（概率论与数理统计专业论文）乘积误差模型mem及其应用.pdf

摘要 自从1 9 8 2 年a r c h 类模型诞生以来，大量关于波动率模型的研究相继涌现。 此后，研究金融市场中事件到达的间隔时间的持续期模型a c d 及其衍生模型也 迅速发展起来。另一方面，在金融数据的广泛使用下，许多学者进行了实证研究， 也取得了众多重要的实证成果。2 0 0 2 年，e n g l e 在“n e wf r o n t i e r sf o ra r c h m o d e l s ”一文中对2 0 年来发展的a r c h 类模型、3 类高频波动率模型和衍生定 价模型等模型，在金融和经济等各领域的应用做了一个分析和总结。同时，文中 提出了对取值非负的过程建立m e m s ( 即乘积误差模型) 的设想，即设定非负值 过程为一个条件确定性的时变尺度因子和一个标准的取值为正的随机变量的乘 积。m e m 具有与a c d 模型相似的模型形式，而且a r c h 类模型也可以转变为 它的一种特例。由于对金融市场的研究已经越来越多地涉及非负值序列( 如证券 市场的绝对收益率，金融持续期，交易数目，交易量，最高一最低价差等) ，m e m s 的提出正好可以为此类序列建立模型，刻画它们的统计特性，同时还解决了其它 模型建模时所存在的问题。因此，作为a r c h 类模型与a c d 类模型共同的拓展 模型m e m ，其相关理论是值得详细而深入研究的。 本文给出了对金融时间序列建立m e m 的理论，内容包括模型引入的背景， 基本模型的设定，模型的扩展，参数限制条件和模型估计等。首先我们研究单变 量m e m ，即一元m e m 的模型建立和相关统计性质，并且考虑混合的新息过程 ( 即新息分布取混合分布的形式) 和混合的条件期望方程( 伴随混合新息过程的 相应混合) 的应用。随后，我们将单变量m e m 推广至多变量的m e m ，即向量 m e m ，给出了多变量m e m 带混合g a m m a 边际的模型理论，并且采用c o p u l a 关联函数理论来估计混合的多变量m e m 。实证分析部分我们将双变量m e m 带 混合g a m m a 分布的模型应用于上证指数的两个波动率指示因子的序列，即绝对 值对数收益率和最高一最低价差序列，并将逐个方程估计的结果与c o p u l a 函数联 合估计的结果进行对比。实证说明了m e m 广泛且行之有效的应用性。 关键词：m e m ；混合m e m ；多变量m e m ；c o p u l a 函数 a b s t r a c t i nt h e2 0y e a r sf o l l o w i n gt h ep u b l i c a t i o no ft h ea r c hm o d e li n19 8 2 ，t h e r eh a s b e e nav a s tq u a n t i t yo fr e s e a r c hu n c o v e r i n gt h ep r o p e r t i e so fc o m p e t i n gv o l a t i l i t y m o d e l s s u b s e q u e n t l y , t h ed u r a t i o nm o d e la c da n dm a n yo fi t sd e r i v a t i v em o d e l s c o m ef 0 n h ，a n dh a v eb e e nd e v e l o p e d r a p i d l ya n ds u c c e s s f u l l y w i d e r a n g i n g a p p l i c a t i o nt of i n a n c i a ld a t ah a v ed i s c o v e r e di m p o r t a n ts t y l i z e df a c t sa n di l l s t r a t e db o t ht h es t r e n g t h sa n dw e a k n e s s e so ft h em o d e l s t h e r ea r en o w m a n ys u r v e y so ft h i sl i - t e r a t u r e i n2 0 0 2 ，r o b e r te n g l ep u b l i s h e dh i sp a p e r “n e wf r o n t i e r sf o ra r c h m o d e l s ”，i nw h i c h h eb r i e f l yd i s c u s s e dt h r e eh i g h f r e q u e n c yv o l a t i l i t ym o d e l s ，l a r g e - s c a l em u l t i v a r i a t ea r c h m o d e l s ，a n dd e r i v a t i v e sp r i c i n gm o d e l s w h a t sm o r ei m p o r t a n t ，i nt h i sp a p e r , o n ef u r t h e rf r o n t i e ri se x a m i n e di nm o r ed e t a i l a p p l i c a t i o no f a c dm o d e l st ot h eb r o a dc l a s so fn o n - n e g m i v ep r o c e s s e s ，t h a ti sm u l t i p l i c a t i v ee r r o r m o d e l ( m e m ) ，w h i c ha s s u m e st h a tt h ee v o l u t i o no fan o n n e g a t i v ev a l u e dp r o c e s s c a nb ed e s c r i b e db yt h ep r o d u c to fat i m ev a r y i n gs c a l ef a c t o r ( w h i c hd e p e n d su p o n t h er e c e n tp a s to ft h es e r i e s ) a n das t a n d a r dp o s i t i v ev a l u e dr a n d o mv a r i a b l e t h i s c l a s so fm o d e l sh a v eas i m i l a rf o r m u l a t i o nw i t ha c dm o d e l s a n dt h ea r c hm o d e l c a nb eae s p e c i a ld e m o n s t r a t i o no fm e m n o w a d a y s ，m a n yr e s e a r c h e sa b o u t c h a r a c t e r i s t i c so ff i n a n c i a lm a r k e tu s i n gn o n - n e g a t i v ep r o c e s s e sa st o o l ，j u s tl i k et h e a b s o l u t er e t u r ni ns e c u r i t ym a r k e t ，t h ef i n a n c i a ld u r a t i o n ，n u m b e ro ft r a d e s ，v o l u m e a n dh i g h l o wr a n g e t h ea p p l i c a t i o no fm e m sc a ns h o wi t sa d v a n t a g eo nb u i l d i n g m o d e l si nt h e s ef i e l d s ，d e s c r i b i n gt h e i rs t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c sa n ds o l v i n go t h e r p r o b l e m sw h i c hb r o u g h tb yp r o c e s s i n gd a t e t h e r e f o r e ，a sae x p a n d e dm o d e lf o rt h e c l a s s e so fa r c hm o d e la n da c dm o d e l ，m e m sd e s e r v eo u rd e e p e ra n dp a r t i c u l a r r e s e a r c h t h i sp a p e rg i v e st h er e s e a r c ha b o u tb u i l d i n gm e mo nf i n a n c i a lt i m es e r i e s ，w h i c h i n c l u d i n gt h eb a c k g r o u n do fm o d e li n t r o d u c t i o n ，t h es e t t i n go fb a s i cm o d e l ，t h e e x t e n s i o na n de s t i m a t i o no fm o d e la n do t h e rr e s t r i c t i o nc o n d i t i o n so fp a r a m e t e r s t h e a u t h o rw i l la n a l y z et h eu n i v a r i a t em e m ，a n dc o n s i d e ra b o u tam i x t u r e i n n o v a t i o n p r o c e s sw i t ham i x t u r ec o n d i t i o n a le x p e c t a t i o na tt h es a m et i m e ，w h i c hm e a n st h e u n i v a r i a t em i x t u r e - m e m t h e nt h ep a p e rw i l le x t e n dt h eu n i v a r i a t em e mt ot h e m u l t i v a r i a t em e m ( w h i c hi st h ev e c t o rm e m ) ，a n ds e tu pt h em u l t i v a r i a t em e mw i t h i n n o v a t i o np r o c e s sf o l l o w i n gam i x t u r e - g a m m ad i s t r i b u t i o n t h ea u t h o rw i l la l s ou s e c o p u l af u n c t i o nt h e o r yi ne s t i m a t i n gm u l t i v a r i a t em i x t u r e m e mi nt h i sp a r t i nt h e e m p i r i c a la n a l y s i sp a r t ，t h i sp a p e rw i l lu s et h eb i v a r i a t em e mw i t hm i x t u r e g a m m a d i s t r i b u t i o no nt w oi n d i c a t o rs e r i e so ft h ev o l a t i l i t yo fs h a n g h a is t o c ki n d e x ，t h a ti st h e a b s o l u t el o g a r i t h mr e t u r ns e r i e sa n dh i g h l o wr a n g es e r i e s ，c o n t r a s t i n gt h ee s t i m a t i o n e q u a t i o nb ye q u a t i o na n dt h ej o i n te s t i m a t i o no fc o r r e l a t i o nw i t hc o p u l a s t h i s e m p i r i c a la n a l y s i sc a nf u l l yt e s t i f yt h ef e a s i b l ea p p l i c a t i o no fm e m k e yw o r d s ：m e m ；t h em i x t u r e m e m ；t h em u l t i v a r i a t em e m ；c o p u l af u n c t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：裂一j 段 z 9 0 9 年多月g 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( l ( 请在以上相应括号内打“4 ) 作者签名：多史丽救 导师签名：苗择七织 日期：加略年多月6 日 日期：例9 年彩月6f t 第一章引言 第一章引言 第一节研究背景及选题意义 波动率是当今金融计量经济学研究的热门和重点。在金融资产的收益率序列 中，波动率可以被定义为收益率的条件方差。波动率一般不可直接观测，但所具 有的一些特征还是为其建模提供了工具。其中重要的一个特征就是波动的聚集性 ( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ) 。实证研究表明，定义来衡量金融市场波动率的条件方差是 随时间变化的，在变化过程中，大的波动后面往往伴随着幅度大的变化，而变化 小的波动则往往跟着幅度小的变化，这就是聚集性特点。此外还有波动连续性， 波动范围有限和杠杆效应等波动率特征，这些都是探究波动性的重要依据。 国外对金融波动率的研究已有一段历史，许多金融学家和经济学者在实证分 析中提出了许多理论模型。先前的研究假定收益率序列服从稳定过程，于是随机 游动模型，对数正态分布模型等传统模型相继产生，而近年来的研究又发现股票 的收益率序列并不服从这一稳定过程，因此，一些经济计量学家开始对收益率的 一、二阶矩的时变i 生( t i m e - v a r y i n g ) 进行建模，而其中最具权威和代表性的就是诺 贝尔经济学奖得主e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出的自回归条件异方差( a r c h ) 模型 1 。 自从a r c h 模型提出后，2 0 年来其广泛应用于金融和经济界，并随之涌现出大 量揭示波动率性质和改进a r c h 模型的研究著作，包括b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出 的推广的自回归条件异方差( g a r c h ) 模型及其衍生模型等等 2 】；另一类波动 率模型就是t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 提出的随机波动率( s v ) 模型，此模型不像g a r c h 类模型那样将波动率方程视为一个过去扰动和条件方差的固定函数，而是视为一 个随机变量，对其建模 3 】。s v 模型很大程度上增加了条件方差演变方程的灵活 性，更加符合现代金融理论，它在金融分析和预测等方面都有着广泛的用途，但 其参数估计由此也变得比较困难，精确似然函数比较难求，所以应用起来有一定 的局限。随着计算设备与计算方法的大大改进，m c m c 方法逐步应用于s v 模 型的估计，使得s v 模型的应用范围也大大扩展了。 另一方面，伴随着金融市场日益增进的自动化模式及计算机技术、电子交易 系统的飞速发展，数据的获取和处理的方法得到了长足的进步。从通常的以年、 乘积误差模型( m e m ) 及其应用 月、周、日为频率的采集数据方法逐渐发展到采集以小时、分钟或秒为频率的日 内交易数据( 高频数据_ h f d ) 。同时，在对金融市场微观结构的深入研究中， 人们对考察市场的流动性、效率和交易成本等方面的期望也越来越迫切。基于这 些原因，实证研究又开始大量使用实时交易数据( 分笔数据) ，也就是所谓的超 高频( u l t r ah i g hf r e q u e n c y ) 时间序列( 金融市场的超高频时间序列包括交易的到达 时间和标值两类变量，e n g l e ( 2 0 0 0 ) 研究了计量经济中超高频数据的应用 4 】) 。 这些低成本数据的可利用性催进了金融研究的一个新领域高频金融的发展。 包括金融学、计量经济学和时间序列统计学在内的种种对高频数据的分析都迅速 成为更深入探究市场行为的有效途径与方法。这些发展不仅仅局限于学术理论， 也影响着整个市场的交易环境。e n g l e 和r u s s e l l ( 1 9 9 8 ) 针对超高频数据不等时 间间隔的特点，结合考虑交易时间包含着信息等因素，提出了自回归条件持续期 a c d 模型，用以刻画交易持续期，分析交易到达时间。此文提出了新息服从指 数分布的e a c d 模型和新息服从韦布尔分布的w a c d 模型，并研究了各自的统 计性质，由此打开了对不等时间间隔的金融数据建模的理论和实证发展之门 5 】。 此后1 0 年，a c d 的各种应用模型迅速得到发展，这期间还有许多学者利用模拟， 分布选取等方法改进了a c d 的各种估计。所有这些研究都是为了更好地表示金 融市场中事件到达或发生时间的点过程，以此来掌握整个交易的时机。 随着a r c h 类模型和a c d 类模型的广泛使用，g h y s e l s 和j a s i a k ( 1 9 9 8 ) 将 它们结合起来，提出了a c d g a r c h 模型 6 。e n g l e 又对其进一步改进。随着 研究的深入，g a r c h 类模型也经常被引用于其他变量，包括前述的a c d 模型。 e n g l e 和r u s s e l l ( 1 9 9 8 ) 在研究中就发现a c d 和g a r c h 模型是同构的，由此 可以考虑一种与g a r c h 类模型结构相似，且应用更广的一般模型以对一类特殊 的金融时间序列建模，而这类序列就是非负值序列。在金融市场中，取值非负的 时间序列是很普遍的，例如5 分钟交易的交易量份额，或一段时间间隔内的最高 价与最低价的差额，或买卖报价( a s k b i dp r i c e ) ，或连续的两次交易的间隔时间， 或某段特定时间内的交易次数，或其他等等。据此，e n g l e ( 2 0 0 2 ) 提出了一种 应用于非负值序列的新模型乘积误差模型( m u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e l ) 7 】。 此类模型的主体部分是：所研究的非负值过程可以表示为一个时变尺度因子和一 取正值的随机变量的乘积。m e m 是g a r c h 类模型的拓展，它具有与a c d 模 第一章引言 型相似的模型形式和性质，只是它所研究的变量不局限于金融持续期，考虑的数 据涵括年、月、周、日为频率的时间序列数据和超高频数据，所以它是a c d 类 模型一个更一般的应用。 综上所述，由于人们对金融市场的考察越来越深入，所感兴趣的变量也越来 越多，为了研究它们，金融和经济学家不断地探索和开发新的模型，新的估计方 法，因为已有的计量经济学工具已经不能满足建模的要求了。m e m 的提出就是 一个很大的启发，已经有许多学者开始关注它，并发表了一些相关的论文。但是， 尽管如此，其这两年的研究成果却集中于实证分析，理论上的突破并不多，而国 内对此的研究又相对比较少，所以我们有必要进一步地考查m e m 模型。 第二节文献综述 自从1 9 8 2 年a r c h 类模型诞生以来，有关波动率的研究就一直是金融计量 经济学的中心。此后，研究金融市场中交易事件到达时间的持续期模型a c d 及 其衍生模型也迅速发展，十年来取得了显著的成果。作为a r c h 类模型与a c d 模型共同的拓展模型m e m ，国内外现在也有一些不错的研究成果。以下就将综 合阐述一下。 一、国外相关研究 e n g l e ( 2 0 0 2 ) 对2 0 年来a r c h 类模型( 包括其众多改进模型，g a r c h 、 a r c h m 、e g a r c h 、t g a r c h 等等) 在金融和经济等各领域的应用做了一个 深刻的分析和总结【7 】。他指出伴随着这些具有强大竞争力的模型和金融数据的 广泛使用，大量揭示波动率性质，预测收益率的研究文献也诞生了，可以说在波 动性这块领域中目前的研究己达到了空前的成就。其后他提出了波动率研究的5 个发展方向，即高频波动率模型方向，多变量模型方向，期权定价和套期保值模 型方向等，并指出可以利用模拟的方法来求条件期望模型。在整篇文章的第四部 分，e n g l e 首次提出了乘积误差模型( m e m ) ，并简单介绍了该模型的性质和估 计方法。这篇论文体现了e n g l e 敏锐的洞察力和数学嗅觉，其中最为重要的就是 m e m 的提出，他提到在2 0 0 0 年m a n g a n e l l i 就应用相似的m e m 结构的模型对市 乘积误差模型( m e m ) 及其应用 场微观结构中的交易量进行建模，m a n g a n e l l i 将收益率、持续期和交易量合为 个三变量系统方程，然后估计这系统间的脉冲响应 8 】；而c h o u ( 2 0 0 1 ) 和e n g l e 与g a l l o ( 2 0 0 3 ) 也估计了基于已实现波动率和最高一最低价差的模型以获得更有 效的波动率估计量，这些模型都具有m e m 形式 9 1 0 1 。所以m e m 为学者们研 究许多重要的金融和经济变量提供了一个新的平台。 m e m 提出后，e n g l e 和g a l l o ( 2 0 0 6 ) 应用此模型对3 个波动率指标变量( 日 对数收益率、日最高一最低价差和日内已实现波动率) 建模，并给出了明确的估 计方法，实证表明这3 个指标是具有显著相关性的，文章的最后他们将3 变量模 型的波动率预测与由v i x 衡量的指数期权的隐含波动率的预测相比较，发现无 论是样本内还是样本外的预测，效果均很不错 1 1 】。在此文的实证分析部分，作 者估计模型时假设新息项的方差一协方差矩阵为对角矩阵，也就是对3 个变量采 用逐个方程估计。这种估计方法得到了广泛的使用，如g a l l o 和v e l u c c n ( 2 0 0 5 ) 基于5 分钟收益率的不同波动率测度 1 2 】，b r o w n l e e s 和g a l l o ( 2 0 0 5 ) 关于每小 时收益率，交易量和交易数目 1 3 】，及e n g l e ( 2 0 0 5 ) 关于金融市场间波动率影 响的文章 1 4 】。2 0 0 4 年g a l l o 又将简单的指数混合分布应用于m e m 的乘积随机 变量，实证结果表明采用混合分布比简单的一元分布的预测效果好很多 1 5 】。 m m k k ul a n n e ( 2 0 0 6 ) 提出了混合m e m 模型，给出了一般概率混合分布的形式， 实证分析中采用混合g a m m a 分布，拟合和预测的效果都很好 1 6 】。在此文中 m a r k k ul a n n e 还指出可用矩阵来表示多个一元分布形成的混合分布，不局限于 两个。k a t j aa h o n i e m i ( 2 0 0 7 ) 又发表了一篇实证分析的文章，将上述混合m e m 应用于买入与卖出期权的隐含波动率，诊断检验表明混合乘积模型对数据能很好 地拟合，在样本外预测方面，乘积结构模型也比a r i m a 模型优良，同时，一期 权交易模拟实验也证明了乘积模型的优越。i 生 1 7 1 。g a l l o 和m a 玛h e f i t av e l u c c n ( 2 0 0 7 ) 同样应用m e m 模型对波动率进行建模，做了一实证分析，研究超高频 波动率各测度的相互影响 1 8 】。c i p o l l i m 等( 2 0 0 6 ) 研究了关于m e m 的多变量 拓展，并且考虑向量的新息过程存在同步相关的情况，由于缺少多元正值随机变 量的概率密度函数，估计可能受阻，在这篇论文中，他们采用c o p u l a 函数和估 计方程联合估计新息过程的相关性，从而为解决向量m e m 的估计问题提出了有 效可行的新方法，是一很大的突破 1 9 】。 4 第一章引言 由于a c d 模型与m e m 具有非常相似的模型结构，所以关于a c d 模型的许 多研究都可以相应地应用于m e m 上。研究背景中提到，在a c d 模型发展的1 0 年中涌现了大量的改进模型，这些都可以作为m e m 的一个参照。接着我们就将 综合阐述一下a c d 模型的研究文献。在e n g l e 和r u s s e l l ( 1 9 9 8 ) 提出标准a c d 模型后 5 】，l u n d e ( 19 9 9 ) 又提出了g e d a c d 模型 2 0 。g r a m m i n g 和m a u r e r ( 2 0 0 0 ) 质疑e n g l e 和r u s s e l l ( 1 9 9 8 ) 中标准a c d 模型的风险函数的单调性， 于是提出了b u r r - a c d 模型 2 1 】。随着对时间序列和波动率中长记忆现象的理论 和实证的深入研究，j a s i a k ( 1 9 9 8 ) 提出分数阶积分a c d ( f l a c d ) 模型 2 2 】。 在分析市场微观结构时，b a u w e n s ( 2 0 0 0 ) 又引入改进的l o g a c d 模型，更好 地进行拟合 2 3 。此外还有d u f o u r 等( 2 0 0 0 ) 的e x a c d 模型 2 4 1 ，z h a n g 等( 2 0 0 1 ) 的t a c d 模型 2 5 1 ，f e m a n d e s 等( 2 0 0 6 ) 的a a c d 模型 2 6 】。除了对a c d 模型 本身的拓展外，许多国外学者也在其理论研究的基础上提出了一些不一样的模 型，例如考虑参数限制条件放宽的b a u w e n s 等( 2 0 0 4 ) 的s c d 模型 2 7 】。s c d 模型与l o g a c d 模型一样，都是对取完对数的条件期望建立方程，但彼此有一 个本质的区别，那就是，s c d 模型设定对数条件期望是一个随机变量，它服从 a r m a 过程，而l o g a c d 模型则认为条件期望是过去持续期和本身滞后值的 一个固定函数。这种区别类似于s v 模型对g a r c h 模型的改进，所以同样可以 利用m c m c 方法来估计。当把这种思想应用于m e m 中，就会产生l o g m e m 和s m e m 这两类不错的拓展模型。除了s c d 外，g g j ( 2 0 0 4 ) 也提出了随机波 动率持续期( s v d ) 模型，此类模型考虑了同s v 模型一样的随机波动性，所以 应用起来更为灵活 2 8 】。总的来说，目前关于a c d 模型的研究成果是非常显著 的，m a r i a ( 2 0 0 6 ) 就对1 0 年来a c d 模型的理论和实证文献进行了概述 2 9 】。 a c d 模型本身是根据a r c h 类模型的思想发展而来，其许多衍生模型也是 参照a r c h 类模型，所以作为二者的更一般形式m e m 在模型发展上已经可 以有机地结合a r c h 和a c d 类模型的优点，发展一套完整的m e m 理论。 二、国内研究情况 国内学者对金融计量经济学的波动性也有深入透彻的探索。近1 0 多年来， 随着我国金融和证券市场体制的日趋完善，我们对金融市场的研究也是更加广泛 乘积误差模型( m e m ) 及其应| j 与深入。国内关于a r c h 类模型的理论与实证文章很多，许多学者在分析a r c h 类模型的推广方面都得到了显著的成果，实证类研究也都取得了预期的效果。 在m e m 方面，关于a c d 模型的研究特别突出，尤其是a c d 及其扩展模 型的概述文章已有很多。鲁万波( 2 0 0 5 ) 就a c d 模型及其扩展分析了目前金融 高频数据计量模型的新动态 3 3 】；王晶，王玉玲等( 2 0 0 6 ) 介绍了高频金融计量 经济学中时间序列的自回归条件持续期模型，并综合了目前几种研究方法，对其 应用现状作了简要的概述 3 4 】；同时，他们也从统计特性方面出发探讨了平稳过 程a c d 模型的一些相关性质 3 5 】；陈敏，王国明等( 2 0 0 3 ) 研究了中国证券市 场的a c d g a r c h 模型及其应用 3 6 ；马超群和张明良( 2 0 0 6 ) 利用l o g a c d 模型分析中国证券市场的高频交易数据，通过实证研究探寻价格持续期的聚类现 象和平均交易量对交易价格持续期的影响 3 7 】；耿克红和张世英( 2 0 0 7 ) 在现有 金融市场超高频时间序列建模的研究基础上建立了a c d g a r c h v 模型，通过 实证分析考察了超高频交易量变化率及交易持续期对金融产品收益率和波动性 的影d f l 3 8 ；还有徐国祥和金登贵( 2 0 0 6 ) 关于a c d 的非参数设定检验的实证 研究等文章 3 9 】。也有些研究文献关注于应用持续期模型来分析金融市场，如买 建国( 2 0 0 5 ) 将持续期模型应用于分析商业银行利率风险免疫管理 4 0 】；林伟斌 和王立立( 2 0 0 6 ) 利用我国限价指令驱动市场分笔数据所包含的信息，在交易量 持续期的基础上提出一个符合限价指令驱动市场的流动性指标，从市场微观结构 理论出发，选取了非对称的若干代理变量来分析非对称信息对市场流动性的影响 程度 4 1 】；张世英和耿克红( 2 0 0 7 ) 针对股票市场的超高频持续期序列，提出了 长记忆随机条件持续期模型( l m s c d ) ，并给出了模型参数的极大谱似然函数估 计方法，然后，利用沪市浦发银行股票的超高频持续期数据，分别建立了交易持 续期、价格持续期和交易量持续期的长记忆随机条件持续期模型，验证了中国股 票市场超高频持续期序列长记忆性的存在 4 2 】。 目前，完全针对m e m 的论文尚缺，而随着该模型的重要性逐渐受到关注后， 国内在此方面的研究也会日益增多。 综上国内外的相关文献，我们知道，作为一类新的模型m e m 的研究目 前还不多，而且集中于实证分析，所以对其仍有很广阔的研究空间。 6 第肇引言 第三节研究的内容和创新 一、研究问题和方法 本文主要研究乘积误差模型( m 嚣m 。 理论研究分为对单变量m e m 和多变量m e m 两部分的讨论。首先，介绍单 变量m e m 的基本形式，相关性质，及其各种扩展模型，并详缨讨论模型中新患 分布的选取和相应的估计方法；其后，介绍多变量m e m 的模型形式，统计性质， 模型鲢相关结构，重点讨论其中c o p u l a 函数联合估计带混合g a m m a 新息过程的 m e m 的方法。 在实证分析部分，我 | 、j 剃用沪市股票的霞数据来分析m e m 的实用性，将 双变量m e m 应用于上证指数的最高一最低价差和绝对值对数收益率这两序 列，考虑的新息过程服从混合的g a m m a 分蠢，且对比条件期望方程是否以概 率变化的两类模型的拟合结果，根据残差检验来分析模型的有效性。为了探究 c o p u l a 函数估计方法的优劣，我们也给出了逐个方程估计，将二者的估计结采 进行了对比。由此实证分析可以更加具体地说明m e m 对取非负值的序列建模 是合适的。 本文的创新之处主要有：在单变量m e m 模型中，考虑服从混合g a m m a 分 布的新息过程，对简单m e m 进行拓展；在多变量m e m 模型中，同样选用混合 g a m m a 的新息边际分布，结合考虑条件期望方程以概率变化的模型，根据c o p u l a 函数理论对模型进行估计；实证分析采用r 语言软件，逐个方程估计带混合 g a m m a 新息的双变量m e m ，并联合估计c o p u l a 函数表示的带混合g a m m a 边际 的双变量m e m ，实现了理论所述的估计方法。 二、结构框架 本论文共分五章，论文结构安排如下： 第一章是弓| 言，介绍所研究课题的背景，文献综述，研究内容、方法和 相关理论。第二章详细地介绍单变量m e m 的模型形式，性质，估计方法以 及一元混合m e m 等内容。第三章主要讨论多变量m e m 模型，即向量m e m ， 介绍其与单变量m e m 的联系，模型的c o p u l a 估计方法等内容。第四章主要 乘积误差模型( m e m ) 及其应用 利用上证指数数据，对其建立双变量m e m 模型，估计参数，进行实证分析。 第五章总结全文。 第二章单变量m e m 第二章单变量m e m 本章介绍单变量乘积误差模型，也就是一元乘积误差模型( t h eu n i v a r i a t e m u l t i p l i c a t i v e e r r o rm o d e l ，m e m ) 的基本理论( e n g l e ( 2 0 0 2 ) 提出 7 】，e n g l e 和g a l l o ( 2 0 0 6 ) 推广 1 1 ) ，内容包括模型的引入，模型的形式，误差分布的选 用，参数的限制条件，估计方法和一元混合m e m ( g a l l o 等( 2 0 0 4 ) 将混合过程 应用于金融日内持续期 1 5 】，m a r k k ul a n n e ( 2 0 0 6 ) 推广混合m e m 的一般形式 1 6 】) 。 第一节模型的引入 在第一章我们提到，对波动率建模所广泛使用的模型是g a r c h 类模型和随 机波动率( s v ) 模型。而当g a r c h 类和s v 类模型结构应用于其他变量时就会 产生新的几类模型，其中比较典型的就是a c d 模型和s c d 模型，所以理论上 g a r c h 模型与a c d 模型，s v 模型与s c d 模型是同构的。当把a c d 模型和 s c d 模型的应用变量持续期推广到一般的非负变量，就产生了m e m 和推广 的随机m e m ( s m e m ) ( 本文不讨论s m e m ) 。以下简单介绍上述这几种与m e m 相关的模型和m e m 的最基本形式。 g a r c h ( 1 ，1 ) 模型：设 薯) 是一收益率时间序列，取值不一定非负，且消除 自相关均值部分，则模型形式为： i 薯= 啊 【磅= + q l + 哆曩一i 其中、q 和哆是待估系数，如x t 的条件方差，即e ( # lf 一。) = 啊，对应的是 波动方程。这里的误差项或新息可以选择标准正态、学生t 或广义误差分布 ( g e d ) 等，即设乞if 一。一d ( o ，1 ) ，d 表示这些分布函数，而f 一。是过去直到t l 时的信息集( 全文同) 。此类分布要求均值为0 ，方差为l ，且e ( il f 一，) = l 。 s v ( 1 ) 模型：基本假设如，模型可以表示为以下两种等价形式，即 9 乘积误惹模型( m e m ) 及其应用 卜厄或，毒i 仍q 【t n a , 2 4 - 0 ) il n h , 一l + q 【仍= o j o + c o 隅一l + q 这里仍= h l 以，q ，q n ( o ，1 ) ， e t ) 和 q ) 是相互独立的，即l n h , 服从平稳a r ( 1 ) 过程。 a c d 模型：定义薯为一个事件在一。时刻发生到时刻发生的持续期，考虑 简单的a c d ( 1 ，1 ) 模型： ? ! 12 誓毛 ，e qf , 一】：1 ，：e if , 一l 】 【2 o + o ) 1 薯一1 + ( 0 2 y - i 这里的q 可以选取标准指数分布、标准韦布尔分布或标准广义伽马分布，要求分 布的均值为1 ，且对应的随机变量取值为正。同时，此模型的系数限制比较严格， 要求 o ，q 0 ，0 ) 2 0 ，q + 哆 1 等保证模型平稳和取值非负的充分或充要条 件。 l o g a c d 模型：基本假设如，考虑简单的l o g a c d ( 1 ，1 ) 模型： t 2 p 乞 ，e 乞i f , 一。】：l 【少f = + qi n x i l + 吐杪h 1 。 此模型设定已经不需要再严格要求系数非负，可在第二个方程中任意加入体现微 观结构的因子或其它外生变量，因为它对第一个方程的条件均值取了对数。 s c d 模型：基本假设如，为建立持续期过程的相依性，假设对数条件均值 服从一个平稳的a r ( 1 ) 过程。简单的s c d ( 1 ) 模型为： 荔，三c o o ：q 一。+ ，( | qj 。 ( 3 ) 虑更一般的g a m m a 分布，指数分布是它的一个特例。g a m m a ( 2 ，y ) 随机变量x 州川研，- 蠡叫p 。 其中五，y 0 ，分别称为形状参数和尺度参数，1 1 ( ) 为g a m m a 函数。g a m m a ( 2 ，y ) 随机变量的均值和方差分别为：e ( x ) ：兰，砌，( x ) ：三。为使误差分布均值为1 ， 应限制五= y ，得到e ( 毛if , 一。) = 鲁= 1 ，砌，( q f , 一1 ) = 告= 了1 ， 也可以令 几几 乞= 磷，万= 兰，使得e ( 彳i f , 一，) = i ，且t = “s ，= 。由此，误差分布的密度 qf t _ i 锄砌( 砌) ，胞限1 ) - 高矿k ，p 。 ( 4 ) 由g a m m a 线性性质：x g a m m a ( 2 ，7 ) ，常数口 0 ，有y ：a x g a t u n a ( z ，兰) ，可 啦- l 国m m m ，务胞= 禹矿1 鸬。云( 五圳( 5 ) 鸬i ( 九j 由( 5 ) 式，可得e ( _ i f , 一，) ：以，砌厂( qi f , 一。) ：竿。此g a m m a 分布具有普遍使用 乘积误差模型( m e m ) 及其应用 x 川咖删= 蒜唧c 一刮等卜咄咄州 。 其中盯称为散度参数，重要矩：e ( x ) = ，砌r ( x ) = 了f ( 丽3 2 ) c r 2 。可以证明g e 。是 一个位置尺度分布。要将g e d 应用于非负序列的条件分布，汪蒽剑g a m m a 和 g e d 分布一个重要的关系式： x g e d ( 舻硝慨l 孚1 国m 聊础埘 在( 1 ) 式的模型设定中，若qf t g a m ，z 口( 无五) ，则有lf 一“g 口脚聊“无丢) ， 由上述两个分布的关系式可得： # if 一。一h a l f - g e d ( o ，五) ( 6 ) 事实上，若i 互一。g 口朋胁口( 五，五) ，一1 生产辛，则q = 彩g e d ( 。，1 ，a ) ，而 下式 x ；= p | 0 1 、) 对应的条件密度即为： # l f 一- 。厂( x i 五) 2 而丽, 见a - - ie x p ( 一丢。1 ) o ) ( 8 ) 口 对于( 7 ) 式，一个应用的特例是：由( ，盯2 ) = g e 。( ，盯，互i ) ，n ( 0 ，1 ) = g e 。( 。，l ，三) ， 可知在g a r c h 类模型中，设定口，= q _ 可以转变为a ，2 = q 2 u 2 的形式，其中口，为 收益率序列扰动( 排除均值) ，q 为条件方差，_ 为方差为1 的误差项。由于 e ( u 2i f 一。) = l ，我们就可以应用m e m 的模型，而另一方面，如果令薯= 口，2 ， 以：q z ，q ：u z ，在( 7 ) 式中取五：委，假设u n ( o ，1 ) ，则一z 2 ( 1 ) ，且有 下述等价形式成立： 口，= q 匕扛= 厄 ( 9 其中矿的分布与前面一样