（应用数学专业论文）非线性方程的精确求解及其可积系统.pdf

_ _ _ _ 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：指导教师签名： 签名日期：年月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文的研究内容如下：对一类孤子方程的解进行统一构造，并讨论它的一些性质，并 且将之推广：其次，讨论了烈方程族的无穷守恒律及其h a m i l t o n 结构；最后，借助达布 变换在求解非线性方程族中的重要作用求解a k n s 方程。具体内容如下： 第一章，介绍了孤立子理论，非线性方程的精确求解和h a m i l t o n 结构及达布变换的 发展及未来的前景，同时介绍了现今已取得的重要成果和重要应用。 第二章中主要以k d v 方程和2 + i 维s i n - g o r d o n 为例，在前人的研究成果上做了统一 的构造和推广。通过利用修正的里卡蒂方程得到一个统一构造精确行波解的方法，并且 举出两个例子来展现这种方法在处理非线性波方程上的广泛应用。 第三章，从有限为动力系统l i o u v i l l e 可积性，即系统中的方程能表示为h a m i l t o n 方程，且存在n 个独立的互相对合的守恒量，同时在对孤子方程的研究中发现许多无限 维的l a x 可积系统也具有类似的性质。本文通过矾方程谱问题构造一个r i c c a t i 方程， 得到它的无穷守恒律。同时改进文献l i 明中的基底，利用迹恒等式得到它的h a m i l t o n 结 构。 ， 第四章，主要介绍了达布变换在求解非线性方程组中的重要应用，本文就以a k n s 入 手，从它的一个解得到它的n 个解，并在此基础上扩展成负指数次幂进一步讨论研究。 关键字：精确求解；h a m iit o n 结构；无穷守恒；达布变换 t h ei d e aa n di m p o r t a n c eo fd a r b o u xt r a n s f e i r m a t i o n s ，t h es o l u t i o n so fak nse q u a t i o n sa r e s o l v e d c h a p t e r1 i s d e v o t e dt or e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dt h ed e v e l o p m e n to fh es o l i t o n t h e o r y ，s o l v i n g n o n l i n e a re q u a t i o na n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s a tt h es a m et i m e , t h e a p p l i c a t i o n so f t h e s em e t h o d sa r ep r e s e n t e d c h a p t e r 2m a i n l yi n t r o d u c e st h eu n i f o r mc o n s t r u c t i o n so fk d ve q u a t i o na n d 2 + l d i m e n s i o ns i n - g o r d o ne q u a t i o n s ，w h i c ha r eb a s e do nt h ea c h i e v e m e n t so ft h ep r e s e n t e d d i s s e r t a t i o n c h a p t e r3f i r s tp r e s e n t st h ei n t e g r a b l i t yo fi n f i n i t ed y n a m i c a ls y s t e m t h a ti s t os a y ，t h e e q u a t i o n s i nt h es y s t e mc a l lb e e x p r e s s e d a sh a m i l t o n i a ne q u a t i o n s a n dt h e r e a r en i n d e p e n d e n tc o n s e r v a t i o ne l e m e n t s s o m es i m i l a rp r o p e r t i e sw f f l ef o u n di nm a n yi n f i n i t e d i m e n s i o n a ll a xi n t e g r a b l es y s t e m i nt h ep a p e r ，t h ei n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a wo fam c c 撕 e q u a t i o nw a sg i v e nt h r o u g ht h ek ne q u a t i o n a n dt h e no b t a i n si t sh a m i l t o n l a ns t r u c t u r e c h a p t e r4i n t r o d u c e sm a i n l ya b o u tt h ea p p l i c a t i o n so fd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n si nt h e s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sa n dad i s c r e t ep r o b l e m , a k n se q u a t i o n , w h i c hw a se n l a r g e d a n o t h e rn e wf o r m k e yw o r d s ：t h ee x a c ts o l u t i o n ；t h eh a m i l t o n i a ns t r u c t u r e ；i n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w ；t h e d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s 一一 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 手商要i a b s w a c t 1 i l 绪论1 1 1 孤立子理论研究的发展历史和重要应用1 1 2 非线性方程( 族) 精确求解的发展概况1 1 2 1b i i c m u n d 变换和d a r b o u x 变换1 1 2 2 双线性方法2 1 2 3 其他方法。2 2 新的精确行波解的统一构造及其应用3 2 1 方法介绍3 2 2 应用举例3 2 2 1k d v 方程3 2 2 22 + 1 维s i n g o r d o n 方程6 3k n 方程族的无穷守恒律及其h a m i l t o n 结构1 2 3 1 基本概念1 2 3 2k n 方程族的无穷守恒律1 2 3 3k n 方程的h a m i l t o n 结构1 4 3 4 结论1 7 4 一类新的达布变换及其应用18 4 1 达布变换的简单介绍1 8 4 2 负指数次达布变换一1 8 4 3 验证其在时间t 部分的不变性2 2 结论。2 3 参考文献2 4 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 6 致谢2 7 - - 辽宁师范硕士研究生学位论文 1绪论 1 1孤立子理论研究的发展历史和重要应用 孤立子作为一门有着相对悠久历史的学科分支，在近些年的发展中取得了很多重要 的成就，特别是那些跟物理学紧密联系的学科，更是显现出它的重要作用，因此也得到 了迅猛的发展。 孤立子的现象的发现最早是由英国的一名叫j s r u s s e l 的科学家于1 8 3 4 年发现的， 他偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进，就会在运河中形成一个波形不变的 水晕，并且在行进的过程中波的形状和速度无明显的变化，正是具有这样的不变性和稳 定性，r u s s e l 凭借着自身的实力和扎实的数学基础对这类波作了进一步的研究，取得重 要的成就，为后人的研究奠定了基础。 1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t c w e g 和他的学生d ev r i e s 瞪1 在对孤波的研究中发现波可以近 似为小振幅的长波，并得到了浅水波运动方程，由此孤波的存在性得到了理论上的证实， 而不仅仅局限于实验观察。然而，这种波的性质到底是什么，是否真的会保证在相撞后 仍然保持波形不变还是未得到根本解决。 直到1 9 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 利用计算机对k d v 方程的两个波速不同 的孤波进行研究。得到了两波相撞的整个过程，并验证了孤波的形状和速度保持不变， 仅仅发生相位的转移。所以将这种稳定的孤波叫做孤立波1 6 1 。自此，非线性方程的研究 和孤子的热潮在学术界得到了空前的发展，并且带动了物理学的许多分支如基本粒子， 流体物理，等离子体物理，生物物理等，在整个学术界的研究热潮和飞快发展。 1 2 非线性方程( 族) 精确求解的发展概况 1 2 1b 面i c m u n d 变换和d a r b o u x 变换 孤子方程通常存在将所对应的线性问题转化为自身的规范变换，称为此线性问题的 达布变换。它相当于一个联系着方程解之间的一个桥梁，由一个解得到了另一个解，循 环下去得到方程的一族解。解与解之间的关系式即是方程的b i i c k l u n d 变换。以k d v 方 程为例研究它的b 面i c m u n d1 7 1 变换和d a r b o u x ( 。i 变换 谱问题是： 丸= q 一) 以= a ( u ，a ) + b ( u ，名) 丸 非线性方程的精确求解及其可积系统 得到它的b i i c m u n d 变换为 ，= 砧+ 2 ( i n 0 ) 。， d a r b o u x 变换为 y 曩= 似一v 炒 虮= 彳扣，五) y + b ( v ，名) y 。 1 2 2 双线性方法 双线性导数是由日本数学家h i r o t a t ，l 于1 9 7 1 年引入的，这一方法近些年被广泛应 用于求非线性发展方程的多孤子解。也被我国的许多学者研究并取得了很大的进展，它 是在导数的定义基础上稍微做了改动，却得到了意想不到的结果。比如，1 9 9 6 年楼岳森 1 1 0 1 教授应用此方法研究得到一个( 3 + 1 ) 维k d v 方程，验证了该方程拥有很多的类d r o m i o n 结构。近年来，刘青平教授1 1 l ，陈登远教授均在这方面取得了不错的研究成果1 “舢。 1 2 3 其他方法 非线性方程不同于线性方程，它的解法具有独特性和复杂性，原因在于现今都无法用 一种通用的方法把它的所有解表示出来，对于不同类型的方程，方法更是不尽相同，这就需 要人们不断的去探求新的求解方法得到它的更多有用解 1 9 6 8 年，m i u r a t l l 成功的找到了k d v 方程和m k d v 方程之间存在一个m i u r a 变换， 它的另外一个用途就是验证了k d v 方程的无穷守恒律。1 9 9 5 年，王明亮1 2 1 等人引进齐 次平衡法，范恩贵教授p 1 充分拓展了这一方法，得到了b i i c k l u n d 变换，相似约化及更 一般形式的精确解。2 0 0 1 年田播教授和高以天教授共同提出了变系数均衡作用法【4 】，对 齐次平衡法作了进一步的改进和完善。 当然，构造非线性发展方程的方法有很多，在此就不一一列举。正如刚才所提由于 非线性方程自身的特点，如何得到它的更多的精确解成为日后学者的研究重点。 辽宁师范硕士研究生学位论文 2 新的精确行波解的统一构造及其应用 2 1 方法介绍 对于给定的非线性发展方程： p ( “，f ，“，“。，) = 0 ( 2 1 1 ) 可以转化为o d e 方程 q ( u ，u ，u 。，【厂_ ，) = 0 ( 2 1 2 ) 在行波变换舌= k ( x - c t ) 下。然后对方程( 2 ) 中的导数进行积分，同时取积分常数为零， 而u 可设为 u = 口i y + b k y 4 ( 2 1 3 ) k - - 0k = l 其中 y “= c ，y ( 2 1 4 ) t - - - 0 m , r 为整数，c i ( f = 1 , 2 ，) 为待定常数，这种方法涉及到的两个平衡数m 和r 可通 过平衡最高阶导数项和非线性项得到，再将( 2 1 3 ) 式代人方程( 2 1 2 ) ，并令】，的系 数为零可得到关于k ，c ，口o ，a 。，b o ，阮的多项式方程组，利用m a t h e m a t i c a 可得到 七，c ，口。，口。，b o ，屯的解，从而方程( 2 1 3 ) 可具体表为】，的多项式，下一步是具体的 解出y ，而方程( 2 1 4 ) 正好给出】，的一个关系，所以只要赋予c 。，c ，不同值时，】，就 很容易解出，其中范恩贵嘲就给出了y 的关于t a n h 孝，t a n 孝，s e c h 善，s e c 孝等的表达形式， 而没有关于正弦，指数形式的表达，这里稍作改动，使其成为这样的函数，最后再把以 上的结果代入”= u ( 孝) = u ( k ( x - c t ) ) 便得到方程( 2 1 1 ) 的解。 2 2 应用举例 2 2 1k d v 方程 首先我们考虑尉矿方程 “t + 6 u u ，+ “撕= 0 ( 2 2 1 ) 为了得到方程( 2 1 ) 的行波解，我们作如下变换 非线性方程的精确求解及其可积系统 材( 五f ) = ( 孝) ，孝= j j ( 一国吩 ( 2 2 2 ) 将方程( 2 2 2 ) 代入( 2 2 1 ) ，得 一k a j u + 6 k u u7 + k 3 “_ = 0 ( 2 2 3 ) 对( 2 2 3 ) 积分一次，并令积分常数为零，得 一绷+ 3 u 2 + k 2 u 。= 0 ( 2 2 4 ) 平衡( 2 2 4 ) 的最高阶导数项“。和非线性项“2 ，得到n = 2 ，因此方程( 2 2 4 ) 的解， 可设为如下形式 甜( 善) = 口o + 口l y + a 2 y 2 + a 】，一1 + 如】，- 2 ( 2 2 5 ) 这时方程( 2 1 4 ) 就可化为 y “= 彳+ b y + c y 2 + d y 3 + e y 4 ( 2 2 6 ) 将方程( 2 5 ) 代入( 2 4 ) ，并使用方程( 2 6 ) ，令y 的各次幂系数为零就得到 a o9 a l ，口2 ，岛，如，么，b ，c ，d ，e ，卿缈的一个代数方程组： 3 b 2 + 6 k 2 b 2 a = 0 6 6 l 如+ 5 k 2 b 2 b + 2 k 2 b l a = 0 一咄+ 6 a o b 2 + 3 6 l2 - ：- k 2 b 1 b + 4 k 2 b 2 c = 0 一国酞+ 6 a o 良+ 6 a l b 2 + 七2 b 1 c + 3 k 2 b 2 d = 0 一绷。+ 3 印+ 6 a l a 2 + 6 a 2 b l + 6 a 2 b 2 + 2 k 2 a 2 a + 丢如l 占+ 丢砌1 d + 2 七2 b 2 e = 0 一o ) a l + 6 a o a l + 6 a 2 b l + 2 k 2 a 2 b + k 2 口1 c = 0 一投2 + 6 a o 口2 + 3 a 1 2 + 妄七2 口l d + 4 k 2 a 2 c = 0 6 a l a 2 + 5 k 2 口2 d + 2 k 2 a l e 兰0 3 a 2 2 + 6 k 2 口2 e = o ( a ) 若取彳= 1 ，c = - 1 ，b = d = e = 0 ，则】，= s i n 善，而 口。= 罢，= ，b l ：o ，一：2 k 20)-4kal a 2 0 b 2 - 2 k 4 k 2 口o2i ， 2 2 ，l2u ， = 所以 铲车一2 ksink(x一4k21cs i n x ( x4 k 2 力“l 。- 一 一。” ( b ) 若取么= 2 ，c = 一1 ，b = d = e = 0 ，ny = s i n 孝4 - c o s ，而 4 v 口o = i ，口l2 a 2 = 0 ，b l = o ，b 2 = 4 七2 彩= 4 k 2 j 所以 砧2=坐一4啪in七。-4k2t)3 + c o s 七。一4 瑚) 2 、。、一 。“， ( c ) 若取彳= 召= 1 ，c = i 1 ，d = e = o ，贝l j y = e 一1 ，而 口。2 詈，口，2 a ：2 0 ，6 1 - - 一k 26 2 = 2 k 2 , c o = - 三七2 口o2 了口1 钏2 - o ，6 1 6 2 = - 2 主七2 口o2 口l = 口2 = 0 , b l = - k 2 b 2 = 一2 k z , c o ：1 _ k 2 4 驴一击肛i 2 尹1 巾) 二1 ) _ 磁： ( x “- 1 ) 一： ：如：0 争。扣一i ) q 一2 j i ： 争( j 如一1 ) 五 q ) 若取c = 1 ，e = 一1 ，a = b = d = o ，$ u y = s e c h 孝 取c = 一1 ，e = i ，么= 召= d = o , 贝o r = s e e 4 ，而 口o - 詈一芋c , a i = = 埘聃= 如扎国：撕：c 驴一军化2s e c h 2 s c c h 坼+ 4 j 4 k 2 f )“s = 一一+ z 七 七r r +z f 、 。 3 一v v ”等2 i - 2 k zs e e 2 k ( x 一4 k 2 d “s2 了 一2 f ) 0 ) 若取c = - 2 ，e = i , a = i ，b = d = o ，则y = t a 】出乎 1 1 文c = 2 ，e = i ，a = i ，b = d = 0 ，则】，= t a i n 孝，而 = i c o 一了2 k 2g 口1 = 。：口2 ，6 l ：。，6 2 ：_ 2 后2 彳，二：4 七：、i c 2 - 3 a e 所以 c z 0 = i 0 7 一了2 k 2c ，口l = 。，口2 ：- 2 k 2 e , 岛：6 2 = o , e o = 4 k 2 c 2 - 3 a e 5 非线性方程的精确求解及其可积系统 “1 = 2 k 2 2 k 2t a n h 之k ( x 一4 k 2 t ) “。：一三j | 2 2 k 2t a n k ( x 一4 七2 t 2 1 ；x ( x) “82 一i 庀。一 一 一斗尼j “9 = 2 k 2 2 k 2t a n h 2k ( x 一4 k 2 t ) l o = 一詈七2 2 k 2 t a n 2k ( x - 4 k 2 f ) ( ，) 若取c = d = 4 ，a = b = e = o ，贝0 l ，= - s e t h 2 善 取c = - 4 ，d = 4 ，a = b = e = 0 ，则y = s e c 2 善，而 口。：罢，口l = 一去七2 d ，口2 = o ，岛= b 2 = o ，国= k 2 c b 2 - kc 口。2 了，口l2 一i 庀 口22 u ，轨 2 u ，国2 所以 。：一攀一2 k 2 8ech2七(x+4k21；8ec2 f ) “l l2 一。_ 一 彤l x 十 ：墨一2 k 2 s e c 2 2 1 ； j 0 4 - 4 j 2 f ) “1 22 。：。一 彤l x 斗疗f j 2 2 22 + 1 维sin - g o r d o n 方程 “位一“曩一“拶+ m 2s i n u = 0 作变换v = 矿，吠工，t ) = y ( 孝) ，善= x4 - 砂+ h t ，则方程( 2 2 7 ) 可化为 2 ( h 2 一d 2 1 ) ( v v - y 2 ) + 历2 ( y 3 - v ) = 0 平衡阿匍y 3 得到以= 2 ，可假设 v = a o4 - a l y + a 2 y 2 + 6 l 】，_ 1 + 】，- 2 而】，满足 y ，2 = a 4 - b y 4 - c y 24 - d y 3 + e y 4 其中口o ，a 1 ，a 2 ，6 l ，6 2 ，彳，b ，c ，d ，占都是待定常数 ， 将方程( 2 2 1 0 ) 代入( 2 2 9 ) ，从】，的各次幂系数为零就得到一个关于 口o ，a l ，a 2 ，6 l ，b 2 ，a ，b ，c ，d ，e ，瘌 的一个代数方程组： 6 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 辽宁师范硕士研究生学位论文 4 ( h 2 一d 2 1 ) a z z e + m 2 a 2 3 = 0 2 ( h 2 一d 2 1 ) ( a z 2 d + 4 口1 4 2 五) + 3 m2 a l 口2 2 = 0 2 ( h 2 一d 2 1 ) 5 a l a z d + ( 6 口。4 2 + 4 1 2 ) e + m2 ( 3 a 1 2 4 2 + 3 a 0 2 口2 ) = 0 2 ( h 2 一d 2 1 ) 【一口2 2 b + a 1 4 2 c + ( 5 a o 口2 + a t 2 ) d + ( 1 0 a 2 巩+ 2 a o 吒) 五+ 脚2 ( 4 1 3 + 6 a 0 4 1 口2 + 3 a z 2 以) = 0 2 ( h 2 - 口2 一1 ) l ( 4 a 。巩+ 1 6 口：6 2 ) 爿+ i 3 口。6 l + 萼4 。6 ：) 五+ 知。西：c l b t b 2 。一2 b 2 2 e 1 + 臃2 ( 3 a o b l 2 + 3 4 0 2 6 2 + 6 a l b l b 2 + 3 a 2 b 2 2 一b 2 ) = 0 2 ( h 2 一口2 - 1 ) 【嘲：2 彳一三a l a 2 b + 4 叩：c + ( 1 9 吨d + ( 4 a l b l + 1 6 a 2 b 2 ) e l + j 靠2 ( 3 a o a l 2 + 3 a 0 2 a 2 + 6 a l a 2 b l + 3 a z z b l a s ) = 0 2 ( h z - 口z - 1 ) - 2 a l a 2 a + ( 3 a o a 2 - - 三口。2 ) 占+ ( 口。口。+ 9 口2 6 。) c + ( 4 a l b l + 1 6 a 2 b 2 ) d + 8 a l b 2 e l + j 2 ( 3 a o z a l + 6 a o 口2 b l + 6 a l a 2 b 2 + 3 a 1 2 b l a 1 ) = 0 2 ( h 2 - d 2 一1 ) 【( 2 a o a z _ a 1 2 ) 彳+ ( 1 a o a i + 了1 7 口：6 。) 曰+ ( 4 口。西i + 1 6 口：6 ：) c + i 14 。6 。+ 孚口。西：) 。 + ( 2 a b 2 - - b l z ) e + 朋2 ( 口3 + 6 a 。4 1 b l + 6 a 。4 2 b 2 + 3 a 1 2 b 2 + 3 a l b l 、2 一口) - o 2 ( h 2 一d 2 1 ) 8 a 2 b 1 a + ( 4 a l b l + 1 6 a 2 b 2 ) b + ( 口o b l + 9 a l b 2 ) c + ( 3 a 0 6 2 一三6 1 2 ) 。一2 6 l 西2 五】+ 肼2 ( 3 4 。6 1 2 + 6 口。口l 西2 + 6 口2 西1 6 2 + 3 口。6 1 2 6 1 ) = 。 2 ( h 2 - d 2 1 ) 【( 4 a 1 6 1 + 1 6 口：西：) 彳+ ( 詈口。6 。+ 詈口，6 ：) 曰+ 4 口。西：c 一三6 ，6 ：。一2 西：2 层】 + 肼2 ( 3 a 0 6 i 2 + 3 a o z b 2 + 6 a l b l b 2 + 3 a 2 b 2 2 一b 2 ) = 0 2 ( h 2 一d 2 1 ) 1 ( 2 a b l + l o a l b 2 ) 么+ ( 5 a o b 2 + i 16 1 2 ) 曰+ b i b 2 c b z z d + 朋2 ( 3 a i b 2 2 + 6 a o b l b 2 + 6 1 3 ) = 0 2 ( h 2 一d 2 1 ) 1 ( 6 a 6 2 + 西1 2 ) 彳+ 5 ，b 1 6 2 曰1 + 肼2 ( 3 a 口6 2 2 + 3 b 1 2 6 2 ) = o 2 ( h 2 一d 2 1 ) ( 4 b l b 2 a + b z z b ) + 3 m2 b l b 2 2 = 0 4 ( h 2 一d 2 1 ) b 2 z a + 脚2 b 2 3 = 0 从而有 情形( 1 ) 么0 。c 0 。口= d = e = 0 ，有 7 非线性方程的精确求解及其可积系统 口。= l ，口。= 口：= 。，6 l = 0 ) b 2 - - - 一4 ( ( h 2 二_ 广d 2 _ 1 ) 彳，d = 三 若4 o ，c 0 ，b = d = e = o 有 y = 居s 讪廊，一专 特别地，我们取a = c = 1 ，有 + h t ( 2 2 1 1 ) h = 1 + s i n h 一2 善= 1 + 面1 c o s h ，孝= z 三2 厮i 丽+ 加 1 7 2 芒一l 7 。 7 对应的方程( 3 1 ) 的解为 蚝2 戤s 五再商 n + s i n h 心 ) 2 + 1 若彳 o ，c 0 若b 0 ，则有 y 2 去( 护一面 l v - - ， 若曰 0 ，e o ，e 0 ，e o ，则 y = 压蛐c 序 y = 压州居， ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) 对于( i ) ，如果取彳= b 2 , c = 2 b ，e = 1 ，则 b = + t a a h 2 二碡p 0 ) ( 2 2 2 3 ) 相对应的( 3 1 ) 的解为 “7 ：a r c g ：o s 型掣b o 一丢s 槲萼d 何，c 0 c o + 厨 ( 2 2 2 7 ) 辽宁师范硕士研究生学位论文 v i 2 = 1 - s e c 2 善 ， 善= 工 + h t 而对应的( 2 2 7 ) 的解同样可代入“，：a r c c o s 鼍，f ：11 ，1 2 甜： ( 2 ( 2 非线性方程的精确求解及其可积系统 3k n 方程族的无穷守恒律及其h a m - it o n 结构 3 1 基本概念 近年来，有限维和无限维的可积系统理论得到了飞快的发展1 1 6 - 2 5 l ，不仅是因为他们 能得到很多新的方程，而且还在物理等领域都有重要的应用。论文就可积系统的生 成做了详细的分析和研究。本文就以赋方程为例探讨它的无穷守恒律及其h a m i l t o n 结 构。 设给定一般非线性偏微分方程 f ( t ，工，“) = 0 ( 3 1 1 ) 其中u = u ( t ，功是t ，x 的函数，而f ( t ，x ，“) 是t ，工，“及u 的导数的函数。若存在一对 连续可微函数c o ( t ，x ，“) 和j ( t ，工，“) ，使得当“按上述方程发展时满足关系式 c 9 , 攻以，x ，“) = a x j ( t ，z ，“) ( 3 1 2 ) 则称此式为方程( 3 1 1 ) 的守恒律，而c o ( t ，x ，“) 与j ( t ，五“) 分别称为守恒密度与连带流。 如果当h 趋于无穷时，密度与流充分快的趋于零，则守恒律在整个数轴上对工积分 得 丢e 加，训) d x = 0 ( 3 1 3 ) 可见积分j 二烈f ，x ，“) 出与时间f 无关而为方程( 1 ) 的守恒量，这就是函数矾，x ，“) 称为 守恒密度的由来。 3 2 州方程族的无穷守恒律 对于烈方程的谱问题： = m m _ 一= 1 = 倒，= ( 尝习 令，力) ：丝，易知l o g x ，力) 满足r i c c a t i 方程： y 1 q 2v + 2 1 0 ) - , ；l u c 0 2 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 辽宁师范硕士研究生学位论文 也可写成 u c o = 删+国一 2 2 2 2 u 2 uc o 在( 3 1 7 ) 式中设 吣舻委器 将( 3 1 8 ) 式代入( 3 1 7 ) 式，并比较力的同次幂系数，得 哦( x ) = 叫 q ( 功：他+ 华 q 荆= “( 剖工+ 三嘉删c 功 以y 。同除谱问题( 3 1 4 ) 与( 3 1 5 ) 的第一方程给出 ( 1 n ) ，= - 2 + 砌别x 名) o n y l ) f = a + b a , ( x ，五) 从( 3 1 1 2 ) ，( 3 1 1 3 ) 式的相容性条件有 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 2 ) ( 3 1 1 3 ) ( 一旯+ 2 u c o ( x ，五) ) ，= ( 彳+ a c o ( x ，五) ) ， ( 3 1 1 4 ) 将“烈x ，五) 的展开式( 3 1 8 ) 与族中方程所对应的五的多项式a ，b 代入上式，并令a 的同次幂系数相等。可见等谱烈方程族有无穷多个守恒律，不妨取n = 2 的情形1 7 1 ： ( i ti - - 1 x # - - 2 1 u x v - - u 2 v x 此时，a = 勉1 ，一2 矛，b = 2 u 2 一 ，+ 甜2 v ) 五 则( 3 1 1 4 ) 式化为 ( a u c o ( x ，见) ) ，= g u y - 2 3 , 2 + ( 2 “矛一( “，+ “2 v ) 旯) 烈工，五) 】， ( 3 1 1 5 ) 从而算得它的前三个守恒律为 ( 川，= ( 叱一詈“2 v 2 u 2 v ) ， ( 3 1 1 6 ) 一下u 2 v 2 ) ，= ( 一3 “2 吧4 - u 3 1 3 - - u x 叱) ， 为 辽宁师范硕士研究生学位论文 e = w y ( u r 3 d 其中h = ( d 代表时的对角部分，也恰是我们要得到的守恒密度函数。 下面设h ( n ) = h r 2 s ，e ( n ) = e r 2 n + lf ( n ) = 向2 州且它们满足 砷( 小) ，e ( 以) 】2 e ( m + 刀) ( m ) ，( 刀) 】= - 2 f ( m + 甩) p ( m ) ，厂( 刀) 】= h ( m + 刀+ 1 ) 则 u _ ( 孑转堋州。，+ v f ( o ， 且由 1 知 口= d e g h ( 1 ) = 2 , s l = d e g e ( 0 ) ，占2 = d e g f ( o ) = 1 r a n k r l 。1 ，r a n k o = 2 ，r a n k u = 1 ，r a n k v = 1 v g a l ， g = ( g 。j l ( 坍) + g ：。p ( 小) + 9 3 。厂( m ) ) 记 y = 口。h ( - m ) + b e ( - m ) + c 。f ( - m ) 满足( 3 2 4 ) 式，将( 3 2 4 ) 式代入( 3 2 3 ) 式，得 口w = c m + l u k + l y k = - 2 k + l 一2 a ，“ c 孵= 2 a _ v + 2 c _ + l 并赋初值 a o = 夕( 非零常数) ，b o = o ，c o = 0 则由递推公式( 3 2 5 ) - ( 3 2 7 ) ，得 a l ：一f 1 u v ，b 。：呐，c 。：廿 由于( 3 2 3 ) 是( 3 2 4 ) 的解，所以有 一( ，7 2 ”矿) + u ，( 1 7 2 4 功+ 】= ( r 2 y ) 一；一 u ，( 1 7 2 “乃】 其中 ( ，7 2 ”功+ = ( 口肼h ( n - m ) + b e ( n - m ) + c 雕f ( n - m ) ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 非线性方程的精确求解及其可积系统 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) 辽宁师范硕士研究生学位论文 同时得出 其中l = 卧倒= i 裟卜舢= s = 料 一三( 1 邓+ 叫。1 叫q a - ( 2 8 2 u v ) ( 1 + ( 8 一l ) 。1 l f 力】一1 ，2 a 一(2a+三2。u+v)。(a1-一(埘0力+一u们v力)-i。ma,】。1“2三( 1 + ( a 一叫一训q aj 3 4 结论 本文通过上面的推导看出利用新定义的基底和迹恒等式能够得到烈方程族的新的 h a m i i t o n 结构，同时利用构造r i c c a t i 方程得到守恒律。当然可以用这种方法把它推广 应用到其他谱问题当中。这里只是对基底和r i c c a t i 方程的一种构造，更多形式的变换 将会在日后的学习当中进一步研究 非线性方程的精确求解及其可积系统 4 一类新的达布变换及其应用 4 1 达布变换的简单介绍 对于a k n s 谱问题1 2 1 9 。= m 9 。 鼽= n 9 ， 为构造a k n s 谱问题的达布变换， 9 7 = 砌 将谱问题( 4 1 1 ) 变为 m = p r 劫lz 以 =(乞鬻2qa+iq一12r2 2 i 2 2 i q r ) i+ 讥 + j 对其进行一种规范变换 ( t 是非奇异变换) 虻= m 矿 ( 4 1 4 ) 由虻= l 9 + 砌，= l 9 + 孤细= m 审= m 却可得 + 掰= m t 即 m7 = 疋r - 1 + t m t - 1( 4 1 5 ) 如果变换( 4 1 3 ) 也将( 4 1 2 ) 变成 科= 切 ( 4 1 7 ) 同理可得 = z 丁- l + 肿- 1( 4 1 8 ) 从而可推出 m ；一圮+ m 一n m = t ( m ，一虬+ m n - n m ) t 一1 1 研 ( 4 1 9 ) 这表明要使得方程( 4 1 1 ) 在规范变换( 4 1 3 ) 下不变，我们要求膨和与m 和 有相同的形式，同时m ，中的旧位势g ，被映成m ，7 忠新的位势g ，通常这种 过程可不断的进行下去并产生一系列多孤子解。 4 2 负指数次达布变换 这里我们将其推广为名的负指数次幂 t = 疋矿+ 五矿+ 瓦 ) ) ) l n 厶口u 1 1 l 4 4 4 ，l，k，l 辽宁师范硕士研究生学位论文 乏) ，互= ( 三) ，瓦= e ：) c 4 2 1 ， 眨a 2 x 屯b 2 x 卜巴抄+ 旺轷 一祝( ：二) + ( ：g o 、1 2 l ，l f ，卜4 2 乏) 矿2 + ( ：) 五4 + ( ： ) _ ： 由名各次幂系数相等可得 b = c = 0 妒+ ( 三珍+ ( ： 肛( z h 珊 ( ：乏 = i ( 2 0 c 。一2 。b i + l l 口c x 。q r ， 一- d b t 。r ，q ， 一- c a 。l g q ) ( a c h l x ：) = l ( ：一2 。6 2 + l c 4 t ，q ， 一- 口b ，l ，r 叠q ， 一- c a 。l g q 巴( 1 2 x 笼m c 2 ：q - b ：2 ，r 咎2 q - 哪a 2 q 根据上述分析，为找达布变换提供了依据。以下讨论几种情况： 1 ) 若 ! l _ 1 ，d = = 一丢 。= 寺，丸= o 特别地，取d l = 1 ，由( 4 2 2 ) 式6 l ，= - 2 b 2 i + q 一口1 9 知 窖= b 1 ，+ 2 b 2 f + a l q 从而只要解出c l , b 2 ，口l 便可。 由( 4 2 1 ) 式可知 r ：f 矿2 + 口。n ：矿2 1 - i q z 。11 lc 2 r 2 + c l 矿d 2 f + 1 对应 ，厶，厶分别( ，厶) r ，k g ，t ，“”，_ ) r ，使得 1 9 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) 乞 ，_ = 互 佩m z一7m = 中 疋 其 由 解此方程组得 而 其中 a 一。= a 屯一 a c l 又由( 4 2 6 ) 式知 非线性方程的精确求解及其可积系统 4 l2 厶- 2 如g l 厶印l d e t a ，