（无线电物理专业论文）负折射率包层抛物型渐变光纤中轴对称模式的功率限制因子.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 本文对包层为负折射率介质而纤芯为渐变折射率介质的光纤中的轴对称模式 ( t e 模和t m 模) 的传输功率进行了研究。负折射率介质的材料特性用f 和刁( 依 次为芯层介质与包层介质的介电常数之比和芯层介质与包层介质的磁导率之比) 予以描述。导出了此种光纤中，t e 模和1 m 模的能流密度和传输功率的计算公式， 进而得到了各模式的功率限制因子( 即纤芯中一定模式的传输功率与该模式在光 纤中的总传输功率之比) 的计算公式。因为模式的传输功率与频率有关，绘制功一 频曲线必须利用色散曲线，故又介绍了用矢量场法导出此种光纤色散特性的分析 方法，绘出了此种光纤中t e 模和t m 模的色散曲线。在此基础上绘出了各模式的 功率限制因子随归一化频率的变化曲线。 由曲线可以看到，这些模式的功率限制因子曲线在低频段均出现不同程度的 凹陷，凹陷最低点( 即文中所称的“谷点) 的功率限制因子值随i r i ( 或i 孝i ) 的 增大而减小，随模式序号的增大而增大。对i r i ( 或i f i ) 较大的光纤，功率限制 因子在一个较大的低频区域内变化不大，其值接近于o ；而对i r ( 或吲) 较小 的光纤，功率限制因子在低频区域内有显著的起伏。在频率较高时，功率限制因 子对lr il ( 或i f i ) 则无明显的依赖性。因此，在传输信号频率较低的场合，从降 低光纤对接时的耦合损耗的角度考虑，宜选用ir li 较小的光纤。但在传输信号频 率较高时，l r i ( 或) 的取值关系不大。 关键词：负折射率；渐变光纤；轴对称模式；功率限制因子 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rr e s e a r c h e so nt h et r a n s m i s s i o np o w e ro fa x i a l l ys y m m e t r i cm o d e s ( r e m o d ea n dt mm o d e ) i na no p t i c a lf i b e r , w h i c hi sc o n s i s t so fn e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e x m a t e r i a l a s c l a d d i n g a n dg r a d u a lr e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a la sc o r e m a t e r i a l c h a r a c t e r i s t i c so f n e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a li sd e s c r i b e db y 专a n dq ，h e r e 考 r e p r e s e n t st h er a t i oo fp e r m i t t i v i t yo fc o r et ot h a to fc l a d d i n g ，a n dr r e p r e s e n t st h e r a t i oo fm a g n e t i cp e r m e a b i l i t yo fc o r et ot h a to fc l a d d i n g t h ec a l c u l a t i o nf o r m u l a so n e n e r g yf l u xd e n s i t ya n dt r a n s m i s s i o np o w e rf o rt ea n dt mm o d ei nt h i sk i n do fo p t i c a l f i b e ra r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y a n dt h e nt h ec a l c u l a t i o nf o r m u l a so fp o w e rc o n f i n e m e n t f a c t o r s ( t h er a t i oo ft r a n s m i s s i o np o w e ri nc o r et ot o t a lt r a n s m i s s i o np o w e rf o rac e r t a i n m o d e ) i so b t a i n e d a st r a n s m i s s i o np o w e ro fe a c hm o d ei sr e l a t e dt of r e q u e n c y , d i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h e s em o d e ss h o u l db eu s e di nd r a w i n gp o w e r - f r e q u e n c y c u r v e s ，t h i st h e s i sa l s oi n t r o d u c e st h ea n a l y s i sm e t h o do fu s i n gv e c t o r - f i e l d m e t h o dt o d e d u c et h i so p t i c a lf i b e r sd i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c ，a n dd r a w st h ed i s p e r s i o nc u r v e so f t ea n dt mm o d e o nt h i sb a s i s ，t h ev a r i o u sc u r v e so fp o w e rc o n f i n e m e n tf a c t o rt o n o r m a l i z e df r e q u e n c yf o rt h e s em o d e sa r eo b t a i n e d i tc a nb ef i n e dt h a te a c hc u r v eo fp o w e rc o n f m e m e n tf a c t o r so ft h e s em o d e sh a sa h o l l o wi nl o w e rf r e q u e n c yd o m a i n t h ev a l u eo fl o w e s tp o i n to ft h eh o l l o w ( c a l l e da s “v a l l e yp o i n t i nt h i sp a p e r ) d e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s i n go fir io ri 孝i ，a n di n c r e a s e s w i t ht h ei n c r e a s i n go fm o d e ss e q u e n c en u m b e ri nt h ef i b e r s f o rt h o s ef i b e rw h o s e i 孝ia n dr ia r er e l a t i v e l yl a r g e r , t h ev a l u eo fp o w e rc o n f i n e m e n tf a c t o ri sc l o s et oz e r o i nl o w e rf r e q u e n c yd o m a i n i nt h a tf i b e r sw h o s elf i a n dir ia r er e l a t i v e l ys m a l l e r , t h e c u r v e sh a v ec l e a ru n d u l a t i o n si nl o w e rf r e q u e n c yd o m a i n , b u ti nh i g hf r e q u e n c yd o m a i n ， t h ep o w e rc o n f i n e m e n tf a c t o r sa l m o s td 0n o tr e l yo n 孝o rr a sar e s u l t , i nt h e o c c a s i o n sw h e nt h ef r e q u e n c yo ft r a n s m i s s i o ns i g n a li s r e l a t i v e l yl o w e r , t h eo p t i c a l f i b e r 埘t hl o w e rlr io ri 孝is h o u l db eu s e dt or e d u c et h ec o u p l i n gl o s si nj o i n i n gt w o f i b e r s b u tf o r t h eh i g h e rf r e q u e n c yd o m a i n , t h ev a l u eo fi 善io r r ii sn o ti m p o r t a n t k e y w o r d s ：n e g a t i v er e f l e c t i o n ；g r a d e d i n d e xf i b e r ；a x i a l l ys y m m e t r i cm o d e ；p o w e r l i m i t i n gf a c t o r s 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 靼递年日期：坐矽 i， 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名： 红日 期： 山东大学硕士学位论文 1 1 光纤通信的发展 第一章引言 当今的信息时代是以两大技术的出现与发展为基础，同时也是以这两大技术 为支撑的。其一是包括超大规模集成电路( u l s i c ) 在内的计算机技术，它使信息 处理能力成百万倍的提高；其二是包括半导体和光电子器件在内的通信和网络技 术，它是信息传输能力成千上万倍的提高。 1 9 6 6 年，英籍华人高锟博士研究了光在石英玻璃纤维中的严重损耗问题，发 现这种玻璃纤维引起光损耗的主要原因是其中含有过量的铬、铜、铁与锰等金属 离子和其他杂质；其次是拉制光纤时工艺技术造成了芯，包层分界面不均匀及其 所引起的折射率不均匀。同年7 月，高锟和他的同事a g h e c k h o m 等人发表了 著名的论文介质纤维表面光频波导，首次谈到实用光纤的制造与在通信上的应 用，提出了光纤传输光信号的理论。他指出如能将光纤中过渡族金属离子减少到 最低限度，并改进制造工艺，提高材料的均匀性，就可以使光纤的质量大大提高 而成为实用的光传输介质，而且有可能使光纤的光损耗减少到每公里一分贝左右。 在高锟理论的指导下，1 9 7 0 年美国的康宁公司拉出了第一根损耗为2 0 d b k m 的光纤。同年贝尔实验室研制成功室温下可以连续工作的半导体激光器，其体积 小、重量轻、功耗低、效率高，是光纤通信的理想光源，从此光纤通信开始飞速 发展。 1 9 7 7 年美国在芝加哥进行了4 4 7 3 6 m b i t s 的现场试验，1 9 7 8 年，日本开始了 3 2 0 6 4 m b i t s 和9 7 7 2 8 m b i t s 的光通信试验；1 9 7 9 年，美国a t & t 和日本n t t 均 研制出了波长为1 3 5 1 1 的半导体激光器，日本也做出了超低耗的光纤，同时进 行了多模光纤1 3 1 m 的长波长传输系统的现场试验。到1 9 8 0 年，多模光纤通信 系统已经投入了商用，单模光纤通信系统也进入了现场试验。1 9 8 3 年，日本和美 国分别在国内建立了长途光缆干线，到1 9 8 5 年，已形成了长途光缆干线网。1 9 9 0 年后推出的以电时分复用为基础的单信道广播通信系统，将传输速率每五年提高9 山东大学硕士学位论文 倍；2 0 世纪9 0 年代中期，由于掺铒光纤放大器( e d f a ) 的实用化推动了波分复 用( w d m ) 技术的实用化，实现了t 比特s ( 每秒1 万亿比特) 两级的传输速率； 近年来光交叉连接( o x c ) 、光分插复用( o a d m ) 、光突发交换( o b s ) 、光分组 交换( o p s ) 、无源光网络( p o n ) 等技术应运而生，并得到迅速发展。全光通信 网是当前与未来发展的主要方向之一，与光信号处理及智能光交换相关的技术仍 然保持着蓬勃的发展态势，光电子集成、光纤传感器及传感系统等多种技术也都 得到了迅速发展，并在许多领域中得到了广泛的应用。 光波在光纤和光波导中传输，由于受到边界条件的束缚，其传输特性与通常 光学问题中在自由空间和无限介质中传输时大不相同。在研究方法和特性上与无 线电波或微波在电缆或波导管中的传输相似，但由于频率甚高( 光波波段) ，其特 性与无线电波和微波又不尽相同，很多方面又与光学特性相似。因此，已经形成 了光电子相互交叉的学科新方向导波光学。由于光导纤维的传输性能影响 着光纤通信的传输容量、传输速度、传输质量等主要因素，因此人们不断改进光 纤的制造工艺，在追求低损耗的前提下努力提高光纤的传输质量，从初期的玻璃 光纤到现在的塑料光纤，制作工艺不断提高，制作成本也迅速降低，这些因素大 大促进了光纤通信的发展。如今，光子晶体光纤已经进入了研究领域，相信在不 久的未来，此类光纤会在通信系统中发挥重要的作用。 1 2 渐变光纤的应用与研究 光纤按照组成材料折射率分布的不同分为阶跃( 突变) 折射率光纤、渐变折 射率光纤和其它类型( 如三角型、w 型) 光纤等。本文涉及到的是前两者，阶跃 折射率光纤指的是，纤芯和包层折射率都是均匀的，纤芯折射率高于包层折射率， 在两者边界处折射率突变；渐变折射率光纤指的是，纤芯折射率是随半径而逐渐 变化的，中心折射率最高，沿半径方向逐渐减小，而包层折射率是均匀的。 由于 此类光纤的芯径较大，通常在5 0 u m - - 6 0 u m ，因此在实际应用中便于连接处理，由 石英玻璃材料制作而成的渐变折射率光纤以其传输带宽较宽，模式间色散较小等 优点主要应用于中容量、中距离通信系统当中。目前，随着塑料光纤的研制及产 品的不断改进，渐变折射率光纤的应用已日益普遍，塑料光纤以更宽的传输频带， 4 山东大学硕士学位论文 更大的传输容量越来越适用于大容量、长距离的通信系统，渐变折射率单模和多 模光纤会逐渐应用于通信系统中的各个领域，此外，在影像传输、医学等研究与 应用领域渐变光纤发挥的作用也会越来越大。 对于渐变光纤的理论研究主要集中在波传输理论方面，包括对光纤中传导模 式的色散特性，群延迟特性，功率分布，偏振特性等的理论研究。迄今为止，科 学工作者对于渐变光纤的理论分析提出了多种研究方法，在场方程的分析求解方 面：文献 1 】建立了渐变折射率光纤的四阶齐次微分方程，并给出了近似解。文献 【2 】在文献【1 】的基础上，采用w k b 近似法推得了传输常数的近似表达式，文献 3 】 采用t e m 波近似法给出了场方程的近似解。文献 4 】在直角坐标系下将光纤内的场 方程用h e r m i t e g a u s s 函数展开，并给出了近似解，文献【5 】则是用l a g u e r r e g a u s s 函数将场方程展开求得了近似解，文献【6 】采用变分法求解场方程得到了近似。在 渐变光纤传输特性的分析当中，文献【8 】和文献【9 】对渐变光纤的传输和截止特性进 行了研究，文献 1 0 1 对以单轴晶体为材料的双包层w 型光纤的传输特性进行了研 究，文献 1 1 n 在文献 1 0 1 的基础上对该类光纤的偏振特性进一步进行了讨论，文 献【1 2 】采用场分解法讨论了均匀包层渐变光纤的传输特性等。 1 3 负折射率介质材料 负折射率介质，是指介电常数( ) 和磁导率( 1 a ) 都小于零( 为负值) 的 介质材料。当电磁波在这种介质材料中传播时电场、磁场和波矢量满足左手法则， 故负折射率介质材料又被称为左手材料( l h m ) 。早在1 9 6 8 年，v q v e s e l a g o 就 从理论上研究了l h m 中的反常电磁现象 7 1 ，如负反射，反常多普勒效应，反常切 伦柯夫辐射等。自然界中难以找到负折射率介质材料，直到2 0 0 0 年，s m i t h 等人 在实验室首次制造出了微波段的负折射率介质【1 8 l 。l h m 的反常电磁特性展现了它 在光与电磁波领域潜在的重要应用价值：高分辨率透镜成像【1 5 】【2 0 1 ，新型共振腔【1 6 1 ， 以及反常光子隧道【1 7 】等。关于负折射率介质材料在制作光纤方面的应用，目前也 成为研究的热点之一。比如共轴的基于波导l h t l 结构( c w - l h t l ) 即负折射率传 输光纤的应用幽1 ，装载了铁酸盐的矩形周期性波导的负折射率传播特性【2 l 】，充满 绝缘皱褶的矩形波导负折射率光谱分析1 2 2 】等。文献 2 3 1 研究了以各向同性非均匀材 山东大学硕士学位论文 料为纤芯、负折射率均匀介质为包层的光纤中，各传导模式截止频率曲线和色散 曲线，发现此种结构的光纤可以降低色散。 本论文在文献【2 3 】的基础上做了进一步的分析工作，导出了t e 模和t m 模负折 射率渐变光纤在传播方向上能流密度和传输功率的计算公式，并进行了数值计算， 同时给出了功率限制因子随归一化频率的变化曲线，分析了该波导光纤的功率传 输特性。 6 山东大学硕士学位论文 第二章负折射率介质材料 本章介绍了负折射率介质材料的概念，近几年来负折射率介质材料的研究与 进展，包括我国在负折射率介质材料方面的研究与进展，以及负折射率介质材料 的应用前景与展望。 2 1 负折射率介质材料概述 近年来，以负折射介质为代表的新型人工电磁介质引起了人们越来越广泛的 关注。负折射介质指的是介电常数和磁导率同时为负的介质，这个概念最初是由 前苏联物理学家v g v e s e l a g o 早在1 9 6 8 年从理论上提出来的。他指出，当介质 的折射率小于零时，光在常规材料( 正折射率介质) 和负折射介质的界面表现出 来的特性与在两种常规介质之间的界面所表现出来的特性完全不同，即发生负折 射( 折射光线与入射光线在界面法线的同侧) 。负折射介质改变了光波传播的传 统图像。在负折射介质中，光波传播的方向( 即波矢方向) ，正好与能量传播的 方向相反。当电磁波在这种介质材料中传播时电场、磁场和波矢量满足左手法则， 所以负折射率介质材料又被称为左手材料( l h m ) 。v e s e l a g o 从理论上研究了l h m 中的反常电磁现象，如负反射、反常多普勒效应、反常切伦柯夫辐射等。自然界 中难以找到负折射率介质材料，直到2 0 0 0 年，s m i t h 等人在实验室首次制造出了 微波段的负折射率介质。l h m 的反常电磁特性展现了它在光与电磁波领域潜在的 重要应用价值，例如高分辨率透镜成像，以及反常光子隧道等。 我们都知道多普勒效应：光源远离我们时，我们看到的光的波长会增长，频率 会变短，产生红移现象；光源靠近我们，则波长变短，产生蓝移。可是在负折射 率介质材料中，光源靠近我们却会产生红移，远离我们却是蓝移。 2 2 负折射率介质材料研究与进展 负折射是光与物质相互作用表现出来的一种非线性现象，相应的负折射材料 己成为物理学、材料科学、电子科学等交叉学科领域的研究热点负折射率材料由 7 山东大学硕士学位论文 于其独特的性质引起了人们极大的兴趣 负折射率材料是一种重要的新型人工材料，科学家们已经在实验室中制出负 折射率材料。目前实现负折射材料的主要有三种方法：双负介质实现负折射、左手 介质实现负折射和光子晶体实现负折射1 2 4 各种方法在实现光频段低损耗负折射材 料中具有可行性，其中纳米技术发挥了重大作用。周期性人工微结构材料光子 晶体，典型的有由金属导线阵列和有缺口的环形共振器组成的周期阵列和由电介 质材料周期排列成的光子晶体，前者只能工作在微波波段，而后者的工作波段可 延伸到可见光和红外区域。总的来说，在这些周期性结构中，晶格点阵的b r a g g 散射起着重要的作用。负折射效应可以说是非均匀媒质对电磁波的复杂集体响应 行为的等效表观现象。 据n e w s c i e n t i s t t e c h t o m 网站报道，德国的一个研究小组赢得了构造一种对 可见光具有负折射率的奇异材料的竞争。这项验证可能为研制能够了解比可见光 波长更多细节的新一代光学设备如超级透镜开启了一扇门。它可能还会为人眼所 不能见的“隐身斗篷”的研究带来进一步的突破。最近，科学家们已经知道怎样 在人眼看不到的微波和红外波段制造负折射率材料了。m u r i 的科学家们计划进一 步利用纳米液晶系统的自组装和光学性质研制可见光和近红外波段的特异材料。 在同向介质中，电磁波的群速度一般是能量传播的方向，并且电磁波的相速度 和群速度在大部分情况下都满足瑞利关系，负折射率介质中电磁波的群速度为负。 例如v a l a n j u 等人通过一些理论计算认为所谓的“负折射率材料只是相速的折 射率山可以是负的，而携带物理信号的群速度的折射率n _ g 永远是正的，由此引 发了许多争议。此外，由p e n d r y 提出负折射率介质能放大倏逝波，甚至能用于构造 完美的透镜，这观点也引起了人们强烈的兴趣和争论。电磁波从右手介质入射到 左手介质中发生的负折射现象不违背物理因果律：倏逝波在不同结构参数下具有 不同的的放大或衰减规律；根据折射方向与平均能流方向一致的理论，光从右手介 质入射到左手介质中发生负折射，其折射方向是透射光束中各个频率矢量合成的 平均方向；并在d r u d e 介质中验证了折射角与s n e l l 折射定律一致。 中国科学院物理所张道中研究员领导的光子晶体研究小组与北京师范大学物 理系的张向东教授合作，在负折射介质的理论和实验研究方面取得突破【2 5 1 。研究 人员发现，十二重对称的电介质准晶光子结构也会出现负折射效应，而且在某些 8 山东大学硕士学位论文 性能上优越于光子晶体负折射介质。研究人员首先运用精确的多重散射方法计算 了具有十二重对称性的准周期排列的三氧化二铝陶瓷圆棒构成的光子结构的透射 谱，发现了光子带隙的存在。这和周期排列的光子晶体结构十分类似。进一步的 计算发现，当频率处于带隙上头的光束通过一个直角棱镜的斜边时，发生了明显 的负折射现象。从入射角和折射角的数值，以及折射公式，可以推断出准晶光子 结构的有效折射率的数值来。研究人员随后开展了微波波段的实验测量，证实了 理论预言。在某些频率窗口，准晶光子结构的折射率可为理想值一1 ，而且空间色 散小，接近各向同性材料。这和十二重对称的准晶光子结构的高空间对称性是相 符合的。 负折射介质的一个重要应用是透镜成像。理论和实验均表明，所制备的准晶 光子平板结构确实能够对从点光源发出的电磁波起会聚和成像作用。而且，所成 的像可在近场区域之外，像距随物距的增大而线性增大，这些特征和一个理想的 折射率为一1 的介质平板的折射和成像行为十分吻合，充分表明了所制各的准晶光 子结构具有优良的负折射性质。由于所用的电介质材料无吸收，可以预计，所研 究的结构可以直截了当地推广到更加感兴趣的可见光和红外波段区域。目前，研 究人员正在深入探索这些准晶光子结构出现负折射效应的深层次的物理根源。 口 研究人员还围绕着正一负折射率界面处的光波传播特性、负折射率介质平板 透镜系统的成像与像差特性、负折射率介质曲面透镜系统的成像与像差特性以及 二维l c 微带传输线平板透镜亚波长成像及其实验验证等方面展开了研究。 2 3 负折射率介质材料应用前景 肯特州立大学液晶研究所的化学物理学教授p e t e rp a l f f y m u h o r a y 说：“负折射 率材料的光学性质非常奇特，它有着很多新奇的应用价值。 特异材料可以用于光 学，改进光学系统的监督和交流能力。其它的应用方向包括平面无孔成像设备、 无波长分辨率的理想透镜、操作生物细胞的不破坏光学镊子、新型天线、新的束 流操作设备、传感器保护方案、新型带隙材料和高密度光学存储器等。 利用负折射率材料，可以制作完美透镜。这一设想是英国科学家于2 0 0 1 年提 出的。负折射率材料不是自然界中存在的特异材料，它对光线的折射与一般的正 9 山东大学硕士学位论文 折射率材料相反。为了进行不失真的成像，眼镜片必须做成球面形状。而负折射 率材料由于对光线的偏折方向相反，所以可以做成平面镜片，而且不失真并且保 持超高的分辨率。 近几年来，负折射率材料由于其独特新颖的物理性质和诱人的应用前景而获 得了国际学术界的广泛关注，并已成为当前国际电磁学界和光电子学界非常前沿 和热门的研究领域之一。当光波从传统的正折射率介质入射到负折射介质的界面 时将发生折射光线与入射光线位于界面法线的同侧的负折射现象。这意味着负折 射介质的出现将改变光波在两不同介质界面处的传统折射规律和常规透镜的基本 成像特性。利用这类特殊介质材料，我们可以设计出相比于传统透镜来说具有特 殊的成像性能或更小像差的负折射率透镜及其成像系统。由于电磁波在负折射率 介质中传播时其能流方向与相速度方向相反，利用这种介质构造的平行平板透镜 能够放大倏逝波，从而可以突破衍射极限对近物进行亚波长成像，极大地提高了 透镜的成像分辨率。 浙江大学光与电磁波研究中心何金龙等人对负折射率材料在光纤中的应用研 究取得了一些进展乜朗。他们对芯层为负折射率介质，敷层为普通介质的光纤的导 模进行了研究，并对芯层与敷层介电常数比值( f ) 和磁导率比值( ，7 ) 的变化对导模 色散特征的影响进行了分析分析表明负折射率光纤具有许多不同于常规光纤的 反常特征，如存在表面波模，存在t m 。模和t e 。模以及存在多个单模传输模式和 单模传输区间等同时对负折射率介质光纤的单模传输条件进行了分析，发现单 模传输模式和传输区间随f 和7 7 的不同而改变。只要以h i m 做包层与l i - i m 做芯层的两 类光纤的孝、刁值相同，它们的传输特性完全相同。由于l h m 圆光纤的单模传输情 形只存在于非弱导导波的条件下，而且具有振荡模在模式截止点附近区域存在有 两个传播常数的同一模式等不利特性，难以类似于普通光纤一样能在传统光通信 邻域中广泛应用；但l 删光纤具有的独特导模特性如可以传播表面波模，导模相对 值变化比较敏感等，使它可以应用于灵敏的传感器件等其它光学器件。 l o 山东大学硕士学位论文 第三章光纤基本理论 本章从电磁场的基本理论出发，介绍求电磁波在弱渐变折射率介质中通解的 矢量场法。 3 1 麦克斯韦方程组 光是电磁波，它具有电磁波的同性。与无线电波相比，只不过光波的频率要 高的多。因此，光波的一些基本性质都可以从麦克斯韦方程组推导出来。 在不存在传导电流和自由电荷的无源空间中，麦克斯韦方程组为： v m 一詈0 - 1 a ) v 詹= 丰百a d ( 3 - 1 b ) v 西= 0 ( 3 1 c ) v 云= 0 ( 3 1 d ) 式中雷为电场强度矢量，詹为磁场强度矢量，西为电位移( 或称电通量密度) 矢 量，云为磁感应强度( 或称磁通量密度) 矢量。 对于各向同性介质材料，应满足的物质关联方程为： d ( 厂) = se ( ，) ( 3 2 a ) b ( ，) 2 h ( ，) ( 3 2 b ) 式中占= 占，g 。为媒质的介电系数，其中s ，是相对介电系数，毛是真空中的介电系数； = 以z 。为媒质的磁导率，其中所是相对磁导率，。是真空中的磁导率。对于大 多数媒质( 包括光波导材料) ，其值实际等于1 ，即= 1 。 如果电磁场作简谐振荡，无源媒质中的麦克斯韦方程组为： v e = 一掣。日 ( 3 3 a ) 山东大学硕士学位论文 v x h = 专1 e v - d = 0 v b = 0 ( 3 - 3 b ) ( 3 - 3 c ) ( 3 3 d ) 式中雷，雷，西，云均为复矢量，既有幅度，又有相位、方向。 对于电磁波的传播问题一般须将麦克斯韦方程组联立，化为波动方程，并且 利用边界条件才能解出电磁场的特定解。 3 2 亥姆霍兹方程 在麦克斯韦方程组应用中，常需要只含一个场量雹或豆的方程，这就要设法 将另一个场量消去，对( 3 3 a ) 式两边取旋度【2 7 1 ，可得： v x ( v e ) = 一j c o v x oxh )( 3 _ 4 ) 为了将上面矢量式展开，需要用到下面的矢量恒等式： v x ( v x 4 ) = v ( v 彳) 一v 2 4( 3 - 5 a ) v x ( 伊4 ) = c p v x a + v 矽a( 3 5 b ) v ( 妒么) = 缈v a + a v 伊( 3 5 c ) 式( 3 5 ) 中缈是任意标量，j 是任意矢量。 利用上面的恒等式可将( 3 4 ) 式写成： v ( v 雷) 一v 2 雷= 一y c o ( , o vx 詹+ 耻o 豆) = c 0 2 o 占雷 ( 3 6 ) 由式( 3 3 c ) 式可得： v 雷：一雷里( 3 - 7 ) 占 将( 3 7 ) 式带入( 3 - 6 ) 式可得： v 2 雷+ 彩2 风s 雷+ v ( 雷里) ：0 ( 3 - 8 a ) 5 同样可以得到只含豆的矢量微分方程： v 2 豆+ 缈2 。s 豆+ v c x ( v x h ) ：0 ( 3 - 8 b ) s 以上两式是比较复杂的方程，在占变化很缓慢的空间，可近似认为v 6 = 0 ，则上面 1 2 山东大学硕士学位论文 两式可简化为： 一一 飞1e + 6 0 1 罅a e = 0 ( 3 9 a ) v 2 膏+ 国2 z o s 詹= 0 ( 3 9 b ) 这就是无源非均匀各向同性媒质中的亥姆霍兹方程。它与均匀媒质中的亥姆霍兹 方程有相同的形式，但要注意在非均匀媒质中占是空间的函数，是随地点而变的。 考虑到国2 。g = k 2 = 瑶行2 ，则( 3 9 ) 式可化为： 一 一 v 2 e + 联力2e = 0( 3 1 0 幻 v 2 f l + k 2 0 n 2 詹= 0( 3 1 0 b ) 在直角坐标系中，e 一，h 一的z ，y ，z 分量均满足下列标量波动方程： v 2 y + k 2 0 n 2 缈= 0( 3 1 1 ) 式中杪代表雷和膏的各分量。但在圆柱坐标系中，只有e ，和h ，分量才满足 ( 3 - 1 1 ) 式，横向电磁场分量并不满足。( 3 一1 1 ) 式称为标量的亥姆霍兹方程。 3 3 横向纵向分量关系式 在求解波导问题时，一般先从亥姆霍兹方程求解出两个场分量，即求出e 。和 日：分量，然后再从这两个场分量求出其他场分量，再通过电磁场的边界条件确 定有关的常数。下面从麦克斯韦方程组导出只用e ，和日分量表示的其他场分量的 表达式【2 9 】【3 0 1 。 根据麦克斯韦方程组知道 所以有 v x h ：o d ：占o e ：一，缈s e( 3 1 2 ) 氆茂 v 屉+ 警叫警叫掣耳 ( 3 1 3 ) 秀：上v 再：上! sr e rr e 口e z 萼ml 孳_) p o r h rr h 。h ： ( 3 1 4 ) 山东大学硕士学位论文 展开后有 一 ， 一 日= 。，一v e = 硅 r e 口e z 1 m 1b r e pe ： e r i 一去e h ：- 8 h 3 毛口gr7 将( 3 1 7 ) 代入( 3 1 8 ) ，有 同理有 = 一上( 珥+ ，孕) dr ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 耳= 而1 一( c o c ，m 疋+ 朋彳3 h ) ( 3 1 9 ) h 。 同样的方法，可以得到 e r ( 一丝t + 胁竽) ( 3 2 0 ) ro r = 而1 可( 一半皿郴争 ( 3 2 1 ) 易= 研l ( 一竽t 一御警) ( 3 2 2 综合以上则有横向分量与纵向分量的关系： 1 = ：= 一 缈2 肛一2嶂一p c o e i m - - - - - - - - 一 ， 肌国l ， b 一，刀二 ， 阻 il ( 3 2 3 ) l - h ：j 利用这些方程式，只要从亥姆霍兹方程求出e ，和日，其他的场分量就可以立 即得到，并不需要逐个求解。 1 4 一勺a 一勿b l 一， 、瓦 堡计 d ) 叫j动呻 雕 h 吖l 尸 t 1 3厶即 易 耳 a 一加 疗 j a 一升 力 ， 一 半 a 一办 汐 a 一加 g缈 r 矽 ， 矿 e e 日 日 山东大学硕士学位论文 根据解出的场分量疋和日：的不同情况，导行波可以分成各种不同的模式，见 表3 1 。 表3 - 1 模式的类型 名称纵向分量横向分量 t e m ( 横电磁波) e ：= 0 ，h ：= 0e t ，h f t e ( 横电波) e z = o ，hz 季0e t h t t m ( 横磁波) e ：o ，h ：= 0e 7 ，h 7 h e 或e h ( 混合波型) e ：o ，h ：0e t ，h r 3 4 弱渐变条件下纤芯中的场 不邵分将以谷i 可i 司任非均匀材科具们射举分硒满足抛物型弱渐父条仟阳光升 芯作为研究对象，采用矢量场分析法，导出纤芯内的场方程的通解。 以光纤轴线为z 轴取圆柱坐标系。设纤芯半径为a 。 m ，= ：三。二譬 ( ，= 竺三三：三三； 假定芯内从是常数，而介电常数仔) 呈抛物型分布，即折射率分布为 m ，= 辱强i 昭2 呲，慨2 4 ， 如图所示。包层的折射率记为，2 2 ，n o 、啊、7 1 2 都为常数，考虑到芯层与包层的介 质材料性质不同，在芯一包交接面上折射率一般不等，此时仅考虑伤 的情况， 则折射率分布如图所示。 山东大学硕士学位论文 在纤芯内部，电场强度e 和磁场强度日。分别满足波动方程： i v z + 七2 n 2 ( ，) 】即v 【孚喝】- o ( 3 2 5 ) i v 2 + 七2 n 2 ( ，) 】日。+ v 粤日l 】= o ( 3 2 6 ) 其中k = e o c 为真空的波数，缈为光波的角频率，c = l 。岛为真空中的光速。 在弱渐变条件g ( ，) 或n ( r ) 随，的变化很弱，v 占i ，以至于方程组( 3 2 5 ) ， ( 3 2 6 ) 中的v g 占项可以忽略，则方程组可以简化为 p ；+ 七2 疗2 c ，一2 】( 三芝 = 。 ( 。， 口，c 3 2 7 ， 其中= k n ，r l 为导波沿轴向的等效折射率。因为h 。：与巨：满足同样的方程，故 可设q ：= j , o e , ：r o ，这里p 为与时空坐标无关的无量纲常数，吼= 风为真 空中的波阻抗。 对于沿z 轴正方向传播的光波【3 l l 【3 2 】，设 巨：( ，伊，z ，r ) = 磊( ，- ) p j ( f l z + ”旷耐 ( 3 2 8 ) 代入式( 3 2 7 ) ，可知f 6 l ( ，) 满足 擎弓兽小2 砍沪产知= 。 2 9 ， 则方程( 3 。2 9 ) 在r = 0 有限的解为： 磊( ，) = v 3 h 广彪e f 坨f ( ；所+ l ；f ) ( 3 3 0 ) 其中f ( ；m + 1 ；f ) 为合流超几何函数： 1 6 山东大学硕士学位论文 盹；脚扎沪季糕 ( 3 3 1 ) f = ，2 ， ，。= 面厢 ( 3 3 2 ) 口 = 掣一粤，n o ：丽4 f 0 _ n z ( 3 3 3 ) = 丁一蒜 钏3 记号( x ) t 代表连乘积x o + 1 ) + 2 ) o + k - 1 ) ，历= w a c 为无量纲常数。取 巨：= 巨。矽( ，) 妒( 口) ，臣。为常数，为简洁，这里省略因子e 7 声抖朋旷州( 这里 m = 0 ，l ，2 ，；下同) ，则 耻巨r - 皂 0 ( r a ) ( 4 1 ) c ，= ：三三：三三： c 4 2 ， 【伤 叫 4 1 负折射率包层中的场 抛物型弱渐变折射率光纤芯内的场在第三章中已讨论过。本部分主要讨论负 折射率包层中的场。记包层的折射率为n 2 ，见图4 1 。n o 、强、n 2 都为常数。考 虑到芯层与包层的介质材料性质不同，在纤芯一包层交界面上折射率一般不等， 此时仅考虑 口) ( 4 4 ) 1 9 山东大学硕士学位论文 式中岛。为常数，矿= 口圻尹= i 瓦虿，k 。为册阶变形的第二类b e s s e l 函数。 因为t - 1 2 ：与易：满足同样的方程，故可设必：= j p 也，这里p 为与时空坐 标无关的无量纲常数，r l 。= 厮为真空中的波阻抗。 耻，铷错忙口， 5 ， 根据横向分量与纵向分量的关系 e r e 矿 h r h o 1 = 一 国2 肛一2 一竺! 塑 a j 0 9 1 1 ： d ， j8 专 一所旦 口j 以得到光升包层冈备顸l 司分重卿卜： 易，= ：a 2 c o ：。胛靴) 一孚耻) 】 易伊= 一万a z c o 一等驰) + p 珊) 】 马，= 一可e o a 2 ( 0 【唧蹦卅毕吲，) 】 叫等【一孚纵卅以惆z ( r ) 】 利用公式 兰k 。( 工) = 一罟k 肿( x ) 一k 肼_ l ( x ) 出”7x ”7 ”7 可得 e 如) 一南呼k ( 孚) + 鲁匕1 ( 等，) 】 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 蟾半粤噼 山东大学硕士学位论文 鲁皇皇曼毫皇毫! ! 詈! ! 曼毫皇曼! 曼皇皇皇寡皇曼皇! 皇! 曼曼皇皇詈鼍o m m m 曼 4 2 特征方程 由光纤的边界条件知道，在- 舀包交界面上，电场和磁场的切向分量均连续。 即在，= a 处，有以下关系 巨矿= 最矿 ( 4 1 3 ) q 矿= 皿伊 ( 4 1 4 ) 置：= 易： ( 4 1 5 ) 马：= 哎： ( 4 1 6 ) 在分界面，( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 已被满足。其他应满足的边界条件是( 4 1 3 ) 和 ( 4 1 4 ) 。 由( 4 1 3 ) 可以 。，1 0 ： 古( 一鸩+ 蚋厩) = 一嘉( 一r n e o + 鸪：) ( 4 1 7 ) 整理后可以得到： m 昂l 芎+ 嘉) = 一印( 争既+ 谚。u 2 ：e ； 0 c 4 8 ， 方程右边提出鸬后，有 觚( 古+ 嘉) = 一俐：( 争既+ _ 1e 。 ：) 他 由( 4 1 4 ) 可以得到： 矿1 ( 一m p e o + 既) = 一古( 一砌p 磊+ 嗨最：) ( 4 2 0 ) 整理后可以得到： 所p 磊( 古+ 嘉 - 缈( 争既+ 参g ：) c 4 埘) 方程右边提出乞后，有 脚晶( 专+ 爿啦( 吉既帑1e 。 0 2 2 ， 将式( 4 1 9 ) 和( 4 2 2 ) 左右相乘，整理后可以得到： 2 l 山东大掌硕士学位论文 铲= 国2 鸬岛( 号等+ 嘉惫 ( 吉等+ 嘉冬 c 们3 ， 这就是该光纤中导波的特征方程。其中上标“ 表示对，求导，然后令，= 口，下 同。等2 既，惫2 9 ：。式中，f 和刁分别为光纤芯层与包层的介电常数比值和磁 导率比值： r = 4 z 2 ( 4 2 4 ) 孝= o e i s 2( 4 2 5 ) 对负折射率包层，有占2 0 ，z ： 0 ，故，7 和孝皆为负数蚓。其他各字符含义如下： y 2 = 历2b ? 一甩；) ( 4 2 6 ) u = 口石而 ( 4 2 7 ) 玎；= l 毛 ( 4 2 8 ) 刀；= 2 9 2 ( 4 2 9 ) 肘( ，) p 0 1 m ) ，4 r 埘e - v 2 7 2 f ( 口朋；肌+ 1 ；v 。，2 ) ( 4 3 0 ) 耻鱼a 卜鬻w 3 ， ik iii 驴鲁h 降错一 3 2 ， y 2 = u 2 + 形2 = 面2 ( 砰一砖) 这里的v 即为归一化频率。观察式( 4 2 3 ) 可知， 包层为负折射率介质时，特征方程与常规材料光纤的特征方程形式相同，只是巧和 孝值的正、负不同。当，7 和孝取正值时，光纤就成为常规材料的均匀介质包层，渐 变折射率芯层光纤。 对轴对称模式，聊= o ，式( 4 2 3 ) 给出以下两个特征方程： 鲁u 筹+ 去w 鲁k = 。 ( 4 。s ) 2 九 2 o