 0 0 0 年，雷丹、陈传淼【1 3 】对一维半线性椭圆边值问题，证明了任意n 次插值 系数有限元的超收敛性。陈传淼，谢资清p 4 对非线性椭圆问题，讨论了插值系数 的一致收敛性。另外熊之光在他的博士论文中，利用单元正交逼近校正技巧，研 究了常微分方程初值问题插值系数连续有限元的超收敛性，并针对二阶半线性椭 圆第一边值问题，二维的半线性抛物问题的半离散格式，研究了插值系数三角形 二次有限元有限元和任意矩形有限元的超收敛性，还对半线性双曲初边值问题的 半离散插值系数有限元的超收敛性进行了简单讨论b s 。这些研究形成了一系列文 的结果 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 1 。后熊之光和陈艳萍还将这些思想用于有限体积元的研究 2 0 , 2 1 1 。对 于非线性椭圆问题，在多解的存在性理论阮飙矧基础上，陈传淼，谢资清等首次提 出了新的计算方法一搜索延拓法，并将其应用到多解逼近计算与激光传输数值 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 1 模拟。在他们的计算中，都采用了插值系数有限元法。大量数值计算表明， 插值系数有限元求解此类半线性问题非常有效。 为了定义插值系数有限元方法，先考察如下形式的一维两点边值问题 卜”+ “3 i nq = ( o ，1 ) ， ( h1 ) l “( o ) - 比( 1 ) 一0 ， 其弱形式为寻求“e h ：一p i ，e h l ， ，( o ) 一1 ，( 1 ) 一o ，满足 彳 ，) + ( ， ) ，y ) 一( g ( x ) ，y ) ，v y 日：( q ) ， ( 1 2 2 ) 其中 a ( u ，v ) 一上“ v d x ，( ，o ) ，y ) 一o “2 v d x ，( ) 一x v d x 。 设瓦c 日：是万维有限元子空间，且切，墨。是它的一组基，因此( 1 2 1 ) 的有限元解 “ 瓯，可表示成：“| i ia 驴， 弘，e s ，取y ；讫。一1 ，2 ) 代入( 1 2 2 ) 式可得： j l nn 善彳 ，仍姐，+ ( 厂( 善伊，o 姐a 仍) 一( g ，仍) ，( f = l 2 ) ， ( 1 2 3 ) 则用n e w t o n 迭代法求解方程组( 1 2 3 ) 时，每一次迭代都需要计算切矩阵，不得 第一章绪论 不多次计算切矩阵的值，因此工作量无疑是相当大的。 所谓的插值系数有限元方法，即直接对函数， ) 本身作插值i h i ( u 。) ，用 l h f ( u 一) 一伊，f ( u ，) s ? 代替， o ) ) ，在区间【o ，1 】上定义插值系数有限元“，满足 nn 善彳( 缈j ，仍姐，+ 荟厂 从驴j ，仍) g ( g ，仍) ，( f _ 1 , 2 ) ， ( 1 2 4 ) 此时，刚度矩阵即 f ，仍) ) 与质量矩阵( ，够) ) 可一次形成，整个工作量会大大减 少。 i 3 本文的主要工作 本文基于前人的研究成果，采用插值系数有限元方法，对非线性两点边值椭 圆问题、抛物问题、双曲问题进行了讨论。主要是讨论三角形插值系数有限元的 梯度超收敛性，第一章为绪论部分，介绍国际上有限元的发展，研究背景、现状、 前景等内容，阐述了插值系数有限元的研究背景与现状；第二章主要介绍了 s o b o l e v 空间，各种符号记法以及线性插值基本引理，并对基本引理进行了推导； 以后两章是主要内容。第三章介绍了半线性椭圆问题，利用三角形插值系数有限 元来求解，研究了半线性椭圆问题的梯度超收敛性，对半线性椭圆问题进行了 日1 ，r 模估计，随后给出了一个数值例子，验证前述的理论结果在具体计算上是正 确的；第四章对半线性抛物问题初边值问题进行了讨论，首先对二维空间半离散 线性插值系数有限元的梯度超收敛性进行了研究，然后对全离散格式进行了讨论； 第五章对二维半线性双曲问题的半离散线性插值系数有限元的计算格式作了简单 的讨论；第六章总结了本文所做的研究，并对今后的后续任务作出了展望， 湖南科技大学硕士学位论文 第二章符号说明及基本引理 2 1s o b o le v 空间 假定q 是甩维空间r “中有界且连通的区域，边界是a q 。空间r “中的点以 z ； 。，z ：，) 表示，函数“的偏微高可写成a 8 “一磊去，其中 口= 。，口：，口。) 是一个行向量，称为多重指标。口，苫o ( 一l 2 , ，以) 为整数，。 陋l 一口1 + 口2 + + 口 。 定义1 ：设m 为非负整数，1s p s0 0 ，作集合 w ”，p ( q ) ；0 工p ( q ) ；a 。h 三p ( q ) ( i 口ism ) 并且赋予范数 ，p 荟l i o 。ul p ) 1 细， 1sp ， o 同“0 ，” l b 0 。，。一。m ；i 。a i ；x 。1 0 8 h 0 。，。 其中，f i | l 。，p 表示空间上尸( q ) 中的范数，则所得的线性赋范空间w ( q ) 称为一个 s o b 0 1 e v 叠间。 显然：当m 一0 时，形o p ( q ) 一( q ) ；当p 一2 时，形“2 ( q ) 可以记作h m ( q ) ， 是一个h i l b e r t 空间，可简单地将范数记为i | i l 。 设“为二维函数，则梯度： g r a d “一仇；( 罢，i l d u l l 一咀【絮) 2 + ( 詈) 2 础) ；。 2 2 基本引理 定义2 ：称一个双线性形式口( ，) 在一个赋范线性空间日中是有界的 ( 或连续性) ，如果满足： 第二章符号说明及基本引理 存在一个常数c 0 ，使得口( v ， ，) 口m 三， v ve v o 引理1 【2 9 1 ：设q 是d 维多角域，剖分是拟一致的，设u ，为u 的的线性插值，则 有线性插值的误差估计： 卜“m 椰墨幽2 一恍p ， 。，l 一0 工 1 o ，口1 + ，y i 2 一) o 一1 ) o ，显然q p 。) ，+ l ，f 。f 。一， 由 h o l d e r 不等式并交换积分顺序可得： ，sf z p 也出，s 川j ：p 气( 岛) lf 2 p 也出 缸r 纠出) 形i r 7 1 舻( 岛圹r 2 出班 作变换亭一彰一z ，+ f ( z z ) ，d 亭一f 2 d z ： f 删 碾广1 班) 形s 吖 js c ，f o o t - r ，i d 2 “( 吖d c d tsc c ；f ，l d 2 “( 吖孵， 湖南科技大学硕士学位论文 综合以上可得： h m p ，s 鳓2 一咀( 再3c c 洌。2 蚓p d 亭蚴) 名 引理1 得证。 本文中我们将始终记c 及带下标的c ，表示常数，可能与函数有关，但与步长无 关。 第三章半线性椭圆问题 第三章半线性椭圆问题 对椭圆问题的研究，前人也有了不少成果 3 0 l 。基于前人的结果，本章首先研 究半线性椭圆问题的插值系数有限元的平均梯度误差，通过引入辅助线性椭圆问 题，论证了三角形线性插值系数有限元平均梯度的误差估计。然后，对插值系数 有限元的日1 ，2 模的误差估计进行了推导。再者，对一次元u 。作二次插值得到1 2 u 。， 并讨论了双二次插值1 2 u 。也有超收敛性。最后，通过一个数值例子验证了理论结 果的正确性。 3 1 问题的引入 q 是具有光滑边界a q 的二维凸角域 r 吖觜 伽 q ， o n a q ， ( 3 1 1 ) 其中ge l 2 ( q ) ，厂 ) o 及厂” ) 有界， a u 一- a ，( 口驴a 。“) ， 并且双线性 口 ，y ) 一正口i j a 一“a j v d x 满足_ s 。一强制性，即存在) ， 0 ，使得v “s o , a ( u ，h ) 之r i b , ，。 其相应的变分问题为：寻找u 日：( q ) ，使得 口 ，y ) + ( 厂 ) ，) 一括，1 ，) ，v y 日j ( q ) ( 3 1 2 ) 成立。 在q 上作均匀的三角形剖分r 一忙l 韵三角形 ，所有三角形f 的并集所确定的 多边形域记为q 。cq ，设h 为剖分中单元的最大边长：s 。表示在闭集西上连续， 在r 中每个三角形内表示线性的，并在q 。外为0 的所有函数集合，瓯构成有限元 空间。 插值系数有限元定义为：寻找u 。e s 。，使得： a ( u ，) + ( ， 厂 ) ， ，) 一0 ，1 ，) ，v v s c 日：( q ) 。 ( 3 1 3 ) 取v s 。，( 3 1 2 ) 式减去( 3 1 3 ) 可得如下拟正交关系： a ( u - - u ，v ) + ( 厂 ) 一， 厂 ) ，y ) ，0 。 ( 3 1 4 ) 设z ，是所有公共边中点的集合，定义离散范数： 湖南科技大学硕士学位论文 一 _ 一 乩彬。一降 1s p ； p ；o o ； 引理2 t 3 1 】：对于 ，e s 。，离散范数，p z 。与连续范数h 。，等价，即存在常数c t ，c ：使 得： c 。ps p z sc z p ，v v c s 一。 对于v e s n w o ，存在常数c 3 ，c 。，使得： c 。删”sh ，c 4 i h 。 v v e s n x o 。 3 2 梯度超收敛估计 我 门从文献【2 9 】 3 1 】中可得到如下引理3 和引理4 ： 引理3 ：设多角域q 的三角形剖分是均匀，“形3 p ( q ) n h j ，且甜，“。s ? 分别是 m 的线性插值与有限元逼近，一1 + 1 1 ；1 ，则有第一型弱估计： p p 一距，v ) isc 1 2 姚川b ， v s ：。 引理4 ：( 导数型) 正规化g ，e 绷函数g s o ，满足么g 一一见6 。0 ，z ) 在q 中，有限 元投影g 。鄙，则有：l i o 。l | 1 1 - ：c l l n h i 。 引理5 ：若区域q 的剖分是均匀的，“形3 ，p ，1 f 有t b ，即毛是开的。 3 ) 令f ( _ ) 毛，当j _ 时，f ( j ) - t ，要证f e h 由于甜t 。，由紧性，存在一个聚点u j ：，它是问题群的唯一解，由于“：连续依 赖于t ，有i i o l s 2 c h 2 i l n h ，但由式( 3 2 7 ) 有： 1 1 1 0 t 忆s2 c h 2 | l n h t + 4 c 2 h 4 1 1 n h i 2 i l nj l i 若取h 1 ，使4 c h ：l l n h l l 2 ， 1 ，则当h 2 ，c 1 + 丽c 2 0 ，则a ( u ；o ，y ) 一口( p ， ，) + ( 厂 ) 口，) 满足强制性。 证明：因为口 ，y ) 具有强制性，所以口( 目，o ) 孔l o n 对v oe s ， 利用厂 ) 0 ，得：( ， ) 秒，口) = 正厂 ) 卯级 0 ， 综合上述两式得：a ( u ；o ，口) c ；。 第三章半线性椭圆问题 定理3 ：若凸多角域q 的三角形剖分是均匀的，ue w3 p ( q ) n 日：，则由( 3 1 3 ) 确定的线性插值系数有限元口。有如下估计： 证明：1 ) 先证肛一“。0 ，西 肛一比。f f 。s 动， 陋一n 删sc h 2 。 因为她一掰州，s 葫：，所以只需证肛，一甜。0 。sc h 。将如下两式相减 a ( u ，y ) + ( 厂( 比) ，1 ，) 一( g ，) v , , e u o ( q ) ， a ( u ，y ) + ( ， f ( “ ) ，y ) 一( g ，v ) v v e s 。 并取v e s ，得a ( u 一群 ，y ) + ( ， ) - i 厅f ( u 矗) ，v ) 一0 。 ( 3 3 1 ) 将f o , ) - i 。f ( u 。) 分解为： 厂 ) 一， 厂 。) ；( ， ) 一，。， ) ) + ( ， f o ) - i h f ( u 。) ) ， 将( ， ) 一厶， ”记为，。，( 1 h 厂 ) - z 。f ( u 。”记为，：。 i ) 由弓i 理1 可矢：i 。一f ( u ) - i 。f ( u ) 一o ( h 2 ) 。 i i ) 估计，2 ，在单元z 中展开为： ，2 一， ， ) 一i 厂 ) t 厂 ( p ，) 砌j ( p ) 一厂 ( p ，) 砌， ) l 一【厂 ( p ，”一f ( u 一( p j ) 渺，o ) 一f ) ，- - u ) + o ( h ) 。 ，一“ ) + d ( 1 ) ，一“ ) 2 ， 贝i jf ( u ) - i f ( u ) - o ( h 2 ) + ，( “) ( 比，一“ ) + d ( j 1 1 ) ( m ，一“ ) + 0 0 ) 0 ，一“ ) 2 。 再记u - - u ，一r ，u ，- - u 一- 0 ，代入( 3 3 1 式可得： a ( o ，y ) + ( ，( h ) 口，1 ，) 一a ( r ，y ) + ( d ( i 1 2 ) ，v ) + ( o ( h ) o ，y ) + ( o o ) a 2 ，y ) ， 取 ，- 0 ，上式变为： a ( o ，口) + ( 厂( “) 口，口) 一a ( r ，秒) + ( d ( 危2 ) ，秒) + ( 0 ( 矗) 秒，秒) + ( 1 9 ( 1 ) 伊2 ，口) 量c 肛- - u i 虬o i l ，+ d 0 2 ) d o l l 。+ d q ) l p 婿+ o o ) 1 1 0 2 1 1 1 | i p i i 。 e h ：s - a ( u ；o ， ，) 一a ( o ，v ) + ( ， ) 口，v ) 满足强制性，所以有： c l o l l ；s 口( 口，p ) + ( 厂 ) 日，8 ) - cc h l l o h 。+ 砌堋+ c 蚓忡8 。 s 砌归o 。+ 如俐孽+ 詈归唧臼i j l ，( 。逆估计归24s 幽q i i o h 2 ) 湖南科技大学硕士学位论文 则：。 c h + c h l o l 。+ 如。；， i c h ) l l o i i 。 c h + 动一例；， c h s 一+ 1 c h c h ( 1 - c h )。 当j l 充分小时，有恻l 。 c h + c ：。 则： 同理采用上节中的连续性方法可以证明：l i o l l 。 c h ，即有陋，一“。i i 。s c h 。 l b 一比。0 。一i k 一“，+ “，一“。1 1 1 i b 一“，0 ，+ i b ，一“。l | l c h 。 2 ) 证恤一u h 忙c h 2 对于2 模估计，采用对偶论证的方法，引入辅助问题： f 彳+ 厂 ) iu - - u ， i = 0 ， 其变分问题为： 口( ，1 ，) + ( f ( “) ， ，) 一 一“ ，) ， 取v u 一“ ，贝i j 可得： 伽q ， o n o q ， v ve h ：。 l b u h l l 2 一( 比一“。，“一u h ) 口( ，m u h ) + ( ，7 ( “) ，距一u h ) 。 再将下两式相减： 并取y 瓯，可得： 取 ，一q 瓯，得： 则：i b u h8 2 a ( u ，) + ( 厂( “) ， ，) ；( g ，1 ，) ，v ，日j ( q ) ， a ( u ，) + ( ， f ( u ) ，y ) = ( g ，y ) ，v v e s ， a ( u 一“ ，y ) + ( ，( “) 一厶f ( u ) ，y ) 一0 ， a ( u 一“ ，嘶) + ( 厂( “) - i 厂( “ ) ，q ) 一0 ， 一口( ，u 一比 ) + ( f ) ，u 一“ ) a 口( ，u 一“ ) + ( f ( “) ，u 一“ ) - a ( u - - u ，) 一( ，( m ) - i f ( u ) ，嘶) = 口( 一0 9 1 ，u 一“ ) + ( 厂( “) ，u 一“ ) 一( ，( “) - i 厂( “ ) ，嘶) ( 3 3 2 ) 将a ( w - w t ，u u 。) 记为( i ) ，( 厂 ) ，u u h ) 一( 厂 ) 一i h f ( u 。) ，q ) 记为( i i ) 一1 9 第三章半线性椭圆问题 对于( i ) ：由于肛一h 。| | 1sc h ，并且i i t o 一，l l 。sc hit o0 ：c hl b 一“。i l ， 于是有： a ( t o - t o 一u h ) c l t o - - t o 川，陋一“。8 ，s 动2 陋一h 。8 。 对于( i i ) ：由定理1 中f ( u ) - i h f ( u ) 的分解结果可得： ， ) 一，一f ( u 一) 一o q 2 ) + 厂 ) ，一u h ) + d q ) 。 ，一u h ) + d ( 1 ) ，一