（应用数学专业论文）相依随机变量极限理论的若干结果.pdf

摘要 概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数理统计 的重要基础。近代极限理论的研究主要在于削弱对“独立性”的限制，使其更贴 近实际、便于验证与应用。但由于其复杂性，许多问题未得到满意解决。鉴于此， 本文对这些问题进行研究，获得了如下结果： 1 _ 通过建立两两n q d 随机变量列最大部分和的概率l e v y 型指数不等式，给出 两两n q d 列的p e t r o v 型对数律与重对数律，文献中相应结果成为其特殊情形， 并得到加强 2 首个得到芦混合序列加权和的b e r n s t a i n 不等式，进一步研究了p 混台 序列加权和线性统计量的m a r c i e w i c z z y g m u n d 强大数定律，实质性的改进和推 广了文献中的相应结果 3 针对非常广泛的拟权函数和边界函数，讨论属于口稳定分布一般吸引场构 成的u 统计量精确渐近性其次还得了正态吸引场构成的u 统计量的两个重要 结论。 关键词：两两n q d 列：k o l m o g o r o v 不等式；对数律与重对数律：西混合序列； m a r c i e w i c z z y g m u n d 强大数定律；正则变化函数；加权和：精致渐近性；u 一统 计量；完全收敛性 a b s t r a c t l i m i t t h e o r y i so n eo ft h ek e yb r a n c h e so f p r o b a b i l i t yt h e o r y , a n da l s ot h e i m p o r t a n tf o u n d a t i o no fo t h e rb r a n c h e s t h er e s e a r c hp u r p o s ea b o u tr e c e n tl i m i t t h e o r yi st ow e a k e nt h er e s t r i c t i o n so f “i n d e p e n d e n c e ”a n dt oc u s t o m i z et h e mt o r e a l i t yf o re a s i e ri d e n t i f i c a t i o na n da p p l i c a t i o n b u tc o n s i d e r e dt h e i rc o m p l e x i t y ，e n o r m o u sp r o b l e m sh a sn o tb e e nf i n g e r e do u t i nt h i sp a p e r , s o m ep r o b l e m sa r es t u d i e d a n ds o m er e s u l t sa r eo b t a i n e da sf o l l o w sb a s e do na n a l y z i n gt h e i rc h a r a c t e r s i g i v e ns o m ep r o b a b i l i t ye x p o n e n t i a li n e q u a l i t i e so fm a x i m a lp a r t i a ls u m sf o r s e q u e n c e so f n q d r a n d o mv a r i a b l e s ，s o m el a w so f l o g a r i t h ma n dl a w so f t h e i t e r a t e dl o g a r i t h mf o rn o n i d e n t i t yp a i r w i s en q d s e q u e n c e s a r eo b t a i n e d s o m ef e s u i t so f l i t e r a t u r eb e c o m ei n t op a r t i c u l a rc a s eo f o u rr e s u l t sa n db ei m p r o v e d ， 2 i nt h i sc h a p t e r , m a r c i e w i c z - z y g m u n ds t r o n gl a w sf o rw e i g h t e ds u m so f 芦一m i x i n gs e q u e n c e sa r ei n v e s t i g a t e db yf i r s t l ye s t a b l i s h i n gt h eb e r n s t a i ni n e q u a l i t y f o rw e i g h e ds u m so f 芦一m i x i n gs e q u e n c e s t h er e s u l t se x t e n da n dg r e a t l yi m p r o v e t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fl i t e r a t u r e 3 a i m e da tm o r ew i d e rm i m e s i s - w e i g h t e df u n c t i o na n dc r i c i t a lf u n c t i o n ，s o m e p r e c i s ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e s a r eo b t a i n e df o ru s t a t i s t i c sm a d eu po fr a n d o m v a r i a b l e sf r o ma t t r a c t i o nd i s t r i c tas t a b l ed i s t r i b u t i o n a n dt w of o l l o w i n g c o r o l l a r i e sa l eg a i n e df o ru s t a t i s t i c sm a d eu po fr a n d o mv a r i a b l e sf r o ma t t r a c t i o n d i s t r i e to f n o r m a ld i s t r i b u t i o n k e y w o r d s ：p a i r w i s en q ds e q u e n c e s ；k o i m o g o r o vi n e q u a l f i e s ；l a w so fl o g a r i t h ma n dl a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h m ；声一m i x i n gs e q u e n c e s ；m a r c i e w i c z - z y g m u n d s t r o n g l a w ；r e g u l a rv a r y i n gf u n c t i o n ；w e i 曲t e ds u m ；p r e c i s ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e s ； u - s t a t i s t i c s ；c o m p l e t ec o n v e r g e n c e i i 西北工业大学硕士学位论文第一章 第一章绪论 1 1背景知识简介 概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数理统计 的重要基础前苏联著名概率论学者k o l m o g o r o v 和格涅坚科曾说过：“概率论的 认识论价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论 基本概念的真正含义”近代极限理论的研究主要在于削弱对“独立性”的限制， 使其更贴近实际、便于验证与应用但由于其复杂性，许多问题未得到满意解决 关于独立随机变量的经典极限理论在3 0 年代和4 0 年代已经获得完善的发展，其 基本成果被总结在g n e d e n k o 与k o l m o g o r o v 的专著独立随机变量和的极限定 理( 1 9 9 1 ) 中概率论的现代极限理论，如概率测度弱收敛与强逼近等理论也自 5 0 年代开始被若干概率统计学家深入研究，如b e r n s t e i n ，h o p f ，h o e f f d i n g 与 r o b b i n s 等由于在许多实际问题中，样本并不是独立的观察值，即使独立性假 设在某些时候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，这就提出随 机变量的相依性概念。另外，随机变量的相依性概念也在马氏链、随机场理论与 时间序列分析中 强混合( 口混合) 的定义首先由r o s e n b l a t ( 1 9 5 6 ) 引入i b r a g i m o v ( 1 9 5 9 ) ， r o z a n o v 与v o l c o n s k i ( 1 9 5 9 ) 也独立地引入这一概念，且同时引入驴混合的定义 而妒混合的定义最早是由d o b r u s h i n ( 1 9 5 6 ) 针对马氏过程日1 入的b l u m ，h a n s o n 与k o o p m a n s ( 1 9 6 3 ) 给出y 混合的概念，( 口，卢) 混合概念是由b r a d l e y ( 1 9 8 5 ) 和邵 启满( 1 9 8 9 ) 独立地给出地p 混合的概念是由k o l m o g o r o v 与r o z a n o v ( 1 9 6 0 ) 引入的卢混合相依系数的概念是由b r a d l e y ( 1 9 9 0 ) 引入的p 混合与通常的p 混合有一定的类似，但并不相同，它们互不包含而西混合是一类非常广泛的相 依混合序列，对其进行研究是很有价值的 对独立随机变量另外一个方向的推广是n a ( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 随机 变量列与p a ( p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ) 随机变量列，进一步推广是从n a 随机变 量列与p a 随机变量列推广到两两n q d ( n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) 随机 硅北工业大学硕士学位论文 第一章 变量列一个特殊方向的推广是从独立列推广到可交换随机变量列推广后的随 机变量列许多大样本性质与独立和的性质不同 n a ( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 随机变量列是由统计学家k j o a g d e v 与 f p r o s c h a n 与1 9 8 3 年引入的n a 随机变量列是一类包含独立随即变量在内的重 要相依随即变量列在多元统计分析、可靠性理论及渗流模型的问题中大量出现 因此研究其概率和统计性质及其应用具有重要的意义关于n a 随机变量列的极 限定理，近年己取得许多重要的成果，本文只针对两两n q d 列进行研究 两两n q d 列是包含两两独立列在内的一类随即变量列，后来的许多负相关联 列都是在此基础上衍生的，如著名的n a 列是它的特款因此对两两n q d 列的研究 就更基本、更为困难 对独立随机变量还有一个方向的推广是b a n a c h 空间上的b 值随机元序列 随着对b a n a c h 空间局部理论和几何结构研究的发展，至8 0 年代末，b a n a c h 空 间上的概率论已取得重大成果等周方法，特别是乘积空间上等周不等式的发现， 使得向量值随机变量的各种极限定理几乎可以被完整地描述由于能力、时间有 限，本文暂不予讨论 再者。1 9 4 8 年h o e f f d i n g 首次提出u 一统计量这个概念，并讨论了它的渐近正 c 态性虽然u 一统计量是算术平均值概念= t 的自然推广，但是大样本性质却差别 h 较大，且u 一统计量的大样本性质对核函数的形式有强烈的依赖性而属于稳定分 布吸引场构成的u 一统计量、精致渐进性的研究构成近几年来的研究热点，所以 本文结合二者迸行研究，具有重要意义 鉴于此，本文研究了两两n q d 随机变量列的强大数定律与重对数律及n q d 样本的大样本性质，西混合随机变量列的完全收敛性、强收敛性及应用，两种分 布吸引场构成的u 一统计量完全收敛性与强收敛性及精确渐近性 现将本文所需基本定义介绍如下： 定义l 称随机变量x 和y 是n o d ( n e g a t i v e l yo u a r d r a n td e p e n d e n t ) 的，若对任意实数x ，y ，有p ( x x ，r 力s p ( x x ) p ( v y ) 成立称随机变量列 忸。，聍2 1 是两两n q d 的，若对任意f ，x ，与工是n q d 的。 定义2 设 x 。；n 1 为随机变量序列，记 明北工业大学硕士学位论文 第章 s 。= x 。，_ 盯( x ，；l i 门) ，f = 盯( ，；i 玎) ， ( n 1 ) i t i 风。器。器，面e 袁x i 孬e 亓y 赢e y卫e l 2 ( 石】r e 岛( f 矗一) 、(一e r ) 2(一) 2 吼= s u p s u p i 尸( 4 i 曰) 一户( 一) i l 目e 耳，口e 耽 若岛斗o ( 当，z 斗时) ，则口。；n 1 为p 混合序列；若_ o ( 当行寸0 。时) ， 则慨；n 1 ) 为伊混合序列 定义3 设秘。；i 为概率空间( q ，p ，p ) 上随机变量序列，记 c = 仃( 置，i s c ) ，在中给定d 域f ，r ，令 p ( f ，r ) = s u p c o r r ( x ，y ) x l 2 ( f ) ，】，上2 ( r ) ) 其中。，( x ，y ) ：1 丝兰三耋兰型 为相关系数，b r a d l e y ( 1 9 9 0 ) 4 e ( x e 置) 2 e ( y e y ) 2 引入如下相依系数， f i ( k ) = s u p ( b ，f r ) 有限子集s ，t c n ，目_ d i s t ( s ，7 1 ) 意 ， k 0 ， 若存在七n ，满足f i ( k ) = 1 ) 为i i d 随机变量列，当e x = o ，e x 2 洲) = e x 2 ( ) 这个方向的研究称为精致渐近性 以下简要叙述研究概况： ( 1 ) 两两n q d 列的研究进展 1 1 9 6 6 年l e h m a n n 提出的两两n q d 列这一类非常广泛的随机变量列，后来 许多负相关列都是在此基础上衍生出来的，如著名的n a 列就是它的特殊情形之 2 m a t u l a 获得了与独立情形一样的k o l m o g o r o v 型强大数律 3 王岳宝、苏淳等研究两两n q d 列的完全收敛性与几乎处处收敛性，获得 西北工业大学硕士学位论文 第一章 了b a u m 和k a l z 型完全收敛定理，但由于加上了妒+ ( 1 ) l 的特殊条件，尚未达到 独立隋形的结果随后继续研究两两n q d 列的m a r c i n k i e w i c z 型弱大数律、强大 数律，j a m i s o n 型加权和的强稳定性以及不同分布两两n q d 列的j a m i s o n 型加权 乘积和的强稳定性 4 吴群英首先给出两两n q d 列的k o l m o g o r o v 型不等式，去掉妒+ ( 1 ) 1 的特 殊条件，得出两两n q d 列的m a c i k i e w i c z 型强大数定律、三级数定理，几乎达到 独立情形的结果 5 张立新探讨了两两n q d 列部分和最大值的一般形式完全收敛的充要条件， 弥补了前者只考虑充分性的不足此外，有关两两n o d 列的对数律、重对数律、 b e r r y - e s s e n 界、渐近正态性以及大样本统计性质在回归模型中的应用尚未见文 献讨论 ( 2 ) 三种相依随机变量列( 庙昆合、9 混合、芦混合) 的研究进展 1 1 9 9 5 年杨善朝首先给出口混合序列加权和的b e r n s t e i n 型尾部概率指数 不等式，研究了口混合序列加权和的强收敛、完全收敛以及重对数律，而关于p 混合序列加权和与芦混合序列加权和的完全收敛性却鲜有文献讨论 2 1 9 9 7 年杨善朝针对妒混合序列、p 混合序列给出两个比邵肩满给出的矩 不等式更实用的矩估计式，并且应用在讨论非参数递归密度核估计、非参数回归 函数加权核估计的强相合性，获得较好结论 3 2 0 0 1 年吴群英研究了芦混合序列加权和的完全收敛性，获得几乎与独立 情形一样的b a u n 和k a t z 定理，m a r c i n me w i c z 强大数定律、三级数定理2 0 0 2 年吴群英研究了芦混合序列加权和的完全收敛性，推广了s t o u t 和t h r u m 定理 随后，其继续研究得出在一定的矩条件下，芦混合序列的弱不变原理成立，此结 论起着重要的桥梁作用：2 0 0 5 年研究芦混合样本线性模型中回归参数m 估计的 强相合性，在较弱的矩条件下，获得了m 估计是强相合的充分条件 4 2 0 0 4 年甘师信研究了在较弱的矩条件下芦混合序列的几乎处处收敛性、 西北工业大学硕士学位论文 第一章 完全收敛性，并把万混合序列的三级数定理从p = 2 推广到1 ( p 1 2 。 5 2 0 0 3 年陈平炎与陈清平研究了同分布p 混合序列其共同分布属于稳定分 布( 非高斯情形) 吸引场部分和的c h o v e r 型重对数律类似情形对其它两种混合 序列鲜有文献讨论此外，对相依样本产生的l 统计量、m 统计量及其在回归模 型中的应用更是如此 ( 3 ) u - 统计量的精确渐近性的研究进展 i 1 9 9 6 年，王岳宝在较弱的矩条件下，研究了u 一统计量最大值完全收敛性 成立的充分条件 2 林正炎先研究了在特定的矩条件下u 一统计量的b e r r y e s s e e n 不等式： 接着分别在核函数至少有一个二阶以上矩存在与矩母函数存在的条件下，研究了 不完全样本滞后和构成的u 一统计量的a ，s 极限性质 3 2 0 0 3 年，王芳与程士宏在核函数不同的矩条件下，把b e r k e s 等关于独 立和的结论推广，得到u 一统计量a s c l t 、f a s c l t 几乎处处中心极限定理 4 2 0 0 4 年，王建峰、蔡光辉在合适的核函数矩条件下，针对几种特殊的拟 权函数与边界函数，运用u 一统计量的矩不等式和b e r r y e s s e e n 不等式，研究了 u 一统计量的b a u m k a t z 大数定律与重对数律的精确渐近性 5 2 0 0 5 年，陆传荣、邱瑾把部分和的精确极限性质推广到线性模型误差方 差最i 、- - 乘估计，研究了其l i n 和l i l 精确极限性质 6 2 0 0 4 年，成风呖、王岳宝针对十分广泛的拟权函数和边界函数，研究了 属于非退化口( o 口s 2 ) 稳定分布一般吸引域的独立同分布随机变量部分和的精 确极限性质，以及属于正态吸引场强平稳n a 列部分和的精确极限性质，这些结果 不仅能使人们很方便地找到拟权函数与边界函数，而且揭示拟权函数、边界函数、 收敛速度及极限状态的密切关系正是考虑到其广泛地实用性、适用性，本文把 其结论继续推广，研究了两种分布吸引场构成的u 一统计量相应的精确极限性， 具有重要的理论意义 最后介绍本文研究方法如下： 1 ，两两n q d 列的研究方法：推广的k o l m o g o r o v 不等式：推广的 b o r e l c a n t e l l i 引理：针对两两n q d 列，建立起着起着重要作用的部分和极大值 西北工业大学硕士学位论文第一章 尾部概率估计的l e v y 型指数不等式 2 三种相依随机交量列( 声昆合、卿昆合、芦混合) 的研究方法：鞅差序列的部 分和极大值不等式：建立推广的西混合序列部分和尾部概率估计的b e r n s t a i n 指 数不等式等 3 u - 统计置的精确渐近性的研究方法：u - 统计量的h o e f f d i n g 分解定理及 其相应的大样本应用；u 一统计量的投影定理及其应用在把部分和的极限性质推 广；u 一统计量的矩估计不等式 核函数与稳定分布吸引场、正态分布吸引场的性 质，s t o l z 定理 1 2 论文的结构与安排 根据本文的研究内容，全文共分为四章 第一章引言，介绍了几种相依随机变量的定义、研究进展，探讨了相依随机 变量产生的u 一统计量的研究进展，指明本文研究的理论、应用的重要意义 第二章针对不同分布两两n q d 随机变量列，通过建立两两n q d 列最大部分和 的概率指数不等式，给出两两n q d 列的p e t r o v 对数律与重对数律及相应的重 要结论 第三章针对勰合相依随机变量列，建立卢混合序列加权和的b e r n s t a i n 不等式，得到两个乃混合序列加权和线性统m a r c i e w i c z z y g m u n d 强大数定律 第四章针对非退化稳定分布一般吸引场构成的u 一统计量，结合十分广泛 的拟权函数与边界函数，得到了u 一统计量的精致渐近性；另外，还针对正态吸 引场平稳分布构成的u 一统计量的讨论了相应的精确渐近性 西北工业大学硕士学位论文第二章 第二章两两n o d 列的强极限定理 2 1背景知识介绍 1 9 6 6 年l e h m a n n “】提出的两两n q d 列这一概念，后来许多负相关列都是在 此基础上衍生出来的，如著名的n a 1 3 】列就是它的特殊情形之一 n a 列也称为负相协随机变量，这个概念是j o a g d e y 、p r o s c h a n 和b l o c k 、 s a v i t s 提出j o a g d e y 、p r o s c h a n 还指出n a 随机变量在实际中的应用如：服 从置换分布的样本是n a 样本，对有限总体的不放回抽样的样本是n a 样本，等等 由于n a 样本在实际中的应用，所以有不少学者对其进行了大量的研究最近 r o u s s a s 对相协变量的研究做了一个综述报告，其中指出相协变量在可靠性理 论、概率过程、随机过程、多元统计、空间统计等领域中有广泛的应用，而且在 大气、地质、海洋、生物、经济等领域也有应用因此，近年来有许多学者对相 协样本的统计问题进行了研究，取得较丰富的成果本文致力于将n a 列的相应结 论进一步推广到两两n q d 列，使得其具有更广泛的应用 下面先介绍一下其具体定义 定义2 1 1 【1 4 】称随机变量x 和y 是n q d ( n e g a t i v e l y q u a r d r a n t d e p e n d e n t ) 的，若对任意实数x ，y ，有p ( x x ，y y ) p ( x x ) p ( y _ y ) 成立称 随机变量列 x 。，n 1 ) 是两两n q d 的，若对任意f j ，x 与一是n q d 的 注意到p ( x x ，y 力蔓p ( x 曲尸( y y ) 等价于 丝兰塑：量墅0 4 v 咿f ( x ) l i a r g ( y ) 对每一对满v a r f ( x ) o o f a r g ( y ) o o 的单调非降函数f 、g 成立且可以进一步 将p ( x x ，y y ) p ( x x ) p ( y 1 易知e l ；= o 。e l r 。，0 o ，a p _ 1 ( 2 - 1 2 ) ( i i i i ) 但对v o t o ，a p 1 ，下式 喜。2 p 警卟彬) 。 ( 2 1 3 ) 堕j ! 三些莶堂堡主兰垡鎏塞 茎三童 并不成立 ( i v ) n - u p r ! o o ，r l 呻o o ( 2 1 4 ) 也不成立 只证明( “i i ) 事实上，取s ：1 ，则 z 。n a p - 2 p ( m a xs 炉i 绷铲善n a p - 2 p ( m 。a xi 6 1 甜) 。2 刈啦n a ) 一e 矿，吲拼) h 2 lf o i 1 0 这里f = 仃( 置，x a ，i 曼，f ，j = l ，2 ，但 x 1 f ) 的极限性质往往不受 其前有限项的约束，因此用下面的方式来反映 置，1 f 的每相邻两项的关系 更妥当： 妒( 1 ) = 一l i m s u ps 卸 f p ( b 爿) 一p ( 曰) i ， m 郴 h m4 e 片，日e 躁，p ( 妒o 显然，0 多( 1 ) 1 ，且若妒( 1 ) = 1 ，则多( 1 ) = 1 反之，若矿( 1 ) = 1 ，未必有( 1 ) = 1 如取 r ，1 i n ) 相互独立， i2 x ，x ：2 一k ，以2 匕n = 3 ，4 ， 则 置，1 i n 】为两两n q d 列且( 1 ) = 1 ，而( 1 ) = o 因为满足“( 1 ) l - 与 r o ，门1 独立，则 以+ y n ，n l 可能既不是两两n q d 列也不是 p 一混合序列，但它是渐近两两n q d 列的进一步，序列 互+ i ，五+ ，五+ + e ，五+ 五，五。+ e 。，五。+ k 。 既不是两两n q d 列也可能不是p 混合序列，并且妒( 1 ) = 1 若 以，z 1 ) 是同分布渐近两两n q d 列的，且p 一( 七) o 。 t = l 则对任意单调函数f ， 月n 哳( f ( g + 。) ) = e 【( f ( x k + 。) 一e f ( x 。+ 。) ) 2 z i i = t 月n ln 一 v a r f ( x 。) + 2 c o v f ( x 。+ 。) ，( 置。) 】 t it - il l - z v a r f ( x 。) + 2 p 一( 七) ( v a r f ( x , + 。) ) ”2 ( v a r y ( x , 。) ) “2 l = 1k = 1l - 1 月一lh - o + 2 y p 一( 枷v a r f ( x , + 。) 则 咒； 芝1 ) 也满足条件( ) 再者，若伐；月i ) 为同分布的p 一混合序列，且p 一( 2 + ) 。，则辑；n i 也满足条件( ) 从中可以看出条件( ) 构成比渐近两两n q d 更广泛的随机变 量列，若在其基础上研究将会更加困难，但结论的适用性将更强 容易看出两两n q d 列也是一类非常广泛的随机变量列，因此，对两两n q d 列的研究就显得更为基本，更为困难，成果也较少对两两n q d 列m a t u l a ”l 获得 了与独立情形样的k o l m o g o r o v 型强大数律虽然王岳宝川获得了b a u m 和k a l z 型完全收敛定理，但由于加上了驴( 1 ) 1 的特殊条件，尚未达到独立情形的结果 并且在较弱的矩条件下，探讨了同分布两两n q d 列m a r c i n k i e m c z 型弱大数定律 西北工业火学硕士学位论文第二章 随后继续研究两两n q d 列的强大数律，j a m i s o n 型加权和的强稳定性以及不同分 布两两n q d 列的j a m i s o n 型加权乘积和的强稳定性，改进了关于不同分布两两独 立列部分和的工作吴群英【2 1 】首先给出两两n q d 列的k o l m o g o r o v 型不等式，去 掉p ( 1 ) o ) 阶c e s a r o 一致可积”的系列条件下，研究了两两n q d 列的形如 行“丑与o ( o 2 ) 与形如n - i t 五与o ( o 0 ，有 p ( 1 x 。i x ) p ( 1 x | x ) ，v n 1 ，v x 0 西北工业大学硕士学位论文 第二章 x ； 恕耘。0 “5 本文针对不同分布两两n q d 列建立使上述定理a 的结论对任何口 o 成立的 一些矩条件，并讨论两两n q d 列的重对数律，进一步改进文 1 6 、 2 2 中的相应 结果 以下始终假设 x 。，h - 1 为两两n q d 列，e x 。= 0 ，e x ：盯。2 ， 1 其中为 扛：，n 2 1 非零实数列，记 跏否耳驴善甑2 l i r a 耻眠“_ 1 n m 埘一办k o ) _ “ c 为常数，且在不同之处可以代表不同的值 2 2一些重要的引理 e j l 理2 2 1 1 1 4 1 设随机变量x 与y 是n q d 的，则 ( f ) 脚踟y ( i i ) 尸( x x ，y j ，) p ( x x ) p ( y y ) ( i i i ) 若r ( ) ，s ( ) 同为非降( 或非增) 函数，则r ( x ) 与s ( y ) 仍为n q d 的 引理2 2 2 “6 1 设 口。，n l j 为一递增正数列，嘉：l i m = 。，对任意给定m i 必存在k ) cn ，使得下式成立： m a 口“s m 3 牙+ 引理2 2 3 设讧。，1 k ” 为零均值的两两n q d 随机变量 列，o o 有下式成立： 西北工业大学硕士学位论文 第二二章 p b 剐x ) 2 p c 刮以i x ) + 2 e x p 争弘+ 科 z ， 引理2 2 4 1 15 1 设 x 。，h 1 ) 是两两n o d 列，0 2 ，a 。 为常数列，满足 h 且瓯= 。若争s 2 ne ch 9 卜m 则 窆x 。一o a s u dk - 1 引理2 2 5 p 1 1 设忸。，n 1 ) 是两两n o d 列，满足l 0 9 2n v a r ( x 。) ( h = l 则宝( x 。一肼。) 一收敛 j l 引理2 。2 6 设扭。，! 1 l 是两两n q d 列，k 。 为常数列 0 a 。 0 0 ， 6 。) 为实数列， 妻( 1 。9 2n ) 6 。 m ，e x 。= o ，若存在r 2 ，使得 月= i 则 引理2 2 3 的证明 弘m ：i e 剧 o ，令 _ ：m i n 留，_ y t 。= n _ 1 1 e y j - o ，h o ，有 e “e e h r o ，y o ，都有 p ( m 。a 。x l s k l x ) p ( m 。a ；x 。s k x ) + p ( 氍( 。s k ) x ) 螂( m a x x + z 唧号一x y 呱，+ 斟 2 3p e t r o v 对数律与重对数律 定理l看存在c o ， 口 0 ，满足 艺( b 。( e ，) ) _ 1 e x 2 。i x 。l c 压瓦雨) 0 ，( 2 1 ) 式对任意c 0 成立，则有 a l i m s u p ! ! ：0- a s b 。r ( b 。) 推论1 2 若对某p 0 ，a 0 ，使得下式成立 、b 。r ( b 。) r ；点i x 。1 9 x ) s c e ( i x i 扎l i r a i n f 鲁= ok m l 则对任何口 0 ，有( 2 3 3 ) 式成立 定理2如果存在c o ，满足以f 条件之一 妻。l 0 9 2 n ( 舻劫彘巾pc 跞卜一( 0 , 2 1 ，m 扣2 n ( b l 2 ( b 圹沁n c 跞卜存劫【2 帅 则有 l i m s u p ：! !k + 扼7 五 ( 2 3 6 ) 一一* 2 b 。l 2 ( 曰。) 推论2 1若( 2 4 ) 或( 2 5 ) 式对任意c 0 成立，则有 l i r as u p竖!s l a s ( 2 3 7 ) 2 且。l 2 ( 口。) 推论2 2 若对某p 2 ，有 州州啊引呻孙c 正习c 。 则仍有( 2 3 6 ) 式成立 西北工业大学硕士学位论文 第二章 2 4 主要结果的证明 定理1 的证明对n = l ，2 ，3 ，令 y 。= 。， x 。1 瓦 + l ， x 。 l 一t i 帆 瓦 + ( 。+ 瓦) ， x 。 l ) 结合( 2 3 1 ) 式有， 妻。p ( 瓯) ) - 2 e i z 。1 ：蔓妻( 曰。r ( 凹。) ) 剧x 。1 2 x 。i ) 等，口 = 1 ，注意到n 占( k e y e ) s 玩 令 口口百 x = = d 厄瓦两，y = 车， 对以一e l 应用引理2 2 3 结合c h e b y c h e v 不等式，有 p c 懋陲c k 也) l a ) i ，由引理2 2 2 知，存在 ) ，使得 髓一z( 。m + k e一 圪 。h | | & 丽 西北工业大学硕士学位论文第二二章 m a n k 蔓口。p + i m 3 a “ 而对充分大的k ，有 脏等a每，结厶( 2 4 4 ) 有 。占。 乳脚m a 吖x 融也，伊 ， s 喜p ( 。m ；。a ；。x 。+ ，l 喜c ，：一z r ，：，i 口；。+ ，) - 2 c + = 而有下式成立 t m s u p 蒜b 符号匕，z 。，s 。同定理1 ，记页= k i = l 事实上，由引理2 2 1 知，z 。仍为两两n q d 列，且e z 。0 妻1 0 9 xn e 芝 “ ( b l 2 ( b 。) ) i 一p = l 0 9 2 ( 最厶( 或) ) t e l z o l ” ( 2 4 5 ) 西北工业大学硕士学位论文第二章 砉l o g2 州：( e i z ，砷刈，c j 志2 一 2h - ( b 。三：( 占。) ) 了。川1 f 者k 1 ，l i ms u p 粤型枷a n 一。b 。三：( b 。) 对 k e l ) 应用引理2 - 2 4 ，令x = 丘扣再了两 y = 筹扣巧夏历 限制! l ，结合c h e b y c h e v 不等式， m p ( 骶陬一匾1 a 厕) 2 c + 山再有( 2 4 5 ) 式成立 符号l ，乙，s 。同定理1 ，瓦：窆t ，易知z 。仍为两两n o d 列 而 l 0 9 2n ( b 。2 ( b 。) ) jv a r z ： 一1 l 0 9 2 疗( b 。三2 ( 玩) ) i e z ： 喜1 0 9 2 舭z ( ) 砸- i ：呻别m 西北工业大学硕士学位论文 第二章 s 弘2 州心驯。一j 盎2 了 锄 月q - 一、一月，i 由引理2 2 5 从而 ” 二 ( b 。工2 ( 只) ) 2 ( z 。一e z 。) 一 0 a s i ( 以工2 ( 舶) i ( z 。- e z l ) 。o a s = 1 类似( i ) 的证明，有 i i ms u p 邑i 三型 l 兰压2 c + 4 再2 ci 1 a si _ 兰、+ + a 。4 2 b n l ：( b 。) 结合( 2 4 6 ) 考虑到 s 。：( 爵一e 爵) + 主( z 。一e z 。) 可知( 2 4 5 ) 成立 ( 2 4 6 ) 推论2 2 的证明在引理2 2 6 中，取= ：i z i 两b 。= ( 曰。上：( b 。) ) 一 有 一1n ( 曰。工2 ( 峨) ) 了( 以一删 ) 哼0 ，1 以下类同定理2 情形( i i ) 西北工业大学硕士学位论文第三章 第三章乃混合序列加权和的强极限定理 3 1 背景知识介绍 设 以，竹n ) 是概率空间( q ，卢，p ) 上的随机变量序列 b = 盯( x i ，i s c n ) 为盯域，在中给定盯域f ，r ，令 p ( f ，五) = s u p c o r r ( 善，叩) i ：f 如( f ) ，叩l a r ) 其中c 。( 善，7 ) 2 弓瓷器为相关系数，序列 以，” 称是p 混合序列，如 p ( n ) = s u p 删，醌) - - - 0 ，n - - - - 0 0 b r a d l e y 3 ( 1 9 9 0 ) 引入如下相关系数：对k 0 ，令 西( ) = s u p p ( y s ，) ：有限子集s ，t c n ，n d i s k s ，t )