（概率论与数理统计专业论文）lévy过程及其相关过程的几个问题.pdf

ab s t r a c t t i me s p a p e r , w e ， in v e s t i g a t e t h e a i s l r l d u u 0 u u 1 w 。 t i m e o f l e 四p r o c e s s e v a i ur r 呼 e a a t c e i 一t a d 月 f o r t h e c o u r i e r - t r a n s i o r 扭 o r t h e o c c u p a t i o n r a n d o m t i me o f s i d e r t h e a s y m p t o t i c r a t e s o f o r n s t e i n - u h l e n b e c k p r o c e s s h o f s t a b l e s u b o r d i n a t e u t l a r g e t i m eu s ing g e n e r a l b o r e l - c a n t e l l i l e m m a . h a v i o r i s c h a r a c t e r i z e d . s e c o n d , o f t h e fi r s t e n t r a n c e t i me f o r o a n d t h e l i m s u p w e d e r i v e e x p l i c i t f o r m u l a r n s t e i n - u h l e j u m p s i n t o c e r t a i n fi e l d r m, w h e r e t h e me t h o d o f e c k p r o c e s s 15.15 nb饰m w i t h n o n - n e g a t o f l a p l a c e t r a n u s e d . t h e me a n a r t i n g a l e 1 . 引言 l e v y 过程是一类具有平稳独立增量的随机过程， 特别， 其还是时空齐次 马尔科夫过程和半鞍， 其中布朗运动、 普哇松过程和稳定过程是l e v y 过程 的典型代表，他们在理论上和应用上都有着非常重要的研究价值，是研究 随机过程的重要基础。 关于l e v y 过程有着很多好的性质和完美的结果， 并 且形成了一套完整的理论体系。 在本文的第二部分我们将讨论l e v y 过程的占位时关于随机时间的矩的 情况. 在这里我们设x=i x ( t ) ， t _ 0 为l e v y 过程， 且起初始为x o = 0 . 另设 v (r , *) 一 1,.tjn iix .二 “ 则v 沂， t ) 是 l e v y 过程x在时间区间0 , t 上的占位时. 为了 讨论我们的问 题，需要下面的假设条件，假设 s : 二 r (赢)d s 0 0 ， 即 l ev y 过 程 局 部 时 存在的充 要条件， 其中0 为x ( t ) 的 特征指数. 我们 注意 到到 关于l e v y 过程 的局部时的h i l b e r t 变换 ( 在这里我们设其为h ( o , t ) ) 在随机时间的一些矩 的 结 某。 在b ia n 和y o r 1 中 ， 他 们 通 过 游 程 理 论和b e s s e l 过 程的 性质 ， 得 到了布朗运动的局部时的h il b e r t 变换关于独立指数时间的分布的公式. 在 f i t z s im m o n s 和g e t o o r 2 ) 中， 利用矩的 方法和欧拉数的组合公式， 把这些公 式扩展到对称l e v y 过程的情形，得到了下面的结果 e e : a h ( o , t ) = s e c h ( a k ( q ) ) , e e i a h ( o , g ( t ) ) t a n h ( a k ( q ) ) a k ( q ) e e i ( a h ( 0 , g ( r ) ) + u ( h ( o , t ) - h ( o , g ( t ) ) ) ) t a n h ( a k ( q ) )、 一a s in h ( u k ( q ) ) 其中t ( q ) 是参数为9 的独立指数时间， g ( t ) 二s u p s 0 和a e r ， 找到一个复数c r 和有界连续函数尹: r- + r , 使得尹( x ,) e r l (0 , ) 一 “ + i x v (r , ) 是一个v. 然后运用f e y m a n - k a c 公式得到一个 关于c r 和9 r 的方程， 进而应用极限的性质找到一个复数。 和有界连续函数 9 ， 他们分别是c r 和9 r 当r 、0 时的极限， 从而知 道9 ( x .) e c l (0 , ) - q + ia v (r , ) 也 是 一个鞍， 并应用 停时 定理和当o r ( t ) 0 和一 0 0 _ 0 与x ， 同分布，因而 有y ( t ) 的 特征函 数与x 1 的 特征函 数相同， 且是一个非常具体的函数， 这是 我们能对其渐进展开. 特别的， 对y是稳定从属o - u 过程时，我们可以通 过对其拉普拉斯变换的逆变换进行渐进展开， 从而得到y ( t ) 的一个渐进密 度， 进而会得到一个相应的结果. 在这一部分的 最后， 我们会讨论一下没有负跳得的。 - u 过程的首入时问 题.我们知道当x为没有负跳得的l e v y 过程时，其特征函数为 e e , a x , t (t a u - m z + f ( e :u ， 一 一 u x l ( x q ) ar ( d x ) ) =已0 其中一 0 0 b 0 ,l e v y 测度二 ()满足 j ( 八 x 2 )_ (d x ) 0 0 ( 0 . 1 ) 相应地我们以。 代替i u 可得x t 的拉普拉斯变换 e e u x e = e t w ( u ) ， u 七。 ， 这里 ， (。 ) 一 “ 。 + 。 。 ， + j (。 一 一 。 x l x _ 0 的 特征函 数， 即 定理2 . 1对每一个4 0 和a r ， 有 e e - a o ( t ) + t a v ( o , (t ) ) =。 一 翁 其 中 、 (。 卜 u a(0 ) = -l r ( ) 0 , 川的卜预解是有限的， 即 x 一 ， ) v ( d y ) l 0 l 了了了r - 又易知， 对每个复值有界可测函数g , 9 v 是一复值r a d o n 测度， 那么我们定 义g v 的r -预解为: u r (9 v ) (x ) 一 i 。 (、 一 x )9 (y )v (d y ) 一 二 (i 。 一 9 (x t)d a i ) 另外，我们假设 s u p e . ( 1 e r o le - a t id t ) 0 和a e r ， 我们来引入一个函数， 对每个: r 9 ( x ) =凡e - q t o + ia v ( r t o ) 易知，9 r ( 0 ) = 1 且由j e a n - b e r t o in 3 系2 . 1 8 知 尹( x ) i e x e - q t o = u 9 ( - x ) u 4 ( 0 ) 特别有9 r 是可积的. 我们的目 标是要对函数9 气 即公式中的乃 和r a d o n 测度 v r ( d x ) =- c r d o ( d x ) + q d x 一 ar ( x ) d x 应用f e y m a n - k a c 公式， 其中c r 是某待定复数， 会在引 理2 .2 中 被确定， b o ( d x ) 是d ir a c p o i n t m a s s a t 0 , h ( x ) = i f ix i r ， 可以 证明( 0 .2 ) 式是成立的， 如下， 不妨设一 c r = a r 十 i b r ， 其中a r 和b r 为实数，则 u ( x 一 、 ) iv r ( d y ) i v , (x 一 。 ) 斌 ( a l b o (d y ) + g d y ) 2 + ( b r b o ( d y ) 一 a h l (y ) d y ) 2 u , ( x 一 y ) ( i a r + b r i) a o ( d y ) + q d y + a h ( y ) d y l 广/jr了ijri，jrs 一- 。 是一个p x 一鞍. 证明: 由 马尔科夫性及可加性知，时间变换过程( a r o v ( t ) , t 。 e e - a o (t) = e - c r t 这里为了 方便起见取。 - 0 0 = 较. 下证由上面结论可得， 。 . 由 此 可 得e r t- a r 对每个 x 任 r e z (9 r ( x t ) e - a tr ) = 9 r (二 ) ( 0 .4 ) t 。 是一个( p o ， t , (t) ) ( 0 . 5 ) 首先看当x=0 时，( 0 . 5 ) 是式成立的.由j e a n b e r t o in 3 4 .7 知o ( l ( 0 , t ) ) = t + t o 0 0 : 是t 义可的: 后首次回到0 的时刻， 那么由马尔科夫性、 可加性及9 r 的定 e ( 9 r (x t) e - a r ) =e ( e x , ( e - d t o + i a v (r , t o ) ) e - a r ) 一e ( e - a r - a rr o (e ,) ) = e e - a o ( l (o ) ) 又事件 l ( o , t ) s 与 o ( s ) 0 , 尹 使得富里埃变换满足下面不等式: i.f 9 r ( c ) l : k i4 +v ( 01 石任r 证明: 我们在f e y m a n - k a c 公式中取.f = 产，v = v r ， 有 u r ( ( 哈9 r ) v r ) =u 9 r 一 v r g r( 0 .6 ) 又注意到由(05 ) 式， vu, 的独立性， 可以得到对m n p ( a . n a n ) p ( a - ) p ( a n ) p ( ix d p ( ix 1 i _ 2 一 的 概 率 至 少 为p ( jx i i 0 ， 又 由 b lu m e n t a l z e r o - o n e l a w可知此概率为1 ， 从而有 l i m s u p 又当以。 一 f ( t ) 替换f ( t ) 时积分仍发散， 所以有 lim su p 黑一 0 0 这就证明了我们的结论。 由于稳定从属。 - u 过程与x ; 是同分布的， 于是可得其拉普拉斯变换为 e e - a y ( t )= e e - a x , = e - a a 这里a 为x ( t ) 的 指标. 既然它是一个非常具体的函 数， 普拉斯变换以及渐进展开法得到y ( t ) 的一个等价分布， 性的结果. 我们先通过直接计算求y ( t ) 的密度. 命题3 .3设x ( t ) 时指标为。 , ( 0 a 1 ) 的 稳定从属 x 叶0 + 时， 有 我们可以通过逆拉 进而得到一个渐进 l e v y 过程， 那么当 e l x ( 2 ( l - - ) ) e 一 。一 u -) p ( y ( t ) x ) =p ( x i x 其 中 。 ， 一 ( 2 7r ( 1 一 。 ) a a l (2 (， 一 ) 一 告 ， c2 = ( 1 一 。 ) a a / ( 一 ) 证明 么，有 我们设f ( x ) = p ( y ( t ) x ) = p ( x i 0 有 f ( x ) = 令* 。 一 ( $ ) 1 ax 且 取。 一 a 0 ， 则 f ( x ) 1 a + $ -f 1，一人“十ax, j 1 石户“八 67 zj 、 _l t ti o o =茫le m ( a ) d u g7 , z i 1 -云 。 。 其中 ( u ) = - a o u + 十 x a o u . 于是我们有 0 ( 1= -c 2 x 二0 书卫 百 =a l l 一 a a l - . x 一 1 - a 设二 =1 + i u ， 其中y 为实数，则当。 - 4 0 + 时，有 ， (。 ) 二 0 ( 1 ) 一 委 0 ( 1 )y 2 2 了 、 一。 我们用鞍点法渐进展开得，当x 、0 + 时 f ( x ) +自 奥 e o ( 1 ) i 。 一 2 ( 1 ) y d v 2 7 r % j 入 。- 1 1厂2 7 r 月 一二刃wl j .1 _飞 1， 2 二v o . ( 1 ) =a x - ( 1t 2 ci - a ) ) e - 。 二 一 1= a 其中 1 口2 ( 1 一 0 ) 又f ( x ) 二j f ( 3 ) d s ， 所以当x o0 + ( 2 二 ( 1 一a ) ) 时有 f (小a j 。 一 六 + 尚，。 一合 ， 我们令: 二。 一 众， 则有 f (x ) 、a 王 二 竺 c j: 一 。 一 d : 二 一 亡; 是 宁卜 一 “ ，一 e一 一六 cl x 盯 乃 习 e 一 。 二 一 六 命题得证. 1 有了上面命题。我么可以得出下面推论 推论3. 4 设x二 x ( d ， ， 七0时稳定从属过程，其指标为a: 0 a 0 探 _ j 盆 xl 一 。 二 一c z 这里。 : 即为命题中的。 2 证明: 由 命题3. 3 易知: in 尸 ( y (t)三 x)、 一 匆 x 一 合+ 1 。 c l 二 三 辞 荀 则两边同除以: 一 合， 并取极限的 ( x 叶。 + ) ， 溉 劣1 一。 =一 cz + 溉 i n c l x 扩荀 又由于极限 limx 0 + i n c i x -l 1 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _曰江 一 产 rl一 。 所以该推论成立.日 最后， 我们来讨论一下没有负跳的。一 u过程的首入时t . ( 均的分布。 我们首先来看一下y的 条件拉普拉斯变换. 下面引入一个。 一 代数，刀 = 7 ( y 0 。 三 ， ) ; 全 。 以 及函 数l ( u , t , s ) 0- e ( 。 一 “ y t i刀) ， 其中， 0 通 过简单的计算我们可以得到下面的结果。 命题 3 . 5对任意。 兰， 0 ， 有 l ( u , t , s ) =e x p ( - e - a ( t - e ) y . . u + f v ( 一 、 e - x ( 一 ) )d u 证明:对任意的 分割。 = t 0 t 1 z 一 tf e a 0 d x ， 我 们 有 t o =云 ， = m a x i n l“ 一 t i- i 以 及 e ( e - u z t l叮) e( e 一 、 f e a d x ii 0 , e e - u i刀 ) e a t i - ( x t i - x t i - t ) ri n l e w ( 一 “ a “ 一 ) (， 一 “ 一 ， ) lim叩lim邸 + f w ( 一 。 e ) d v -月口 名名名名 妞衫uu we-1 二 二e 从而有， l ( u , t , 。 ) “ , / e - u y i刀 ) =e x p ( 一 。 - a t y u ) e ( e x p ( 一 。 e - a t z t i刀) ) 亡 一 ex p (一 “ 一 ， ， “ 一 。 一 ， z ,u + j ， (一 。 。 一 ， “ 一 ，)d v ) 亡 一 ex p (一 。 一 ， 一 ， 砚 二 + i (p (一 。 。 一 “ t- v)d v ) 这就证明了命题。日 接下来将构造我们需要的鞍， 注意到由( 0 .1) 式知对每一个。 z 1 , t ( z , 1 ) 是有限的，因 而能 够在( 0 , 1 上定义测度 g ( d z ) =二 ( z , 1 ) d z 假设 g 门 的结论，还需 对某个常数k : 为了得到我们的结论，还要下面的结论. 0 0 我们设 一 贵 x 试- u ) ，_ _n - u, :g 7 v u (0l0)撒熟 me ( b ) 一 c ot j 二 一 。 一 ” 二 十 ， (二 )d x , 0 0 ， 过程a( 0 ) ,， 全。 关于。 一 g下( 0 . 1 0 ) 式中的积分是收敛的. 下面我将证明am是一个较. 命题3 .6在假设g下， 对任意 邓,， 0 是一个鞍. 证明:首先，我们来看在假设 上，我们有 9 ( x ) = b ， ， 一 a l 1 一 工 ) 一2 a l x一 1 ) 一 粤 9 i (x ) 一 。 2 (x ) n 其中， 9 t ( x )= 9 2 ( x )= xf 01 u d u , 一 p (u) duu .rr!十 这里， 二 ( d v ) ( e - u v 一1 ) , 二 ( d v ) ( e u v 一1 +二 ， ) u 0 8自/18iji -一- 、.了、少 uu 了月气廿于1、 1上q扣 甲沪 注意到一 00 l i m x o 9 ( x ) 00 ， 所以在? =0 处积分显然是收敛的. 现在 我们令 、，.，j.胜、t 苦限. d , = 由 ( 0 . 1 ) 0 , ( 、分 是可知。 -0 1 回 1 - d : 和0 t 0 ac i d u- e - u v一 1+ u v 这 就 意 味 ; ig l(x ) i :5 了 吧“ 。 ，- 1 v 0 且 有 不 等 式。 州 22 内 w 和 0 0 ， 从 而 对 任 意。 ( 0 , c r ( 1 一 、 ) ) 和。 - u 2 ( e 2 ) 有州 全 。 u k 9 2 ( x ) 。 二 + “ + 。 ; 二 u 2 俩 ) 和 积 分的 收 敛 性。 接下来， 我们看由 富比 尼定理以 及命题3 .5 ， 对0 s t ， 取: = 那么， 瞥 0 证明:在am 中，我们以t u ( y ) a t 取代t ， 应用鞍的停时定理得 e m t (二 ) a t ( o ) e m, f x 一 ex p (- x y + g (x ) )d x 0 甲才t、 又，我们注意到 0 : m t (二 ) 。 :(。 ) : f 以及当t - ( 均= 00时 0 n 气( 二 ) a t ( b ) = 二 8a 一 e x p ( 一 。 : + g ( x ) ) d x a (b ) : e - 叮二 e x p ( 一 。 x +g ( x ) ) d x 那么有 溉e m t (二 ) a t ( b ) e m t ( y ) 入 t ( y ) o o f x 一 e x p (一 。 : + g (x )d x t u (8 , y ) 这就得出了我们的结论.! 二贾才1 参考文献 1 p h .b i a n e a n d m .y o r ( 1 9 8 7 ) , v a l e u r s p r i n c i p a l e s a s s o c ie e s a u x t e m p s l o c a u x b r o w n i e n s , b u l l . s c i .ma t h . 1 1 1 , 2 3 - 1 0 1 2 p .j . f i t z s i m m o n s a n d r . k . g e t o o r ( 1 9 9 2 ) , o n t h e d i s t i b u t i o n o f t h e h i l b e r t t r a n s f o r m o f t h e l o c a l t i m e o f a s y m m e t r i c l e v y p r o c e s s . a n n . p r o b . v o 1 . 2 0 , 1 4 8 4 - 1 4 9 7 . j e a n b e r t o i n ( 1 9 9 6 ) , l e v y p r o c e s s , c a m b r i d g e u n i v e r s i t y p r e s s . j e a n b e r t o i n ( 1 9 9 5 ) , o n t h e h i l b e r t t r a n s f o r m o f t h e l o c a l t i m e o f ，.j妇eswe.j 八04 r.lr.iesl a l e v y p r o c e s s , b u l l .s c i .m a t h . 1 1 9 ( 2 ) , 1 4 7 - 1 5 6 . 5 l e o b r e i m a n ( 1 9 6 8 ) , p r o b a b il i t y , a d d i s o n - w e s l e y ,r e a d i n g m a s s . 6 c .d e l l a c h e r i e , b . m a i s o n n e u v e a n d p .a .m e y e r ( 1 9 9 2 ) , p r o b a b i l i t e s e t p o t e n t i a l , p a r i s h e r m a n n 7 f .s p i t z e r ( 1 9 6 4 )