（应用数学专业论文）带有小交叉扩散的捕食与被捕食模型的非负解.pdf

带有小交叉扩散的捕食与被捕食模型的非负解 n o n t r i v i a ls o l u t i o n so fp r e y p r e d a t o rs y s t e m s w i t hs m a l lc r o s s d i f l u s i o n 学科专业： 研究生： 指导教师： 应用数学 张红红 黑力军教授 天津大学理学院 二零零八年五月 中文摘要 本文主要讨论带有非线性反应扩散项的强耦合椭圆型方程 第一章为引言，介绍问题研究的背景和某些实际意义，以及本文的主要工作和 有待解决的问题 第二章给出了一些相关的定义和基本的定理，主要有上下解原理，以及经常用 到的几个定理等这些定义及定理都是解决后面问题必备的基础知识和重要工具， 在下文中将不再证明而直接应用 第三章讨论非负解存在的必要条件并给出方程解的先验估计 第四章利用上面的内容，讨论非负解存在的充分条件 第五章主要研究模型的半平凡解的分歧，并且给出这篇文章的主要定理5 1 第六章给出主要定理5 1 的证明 第七章主要给出分歧的一些基本的定义和定理 第八章利用分歧定义及定理，以捕食者的扩散系数为分歧参数讨论该模型解 的结构特点 关键词：非线性椭圆型方程；捕食与被捕食；不定权函数；交叉扩散；分歧 a b s tr a c t i n t h i sp a p e r ，ap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hs t r o n g l yc o u p l e dn o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o nt e r m si sc o n s i d e r e d f i r s t ，s o m ep r i o r ie s t i m a t e sf o rs t e a d ys t a t es o l u t i o n s a r ei n d i c a t e d s e c o n d l y ，w eg i v ean e c e s s a r yc o n d i t i o na n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d ys t a t es o l u t i o n s t h e nal o c a lb i f u r c a t i o nr e s u l ti sg i v e n f i n a l l y , w ed i s c u s st h es t r u c t u r eo fs o l u t i o n sw i t ht h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n t 嬲b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r s k e yw o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ；p r e d a t o r - p r e y ；i n d e f i n i t e - w e i g h tf u n c t i o n s ； c r o s sd i f f u s i o n ；b i f u r c a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特曼j , j j j t l 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：锨红组签字日期：z 护汐g 年钿争日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：纭纽钮 导师签名： 娶勿、单 签字日期：2 。d 解月争日签字日期：略年万月牛日 第一章序言 第一章序言 本文主要讨论如下一类带有小交叉扩散项的强耦合椭圆型方程组 z d 。 z d ( 1 1 ) x a d 其中，dc 是一个有界区域，t i ( z ) 和口( z ) 是x d 上的两个函数；a ，b ，c ，d ，e ， 均是正的常数；o t ，p 是非负的常数，且q 充分小使得a o ：c 从生态学的观点 来看，未知函数乱和v 分别表示被捕食者和捕食者的密度，口一b u 表示被捕食 者的增长率，使得当u 增大，被捕食者人口下降；反之则上升a 为被捕食者的 出生率及b 为被捕食者本身的密度制约模型说明捕食者仅依赖被捕食者而 存在，洮t ，表示被捕食者的被捕食率，由于c 0 ，该项随着钍和v 的增长而增 长类似的，g u y 表示捕食者通过消耗被捕食者的转化率 如果捕食者与被捕食者在任意一点z d 的种群密度定义为u ( z ) 和移( z ) ， 则方程( 1 1 ) 的非负解说明：捕食者与被捕食者在区域d 上可以共存，且捕食 者与被捕食者在o d 上密度为0 本文研究随着一些参数值的变化，模型( 1 1 ) 的非负解是如何变化的第 三节说明种群可以共存的必要条件( 即需要存在一个非负的且不恒为0 的 解) 是被捕食者的出生率及捕食者的扩散系数要相对大( 参考定理( 3 1 ) ) 第 四节说明，如果这个必要条件满足，则( 参考定理( 4 2 ) ) 共存是可能的当且仅 当捕食者不能进行太大的扩散通过用解藕的方法b l a t 和b r o w n 1 简化方 程( 1 1 ) 为单一方程，进而证明了这些结果然后在 2 2 上研究带有不定权函数 模型的解问题，这些问题先前已经被c o n v a y , g a r d n e r 和s m o u e r 3 及 4 】所讨 论 3 的这些结果局限于情形dcr 1 且在 4 中指出在这篇文章里指数类型 的讨论能够应用到这个问题第五节，应用局部分歧定理【6 】讨论从半平凡解 ( m ，n ) = ( ，0 ) 分歧的非平凡解的局部分歧现象第六节通过用前面预备性 的知识来证明主要结果第七节给出关于分歧理论的一些基本知识第八节 讨论，以扩散系数为分歧参量解的结构特点 1 仉 = = 弘 凹 件 乩 一 一 叶 0i如以q t 一 ： 机卜 1j t e u 0 0 、， 屯 ， 可 仔 一酬似帅 托 划 0 氓力舭础州 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 2 1 基本概念的介绍 众所周知的是如下的线性特征值问题 善一= 入妒，z 。， 【咖= 0 ，z a d 有一个无限的特征值序列 k ) ，使得0 0 则有以下结论：如果a 入1 ( g ) ，则( 2 2 ) 没有非零解；如果o l a l ( 口) ，则( 2 2 ) 有一个唯一的正解( 详细参考b r o w n 和 b l a t 1 ) 现在讨论：当捕食者种群不存在时，( 1 1 ) 的解，即当v 三0 时，则( u ， ) 是 ( 1 1 ) 的解只要u 满足 - a u = a u - b u 2 , x ed , ( 2 3 ) i 乱= 0 ，z a d ， 如果o 入l ，则u 三0 是( 2 3 ) 的一个唯朋解然而若a 入1 ，则( 2 3 ) 有一个 唯一的正解，记为 2 第二章基本概念和定理 2 2 基本理论的介绍 引理2 1 ( i ) 若a 入l ，则u 。a b ； ( i i ) 假定( u ，t ，) 是( 1 1 ) 的一个非负解，则对任意的z d ，有u ( x ) 让。( z ) ，v ( z ) ( 一e + g a b 一1 ) ( 1 + p 0 6 1 ) ， 证明：( i ) 显然u = a b 是( 2 3 ) 的一个上解，并且容易验证：对于充分小 0 ，有t = 1 是( 2 3 ) 的一个下解因此该模型唯一的正解t a 必须位于上 解与下解之间，这样就得到所要证明的结果 ( i i ) 显然是方程 f 一 ( 1 + q 叫+ “z ) 乱= 口u 一6 牡2 ，z 。， ( 2 4 ) 1 也：o ，z a d 。哇 的一个上解，其中g ( z ) = 铡( z ) 由于( 2 3 ) 有唯一的正解，则乱或者是这个解或 者u 兰0 ，因此u 必定位于上解的下侧即t 冬u a 记g ( x ) = ( 1 + p u ) 口假设v 不 恒等于零，则存在z o d 使得n ( x o ) = s u p n ( x ) ：z d ) ，由于在点x 0 处取 最大值，则d a ( 1 + 触( z o ) ) 可( z o ) 0 ，进而一e f v ( x o ) + g u ( x o ) 0 因此 v ( x o ) 一e + g u ( x o ) l 一e + g a b 一1 1 ， 从而 v ( x ) g ( x ) n ( x o ) = ( 1 + 卢u ( z o ) ) 口( z o ) s - e + g a b 一1 ) ( 1 - 4 - 卢n 6 1 ) 】， 这样得到所要的证明 定理2 1 假定( 1 1 ) 有一个非平凡非负的解( 札，口) ，则a 入1 ，且存在点 z d 使得g u 。( 。) e 证明：假设a 天1 ，则方程( 1 1 ) 的两边分别乘以( 1 + a v ) u ，且在d 上进行 积分，有 a ，二 ( 1 + 伽) 砰d x 一二【( 1 - i - a v ( 瑚钆( 训( 1 + 伽) 牡d x 3u 第二章基本概念和定理 = 厶u 瞰l + a 口) 一( 。口+ c ) t ，一酬( 1 + o z v ) u 出 入1 ，但对于所有的x d ，有g u 。( z ) e ，则 一d a ( 1 + p u ) 叫h - ( e 一9 u ( z ) ) 口( z ) = 一i v 2 ( z ) 入1 ，且存在z d ，使得g u a ( x ) e 则有结论：在d 的任何一个紧 子集上，随着。一o o ，有让口( z ) 小于等于并逐步接近a b 因此只要被捕食者的 出生率充分大，使之能解决捕食者在d 上任何一点的死亡问题，则该假设成 立下面说明：若( 1 1 ) 有一个非平凡非负的解，则扩散系数d 不能太大 通过解耦的方法处理( 1 1 ) 的两个方程，即设v c 1 ( d ) ，且考虑如下关于 i i , 的方程 i 一【( 1 + a v ) u + c u r = a u b u 2 ，z d ， iu = 0 ，z a d ， 设m = ( 1 + o r v ) u ，则“= 面从而 以黼肚脚一尚) ，x 6d , ( 3 1 ) im = 0 ，z o d ， 有结论：如果口入1 、( a l a + + 。c ) v ，其中t ，= 秒( z ) ，则( 3 1 ) 没有正解；然而若o a 、( a 。a + 。c 。) v ，则( 3 1 ) 有一个唯一的正解如下表示为从c 1 ( d ) 的映射 j ，m ( 口) = 0 ，若o 入1 ( 警竽) ， im ( ”) = ( 3 1 ) 的一个唯一的正解，若n a i 、( a v 十, + 。c 。) v ， 显然( m ( 口) ，钉) 是( 3 1 ) 的一个非平凡解，当且仅当可是如下单一方程的一个正 解 1 篇一州“州咖一d 其中u ( u ) = 甓，且由n = ( 1 + z u ( v ) ) v ，得口= 1 + 川n 从而 也= 鲁薏一c 鲁嚣一篇+ 岳) ， 2 ， 进一步得到 一一糍： 寻一、d ( - - 。e + + p g u a _ 一面- e + 厕g u + 珂) 】， 5 第三章非负解存在的必要条件及解的估计 因此( t ( 口) ， ) 是方程( 1 1 ) 一个非平凡解，当且仅当t ，满足方程( 3 2 ) ，当且仅当 e 业g - d p u a ，其中g 邸入1 由以上结论，引入一个等价 于( 1 1 ) 的半线性椭圆方程组，且给出其先验估计 f 一m = m - s - 赢一矸b m 研】，z d ， 一d a n = ，l 业l l - p u a 一( 黹一- - 娜e + g 矿u 、南m d ， ( 职) 【m ( z ) = ( z ) = 0 ，z o d ， 其中m = ( 1 + a v ) u ，n = ( 1 + z u ) v ，且u = u ( m ，) t j = v ( m ，n ) 是( m ，n ) 的函 数，则有 ( ：) _ 矗而( 1 箩1 兹) ， 满足 i 蛳蛳l o ， l v mt ，l 因此，在( u ，t 7 ) 0 与( m ，) 0 之间，存在一个一一对应，且( m ，) 0 容易 验证对于口 入1 ，( e p ) 除了平凡解( 0 ，o ) ，仅有一个半平凡解( ，o ) 引理3 1如果口a 1 ，或者g 妒入1 ，则( e p ) ( 或等价的( 1 1 ) ) 没有正解 证明：( 反证法) 假定对于情形g d 了a l ，( m ，) 是( e p ) 的一个正解观察 ( 3 2 ) ，则 一删= 鲁薏一( 鲁署一可- e + 万g u + 奇矗) 】 鲁署 烈1 ， 因而 _ n ) h n , x 蛆6 d 产生矛盾因此对于情形g 印a 1 ，得到结论 类似的，由于( 3 1 ) ，则 一m = m 而a - c o 一西睾亳户) d 雕1 中，给出正解 的先验估计 定理3 1假定( 1 1 ) 有非平凡非负解( 缸，口) ，则a 入1 且g d 卢a 1 ；更进一 步的，存在点。d ，使得让。 业g - d 卢a 1 ，即e ( 9 一d z a l ) u 。一d a l 3 2 非负解的先验估计 引理3 2设( m ，) 是( e p ) 的一个正解，则有 u m 口a b 证明：容易验证 叫篇一矸b m 研罟 = 害 ( a o ! - c ) 一酬k 暑 ( 1 + q u ) 2 7 叫一百 0 由于条件o a c ，因此m = 罟是如下方程 一m 圳而a - - f r o 一群舞】 的一个上解从而得到 让m 詈 下面将证明 m u 。罢， 通过简单计算，有 一m m ( a b m ) = u ( o b u c y ) 一m ( a b m ) = 羔( 口一而b m 石一删一m ( 口一b m ) - - - - - - - - - j 一 1 + a 口、1 + q 7、 ( 3 3 ) 第三章非负解存在的必要条件及解的估计 = 羔一n m 一羔+ 彬一篇 = m ( 去一1 ) ( 8 一( 矗+ 1 ) + 三) ， 由于条件口a c ，及m a b ，则n b m ( 1 志a v + 1 ) + 差2 a 一2 b m 0 又因 耳1 丽一l 0 ，从而 m ( 志_ 1 ) ( 沪蝴( 志+ 1 ) + 三) o ， 因此一m m ( a b m ) d , s a l ，且存在点z d ，使得t l a 丽d a l + e 下面说明： 当所有其它的参数是固定的，以至于上述假设成立，则( 1 1 ) 有一个非平凡解， 当且仅当扩散系数d 充分小类似的用解耦方法分解方程( e p ) ，如下给出： 设可c 1 ( d ) ，考虑如下关于m 的方程： 善一m + 盎m = m ( 志一再肇知) ， z d ， ( 4 1 ) 、m = 0 ， z o d ， 峥j 因此，若口入1 ( 嘴) ，则( 4 1 ) 没有正解；然而若口 入1 、( a ，a + + a c 勘) v ，则( 4 1 ) 有唯 一的正解定义为一个从c 1 ( d ) 的映射： ，m ( 口) = 0 ，若口a ( 竽) ， 【lm ( 口) = ( 3 1 ) 的一个唯一的正解，若口 a i ( 继l + o t v 、， 显然( m ( 口) ，口) 是模型( e p ) 的非平凡解，当且仅当移是如下单变量方程的一 个正解 一d a ( 1 + 黜) 叫= 口( 一e f v + 黜) ，z d ， 、”：o ，。o d ， 即 也：“_ e ，时畿) ，x ed , ( 4 2 ) 【n = 0 ，z o d ， 为了分析( 4 2 ) ，运用f 1 】研究秒_ m ( v ) 的性质 引理4 1( i ) 钉一m ( v ) 是从c 1 ( d ) 到c 1 ( d ) 的一个连续函数，且随着 t ，一0 ，有m ( v ) 一 证明：由 1 】知：m ( v ) 是从c 1 ( d ) 到c 1 ( d ) 的连续函数假设t ，一0 ，则如 下方程的解 锹关苗巾砘_ 州一d 、 1 0 第四章非负解存在的充分条件 趋向于如下方程的解u d 仳- a ：u 。，= z u ( a - a 。b u ，) 茁。 因此，随着t 7 0 ，有结论m ( v ) 叶钍。 方程 一d 【( 1 + p u ) 叫= v ( - e 一，口+ g u ) = f ( n ) = f ( o ) + ，7 ( 0 ) + ，( o ) 2 + o ( n 2 ) = 鲁薏一( 鲁署一篇一t - o ( n ) ) n ， 因此 一= 入【m ) 一n ( z ，) ，z d ，( 4 3 ) 、o ， 【n = 0 ，z o d ， 其中入= 1 d ，r e ( x ) = 碉- - e + g u a 。( z ) ) ，及佗( z ，) = ( z ) - 1 e + + p g 。u 。一- - 1 e + + p g 。u + 石n 】由假 设知：m ( x ) 在d 上变号设p ：c 1 ( d ) _ c 1 ( d ) 是一个与n 有关的n e m y t s k i i 算 子，即对于任意的d ，有p ( n ) x = n ( x ，) 显然p 连续，并且在c 1 ( d ) 上，随 着一0 ，有i i p i | = o ( 1 l n l l ) 因而，相应于( 4 3 ) 的线性化算子是 - - 概 ) ，x 6d , ( 4 4 ) 【n = 0 ，z o d ， 其中，权函数m ( x ) 在d 上改变符号，这些结果已经被k a t o 和h e s s 2 】及b r o w n 和l i n 5 所研充有结论( 参考 2 ) ：至少存在( 4 4 ) 的一个最小特征值p 1 ( 通 常称为主要特征值) ，且p 1 是一个简单的特征值，使其相应的特征函数在d 上不变号更多的是：在【2 】里说明，当在( a ，n ) 平面上，讨论( 4 3 ) 分歧图时，即 在rxc 1 ( d ) 上，点( p l ，0 ) 是方程的一个分歧点，并且在r c 1 ( d ) 上，存在包 含( m ，0 ) 的一个无界的连续统c ，且使得：只要( a ，n ) c ，有在d 上是正 的 2 的结论仅仅针对于p 是一个局部算子有帮助，其中p ( n ) x = 礼( z ，( z ) ) 但是容易验证，这些证明也能推广到非局部的情形，现在给出证明 定理4 1 假定定理( 3 1 ) 的条件满足，则存在( 1 1 ) 的非平凡非负解( 等 价于e p ) ，当且仅当d p 1 ，即d 弘l ，( 4 3 ) 有一个非平凡解即d p f l ，则 ( e p ) 有非平凡解所以，( e p ) ( 或等价方程( 1 1 ) ) 满足d o ) 这样推得a p 1 ( o ) 是一个单调递减的函数，因此被捕食者的存活率越高( 即 a 的值越大) ，捕食者的扩散率d 越大在这种情形下种群的共存是可能的 根据a 也能给出扩散率的一个上界基于b r o w n 和l i n 5 】有p l ( 口) 入l j m a x 。e dm 口( z ) 因此只要d a 1 ，( e p ) 有一个正解，如果以下条件成立 a 1 ( 一五il g u 十。p - u e 。) 。 ( 5 1 ) 有必要解释一下，定理5 1 的含义，假设a 和d 是正的参数，在( a ，d ) 平面上，引 入如下集合 s = ( 0 ，d ) 砗：a 1 ( 一j 19 1 + u a 触- e 。，= o ，。 ( 5 2 ) 将在第六部分给出定理5 1 的证明 引理5 1 集8 构成了一个有界的曲线，并且拥有表达式 s = ( o ，d ) j 埠：口= 口。( d ) 0 0 ， 1 4 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 第五章从半平凡解进行的分歧 对任意固定的0 d 9 ( 雕1 ) ，有 l i es ( 口，d ) = a 1 ( 一c 咿) = a i g ( d ) 0 ， ( 5 5 ) n _ + o 。 且有 兰 一反g u 十a - - e ， = 一面g 和+ e 哥p 丽o u a o ， ( 5 6 )一1 一一；( i j nh i a 口。 d ( 11 - p u o ，d ( 1 + p t 正n ) 2a n 、” 、”， 由于函数q - 入1 ( g ) ：c ( b ) 一c ( b ) ，和a 一： a 1 _ o o ) 一c ( b ) 严格递增，因 此由( 5 6 ) 知：对任意的( a ，d ) 【入1 一0 0 ) x ( o ，( 触1 ) ，有 8 a ( o ，d ) 0 ， ( 5 7 ) 对于固定的0 礼，定义b a n a c h 空间x 和y 为 弘_ 舻巾( d ) n 咄( d ) 】 舻伊( d ) f i w j 巾) 】 ， ( 5 1 1 ) iy ：= _ 2 ( d ) 2 ( d ) 1 5 第五章从半平凡解进行的分歧 引理5 2 假设口 入1 ，则如下的局部分歧性质成立：设0 a i ) 进行分歧，当且仅当a = n + 更进一步的，临近( 仳。，0 ，a 。) x r 的所有正解曲线能被表示为：对于某一 个妒x 和6 0 ，n = ( 。+ s ( 妒- - i - m ( s ) ) ，s ( 机+ ( s ) ) ，a ( 8 ) ：0 a 1 ，设，( u ，口) = u ( a 一阮一删；g ( z ，t ，) = * ( 一e 一如+ 9 u ) 这里 “和口是( m ，n ) 的一个函数通过以( m ，n + ) 为中心进行t a y l o r s 展开，简化 ( e p ) 的微分方程 ( a m ) + k 以g ( u 以( m 篡j n 篡嚣v ( i 篡：n 篡+ ( 浇嚣) ( 滗：誉；) ( m n 二= n ) + 。，+ ) ，+ ， + ) ) ( 筑，虻) 、( u 勃，u ) 一 。 ，pl(m坩-m*，,n一-n。*)、kp2(m n n = ，k 0 、o ) ， 一m 4 ，一+ ) 其中咒：= 九( u ( m + ，n + ) ， ( m + ，n + ) ) ，u 新：= t m ( m ，n + ) 其它的符号可以通过 类似的规则进行定义，这里p i ( m m + ，n n + ) ：i = ( 1 ，2 ) 是光滑函数，使得 矿( 0 ，0 ) = 所i m ，1 ( o ，0 ) = 0 对方程 黜m = ( 1 伽+ a v ，) 口u 进行微分，得到 1 = - - o 口l 篡) ， 设( m + ，n + ) = ( u 。，o ) ，通过计算说明 慨分g 羹) a n d 妒翠) ， 并且记y ( u 。，0 ) = u a ( n b u a ) = - - a u a ，及夕( u 口，0 ) = 0 ，令厨：= m u a ，则 ( 篙) + 翠) g 霎l + i u a ) 防( 箍= 5 m ， 1 6 第五章从半平凡解进行魄分歧 其中( 厨，；n ) ，0 = l ，2 ) 是光滑函数，满足对任意的n 入1 有如n ( o ，0 ，o ) = 0 定义一个映射f ：x r y ，如下： f c 府，；n ，= a 厕+ ( a - 2 b u a ) 警丢荔菇+ f 弋府，) ，c 5 3 ， 由于( m ，) = ( u 。，o ) 是( e p ) 一个半平凡解，则对于口 a 1 有f ( o ，0 ，口) = 0 由 ( 5 1 3 ) 知，在点( 府，；o ) = ( o ，0 ，口) 处，该f r c c h e t 算子f 被定义为： 叽，妒r 一裂三茅) ， 由上式知： k e rf ( j l ( j ，) ( 0 ，0 ，a ) = s p a n 妒，奴) ， 这里妒为 妒= 一( 一- a + 2 阮。) 一1 竺垒! 二二芋辈鼍警。) ， 其中一( 一a a 。+ 2 b u 。) 一1 是一a a 。+ 2 b u 。在o d 上带有齐次d i r i c h l e t 边界 条件的逆算子 如果( 元，石) r a n g e f ( 1 9 l , n ) ( o ，0 ，纵) ，即对于某一个( 危，七) x ，有 f a h + ( 口。一2 b u 。) 危一旦鱼生二掣苫睾彦警k = 元，z d ， a k + 瓮七= 菇，z d ， 【h = k = 0 ，z o d ， 第二个方程有解k ，当且仅当厶菇以d x = 0 对于解k ，由于一一口。+ 2 b u 。可 逆，则第一个方程有唯一的解h ，进一步得到c o d i m r a n g e f z ( j i ( o ，0 ，口+ ) = 1 为 了在点( 厨，a ；) = ( 0 ，o ，a + ) 处应用c r a n d a u - r a b i n o w i t z 6 局部分歧理论，还需 证明 ，、 f ( 1 1 4 , n ) , a ( 0 咖) ( 羔) 加n g e 水0 ，) ， 由于反厨，) ；口( o ，0 ，口车) = 0 ，对( 5 1 3 ) 进行基本计算，得到 一o ，o 舣，黔r 噜k 2 鬻嚣川础) ， 1 7 第五章从半平凡解进行的分歧 ( 反证法) 假定存在k w 2 , p n 孵”，使得 。 忌+ 币- - e 雨+ g u a 后= 币g 田+ e b 瓦o u a l 。：。机， 以上方程两侧同时乘以机，并且进行积分，则 0 _ d g + e b o u a 恼。镞2 如， ( 5 1 4 ) 是不可能的由于u o 关于a 单调递增，则( 5 1 4 ) 的右边必定是正的又因 厨= m u a ，则运用局部分歧定理 6 】获得断言注意：运用k r e i n r u t m a n 定理 知，除了a = a 。以外的分歧点是不可能的 1 8 第六章重要定理5 1 的证明 第六章重要定理5 1 的证明 这一节，将用先前章节中的结果，证明定理( 5 1 ) 首先，延伸局部分歧分 支n ( 引理( 5 3 ) ) 为全局解分支 从延伸中获得如下性质： 命题6 1 若a a 。，则( e p ) 至少有一个正解 证明：对于局部分歧分支r 。，设 是n 在方向a a l 上，作为( e p ) 解曲 线的一个最大延伸，则通过分歧定理( r a b i n o w i t z 7 】) 至少有一个性质成立 ( i ) 在x r 上无界 ( 税) 在( 仳，t ，口) ( u 。，o ，a 。) 处，满足平凡或半平凡解曲线 下面引进如下的正锥 p ：= u ) ：乱 o ，口 0 ，z d ；赢o u 入1 ) 进行分歧， 并且不能从平凡解曲线 ( o ，0 ，o ) ) 分歧的解曲线因此( 也，移，a ) = ( 札。，0 ，口。) ，这 与( 2 ) 相矛盾，因而( 2 ) 被排除，且( 1 ) 满足通过( e p ) 正解的有界性，及正 解在范围a a 1 是可延伸 的运用全局分歧理论，如果a a 。，则至少获得一个正解从( u ，口) ( 0 ，0 ) 和 ( m ，) ( o ，o ) 的一一对应关系知：口 口。当且仅当入1 ( 一赘) 0 因此性 质( 6 1 ) 推得定理( 5 1 ) 成立， 1 9 第七章分歧的基本概念及理论 第七章分歧的基本概念及理论 7 1 方程( 1 1 ) 的等价变换 假定在( 1 1 ) 中，( o t ，p ) ( 0 ，0 ) ，感兴趣的是，形如平凡解( 札，口) = ( u 。，0 ) 的解 分支，其中t 。满足：对于任意的z d ，有+ u 。( 口一b u 口) = 0 记m = u ( 1 + c w ) 及n = t ，( 1 + p 让) ，容易验证( t ，t ，) 是( 1 1 ) 的非负解当且仅当0 m ，0 且 ( m ，n ) 满足 | _ m = 州篇一而b m 砰】，z d ， 一d a n = 毛著一万矗酽】，z d ， ( e p ) 【m ( z ) = ( z ) = 0 ，z o d ， 因此在( u ，口) 0 和( m ，n ) 0 之间存在一一对应关系，并且它们的关系能被 描述如下： u 叫尬) = 坐型兰型等坐型幽丝， 移刮尬) = 盟型! 型等尘型， 及 ( u 秽m m ) - 志( 1 善。兹) 设p ：= u a m ；q ：= n ，则得到如下的等价方程 l a p = - - a u a + ( p 一) 眚茜+ 箐铆】，z d ， 一d a q = q 剐r - 1 e + + 卢g 。u 一可知1 ，z d ， ( e p ) 7 【p ( z ) ：q ( 。) = 0 ，z o d ， 其中p = t 。一仳( 1 + a 口) ，q = v ( 1 + 卢让) 及( 只q ) = ( o ，0 ) 是( e p ) 的一个平凡解， u p ( o ，o ) = 一l ，u q ( o ，o ) = i _ = - - 瓦o l u a ，v p ( o ，o ) = o ，v q ( o ，o ) = i _ 瓦1 且 - a ：u a 。，= z u a ( a a - 。b ，u a ) ，z 。， 第七章分歧的基本概念及理论 a p - a ”( p - u ) a 而- c o + 筹群】 ：p + 札。a - + ( p - u a ) 篇+ 等等 = a p + a p - 2 阮。p + 兰丞竺专三掣q + ，( 口，z ，p q ) d q + q 篇一苦备= d q + q 鲁等州螂，删，z 咄 fa p + a p 一2 b u 。p + u ( c + 1 0 十n p - t 1 2 。b a u ) n w + ，( o ，z ，p ，q ) = 0 ，z d ， d a q + q 黹+ 9 ( n ，z ，p ，q ) ，z d ， ( e p ) ， 【p ( z ) ：q ( z ) = 0 ，z o d ， = 一百( a a + c ) v p + u 。( 2 b p + 垒芋竿2 竺) 一阮：+ 警；# 葛孑等一兰型堕二于字q ， 如，鹕q ) = ( 篇一鲁署) q 一善备， fp = a k p 一2 b k ( u 。p ) 一一k 【r u a ( c + l + 卢- 。2 。b a u a ) r ，) + k f ( a ，p ，q ) = 0 ，z d ， d q = 一e k q + ( e p + g ) k 亡锯】+ k g ( a ，p q ) ，z d ， ( 1 1 ) 7 ip ( x ) = q ( x ) = 0 ，z o d ， p = n k p - 2 b k ( u a p ) 一k 型蔫掣纠，( 1 - 1 ) ， 【q = 一5 k q + 曼色d 纽t 盟l + u , a = - e , k k q + ( e p + 夕) a k ( 昔劣亳) ， 2 1 第七章分歧的基本概念及理论 7 2 分歧的重要定理 令x 是一个b a n a c h 空间，且让t ：r x y 是连续的紧微分算子，使 得t ( a ，0 ) = 0 若记t 为 t ( a ，钍) = k ( a ) u + r ( 口，牡) ， 其中k ( a ) 是紧线性算子，并且它的f r e c h e t 微分满足吼( n ，0 ) = 0 ，以n 作为分 歧参数来研究方程u = t ( a ，牡) 的分歧现象 定理7 1假设( a ，0 ) 是t = t ( a ，z ) 的一个分歧点，则 ( z ) k ( a ) 有特征值1 ； ( 钇) 若 ( n n ，钍。) ) 是非平凡解的一个序列，使得a n _ a 且一0 ，则存在 乱。 的一个序列，仍记为 u 。】，使得牡。| | i | _ u o ，其中u 0 是k ( a ) 的相应于 特征值1 的特征向量 证明：由于一t ( a n ，u n ) = 0 ，且对于任意的n ，有t ( a 。，让。) = 詹咒( o 。，s ) d s ， 从而 一孔( 口，o ) = 陬( o n ，s ) 一冗( 口，0 ) u n d s ， ，0 让v n = i | 忆则 一k ( 口) ：厂1 陬( 口。，s ) 一死( 口，o ) d s ， ，o 且随着佗一，积分项趋于0 ，即l i m 。o ( 一k ( 口) ) = 0 又因有界，且k ( a ) 是紧的，则存在子序列，使得k ( a ) v n 收敛因此存在的子序列收敛，记为u o 对一切n 和u o 0 ，有l k 0 = 1 且显然t 0 一k ( a ) u o = 0 ，即k ( a ) u o = l u o 设k ：x _ x 是一个紧线性算子，并且让入。是k 的非零特征值，则k 一1 0 i 的零空间n ( k 一入o ，) 非空定义a o 的零空间为m ( k ；入o j ) = u 墨1 n ( k a o i ) p ， 则有结论 n ( k a o ，) 至n ( k 一知j ) 2 主n ( k 一入o ，) 3 三， 且存在f 使得n ( k 一, x o i ) p 至n