（计算数学专业论文）半线性抛物型方程的时空有限元方法.pdf

半线性抛物型方程的时空有限元方法 摘要 本文首先讨论了半线性抛物型方程的连续g a l e r k i n 时空有限元方法，利用有 限元方法和有限差分方法相结合的技巧，证明了弱解的存在唯一性，并分别给出 了时间最大模、空间l ：模，即l o 。( l z ) 模误差估计，以及时间最大模、空间h 1 模 误差估计同时给出数值算例证明了连续时空有限元方法对于半线性抛物方程的 有效性其次，讨论了半线性抛物型积分微分方程，利用把非线性问题转化为等价 的线性问题的技巧，结合连续的时空有限元方法给出了线性化问题和原问题的误 差估计 关键词半线性抛物方程；连续时空有限元方法；积分微分方程，误差估计 s p a c e t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h e s e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s a b s t r a c t t h ec o n t i n u o u ss p a c e - t i m eg a l e r k i nf e mf o rt h es e m i - l i n e a rp a m b o l i cp r o b l e ma l e d i s c u s s e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o na x eg i v e nb yt h et e c h n i q u e o fc o m b i n i n gt h ef e ma n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d a n dt h ee r r o re s t i m a t e si nm a x i m u m n o r mi nt i m e ，l 2 n o n ni ns p a c e ，n a m e l y ，t h el o 。( l 2e r r o re s t i m a t e sa x ep r o v e d a n dt h ee r r o r e s t i m a t e si nm a x i m u mn o l t l li nt i m ea n dh 1 n o r mi ns p a c ea x ed i s c u s s e d i nt h em e a f lt i m e ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h ec o n t i n u o u ss p a c e - t i m ef o r m a tt h ee n dp a r to ft h ea r t i c l e ，t h ee r r o re s t i m a t e sa r eg i v e nf o rt h es e m i - l i n e a r p r o b l e mi n t e g r a ld i f f e r e n t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n su s i n gt h el i n e a r i z 冶dt e c h n i q u e k e y w o r d st h es e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ；c o n t i n u o u ss p a c ea n dt i m ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d ；i n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e r r o re s t i m a t e i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得内墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日 指导教师签 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名： 日 期： 指导教师签名：二址 日 期：拙夏。 ，星旺盎 名 期 楚焘鱼 内蒙古大学硕士学位论文 引言 许多物理和工程实际问题，例如，热传导方程，粘弹性体的压缩，核反应堆中热交换过程 等，其数学模型都可归结为抛物型方程或者抛物型积分微分方程研究这两类方程的数值方 法也如雨后春笋般涌现，并且各种数值方法具有不同的优势如有限差分方法，理论体系比较 完善；有限方法能适应复杂区域问题等本文主要是利用连续时空有限元方法去求解半线性 抛物方程和抛物型积分微分方程空间，时间都连续的时空有限元方法，在时空两个方向同时 使用有限元离散，和在时间上利用有限差分离散，空间采用有限元离散的古典有限元方法相 比，连续时空有限元方法不仅实现了时空变量的统一处理，而且便利了变时间步长的分析对 解的正则性要求低，提高了数值解的精度时空有限元思想最早出现在o d e n 【1 4 】和n i c k e l l 和 s a c km a n 1 5 】等人的论文中，他通过统一时空变量，克服了一般有限元方法对时间做差分处理 f 1 6 】时引起的时间上的低精度，得到了一种解决时间依赖问题的有效方法在其基础上又发 展起来流线扩散法和特征流线扩散法g u r t i n 于1 9 6 4 年提出了一种变分原理【1 6 】，为人们构 造时空有限元提供了一个新的途径1 9 7 3 年r e e d 和h f l l 1 7 提出间断g a l e r k i n 有限元方法 e r i k s s o n 和c j o h s o n 1 8 ， 1 9 】给出了用间断时空有限元解线性及非线性问题的一些结论利用 连续时空有限元方法求解抛物方程，在文献【1 】中对抛物方程进行了分析，在文献【2 ，3 】中分 析了双曲问题，文【8 】中对s c h r o d i n g e r 方程进行了讨论 二。：三：ja q 【。，： 。1 ) 所讨论连续时空有限元方法，不考虑对偶问题，把有限元方法和有限差分方法相结合，在对误 差估计的证明中利用在g a u s s 点和l o b a t t o 节点的插值，结合了两个插值算子和相应的求积 公式，在对时空网格没有附加限制条件的情况下，证明了弱解的存在唯性，给出了时间最大 模，空间l 2 模，即l * ( l 2 ) 模误差估计，间最大模，空间日1 模，即l m ( 日1 ) 模误差估计并利 用数值算例验证了方法的有效性 有关发展型积分微分方程数值理论和方法的研究要落后于抛物型微分方程，发展型积 分一微分方程来源于许多物理和工程问题，其数值方法的研究也受到了人们越来越广泛的重 视早期，关于积分微分的数值方法主要是差分方法，进入2 0 世纪8 0 年代以来，求解此 类方程的有限元方法开始得到广泛的研究最初人们遵循处理抛物方程的途径，采用有限元 r i t z v o l t e r r a 投影，为此类方程有限元方法开辟了新的途径近十年来，国内外的许多学者 在发展型积分微分方程有限元方法的研究领域中进行了卓有成效的研究工作并取得了十分 丰富的研究成果在【1 9 】中作者利用连续的时空有限元方法研究了具有奇异系数的非线性抛 引言 物方程 本文的第二部分利用连续时空有限元方法考虑了 一v ( n ( z ) v u ) 一f o tv ( 6 ( z ) v u ( s 如下的半线性抛物型积分微分方程 ) ) 幽= ，( u ) ， f l 【0 ，t i u ( z ，) = u 。( o ，) = 0 ，o f t ( o ，卅 ( o o 2 0 ) i lt ( z ，0 ) = u o ( z ，) ， z n 其中口( z ) ，6 ( z ) 0 ，是q 上充分光滑有界的函数给出了工2 和日1 的误差估计 本文的结构安排如下，第一章讨论了半线性抛物方程的时空有限元方法，利用有限元和 有限差分相结合的技巧，证明了弱解的存在唯性，给出了时间最大模，空间三2 模，即l 。( l 2 ) 模误差估计，间最大模，空间日1 模，即l 。( 1 ) 模误差估计并利用数值算例验证了方法的 有效性第二章利用连续时空有限元方法考虑了如下的半线性抛物型积分微分方程给出了2 和日1 的误差估计 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章半线性抛物方程的时空有限元方法 本章考虑如下半线性抛物方程 fu t 一u = ，( t 1 ) ， q 【o ，卵， u ( ，0 ) ：u 0 ， q ，( 1 0 1 ) 【t t0 1 l = o ，a n 【0 ，卅 其中q r 2 ，函数，( 钍) 满足： ( 1 ) l i p s c h i t z 条件，即i ，( u ) 一，( u ) i 工i u 一口i ，v u ，”c ( n ) ，其中l 是l i p s c h i t z 常数，c 是任 意常数 ( 2 ) 1 ，( 札) l c l 让l ，v u g ( q ) ( 3 ) i i v 。( ，( ) 一，( t 1 2 ) ) l l c 3 1 1 v 。( v l 一 2 ) 1 1 ，c 3 = c 3 ( m 7 ) 其中l 是l i p s c h i t z 常数，i i 付1 忆。m 7 ，v 2 h 1 为了定义连续时空有限元方法，设0 = t o t 1 = t 是时间区间 o ，t 】的剖 分，k = ( 护，计1 ) ，k 。= t n + 1 一t n , n = 0 ，1 ，2 ，n 一1 r 概是q 的一个剖分k 是剖分单 元，h 是单元k 的直径，k2 层黑k ，h = m 。a xh n 下面给出本文所需要的定义及引理 定义1 对每一个时间区间厶，定义有限元空间研= 仅础( q ) ：x i 只一l ( k ) ，k f h 。) ， 其中，只一i ( k ) 表示k 上的r 一1 次多项式，n = 0 ，1 ，n 一1 定义2 空间v q = 妒i n i n = - 1 秘( z ) ，勋霸) 其中k = ，( q ) ，妒：q ( o ，t 】- - - - - - 4r 即 对v t ，妒嚣，对z n ，妒是t 的q 次多项式 定义3 空间l 2 ( 厶，l 2 ( q ) ) 上的范数：i i i v l l l 。：= ( 止i i y ( 0 1 1 2 疵) 三，w l 2 ( 厶，l 2 ) ) 定义4 空间l 。( 厶，l 2 ( q ) ) 上的范数：n l ，a x ”l | 其中”| l 表示s o b o l e v 空间l 2 ( q ) 上的范数 定义5 对给定的s ，m = 0 ，1 ，h ”( n ) ，定义模i i h 鑫1 l 。，h = ( h 2 1 1 1 1 0 ) 石t i 定义6 椭圆投影磁：h o 一研，且满足( v ( 曙u t ) ，v x ) = 0v x 赠 定义7l 2 的投影p ”：h o 一研满足 ( p ”t ，x ) = ( t ，x ) 、7 x s 嚣 3 半线性抛物型方程的时空有限元方法 定义8 离散算子a 嚣：础( q ) _ s 嚣，( a 嚣”，x ) = ( v ”，v x ) , v x 哪 引理1 椭圆投影的误差估计 v ( t 一赡“) | i c l l h ：- 1 u l l 。， ， t h 5n 硪，2 s r u p 尝u i | sc l l h 矗u l l 。，h 札日5n 月0 ，2 s r 1 2 鹑解的存在唯一性 首先给出方程( 1 o 1 ) 的弱形式，用葛酪q ) ( q ：q 。，7 1 ) 乘以方程的两端得 岛冀，t ，) d ：+ 以。( v u ，v u ) 肚见( m ) ，讹 ( m 2 l “( ，0 ) = t o 、7 利用相应的有限元空间近似函数u 代替原方程中的u ，l l p , 求u 吁，满足 。( ( 巩，咖) + ( v u ，r e ) 一( ，( 矿) ，) = o ，v 曲曙1 ，( 1 2 3 ) lu “+ = 丌”u ( t ”) ， n = 0 ，1 ，一1 此处，u o = u 0 ，7 1 - n 表示到q 到霸的工2 投影算子 对于每一个q l ，考虑g a u s s - l e g e n d r e 求积公式 上如) d 丁掣善咧砒 吣水q 1 ( 1 2 。4 ) 该积分公式具有2 q 一2 阶精度对于固定的q 1 ，在插值结点1 1 ，勺处定义拉格朗日插值 基函数似攫l ， 的) - 鱼i i 夥 ( 1 2 5 ) 厶( r ) = 等焉 ( 1 删 j = 1 j i 、 “ 做线性变换z = 俨+ 丁k ，把f f 1 【0 ，1 】映射到区- i 7 厶定义权和坐标 矿j = 扩+ 勺七n ，0 = l ，2 ，q ) ，i = t i ( r ) ( 1 2 6 ) ，i = f 1 岛“幻班= kz 1 厶( 下) 打= k 姚，i - - 1 , 2 , - ，口 在q + 1 个插值节点0 = t o 7 1 ，处定义拉格朗日插值基函数弛) 塾。 如) 2 j = f l o j # i 高 ( 1 2 7 ) 、j ， 内蒙古大学硕士学位论文 令t ”= t ”男5 么u i 厶由函数u s ；：唯一确定设u ”= u ( z ，t n , j ) ，则v ( z ，t ) f z 厶可 表示为 v ( x ，) = k ( ) u “j ( z ) ， ( z ，t ) n 厶 注意到u “，o = u ”+ = 丌“u ( t ”) 是给定的在( 1 2 3 ) 中令妒= 如，i l f ，曙1 妒= 妒( z ) 霹，则有 f n ，三q 姒妒沁) t ，础+ 厶( v ( j 壹= o 姒归叫圳，v ( 驯皿一i n 叭螂_ 0 j 一0 。n j 经整理得 正露j ( t ) 如，i ( 矽n j ，妒) 以+ ，( 如j ( z ) v 矿”， 岛j ( t n k ) v 妒) d t 一：( 厂( u ) ，厶，i 妒) 出= 0 。n j = o 。n j = o k = l ，n 而 l 盎乞，j ( t ) ，t ( v n j , 妒) d t = 磊q j l 吃j ( ) 如，i ( v n , j 砂) 出 = e 1 止致j ( ) ，i ( c ，“j ，妒) 班+ 止幺，o ( ) 如， ( 【厂，砂) 以 ：苎m 巧( u n j ，妒) + m i o ( ( ，n + ，妒) 并且由拉格朗e t 插值基函数的正交性，有 矗( z a t ) v u ”，如，i ( t n k ) v 妒) d t ，= u膏= 上 = l ( 厶，o ( t ) v u 仉，e 1f 。，女，i ( t n , k ) r e ) d r + 以。( 宅t , 。j ( t ) v u “j ，妻厶，k ，i o n , k ) v l b ) d t 口口口 矗= 上j = i丘= l = j _ ( ，i ( t ) v u ”，i ( t ) ，i ( t n i ) v t p ) d t = 见( 磋，i ( ) 厶，i ( t 1 , i d t ( v u n , i , r e ) = k w i ( v u “，v 妒) 所以 三m i j 缈”) + 咖“v u n i , v t f ，) _ 小i ( ，) ，们d t = - m i o 缈”力) ( 1 2 8 ) 其中 ， m a2 厶露荆( 姚江l ， g ，j - 0 ，q 定义不依赖于k 的口x 口阶的矩阵m 和，其中 = m 巧，i , j = 1 ，q ，批j = w i r i 弓( r i ) i ，j = 1 ，q 由于磊= 云如( 丁) ( i = 1 ，g ) ，弓( 丁) = 号弓( 下) + 名字，所以 m 巧= 岳+ 1 艺j ( ) 厶，i ( t ) d t = 口弓( r ) & ( r ) 打 = j 孑吉f 易( r ) + r 弓( r ) 】厶( 下) d 下= 昔限，j + 矗哆( 气) 】 i ，歹= 1 ，q 半线性抛物型方程的时空有限元方法 利用g a u s s - l e n g e n d r e 求积公式得m = ( w + n ) d ，其中w = d i a g w l ，) ，d = d i a g v l ，) ，并且m ，n 都不依赖于k 要证明c ，i k 存在唯一，只需证明 c ，”j 碍：1 存在 唯一即可 定义g 口阶矩阵廊= d 一 m d ，则有( 证明参见 8 】) 引理2 令n ：= 呼n 等，则有 g x t m x a 闻2 = q ( z ；) ， v x 彤 i = l 为了证明c ，的存在性，我们引入睡l ，驴n j = 丐1 7 2 v ”j 最，则有 u ( x ，t ) = 舌磊j ( t ) 痧”j ( z ) + 蠢，o ( t w ( z ) ， ( z ，t ) f l 厶( 1 2 9 ) j = 1 那么在( 1 2 3 ) 中令毋= f 一1 2 z 。，i l f ，妒黠，且将( 1 2 9 ) 代入，经过整理得 j = l 唰驴j ，妒) + k n w l ( v 0 - a , v v , ) 一厶彳“2 盯( 叭妒z = 一下1 2 m ( u ”+ ，妒) ，i = 1 ，口，妒鄙( 1 2 1 0 ) 定理1 设u 是并一1 中给定的解，则对充分小的k n ，存在 痧”j ) ；：l ( 叼) q 满足以2 。1 0 ) ，1 1 4 此方程一2 矽有解u 霸，且u 是唯一的 证明；设向量空间( 嚣) 。是个有限维的h i l b e r t 空间，其上赋予的内积 q ( 伍，妒) ) = ( 砒) ，其中x = ( x l ，x q ) t ( 研) 9 ，砂= ( 妒1 ，怕) t ( s d 9 i = 1 相应的模定义为x = ( 意i k i l 2 ) 1 2 ，定义映射：f ：( 锑) a 一( s d q 口 一 q ( f ( y ) ，妒) = 疣i j ( ，妒) + k 加i ( v v i ，r e ) 一r 彳1 7 2 它。，i ( ，( 寸2 厶j ( z ) 巧+ 厶，o ( t ) u “+ ) ，j t p ) d t j = 1 。1 “ j = l + ( ，妒) + i 1 2 m 扣( u ”+ ，t f ) ，i = 1 ，q ，妒并( 1 2 1 1 ) 由于，连续，所以f 是连续映射，根据b r o w e r 不动点定理，f 存在不动点即有( f ( y ) i ，妒) = ( 魄，妒) 因此方程( 1 2 1 0 ) 有解 设y 和y 是方程的两个解，在方程( 1 2 1 1 ) 中令妒= 一嵋，并对i 从l 到q 求和，得 6 进一步整理得 g 1 2 = ( f ( y y + ) t ，一：) i = 1 q叮 ：i 1 7 2 。，i ( ，( 弓7 2 厶，j ( 一哆) + 厶，。u “+ ) ，( 一嵋) ) 班 i = 1 - 2 “ j = l 对于上式中第一项，有 而第四项 o 所以有 哆) + 磊，0 u 蚪) ，( 一u ：) ) d t ( 舫( y v + ) ，v v + ) o , l l l v v + 2 ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) 磊o u “+ ) ，( 仇一v 1 ) ) g t l c 七。l i l y y + 2 q i l i y v | i i c k 。l i l y v + | | i 0 取k n 爱，则有l i l y v + 0 ，所以v = y + 1 3l 2 模误差估计 为给出有限元解的空间l 2 模，时间最大模即l 。( l 2 ( q ) ) 误差估计，将误差分成两部分： u t ：( u 一) + ( w u ) = 0 + n 其中w 是上的函数，为定义w ，首先引入函数 叫( z ，t ) ；磁t l ( z ，) ，叩= t 一1 l ，( z ，t ) q 厶，( n = 0 ，一1 ) ，我们利用叫在g + 1 个l o b a t t 7 矿 一 矿 l l 嵋 一 啦 嵋 一仇 。芦 嵋 一 班 v 培 一p vm k 。斟 + 醇 一 西 一0 一” 腕 。皑 瞎 一 啦 +n u m v 。澍 + ”嵋 一 咙 嵋 一 优 q 斟 + ” u 一咙 v秒 一 地 vw n 岛 。斟 + ”一 班磅 一 啦 叼 危 口科 = 0 n nc 1， u 。芦驴 ，j _ t ， 嘶 扩 班 蛳 胆 厶。t 叮斛。斟 一 + 有k解 条 ，乙 钇o净匹芦 峨 u 足 瑚 由厶 巩q 匹甜 三 第 y一矿 +n uc o( 1 ，矿+ 1 ) = w n + 1f 。，i ( t 蚪1 ) 矽) ( 形”，矿+ ) ：( w n + , t n ，i ( t n + ) 妒) ( 1 3 1 7 ) 式的右端第三项可化为 厶( 咻= 厶( 塾列咖俄 = ：( 磊j ( 亭) 伽n j ， ”j ) 厶j 嬉) 妒) 蜓 。1 ”j = o j = o 2 厶( j = o 铭妒j ) ( 驯扩j 川) 艇 = ，t ( ) ( 帕m ，妒) = b n j 铭i ( ) ( 瑶u ( ) ，砂) ( 1 3 1 9 ) ( 1 3 1 7 ) 式的右端第四项可以化为 厶( v 彬v 牡l ，三q 讯) v w n j , g , * , i v 纠 = 正( 厶j ( f ) v 础t l j ，厶，j ( f ) 岛，i ( f 鲥) v 砂) 。1 ”j = oj = o = ，( f ) 蜓“”j ) ( v 伽，r e ) = b n , j t n ，i ( ) ( v 加( ) ，r e ) = 名， ( ) ( v p 罾札中j ) ，r e )( 1 3 2 0 ) 9 半线性抛物型方程的时空有限元方法 又注意到磋“= u 一叼，从而有 ( w ( t “+ 1 ) ，如，i ( t ”+ 1 ) 妒) = ( f 尝u ( t “+ 1 ) ，重。，i ( ”+ 1 ) 1 f ，) = ( t ( t n + 1 ) ，i ( ”+ 1 ) 妒) 一( ，7 ( 竹+ 1 ) ，厶，i ( “+ 1 ) 妒) ( t u ( t “+ ) ，孽。，i ( t “+ ) 妒) = ( u ( t ”+ ) ，i ( t ”+ ) 妒) 一( 叩( “+ ) ，i ( ”+ ) 妒) k j 心，i ( ”j ) ( 蹬u ( “j ) ，砂) = b n ，j 心， ( ”j ) ( u ( ”j ) ，妒) 一b n , j z n ， ( p j ) ( 叩( “j ) ，妒) i = oj = oj = o 利用椭圆投影的定义 k ，j ，i ( ”j ) ( v 瑶u ( ”j ) ，r e ) = b 。j 如，i ( “) ( v u ( p j ) ，r e ) i = oj = o = 一b 。j ， ( f n , i ) ( 札( ) ，妒) j = o 注意到 ( “州 t i l 俨! n + l 一厶( u ，也) d r 一厶( v u ，咖) a t - 厶( ，( u ) ，咖) 班= 。 ( u ( 严“) ，如“严+ 1 ) 妒) 一( u ( 护+ ) ，“护+ ) 妒) 2 厶“纠出+ 厶( e n ，渺) d t + 厶( ，( u ) n ，却) 出j i n jl njl 。 所以( 1 3 1 7 ) 式的右端又可以写为 一( u c t ”+ 1 ) ，i ( ”+ 1 ) 妒) + ( 叼( “+ 1 ) ，i ( ”+ 1 ) 砂) + ( u ( t ”+ ) ，厶，i ( ”+ ) 妒) 一( 叩( ”+ ) ， ( t ”+ ) 妒) + 妄k j j ( ”j ) ( t ( ”j ) ，砂) 一塞k j j 幻) ( 叩( ”j ) ，妒) + 塞k j ，t ( p j ) ( 让( ”j ) ，妒) ，2 u 2 uj 2 u + l ，i ( t ) ( ，( w ) ，妒) 班 而 厶讹，沪( 她沪( m ) ，啪拈。， o n + ) ，“护+ ) 纠- ( 似扩“) ， i o 1 ) 们= 一厶o ，吒“纠出一厶， ( v 咖) a t - 厶( ，) l 纠出，j l n jl n j l “ 所以( 1 3 1 7 ) 式的右端可整理为 ( 7 7 ( z ”+ 1 ) ，i ( t “+ 1 ) 妒) 一( 叩( t “+ ) ，粤n ，i 叶) 妒) + 乏k j 匕j ( “j ) ( u ( ”j ) ，妒) 0 g 一b n ，j e j ( ”j ) ( 叼( p j ) ，妒) + b n d g n ，( “ ) ( ( “j ) ，妒) 一止( u ，铭，i ( t ) 妒) 出 1 = o 。 j = o 一止厶，i ( u ，妒) 出一- _ ( ，( u ) ，i 妒) d t + l ，i ( ) ( ，( ) ，t p ) d t = ( 0 “j + a ”i + b n , i , 妒) + 止j ( ，( ) 一，( t ) ，妒) 以 其中 0 嘶_ e n ，i ( ”+ 1 ) 7 7 ( ”+ 1 ) 一b 。j 心j ( p j ) 叩( f ”j ) 一如，i ( t ”+ ) 叩( 俨+ ) j = o _ 2 互磊水嘶沁 幻卜厶锵如d t 内蒙古大学硕士学位论文 酽：= 6 。j 厶心j ) u ( 一，“，i ( t ) a u d t j = o 。1 “ 因此p 满足的方程为 m 巧( p ( 扩j ) ，妒) + 忍。叫i ( v o ( t 嘶) ，r e ) 一：，i ( ，( u ) 一，( w ) ，妒) 班 = ( e 。+ a + b ，妒) + ，i ( ，( ) 一，( u ) ，妒) 出 i = 1 ，q ( 1 3 2 1 ) 令驴j = 哼1 7 2 e ( t 鲥) u = 1 ，q ) ，则口= 妻弓7 2 厶，j 咖j + 露j 日n + 那么伊j 的误差方程可以写 为 赢巧( 百( ”j ) ，妒) + 忌。 i ( v 百( 俨，i ) ，v 砂) 一彳1 7 2 ， ( ，( u ) 一，( w ) ，妒) 出 j = o j n = f 1 2 一m i o ( 0 ”+ ，f ( “) 妒) + ( e n ，i + a n , i + b n ，妒) + ，e n ，i ( f ( w ) 一，( u ) ，妒) d t ( 1 3 2 2 ) 并且对任意的0 n n 一1 ，i = 1 ，q 有下面不等式成立( 证明参见【8 】) i e 嘶| | c 硝2 ( i l h r u t 2 ，1 ) m l i a q i i c 坩3 2 i l l u ( q + 2 ) 1 1 1 。 旧“，i l i 甜3 2 i i z x u ( q + 1 ) 川n 进一步，在方程( 1 3 1 7 ) 中，令咖= 0 ，则方程( 1 3 1 7 ) 左端可写为 矗( 巩，口) d ! ? f n ( v o ，v o ) d t 一厶( ，( u ) 一，( 形) ，护) 以 = 以。盟县e d + 矗i l v o l l 2 d t 一丘( ，( u ) 一，( w ) ，咿) d t = i i 曰( t ”+ 1 ) 1 1 2 一 1 1 0 ( t “+ ) 1 1 2 + f t gi l v o l l 2 d t 一止( ，( u ) 一，( w ) ，o ) d t 在( 1 3 2 1 ) 式中令妒= o ( t ”，i ) 并且i 从1 加到g ，右端部分的和与上式相等，即 1 1 0 ( t ”+ 1 ) 1 1 2 一1 - i i o ( t “+ ) 1 1 2 + li l v o l l 2 d t l ( ，( u ) 一，( w ) ，o ) d t 2 喜( e 嘶+ a 咏+ b 蛳，p ) ) + 量q 矗，i ( ，( ) 一，( u ) , o ( t n i ) ) d t 而 i l v o l l 2 0 所以有 1 1 e ( t ”+ 1 ) 1 1 2 一 1 1 e ( t 蚪) 1 1 2 止( ，( u ) 一，( ) 出+ 妻( e 嘶+ 4 嘶+ b 嘶州纷i ) ) + 量q 厶如“，( w ) 一，( 毗即嘶) ) 班 由于l 2 投影算子毋：岛妒，t ”+ 1 】_ b l 【护，t ”+ 1 与l a g r a n g e 插值算子譬z 一1 在高斯一勒让 德点t 州 t 哪 t 处的值相等，即搿= 聍实际上，对任意的u 局降n ，t n + 1 】和 半线性抛物型方程的时空有限元方法 任意的p 口一1 i t ”，t n + l 】，有 ，( 露z t ，) 批= ( 磁z u ) ( t “j ) 西( = w n , j t ，( t ”j ) 砂( “j ) = ：u d t ， 。1 n j = lj = 】 oj ” 因此，我们有 蚤l ，i ( ，( ) 一，( u ) ，口( 钞i ) ) 出= 见( ，( ) 一，( u ) ，耋如，i 口( 挣i ) ) 出 = 止( ，( 彤) 一，( u ) ，g n r n q 一1 0 ) d t = 矗( ，( w ) 一，( “) ，p r o ) a t 利用己2 投影的性质和函数满足l i p s c h i t z 条件以及引理3 ，有 i 正。( ，( w ) 一，( u ) ，p o ) d t l = i 止( ，( ) 一，( 让) ，o ) d t l o i l 。i i w u l l 2 】1 2 皈俐2 御2 c 七驴1 u q + 1 i i i 。+ 硝2 1 1 掣i i h 二u l lr 1 1 1 0 1 1 1 。 c 印+ 2 | i i u q + 1 三+ k l n a i i 二u i 仁_ i l + 2 1 1 1 0 1 1 1 ： 注意到川口川。= k i l 卅j 2 ) m ，口”，o = 0 ，有 j = o 壹( e n ，i + a n ，i + b n ，日( t n ，i ) ) ：妻( e n ，o ( t n ，i ) ) + 苎( a n ，e ( t n ，i ) ) + 壹( b n ，o ( t ) ) 苎娇1 2 l l e n ，i f i 础2 旧( 侈i ) 1 1 + 妻k 1 2 i | a n ，i l 陋y 2 旧( 钞i ) 1 1 + 妻k t , 1 2 i l b 嘶| i 彬2 旧( t 嘶) i i 苎( 靠1 i i o n ，i l l 2 + k 旧( 嘶) l f 2 ) + 壹( 坛1 i i a 嘶1 1 2 + k 1 l e ( t 叫) 1 1 2 ) + 壹( k 1 i i b j 1 2 + k 1 l o ( t n ，) 旧 c 止i i h ；, u t l l 2 t h + c 南挈+ 2 i t b , q + 2 i | i ：+ c 忌挈+ 2 i i i a u 口+ 1 i i + 壹k 1 1 0 ，i i l 2 = e l i i h , ：u t i 臣_ f l d t + c 七挈+ 2 i l l u q + 2 ：+ c 七挈+ 2 i i i a u q + 1 i l i i + i t l e l l l i 并且 厶( ，( ，) 一，( ) 出= 厶( ，( u ) 一，( w ) ，p 以厶c ( o o ) d t = c l l l 钏臣 由以上不等式知 1 1 e ( t ”+ 1 ) 1 1 2 一 1 1 e ( t “+ ) l i c i i l 0 1 1 1 三+ c 七+ 2 u 口+ 1 i i i 三+ c k n _ 8 xi t h 二u ， + 2 1 1 1 e l l l 三 + c l , nf i 。r l l ，2 _ l + c 忌挚+ 2 i l l u q + 2 ：+ c 七挚+ 2 i i i a u q + 1 三+ 1 1 1 0 1 1 1 2 , 整理得 i i o ( t ”+ 1 ) 1 1 2 i l a ( t “+ ) 1 1 2 + c l l l e l l l ：+ c 辟+ 2 ( 1 l l u q + 1 | | l 三+ i l l u q + 2 l l l 三+ i i i n u q + l l l l 三) + c _ | i n r | | ，2 ，_ l d t + c k n n a x r 2 ，_ l 令。= c 七挈+ 2 ( u 口+ 1 憾+ 1 1 1 , , q + 2 慨+ i i i a t a + 1 ：) + c 止i i 坛毗悒i d t + c k n i i 坛u 幢_ f l ，有 i i o ( t ”+ 1 ) 1 1 2 i l o c t n + ) 1 1 2 + 匹。+ c l l l o l l l 2 ( 1 3 2 3 ) 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 下面考虑归( 扩+ 1 ) 1 1 ，7 r ”= p ”是己2 投影，口“+ = u ”一w ”+ = p n o ( t ”) 一p d w ”】，j 【 “】= w ”一w ( t ”) = ( p 售一p 分1 ) ( u c t “) ) 是椭圆投影在t ”处的跳跃，并且 l i o ”+ i i ( 1 + 风) 归( 矿) 1 1 2 - i - m i i j w ”川2 ( 1 3 2 4 ) 其中 风= ：，磊三 将在下面的讨论中给出对任意的1 n n ，k 。充分小时有下式成立( 证明参见【8 1 ) i i i o i l i 2 c k , ， 1 1 0 ( t ”) 1 1 2 + k n 。+ i i g w ”】| 1 2 】 利用( 1 3 2 4 ) 和( 1 3 2 5 ) 知( 1 3 2 3 ) 可以化为： i i o ( t “+ 1 ) 1 1 2 ( 1 + 风+ c k , ，) l l o ( t ”) 1 1 2 + ( o k 。+ m ) l l l j w “川l ：- i - c e 。) 依此类推得 ( 1 3 2 5 ) ( 1 3 2 6 ) l i p ( t “+ 1 ) 1 1 2 i i ( 1 + 岛+ c a j ) l l o ( t o ) 1 1 2 + c ( h ( 1 + 岛+ c b ) ) j = o m = 0j = o ( ( c k 。+ m 。) l l j w ”川+ e 。) ( 1 3 2 7 ) 固定n ，选择= m = c ( n ) ，m = 1 ，n ，c ( n ) 表示观壤- 1 , 歹= 1 ，几时的时间层 数( 当c ( 几) = 0 ，1 时m = 2 ) ，那么有当躁醒- 1 时，岛= p = 由，并且 qq口q ( 1 + 岛+ c 幻) h ( 1 + 2 c k j )n( 1 + 2 p ) i i ( 1 + 2 c k j ) ( 1 + 2 p ) m e 2 1 3 e 2 3 = oj = o 卢c bj = o a _ ( 1 4 3 4 ) 引理4 对v n ，0 n n 一1 ，对于i = 1 ，q 成立j v 嗍l 洲2 ( 小肾1 u t 慨) 1 2 v a 嘶i l 威纩1 2 i i i v o , ( q + 1 ) 1 1 1 。 v b , + i i c 七纩m i l v a u ( q ) l l l 。 证明：利用l o b a t t o 求积公式，我们注意到对于i = 1 ，g 厶，i ( t ”+ 1 ) 一b n j g l n ，i ( ”j ) 一z 嘶( 叶) = g n , i ( t ”“) 一，i ( t ) d t 一，i ( t 时) = o 因此存在常数岛，和n 无关 舒t 妻谳叼州_ 1 ) ( n o ) 剐1 = 妾岛，删s 所以有v 。n ，i = e q ，t jj f 。n ，j , j 一1v 吼( s ) d s ， v m = v ( i 一曙) 撕，由椭圆投影的误差估计和h s l d e r 不等式得 i i v 0 n , i l l c ，- l i 乒1 毗c 础2 ( i i h ：- 1 1 l t i i ；, h ) j l 。j l 。 现在令l 翟表示在口+ 1 个l o b a t t o 节点t ”= p ，o 州= t ”+ 1 处的l a g r a n g e 插值算 子对于每个。n ，。l ln l , 。q a u 是一个关于t 的2 q 一1 次多项式， 内蒙古大学硕士学位论文 v b 。= ：6 。j ，i ( p 口) v u ( ) 一如，i 弋7 k u d t 一 ，r = 嘉( p 仉2 7 v 舭( 幻) 一厶粤n , i v k u d t = 厶( 一l n 加, q - 1 ) v 舭抛出彳= 0 。1 nj n 由逼近定理有， i i v b , i 忪c ( 厶以) 1 2 d t ) 1 1 2 ( l 2 孑卅v 酬 c ( k l e d 7 - ) 1 2 d 7 ) m c 螺v u ( q c 惫纩m i i i v z 土u ( q ) l l l 。 令n 。, q + 1 表示在【t n , t ”+ 1 】上的g + 2 个点处的插值算子其中g + 1 个是l o b a t t o 节 点p o ，p a ，另一个是不同于这些点的且属于【俨，t “+ 1 】的任意一点对于每一个z n ，一u n l , 。q + l t 是一个关于t 的2 q 一1 次多项式，利用l o b a t t o 求积公式得到 v a 鸭= b n 如( c a ) v u ( 幻) 一正心，i v u d t = k 磊i ( l ：矿1 v u ( ) 一r 吃，i v u d t j = o 。1 “ = 吃，i ( l 2 纩1 1 ) w d t 由