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曲阜师范大学硕士学位论文 有关更新风险模型几个问题的探讨 摘要 本文考虑了具有两类索赔的风险过程的g e r b e r o s h i u 函数和破产概率，并 且讨论了带干扰的s p a t r ea n d e r s e n 模型的分红问题 根据内容本文共分为以下章t 第一章，本章在文献1 的基础上。考虑当这两类索赔过程分别是p o i s s o n 过程和广义e r l a n g ( n ) 过程时的g e r b e r - s h i u 函数第二部分给出了关于g e r b e r - s h i u 函数的积分微分方程组，第三部分给出了一个广义的l u n d b e r g 方程，第 四部分给出了g e r b e r - s h i u 函数的拉普拉斯变换，最后给出了两个广义的更新 方程 第- - i ，关于含有两类索赔的模型的破产概率，在本章中，我们讨论了含有 两类相互独立的索赔的模型的破产概率这两类索赔分别为两个广义e r l a n g ( 2 ) 过程，在文章中我们用两类过程的g e r b e r - s h i u 方程的l a p l a c e 变换来确定它们 的积分微分方程 第三章，构建了带干扰的s p a r r ea n d e r s e n 模型( 索赔间隔时间变量为广 义e r l a n g ( n ) 分布) 下，带有常数的b a r r i e rs t r a t e g y 分红模型；求出了此模型 下破产前折扣分红总额仇6 的矩母函数m ( u ，| ，；b ) 和m 阶矩( u ，b ) 满足的 积分微分方程，及v 矗( t ，的具体表达式；求出了此模型下g e r b e r - s h i u 函数 满足的积分一微分方程 关键词：广义e r l a n g ( n ) 分布；积分微分方程；拉普拉斯变换；s p a r r e a n d e r s e n 模型；分红 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h et h e s i sw ec o n s i d e rt h ep e n a l t yf u n c t i o n sf o rt w oc l a s s e so fr i s k p r o c e s s e sa n ds o m er e s u l t so nt h ed i s t r i b u t i o no fd i v i d e n dp a y m e n t su n t i lr u i n a n dt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o nu n d e ras p a r r ea n d e r s e nr i s km o d e lp e r t u r b e d b yd i f f u s i o nw i t hg e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) 一d i s t r i b u t e di n t e r - c l a i mt i m e sa n da c o n s t a n td i v i d e n db a r r i e r t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t ： i nc h a p t e r1 w ec o n s i d e rar i s km o d e li n v o l v i n gt w oi n d e p e n d e n tc l a s s o fi n s u r a n c er i s k s w ea s s u m e dt h a tt h et w oc l a i mn u m b e rp r o c e s s e sa r ei n - d e p e n d e n tp o i s s o na n dg e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) p r o c e s s e s ，r e s p e c t i v e l y l a p l a c e t r a n s f o r m so ft w ot y p e so ft h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n sa tr u i na r ed e r i v e df r o m a ni n t e g r o - d i f f e r e n h a le q u a t i o n ss y s t e m f i n a l l y , w eo b t a i nt w og e n e r a l i z e d r e n e w a le q u a t i o n sw h e nn = 2 i nc h a p t e r2 ，w ea l s oc o n s i d e rar i s km o d e li n v o l v i n gt w oi n d e p e n d e n t c l a s so fi n s u r a n c en s k s w ea s s u m e dt h a tt h et w oc l m mn u m b e rp r o c e s s e sa r e t w oi n d e p e n d e n tg e n e r a l i z e de r l a n g ( 2 ) p r o c e s s e s ，r e s p e c t i v e l y l a p l a c et r a i l s - f o r m so ft w ot y p e so ft h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n sa tr u i na r ed e r i v e df r o ma n i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss y s t e m i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n ts o m er e s u l t so nt h e d i s t r i b u t i o no fd i v i d e n d p a y m e n t su n t i lr u i na n dt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o nu n d e ras p a r r ea n d e r s e n r i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o nw i t hg e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) 一d i s t r i b u t e di n t e r - c l a i mt i m e sa n dac o n s t a n td i v i d e n db a r r i e r i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f o rt h em o m e n t g e n e r a t i n gf u n c t i o na n dt h em t hm o m e n to ft h es u mo ft h e d i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t su n t i lr u i na r ed e r i v e d w ea l s od e r i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n k e yw o r d s ： g e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) r i s kp r o c e s s ；i n t e g r o - d i f e r e n t i a l 曲阜师范大学硕士学位论文 e q u a t i o n s ；l a p l a c et r a n s f o r m s ；s p a r r ea n d e r s e nm o d e l ；d i v i d e n dp a y m e n t s 第一章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r s h i u 函数 1 1 引言 对于风险模型的g e r b e r - s h i u 函数九( u ) 已经被广泛研究例如文献【2 】中 的经典风险模型九( t ) 满足一个瑕疵的更新方程文献【3 】研究了e r l a n g ( 2 ) 风险过程，给出了当w ( u ( t 一) ，l u ( t ) i ) = 1 时咖( u ) 的一个二阶积分微分 方程和九( t ) 的拉普拉斯变换文献【4 】研究了e r l a n g ( n ) 风险过程，导出 了咖( 牡) 的一个瑕疵更新方程文献f 1 】考虑了当盈余过程具有两类索赔时 g e r b e r - s h i u 函数的拉普拉斯变换，其中这两类索赔记数过程分别是p o l s s o n 过程和广义e r l a n g ( 2 ) 过程文献【5 h 8 】也分别在此基础上进行了进一步的研 究 本章在文献【1 】的基础上，考虑当这两类索赔过程分别是p o i s s o n 过程和 广义e r l a n g ( n ) 过程时的g e r b e r - s h i u 函数第二部分给出了关于g e r b e r ，s h i u 函数的积分微分方程组，第三部分给出了一个广义的l u n d b e r g 方程，第四部分 给出了g e r b e r - s h i u 函数的拉普拉斯变换，最后给出了两个广义的更新方程 考虑如下的一个盈余过程 u ( t ) = “+ d s ( t ) ，t 0 ，( 1 1 1 ) 其中0 是初始准备金。c 0 是单位时间的保费收入， s ( t ) ，t o ) 是 总的索赔量过程。在本文中，我们假设s ( t ) 是由两类索赔组成，即 i ( f )n 2 ( t ) s ( t ) = & ( t ) + $ ( t ) = 五+ k ， i = ll = l 其中 x ) t 1 是第一类索赔的索赌量，假设它们是独立同分布的正韵随机变 量序列，共同的分布函数是p ，密度函数是p t ，1 是第二类索赔的索赔 量，假设它们是独立同分布的正的随机变量序列。共同的分布函数是q ，密度 函数是q 以锨和u k 分别表示x 和y 的均值，庐( 8 ) = j e - s z p ( 。) 如和 毒( s ) = j e - s z q ( z ) d x 分别表示p 和q 的拉酱拉斯变换 l ( t ) ，t o 表示到时刻t 为止的第一类索赔的索赔次数过程，设它的 跳跃时间间隔为瞩，f = 1 ，2 ，瞰是相互独立且同分布于参数为a 的指数 第一章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 分布 2 ( t ) ，t o 表示到时刻t 为止的第二类索赔的索赔次数过程，设它 的跳跃时闻间隔为k ， = 1 ，2 ，k 是相互独立且同服从于广义e r l a n g ( n ) 分布，即k 是n 个独立的指数分布的和的分布 k = l 。1 + + 厶2 ， 其中l ”，j = 1 ，m 具有可能不同的参数，如果j = 0 设a o = 1 最后假 设x ，k l ( t ) ，2 ( t ) 是相互独立的，为了保证l i m t + 。v ( t ) = o o 几乎处处 成立，我们假设c a t 坟+ 蠡 定义 t = i n f t 0 ：v c t ) o ，( o o ，o t h e r w i s e ) ， 为破产时刻 砂( 钍) = p ( t o 。i u ( o ) = t ) ，t 0 ， 是最终破产概率 j 表示破产原因的随机变量，如果破产由第j 类索赔引起，歹= 1 ，2 ，我 们定义，= 歹 对于z ，可0 ，= 1 ，2 ，设奶( 而掣) 是一个非负的函数，对于6 0 ，定义 屯( ) = e e 一6 t w s ( u t t - ) ，l u ( t ) i ) i c t c 。j = j ) i u ( o ) = 川，u 0 ， 其中u ( t 一) 是破产前瞬时盈余，l u ( t ) i 是破产时赤字，这里的九( t ) 表示破 产由第j 类索赔引起的g e r b e r o s h i u 函数 对于j = 1 ，2 ，“0 和0 t l t i m , = l l i ) = e - ( 1 + 1 1 ”， 代入( 1 2 1 ) 式整理可得 1 ( u ) = a l e - ( 1 + 1 1 + 4 ”f l l ( “+ c t ) d t ，0 + a z 。e 一( + l + j ” o “+ d 庐t ( u + e t - z ) p ( 石) d z ( 1 2 2 ) + 上+ d 州t + d ，z 叫刊) 出) 叫出j u + dj 设= 肌a l l 2 ，对于t 0 ，我们有 ， f 1 1 ( ) = p ( 坞= t ，尬= l 1 2 ) e 一以 1 2 ( t + 以) 出 j 0 ， + p ( = 厶= 啊) e 一以 j 0缸( u + c t - x 磁蛐 + 仁舡一u z ) d x d t 4 - e t c o p ( d t+ t u l ( u，z u z j + d 3 ( 1 2 3 ) 第一章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 相似的。( 1 2 3 ) 式整理可得 1 1 ( t ) = a 2 e - ( h h + ) f 1 2 ( + c t ) d t j o + a z ”e t + 2 + j o ”+ d f - - ( u + c t - - x ) p ( z ) d z ( z 4 ) r 1 + w l ( 廿+ c t ，z t 一c t ) p ( x ) d z id t 以此类推，我们有设m ；= w 1a 工l 。，对于u 0 ， ，“十n f l n - 1 ( 缸) = p ( 厶= t ， 厶= l l 。) e 一乳妒l ( t + d x ) q ( x ) d z d t j 0 j 0 + z ”蚴_ t = 毗础“乳一- ( u + c t - z 圳批 + w 1 ( u + c t ，z 一 一d ) p ( z ) d x l d t ， ( 1 2 5 ) 同榉的，( 1 2 5 ) 整理可得 一t ( u ) = k 上。- k 删上 l(t+ct-x)q(fu+c2 善) 如出 ， +az”e一(+k+t厂。+df-。一-(u+ct-z0i j 0 ) p ( z ) 如 j + z 二删t 恤+ d ，茹一缸一矗，p 扛) d x d t 4 曲阜师范大学硕士学位论文 设8 = + c t ，得到了下面的方程组， 。1 ( t ) = a lz 。e 一掣f - t ( s ) d 3 + a z 0 0 - - 掣l ( 咖，( s z ) p ( ) 如+ u ( s ) d s ， 酬让) 砒上”e 一幽掣知( 8 ) 如 、 + a j ( ”e 一掣l ( 。，t ( s z ) p ( 。) d z + u - ( s ) d s n 一( “) = a 。z ”e 一掣z 。妒- ( s z ) 口( z ) d z d s + a j ! u 0 0 - - 掣 z 5f ，。一- ( s z ) p ( z ) 品+ u - ( s ) d s 其中u l ( s ) = r w l ( s ，z s ) p ( z ) 出在上面的方程组中，对u 求一阶导数， 可以得到下面的积分微分方程组 ，u e e l ( u ) = ( a + a l + 6 ) 妒l ( t ) 一a 妒l ( 一x ) p ( x ) d x a 1 f l l ( 钍) 一加1 ( u ) ， j o ：l ( 让) = ( a + a 2 + 艿) 1 l ( 仳) 一a 1 1 0 , 一x ) p ( x ) d x a 2 f 1 2 ( t i ) 一a u l ( t ) ， j 0 1j c 氐。一l ( u ) = ( a + a 。+ 6 ) f l 。一l ( u ) a f l 。一l ( t 一x ) p c x ) d x ，“ j 0 ，q a 。庐l ( t 一x ) q ( x ) d x 一地1 ( t ) j o 上面这个积分微分方程组的解与一个广义的l u n d b e r g 方程的根有密切的 关系，下面将讨论这个广义的l u n d b e r g 方程 5 第一章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 1 3 广义l u n d b e r g 方程 对于6 0 ，t l n + ，s c 设，y ( s ) = 皿竺篙兰甓坐塑蛐，则方程 ，y ( s ) = ( - 1 ) ”4 ( s ) ( 1 3 1 ) 是广义的l u n d b e r g 方程这个方程的根在证明第四部分的主要结果时将被用 到，下面的定理给出了这些根的性质 定理1 3 1 当6 0 ，n n + 时，方程( 1 3 1 ) 有且仅有n 个实部大于 零的根，记为q 1 ( 6 ) ，n 。( 6 ) 证明在半圆r = 8 c ：冗( s ) 0 ，1 8 i = p ，p o ) 上，当p 充分大 时有 。 i ，y ( s ) i l ( 一1 ) “q ( 8 ) 1 当冗( s ) = 0 时， m s 肛坠坠链掣 2 垂( + 等) 1 = 0 ( o ) l ( 一1 ) “4 ( s ) | - 所以在由虚轴和半圆r 形成的围线上，有l ，y ( s ) i i ( 一1 p 口( s ) l ，由r o u c h ，8 定理知，在这个围线的内部，方程( 1 3 1 ) 和方程7 ( 8 ) = 0 有相同个数的根 易知方程7 ( s ) = 0 在围线内有n 个根，所以方程( 1 3 1 ) 在右半平面上有且仅 有n 个根，记为q l ( 6 ) ，d 。( 6 ) 1 4 拉普拉斯变换 推导g e r b e r - s h i u 函数的拉普拉斯变换以前，参照文献【8 】8 引入算子耳，( z ) ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 其中，( z ) 是一个可积的函数，r 是个复数，定义t ， 耳，( z ) = e ”扣”i ( u ) d u ， 算子l f ( x ) 具有以下性质t ( 1 ) t r f ( o ) = fe - r u f ( u ) d u = ，( r ) ，其中，r c ，( r ) 表示f ( x ) 的拉普 拉斯变换 ( 2 ) 耳，正：，( z ) = 死霉，( z ) = t n l ( ，z ，) - 。t , z l ( x ) ，其中，r 1 r 2 c ，z 0 ( 3 ) 耳。，( r 2 ) = ；占；，其中，r l r 2 c 当。= 1 ，n 一1 时，以西l ，- 。和白l ，分别表示九，f l l 和u 1 的拉普拉 斯变换同时定义丌u _ l 九= 1 对( 1 2 6 ) 式取拉普拉斯变换可以得到 |i!i a + a l + 6 ) + ，( s ) 】毋1 ( 8 ) = c 妒1 ( o ) 一a 1 f l l 0 ) 一池1 ( s ) ， a + a 2 + 6 ) + 加0 ) 】f l i ( s ) = c f n ( 0 ) 一a 2 1 2 ( s ) 一a _ 【2 f l ( s ) ， i； a + a 。+ 6 ) + ( 8 ) 】6 。一1 ( s ) = c f i n - - i ( o ) 一a 。参l ( s ) 口( s ) 一尬l ( s ) ( 1 4 1 ) 解方程组( 1 4 1 ) 可以得到 ；l ( s ) = 藏f 两等铧端般丽，( 1 a 2 ) 其中 n ，( s ) = c 【c s 一( a + a + 6 ) + ( s ) 】妒- ( o ) ， k = 2 7 第一章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 9 ( s ) = ( - 1 ) c a - i i c s c a4 a t + 6 ) + 矽o ) 】f - - ( o ) k = 3 n + ( 一1 ) 2 c a l a 2i i 【一协+ a i + 6 ) + ( s ) 1 f 1 2 ( o ) k = 4 n - 2 + + ( 一1 r 一2 c ( i ia ) 【c s n + a 。+ 6 ) + ( s ) 】i - 2 ( 0 ) ( s ) = ( 一1 ) 4 a ( na i ) + ( 一1 ) “+ 1 a ( i ia 女) 【c s 一( a 十a 。+ 6 ) + 印( s ) 】 + + ( 一1 ) 2 脚a 刈j 【c 8 一n + h + 6 ) + 婶( s ) 】 f h 于啦( j ) ，z = 1 ，n 是( 1 4 2 ) 的分母的零点，所以它们同时也是分子 的零点从而当l = 1 ，n 时 f c 口, c 6 ) ) + g ( o ( 6 ) ) + h ( a 。( 6 ) ) 白l ( n 。 ) ) = 0 ， 通过解上面的这个方程组我们可以得到ic o ) ，f l l ( o ) ， l 。一l ( o ) 注1 - 4 1 当n = 2 时 ，( 3 ) = c c s 一( a + a 2 + 6 ) + 栖( 8 ) 】毋l ( o ) ， g ( s ) = - - c a l 1 1 ( o ) ， h ( 8 ) = a a l a c s 一( a + a 2 + 6 ) + 【s ) 】， 代入( 1 4 2 ) 有 引垆继等器嵩等等端瓮铲， 其中6 ( o ) = 6 l ( 0 ) = e e 一6 ( t 一加l ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) i c r 。，j ：1 ) i l l l = t ，u ( o ) = 叫，和文献【1 】1 的( 1 4 ) 式是等价的 8 0 一fi 眦n 脚 “ 一 呈、 l 一+ 曲阜师范大学硕士学位论文 1 5 广义的更新方程 在这一部分中，当n = 2 时我们得到了两个广义的更新方程首先设反= 风( 6 ) 是l u n d b e r g 方程c s + 坤( s ) 一( 入+ + 6 ) = 0 的非负根，其中t = 1 ，2 芦l ，成的存在性证明可以在文献【2 】2 中得到 当n = 2 时，我们可以从( 1 2 6 ) 式得到下面的方程组 ic 讲( u ) = ( a + a l + 6 ) 毋1 ( u ) 一a 西1 ( t 一x ) p ( x ) d x a l f l l ( u ) 一a u l ( u ) ， l如产 ：l ( t 1 ) = ( + 沁+ 6 ) 6 1 ( t ) 一入1 1 ( 1 , 一z ) p ( $ ) d z ir u j o ia 2 咖1 ( t , 一z ) 口( z ) d z 一地l ( t ) j o ( 1 5 1 ) 在( 1 5 1 ) 式的两边取拉酱拉斯变换，有 j f c s 一( a + a l + 6 ) + 冲( s ) s ) = 。们) 一a l 洲8 ) 一a 白1 ( 5 ) ， ( 1 5 2 ) l 【c 3 一q + 2 + 6 ) + ( s ) 梃1 1 ( s ) = c 6 l ( o ) 一k 币l ( s ) ( s ) 一尬1 ( s ) 由文献【1 】的讨论知 仲) = 洳小型避划岽铲幽轴l ( 0 ) 】 “o ) ；) + 堕盟掣m + 冲( m ) 一( a + a l + a 2 十吼 其中p 1 和舶是文献1 1 】中的广义l u n d b e r g 方程( 1 2 ) 的非负解 由于印l 一队+ a l + 6 ) + 加) = 0 ，所以( 1 5 2 ) 的第一个式子可以化简 为 c 0 一向) + a p ( s ) 一声( 历) 】 毒- ( s ) = 一a - 匿- ( 3 ) 一a ，( 历) 】一a p ，( s ) 一：i - ( 风) 】， 上面这个式子的两端同时除以c ( s 一尻) ，可以得到 h ( 等掣) 卜，= 等( 訾) + 害( 掣) 9 第一章具有两类索赔的风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 反演得 。( u ) = 害毋。( 缸) 码，p ( u ) + 等乃。“( u ) + ：乃；u 。( 札) ， ( 1 5 3 ) 迈就是j 义明曼就万崔 易知方程( 1 5 3 ) 是一个广义的瑕疵更新方程，因为 z ”：。p c 牡，d 秕= ：z 。! ”e 一口“，一u ) p c 扩) d y d u = ：z ”z e 一口1 ( ，一u ) p c ) d u d y = l 一等 1 类似的，我们有 “u ) = ：“( 缸) + 了k p ( u ) + 等西t ( 牡) t 乃。g ( 让) + 等o ( 皮) 丁k 咖。( u ) + ：7 k u t ( 札) ， ( 1 5 4 ) ( 1 5 4 ) 也是一个广义的瑕疵更新方程 第二章关于含有两类索赔的模型的破产概率 2 1 引盲 文献【9 】，【1 0 】考虑了两类风险的索赔额分布问题，文献【1 1 】求出了计算多 元复合分布的递推公式，对破产概率问题也已经开始研究，文献【1 2 】研究了计 数过程为相依的泊松过程的风险模型，文献【1 3 】研究了多个类的风险过程的破 产概率问题，文献【1 4 】在研究古典风险模型中使用了类更新过程即e r l a n g ( 2 ) 过程 在盈余过程u ( t ) = u + c t s ( t ) ，t 0 ，其中是初始资本，c 是表 示索赔速率， s ( t ) ；t o 为盈利过程在本文中s ( t ) 是由两类索赔构成 s ( t ) = 8 1 ( t ) + 8 2 ( t ) = r i = 1 l ( 五+ e n 2 ( 。k ，。0 ，其中五221 构成了第一类索 赔，它们都是独立同分布的，具有相同的分布函数p 和密度函数p ，k 2 1 构成 第二类索赔，它们也是独立同分布的，有相同的分布函数q 和密度函数q ，定 义- i x ，脚分别为它们的数学期望，痧( s ) = 铲e - s x p ( x ) d x ，口( s ) = j e - s x q ( x ) d x 分别为p 和q 的l a p l a c e 变化1 ( t ) 是一个时间间隔为 眦 ，l 1 的更新过 程，是一个相互独立的广义e r l a n g ( 2 ) 分布，且k ：= 正l + 以2 其中尬l ，m 2 分别为指数为a 1 ，a 2 的指数分布且是独立同分布的，j 也( t ) 是另一个时间间 隔为 k ) l 1 的更新过程，并且 k ) 。1 是与 m ) 。1 是相互独立的广 义的e r l a n g ( 2 ) 分布，且k ：= l 。l + l 。2 其中厶l ，厶2 分别为指数为a 3 ，a 4 的 指数分布 下面我们定义破产时刻 t = i 竹， t 0 ：以 o ，( o o ，若对所有t 0 有阢o ) 妒( t ) = p ( t 0 ，为破产概率进一步我们定义，是。 j = j 如果破产是由第3 类索赔造成的。此时我们可以有 妒( 让) = 妒l ( t ) + 仍( 札) 其中奶( t | ) = p ( t o ，j = 1 ，2 如( t ) = e e 一盯屿缈( t 一) ，i u ( t ) i ) i ( t ，j = 2 1 u ( 0 ) = 钍】，t l 0 是折 扣罚金函数，如果破产是由第j 类引起的，u ( t - ) 为破产前盈余。u ( t ) 为破 产赤字 在经典的模型中，根据强马尔可夫性，g e r b e r - s h i u 方程是齐次的然而在 我们这个模型中方程不是齐次的，由假设的时间间隔分别为两个广义e r l a n g ( 2 ) 下面定义； 垂( 牡) = e e - 6 ( r - o w ，( u ( t - ) ，l u ( t ) i ) i ( t o o ，j = 7 ) l u ( o ) = 仳】， 西1 1 ( u ) = e e 一( r - t ) a b ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) i ( t 。，j = 7 ) i l l l = t ，u ( t ) = u 】， 圣1 2 ( “) = e e 一6 ( r 一屿( u ( r 一) ，i u ( t ) i ) i ( t t i m = 工1 1 ) = e - 0 3 + a i ) t ， 而p ( m = t ，m = l 1 1 ) = p ( m = m 1 1 ) p ( m = t i m = l 1 1 ) ， 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 其中，p ( m = t i m = l 1 1 ) = ( a 3 + h 1 ) e 一 h + 1 ，) t ，p ( m = t ，m = l n ) = a 3 e t 抽+ - ) t ，同样可以得到：p ( m = t ，m = m 1 1 ) = a l e 一( 知+ a z ”，可变为 西( t ) = a 3 e - ( 5 + l + 沁”圣1 1 ( t 正+ c t ) d t j 0 ， + a 1 e - ( h 1 1 + 1 3 ) 蛋1 2 ( 让+ c t ) d t ， 令s = 缸+ c t ，此时可以得到 c 圣( u ) = a 3 e - ( 6 + l + b ) “一”) 肛圣l l ( s ) d s ，“ ， + a 1fe - ( 6 + 1 l + 1 3 ) ( ”“) ，。圣1 2 ( s ) d s ( 2 ) 令z = m z z a l l 2 ， ， 雪n ( t ) = p ( z = t ，z = l 1 2 ) e 一 j 0，f 。o u + e ta 垂( u + c t - x ) 出d t + f f f p ( z = t ，z = 尬) e - 6 t 垂l a ( u + c t ) d t 同样我们可以得到。 c 圣1 1 ( “) = a 4 v o e - e - ( 6 + 丸+ 知) ( 一n ) c 厂垂( s x ) d x d sc 圣1 1 ( “) = a 4丸+ 知) ( 一。) c 垂( s j u j 0 ， + a l e - ( + 1 + h ) ( ，- ”) ，c 垂1 3 ( s ) d s j u ( 3 ) 令n = m 1 2 a l l ：， ，r o + d 雪1 2 ( u ) = p ( n = t ，n = l 1 2 ) e 一髓【 由( + d x ) p ( x ) d x j 0 j 0 + f ，( t + 西，z t 一c ) p 扛) d 硝d t j u + c t + p ( n = t ，n = l 1 1 ) e 以垂1 3 ( u + c t ) d t ， 鳖章关于含有两类索赔的模型的破产概率 c 垂1 2 ( t 正) = a 2 e 一 群+ 2 + 3 襻) “一。) 。【圣。一z ) p ( z ) d z j j 0 r ，o o + u ( s ，z s ) p ( x ) d x d s + a 3 e - a # ( 6 + 如+ 如 社) ( i 一”) ，。垂1 3 ( s ) d s ， ( 4 ) 令x = m 1 2 a 工1 2 ， ，+ c 圣1 3 ( u ) = p ( x = t ，x = m , 2 ) e 一血【 垂( 乱+ c t x ) p ( x ) d x j 0 j 0 ， + u ( 牡+ c t ，z 一1 1 , 一e t ) p ( x ) d x d t j u + e t + z 。尸( x = t ，x = l - z ) e 一疵f o u + c t ( 垂1 2 ( u + c t - x ) 口( z ) d x d t 4 5 c 西1 3 ( “) = a 2 e - ( 6 + 聃k ) ( ) 。【垂l l ( s x ) p ( x ) d x v “ j 0 + e 蜘嘞螂s t o o ，j + 凡e 一6 + 1 2 + 知) ( s - u ) 。圣1 2 ( s x ) q ( x ) d x d s ， j “j o 其中u ( s ) = f ”7 冶u 0 ，z s ) p ( z ) d 对上面我们得到的四个式子分别求导可以得到： c 西( 缸) = p + a l + a 3 ) 圣( 让) 一a a 垂, x ( u ) 一a l 垂1 2 ( t 正) ， f u c 圣：l ( “) = ( 6 + a 1 + a 4 ) 圣1 1 ( t 正) 一k 圣1 2 ( “一x ) q ( x ) d x a l 圣1 3 ( u ) ， j o ，u c 圣j 2 ( u ) = + a 2 + a 3 ) 垂1 2 ( “) 一a 2 【c n ( u z ) p ) d z4 - u ( “) 】一a 3 垂1 3 ( t ) j 0 ， c 雪：3 ( t ) = ( 6 + a 2 + a 4 ) 垂1 3 ( t 正) 一a 2 【垂l l ( t 一z ) p ( z ) d z4 - u ( u ) 】 j 0 ，q a 4 垂x 2 ( u z ) 口( z ) d 茁 分别对上式的两端求l a p l a c e 变换，可以得到 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 【c s 一( 占+ a l + a 4 ) 1 童l l ( s ) = c 圣儿( o ) 一a 4 毒( s ) 口( 8 ) 一a l 毒1 3 ( 8 ) ， b 一+ a 2 + a 3 ) 】圣1 2 ( 8 ) = c c n ( o ) 一a 2 垂( s ) 庐( s ) 一a 2 ：i ( s ) 一a 3 圣1 3 ( s ) ， 【c s 一( 6 + a 2 + h ) 】西1 3 ( s ) = c 唾h 3 ( 0 ) 一a 2 圣1 l ( s ) 多( s ) 一a 2 白( s ) 一a 4 雪1 2 ( s ) 4 ( s ) 下面我们令z n = c s 一+ a 1 + a 3 ) ，a l = c 8 一( 6 + a l + a 4 ) ， 幻= c 8 一+ a 2 + a 3 ) ，a 3 = c s 一 + a 2 + ) b = c 垂( 0 ) ，b l = c 圣1 1 ( 0 ) ，6 2 = c 吼2 ( 0 ) ，b s = 曲1 3 ( o ) 解方程可以得到： ( o n l 一a 3 a 4 4 ( s ) + a 1 a 2 p ( s ) ) ( a l a 2 庐( s ) + a 3 a 4 口( s ) + a 2 0 s ) x a 1 a 2 】多( s ) ( 口+ a s ) ( a l + 0 2 ) z = ( b a l b i a s + 6 2 a l a 1 a 2 d ( 8 ) ) ( a l a 2 痧( s ) + a s a 4 # ( s ) + a 2 a 3 ) 一a l ( 口l + a 2 ) ( b a 2 p ( s ) 一a s b s + a 2 a s 白( s ) + a s b 2 一a 2 n 3 d ( s ) ) 此时我们可以得到： ( a a l a s a 4 口( s ) + a l a 2 p ( s ) ) ( a 1 a 2 庐( s ) + a 3 a 4 口( s ) + a 2 a 3 ) 一a l a 2 西( s ) ( n + n 3 ) ( 口l + a 2 ) ， 令上式等于0 可以得到方程： o 口l a 3 a 4 口( s ) + o , a 1 0 2 口3 一a ；a ：4 ( s ) 2 一a 3 a 4 眈0 3 口( s ) + 碍a 猫( s ) 2 一a 1 a 2 0 0 2 庐( s ) 一a 1 a 2 a l a s $ ( s ) = 0 2 3 模型的破产概率 在这一部分我们求模型的破产概率及其微分方程组我们令( t ) = p ( 阢 0 ，t o ) ，表示生存概率，此时妒( u ) = 1 一f ( t ) 根据前三部分的方法，我们研究f ( t ) 第二章关于含有两类索赔的模型的破产概率 满足的方程，我们按照第二部分的分类。可以定义 咖) 。杰j ( ( 沁1 ) e 叫b l ”“t + e t ) d t + 书a s + $ l 卜p d 订乜州皿 ( 2 3 1 ) f 1 ( t ) = a 4 e - ( 1 1 , i t 1 ) e - ( x f s ( u - i - c t x ) d q ( x ) d t + a l e 一( h + 如h 6 ( u + c t ) d t ， ( u ) = a 2 e 一( 1 t + b h ( u + d x ) d p ( x ) d t ，0j 0 ，o o + a 3 e 一( 沁+ 沁h 6 0 + c t ) d t ， j 0 ， r u + e t 6 ( 钍) = k e 一( 1 + 1 2 ) 。 已( t + c t x ) d q ( x ) d t ，0j 0 ，o o，+ c t + a 2 e 一( 知十沁” f l ( u + d x ) d p ( x ) d t j 0j 0 此时我们得到： 定理2 3 1 生存概率f ( u ) ， - ( “) ，6 ( 乱) ，6 ( 让) ，满足如下积分方程组 西( “) = - a 3 6 ( u ) 一x 1 6 ( u ) 4 - ( a 3 - t - a 1 ) f ( u ) ， ：( 缸) = 一a 4f ( 札一x ) d q 0 ) 一x l 矗( u ) 十( a 4 + a 1 ) 专l ( t i ) ， c 岛( 札) = 一a 2 f ( u x ) d p ( x ) 一a 3 f 3 ( u ) - i - ( a 2 + a 1 ) 已( t ) ， ，u， c 舄( t ) = - , x 4 已( t 一z ) d q ( z ) a 2 f l ( u x ) d p ( x ) j 0 j 0 + ( + x 2 ) 6 ( u ) 证明；对( 2 3 1 ) 式右端的积分作积分变换8 = - 4 - d 可得 1 6 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 ，3 4 ) ( 2 3 5 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 ， c f ( “) = a 4 e x p 一( a 4 + a 1 ) 【( s u ) c f ( u ) ( s x ) d q ( x ) d s j j 0 ， + a 1 e x p - - ( ) 1 4 + a 1 ) 【( s u ) c a ( s ) d s j q 两边对u 求导即可得证( 2 3 3 )