（计算数学专业论文）acbd在backlund变换中的应用及偏微分方程解的完备性.pdf

摘要 本文根据数学机械化的思想，在导师张鸿庆教授“a c = b d ”模式的指导 下，以源于物理、力学等领域中的非线性问题所对应的非线性偏微分代数方程 ( 组) 为研究对象，研究了它们的一些问题，如精确解、b a c k l u n d 变换以及 解的完备性等 第一章介绍了数学机械化的思想、应用、历史与发展情况以及非线性演化 方程解的构造性方法，同时介绍了一些关于该学科领域的国内外学者所取得 的成果 第二章以“a c = b d ”模式为指导，考虑了非线性偏微分方程( 组) 的精 确解的构造给出了“a c = b d ”模式的基本概念及理论初步，c 、d 算子 的构造方法以及c - d 可积系统理论，介绍了r e i d 将线性偏微分方程化为标准 型的方法 一 第三章运用数学机械化的思想，将“a c = b d ”模式应用到b a c l 【l u n d 变 换中给出了显式c d 对、隐式c d 对及b a c k l u n d 变换的基本概念，并分别 给出了求自，b a c l c l u n d 变换的算法及例子 第四章介绍了吴微分特征列及伪带余除法的理论，讨论了线性偏微分代 数方程组的解( 局部) 的完备性问题 关键词：数学机械化；吴方法；特征集；c d 对；偏微分方程；精确解 b a c k l u n d 变换；解的完备性 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b ya p p l y i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ， u n d e rt h ei n s t r u c t i o no ft h ea c = b dm o d e lo fp r o f e s s o rz h a n g h o n g q i n g ，t h en o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o no re q u a t i o n s ( p d a eo rp d a e s ) r e l a t e d t os o m en o n l i n e a rt o p i c sw h i c ho r i g i nf r o mp h y s i c s ，m e c h a n i c se ta la x es t u d i e d ，i n - c l u d i n g e x a c ts o l u t i o n s ，b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，t h ec o m p a t i b i l i t yo ft h es o l u t i o n s a n ds oo n c h a p t e r1i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h ei d e a ，a p p l i c a t i o n ，h i s t o r ya n dd e v e n o p m e n to ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n d t h ec o n s t r u c t i o no ft h es o l u t i o n so f n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( n p d e ) i na d d i t i o n ，s o m ea c h i e v e m e n t so n t h es u b j e c td o m e s t i ca n da b r o a da r ep r e s e n t e d c h a p t e r2c o n s i d e r st h ec o n s t r u c t i o no f e x a c ts o l u t i o n so fn p d e ( s ) u n d e rt h e i n s t r u c t i o no ft h ea c = b dm o d e l t h eb a s i cc o n c e p ta n dt h e o r ya b o u ta c = b d m o d e l ，t h ec o n s t r u c t i o no ft h eo p e r a t o r so fc a n dd ，t h et h e o r yo fc di n t e g r a l s y s t e ma r ei n t r o d u c e d i na d d i t i o n tt h i s d i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e st h em e t h o d so f t r a n s f o r m i n gn p d e i n t os t a n d a r dt y p ea d v a n c e db yr e i d c h a p t e r3a p p l i e sa c = b d m o d e lt ob a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nb yt h ei d e a so f t h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n t h eb a s i cc o n c e p t so ft h ee x p l o i ta n di m p l i c i tc - d p a i r ，b a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o na r ep r e s e n t e d t h ea r i t h m e t i c sa n d e x a m p l e s a r ea l s o p r e s e n t e d c h a p t e r 4i n t r o d u c e sw ud i f f e r e n t i a lc h a r a c t e rs e t ，d i v i s i o nw i t hr e m a i n d e ra n d t h ec o m p a t i b i l i t yo ft h es o l u t i o n s ( 1 0 c a l ) o fl i n e a rp d e s k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；w u - m e t h o d ；c h a r a c t e rs e t ；c dp a i r ； p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；c o m p a t i b i l i t y o ft h es o l u t i o n s 3 第一章绪论 摘要：本章简要的综述了数学机械化思想，以及非线性演化方程解的构造 性方法，如b a c k l u n d 变挺和d a r b o u x 变换、p a i n l e v e 奇性分析、齐次平衡法、 a c = b d 框架下的精确求解等 1 1数学机械化思想 通常所谓的机械化，不论是工业的还是农业的，都是指体力劳动的机械化 而言。现在我们提出这样的问题：数学研究这样的脑力劳动，是不是也能机械 化? 我国著名数学家，首届国家最高科技奖获得者之一，吴文俊院士【1 理解 为：所谓机械化，无非是刻板化和规格化。机械化的动作，由于简单刻板，因 而可以让机器来实现，又由于往往需要反复千百万次，超出了人力的可能，因 而又不能不让机器来实现因之，机械化为机器化进而自动化铺平道路，是它 们必不可少的前奏就这一意义来说，数学中的某些脑力劳动与体力劳动颇有 共同之点，它们也就同样可以机械化 贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一 是机械化思想。前者似已不必多费笔墨，欧几里德几何原本是这方面历史上的 代表作，在现代数学尤其是纯粹数学中占据着统治地位后者则似有必要稍加 说明 实际上，数学机械化思想贯穿于整个中国的古代数学。秦汉时代就已成书 的九章算术，是具有这一思想的代表作，线性联立方程组的解法及有关正 负数概念与移项法则，最早就已见于此书。中学课本中解线性联立方程组所用 的各种消去法就是典型的机械化方法机械化思想与方法并不仅见于中小学的 数学课本，实际上在现代纯粹数学的研究中也一直发挥着它的作用与影响，举 例来说，本世纪的数学巨子法国的e c a r m a n ，在他关于微分方程、微分几何与 李群的浩瀚著作中，经常显出机械化思维的特色，他的儿子h c a f t a n ，是当 代数学名家，其最重要的工作之一是关于拓扑学中k ( ”，n ) 同调群的计算，可 以看作是运用机械化方法取得成功的一个典范。即使是以公理化著称的数学 大师h i l b e r t ，在他公理化方法的代表作几何基础中，全书主要部分的最 后一条定理在实质上就是为某一类交点定理提供了一个机械化的证明方法 在他倡导之下蓬勃发展起来的数理逻辑，其作用之一就是在于摸索一条机械 化证明数学定理的道路当前许多数理逻辑学家都重视或从事机器证盟的工 作，这决不是偶然的有着两千多年历史成为机械化代表作的线性联立方程组 解法，一直是中学数学所不可缺少的组成部分，也是数学实践中最常用到的 部分 7 大连理工大学硕士学位论文 近年来，数学机械化思想得到了进一步的发展上世纪9 0 年代，高小山 研究员、张景中院士和周成青教授卧 4 1 合作提出了基于几何不变量的“消点 法”，由此不仅实现了定理证明的机械化，同时使得证明的过程简短可读，为 自动推理的研究，在理论上起到了极大的推进作用，还被应用于解决c a d ， 智能c a i 与机器人中的若干关键理论问题，在理论与应用上具有重要意义。 美国数学会b o y e r ( “自动定理证明成就奖”及“j m c c a r t h y 程序验证奖”得 主) 称，该工作“是自( 五十年代) s l a g l e 与m o s e s 符号积分程序以来自动推理 界最重要的一件单独事情”，该工作“在使计算机象具有算术天才那样具有几 何天才这一不可避免的过程中将是一座里程碑”；自动推理界权威l o v e l a n d 在 a im a g a z i n e 的文章中将这一工作列为近年来自动推理界“重要进展”的第一 项，称“在几何中证明有意义的定理，同时给出可读证明一i b m 公司格伦特尔 ( g e l e r n t e r ) 五十年代的重要工作一的成果，近年来才由周咸青，高小山，张 景中的几何定理证明器所超过”这一成果被认为是该领域内，继五十年代格 伦特尔( g e l e r n t e r ) 的经典工作与七十年代吴方法【5 】以来又一重要进展在 几何自动推理方面，他们提出微分几何自动定理证明的新方法并予以计算机 实现，成功的机械化证明了上百个定理并发现了新的结果i 给出了c a l e y - k l e n 几何的转换定理，大大简化了非欧几何的自动定理证明；解决了z a s s e n h a u s 与 m a c l a n e 公开问题；提出了几何推理的演绎数据库方法；改进了基于搜索的定 理证明方法，并第一次用此类方法证明了大量几何定理。吴尽昭研究员、刘卓 军研究员 6 1 将吴代数消元法运用到逻辑中去，较好的解决了逻辑中一阶定理 证明的问题石赫研究员b 】利用吴代数方法，研究了著名的y a n g - b a x t e r 方 程的解的问题之后，他利用张鸿庆教授提出的“a c = b d ”思想，将y a n g - m i l l s 方程约化为三个简单的二阶线性微分方程王世坤研究员、吴可研究员【9 j 【”j 将吴方法应用于研究y a n g - b a x t e r 型( 包括带参数、带色参数、带谱参数等) 的解的结构问题 在构造非线性发展方程精确饵方面，李志斌教授等利用吴代数消元法在 求解孤子方程方面做了很多出色的工作【1 1 ”引，沟通了吴方法与微分方程之 间的关系朱思铭教授等【1 3 l 根据a m s 猜测，将吴方法应用于偏微分方程的 p 一检验，结果证明了很多方程具有p 性质近些年，范恩贵教授也做了大量 的工作2 0 0 0 年推广了t a n h 函数法，获得了很多方程的精确解1 1 4 j 。闰振亚 博士基于两种r i c c a t i 方程，给出了新的求解非线性发展方程的方法【1 5 j 。陈 勇博士、李彪博士将推广的t a n h 方法【16 】用于求解带有任意阶非线性项的非 线性微分方程，获得了形式更为广泛的精确解朝鲁教授运用吴微分特征 集求解l i e 对称，成功的将吴微分特征集的方法运用在偏微分方程( 组) 的求 解中 8 第一章绪论 1 9 7 8 年，张鸿庆教授【1 8 j 【2 2 j 提出了偏微分方程求解的构造性的机械化算 法，即“a c = b d ”法，证明了非齐次线性算子方程组a u = ，的一般解为 u = c v + e ( 其中”满足方程组d v g ，d 是对角矩阵) ，给出了e d ，e 的 具体构造方法1 2 在a c - - b d 的模式框架中，运用数学机械化的思想，张鸿 庆教授及其课题组成员在微分代数方程的代数化和机械化方面做了大量的工 作，给出了各种弹性力学位移函数和应力函数的机械化算法，成功的构造出数 学物理中一系列方程的一般解他借助于代数的理论来构造偏微分方程组的 解，结果大批力学问题所对应的偏微分方程组的求解问题，在一个统一的框架 下得到了解决【2 4 】删最近，在这一思想的基础上，叉提出了a d 对和c - d 可积系统的概念【1 4 】一1 1 6 】，【2 9 】一【33 1 。另外张鸿庆教授还提出了基于吴微分消元理论 的“a c = b d ”模式的微分伪带余除法根据这一除法，得到了一些非线性微 分方程的变换，使方程的形式变的更为简单，进而易于求解 1 2非线性演化方程解的构造性方法 寻求方程的解( 包括数值解和精确解) 是一个非常古老且很重要的课题。 有时为更准确地研究物体变化的性质，我们需要寻求其对应方程的精确解。自 从k o r t e w e g 和他的博士生d ev r i e s 提出k d v 方程并获得其精确孤波解以来， 一大批非线性方程的解的构造引起了人们的极大兴趣。由于非线性发展方程 的自身复杂性，用现有的方法无法求出其非平凡的解，即使获得了方程的精确 解，也只是少数的一些解，无法求出其全部解，并且对不同类的方程，用的方 法可能也不一样，至今还没有任何一种方法可以囊括四海，包罗万象，谁也无 法用自己的“神功”一统“天下”而“笑傲江湖”。正如k l e i n 所说：微分方程 求解只是技巧的汇编一般来说，直接寻找非线性演化方程的精确解是非常困 难的，往往首先须对方程进行变形( 或称变换) ，将原方程变为简单的、易解 的方程 1 b i i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b i i c k l u n d 在研究负常曲率曲面时，发现s i n e g o r d o n 方程u f 。= s i n u 的两个不同解u 和之间有如下的关系式 u = u f - 2 脚n ( 半) ，嵋= 咱+ 扣( t - - u r ) ， ( 1 ) 此即为b i i c k l u n d 变换，该变换给出了从s i n e - g o r d o n 方程的一个解得到另一个 解的方法p4 1 另外还得到了一个非线性叠加公式 u 。= 4 a r c 叫糌t a n ( 警) 。， ( 2 ) 9 大连理工大学硕士学位论文 其中u o 为s i n e - g o r d o n 方程的解【3 5 t 3 6 】这个公式在非线性理论中具有重要的 作用，但由于这个变换没有别的应用，因此被冷落了近百年直到2 0 世纪6 0 年代，由于非线性光学，晶体位错等许多领域的研究都与s i n e - g o r d o n 方程有 关，这时b 挑k l u n d 变换才受到重视1 9 7 3 年w a h l q u i s t 和e s t a b m o k 【3 7 】发现 k d v 方程也具有b a c k l u n d 变换，也有类似的叠加公式1 9 7 6 年他们提出了求 非线性方程的b 赴l d u n d 变换的延拓结构法，将b g c k l u n d 变换、守恒律及反散 射变换统一在一个拟位势中1 9 8 3 年，w j i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 3 8 】- 3 9 推 广了常微分方程的p a i n l e v 6 可积的判定法，提出了偏微分方程的p m n l e v 6 可积 的判定法，并用其来获得可积方程的b h z k l u n d 变换与b e c k l u n d 变换具有同 等重要的是d a r b o u x 变换，1 8 8 2 年，d a r b o u x 【4 0 j 研究了一个一维s c h r o d i n g e r 方程的特征值问题( 沁= 0 ) 一庐一一“( 。，t ) 曲= a 咖 ( 3 ) d a r b o u x 发现：若u 和咖是满足( 3 ) 的两个函数，对任意给定的常数a o ，令 ( x ) = ( $ ，a o ) ，即，是( 3 ) 当 = a o 的一个解，则由 “7 = u + 2 ( 1 n f ) 。，( 。， ) = 札( z ，a ) 一( 如h l f ) 咖( x ，a ) ，0( 4 ) 所定义的函数u ，一定满足( 3 ) ，( 4 ) 就称为原始的d a r b o u x 变换。d a x b o u x 变换的基本思想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数算法 及微分运算来获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解有时人们将d a r b o u x 变换也称为b g c k l u n d 变换，或者称为求b 址a d u n d 变换的d a r b o u x 方法。关于 b i i c k l u n d 变换的早期工作可参考文献1 4 l j 1 9 7 5 年，w m a t i 等人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e - g o r d o n 方程【4 2 j 1 9 8 6 年。中科院院士谷超豪等人 将d a r b o u x 变换推广到k d v 族、a n k s 族及( 1 + 2 ) 维、高维方程组，并且将 d a r b o u x 变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中另外，延拓法及局部 高阶切丛法等也能获得b g c k l u a d 变换1 4 1 】，1 4 4 j 最近关于有限维可积系统的 的b 妊k l u n d 变换又引起了人们的高度重视【4 q 一【4 ” 2 p a i n l e v 6 奇性分析 用反散射法求解方程的初值问题的前提是寻找该方程的l a x 对，但拥有 l a x 对的方程不一定可用反散射法求解1 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g u r 和t l a m a n 发现：对于可以用反散射方法求解的非线性演化方程来说，其相似约化的所 有常微分方程都具有p a i n l e v 6 性质，因此他们给出一种猜测- p a i n l e v 6 猜测或 p a i n l e v 6o d e 检验：一个完全可积的偏微分方程的每个相似约化的常微分方 程具有p a i n l e v 6 - 型，或者约化的o d e 经过变量变换之后具有p a i n l e v 6 型这个 猜测提供了一个证明一个p d e 是否完全可积的必要条件1 9 8 3 年，w e i s s ， t a b o r 和c n e 词e 忙8 j 引入了的p d e 的p a i n l e v 6 性质( 或称p a i n l e v 6p d e 检验) 1 0 第一章绪论 的概念，并且提出了一个与a b l o w i t z 【4 8 j 用于判定的o d e 的p a i n l e v 6 性质类似 的算法，利用p d e 的p a i n l e v 6p d e 检验可导出l a x 对和b a c k l u n d 变换1 9 8 4 年，w e i s s 3 s 为了扩大p a i n l e v 6p d e 检验的使用范围，引入了条件p a i n l e v 6 性 质的概念1 9 8 2 年k r u s k m 等人将奇异流形上的函数( 不妨设两个变量z ，t ) 假设为其中一个变量的线性关系，即( z ，t ) = z + 曲( t ) ，这大大简化了计算的复 杂性一般说来，p a i n l e v 6o d e ( 或p d e ) 检验不研究负共扼点的性质1 9 9 1 年j i m b o ，f o r d y 和p i c k e r i n g 研究了负共轭点的重要意义，并且指出c h a z y 方程是有负共轭点( 一1 , - 2 ，3 ) 。曾云波教授【4 9 】，【5 0 】改进p a i n l e v 6 截尾展开，导出 了t o d a 方程的b a c k l u n d 变换，给出了从给定具有p a i n l e v 6 性质的方程出发去 构造具有p a i n l e v 6 性质的一族方程的一般方法 3 齐次平衡法 1 9 9 5 年，王明亮教授等人 5 l 】提出了齐次平衡法，用来求解非线性偏微分 方程的精确解 5 1 】一 5 引1 9 9 6 年g a o 和t i a o 5 4 】改进了该方法，来研究( 2 + 1 ) 维方程的解随后，他们又给出了非线性偏微分方程的更一般形式的解1 9 9 8 年范恩贵教授和张鸿庆教授【5 5 】，【5 6 】将这一方法给以充分的发展，不仅得到了更 多类型的精确解，也找到了得到b 独l u n d 变换的另外一种途径之后，闰振亚 博士和张鸿庆教授【1 5 】再次发展了该方法，并且利用该方法推广了s i n e - c o s i n e 法、t a n h 法和椭圆函数法等，获得了非线性偏微分方程的更丰富的精确解的 形式 4 a c = b d 框架下的精确求解 1 9 7 8 年，张鸿庆教授【”】 2 2 】提出了偏微分方程求解的构造性的机械化算 法，即“a c = b d ”法。他借助于代数的理论来构造偏微分方程组的解，结果 大批力学问题所对应的偏微分方程组的求解问题，在一个统一的框架下得到 了解决 2 3 1 - 2 8 1 。 构造偏微分方程精确解的方法尚有许多，如双线性方法、古典和非古典 l i e 群法、对称相似约化法等等，但由于非线性方程本身的复杂性，至今尚无 统一的方法来构造精确解 第二章a c = b d 模式及应用 摘要：构造微分方程的解析解是既重要又困难的课题，许多数学家及物 理学家做了大量的工作但仍有许多重要的具有实际意义的非线性微分方程 ( 组) 无法求出其显式解析解或求出很少的解即使求出一些解，也是对不同 的方程各有各的途径，没有统一的模式随着计算机的迅速发展，大量的复杂 的计算可以在计算机上实现我们的目的是给出求解一大类微分方程( 组) 的 解析解问题的统一的模式一a c = b d ，并给出了它的许多不同的表现形式 2 1基本概念及理论初步 自从张鸿庆教授于二十世纪六十年代提出了“a c = b d ”思想，并于1 9 7 8 年 正式发表以来【1 8 】【2 2 1 ，他和他的学生们在这方面做了大量的工作【14 】1 3 3 】，( 5 【5 9 】， 使这一思想在弹性力学、电动力学、流体力学、量子力学、孤立子理论、物理学 等方面得到了广泛的应用这一思想遵循着“简易、变易、不易”的原则，是 一个开放的思路 定义2 1 1 设x 是线性空间，且，b ，e d 是x 到x 的算子，对 x 且= a ( c v ) ，b d v = b ( d v ) 如果对v v x ，a c v = b d v ，则称a c = b d 令耳e r a = u l a u = 0 ) ，k e r d = 俐d 口= 0 ) ，若c k e r d ck e r a ，则对 d v = 0 的任意解”，如果u = c v ，则a u = 0 ；若c k e r dd 耳e r 以，则对 a u = 0 的任意解“必有口k e r d ，使u = a ”如果c k e r dck e r a 和 c k e r d d k e r a 同时成立，则g 趸e r d = k e r a 这时称方程a u = 0 的一般 解为u = c v ，其中”满足d v = 0 ，也称做变换“= c v 时，方程a u = 0 与 方程d v = 0 等价 定理2 1 1 【2 9 】设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是x 到x 的算予，如果 a c = b d ，b o = 0 ，c k e r d3 耳e r a ，则a u = 0 的一般解为u = ，其 中u 满足d v = o 推论2 1 1 1 2 9 】设x 是线性拓扑空间，且g 耳盯d 的闭包包含k e r a ，则 a u = 0 的解可以用“。= a 逼近，其中满足d r , = 0 推论2 1 2 1 2 9 设x 是线性空间，且，b ，a d 是x 到x 的算子，x ， a c = b d ，g 蜀e r d k e r a ，则a u = ，的一般解为u = c v + e ，其中 满 足d v = g ，e 和g 满足且e + b g = ， 注：如果存在从x 到x 的算子m n 和e ，使得a m + b n = e ，则 e = m e 和g = q i 满足方程加+ b g = f ，其中庐满足方程f 西= ，。 1 3 大连理工大学硕士学位论文 定理2 1 2 1 2 4 1 如果b 是线性算子并且对给定算子a 和b 有算子c 和d ， 使a c = b d ，则a u = b y 满足条件u c m 的一般解是“= a 咖，u = d 咖+ 咖， 其中庐m ，币k e r b ，k e r b = i m ，b e = 0 ；如果a ，g ，d 也是线性 算子，并且d k e r c = k e r b ，则a u b y 满足条件u c m 的一般解是 u = g 壬，u = d e ，咖m 注1 如果g 是满射，条件“c m 可以删掉 注2 如果a ，b ，q d 是线性算子，a c = b d 并且a u = b y 的一般解是 u = g 以”= d e ，v m ，则d k e r c = k e r b 推论2 1 3 1 2 4 如果a c = b d ，则对晰k e r d ，= g 满足方程 a u = 0 如果a ，b ，c ，d 是线性算子，c 是满射，d k e r c = k e r b ，则a u = 0 的一般解是u = g 也v 妒k e r d 推论2 1 4 1 2 4 1 如果a c = b d ，f ( g 咖，d e ) = ，则“= g 庐， = d 满足方 程组 a u 。b y ，f ( u ，口) = ，1 其中f 是从m m 到m 的任意算子如果d k e r c = k e r b ，并且a ，b ，a d 是线性算予，g 是满射，则方程组的一般解为 u = g 西， = d e 其中咖满足方程f ( g 也d e ) = ， 推论2 1 5 1 2 4 如果a ，b 是线性算子，且b = b a ，并且满足a k e r b = k e r b ，则a u = b y 满足条件u b m 的一般解为u = b e ， = 且 例：由电荷守恒定律 岛p + d i v j = 0 推m a x w e l l 方程组 p = d i v e ，j = 一晚e + r o t h 显然可令a = 一仇，b = d i v ，a b = b a ，从而可令 p = d i v e + ，0 ，z ) ，j = 一侥+ 妒， 其中d i v e = 0 。又注意d i v ( r o t h ) = 0 ，故可令妒= r o t h ，从而有 j = 一侥+ r o t h 取q ( $ ，玑z ) ，使，= 击口q ，从而 p = d i v e t 出”q = d i v ( 币+ q ) 】4 第二章a c = b d 模式及应用 又注意到0 p 7 = 0 ，故有 ，= 一s t 咖+ r o t h = 一巩( 毋+ q ) + r o t h 令e = 曲+ q ，则有 p = d i v e ，j = 一吨e + r o t h 证毕 在偏微分方程求解中，“a c = b d ”思想总体概括为：令a u = 0 为待求 的方程( 组) ，d v = 0 为容易解的方程( 组) ，寻求变换“= c v ，使得 满足 d u ：0 a 和d 可以有如下不同的表达式【2 q ad 任意微分方程组具有对角形式的微分方程组 非线性微分方程线性微分方程 变系数微分方程常系数微分方程 高阶微分方程低阶微分方程 高维方程低维方程 微分方程代数方程 任意的方程具有特定性的方程 不可分离变量微分方程可分离变量微分方程 不会求解方程会求解方程或具有重要性的方程 现在的问题是如何构造变换“= c v ，将待求解的方程a u = 0 约化为求 解方程或具有重要意义的方程d v = 0 1 不是对角型的微分万_ 柽组_ 对角型阳微分万崔缴 例2 1 1 _ c a u c h y - r i e m a r m 方程组 一巨蠡 暇， 基于“a c = b d ”的思想，作变换 “= ( ：) = = ( 羹) ”， c z 。， 将f 2 1 2 ) 代入f 2 1 1 ) 可得 a c v ( 萎善) ( 盼= ( ：) ”= ( 弘 1 5 大连理工大学硕士学位论文 c 嘉+ 导： 其中 b = ( ：) 例。工z 齐次m 科w e u 方程组a u = 。，u = ( 羔) fr o t ( e + i 日) = ：挈， ld i v ( e + i 日) k = o = 0 作如下变换 ：12 ；：象1 凰u 霹一种1 2 ，b l 、f ，磋：一i 1 2 、 l 场i = l 嚷 跚1 2 l e 3 砖一j 霹 o 曲1 渤 咖1 曲2 那么目标方程为 。妒= ( 霹+ 瑶+ 砖一辞毽十瑶+ 0 0谚一j 辞) ( 龛) = 。 、群十弼+ 剧一彰、也 b = ( 0 0 00 一圳00 。0 墨 0 诜巩 2 非线性偏微分方程_ 线性偏微分方程 例2 1 3 势b m g e r s 方程 a u = ( 岛+ ；( a k ) 2 一a 如。) “= o 取变换 u = c v = - 2 a i n v 将其代入( 2 1 3 ) 可得目标方程 d v = 1 ) t a u z = 0 ， 1 6 ( 2 1 3 ) 、，一 第二章a c = b d 模式及应用 日。：一坠， 显然可以证明a c v = b y d v ，并且还可以证明c k e r d = k e r a 因此说 a u = 0 的解析解可以表示为“= c v ，d v = 0 3 非线性常微分方程_ 线性常微分方程 例2 1 4 b e r n o u l l i 方程 a u = u + p u q u “= 0 ( n 1 ，p = p ( z ) ，q = q ) ) 作变换 u = c v 2u 而 将( 2 1 5 ) 代入( 2 1 4 ) ，则有 以u = a c = u 击r 兰五”+ p ”一q ) = o 目标方鳓d v ：寺+ p v q ：0 ， = ：_ 二一 。+一q = ， 其中 b ：t ，击 4 变系数p d b - 常系数o d e 例2 1 5 变系数k d v - m k d v 方程 a u = u c + j 如( t ) 【u z d l 2 u z + 2 a 2 ( u 2 m + 伽) + a 3 h ( t ) k o ( t ) u u z + ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 阢( t ) + k 2 ( t ) z 】u 。+ 硒( t ) u = 0 ， ( 2 1 6 ) 其中啦a = 1 ，2 ，3 ) 为常数，恐( t ) a = 1 ，2 ，3 ) 为t 的任意函数 做变换 u ( z ，t ) = c v = ，( t ) 口( ) ，f = ，( t ) 茹+ g ( t ) ， 则( 2 1 6 ) 变为 a u = k o ( t ) f 4 “一a d 4 2 7 + 2 a 2 ( f 4 u 2 + f 4 ”) 】+ a a h ( o k o ( t ) f 3 + 凰( t ) ，2 + ，吼+ ( k 2 ( 0 f 2 + ， ) 瑚 + ( k 2 ( o f + ) = k o f 4 p 一a l 0 2 t ，+ 2 a 2 扣鹰+ 刨 ”) + e v v + f v 7 】+ ，3 ( a 3 h e f ) v v 7 1 7 盔整堡三盔兰塑主堂焦量皇 + ( h ，2 十，9 一f k o f 4 ) t ，+ ( k 2 f + ) ( z ，t ，+ 口) = b d + r = 0 其中b = 4 令 a a h e f = 0 ， k l f 2 + f g t f k o f 4 = 0 k 2 ( t ) ，+ = 0 ， 则有砌= 0 ，并可得 ，( 笱= a ie x p 一玛( s ) 酬， ) = 等e x p 一上。m 心， 一一以 g ( 。) 2 上 f a i 娲( 。) e x p ( 一3 上k 2 ( s ) 出) 一a 1 k i ( t ) e x p ( 一上9 2 ( s ) d s ) d t + a 2 ， ( 2 1 7 ) 其中e ，f i 血，以2 均为任意常数。利用( 2 1 7 ) 可知目标方程为 d v = 甜埘一n l u 2 + 2 a 2 ( 甜2 + v v ”) + e v v + f v 7 = 0 5 变系数p d e - - 常系数p d e 例2 1 6 变系数k d v 方程 a u = u + l ( t ) ( t z + 6 u u z ) + 4 h 2 ( t ) u z h a ( t ) ( 2 u + 。) = 0 ，( 2 1 8 ) 其中h i ( t ) ( i = i ，2 ，3 ) 为z 的任意函数 作变换 u = f ( t ) v f f ，r ) ，f = = g l ( t ) 。+ 9 2 ( t ) ，r = 9 ( 旬 则( 2 1 8 ) 变为 a c v = ，9 ( 嘶+ 6 w e + 吣托) + ( h l f g 一f 9 7 ) 喈转+ ( 6 九l ，2 9 l 一6 f 9 7 ) 叱 + ( ，一2 h z f ) v + ( g i h a 9 1 ) z f v f + ( f g ：+ 4 h 2 f 9 1 ) v = b d v + r = 0 其中b = ，目标方程为常系数k d v 方程 d v = 嘶+ 6 v v ( + 吣鞋= 0 第二章a c = b d 模式及应用 令 l ，9 一f g = 0 ，6 h l f 2 9 l 一6 ，= 0 ， ，一2 h 3 f = 0 ，g i h 3 9 l = 0 ， ，g ；+ 4 h 2 f g z = o ， 则有r = 0 ，且有 9 1 ( t ) = a 1e x p ( h 3 ( t ) d t ) ， ，( t ) = 9 l ( t ) 2 = 墙e x p ( 2 h 3 ( t ) d t ) ， 郇) = - 4 a 1 咏t ) 唧( r 嘣踟咖抖a 。 9(t)=a；_r-。)exp(2。o)dt)dtj + a 。， 其中a 1 ，a 2 ，a 3 均为任意常数 6 高阶微分方程_ 低阶微分方程 例2 1 7 浅水中的w h i t h a m - b r o e r - k a u p ( w b k ) 方程 t 工t + t “+ e k + 卢u # z = 0 ， 仇+ ( t 正 ) + o 似z # 一卢 z t = 0 若取 矿：( ：) ：g 。：( 。a 。+ ：i ：蓁一鬟，) 矿= ( ：) 却一h ，三咄) 其中 d w = ”t a 。z = 0 7 微分方程- 代数方程 例2 1 8 k d v 方程 u t + “+ 卢让。黜：= 0 1 9 、 争警告争 丝舻 q 州警 钟 从 ，0一 】| 召 大连理工大学硕士学位论文 作变换 “= u ( 0 ，= 女扛一c ) ， 则有 一c u + u g i + z k 2 = 0 其中”“表示乱碰 进一步作变换 u 幢) = b o + b l s n f + 幻s n 2 + 0 1 c n + n 2 c n s 佗 则可将a u = 0 约化为代数方程组 一2 + n l h + a 2 b o p 七2 。2 ( m 2 + 4 ) = 0 一c 6 l + 6 0 6 l + a l a , 2 一卢2 b l ( m 2 + 1 ) = 0 ， c n l 一8 1 6 0 + 2 a 2 b 1 + 2 a t b 2 + 卢危2 a l ( 4 r n 2 + 1 ) = 0 ， 一2 c 6 2 + 2 b o b 2 + 6 2 一蠢+ 鼋一8 卢女2 b 2 ( m 2 + 1 ) = 0 ， 2 c a 2 2 b o a 2 2 a l b l 十3 a 2 b 2 + 4 i l k 2 0 2 ( 5 m 2 + 2 ) = 0 3 6 1 6 2 3 0 1 。2 + 6 z k 2 b l m 2 = 0 ， 3 a 2 b l + 3 a l b 2 十6 i l k 2 0 1 舻= 0 ， 2 碹一2 a ；+ 2 4 卢女2 b 2 7 1 1 2 = 0 ， 4 a 2 b + 2 4 i l k 2 0 2 7 1 1 2 = 0 2 2c 、d 算子的构造方法 上一节已经叙述了“a c = b d ”的思想，对于a u = 0 ，需要找到合适的变 换“= c v 及易解的目标方程d v = 0 ，即需要寻找合适的算子c 和d ，从而 算子c 和d 的构造方法是极为重要的。下面我们通过例子来说明其构造方法。 方法1 微分代数消元法 定义2 2 ，1 【2 2 对给定的算子p 和g ，若对p u = 0 的任意解u ，方程q v = “ 恒有解u 并满足方程p v = 0 ，则称p 和口满足条件q 第二章a c = b d 模式及应用 定理2 2 1 【2 2 】( 齐次线性算子方程组一般解的代数构造) 设 a 1 2 a 2 2 - a n 2 a l n 9 2 n _- 0 m 。西是在线性空间m 上有定义的线性算子并且属于可交换环r ，并假设对任 意p r ，若p 0 ，则对任一，m ，p u = ，在m 中有解，令 啦l j l毗l j 2 a i 2 j ln 1 2 i 2 啦l h 0 i 2 h d 是暑：气与 ：的公因子，即 i i ：= d 七硅：，i l l 咕 i = d k 砖0 其中i l i 2 i k l 并且如可取 k ，+ 1 ，札若a ，v 。k 与鱼群满足条件q ，d o = d 1 = 1 ，则方程组 a u = 0 的一般解可写成 珏l u 2 _ u k _ u n 机满足 00 1 2 ( 一1 ) 。x 2 1 3 2 k 一1 一姐( 一1 ) k + l 秣：l 1 ( - - 1 ) “罐：嚣- 1 ( 一1 ) ”畦嚣：q ( 一1 ) 2 k - 1 蟆1 - k 一- i ( 一1 ) “+ 一v 1