（光学专业论文）平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性的研究.pdf

摘要 本文研究均匀平面波本经阶跃光纤的传播特性和输出光强分布特性。 第一部分为理论分析。首先，推导出光波在均匀空间传播所满足的波动方程。其次， 针对光波在光纤中传播的具体情况，推导出柱面坐标系下的波动方程。再次，利用分离 变量法推导出乎面波在阶跃光纤中传播的模式表达式，讨论了光波在光纤中传播的模式 特性。 第二部分根据模式表达式具体分析了平面波在阶跃光纤中的传播特性。结果表明， t e l l 模是阶跃光纤中传播的基模，并占有总能量的大部分。随着纤芯半径的增大，即模 式数量的增加，t e l l 模的能量占有率将由1 0 0 趋向7 0 。能量占有率比较大的另外两 个模式是t e 叭和t e 2 1 ，t e 0 1 占总能量的1 5 左右，而t e 2 1 则占4 7 左右。 第三部分讨论了平面波经阶跃光纤传播后的光强分布问题。根据入射光的相干性分 为非相干和相干两种情况进行讨论。结果表明，对于非相干情况，输出光强为中心对称 和沿径向非均匀衰减形式；对于相干情况，输出光强分布为复杂的峰谷分布形式。 关键词：阶跃折射率光纤标量理论模式的能量占有率出射端光强分布 a b s t r a c t t h i sp a p e re n c l o s et h em o d ea n dt h ed e n s i t yd i s t r i b u t i o np r o p e r t yo ft h e s t e p - i n d e x o p t i c a lf i b e ra f t e rp l a n ew a v ec o u p l e di n t oi t t h ef i r s t p a r ti st h e o r y f i r s tt h ee q u a t i o no ft h ep l a n ew a v es h o u l db eo b t a i n e di n e q u a b l ym e d i u m s e c o n d ，f o rt h es a k eo ft h eo p t i c a lf i b e ri sc y l i n d e r , t h ew a v ee q u a t i o n s h o u l db es h o w e du n d e rc o l u m nc o o r d i n a t es y s t e m 1 1 1 砷t h em o d es o l u t i o ni so b t a i n e d u s i n gt h es e p a r a t i o no f v a r i a b l e s t h el a s t ，t h em o d et r a n s i t i o np r o p e r t yi sd i s c u s s e dw h e n t h e p l a n ew a v e t r a n s m i ti nt h es t e p - i n d e xo p t i c a lf i b e r t h es e c o n dp a r ti st h em o d et r a n s i t i o np r o p e r t ya n dt h ee n e r g y o c c u p a t i o n o fe a c hm o d e i ns t e p - i n d e xo p t i c a lf i b e ra c c o r d i n gt ot h em o d es o l u t i o n i ti sc o n c l u d e dt h a tt e l lm o d ei s t h em a i nm o d e ，a n di t a l w a y sp o s s e s s e st h em o s te n e r g y t h ee n e r g yo c c u p a t i o no ft e l l c h a n g e sf r o m1 0 0 t o7 0 t h eo t h e rt w om o d e st e 0 1a n dt e 2 lp o s s e s s e st h es e c o n d o c c u p a n c y t e 0 1p o s s e s s e s1 5 a n dt e 2 1p o s s e s s e s 4 7 t h el a s tp a r ti st oa n a l y z et h ed e n s i t yd i s t r i b u t i o na tt h ee n df a c eo ft h eo p t i c a lf i b e r a c c o r d i n g t ot h ei n t e r f e r e n c eo f l i g h ts o u r c e ，t w oc o n d i t i o n ss h o u l db ec o n s i d e r e d t h ef i r s t i si n c o h e r e n ti n c i d e n c el i g h t t h ed e n s i t yd i s t r i b u t i o ns h o w sc o r o n e ta st ot h es i n g l em o d e a n dt h ed e n s i t yd i s t r i b u t i o ns h o w s e q u a l i t ya st ot h em u l t i m o d e s e x c e p tt h el i t t l eh o l l o wi n t h eo p t i c a lf i b e rc o r e t h es e c o n di sc o h e r e n ti n c i d e n c el i g h t i tc o n c l u d e dt h a tt h ed e n s i t y d i s t r i b u t i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h ei n c i d e n c ef a c ev e r ym u c h b e c a u s eo fi n t e r f e r e n c e k e yw o r d s ：s t e p 。i n d e xo p t i c a l f i b e rs c a l a r t h e o r y m o d ee n e r g y o c c u p a n c yd e n s i t y d i s t r i b u t i o n 论文题目：半面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 第一章引言 1 9 7 0 年，柯宁玻璃公司研制出衰减小于2 0 d b k m 的低损耗光纤。自此，光纤通信 实现了长距离传播。到了1 9 7 5 年，研制出的光纤种类已多达几十种，并被应用到不同 的领域。1 9 8 5 年，研制成功衰减小于0 3 d b k m 的光纤。到目前，光纤的衰减已经降到 0 1 6 d b k m 了，其应用领域更是十分广泛。 1 1 光纤概述 光纤是一种圆柱光波导介质，它能够约束并引导光波在其内部或其表面附近沿其轴 向方向传播。一般而言，光纤所传播的光波波长位于红外区域和可见光区域。光纤的结 构如图1 1 所示。 图1 1 光纤的结构。 光纤通常分三层，最内层是纤芯，由透明介质制成，是光波的传播媒体；次外层是 包层，也是由透明介质制成，但其折射率要略低于纤芯的折射率，它与纤芯一起构成光 纤。光波主要集中在此两层内传播。外层为涂敷层，一般由高损耗的柔软材料制成，起 着增强机械性能和保护光纤的作用。同时涂敷层也阻止纤芯光功率串入邻近光纤线路， 抑制串扰i l l 1 2 光纤的分类 光纤的分类方法有很多种。从材料上，光纤可分为：石英系光纤、塑料光纤和红外 第一章引言 材料光纤。石英系光纤是采用化学气相沉积法( m c v d 法) 或气相轴向沉积法( v a d 法) ，在高温下沉积为预制棒，然后进行拉丝、套塑而制成的。塑料光纤是以光学塑 料为材料而制成的，具有重量轻、韧性好、工艺简便等特点。红外材料光纤是由红外材 料( 如氟化物玻璃和硫化物玻璃等) 制成的，具有极低的理论损耗值，多用于长距离光 纤通信。 从结构上，光纤可分为：阶跃折射率分布光纤和渐变折射率分布光纤。阶跃折射率 分布光纤是指纤芯折射率各处均匀，有恒定折射率值1 1 t ，包层各处的折射率亦均匀，有 恒定折射率值n 2 。且n l 1 3 2 ，在纤芯与包层界面处折射率发生阶跃变化，即 珂( r ) ：玛o r 口! 纤芯中?(11)。 珂( 7 ) 2 1 月：， 口( 。= - 1 舾1 ：= 2 下r q n ) 1 1 ) 渐变折射率分布光纤是指光纤纤芯介质折射率是变化的。在纤芯轴线处折射率最高( 为 n 1 ) ，沿径向随半径的增大折射率逐渐变小，在包层与纤芯分界面处折射率最低( 为n 2 ) ， 包层折射率一般保持不变。 从传播特性上，光纤可分为：单模光纤和多模光纤。当光纤纤芯中只传播一个模式 时，为单模光纤，当传播两个或两个以上的模式时，为多模光纤。 从用途上，光纤可分为普通光纤和特种光纤。特种光纤是指具有某种特殊性能的光 纤，包括：( 1 ) 保偏光纤、( 2 ) 有源光纤、( 3 ) 双包层或多包层光纤、( 4 ) 增敏光纤、 ( 5 ) 特殊涂敷层光纤、( 6 ) 耐辐射光纤和( 7 ) 发光光纤等1 2 1 。 1 3 光纤的模式 光纤的作用让是光波在其中传播。由于光波本质上是电磁场，所以光波的电磁场分 布即模式。 有关光纤的模式有两种解释理论，一种是射线理论，另一种是标量波动理论。 要理解模式，首先要理解数值孔径。所谓数值孔径，用n a 表示，它代表在光纤内 部能够得到全反射的光线最大入射角。 n a = n 2s i n = ( h ；一，2 拶” ( 1 2 ) 又根据折射定律：n ：s i n 口一= s i n o i ，得到光线在光纤外入射的最大角度为曰，。只有 角度小于等于数值孔径角的光线才能进入光纤并进行传播。 ( 1 ) 用射线理论解释模式 2 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 a b 图1 2 光纤断砸光线传播。 当光束幅度小于纤芯直径时，入射光中的一根光线( 1 ) 在上界面a 点产生全反射， 成为指向右下方的光线( 2 ) ，又在下界面的b 点产生全反射，成为指向右上方的光线 ( 3 ) 。在a 点产生全反射时，入射光线( 1 ) 的波面和反射光线( 2 ) 的波面产生干涉， 形成干涉驻波s a ，同样，在b 点光线( 2 ) 的波面和光线( 3 ) 的波面也会产生干涉驻 波s b 。但是光束的幅度大于纤芯直径，那么这种干涉驻波就不能到达另一侧的界面。 由于光纤内到处都存在着向右上方和右下方行进的波面，所以驻波s a 向下延伸与 驻波s b 连接起来，形成统一的驻波。这样的情况充满整个光纤。当给出光纤长度、纤 芯和包层的折射率，以及入射光波长后在光纤内传播的光的电磁场分布就会保持特定几 个波节数，于是就有一定数量波节的驻波向前传播。因此在光纤内传播的光只能有几种 特定的电磁场分布，这种特定的电磁场分布称为模。只形成一个模的光纤就是单模光纤， 能形成多个模的光纤就是多模光纤。 ( 2 ) 用标量波动理论解释模式 所谓模，是在推导光纤中光波波动方程对，对应于满足光纤纾芯与包层的边界条件 的电磁场分布状态。在光纤中可以传播的模式有两种：t m 波和t e 波。在传播方向有 电场分量，但没有磁场分量，即h ：= 0 ，这种模式的电磁波称为横磁波，简称t m 波。 在传播方向有磁场分量，但没有电场分量。即e 产o ，这种模式的电磁波称为横电波， 简称t e 波。其他形式的电磁场形分布都可以用t m 波和t e 波的适当的幅相组合来表 征3 l 。 1 4 光纤的损耗 光纤损耗的定义 删n 等( 肿) 只。、 。 ( 1 3 ) 第一章引言 其中，只。是输出时的功率，圪是输入时的功率，口代表光纤的损耗。单位是奈培( n p ) 。 产生损耗的原因主要有以下5 方面： 1 物质的吸收损耗，包括纤芯、包层的吸收。这其中又包括：( 1 ) 物质的本征吸 收：这是物质的固有吸收。物质的固有吸收有两个频带，一个在近红外的8 1 2 , t a n 波段 内，另一个在紫外波段内。( 2 ) o h 。离子的吸收：在熔石英玻璃里，o h 的吸收带在 o 5 1 0 a n 区域内。( 3 ) 跃迁金属离子吸收：跃迁金属有铁、铜、铬等，它们有各自的 吸收极峰和吸收带。( 4 ) 原子缺陷吸收：由于加热过程或者由于强烈的辐射，玻璃材料 会受激而产生原子的缺陷，产生损耗。 2 物质的散射，包括纤芯、包层的的散射。这其中又包括：( 1 ) 本征散射：玻璃 在加热过程中，由于热骚动，使原子受到压缩性的不均匀或者压缩性的起伏，这使物质 的密度不均匀，进而使折射率不均匀，这种不均匀性在冷却过程中被固定下来。( 2 ) 受 激r a m a n 和受激b r i l l o u i n 散射：物质在强大的电场作用下，会呈现非线性，导致光纤 内传播的频率改变或者产生新的频率，使物质对入射波有散射作用。这种由非线性诱发 或激发的散射有两种，即受激r a m a n 和受激b r i l l o u i n 散射。在频率门限值以下，对传 播不产生影响。但是因为光纤很细，电磁场又集中，所以产生了这种散射，还会有较长 距离的相互作用段。 3 波导散射，即交界面随机的畸变或粗糙所造成的模式转换和模式耦合。 4 光纤弯曲所产生的辐射损耗，这种弯曲即衰减和曲率半径呈指数关系。 口，= c le x p ( c 2 月) ( 1 4 ) 其中口，是弯曲产生的衰减系数，c l 和c 2 是常数，r 是曲率半径。 5 涂敷层损耗，纤芯里的导波模和包层罩的辐射模都可以进入涂敷层，于是产生 涂敷层损耗“1 。 1 5 光纤的色散 光纤的色散也是一个重要的概念。色散即群速不同。由于光纤的色散，使输入脉冲 在传播过程中展宽。色散的种类有： 1 物质色散，它是物质的折射率随频率的变化而引起的色散。 2 模式间色散。是在多模传播的状态下，由于光纤各模式在同一频率下的传播系 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 数不同，导致群速不同引起的色散。 3 波导色散。它是模式本身的色散。即对于光纤某一个模式本身，在不同的频率 下，传播系数不同，导致群速不同引起的色散。 4 光源的非单色性 4 1 0 1 6 光纤的应用 光纤的应用可分为通信、传感和传能等大的方面。 光纤通信是光信号以光纤为载体从一个地点传播到另一地点。光纤通信系统主要由 发端的电端机、光端机、光源、光缆和接收端的光检测器、光端机、电端机构成。电端 机的作用是对来自信息源的信号进行处理，电信号通过发送端的光端机调制光源，把电 信号变换成光信号，通过光纤传播到远方，再由接收端的光检测器、光端机，把来自光 纤的光信号还原成电信号，经放大、整形、再生，恢复原形后，输入电端机。对于长距 离的光纤通信系统，还需要中继器，作用是把经过长距离光纤的衰减和畸变后的微弱光 信号放大、整形，再生成为一定强度的光信号，继续向前传播。可以看出，光纤通信系 统对光纤的要求主要是损耗低，色散小，它决定了光纤通信系统无中继能传播的最大距 离和信号的传播速率。 光波在光纤中传播，表征光波的特征的振幅、相位、偏振态、波长等因外界因素如 温度、压力、磁场、电场、位移、转动的作用而发生变化，从而可将光纤用作传感元件 来探测各种物理量。光纤传感器系统包括：光源、光纤、传感头、光探测器和信号处理 电路。按光纤中光波调制的原理分为：强度调制光纤传感器、频率调制光纤传感器、波 长调制光纤传感器、相位调制光纤传感器和偏振调制光纤传感器。按测量对象分为：光 纤温度传感器、光纤浓度传感器、光纤电流传感器、光纤流速传感器等1 5 。 光纤传能多以光纤束为基础，将光能或图像从一个地点传导到另一个地点，或对光 i 蛩像进行特殊的处理。光纤束分为相关和非相关两种：相关光纤束主要用于传像、图像 分割、加密等方面，非相关光纤束主要用于导光。 1 7 光纤传光特性的研究及现状 有关光纤传光特性的研究进展及结果如下，涉及模式传播机理、能量损耗、衰减等 诸内容。 第一章引言 1 9 7 4 年，a l l a nw s n y d e r 和d j m i t c h e l l 完整地讨论了光纤中斜光线的传播特性， 得到斜光线传播矢量的准确表达式，所得结果满足f r e s n e l 法则，还推导了计算斜光线 的模式数量的公式m 1 。 1 9 7 7 年，u n g c r h g 用标量波动理论，研究了光波在光纤中所存在模式的解，并 讨论了群时延、色散和衰减等因素对模式的耦合的影响，结果表明这些因素使模式之 间的耦合遭到破坏，但经过一段时间，又会达到新的平衡，继续向前传播1 7 0 1 9 7 7 年，p a s k c o l i n 用标量波动理论证明了纤芯内各模式之间是被同等激发的， 而且他们相互独立传播，并推导出光波藕合进光纤时的耦合系数公式，并得到一个结论： 模式的波动理论值和射线理论值在近似条件下有一致性1 9 1 。 1 9 7 8 年，c a r t l e d g e j o h n c 从能量的角度研究了高斯光束激发光纤的激发效率问 题。结果表明，光纤纤芯和包层的激发效率不相互独立，激发效率与入射光束的半径和 入射光束的角度有确定的关系k i l l 。 2 0 世纪8 0 年代，光纤主要用于光通信。因此，对光纤的研究主要是光纤损耗问题。 1 9 8 1 年，k a u f m a n 和k s t e r r a s r 讨论了多模光纤的弯曲损耗1 1 2 1 。 1 9 8 3 年，b o a r d m a n a d 和c o o p e r g s 讨论了光纤中非线性波的传播，以及各个 模式的损耗系数的计算公式 1 3 1 0 1 9 8 5 年，m i c h a e l ，j ，h a c k e r t 半实验、半经验地讨论了光波沿轴向传播时，能量 损耗与传播长度的关系，给出了能量损耗与光纤长度的关系曲线 1 4 1 如图1 3 所示。 从图形可以看出，光纤的长度越短，耦合进光纤的能量在传播过程中损失得就越少，光 纤成像的质量就越好；反之，光纤越长，能量的损失就越严重，成像质量就越差。 1 9 8 7 年，e v e r s g e r t 对光纤的传播特征方程进行了近似处理，得到形式简单的方程， 不仅使运算过程大为简便，而且很容易计算出截止方程、截止频率、传播常数等重要参 量。1 9 8 8 年，他又用完全矢量法，对电磁波进行求解，得到精度很高的数值解1 1 0 l 。 自2 0 世纪9 0 年代开始，随着光纤应用领域的不断增多，有关光纤的研究开始转到 诸如对光纤材料制成对其物理性质的影响 1 5 - 1 7 光纤截面形状对光波传播特性的影响、 光纤的弯曲对光波传播特性的影响以及红外光在光纤中的传播特性等更加基础性的研 究上来1 1 8 - 3 7 1 。 1 9 9 5 年，j o l l l l a b u c k 用弱波导近似条件处理了光纤中的模式表达式，使其成为线 性偏振模，并绘出了几个低阶模在多模光纤中的能量分布 8 1 0 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 1 8 本论文的目的 图1 3 能量损耗与光纤长度的关系。 由上述分析可见，到目前为止，关于光波在光纤内传播的传播模式特性、模式能量 占有率特性以及出射端面的光强分布等的研究还停留在理论上，缺乏具体性和深入性。 鉴于此，本文将从标量波动理论出发，通过理论研究和数值分析，具体和深入地研 究平面光波在阶跃光纤内的传播模式特性、模式能量占有率特性以及出射端面的光强分 布等。本项研究结果对于研制先进的光纤成像仪器、超光谱光纤成像仪等具有理论指导 作用。 1 9 论文的结构 本论文由五章构成，第一章为引言，第五章为全文的总结，核心部分为第二章至第 四章。第二至四章节的主要内容为： 第二章根据标量波动理论，推导出光波在阶跃光纤中的传播方程及传播方式。 第三章根据第二章的结果，讨论光波在阶跃光纤中传播的模式特性，数值分析各 个模式的能量占有率。 第四章根据第二章的结果，分非相干和相干两种情况，数值分析平面波经阶跃光 纤传播后的光强分布特性。 一整三翌兰堂堕垄堕壁垄堑主堕堡垄 第二章平面波在阶跃光纤中的传播 因为光波是电磁波，所以可以用麦克斯韦方程组来描述光波在阶跃光纤中的传播。 2 1 一般传播方程的推导 光波在光纤中传播，其电磁场强度矢量豆和膏满足的麦克斯韦方程组为 v 。豆：一罢 ( 2 1 ) 西 其中，豆为磁感应强度矢量，西为电位移矢量。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 设s 。和确分别是纤芯介质的介电常数和磁导率，：和f ：是包层介质的介电常数和 磁导率，则对于阶跃光纤纤芯和包层存在下述关系： 1 3 = 舌 b = 1 h( 2 5 ) d = c 2 e 雪= 2 疗 ( 2 6 ) 由式( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，麦克斯韦方程组( 2 1 ) 一( 2 4 ) ，可改为： v 盖：一卢掣 ( 2 - 7 ) 。a v 疗：日竿 ( 2 8 ) 西 。 v ，青：0( 2 9 ) 8 堕西 ， 0 o 海 豇 肚 v v v 论文题目；平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 v e = 0 ( 2 1 0 ) 对( 2 7 ) 式两边取旋度，得到： v v e 一昙( v x 霄) ( 2 将( 2 8 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，有： v 胁耻昙( v 锄= 一掣盟c o t 2 ( 2 1 2 ) 因为 v v 豆= v ( v 豆) 一v 2 舌 ( 2 1 3 ) 将( 2 1 0 ) 式代入( 2 1 3 ) 式，得到： v v 豆：一v 2 盂 ( 2 1 4 ) 从式( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) ，得到光波电场分量满足的波动方程 v 2 豆一胪警= 。 泣 由同样的方法，可导出磁场分量满足的波动方程 v 2 厅一地丝o t 2 = 。 ( 2 1 6 ) 对于角频率为的单色波 豆= v “ ( 2 1 7 ) 雷= h 。p “ 将( 2 1 7 ) 式代入( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 式，得到光纤内传播的光波的电磁场分量所 满足的传播方程 v 2 豆+ 七2 豆：0 ( 2 1 8 ) v 2 疗+ 七2 露：0 ( 2 1 9 ) 其中k2 = 2 鹏。 根据式( 2 5 ) ，得到光纤纤芯内传播的光波电场矢量豆和磁场矢量雷所满足的传播 方程 v 2 雪+ k l 2 t = 0 ( 2 2 0 ) 第二章平面波在阶跃光纤中的传播 v 2 事+ k t 2 - 7 = 0 ( 2 2 1 ) 其中k l2 = 国2 “毛，k l = n t k 。 根据式( 2 6 ) ，得到光纤包层内传播的光波电场矢量置和磁场矢量疗所满足的传播 方程3 8 1 v 2 云+ 七2 2 豆= 0( 2 2 2 ) v 2 疗+ 七2 2 百= 0 ( 2 2 3 ) 其中，k 2 2 = 国2 2 笤2 。k 2 = n 2 k 。 给定阶跃光纤特征参数和光波类型后，对传播方程( 2 2 0 ) ( 2 2 3 ) 进行求解，就 可以得到在纤芯内传播的光波的表达式。 2 2 平面波的传播 2 2 1 柱坐标系与直角坐标系间物理量的变换关系 光纤是圆柱形，所以在柱坐标系下推导纤芯和包层内光波的电磁场分量是比较方便 的。下面给出柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系。 直角坐标系( x 、y 、z ) 与柱坐标系( r 、痧、z ) 之间的变换关系如图2 1 所示。 图2 1 直角坐标与柱坐标之间的转换示意图。 直角坐标是把一个点p 用( x 、y 、z ) 三个量来表示。柱坐标则是把点p 用( ，、 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 妒、z ) 三个量来表示。原点0 到点p 的距离矢量在x y 面上的长度即为，其投影与 x 轴的夹角即为妒，z 的意义与直角坐标系的z 相同。因此得到柱坐标与直角坐标间的 关系： y x = r c o 洫s ； 肛乒可( 2 2 4 ) 【t a n 妒= y x 在柱坐标系中，单位矢量、一i v 和乏定义为r 、伊、z 增加的方向。因而和4 i v 不是 常矢量，即不同点p 的t 和己的方向是不同的。i 、乏和t 三个单位矢量满足下列关系 l ，。l r = z 口。z 。 z ，l 口= i l ： l ，z 口= z ： l 。l = 。l ， z ：l r = l a = f f = 1 = i ：- i ，= 0 即i 、己和t 是彼此正交的。 ( 2 2 5 ) 柱坐标系中的单位矢量、己和t 与直角坐标系中的单位矢量i 、i 和t 之间存在 下列关系 光波电场矢量五和磁场矢量雷在柱坐标系中可表述为 重= e j r + e 乒，+ e j z a = h j f + h j 。+ h j z 梯度算符v 和拉普拉斯算符v 2 在柱坐标系下分别为1 4 3 1 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 矿叩 妒妒 即吲 坤叩 咖 m 卜#0一心。杜 嵋“弓 纠缈 卜蚪 即叭 咿缈 l|潮菪5| 1，矾l 第二章平面波在阶跃光纤中的传播 v = 导+ 吾未己+ 拿o z t秽，8 口 v 2 = 善+ 吾导+ 专著+ 导 根据( 2 2 7 ) 、( 2 3 0 ) ，式( 2 1 8 ) 可分解为： 鲁o r 弓堡o r + 吉等+ 粤0 z 坤：= 。 2 。，2 a 口2 。 2 1 “。” 净争+ 吉等号等一等一等岫2 耻。 黟争+ 吉等专斋专一等岫2 驴。 2 2 2 光波在纤芯和包层内传播时电磁场的轴向分量 ( 2 2 9 ) ( 2 t 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 1 纤芯内 利用分离变量法解( 2 3 1 ) 式，设 臣= r ( r ) ( 伊) z ( z ) e 。“ ( 2 3 4 ) 将式( 2 3 4 ) 代入方程( 2 3 1 ) ，两边同时除以r 纪，得到 娶+ 土里+ 坐+ z + 毛：0 ( 2 3 5 ) r，rr 2 击z 1 将含胄和z 的量放在方程的左边，含的量放在方程的右边，如果两边能相等，一 定等于同一个常数，设这个数为2 ，方程( 2 3 5 ) 分离为以下两个方程： 一坐：m z 庐 r 2 弓墨r + z z 柏2 ) 崭、rr 。7 方程( 2 3 7 ) 仍含有两个变量， ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 于是再次做分离变量，把含尺的量放在方程的左边， 含的量放在方程的右边，如果两边能相等，也一定等于同一个数，设这个常数为 方程分离为 1 2 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 =zit：一；(238) z 等弓簧州一m 2 = 。旺s ， 则方程( 2 3 1 ) 分离，9 - - - - - 个子方程，每个方程只含有一个变量，具体形式如下： 一坐= m 2 西 詈一； ( 2 4 0 ) 等t 簧+ c k i2 _ k ；一m 2 = 。 因为k ，2 一 0 ，所以方程( 2 4 0 ) 的解为 西= a e ”9 z = b e j k 。( 2 4 1 ) r = c j ，( 。，) + d ( 聋。r ) 其中，a 、b 、c 、d 为常数，j 。是m 阶第一类贝塞尔函数，匕是m 阶第二类贝 塞尔函数。 根据贝塞尔函数的性质：对于任意阶次的第二类贝塞尔函数匕，随着r 趋近于0 ， 匕都趋近于无穷大。n n 电场分量雷：一定是有限的，所以取d = 0 。因此光波在纤芯中 传播的电场矢量五的z 分量为 e ：= e m j 。( 七c ，) p 舳9 + 。”，r ( 2 4 2 ) 其中，e 。= a b c 为常数，出入射条件决定：口为纤芯半径。 利用同样的方法，可以得到纤芯中光波磁场分量h ：的表达式为： ：= h 。j 。( 盘。r ) p ”9 + 也2 一删， ， a ( 2 5 0 ) e 。= f g n 为常数。 2 2 - 3 光波在纤芯和包层内传播时的径向分量 1 纤芯内 将( 2 5 ) 式代入式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 中，得到 、x e = 一l 国驻i h v h = j o t ，e 方程( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) 在柱坐标系中可分解为： 1 4 ( 2 。5 1 ) ( 2 5 2 ) 论文题日：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 里孕一拿叫嘴皿 r 口位 誓一睾叫刚。h ， 一1 _ 0 ( r 匕) 一! 竽：一，掣。h ： ! _ o h z 一学：，傩。e ， _ o h r 一孕：嬲e 。 ；昙c 用，一；警= 嬲。巨 因为已知e ：和日：，将( 2 。5 3 ) 改写为 耻一砖c t 等+ 等等， 岛= ，吉c 一等斋+ 掣t 警， 耻掣1 了t o e i 瓦o e 2 吐警) 。7 孝1 ( 嬲，百o e z + 等等) 其中：砖= h 2 一k ； ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 将式( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 代入式( 2 5 4 ) ，得到纤芯内传播的光波横向电磁分量的表达式 耻叫既缸 一讽芳讹删如w 铲预茜抛卅日。詈堋删枷畔， h r = 以瓦等啪一 风皇i ，。，( 尼。，) m ，地) 席 卟叫瓦专“( 城等碱r ) 】如) 2 包层内 将( 2 6 ) 式代入方程( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，得到 1 5 2 5 6 ) ( ， 口) ( 2 6 1 ) 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 其中：w 2 = k ；一k ； 2 2 4 光波在光纤中可传播的模式 ( 2 6 2 ) 光波在阶跃光纤内传播模式的截止频率由纤芯和包层处电磁场分量应满足边界条 件。在r = a 处，即阶跃光纤纤芯和包层交界处，电磁场分量应满足 ie ：= e ：。 【h ：= h 。 ie ，= k 1 h ，= h ， ( 2 6 3 ) is l e r = s 2 e m 【i h ，= 2 2 h 。 方程组( 2 6 3 ) 中的有六个方程，只有四个方程独立。本文取前四个方程进行求解。 将式( 2 4 2 ) 、( 2 4 3 ) 、( 2 4 9 ) 、( 2 5 0 ) 、( 2 5 6 ) 和( 2 6 1 ) 代入方程组( 2 ，6 3 ) 的前四 个方程中，得到 e 。，。( k c a ) = e k ( w a ) h 。，。( 。a ) = h k ( w a ) 一卢。苦厶( + 以警“( 2 以。鲁引w 矿j t t m 。了c o # 2 “( 删 一归。等“( 如) _ 伊。等伽) = j e 。鲁“( w 咖以。等剐岫 ( 2 6 4 ) 将方程组( 2 6 4 ) 以矩阵形式写出，有 j 。( 七。口) 0 一专讹口) 一，等“( 0 ，。( 七。口) ，詈州印) 一- ，挈- - z - - - ，。( 七。口) 一7 丙m ( 七c 叫 k 。( w 口) 0 一_ ，牟k 。( w 口) w “ 一_ ，0 ) 8 2a 。t ( w 口) 0 蓑jcnla2k,(w圳a)眨h：jcola2 k , h _ _ wi l 乜 一，挈置。( w 。) l 。 w rl = 0 ( 2 6 5 ) 如果方程组( 2 6 5 ) 有非零解，那么其系数行列式应该为零，据此得到光波的特征 第二章平面波在阶跃光纤中的传播 方程 r 1 ，( 七。口) 。 1 k ，( w 口) 1r 占l 1 j 。( 七。) 。 1 k 。( ，h 口) 1 t k c a ，m ( 七c 口)w 口k m ( w 口) jl e , 2j c 口，m ( k o a )w 口k m ( w 口) 1 ( 2 6 6 ) 耐c 寿+ 嘉，c 丢壶+ 去， 定义特征参量矿= 醒口2 十w 2 a 2 ，由式( 2 5 5 ) 和( 2 6 2 ) ，得到 v = k a ( n ? 一n ；) “2 式( 2 6 7 ) 无量纲，称为光纤的归一化频率。 因为= 警 1 ，所以k c a = 0 也是特征方程的一个解。将七。a = 0 作 为第一个t e 模即t e l l ，由此可见，t m ln + l 模和t e l 。模具有相同的归一化截止频率， 即t m l 。+ l 模和t e l 。模简并。 对于t e l l 模，由于其归一化截止频率为0 ，截止波长为0 0 ，所以t e l l 模不截止， 它可以以任意低的频率在光纤中传播，从而是光纤内传播的基模。 当m l 时，根据式( 2 7 0 ) ，方程( 2 7 8 ) 变为： 一l ! 妇! 蔓盟：上茎型! ! 虫 ( 2 8 3 ) 女。口j 。( 七。a )w 歧k 。( w a ) 根据贝塞尔函数阶数趋近无穷大时的性质，式( 2 8 3 ) 变为 ! 坐= ! 亟型：笠堡 厶( k c a )2 ( m 1 ) 根据式( 2 7 0 ) ，式( 2 8 4 ) 变为； l ，。一2 ( 七。口) = 0 ( 2 8 5 ) 上式为m l 的t e 。模的截止条件。 由式( 2 8 5 ) 可以得到，当m = 3 时，t m 3 。模和t e l 。模简并，当州4 时，t m m n ；1 奠 第二章平面波在阶跃光纤中的传播 和t e 。_ 2 。模简并。t e 模同样有截止波长公式( 2 7 6 ) 和截止频率公式( 2 7 7 ) 。 由表2 1 可以看出，对于确定的1 1 1 ，n 越大p 。越大，因此，当五一定，纤芯和包 层折射率也一定时，纤芯越粗，存在的模式越多，反之亦然。模式是光纤的固有电磁共 振属性的表征。给定参数的光纤中的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励 起光纤中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。 2 2 5 模式表达式汇总 在柱坐标系f ，光波在阶跃光纤纤巧甲t m 模明表达式为 五= e ，+ 五，艺+ e ；乏 = 讣歹等“( 纠一j 鲁蹦缸厩“( 妒心也p 剐 袁= h j ? + h 0 。+ h jz 堋詈“ ) t 一詈“啦船砌州， 8 6 在直角坐标系下式( 2 8 6 ) 改写为 琶= e j l + e j y + e j ： 哦升 。( p ) c o s o + 鲁k c r ) s i 吲枷”t 州t 一瓯 等厶( k c r ) s i n f o + 鲁l ( k r ) c 。s 纠e j ( m 。w + k z z - w 。) + 瓦 ( k c r 枷卅。“勘 h = h ；i x + h y y h ；i z = e m ，l m c o ，占 k 。r ) c o s 妒+ 罢旦以( 七。r ) s i n 妒p 。咖9 + t = 一驯 ( 2 8 7 ) i c r 席 也，【号争“k c r ) s i 咿鲁j m ( c o s 啦“不 在柱坐标系下，光波在阶跃光纤纤芯中t e 模的表达式为 雹= e j ! + e 0 m + e j ： = 巩卅号挚厶( 也r ) i + 百c o 。1 “( t r ) 渺州 论文题目；平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 咆h 缸晦r ) i 一，等“呤) 己“限咖砌嘶， 妲8 8 在直角坐标系下，式( 2 8 8 ) 改写为 毳= e j x + e j y + e i z = 一日，儿i m c o 广a ，厶( t r ) c o s 妒+ 警t ，。t ( j 】 。，) s i n p 一印训t 庀：r戽 + 日，卅三掣，。( 七。，) s i n ( a e 一“+ 警，。，( 七。r ) c o s p 妒州，啊i y 把：r定 膏= h ，t + h ，i y + h ：t 一蹦皇枷力c o s 一等抛r ) s i n 虹乏 一刚唾“( k c r ) s i 。n 妒+ 方km “ ) c o s 缸弓+ 掣施c ，) 删艺 ( 2 9 0 ) 由于光波的本质是电磁波，所以可以用麦克斯韦方程组研究光波在阶跃折射率光纤 中的传播。本文首先推导出光波在均匀介质中的传播方程。其次，针对圆柱形光纤，将 传播方程转化为用柱面坐标系，再利用分离变量法推导出平面波在阶跃光纤中传播的解 析表达式。再次，根据光波在光纤纤芯和包层界面应满足的的边界条件，讨论了光波在 光纤中传播的模式特性，结果表明，光波在光纤中以t m 波和t e 波两种形式传播。 第三章模式特性及模式能量占有率 第三章模式特性及模式能量占有率 由光波在阶跃光纤中的模式表达式和光波能量公式，得到阶跃光纤存在的所有模式 的能量值，然后得到每个模式的能量占有率。利用m a t l a b 语言进行计算和绘出能量 占有率图形。 3 1 模式特性 根据t m 模式的截止频率( 2 7 4 ) 、t e 模式的截止频率( 2 8 5 ) 和贝塞尔函数根值 表2 1 ，经计算，得到模式数量与存在的模式名称间的关系表3 1 。 表3 1模式数量与相应模式关系表 序号模式名称单模4 模7 模9 模3 5 模7 5 模1 2 8 模 1 t e x 。1 、， 2 t m o ，1 0 3 t e o 1 、， 4 t e 2 1 、， 5 t m i ，1 6 t e l ，2 、， 7 t e 3 1 8 t m 2 ，1 、， 9 t e 4 ，1 、， 1 0 t m o , 2 1 1 t m i ，2 1 2 t m o ，3 1 3 t m i ，3 1 4 t m 2 ，2 、， 1 5 t m 3 ，1 1 6 t m 3 2 一 1 7 t m 4 i 2 4 论文题目：平面波经阶跃光纤传播后模式和端面光强分布特性研究 1 8 t m 4 。2 1 9 t m 5 。1 000 2 0 t m 6 ，1 2 1 t e o ，2 2 2 t e o 3 、，、， 2 3 t e t ，3 2 4 t e l 4 2 5 t e 2 2 2 6 t e 2 ，3 2 7 t e 3 ，2 2 8 t e 3 ，3 2 9 t e 4 ，2 3 0 t e 5 ，1 3 1 t e s ，2 3 2 t e 6 ，l 3 3 t e 6 ，2 3 4 t e 7 ，1 、， 3 5 t e a ，i 、， 3 6 w m o , 4 3 7 t m o ，5 3 8 t m l ，4 3 9 t m i ，5 4 0 t m 2 ，3 、， 4 1 t m 2 4 4 2 t m 3 3 一 4 3 t m 3 4 、， 4 4 t m 4 ，3 4 5 t m 5 ，2 、， 4 6 t m 5 ，3 第三章模式特性及模式能量占有率 4 7 t m 6 ，2 4 8 t m 7 ，1 - 2 4 9 t m 7 2 5 0 t m 8 1 、，、， 5 l t m 9 ，1 q 5 2 t m l o 1 5 3 t m i i ，1 、， 5 4 t e o , 4 00 5 5 t e o ，5 、， 5 6 t e l 5 5 7 t e l ，6 0、， 5 8 t e 2 4 5 9 t e 2 ，5 6 0 t e 3 4 v 6 1 t e a 。5 6 2 t e 4 3 6 3 t e 4 4 6 4 t e 5 ，3 、， 6 5 t e s , a 6 6 t e 6 3 6 7 t e 7 ，2 、， 6 8 t e 7 ，